Ecuaciones EmpíricasObjetivos:

1.Determinar la ecuación empírica del periodo del péndulo simple

2.Desarrollar métodos gráficos y analíticos para obtener información del fenómeno en estudio

Problema científico

Solución hipotética

Datos experimentales

Análisis gráfico o estadístico

Ecuación Empírica

?y ~ x

y = kxn

y = 0,51x0.63

nn

yy

xx

En todo experimento de laboratorio, se obtiene un conjunto de valores correspondientes a dos variables, una dependiente de la otra. Esta dependencia entre variables se puede expresar matemáticamente mediante una función que toma el nombre de ecuación empírica.

Fundamento teórico

En el estudio de un fenómeno se toman datos experimentales de magnitudes físicas interrelacionadas. La relación que existe entre dos magnitudes puede ser determinada:

A)En forma gráfica (utilizando una gráfica) yB)En forma analítica (método estadístico).

ECUACIÓN EMPÍRICA

Es una ecuación obtenida a partir de un conjunto de valores experimentales de dos variables. La relación entre las dos variables se expresa mediante la función matemática:

y = f (x)

donde y es la variable dependiente x es la variable independiente.

Variable independiente (variable x)

Causa del fenómeno en estudio

Presenta menos error

Variable dependiente (variable y)

Se relaciona con el efecto

Presenta mayor error

MÉTODO GRÁFICO

¿Cómo hacer una representación gráfica?

Se representa en papel milimetrado una variable frente a la otra.

Eje yE

je d

e o

rden

adas

Variable dependiente

Eje x

Eje de abscisa Variable independiente

Ejemplo

Supongamos que queremos determinar la velocidad de un móvil:

Para ello medimos el espacio recorrido en diferente intervalos de tiempo

t(s) d(cm)

0 0

5 20

7 28

12 48

18 72

24 96

30 144

(v. indepen) (v. depen)

Hacemos un representación gráfica de las variables

t(s) d(cm)

0 0

5 20

7 28

12 48

18 72

24 96

30 144

0 5 10 15 20 25 300

20

40

60

80

100

120

140

d (c

m)

t(s)

0 5 10 15 20 25 300

20

40

60

80

100

120

140

d(cm

)

t(s)

¿Qué aspecto tiene esta gráfica?

ABXY

Método Gráfico

0 5 10 15 20 25 300

20

40

60

80

100

120

140

d (

cm

)

t(s)

tagB Y

X

X

Ytag

80)40120(Y

18)1028(X XY

tag s/cm4.4

1880

scmv /4.4

¿Cómo proceder para hacer un buen gráfico?

1. Uso de papel milimetrado2. Buena elección de escalas 3. Buen aprovechamiento del espacio disponible

en el papel milimetrado4. Trazar una línea continua que represente la

tendencia de los puntos experimentales5. Comparar la curva obtenida con las curvas

tipo

Escalas útiles

1 cm

2 cm

5 cm

Pap

el

mil

imet

rad

o

Unidad física ×10n

0 1 2 3 4 5 0 1 2

0 1

Escala 1cm = 1 N

- - – – – – – – – –

0 1 2 3 4 5 F(N)1 cm

0 1 2 3 4 5 F(N)

– – – – – –

0,6

Escala 1 : 1

Ejercicio de lectura de escala

3,95

Escala 1 : 5

cm Unidades de Magnitud Física – – – – – – – –

0 10 20 F(N)

1×10

2 cm

Escala 1 : 2

cm Unidades de Magnitud Física – – – – – – – –

0 10 F(N)

1×10

5 cm

0 1 2 3 4 5 6 7 F(N)

40-

30-

20-

10-

Gráfica L vs FL(m)×10-2

Variable independiente

Var

iab

le d

epen

die

nte

esca

las 40-

30-

20-

10-

0 1 2 3 4 5 6 7 F(N)

Escala de 1 cm = 1 N

esca

las

0 1 2 3 4 5 6 7 F(N)

Escala de 2 cm = 10 m

40-

30-

20-

10-

L (m)

esca

las

0 1 2 3 4 5 6 × 103 F(N)

Escala de 5 cm = 1 Kg

2.0-

1.0 –

0.0

m (kg)

7 –

6 –

5 –

4 –

3 –

2 –

1 –

0 –

Grafica T vs L

Per

iod

o T

(seg

un

dos

)

0 0,10 0,20 longitud : L (metros)

8 –

6 –

4 –

2 –

0 –

Grafica T vs L

Per

iod

o T

(seg

un

dos

)

0 0,10 0,20 0,30 : L (metros)

Papel milimetrado horizontal

7 –

6 –

5 –

4 –

3 –

2 –

1 –

0 –

Gráfica T vs L

0 0,10 0,20 longitud : L (metros)

Per

iod

o T

(seg

un

dos

)

√

7 –

6 –

5 –

4 –

3 –

2 –

1 –

0 –

Gráfica vs f

0 0,10 0,20 frecuencia: f (Hertz)

Lon

gitu

d d

e on

da

(met

ros)

7 –

6 –

5 –

4 –

3 –

2 –

1 –

0 –

Gráfica vs f

0 0,10 0,20 frecuencia: f (Hertz)

Lon

gitu

d d

e on

da

(met

ros)

√

1. Relación lineal y = A + Bx

y

x

y

x

Lineal general Lineal proporcionaly = A + Bx y = Bx

CURVAS TIPO

2. Relación Potencial: y = k x n

y

x

y

x

y

x

y = k x n

0 < n < 1

y = k x n

n < 0

y = k x n

n > 1

Linealización de la curva

Relación Potencial: y = kxn Curva Ejem: Parábola

ln y = ln k + n ln x

Relación lineal: Y = A + B X

Cambio de variables

ln k = A

k = eA

n = B

Linealización de la curva

Relación Potencial: y = kxn Curva Ejem: Parábola

ln y = ln k + n ln x

Relación lineal: Y = A + B X

Cambio de variables

ln k = A

k = eA

n = B

NN F(N)F(N) L(m)L(m) FLFL FF22

11 2.972.97 0.1250.125 0.3710.371 8.8218.821

22 3.783.78 0.1440.144 0.5440.544 14.28814.288

33 4.594.59 0.1520.152 0.6980.698 21.06821.068

44 5.405.40 0.1660.166 0.8960.896 29.16029.160

55 6.216.21 0.1780.178 1.1051.105 38.56438.564

66 7.037.03 0.1950.195 1.3711.371 49.42149.421

29.9829.98 0.9600.960 4.9864.986 161.322161.322

x y xy x2

Metodo Estadistico

x y xy x2

B =N(xy) – (x)(y)

N(x2) – (x)2

A =(x2)(y) – (x)(xy)

N(x2) – (x)2

A = 0.078 mB = 0.0164 m / N

¿Qué relación existe entre el periodo de un pendulo y su longitud?

L

El pendulo simple

T = k L n

ln T = ln k + n ln L

Y = A + B X

n = B

ln k = A k = e A

Tabla 1: Periodo T vs longitud L

N L(cm) t1(s) t2(s) t3(s) t4(s) t5(s) T(s)

1 20

2 25

3 30

4 40

5 50

6 60

7 70

8 80

9 90

10 100

ti

50

ti: tiempo de 10 oscilaciones

Tabla 2: ln T vs ln L

N L(cm) T(s) Ln L Ln T

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Tabla 3: Metodo estadisticoX Y XY X2 Y2

N L(cm) T(s) Ln L Ln T lnL.lnT (lnL)2 (ln T)2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0 1 2 3 4 5 6 7 F(N)

20-

15-

10-

5-

0-

F(N)F(N) L(m)L(m)

2.972.97 0.1250.125

3.783.78 0.1440.144

4.594.59 0.1520.152

5.405.40 0.1660.166

6.216.21 0.1780.178

7.037.03 0.1950.195

Gráfica L vs FL(m)×10-2

x y

0 1 2 3 4 5 6 7 F(N)

20-

15-

10-

5-

0-

F(N)F(N) L(m)L(m)

2.972.97 0.1250.125

3.783.78 0.1440.144

4.594.59 0.1520.152

5.405.40 0.1660.166

6.216.21 0.1780.178

7.037.03 0.1950.195

Gráfica L vs FL(m)×10-2

A = intercepto = 0.08 m

L = 17.5 – 9.5

F = 6 –1 = 5 N

Pendiente B = LF

B = 0.016 m/N

L = 0.08 m

L = 0.08 + 0.016F

x y

0 1 2 3 4 5 6 7 F(N)

20-

15-

10-

5-

0-

F(N)F(N) L(m)L(m)

2.972.97 0.1250.125

3.783.78 0.1440.144

4.594.59 0.1520.152

5.405.40 0.1660.166

6.216.21 0.1780.178

7.037.03 0.1950.195

Gráfica L vs FL(m)×10-2

A = intercepto = 0.08 m

L = 17.5 – 9.5

F = 6 –1 = 5 N

Pendiente B = LF

B = 0.016 m/N

L = 0.08 m

L = 0.08 + 0.016F

x y

0 1 2 3 4 5 6 7 F(N)

20-

15-

10-

5-

0-

F(N)F(N) L(m)L(m)

2.972.97 0.1250.125

3.783.78 0.1440.144

4.594.59 0.1520.152

5.405.40 0.1660.166

6.216.21 0.1780.178

7.037.03 0.1950.195

Gráfica L vs FL(m)×10-2

A = intercepto = 0.08 m

L = 17.5 – 9.5

F = 6 –1 = 5 N

Pendiente B = LF

B = 0.016 m/N

L = 0.08 m

L = 0.08 + 0.016F

x y

0 1 2 3 4 5 6 7 F(N)

20-

15-

10-

5-

0-

F(N)F(N) L(m)L(m)

2.972.97 0.1250.125

3.783.78 0.1440.144

4.594.59 0.1520.152

5.405.40 0.1660.166

6.216.21 0.1780.178

7.037.03 0.1950.195

Gráfica L vs FL(m)×10-2

A = intercepto = 0.08 m

L = 17.5 – 9.5

F = 6 –1 = 5 N

Pendiente B = LF

B = 0.016 m/N

L = 0.08 m

L = (0.08 + 0.016F)m

x y

Papel milimetrado horizontal

7 –

6 –

5 –

4 –

3 –

2 –

1 –

0 –

Grafica F vs L

0 0,10 0,20 elongación: L (metros)

fuer

za:

F(

New

ton

)

Papel milimetrado horizontal

7 –

6 –

5 –

4 –

3 –

2 –

1 –

0 –

Grafica T vs L

0 0,10 0,20 longitud : L (metros)

Per

iod

o T

(seg

un

dos

)

MÉTODO ESTADÍSTICO

x1, y1

x2, y2

xn, yn

. .

. .

Existe una relación lineal

La ecuación que mejor ajusta estos puntos es:

ABXY

¿Cómo calculamos “B” y “A”?

)X(-XN

)Y(XX-)X)(Y(=A

i22

i

iii2ii

)X(-XN

XY-)Y(XN=B

i22

i

iiii

FÓRMULAS DEL INTERCEPTO Y LA PENDIENTE

σ = y2 – Bxy – Ay

N - 2

D = Nx2 – ( x)2

B = σ ND

A = σ x2

D

Cálculo de los errores absolutos de A y B