Alejandro Chancusi Ramos Ecuaciones Diferenciales, Paralelo1

Universidad central del ecuador

Facultad de Ingeniería Química

Carrera de Ingeniería Química

Alejandro Chancusi Ramos Ecuaciones Diferenciales

1 de Junio del 2015 Paralelo 1

PREGUNTA

De acuerdo al siguiente conjunto de condiciones cual es la adecuada para que una ecuación diferencial se determine que sea homogénea o no homogenea

RESPUESTA.

F(tx , ty)= tn f(x,y)

f(x,y)= x2+y2-xy es un función homogénea de segundo grado

Puesto que cumple la siguiente igualdad f(tx.ty)=(tx)2+(ty)2-(tx)(ty)

t2(x2+y2-xy)=t2f(x.y)

DISTRACTORES

F(x,y,y,y……..y(n))=0

Esta es la forma general de una ecuación diferencial, que podría ser homogénea o no homogénea de cualquier orden y explícitamente no es una igualdad que demuestre homogeneidad.

ϕ( y)dy=f(x)dx

Es la forma general de ecuaciones diferenciales con variables separables, las cuales pueden ser tanto no homogéneas como homogéneas y no es una igualdad como tal para determinar la homogeneidad de la ecuación, pues es un método de resolución de las mismas.

y = f(x, c1, c2,...)

Solución general de una ecuación diferencial ordinaria, dependiente de una o varias constantes, no permite identificar la homogeneidad de la ecuación de donde se determina dicha solución.

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PREGUNTA

Para que la ecuación diferencial lineal de primer orden, se pueda resolver mediante el factor integrante y=c(x)e-ʃp(x)dx , del siguiente grupo de soluciones ¿cual es la condición que debe cumplir para su resolución?.

RESPUESTA

Q(x)≠0

Se dice que es una ecuación línea no homogénea y su respuesta se puede hallar mediante el uso de variación de la constante y=c(x)e-ʃp(x)dx, donde c(x) es una función incógnita de x que ayude a resolver la ecuación

DISTRACTORES

Q(x)=0

La ecuación que representa es lineal y homogénea la cual, se puede resolver con variables separadas

P(x)y=0

Si la función P(x)y=0 al forma general de la ecuación quedaría dydx

=q (x), alterando su forma

de resolución a variables separables y evitando la utilización de un factor integrante

dxdy

+ p ( x )=q (x )

Es la forma general de la ecuación de Bernoulli, la cual se puede considerar como lineal ya que q(x) es diferente de cero, pero la cual se esta derivando con respecto a y ‘y’ no a ‘x’ , como condición para la utilización de factor integrante

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PREGUNTA

Cuáles de las siguiente opciones es la solución general y la solución particular cuya respuesta satisfaga a los valores de A,BC, de la ecuación (Ax2+Bx+C) de la siguiente ecuación homogénea y,,-3y,+2y=(x2+x)e3x

RESPUESTA

y=C1ex+C 2 e2x+ e3x

2¿0)

Resolución

ƛ2-3 ƛ+2=0 ƛ1=1, ƛ=2 de donde:

yg=C1ex+C2e2x además yp=(Ax2+Bx+C)e3x

yp,= 2Ax e3x + 3Ax2 e3x + B e3x + 3Bx e3x + 3C e3x

yp,,

= 2A e3x + 6Ax e3x + 6Ax e3x +9Ax2 e3x + 3B e3x + 3B e3x +9Bx e3x + 9C e3x

y= [2A e3x + 6Ax e3x + 6Ax e3x +9Ax2 e3x + 3B e3x + 3B e3x +9Bx e3x + 9C e3x]-3[2Ax e3x + 3Ax2

e3x + B e3x + 3Bx e3x + 3C e3x]+2[(Ax2+Bx+C) e3x] = (x2 e3x +x e3x)

x2 e3x (9A-9+2A)= x2 e3x x e3x (6A+6A +9B -6A-9B +2B)=x e3x

A=1/2 6A + 2B=1

3+2B=1

B=-1

e3x (2A+3B +3B +9C-9C -3B+2C)=0

2A + 3B +2C=0

1-3+2C

C=1

yp=(1/2x2 -1x+1)e3x

Obteniéndose yp= e3 x

2( x2−2x+2 ) y lasolucion general es :

y=C1ex+C 2e2 x+ e3 x

2¿)

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DISTRACTORES

a. y=C1e2x+C 2e2 x+ex¿)

No es respuesta debido a que los coeficientes de A.B.C, no son los correctos y los coeficientes de los valores de las constantes son ERRONEOS, debido a que las soluciones generales de la ecuación son ƛ1=1, ƛ=2 y no ƛ1=ƛ2=2

b. y=C1ex+ e3 x

2(x−2 x+2)

La función resultante no es la correcta debido a que existe dos soluciones generales con constante diferentes, existiendo ƛ1=1, ƛ=2 y por lo tanto una expresión mas C 2 e2 x

c. y=C1ex+C 2ex¿)

La respuesta es incorrecto debido a que el coeficiente de la C2 es a la 2x, por el hecho que una de las solución general de la ecuación es 2, al igual los valores de las constantes A,B,C no son concordantes

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PREGUNTA

El siguiente grupo de respuesta consta de la solución general de la ecuación diferencial y la clase a la cual pertenece (LaGrange o Clairout).

Ecuación diferencial problema: 2y =xy, + y

, lny

, y

¿Cuál es la opción que englobe la solución general y el tipo de correspondiente de la ecuación problema?

RESPUESTA2y =xy, + y

,lny

, y

y= c2

p2−p; Ecuación de Clairout, presenta de la forma y= x(y, ) + g(y,)

y=x y ,

2 + y , lny,

2 sea y, =

dydx

=p dy=pdx

y= xp2+ plnp

2 diferencia se tiene: dy= p2

dx+ x2

dp+ dp2

+ lnp2

dp

dxdp

− 1p

x= lnp+1p , que es lineal, entonces la solución es:

x=p¿+c)=cp –lnp-2, luego:

x=pc−lnp−2

y= c2

p2−p

DISTRACTORES

x= pc – lnp-2, ecuacion de clairout

La solucion general de una ecuacion de clairut es en funcion de y, mientras que la funcion x= pc – lnp-2, es parte de la solucion general obtenida de la integracion y reemplaxo por la igualdad dy=pdx

y= c2

x2−x, ecuacion de lagrange

No es una ecuacion de lagrange, debido a que la ecuacion es de la forma y= x(y, ) + g(y,), mientra que la solucion general de la se encuentra en funcion de x, lo cual no es posible por el reemplazo de dy=pdx . En la ecuacion problema

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y= c2

p2−p, ecuacion de lagrange

La funcion es correspondiente a la solucion de la ecuacion pero la ecuacion problema no es de lagrange por el hecho que este tipo de ecuacion son de forma y= xf(y, ) + g(y,).