Geometría Analítica Gráfica de una ecuación y lugares

geométricos

Dos problemas fundamentales de la Geometría Analítica

Dada una ecuación,

interpretarla geométricam

ente

Dada un figura geométrica,

determinar su ecuación

Dos problemas fundamentales de la Geometría Analítica

Geometría Analítica Plana

Gráfica de una ecuación y lugares geométricosPrimer problema

fundamental: La gráfica de una

ecuación o lugar geométrico

Intersección con los ejes

Construcción de la curva

Extensión de la curva o Campo de

Variación

AsíntotasSimetría

Cálculo de coordenadas

PASOS PARA GRAFICAR UNA ECUACION O ENCONTRAR EL LUGAR GEOMETRICO

Geometría Analítica Plana

Gráfica de una ecuación y lugares geométricosSegundo problema

fundamental: Encontrar la

ecuación de un lugar geométrico

Debemos observar cuidadosamente lo que implicaeste enunciado: expresa una condición necesaria ysuficiente para la existencia del objeto definido.

Segundo problema fundamental: Encontrar la ecuación de un

lugar geométricoPor definición de un objeto entendemos una descripción deese objeto, de tal naturaleza que sea posible identificarlo deuna manera definida entre todos los demás objetos de su clase.

Así , consideremos que estamos definiendo

una curva plana del tipo por medio de

una propiedad , que únicamente posee .

Entonces, entre todas las curvas planas,

una curva es del tipo si y solamente

C

P C

C si

posee la propiedad .P

Segundo problema fundamental: Encontrar la ecuación de un

lugar geométrico

Como un ejemplo especifico, consideremos unacurva plana muy conocida: la circunferencia.

Segundo problema fundamental: Encontrar la ecuación de un

lugar geométrico

Definimos una circunferencia como

una curva plana que posee la

propiedad única , que todos

sus puntos están a igual distancia

de un punto fijo en su plano.

P

Segundo problema fundamental: Encontrar la ecuación de un

lugar geométrico

Esto significa que toda circunferenciatiene la propiedad , y reciprocamente,toda curva plana que tenga lapropiedad es una circunferencia.

P

P

Definimos una circunferencia como una curva planaque posee la propiedad única , que todos sus puntosestán a igual distancia de un punto fijo en su plano.

P

Segundo problema fundamental: Encontrar la ecuación de un

lugar geométrico

Así, una circunferencia puede definirse comoel lugar geométrico de un punto que se mueveen un plano de tal manera que su distancia aun punto fijo de ese plano es constante.

Segundo problema fundamental: Encontrar la ecuación de un

lugar geométricoDe acuerdo con esto se define frecuentemente unacurva como el lugar geométrico descrito por unpunto que se mueve siguiendo una ley específica.

Geometría Analítica Plana

Gráfica de una ecuación y lugares geométricosEcuación de

un lugar geométrico

Ecuación de un lugar geométrico

Estudiaremos ahora el problema de ladeterminación de la ecuación de unlugar geometrico en el caso que lainterpretación analítica de la condicióno condiciones geometricas definen ellugar geométrico.

Ecuación de un lugar geométrico

El método es el indicado claramentepor las dos definiciones previassiguientes:

Definición 1: El conjunto de lospuntos, y solamente de aquellospuntos, cuyas coordenadassatisfagan una ecuación

, =0

se llama gráfica de la ecuación

o su lugar geométrico.

f x y

Definición:Una curva es el lugargeométrico de todosaquellos puntos, ysolamente de aquellospuntos, que satisfacenuna o más condicionesgeométricas dadas.

Ecuación de un lugar geométrico

Combinando estas dos definicionestenemos una nueva:

Definición:Se llama ecuación de un lugar geométrico plano a unaecuación de la forma

, 0cuyas soluciones reales para valores correspondientesde e son todas coordenadas de aquellos puntos,y solam

f x y

x y

ente de aquellos puntos, que satisfacen lacondición o condiciones geométricas dadas quedefinen el lugar geométrico.

Ecuación de un lugar geométrico

Pasos para obtener la ecuación de un lugar geométrico1. Se supone que el punto , de coordenadas ( , ), es un punto cualquiera

que satisface la condición ó condiciones dadas, y, por tanto, un punto dellugar geométrico.

2. Se expresa, analíticamente, la c

P x y

ondición o condiciones geométricas dadas,

por medio de una ecuación o ecuaciones en las coordenadas variables e .

3. Se simplifica, si hace falta,la ecuación obtenida en el paso anterior 2 de

tal mane

x y

1 1

1 1

ra que tome la forma ( , ) 0

4. Se comprueba el reciproco: Sean ( , ) las coordenadas de cualquier punto

que satisfacen ( , ) 0, de tal manera que la ecuación ( , ) 0 es

verdadera. Si de la

f x y

x y

f x y f x y

1 1

1 1

ecuación ( , ) 0 se puede deducir la expresión

analítica de la condición o condiciones geométricas dadas, cuando se aplica al

punto , , entonces , 0 es la ecuación buscada del lugar geométr

f x y

x y f x y

ico.

Ecuación de un lugar geométrico.

Ejemplo 1. La circunferencia

Encuentra la ecuación del lugar geométricode todos los puntos que están a una distancia1 del origen.

Ecuación de un lugar geométrico.

Ejemplo 1. La circunferencia

Encuentra la ecuación del lugar geométricode todos los puntos que están a una distancia1 del origen.

Ecuación de un lugar geométrico.

Ejemplo 1. La circunferencia

¿Cuál es el lugar geométrico?

Encuentra la ecuación del lugar geométrico de todoslos puntos que están a una distancia 1 del origen.

Ecuación de un lugar geométrico.

Ejemplo 1. La circunferencia

-1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

y

Ecuación de un lugar geométrico.

Ejemplo 1. La circunferencia

2 2

2 2

La distancia del punto , genericoal origen es

Esa distancia siempre es igual a 1.Por lo tanto, la ecuación es

1x

P x

y

y

d x y

Pasos para obtener la ecuación de un lugar

geométrico

3. Se simplifica, si hace falta,

la ecuación obtenida en el paso

anterior 2 de tal manera que

tome la forma

( , ) 0f x y

Ecuación de un lugar geométrico.

Ejemplo 1. La circunferencia

2 2 1x y

2 2

Se simplifica la ecua

1

ción,

0x y

Pasos para obtener la ecuación de un lugar

geométrico1 1

1 1

1 1

4. Se comprueba el reciproco:Sean ( , ) las coordenadas de cualquier punto que satisfacen ( , ) 0, de tal manera que la ecuación ( , ) 0 esverdadera.Si de la ecuación ( , ) 0 se puede

x yf x y f x y

f x y

1 1

deducir la expresiónanalítica de la condición o condiciones geométricas dadas,cuando se aplica al punto , , entonces , 0 es laecuación buscada del lugar geométrico.

x y f x y

Ecuación de un lugar geométrico.

Ejemplo 1. La circunferencia

1 1 1

2 21 1

2 21 1

2 2

1 1 1

1 1

Sea , un punto que satisface la ecuación;

es decir, 1 0 es verdadera.Entonces

1

1

que es la condición geo

, , 1

métrica.

P x

d

y

x y

x y

x y

P x y O

Ecuación de un lugar

geométrico.Ejemplo 2

14. Un punto se mueve de tal manera que su distancia al punto

2,4 es siempre igual a su distancia al eje aumentada en 3.

Encuentra la ecuación del lugar geométrico.

A Y

2 2

Ahora

, , 2,4 , , 3

es

2 4 3

d P x y A d P x y Y

x y x

Ecuación de un lugar geométrico. Ejemplo 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

Elevando al cuadrado:

2 4 3

Desarrollando los cuadrados:

4 4 8 16 6 9

Pasando todo al primer miembro:

4 4 8 16 6 9 0

x y x

x x y y x x

x x y y x x

2 22 4 3x y x

Ecuación de un lugar geométrico. Ejemplo 2

2 2 24 4 8 16 6 9 0x x y y x x

2

2

2 2

Reduciendo términos semejantes:

8 0

8 10 11 0

4 4 16 96x y y

y y x

x x x

Ecuación de un lugar geométrico. Ejemplo 2

2 8 10 11 0y y x

14. Un punto se mueve de tal manera que su distancia al punto

2,4 es siempre igual a su distancia al eje aumentada en 3.

Encuentra la ecuación del lugar geométrico.

A Y

2

La ecuación del lugar geométrico es:

8 10 11 0y y x

Ecuación de un lugar geométrico. Ejemplo 2