Post on 15-Jul-2022
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ECUACIONES
DIFERENCIALES
ORDINARIAS CON
CONDICIONES DE BORDE
Universidad Simón Bolívar
2
Capítulo IV
Solución numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias con condiciones de borde
Método del Disparo para problemas lineales
Método del Disparo para problemas no-lineales
Aplicación con MATLAB
Referencias
3
Método del Disparo para problemas lineales
En algunas ocasiones, las condiciones sobre la EDO se
conocen en puntos distintos. En este caso tratamos con
lo que se denomina un problema de valor de la
frontera. En el caso de ecuaciones de 2do orden estos
problemas pueden escribirse como
La solución numérica de ésta EDO dependerá de la
garantía de existencia de una solución única.
=dx
dyyxf
dx
yd,,
2
2
bxa ≤≤( )( )
==
βα
by
ay
4
Método del Disparo para problemas lineales
Esa existencia esta garantizada siempre y cuando
(a) f y sus derivadas parciales
sean continuas en
y
f
y
f
′∂∂
∂∂
,
( ){ }∞<′<−∞∞<<−∞≤≤′= yybxayyxD ,,/,,
(b) se verifique que, en el dominio D
( ) 0,, >′∂∂
yyxy
f
( ) Myyxy
f ≤′∂∂
,, M=constante
5
Método del Disparo para problemas lineales
En el caso que f se puede expresar como
se tiene que la EDO es lineal y, una solución única existe
si
(a) p(x),q(x) y r(x) son continuas en [a,b]
(b) q(x)>0
En el caso del problema lineal, la solución puede ser
hallada resolviendo los problemas de valor inicial
( ) ( ) ( ) ( )xryxqyxpyyxf ++′=′,,
( ) ( ) ( )xryxqyxpy ++′=′′ bxa ≤≤ ( ) ( ) 0; =′= ayay α
( ) ( )yxqyxpy +′=′′ bxa ≤≤ ( ) ( ) 1;0 =′= ayay
6
Método del Disparo para problemas lineales
Si las soluciones a cada uno de esos problemas son
y1(x) y y2(x) tendremos que la solución al problema de
valor en la frontera es dado por
( ) ( ) ( )( ) ( )xyby
byxyxy 2
2
11
−+= β
siempre y cuando y2(b)≠0.Esto puede verse sustituyendo y(x) en la EDO original
( ) ( ) ( )xryxqyxpy ++′=′′
7
Método del Disparo para problemas lineales
Tenemos
Reagrupando comprobamos que
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) +
−+=
−+'
2
2
11
''
2
2
11 xy
by
byxyxpxy
by
byxy
ββ
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )xrxyby
byxyxq +
−++ 2
2
11
β
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]+−−− xrxyxqxyxpxy 1
'
1
''
1
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] 02
'
2
''
2
2
1 =−−
−xyxqxyxpxy
by
byβ
0
0
8
Método del Disparo para problemas lineales
Sobre los extremos tenemos
El método del disparo se basa en la solución de los
problemas de valor inicial
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) αβαβ =−+=−+= 02
12
2
11
by
byay
by
byayay
( ) ( ) ( )( ) ( ) ββ =−+= byby
bybyby 2
2
11
( ) ( ) ( )xryxqyxpy ++′=″111
bxa ≤≤ ( ) ( ) 0; 11 =′= ayay α
( ) ( ) 222 yxqyxpy +′=″bxa ≤≤ ( ) ( ) 1;0 22 =′= ayay
utilizando cualquiera de los métodos ya estudiados para
luego aplicar la relación ( ) ( ) ( )( ) ( )xyby
byxyxy 2
2
11
−+= β
9
Método del Disparo para problemas lineales
Aplicación: El problema de valor en la frontera
tiene la solución exacta
( ) ( ) ( ) 22y,11y ;21 ;ln2222
==≤≤++′−=′′ xx
xseny
xyx
y
)cos(ln10
1)(ln
10
32
21 xxseny
x
cxcy −−′+=
donde
( ) ( )[ ]
21
2
10
11
2lncos42ln12870
1
cc
senc
−=
−−=
Encuentre la solución numérica y compárela con la
solución exacta.
10
Método del Disparo para problemas lineales
Verifiquemos que este problema tiene solución única.
(a) La función
es continua en 1≤x≤2; -∞ ≤y≤ ∞; -∞ ≤y´≤ ∞ .
(b) Las derivadas ∑f/∑y y ∑f/∑y´
( ) ( )22
ln22,,
x
xseny
xyx
yyxf ++′−=′
( )2
2,,
xyyxf
y=′
∂∂
son continuas en 1≤x≤2; -∞ ≤y≤ ∞; -∞ ≤y´≤ ∞ .
( )x
yyxfy
2,, −=′
′∂∂
(c) ( ) 02
,,2
>=′∂∂
xyyxf
y
en 1≤x≤2; -∞ ≤y≤ ∞; -∞ ≤y´≤ ∞ .
11
Método del Disparo para problemas lineales
(d) Existe M=2 tal que
en 1≤x≤2; -∞ ≤y≤ ∞; -∞ ≤y´≤ ∞ .
Verifiquemos ahora que el problema es lineal.
Entonces f(x,y,y´) se expresa como
donde
( ) M2
,,2
≤=′∂∂
xyyxf
y
( ) ( ) ( ) ( )xryxqyxpyyxf ++′=′,,
( )22
ln)( ;
2)( ;
2)(
x
xsenxr
xxq
xxp ==−=
12
Método del Disparo para problemas lineales
Aún cuando no hace falta verificar que el problema
lineal tiene solución única (ya fue verificado para la
ecuación de 2do orden), con fines didácticos podemos
verificar que:
(e) p(x), q(x) y r(x) son continuas en [a,b]
(f) q(x)>0 en [a,b]
por lo que el problema tiene solución única.
Los problemas de valor inicial a resolver son:
( ) ( ) ( ) 01,11 ;21 ;ln22
1121211 =′=≤≤++′−=″yyx
x
xseny
xyx
y
( ) ( ) 11,01 ;21 ;22
222222 =′=≤≤+″−=″yyxy
xyx
y
13
Método del Disparo para problemas lineales
Un programa en Matlab que permite resolver ambas
ecuaciones de 2do orden es mostrado a continuación
14
Método del Disparo para problemas lineales
15
Método del Disparo para problemas lineales
16
Método del Disparo para problemas lineales
La solución se presenta a continuación:
x y1 y2 y_num y_exacta Error
1.000 1.00000000 0.00000000 1.00000000 1.00000000 0.00000000000
1.100 1.00896058 0.09117986 1.09262916 1.09262930 0.00000013435
1.200 1.03245472 0.16851175 1.18708471 1.18708484 0.00000013367
1.300 1.06674375 0.23608704 1.28338227 1.28338236 0.00000009780
1.400 1.10928795 0.29659067 1.38144589 1.38144595 0.00000006016
1.500 1.15830000 0.35184379 1.48115939 1.48115942 0.00000003063
1.600 1.21248371 0.40311695 1.58239245 1.58239246 0.00000001077
1.700 1.27087454 0.45131840 1.68501396 1.68501396 0.00000000054
1.800 1.33273851 0.49711137 1.78889854 1.78889853 0.00000000505
1.900 1.39750618 0.54098928 1.89392951 1.89392951 0.00000000441
2.000 1.46472815 0.58332538 2.00000000 2.00000000 0.00000000000
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Capítulo IV
Solución numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias
Método del Disparo para problemas lineales
Método del Disparo para problemas no-lineales
Aplicación con MATLAB
Referencias
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Método del Disparo para problemas no-lineales
Cuando el problema a resolver no es lineal, su solución
no puede expresarse como una combinación lineal de
soluciones.
Una opción para resolver el problema
consiste en resolver la sucesión de problemas de valor
inicial
=dx
dyyxf
dx
yd,,
2
2
bxa ≤≤( )( )
==
βα
by
ay
=dx
dyyxf
dx
yd,,
2
2
bxa ≤≤( )( )
=′=tay
ay α
hasta encontrar t de manera que
( ) ( ) β==∞→
bytbylim kk
,
19
Método del Disparo para problemas no-lineales
El método se basa en aproximar sucesivamente la
solución de la EDO no lineal cambiando la pendiente
(“disparando”) hasta llegar, con una tolerancia dada a
“acertar” la condición de frontera en el punto x=b.
Para determinar los parámetros tk debemos resolver la
ecuación
( ) 0, =− βtby
para lo cual podemos utilizar un método iterativo
como el de la secante
( )( ) ( )
21
21
11 ,,
,
−−
−−
−−
−−
−−=
kk
kk
kkk
tt
tbytby
tbytt
β
20
Método del Disparo para problemas no-lineales
Dos valores iniciales de t hacen falta para iniciar el
proceso iterativo. Ellos pueden ser construidos a partir
de:
Los pasos a seguir son los siguientes:
0.- Determinamos t0 y t1 con las expresiones anteriores
1.- Con el valor de t0 determine la solución del
problema
abt
−−= αβ
0ab
t−−= αβ
9.01
=dx
dyyxf
dx
yd,,
2
2
bxa ≤≤( )( )
=′=
0tay
ay α
Obtenga ( ) ( )bytby =0,
21
Método del Disparo para problemas no-lineales
2.- Con el valor de t1 determine la solución del
problema
3.- Determine el valor de t2 a partir de
=dx
dyyxf
dx
yd,,
2
2
bxa ≤≤( )( )
=′=
1tay
ay α
Obtenga ( ) ( )bytby =1,
( )( ) ( )
01
01
112 ,,
,
tt
tbytby
tbytt
−−
−−= β
22
Método del Disparo para problemas no-lineales
4.- Con el valor de t2 determine la solución del
problema
5.- Si es menor a cierta tolerancia, la
solución y obtenida es la solución numérica sino haga
=dx
dyyxf
dx
yd,,
2
2
bxa ≤≤( )( )
=′=
2tay
ay α
Obtenga ( ) ( )bytby =2,
( ) β−2, tby
( ) ( ) ( ) ( )2110
2110
,, ;,,
;
tbytbytbytby
tttt
====
y repita los pasos 3 al 5 hasta la convergencia.
23
Método del Disparo para problemas no-lineales
Ejemplo: Encontrar la solución del problema de valor
en la frontera
Para resolver este problema, debemos resolver de
manera sucesiva los problemas:
( )yyxy ′−+=′′ 32328
131 ≤≤ x
==
3/43)3(
17)1(
y
y
( )yyxdx
yd ′−+= 3
2
2
2328
1 ( )( )
=′=ty
y
1
17131 ≤≤ x
El procedimiento seguido es el siguiente:
0.- Determinamos t0 y t1
33333.113
173
43
0 −=−
−=
−−=ab
tαβ 2.1
13
34317
9.01 −=
−
−=t
24
Método del Disparo para problemas no-lineales
1.- Con el valor de t0=1.3333 determinamos la
solución del problema
( )( )
−=′=
33333.11
171
y
y
Obtenga ( ) ( ) .20.4792...3....33333.1,3 == yy
( )yyxy ′−+=′′ 32328
131 ≤≤ x
2.- Con el valor de t1= 1.2 determine la solución del
problema
( )( )
−=′=
2.11
171
y
y
Obtenga ( ) ( ) 20.5338...32.1,3 == yy
( )yyxy ′−+=′′ 32328
131 ≤≤ x
25
Método del Disparo para problemas no-lineales
3.- Determine el valor de t2 a partir de
( )( ) ( ) .16.3389...-
...3333.12.1
...4792.20...5338.20
3/43...5338.202.1
,,
,
01
01
112 =
+−−
−−−=
−−
−−=
tt
tbytby
tbytt
β
(se utilizaron todos los decimales en la operación)
4.- Con el valor de t2 =-16.3389.. determine la solución
del problema
( ) ( ) 12.891933389.16,3 ==− yy
( )( )
−=′=
3389.161
171
y
y( )yyxy ′−+=′′ 32328
131 ≤≤ x
Obtenga
26
Método del Disparo para problemas no-lineales
5.- Si
es menor a cierta tolerancia, la solución y obtenida es
la solución numérica sino haga
( ) 1.44153/438919.12, 2 =−=− βtby
( ) ( ) ( ) ( ) 8919.12,, ;20.5338,,
-16.3389 ;2.1
2110
2110
======−==
tbytbytbytby
tttt
y repita los pasos 3 al 5 hasta la convergencia.
La gráfica del proceso de convergencia es mostrada en
la figura siguiente:
27
Método del Disparo para problemas no-linealest y
1.00 17.00000000
1.10 15.75547517
1.20 14.77335271
1.30 13.99770094
1.40 13.38856550
1.50 12.91664509
1.60 12.55996299
1.70 12.30171308
1.80 12.12882377
1.90 12.03097526
2.00 11.99991165
2.10 12.02894955
2.20 12.11262071
2.30 12.24640787
2.40 12.42654662
2.50 12.64987487
2.60 12.91371697
2.70 13.21579366
2.80 13.55415128
2.90 13.92710562
3.00 14.33319703
1 1.5 2 2.5 3 3.510
12
14
16
18
20
22 EDO 2do Orden no lineal
x
y
28
Método del Disparo para problemas no-lineales
29
Método del Disparo para problemas no-lineales
30
Método del Disparo para problemas no-lineales
31
Capítulo IV
Solución numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias
Método del Disparo para problemas lineales
Método del Disparo para problemas no-lineales
Aplicación con MATLAB
Referencias
32
Aplicación en MATLAB
En MATLAB escribimos nuestra ecuación diferencial
ordinaria original
como un sistema de EDO de primer orden
( )3
'
' 1'' 32 2
8
dyy
dx
dyy x yy
dx
=
′= = + −
( )yyxy ′−+=′′ 32328
131 ≤≤ x
==
3/43)3(
17)1(
y
y
con las condiciones de borde
(1) 17 (3) 43/ 3y y= =
33
Aplicación en MATLAB
Luego, definimos las funciones
y el sistema se escribe como
1
12 '
y y
dyy y
dx
=
= =
con las condiciones de borde
1 1(1) 17 (3) 43/ 3y y= =
( )2
231
2 1 22
'
1' '' 32 2
8
y y
d yy y x y y
dx
=
= = = + −
34
Aplicación en MATLAB
Se generan los archivos .m que incluyen a las EDO:function dydx = twoode(x,y)
dydx = [ y(2)
(1/8)*(32+2*(x.^3)-y(1).*y(2))];
y a las condiciones de bordefunction res = twobc(ya,yb)
res = [ ya(1)-17
yb(1) - 43/3];
> solinit = bvpinit(linspace(1,3,5),[1 0]);
solinit define la malla (5 puntos igualmente espaciados
entre 1 y 3; y una suposición inicial para los
valores de las funciones y1(x)=1 e y2(x)=0
(constantes en este ejemplo).
35
Aplicación en MATLAB
Luego, para calcular, evaluar y graficar la solución
podemos hacer
>> sol = bvp4c(@twoode,@twobc,solinit);
>> x = linspace(1,3);
>> y = deval(sol,x);
>> plot(x,y(1,:));
1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 312
12.5
13
13.5
14
14.5
15
15.5
16
16.5
17
36
Aplicación en MATLAB
Todos los archivos pueden escribirse en uno solo:
37
Capítulo IV
Solución numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias
Método del Disparo para problemas lineales
Método del Disparo para problemas no-lineales
Aplicación con MATLAB
Referencias
38
Referencias
1. Análisis Numérico, Burden R., Faires J. D., 6ta
Edición, International Thomson Editores, 1998
2. Applied Numerical Methods, Carnahan B., Luther H.
A., Wilkes J. O., John Wiley and Sons, Inc, 1969
39
ECUACIONES
DIFERENCIALES
ORDINARIAS CON
CONDICIONES INICIALES
Universidad Simón Bolívar