Post on 27-Feb-2018
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Sergio Yansen Nez
Ecuaciones Diferenciales Parciales
Actividad N1
Sea +IRM . Resuelva el siguiente problema
+===
++=
M
xxxuMtMutu
tMxttuu
xx
xxt
22cos)0,(,2),(,0),0(
.0,0,)cos(32
mediante la sustitucin tttsentxutxv +=2)(),(),(
Solucin:
Sea tttsenuv += 2)(
12)`cos(12)cos( ++=+= ttvuttuv tttt (1)
xxxx uv = (2)
Reemplazando (1) y (2) en )cos(32 ttuu xxt ++= se obtiene:
( ) )cos(3212cos ttvttv xxt ++=++
2+= xxt vv
condiciones:
( ) ( ) 0,0,0 == tutv xx
( ) ( ) MtMutMv xx 2,, ==
( ) ( )
+==
M
xxxuxv
22cos0,0,
Se resolver el problema:
2+= xxt vv (3)
( ) 0,0 =tvx , ( ) MtMvx 2, = (4)
( )
+=
M
xxxv
22cos0,
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Ecuaciones Diferenciales Parciales
Sea ( ) ( ) ph vtxvtxv += ,, , donde ( )xfvp = es una solucin particular que satisface (3) y
(4)
Por tanto,
( ) 2" =xf ( )21
2 cxcxxf ++=
( ) 00' =f 01 =c
( ) MMf 2' = T M 22 = , por lo tanto, IRc 2 . Consideremos02 =c
Luego, 2xup =
Ahora consideraremos el problema:
xxt vv =
( ) ( ) 0,,0 == tMvtv xx
Sea ( ) ( ) ( )tTxXtxv =, , reemplazando en xxt vv = y agrupando trminos se obtiene:
==X
X
T
T "'
0" = XX
( ) 0')0(' == MXX
Luego,
2
=
M
kk
, 0INk , ( )
= x
M
kxX kk
cos
kT
T=
' ( )
tMk
etT kk
2
=
, 0INk
Por superposicin:
( )
=
=
0
2
cos,k
kh
t
M
k
exMkCtxu
( )
=
+=
0
2
2
cos,k
k
tMk
exM
kCxtxu
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Ecuaciones Diferenciales Parciales
condicin:
+=
M
xxxu 22
cos)0,(
Luego,
=
+=
+
0
222coscos
k
k xM
kCx
M
xx
=
=
0
2coscos
k
k xM
kC
M
x
=
=
+
0
cos2
2cos1
k
k xM
kC
M
x
Luego,
2
10 =C ,
2
12 =C , { }20 = INkCk
( )t
Mex
Mxtxu
222
cos2
1
2
1, 2
++=
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Ecuaciones Diferenciales Parciales
Actividad N2
Determine la temperatura del estado estacionario de una placa que tiene la forma de un
sector circular de radio unitario y ngulo polar2
como indica la figura, si las
temperaturas de los lados se mantienen a 10 y 20. La temperatura del arco circular
depende del ngulo de acuerdo a la funcin .1020)6()( ++=
senf
Solucin:
011
2 =++ u
r
u
r
u rrr
2
0,10
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Reemplazando ( ) ( ) ( ) = rRruh , en 011
2 =++ ur
ur
u rrr se obtiene:
0"1
'1
"2
=++ Rr
Rr
R
=++
RRrRRr
1/0"'"2
0"'"2
=
++
R
Rr
R
Rr
=
=+
"'"2
R
Rr
R
Rr
Considerando 0" =+
( ) 02
0 =
=
Se obtiene:
( ) ( ) nsennn 2= con24nn = , INn
Considerando nR
Rr
R
Rr =+
'"2 se tiene:
0'"2 =+ RrRRr n (ecuacin de Euler homognea de segundo orden)
04'" 22 =+ RnrRRr
Ecuacin indicial:
222 404)1.( nn ==+
nn 22 ==
La solucin general de 04'" 22 =+ RnrRRr es
( ) nrbnrarR nnn22
+
=
Para una solucin acotada, se debe cumplir la condicin ( ) 0,lim0
=
rur
. Por tanto,
0=na para todo INn .
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Luego, ( ) nrbrR nn2
=
Por superposicin:
( ) ( ) nsennrBrun
nh 22,
1
=
=
( ) ( )
nsennrBru
nn 2
22010,1
=
++=
Condicin: 1020
)6(),1( ++=
senu
( )
nsenBsen
nn 2
201010
20)6(
1
=
++=++
( ) nsenBsenn
n 2)6(1
=
=
Se tiene que 13 =B , { }30 = INnBn
Luego, ( )
6
2010),( 6senrru ++=
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Ecuaciones Diferenciales Parciales
La solucin general de 036'" 22 =+ RnrRRr es
( ) nrbnrarR nnn66
+=
Para una solucin acotada, se debe cumplir la condicin ( ) 0,lim =
rur
. Por tanto,
0=na para todo INn .
Luego, ( ) nrbrR nn6
=
Se tiene que ( ) ( ) ( ) nnn rRru =, es solucin. Por superposicin:
( ) ( ) nsennrBrun
n 66,
1
=
=
Considerando la condicin: ( ) ( ) 6,1 =u se tiene:
( ) ( ) nsenBn
n 661
=
=
Luego, ( ) ( ) dnsenfLn
B L 62
0= donde ( ) ( )
6,6
== fL
( ) ( ) ( )
= =
n
ndnsennB 1133
266
12 60
Por tanto, una solucin acotada es
( ) ( ) ( )
nsennrn
nru
n
66113
1
3
2,
1
=
=
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Actividad N4
Resuelva el problema:
011
2 =++ ur
ur
u rrr , 21
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Ecuaciones Diferenciales Parciales
016'" 22 =+ RnrRRr
Ecuacin indicial: nnnn 4416016)1.( 222 ====+
La solucin general de 036'"
22=+
RnrRRr es
( ) nrbnrarR nnn44
+=
Se tiene que ( ) ( ) ( ) nnn rRru =, es solucin. Por superposicin:
( ) ( ) ( )
=
+=
1
444,n
nn nsennrBnrAru
Considerando la condicin: ( )
=
4
,1u se tiene:
( ) ( )
=
+=
1
44 n
nn nsenBA
Luego, ( ) ( ) dnsenfL
BA Lnn 42
0=+ donde ( )
==
4,
4fL
( ) ( )
= =+
n
n
dnsenBA nn 1134
14
4
8 40
Considerando la otra condicin: ( ) ( ) ( ) 2cos44,2 2senu = se tiene:
( ) ( ) ( ) ( )
=
+=
1
44
24
22cos442
nnn nsen
nB
nAsen
Adems se tiene que:
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 8424cos1422cos44 2 sensensensen +=+=
Por tanto,
18282,24242 2211 =
+=
+ BABA
y 04242 =
+ nBnA nn para todo INnn ,3
Luego
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( )( )
( )182452
1822
1621,1
=
=
BA
8282
1
8282
12,2
== BA
( ) ( ) 382121
31822
1,
nnB
nnA nn
== , para todo nn ,3 impar
0== nn BA , para todo nn ,4 par
Por tanto,
( )( )
( ) ( )[ ] ( )
[ ] ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )( )( )
124
1 31211282
1241282124
2
1
8888282
1
4446241621822
1,
+
= +
+
++
+
+
=
ksenk kk
krkkr
senrr
senrrru
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Ecuaciones Diferenciales Parciales
Actividad N5
Resuelva el problema P:
4 ( ) 15 (8 )t xxu u sen x sen x = + + ; 0 1 , 0x t< < >
0),0( =tu ; 0>t
( )1, 0u t = ; 0>t
( ,0) 0u x = ; 0 1x< <
Solucin:
Consideremos ( ) ( ) ( )xptxwtxu += ,,
( )xp satisface ( ) ( ) ( )xsenxsenxp 8154"0 ++= y ( ) ( ) 010 == pp
( ) ( ) ( )xsenxsenxp 8154" =
( ) ( ) ( ) 18cos8
15cos
4' Axxxp ++=
( ) ( )( )
( ) 2122 88
154AxAxsenxsenxp +++=
( ) 00 2 == Ap
( ) 01 1 ==Ap
Luego, ( ) ( )( )
( )xsenxsenxp
88
15422
+=
Se desea determinar ( )txw , solucin del problema
xxt ww =
( ) 0,0 =tw ( ) 0,1 =tw
Sea ( ) ( ) ( )tTxXtxw =,
==X
X
T
T "'
( ) ( ) 010
0"
==
=
XX
XX
( ) ( )xksencxX kk = ,22 kk = con INk
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Ecuaciones Diferenciales Parciales
( ) tketTkT
T
T
Tkkk
2222'' ===
Por superposicin:
( ) ( ) ( )
=
=
1
,k
kk tTxXtxw
( ) ( )
=
=
1
22,
k
k
tkexksenatxw
( ) ( ) ( )xptxwtxu += ,,
( ) ( ) ( )( )
( )xsenxsenexksenatxuk
k
tk
88
154,
221
22++=
=
( ) = 00,xu ( ) ( )( )
( )xsenxsenxksenak
k
88
1540
221
++=
=
( )( )
( ) ( )
=
=
122
88
154
k
k xksenaxsenxsen
Luego,
21
4
=a , ( )28
8
15
=a
Finalmente
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )
( )xsenxsenexsenexsentxu tt
88
1548
8
154,
2222
282
++=
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Ecuaciones Diferenciales Parciales
Actividad N6
Determine l1a solucin en estado estacionario del problema:
2 ( )t xxu u u T = ; 0 x L< < , 0>t
0(0, )u t T= ; 0>t
1( , )u L t T = ; 0>t
( ,0) 0u x = ; 0 x L< <
Solucin:
Sea ( ) ( )txuxvt
,lim
=
Dado que 0lim = tt u se tiene que:
( ) 0" 2 = Tvv
Consideramos Tvw =
( ) xx eAeAxwww +== 212 0"
( ) TeAeAxv xx ++= 21
( ) 0210 TTAAv =++=
( ) 121 TTeAeALv LL
=++=
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Ecuaciones Diferenciales Parciales
Del sistema
TTAA =+021
TTeAeA LL
=+
121
se obtiene:
( )( )LL
L
ee
eTTTA
=
01
1
( )( )LL
L
ee
TeTTTTA
+=
10
02
Finalmente
( ) ( )( ) ( )( )
Teee
TeTTTTe
ee
eTTTxv
xLL
Lx
LL
L
+
++
=
10
0
01
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Ecuaciones Diferenciales Parciales
Actividad N7
Las vibraciones transversales en estado estacionario de una placa con forma de sector
circular de radio 1, cuya frontera adopta la forma grfica de la ecuacin 2010 += u ,estn determinadas por el problema en coordenadas polares:
011
2 =++ u
ru
ru rrr
20,10
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Ecuaciones Diferenciales Parciales
0"1
'1
"2
=++ Rr
Rr
R
=++
RRrRRr
1/0"'"2
0"'"2
=
++
R
Rr
R
Rr
=
=+
"'"2
R
Rr
R
Rr
Considerando 0" =+
( ) 0
2
'0 =
=
Se obtiene:
( ) ( )( ) 12 = nsenCnn con ( )2
12 = nn , INn
Considerando nR
Rr
R
Rr =+
'"2 se tiene:
0'"2 =+ RrRRr n (ecuacin de Euler homognea de segundo orden)
( ) 012'" 22 =+ RnrRRr
Ecuacin indicial:
( ) ( )222 12012)1.( ==+ nn
( )1212 == nn
La solucin general de ( ) 012'" 22 =+ RnrRRr es
( ) ( ) 1212 +
= nrbnrarR nnn
Para una solucin acotada, se debe cumplir la condicin ( ) 0,lim0
=
rur
. Por tanto,
0=na para todo INn .
Luego, ( ) 12 = nrbrR nn
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Ecuaciones Diferenciales Parciales
Por superposicin:
( ) ( )( ) 1212,1
=
=
nsennrBrun
nh
( ) ( )( ) 12122010,1
++=
=nsennrBru
nn
( )( ) 1212201020102010),1(1
++=++=
=
nsennrBun
n
( )( )121201
=
=
nsennrBn
n
Se tiene que INnBn = 0
Luego, 2010),( +=
ru