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Reservados todos los derechos. Este documento ha sido extraído del CD Rom “Anales de Economía Aplicada. XIV Reunión ASEPELT-España. Oviedo, 22 y 23 de Junio de 2000”. ISBN: 84-699-2357-9
EFECTO DE UN CAMBIO EN LA FUNCIÓN DE TENDENCIA SOBRE EL CONTRASTE KPSS
María José Presno Casquero -mpresno@econo.uniovi.es
Carmen Ramos Carvajal – cramos@econo.uniovi.es Universidad de Oviedo
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EFECTO DE UN CAMBIO EN LA FUNCIÓN DE TENDENCIA SOBRE EL CONTRASTE KPSS
Autores: María José Presno Casquero Carmen Ramos Carvajal Dpto de Economía Aplicada Universidad de Oviedo
En la literatura de contrastes de raíz unitaria ha sido ampliamente discutida la
importancia de una correcta especificación de la tendencia determinista. Los trabajos de
Rappoport y Reichlin (1989) y Perron (1989) ampliarían este aspecto a la necesidad de
incluir las posibles rupturas sufridas por la serie. Sin embargo, pocos estudios se han centrado
en el efecto de estos cambios sobre los contrastes de estacionariedad.
En este trabajo nos proponemos analizar, mediante procedimientos de Monte Carlo, las
consecuencias sobre el test desarrollado por Kwiatkowski y otros (1992) de la presencia de
rupturas estructurales que afectan a la función de tendencia, constando la inadecuación de la
aplicación del contraste en procesos con estas características.
Palabras clave: rupturas estructurales, contraste KPSS, tamaño y potencia del test.
Area Temática G3: Métodos Cuantitativos; Métodos Econométricos.
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I. INTRODUCCIÓN
Los últimos años han sido testigos de un gran desarrollo de distintas técnicas que
posibilitan el análisis de la existencia de raíces unitarias en las series económicas. Un hito en
este sentido lo constituye el trabajo de Dickey y Fuller (1979), quienes derivan un test (DF)
que especifica como hipótesis nula la existencia de una raíz unitaria. Posteriores estudios
ampliarían este contraste a situaciones en las que las perturbaciones presentan
autocorrelación, al análisis de un orden de integración superior, al estudio de la existencia de
raíces unitarias en las frecuencias estacionales o a la exploración de la integrabilidad de series
que sufren rupturas estructurales en su evolución.
Este último aspecto fue analizado por Rappoport y Reichlin (1989) y Perron (1989,
1990), quienes demuestran que cuando la serie es estacionaria en torno a un nivel o a una
tendencia determinista, la presencia de una ruptura estructural en el proceso generador de
datos hace que el estimador del parámetro autorregresivo se aproxime a la unidad. Los
estudios que posteriormente llevaron a cabo Montañés (1997) y Montañés y Reyes (1998)
permitieron demostrar que, en términos generales, los estadísticos Dickey-Fuller no están
asintóticamente sesgados a favor de la hipótesis nula, resultando posible el rechazo para
determinadas combinaciones de tamaño muestral, magnitud y posición relativa de la ruptura en
la muestra; no obstante, constatan mediante procedimientos de Monte Carlo que la conclusión
de Perron (1989, 1990) es válida para los tamaños muestrales habituales.
El comportamiento anómalo de los contrastes de raíz unitaria cuando las series
analizadas presentan cambios motivó el desarrollo de tests que incorporan estas rupturas,
tanto de modo exógeno (Perron (1989, 1990)) como introduciendo mecanismos que permiten
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la determinación endógena del punto de cambio (Zivot y Andrews (1992), Perron y
Vogelsang (1992), Banerjee y otros (1992) cuando la serie sufre un único cambio, o
Lumsdaine y Papell (1997) y Clemente y otros (1997), quienes analizan la posibilidad de dos
rupturas).
Una crítica que han recibido los contrastes de integrabilidad es que adoptan como
hipótesis nula la existencia de raíz unitaria en la serie objeto de estudio, supuesto que -
siguiendo la metodología de los contrastes clásicos- no se rechaza a menos que exista una
fuerte evidencia en contra. Como consecuencia, la aplicación empírica de estos contrastes
conduce a menudo a la conclusión de que las series económicas son integradas.
La escasa potencia y las distorsiones en tamaño que afectan a algunos contrastes de
raíces unitarias, unida a la conveniencia de analizar la hipótesis de cointegración (en lugar del
supuesto de no cointegración que conllevan los contrastes de raíz unitaria) y a la necesidad de
llegar a conclusiones fiables sobre la naturaleza de las series económicas, motivó el desarrollo
de contrastes cuya hipótesis de partida es la estacionariedad. Algunas aportaciones en este
sentido aparecen en los trabajos de Kwiatkowski y otros (1992) (KPSS en adelante),
Leybourne y McCabe (1994) o Choi (1994), autores que defienden también la aplicación
combinada de ambos tipos de contrastes.
Sin embargo, estos tests tampoco están exentos de problemas cuando la serie objeto
de estudio sufre rupturas en su evolución. En concreto, Lee y otros (1997) estudian el
comportamiento asintótico del test KPSS cuando el proceso generador de datos (PGD) está
sujeto a un cambio estructural, demostrando que bajo la hipótesis nula de estacionariedad, el
test diverge y tiende a rechazar esta hipótesis. Asimismo, bajo la hipótesis alternativa de raíz
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unitaria, la distribución asintótica del test no se ve afectada. En Presno y López (1998) se
analiza el comportamiento en muestras finitas del test diseñado para el estudio de la hipótesis
de estacionariedad en torno a un nivel constante; en este trabajo nos proponemos efectuar la
extensión de este análisis a series que presentan tendencia determinista, investigando mediante
procedimientos de Monte Carlo el efecto sobre el tamaño y la potencia de cambios en el
término independiente de la función de tendencia, en la tasa de crecimiento y en ambos.
II. EL CONTRASTE KPSS
Kwiatkowski y otros (1992) consideran una representación de componentes
inobservados en la que asumen que la serie se especifica como la suma de una tendencia
determinista, un paseo aleatorio y un componente estacionario1:
t1tt
ttt
u
ty
+µ=µε+β+µ=
−
(1)
donde ε t son iidN(0, σ2ε), ut iidN(0, σ2
u), y µ0 es fijo y desconocido, jugando el papel de
constante. Sobre este modelo se contrasta:
0:H
0:H2u0
2u0
>σ
=σ
de modo que bajo la hipótesis nula el proceso es estacionario en torno a una tendencia
constante, mientras que bajo la alternativa presenta una raíz unitaria.
1Esta expresión se puede derivar como un caso especial del modelo de espacio de los estados estudiado por Nabeya y Tanaka (1988) para el contraste de la hipótesis de constancia en los coeficientes de regresión frente a la alternativa de paseo aleatorio. En este trabajo nos centraremos exclusivamente en la propuesta que incorpora tendencia en la especificación del test. No obstante, Kwiatkowski y otros (1992) también abordan el análisis para series que no presentan tendencia determinista.
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El estadístico de contraste es el de los Multiplicadores de Lagrange (ML), que coincide
con el test Invariante Localmente de Máxima Potencia2, y que Kwiatkowski y otros (1992)
derivan como un caso especial del estadístico analizado por Nabeya y Tanaka (1988):
2T
1t
2t ˆSML ε
=
σ= ∑
donde ∑=
=t
1iit eS t=1, 2, …, T, siendo et los residuos de la regresión de yt sobre constante y
tendencia lineal; 2ˆ εσ es el estimador de la varianza del error de esta regresión.
No obstante, hemos de tener presente que el supuesto de que los errores ε t son iidN(0,
2εσ ) resulta demasiado restrictivo, por lo que se relaja permitiendo dependencia en el tiempo y
asumiendo que los errores satisfacen las condiciones de regularidad de Phillips y Perron
(1988) o de Phillips y Solo (1989) que permiten considerar procesos ARMA. Así se deriva el
estadístico de contraste:
∑−µ =η )(sSTˆ 22
t2 l (2)
donde s2(l) es un estimador consistente de σ2:
( )2
T1
T
2 SETlim −
∞→=σ
En concreto, Kwiatkowski y otros (1992) sugieren:
∑ ∑ ∑= = +=
−−− ω+=
T
1t 1s
T
1ststt
12t
12 ee),s(T2eT)(sl
ll
donde ω(s,l) es la ventana de Bartlett con una amplitud3 l:
2 El test es invariante ante transformaciones del tipo y→yα+µ+ct, µ0→αµ0+b, β→αβ+c, 222
εε σα→σ ,
con 0<α∈R1, b∈R1 y c∈R1. 3 La selección del núcleo y de l son los factores que ejercen influencia sobre la varianza a largo plazo, por lo que diversos trabajos, entre los que podemos citar a Kim y Schmidt (1990), Lee (1996) y Hobijn y otros (1998), han analizado el efecto de estos aspectos, discutiendo la conveniencia de otras elecciones.
7
1s
1),s(+
−=ωl
l
Otra alternativa de similares características para el contraste de estacionariedad es la
propuesta por Leybourne y McCabe (1994), que difiere de la anterior en el tratamiento de la
autocorrelación. Frente a la corrección no paramétrica de KPSS, Leybourne y McCabe
realizan una corrección paramétrica similar a la del test ADF. No obstante, en este trabajo nos
centraremos en el test KPSS, si bien muchos de los resultados son extensibles a este test.
III. COMPORTAMIENTO DEL TEST KPSS ANTE CAMBIOS EN NIVEL Y EN
TENDENCIA: UN ESTUDIO DE MONTE CARLO PARA MUESTRAS FINITAS
El objetivo central de este trabajo es analizar el efecto sobre el test KPSS de cambios
estructurales que afectan al nivel y/o a la tasa de crecimiento de la serie. Como ya
comentamos en la introducción, Lee y otros (1997) estudian el comportamiento asintótico del
test en este escenario, constatando su divergencia, y que bajo la hipótesis alternativa no se ve
afectado. Sin embargo, nuestro análisis se centrará en el estudio del funcionamiento del
contraste en muestras finitas, examinando el efecto de factores como el sentido, la magnitud y
ubicación del cambio, o el tamaño muestral. Para ello generamos series bajo el siguiente PGD:
t1tt
ttttt
u
DTtDUy
+µ=µε+δ+β+γ+µ=
−
(3)
donde DUt=0 si t≤Tb, y 1 en caso contrario; DTt=0 si t≤Tb, y t-Tb en el resto; Tb indica el
momento en el que se produce la ruptura, mientras que γ y δ recogen la magnitud de la misma
en el nivel y en la tendencia respectivamente.
8
En nuestros experimentos generamos series en las que la ruptura se produce en distintas
posiciones relativas dentro de la muestra, que denotamos por λ (λ=Tb/T), en concreto λ=0.1,
0.3, 0.5, 0.7 y 0.9, considerando diversos tamaños muestrales: T=100 y 500, y con γ=0, ±1,
±3 y δ=0, ±0.2, ±0.5, ±1, ±2. Para cada uno de los experimentos realizamos 5000
repeticiones, y consideramos que β=1 y que ε t ∼iidN(0, 2εσ ), ( 2
εσ =1), con lo que l=0. Sobre
estas series analizamos el efecto sobre el tamaño y la potencia -esto es, tanto bajo la hipótesis
nula de estacionariedad como bajo la alternativa de existencia de raíz unitaria- de cada una de
estas combinaciones de factores.
III.1.TAMAÑO DEL TEST
Nuestro estudio comienza con la generación de series bajo el PGD (3) con 02u =σ y
100 observaciones, sobre las que aplicamos el test KPSS. El tamaño empírico del estadístico
para un nivel del 5% se recoge en la tabla A.I del anexo, mientras que algunas medidas
relevantes que pueden ayudar a la explicación de estos resultados, aparecen en la tabla A.II.
El efecto diferencial del tamaño muestral se puede explorar a partir de la tabla A.III, que
incluye estas mismas medidas para muestras con 500 observaciones y un abanico más
restringido de magnitudes de rupturas.
La observación de estas tablas nos permite concluir que, en general, se producen
importantes distorsiones en el tamaño del test que se acentúan con el incremento del tamaño
muestral hasta el punto de que en los casos analizados, para muestras con 500 observaciones,
el porcentaje de rechazos alcanza invariablemente el 100%; este hecho viene a confirmar la
divergencia del estadístico demostrada por Lee y otros (1997). No obstante, la visión de las
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tablas también nos permite definir un comportamiento diferenciado en función de la forma de
actuación de la ruptura sobre los distintos componentes de la serie, esto es, dependiendo de
que los cambios afecten al término independiente de la función de tendencia, a su pendiente, o
a ambos elementos, esto es, los modelos definidos por Perron (1989) como A, B y C
respectivamente.
Cambio en el término independiente
En los casos en los que la ruptura afecta exclusivamente a los niveles de la serie, la
observación de las tablas nos permite detectar la existencia de importantes distorsiones en el
tamaño del test. El análisis de estas tablas también nos revela otros aspectos interesantes:
∗ Las distorsiones en tamaño parecen mostrarse independientes del sentido del cambio,
mientras que guardan una relación directa con la magnitud de ruptura.
∗ Las medidas de las tablas A.II y A.III nos revelan la existencia de un comportamiento
simétrico del estadístico en torno a λ=0.5, mostrándonos una mayor gravedad en las
conclusiones erróneas que se desprenden del test a medida que la ruptura se aleja del
centro y de los extremos de la muestra.
Cambio en la tasa de crecimiento
El análisis de series afectadas por cambios en su pendiente nos revela la existencia de
distorsiones que, para las magnitudes de cambio consideradas, llevan a rechazos que alcanzan
en general el 100%, y a concluir por lo tanto que la serie presenta una raíz unitaria.
Un estudio con mayor profundidad de las tablas nos permite descubrir algunos rasgos
coincidentes y otros diferenciales con respecto al caso de estudio anterior:
10
∗ Entre los primeros podemos destacar que se mantiene la relación directa con la
magnitud de ruptura y la independencia con respecto al sentido de la misma.
∗ Sin embargo, y a diferencia del caso en que la ruptura afecta exclusivamente a los
niveles medios de la serie, los resultados revelan unos mayores valores del estadístico a
medida que el cambio se aproxima al centro de la muestra. También en relación con la
influencia de la posición del cambio, podemos afirmar que para valores de λ simétricos
respecto a λ=0.5, las mayores distorsiones surgen cuando la ruptura se produce en la
segunda mitad de la muestra.
Cambio mixto
En este último caso de estudio el estadístico muestra una dinámica en cierto modo
diferencial a la observada en las situaciones anteriores4:
∗ El comportamiento coincide cuando las rupturas que afectan al término independiente y
a la tasa de crecimiento son del mismo signo, al igual que sucede cuando ambas se
mueven en sentidos contrarios. En el primero de los casos las distorsiones son menores
cuando la ruptura se aproxima al extremo inferior de la muestra, mientras que en el
segundo sucede lo contrario.
∗ Cuando la serie contiene 100 observaciones, para alguna combinación de rupturas
localizadas en puntos extremos de la muestra, al aumentar la magnitud de los cambios
disminuyen las distorsiones en tamaño, alcanzando en algunos casos valores muy
próximos al nivel nominal. Esto coincide con lo observado por Montañés y Reyes
(1998) para el test ADF, quienes concluyen que para ciertas combinaciones es posible
el rechazo si la ruptura está próxima al inicio de la muestra.
11
Un último aspecto que podemos comentar es que el comportamiento referido a la
dependencia con respecto a la posición relativa de la ruptura en la muestra y la magnitud y
sentido de la misma, se mantiene para series con un número superior de observaciones, tal y
como nos revelan las medidas contenidas en la tabla A.III, donde aparecen los resultados
para muestras con 500 datos; no obstante, para este tamaño muestral el porcentaje de
rechazos se eleva al 100% como consecuencia de la divergencia del test.
III.2.POTENCIA DEL TEST
En lo que se refiere al comportamiento del test bajo la hipótesis alternativa, Lee y otros
(1997) demuestran que la distribución asintótica no se ve afectada por la existencia de
rupturas. En este trabajo, sin embargo, abordaremos este aspecto analizando muestras de
tamaño finito mediante procedimientos de Monte Carlo. Para tal fin generamos series bajo el
PGD (3) considerando los valores del cociente señal-ruido, 2
2uqεσ
σ= , analizados por
Kwiatkowski y otros (1992). Los resultados para muestras de tamaño 100 se recogen en la
tabla A.IV.
Se puede observar que para valores muy reducidos de q, como era de esperar, el
porcentaje de rechazos es muy similar al observado en el tamaño del test, y en todos los
casos superior al obtenido por Kwiatkowski y otros (1992) para series sin rupturas. También
resultaba previsible la relación directa entre la potencia y el valor de q y el tamaño muestral,
hecho este último comprobado tras el estudio de muestras con 500 observaciones.
4 Montañés y Reyes (1998) demuestran que el estadístico Dickey-Fuller no coincide en los modelos B y C.
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IV. CONCLUSIONES
A lo largo de este trabajo hemos analizado, mediante procedimientos de Monte Carlo,
las consecuencias de la aplicación del contraste KPSS a series afectadas por rupturas que
inciden sobre el término independiente de la función de tendencia, la tasa de crecimiento de la
serie, o ambos. Nuestros experimentos contemplaron aspectos como la influencia de la
magnitud y sentido de la ruptura o la ubicación de la misma en series con diferente tamaño
muestral. La conclusión final que podemos extraer del estudio es que, en general, se aprecian
importantes distorsiones en el tamaño del test que conducen a pensar que la serie presenta
una raíz unitaria. Sin embargo, este aspecto está sujeto a matizaciones, puesto que para
rupturas de tipo mixto pudimos observar que, para algunas combinaciones de cambios
ocurridos en muestras de tamaño 100 y en puntos extremos, es posible el correcto rechazo de
la hipótesis nula. No obstante, y como resultado de la divergencia del test, este
comportamiento no se mantiene en series con un número elevado de observaciones, como
500.
De todo esto se desprende la necesidad, al igual que en el test ADF, de incorporar las
rupturas en la especificación del contraste KPSS. Una posibilidad, ya explorada en otros
trabajos, es incorporar variables ficticias para recoger el efecto de los cambios, bien
considerando las rupturas de modo exógeno como Perron (1989), o incorporando
mecanismos que permitan la determinación endógena del punto de cambio (Banerjee y otros
(1992), Zivot y Andrews (1992)).
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ANEXOS
γγ // δδ λλ =0.1 λλ =0.3 λλ =0.5 λλ =0.7 λλ =0.9 1/0 -1/0
34.7 35.3
55.4 56.5
24.8 24.5
56.2 56.1
35.1 34.9
3/0 -3/0
99.96 100
100 100
99.62 99.60
100 100
99.96 100
0/0.2 0/-0.2
32.36 33
100 100
100 100
100 100
46.40 45.1
0/0.5 0/-0.5
98.94 100
100 100
100 100
100 100
99.98 100
0/1 0/-1
100 100
100 100
100 100
100 100
100 100
0/2 0/-2
100 100
100 100
100 100
100 100
100 100
3/0.2 -3/0.2 3/-0.2 -3/-0.2
89.50 100 100 90.1
100 100 100 100
100 100 100 100
100 100 100 100
100 85.2 83.14 100
3/0.5 -3/0.5 3/-0.5 -3/-0.5
10.90 100 100 11.3
100 100 100 100
100 100 100 100
100 100 100 100
100 4.6 4.1 100
3/1 -3/1 3/-1 -3/-1
84.60 100 100 83.1
100 100 100 100
100 100 100 100
100 100 100 100
100 99.9 100 100
3/2 -3/2 3/-2 -3/-2
100 100 100 100
100 100 100 100
100 100 100 100
100 100 100 100
100 100 100 100
Tabla A.I: Tamaño del test KPSS (PGD (3), 02
u =σ , T=100, α=0.05)
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Media Desviación típica Mínimo Máximo Asimetría Curtosis 5 γγ // δδ λλ 0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 0.1 0.3 0.5 0.7 0.9
1/0 -1/0
0.13 0.13
0.18 0.18
0.11 0.12
0.18 0.18
0.13 0.13
0.07 0.08
0.11 0.10
0.06 0.06
0.10 0.10
0.08 0.08
0.02 0.02
0.01 0.02
0.02 0.02
0.02 0.02
0.02 0.01
0.46 0.62
0.72 0.55
0.40 0.33
0.65 0.54
0.49 0.72
1.37 1.45
1.19 0.86
1.04 0.89
1.06 0.92
1.42 1.51
5.30 6.58
4.90 3.54
4.54 3.63
4.29 3.73
5.20 6.24
3/0 -3/0
0.45 0.45
0.70 0.72
0.35 0.35
0.71 0.71
0.45 0.45
0.12 0.13
0.15 0.15
0.08 0.07
0.15 0.15
0.12 0.12
0.14 0.19
0.23 0.26
0.09 0.09
0.25 0.31
0.13 0.18
0.99 0.83
1.37 1.13
0.63 0.62
1.32 1.15
1 0.90
0.35 0.40
0.10 -0.08
0.15 0.14
0.19 0.18
0.42 0.39
3.04 3.03
2.88 3
2.97 3
2.94 2.90
3.22 3.30
0/0.2 0/-0.2
0.13 0.13
1.17 1.17
1.72 1.71
1.22 1.21
0.15 0.16
0.07 0.07
0.14 0.14
0.11 0.11
0.14 0.14
0.08 0.08
0.02 0.02
0.70 0.69
1.27 1.37
0.75 0.89
0.02 0.03
0.50 0.64
1.61 1.61
2.10 2.07
1.661.62
0.66 0.52
1.20 1.40
-0.05 -0.05
-0.22 -0.07
-0.06 0.05
1.15 1.26
4.74 6.18
2.96 2.87
3.10 2.99
2.93 2.66
4.92 5.23
0/0.5 0/-0.5
0.34 0.34
1.85 1.85
2.33 2.33
1.89 1.90
0.43 0.42
0.10 0.11
0.06 0.05
0.03 0.03
0.05 0.05
0.11 0.10
0.07 0.15
1.65 1.67
2.21 2.21
1.70 1.74
0.11 0.17
0.800.70
2.05 2.01
2.42 2.41
2.10 2.03
0.87 0.72
0.50 0.67
-0.09 -0.01
-0.32 -0.24
-0.07 -0.11
0.40 0.38
3.21 3.48
3 3.09
3.32 3.26
2.97 2.88
3.11 3.10
0/1 0/-1
0.61 0.61
2.02 2.02
2.46 2.46
2.06 2.06
0.71 0.71
0.09 0.09
0.03 0.03
0.01 0.01
0.02 0.02
0.08 0.09
0.32 0.41
1.90 1.95
2.41 2.42
1.97 1.98
0.44 0.44
0.96 0.94
2.10 2.09
2.49 2.48
2.14 2.12
1.06 1.01
0.24 0.40
-0.12 -0.11
-0.24 -0.15
-0.11 -0.24
0.15 0.30
3 2.99
2.92 2.64
3.11 3.10
3.01 2.87
3.04 3.47
0/2 0/-2
0.78 0.78
2.06 2.06
2.49 2.49
2.11 2.11
0.87 0.87
0.05 0.05
0.01 0.01
0.01 0.01
0.01 0.01
0.05 0.05
0.61 0.62
2.01 2.03
2.47 2.47
2.07 2.07
0.69 0.75
0.99 0.98
2.11 2.09
2.50 2.50
2.14 2.14
1.07 0.99
0.14 0.12
-0.10 -0.02
-0.12 -0.13
0.08 -0.17
0.10 -0.01
3.02 3.08
3.07 2.50
3.02 3.12
2.79 2.68
2.97 2.53
3/0.2 -3/0.2 3/-0.2 -3/-0.2
0.27 0.61 0.61 0.28
0.42 1.68 1.69 0.43
1.58 1.59 1.59 1.58
1.71 0.45 0.45 1.70
0.63 0.24 0.24 0.62
0.11 0.11 0.11 0.11
0.08 0.10 0.09 0.08
0.10 0.10 0.10 0.11
0.10 0.10 0.09 0.09
0.11 0.09 0.10 0.11
0.05 0.32 0.33 0.06
0.15 1.40 1.35 0.22
1.13 1.24 1.28 1.21
1.28 0.25 0.24 1.44
0.29 0.05 0.04 0.34
0.81 0.93
1 0.85
0.91 2
1.95 0.69
1.92 1.90 1.92 1.90
2.01 0.98 0.69 1.93
1.15 0.60 0.70 0.94
0.72 -0.01 0.35 0.68
0.39 -0.13 -0.13 0.24
-0.20 -0.04 -0.11 -0.18
-0.20 0.69 0.28 -0.12
0.20 0.61 0.77 0.19
3.66 2.72 3.18 3.80
3.30 2.89 3.17 2.99
3 3.40 3.01 3.19
3.03 4.64 2.56 2.81
3.053.573.85 2.77
3/0.5 -3/0.5 3/-0.5 -3/-0.5
0.09 0.75 0.75 0.09
1.44 2.05 2.05 1.44
2.26 2.28 2.28 2.26
2.07 1.51 1.52 2.07
0.79 0.07 0.07 0.79
0.05 0.10 0.10 0.05
0.07 0.04 0.04 0.07
0.03 0.03 0.03 0.03
0.04 0.07 0.07 0.04
0.09 0.03 0.03 0.09
0.02 0.54 0.21 0.02
1.16 1.94 1.93 1.27
2.13 2.19 2.20 2.15
1.92 1.33 1.35 1.94
0.48 0.02 0.02 0.52
0.41 1.05 1.02 0.37
1.76 2.20 2.20 1.65
2.36 2.37 2.35 2.35
2.19 1.69 1.72 2.18
1.14 0.33 0.33 1.10
1.64 0.33 -0.19 1.47
0.02 -0.02 -0.03 0.09
-0.21 -0.16 -0.11 -0.20
-0.23 0.02 0.07 -0.18
0.18 1.76 1.80 0.20
6.51 3.08 4.38 5.91
2.98 2.96 3.03 2.58
3.06 2.96 2.94 3.08
3.04 3.03 2.89 2.88
2.997.718.16 3.16
3/1 -3/1 3/-1 -3/-1
0.21 0.86 0.85 0.21
1.85 2.12 2.13 1.85
2.43 2.44 2.44 2.43
2.15 1.91 1.91 2.15
0.90 0.35 0.35 0.90
0.06 0.07 0.07 0.07
0.03 0.02 0.02 0.03
0.01 0.01 0.01 0.01
0.02 0.03 0.03 0.02
0.070.08 0.08 0.07
0.06 0.67 0.68 0.08
1.72 2.05 2.08 1.75
2.39 2.40 2.39 2.40
2.07 1.83 1.82 2.08
0.66 0.14 0.18 0.73
0.52 1.07 1.01 0.59
1.95 2.19 2.20 1.95
2.47 2.47 2.46 2.46
2.23 2
1.97 2.21
1.15 0.61 0.60 1.11
0.77 0.16 -0.05 1.06
-0.10 -0.07 0.21 -0.04
-0.22 -0.36 -0.62 -0.10
-0.07 -0.01 -0.47 -0.01
0.11 0.40 0.06 0.11
3.84 2.84 2.34 5.45
2.97 3.09 3.29 2.88
3.07 3.27 4.43 3.01
2.98 2.89 2.55 3.27
3.012.95 4.612.42
3/2 -3/2 3/-2 -3/-2
0.57 0.90 0.91 0.57
1.99 2.12 2.12 1.99
2.48 2.49 2.48 2.48
2.15 2.04 2.04 2.15
0.96 0.71 0.72 0.96
0.06 0.05 0.05 0.06
0.01 0.01 0.01 0.01
0.01 0.01 0.01 0.01
0.01 0.01 0.01 0.01
0.04 0.06 0.06 0.04
0.37 0.77 0.76 0.42
1.96 2.09 2.09 1.93
2.47 2.47 2.48 2.47
2.11 2
1.99 2.11
0.80 0.59 0.57 0.83
0.78 1.02 1.08 0.75
2.04 2.15 2.16 2.03
2.50 2.50 2.50 2.49
2.19 2.08 2.08 2.19
1.13 0.90 0.89 1.11
0.17 -0.04 0.06 0.25
0.15 -0.02 -0.08 -0.11
-0.11 -0.14 -0.09 -0.37
-0.11 -0.16 -0.04 -0.06
0.03 0.22 0.12 0.20
2.96 2.53 2.91 2.79
2.98 3.05 3.04 3.15
2.92 2.92 2.77 3.22
3.05 3.25 3.08 3.17
2.95 2.85 2.90 2.86
5 El análisis de la forma (asimetría y curtosis) ha sido llevado a cabo a través de los coeficientes de Fisher, siendo 3 el valor de referencia en la medida de curtosis para la distribución Normal.
18
Tabla A.II : Medidas del estadístico KPSS (PGD (3), 02
u =σ , T=100)
19
Media Desviación típica Mínimo Máximo Asimetría Curtosis γγ // δδ λλ 0.05 0.1 0.9 0.95 0.05 0.1 0.9 0.95 0.05 0.1 0.9 0.95 0.05 0.1 0.9 0.95 0.05 0.1 0.9 0.95 0.05 0.1 0.9 0.95 3/0 -3/0
0.87 0.88
2.07 2.07
2.07 2.07
0.86 0.86
0.17 0.18
0.27 0.28
0.25 0.26
0.18 0.18
0.46 0.45
1.34 1.32
0.46 0.45
1.34 1.32
1.56 1.37
2.84 3.33
2.77 2.68
1.44 1.32
0.28 0.29
0.16 0.38
0.23 0.07
0.60 0.08
3.52 3.14
2.97 3.79
2.66 2.52
3.17 2.92
0/0.2 0/-0.2
0.62 0.64
3.16 3.14
3.24 3.23
0.71 0.68
0.14 0.16
0.20 0.18
0.22 0.18
0.16 0.16
0.26 0.29
2.75 2.61
2.73 2.78
0.27 0.38
1.11 1.24
4.06 3.64
3.75 3.82
1.17 1.11
0.43 0.51
0.84 -0.07
0.07 0.38
0.35 0.41
3.093.18
5.08 2.75
2.55 3.30
2.90 2.66
3/0.5 -3/0.5 3/-0.5 -3/-0.5
0.73 2.18 2.16 0.70
3.50 4.63 4.63 3.51
4.69 3.62 3.63 4.69
2.24 0.88 0.88 2.25
0.14 0.16 0.14 0.14
0.12 0.09 0.09 0.10
0.08 0.10 0.11 0.08
0.13 0.14 0.14 0.14
0.38 1.68 1.71 0.41
3.12 4.394.44 3.14
4.49 3.32 3.40 4.51
1.89 0.56 0.57 1.81
1.17 2.54 2.78 1.26
3.81 4.88 4.84 3.74
4.93 3.86
4 4.91
2.74 1.27 1.31 2.67
0.39 -0.37 0.33 0.68
-0.33 0.11 0.14 -0.34
0.11 -0.28 0.43 0.06
0.12 0.11 0.20 0.11
3.09 2.88 2.58 3.56
2.98 2.84 2.58 3.56
3 2.87 3.31 2.78
2.89 2.51 3.05 2.89
Tabla A.III : Medidas del estadístico KPSS
(PGD (3), 02u =σ , T=500)
20
q=0.0001 q=0.001 q=0.01 q=0.1 q=1 q=100 γγ // δδ λλ 0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 1/0 -1/0
36.5 36.2
55.8 56.1
24.724.9
57.4 57.2
35.5 35.4
37.7 37.8
55.9 57.4
27.8 27.6
56.5 57.6
37.3 37.6
51.8 51.3
59.6 59.2
51.2 53.3
60.8 61.7
52.4 53
90.5 90.2
85.8 86.1
88.1 88.4
86.5 88.1
89.9 91.9
99.5 99.3
99.1 99.2
99.4 99.3
99.2 99.3
99.5 99.6
100 99.9
99.4 99.3
99.8 100
99.9 99.8
100 100
3/0 -3/0
99.9 100
100 100
99.7 99.7
100 100
100 100
99.9 99.8
100 100
99.7 99.7
100 100
99.9 99.9
98.6 98.5
99.6 100
99.8 99.8
99.5 99.5
98.4 98.1
96.2 95.8
99.9 99.9
99.5 99.5
99.7 100
96.3 97
98.8 98.4
99.4 99.3
99.6 99.5
99.6 99.7
99 98.6
99.9 99.9
99.8 99.9
99.9 99.9
99.9 99.9
99.6 99.7
0/0.2 0/-0.2
32.4 32.9
100 100
100 100
100 100
46.1 45.6
35.4 36.9
100 100
100 100
100 100
53.5 52.8
52.6 52.2
100 100
100 100
100 100
59.2 59.5
90.2 89.9
100 100
100 100
100 100
90.3 91.4
99.3 99.2
99.5 99.4
99.5 100
100 99.1
99.4 99.1
99.9 99.8
99.9 99.8
99.8 99.9
99.8 99.8
99.8 99.7
0/0.5 0/-0.5
98.9 99
100 100
100 100
100 100
100 100
98.5 98.5
100 100
100 100
100 100
99.9 99.9
95.4 94.6
100 100
100 100
100 100
99.1 98.9
95.8 95.5
100 100
100 100
100 100
97.6 97.4
99.1 99.5
100 99.9
99.9 100
100 99.8
99.6 99.2
99.8 99.9
99.9 99.9
99.8 99.9
99.8 99.9
99.8 99.9
0/1 0/-1
100 100
100 100
100 100
100 100
100 100
100 100
100 100
100 100
100 100
100 100
100 100
100 100
100 100
100 100
100 100
99.8 99.9
100 100
100 100
100 100
99.9 99.1
99.3 99.5
100 100
100 100
100 100
99.3 99.4
99.9 99.7
99.8 99.8
99.9 100
99.9 100
99.8 99.8
0/2 0/-2
100 100
100 100
100 100
100 100
100 100
100 100
100 100
100 100
100 100
100 100
100 100
100 100
100 100
100 100
100 100
100 100
100 100
100 100
100 100
100 100
100 100
100 100
100 100
100 100
100 100
99.9 99.9
99.9 100
100 100
99.9 100
99.7 99.7
3/0.2 -3/0.2 3/-0.2 -3/-0.2
89.4 100 100 90.7
100 100 100 100
100 100 100 100
100 100 100 100
100 79.6 81.4 100
88.8 100 100 89.8
100 100 100 100
100 100 100 100
100 100 100 100
100 82.5 81.8 100
82.7 100 99.9 84.7
99.9 100 100 100
100 100 100 100
100 100 99.8 100
100 77.3 77 100
92.4 98.6 98.8 91
99.9 100 100 99.8
100 100 100 100
100 98.1 98.3 100
99 91.2 91.1 100
99.6 99.3 99.2 99.5
99.5 99.8 99.6 99.6
99.6 99.8 99.9 100
100 99.2 99.6 100
99.8 98.9 99
99.9
99.9 99.8 99.7 99.7
99.7 99.8 99.7 99.9
99.9 100 100 99.8
99.9 100 100 99.7
99.9 100 100 99.8
3/0.5 -3/0.5 3/-0.5 -3/-0.5
11.3 100 100 11.8
100 100 100 100
100 100 100 100
100 100 100 100
100 4.7 4.2 100
14.8 100 100 12.2
100 100 100 100
100 100 100 100
100 100 100 100
100 7.6 7.5 100
36.4 100 100 35.9
100 100 100 100
100 100 100 100
100 100 100 100
100 31.1 31.4 100
85.8 100 99.9 86
100 100 100 100
100 100 100 100
100 100 100 100
100 84.8 85.3 100
99.1 99.7 99.7 99.3
99.9 100 100 100
100 100 100 100
100 100 99.9 100
99.8 88.3 89 100
99.9 99.8 99.7 99.8
99.9 99.6 99.6 100
100 100 100 100
99.9 99.9 99.8 99.9
99.7 100 100 99.8
3/1 -3/1 3/-1 -3/-1
85.4 100 100 86.1
100 100 100 100
100 100 100 100
100 100 100 100
100 100 99.8 100
83.5 100 100 85
100 100 100 100
100 100 100 100
100 100 100 100
100 99.9 100 100
80.7 100 100 82.7
100 100 100 100
100 100 100 100
100 100 100 100
100 98.9 98.7 100
92.5 100 100 91
100 100 100 100
100 100 100 100
100 100 100 100
100 95.8 96.2 100
98.9 99.8 100 99.1
100 100 100 100
100 100 100 100
100 100 100 100
99.9 99.1 99.2 100
99.8 99.8 99.7 99.9
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99.9 99.8 99.9 100
99.9 99.6 99.5 99.8
99.8 100 100 99.9
3/2 -3/2 3/-2 -3/-2
100 100 100 100
100 100 100 100
100 100 100 100
100 100 100 100
100 100 100 100
100 100 100 100
100 100 100 100
100 100 100 100
100 100 100 100
100 100 100 100
100 100 100 100
100 100 100 100
100 100 100 100
100 100 100 100
100 100 100 100
100 100 100 100
100 100 100 100
100 100 100 100
100 100 100 100
100 100 100 100
100 100 100 100
100 100 100 100
100 100 100 100
100 100 100 100
100 100 100 100
99.9 99.5 99.6 100
99.9 100 100 100
99.8 99.9 99.9 100
99.9 99.8 99.9 99.9
99.7 99.9 99.8 99.8
Tabla A.IV: Potencia del test KPSS
21
(PGD (3), T=100)