Post on 23-Jan-2016
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UPC
Ecuaciones Diferencialesy Algebra Lineal
Unidad 4
TRANSFORMACIONES LINEALES
VECTORES y VALORES PROPIOS
TRANSFORMACION LINEALTRANSFORMACION LINEAL
Sean V y W dos espacios vectoriales y T una aplicación de V en W .
T es una transformación lineal si se
cumple:
1. , ,
2. , ,
T T T V
T cv cT V c R
u v u v u v
v v
):( WVT
TRANSFORMACION LINEAL
Las transformaciones lineales tienen una gran cantidad de aplicaciones importantes, como:
Circuitos eléctricos con m mallas y n fuentes de voltaje.
Las coordenadas de un punto en la pantalla del display que son función
de las coordenadas del punto en el mundo real y las del observador.
TRANSFORMACION LINEAL (sigue)
Una empresa puede concebirse como un objeto que relaciona un conjunto de entradas (capital, productividad de los operarios, parámetros de operación , inventarios, etc.) con un conjunto de salidas o resultados (producción, ganancias, capital, etc.).
TRANSFORMACIONES LINEALES MATRICIALES
Teorema
Si A una matriz de mxn, entonces la transformación matricial T:RnRm definida por: TA(x) = Ax, xRn
es una transformación lineal.
TEOREMA
T : Rn Rm es una transformación lineal T es una transformación matricial.
EJEMPLOS
Verifique si las siguientes aplicaciones son transformaciones lineales ó no:
1. T:R3 R2 , T(x,y,z) = (-2x, x+y)
2. T:R2 R2 , T(x,y) = (x, y2 )
EJEMPLO
Operador transposición de matrices:
La aplicación
que a cada matriz asigna su transpuesta, es una transformación lineal.
: mn nmF M M
PROPIEDADES
1 2 1 2
1 1 2 2
1 1 2 2
1)
2)
3) ...
...
v w
n n
n n
T
T a b aT bT
T a a a
aT a T a T
0 0
v v v v
v v v
v v v
EJEMPLO
La aplicación T (x,y) = (x-y,y+x+2)
no es lineal ya que:
T(0,0)=(0,2)
Nota: Si fuese lineal hubiese salido
T(0,0)=(0,0)
NÚCLEO O KERNEL DE UNA NÚCLEO O KERNEL DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEALTRANSFORMACIÓN LINEAL
Sea T:V W una T.L.
Definición:
Ker / WT V T v v 0
IMAGEN DE UNA TRANSFORMACION LINEAL
Sea T:V W
Definición:
Img / para algún T W T V w w v v
una transformación linealuna transformación lineal
REPRESENTACIÓN EN DIAGRAMA DE VENN
Ker (T)
Img(T)
V W
0
T:V WT:V W
TEOREMA
Si es una transformación lineal, entonces:
a) El núcleo de T es un subespacio de V.
b) La imagen de T es un subespacio de W
WVT :
TEOREMA DE LAS DIMENSIONES
WVT : una transformaciónuna transformaciónSeaSea
lineal, entonces lineal, entonces
VTTKer dim))dim(Im())(dim(
VALORES Y VECTORES PROPIOS
DefiniciónDefinición::
Sea A una matriz de orden n. El número se llama valor propiovalor propio de A si existe un vector v de Rn, no nulo, llamado vector propio de A, tal que:
Avv = = vv..
OBSERVACIONES
A los valores propios también se les llama autovalores, eigenvalores o valores característicos.
En la definición se excluye v = 0, toda vez que A.0 = 0 = 0 y así cualquier sería valor propio de A.
Dv= v
=2 es un valor propio de D porque:
1 0 0 0 00 0 0 0 2 00 0 2 1 1
200
000
001
D
EJEMPLO
POLINOMIO Y ECUACIONCARACTERÍSTICA
Sea Anxn y v no nulo, tal que Av = v, entonces:
P() = det (A – I) Polinomio característico
det (A – I) = 0 Ecuación característica
PROCEDIMIENTO PARA HALLAR PROCEDIMIENTO PARA HALLAR VALORES Y VECTORES PROPIOSVALORES Y VECTORES PROPIOS
1. Halle las raíces de P() = det (A - I) = 0.Estas constituyen los valores propios.
2. Para determinar los vectores propios se resuelve el sistema homogéneo
(A - I)v = 0, correspondiente a cada valor propio.
0 1 0
0 0 1
2 5 4
A
EJEMPLO
Halle los valores y vectores propios de:
EJEMPLO (sigue)
En este caso, puede determinarse que los valores propios son =2, =1 y =1. Al estar repetido uno de ellos, decimos que este valor propio tiene multiplicidad 2.
Puede verificarse además que al valor propio =1 le corresponde el vector propio (1, 1, 1) y que al valor propio =2 le corresponde el (1, 2, 4).
TEOREMATEOREMA
Si A es una matriz de orden n y 11,,22,...,,...,mm son “m” valores propios distintos de A, con vectores propios uu11,,uu2,2,...,...,uumm, entonces el conjunto de vectores { { uu11,,uu2,2,...,...,uumm } es L.I. } es L.I.
DIAGONALIZACION DE DIAGONALIZACION DE MATRICESMATRICES
Definición
Una matriz A de orden n es diagonalizable si existe una matriz diagonal D y una matriz inversible P tal que:
D = P-1 AP
TEOREMA
Una matriz A de orden n es diagonalizable si y sólo tiene n vectores propios L.I.
En tal caso, la matriz diagonal D que es semejante a A:
1)Tiene la diagonal conformada por los valores propios de A.
2) P es una matriz cuyas columnas son los vectores propios L.I de A, entonces
D = P-1AP.
201
051
102
A
EJEMPLO
3 2: 9 23 15
1, 3, 5
P
EJEMPLO (sigue)
Matriz Diagonal
Matriz de transición
5 0 0
0 3 0
0 0 1
D
0 2 4
1 1 1
0 2 4
P
COMPROBACION
10 2 4 2 0 1 0 2 4 5 0 0
1 1 1 1 5 0 1 1 1 0 3 0
0 2 4 1 0 2 0 2 4 0 0 1
1P AP D
COROLARIO
Si A es una matriz de orden n y tiene n valores propios diferentes, entonces A es diagonalizable.
EJEMPLO
La matriz:
tiene tres valores propios diferentes:
1 1 2
1 2 1
0 1 1
C
1, 1, 2
En consecuencia C es diagonalizableEn consecuencia C es diagonalizable
25
12A
EJEMPLO
Diagonalice la matriz A (si es posible):
EL TEOREMA DE CAYLEY-HAMILTON
Si A es una matriz cuadrada de orden n y p(λ) es su polinomio característico, entonces p(A)=0 (matriz nula)
EL TEOREMA DE CAYLEY-HAMILTON (Continua)
Ejemplo
Verifique el TCH para la matriz
1 2
2 1A
EL TEOREMA DE CAYLEY-HAMILTON (Continua)
Ejemplo
Una matriz A de orden 3 tiene polinomiocaracterístico 3 29 2 1p
Use el TCH para determinar
1A
x1(t)Equilibrio
x2(t)
Equilibrio
m1 m2
k1 k2
SISTEMAS DE EDOL
¿Cómo describiría el movimiento de los bloques mostrados?
CONDICIONES
Sistema Lineal
1) Cada ecuación es lineal con coeficientes constantes.
2) Hay una sola variable independiente: t
3) Hay tantas variables dependientes como ecuaciones: x1(t), x2(t), …, xn(t)
SOLUCION DEL SISTEMA
Se denomina solución del sistema a un conjunto de funciones x1(t), x2(t),..., xn(t), que satisfaga idénticamente a cada ecuación del mismo.
EJEMPLO
yxdtdy
yxdtdx
SISTEMA DE TANQUES(EJEMPLO)
Considere los dos tanques que se ilustran en la figura del ppt que sigue. Suponga que el tanque A contiene 50 galones de agua en los que hay disueltas 25 libras de sal. Suponga que el tanque B contiene 50 galones de agua pura. A los tanques les entra y sale líquido como se indica en la figura. Se supone que tanto la mezcla intercambiada entre los dos tanques como el líquido bombeado hacia fuera del tanque B están bien mezclados. Se desea construir un modelo matemático que describa la cantidad de libras x1(t) y x2(t) de sal en los tanques A y B, respectivamente, en el tiempo t.
EJEMPLO (sigue)
agua pura3 gal/min
mezcla1 gal/min
mezcla4 gal/min
mezcla3 gal/min
SISTEMAS DE EDOLcon Valores y Vectores Propios
Consideremos el sistema de EDOL:
Es posible reescribir el sistema matricialmente como x'=Ax, donde las variables se definen en la siguiente diapositiva.
'1 11 1 12 2 1
'2 21 1 22 2 2
'1 1 2 2
...
...
...
n n
n n
n n n nn n
x a x a x a x
x a x a x a x
x a x a x a x
SISTEMAS DE EDOLcon Valores y Vectores Propios (sigue)
'1 1
'2 2
'
11 12 1
21 22 2
1 2
, '
y
n n
n
n
n n nn
x t x t
x t x tx t x t
x t x t
a a a
a a aA
a a a
EJEMPLO
Escriba matricialmente el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales:
'1 1 2 3
'2 1 2 3
'3 1 2 3
2
3 2
x x x x
x x x x
x x x x
EJEMPLO (sigue)
En este caso:
Luego, el sistema en forma matricial es:
1
2
3
1 2 1
, 3 1 2
1 1 1
x t
x t x t A
x t
'1 1
'2 2
'33
1 2 1
3 1 2
1 1 1
x x
x x
xx
SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE EDOL CON VALORES Y VECTORES PROPIOS
En la diapositiva que sigue se enunciará un teorema que nos permitirá emplear valores y vectores propios para determinar la solución de un sistema de EDOL, con la condición de que los valores propios sean distintos.
TEOREMA
Si A es una matriz diagonalizable de orden n y P = [v1, v2,…vn] tal que:
entonces, la solución general del sistema
x' = Ax es:
1
21
0 0
0 0
0 0 n
P AP
1 21 1 2 2 ... nt t t
n nc e c e c e x v v v
Resuelva el siguiente sistema de EDOL usando valores y vectores propios.
EJEMPLO
'1 1 2
'2 1 2
2
3 2
x x x
x x x