Post on 02-Feb-2016
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Egilea:Iñaki Egilea:Iñaki Gómez ArriaranGómez Arriaran
Bero-transmisio mekanismoakBero-transmisio mekanismoak
22
© Iñaki Gómez Arriaran
Beroa 3 mekanismoren bitartez transmititu Beroa 3 mekanismoren bitartez transmititu daiteke:daiteke:
• KONDUKZIOA (Fourier-en legea)
• KONBEKZIOA (Newton-en hozketa-legea)
• ERRADIAZIOA (Stefan-Boltzman-en legea)
TT11
TT22
G
33
© Iñaki Gómez Arriaran
KONDUKZIOAKONDUKZIOA
•Tenperatura eremua Tenperatura eremua = = (x,y,z,t ) (x,y,z,t )
•Tenperatura gradientea Grad Tenperatura gradientea Grad = ( = (//n) nn) n
n
• Grad Grad = = = ( = (//x) i + (x) i + (//y) j + (y) j + (//z) k z) k
q = qq = qxx i+ q i+ qyy j+ q j+ qzz k= -[ k k= -[ kxx ( () ) ] i - [k] i - [kyy ( () ) ] j - [k] j - [kzz ( () ) ] k] k
z
x y
q = Q/A = - k (q = Q/A = - k (θθ))
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© Iñaki Gómez Arriaran
Energia-balantzea eginez:Energia-balantzea eginez:
dQsartu + dQgaratu = dQirten + dEmetatudQsartu + dQgaratu = dQirten + dEmetatu
dQsartu = qdQsartu = qx x dydz + qdydz + qy y dxdz + qdxdz + qzz dxdy dxdy
dQgaratu = qdQgaratu = qGG dV dV
dQirten = qdQirten = qx+dx x+dx dydz + qdydz + qy+dy y+dy dxdz + qdxdz + qz+dzz+dz dxdy dxdy
dEmetatu = cdEmetatu = cpp //t dm = t dm = dV c dV cpp //tt
qqGG= elementuan = elementuan
barne garatutako barne garatutako
beroa (W/mberoa (W/m33))
qyqy+dy
qz
qx
qz+dz
qx+dx
x
z
y
qG
Kondukzioaren
ekuazio orokorra:
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© Iñaki Gómez Arriaran
qqx x dydz + qdydz + qy y dxdz + qdxdz + qzz dxdy + q dxdy + qGG dV = q dV = qx+dx x+dx dydz + qdydz + qy+dy y+dy dxdz + qdxdz + qz+dzz+dz dxdy + dxdy + dV c dV cpp //tt
Taylor-en seriean garatuz: qTaylor-en seriean garatuz: qx+dxx+dx = = qx + (qx + ( qqxx//x) dxx) dx
qqx x + [ + [ (-k((-k())//x) / x) / x ] dxx ] dx
qqGG dV = [ dV = [ (-k((-k())//x) / x) / x ] dxx ] dx dydz + [ dydz + [ (-k((-k())//y) / y) / y ] dyy ] dy dxdz + [ dxdz + [ (-k((-k())//z) / z) / z ] z ]
dz dxdy + dz dxdy + dV c dV cpp //t = t = [ -k([ -k()) ] dV + ] dV + dV c dV cpp //t t
qqGG = = [ -k([ -k()) ] + ] + c cpp //t t
Fourier aplikatuz: qFourier aplikatuz: qxx = -k( = -k())//xx
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© Iñaki Gómez Arriaran
Hipotesiak: Hipotesiak:
• materiale isotropoa K(materiale isotropoa K())xx = K( = K())yy = K( = K())zz
• propietate fisikoak konstanteak K(propietate fisikoak konstanteak K() = K = Kte ) = K = Kte
• qqGG = kte = kte
k k 22 + q + qGG = = c cpp //t t Kondukzioaren ekuazio Kondukzioaren ekuazio orokorraorokorra
22 = laplaziarra: = laplaziarra:
• Koordenatu kartesiarretan Koordenatu kartesiarretan 22 = = 22//xx22 + + 22//yy22 + + 22//zz22
• Koordenatu zilindrikotan Koordenatu zilindrikotan 22 = 1/r = 1/r (r(r//r)/r)/r + 1/rr + 1/r2 2 2 2//22 + + 22//zz22
• Koordenatu esferikotan Koordenatu esferikotan 22 = 1/r = 1/r22 (r(r22//r)/r)/r + ...r + ...
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© Iñaki Gómez Arriaran
xx
yy
zz
22 = laplaziarra: = laplaziarra:
• koordenatu kartesiarrak koordenatu kartesiarrak 22 = = 22//xx22 + + 22//yy22 + + 22//zz22
88
© Iñaki Gómez Arriaran
rr
zz
22 = laplaziarra = laplaziarra
• koordenatu zilindrikoak koordenatu zilindrikoak 22 = 1/r = 1/r (r(r//r)/r)/r + 1/rr + 1/r2 2 2 2//22 + + 22//zz22
22 = laplaziarra: = laplaziarra:
koordenatu esferikoak koordenatu esferikoak 22 = 1/r = 1/r22 (r(r22//r)/r)/r + 1/(rr + 1/(r22sensenΦΦ) ) (sen(senΦΦ //ΦΦ)/ )/ ΦΦ + + 1/(r1/(r22sensen22ΦΦ) ) 22//22
r
Φ
99
© Iñaki Gómez ArriaranPareta laua bero garapenik gabePareta laua bero garapenik gabe
Errejimen egonkorraErrejimen egonkorra
LL
xxp2p2
p1p1
aa 22 + q + qGG/ / cp cp = = //t t
= = ( x,y,z ) ( x,y,z )
Condukzioaren ekuazio Condukzioaren ekuazio orokorraorokorra
= = ( x,y,z,t ) ( x,y,z,t )Tenperatura eremuaTenperatura eremua
//t = 0t = 0
zz
yy
Bero garapenik gabe qBero garapenik gabe qGG = 0 = 0
λλ
aa 22 = 0 = 0 λλ 22 = 0 = 0
1010
© Iñaki Gómez Arriaran
x
y
z
= = ( x ) ( x )
Fluxu dimentsiobakarrekoaFluxu dimentsiobakarrekoa
Grad Grad = = = ( = (//x) i + (x) i + (//y) j + (y) j + (//z) k z) k
Grad Grad = = = ( = (//x) = dx) = d/dx/dx
Pareta laua bero garapenik gabePareta laua bero garapenik gabe
1111
© Iñaki Gómez Arriaran
Laplaziarra Laplaziarra 22 = = 22//xx2 2 = d = d22/dx/dx22
22 = d = d22/dx/dx2 2 = 0 = 0
dd/dx = C/dx = C11
(x) = C(x) = C11 x + C x + C2 2 → Lerro zuzena→ Lerro zuzena
λλ22 = 0 = 0
LL
xx
22
11
Fluxu dimentsiobakarrekoaFluxu dimentsiobakarrekoa
(x)(x)
1212
© Iñaki Gómez Arriaran
1. ing. bald.: x = 0 1. ing. bald.: x = 0 = = 11
2. 2. ing. bald.:ing. bald.: x = L x = L = = 22
CC11 eta C eta C22 integrazio konstanteak ingurune-baldintzak integrazio konstanteak ingurune-baldintzak
aplikatuz askatzen dira:aplikatuz askatzen dira:
1.i.b.: 1.i.b.: 11 = C = C11· 0 + C· 0 + C2 2 →→ CC22 = = 11
2.i.b.: 2.i.b.: 22 = C = C11·L + ·L + 1 1 →→ CC11 = ( = (22 - - 11) / L ) / L
(x) = (x) = 1 1 + (+ (22 - - 11) x / L ) x / L
Tenperatura-distribuzioaTenperatura-distribuzioaqq
LL
xx22
11
(x)(x)
1313
© Iñaki Gómez Arriaran
Fourier-en legea aplikatuz:Fourier-en legea aplikatuz:
qqxx = - = - λλ = - = - λλ d d/dx = - /dx = - λλ [ ([ (22 - - 11) / L ] = ) / L ] = λλ / L · ( / L · ( 11 - - 22 ) = kte ) = kte
1414
© Iñaki Gómez Arriaran
Ejercicio pared simpleEjercicio pared simple Pared plana sin generación interna de calorPared plana sin generación interna de calor
En un almacén frigorífico la temperatura superficial interior es de -20 ºC. En un almacén frigorífico la temperatura superficial interior es de -20 ºC. Sobre la pared metálica se desea colocar una aislamiento plástico rígido Sobre la pared metálica se desea colocar una aislamiento plástico rígido de conductividad térmica 0.03 W / m K. Una de las paredes del almacén, de conductividad térmica 0.03 W / m K. Una de las paredes del almacén, con un área transversal de 100 mcon un área transversal de 100 m2,2, tiene una ganancia de calor por tiene una ganancia de calor por transmisión de 2 kW, Si el aire exterior tiene una temperatura de rocío de transmisión de 2 kW, Si el aire exterior tiene una temperatura de rocío de 15 ºC, cálcúlese el espesor del aislamiento mínimo para que no se 15 ºC, cálcúlese el espesor del aislamiento mínimo para que no se produzcan condensaciones superficiales en la cara exterior del produzcan condensaciones superficiales en la cara exterior del aislamiento.aislamiento.
θθii = -20 ºC = -20 ºC
λλ = 0.03 W / m K = 0.03 W / m K
Despreciando la resistencia térmica que Despreciando la resistencia térmica que supone la pared metálica dada su alta supone la pared metálica dada su alta conductividad, y considerando régimen conductividad, y considerando régimen estacionario y flujo unidimensional:estacionario y flujo unidimensional:
λλ22 = 0 = 0
dd/dx = C/dx = C11
(x) = C(x) = C11 x + C x + C22
xx
θθee = 15 ºC = 15 ºC
ee
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© Iñaki Gómez Arriaran
Condiciones de contorno:Condiciones de contorno:
1. cond. contorno: x = 0 1. cond. contorno: x = 0 = -20 ºC = -20 ºC
2. cond. contorno: x = e 2. cond. contorno: x = e = 15 ºC = 15 ºC
1.c.c.: -20 = C1.c.c.: -20 = C11· 0 + C· 0 + C2 2 CC22 = -20 = -20
2.c.c.: 15 = C2.c.c.: 15 = C11·e - 20·e - 20 CC11 = 35 / e = 35 / e
Aplicando Ley de Fourier:Aplicando Ley de Fourier:
Q = q · A = - Q = q · A = - λλ ·A= - ·A= - λλ d d/dx · A= - /dx · A= - λλ 35/e · A 35/e · A
e = - λλ 35 · A 35 · A / Q = - 0.03 · 35 · 100 / -2000 = 0.0525 m = 5.25 cm/ Q = - 0.03 · 35 · 100 / -2000 = 0.0525 m = 5.25 cm
xx
ee
Pared plana sin generación interna de calorPared plana sin generación interna de calor
1616
© Iñaki Gómez Arriaran
Cond. Contorno de 2ª especie: Flujo de calor conocido Cond. Contorno de 2ª especie: Flujo de calor conocido
x = 0, L qx = 0, L qxx = q = q
Cond. Contorno de 3ª especie: Contacto con fluidoCond. Contorno de 3ª especie: Contacto con fluido
x = 0, L qx = 0, L qxx = q = qconvecciónconvección
Otras posibles condiciones de contornoOtras posibles condiciones de contorno
Pared plana sin generación interna de calorPared plana sin generación interna de calor
L1
x
2(x)
qqconvecciónconvección
λλ11
1717
© Iñaki Gómez Arriaran
Cond. Contorno de 4ª especie: Contacto con otra capaCond. Contorno de 4ª especie: Contacto con otra capax = 0, L qx = 0, L qxx = q = qconducción superficie 2conducción superficie 2
- - λλ11 11 xx = - = - λλ22 22 x x
qq11
L1
x
2(x)
qq22
L2
1(x)
λλ11λλ22
Pared plana sin generación interna de calorPared plana sin generación interna de calor
1818
© Iñaki Gómez Arriaran
Ohm-en legea Fourier-en legeaOhm-en legea Fourier-en legea
L
21
k
qI
R
V1
V2
I = I = VV2-12-1 / R / R q = q = 2-1 2-1 / (L / / (L / λλ ) )
Analogia elektrikoa Analogia elektrikoa
R ( mR ( m2 2 º C / W )º C / W ) pareta lauaren pareta lauaren erresistentzia erresistentzia termikoatermikoa
I = flujo de carga eléctricaI = flujo de carga eléctrica q = Flujo de calorq = Flujo de calor VV2-1 2-1 = Potentzial elektriko = Potentzial elektriko
diferenciadiferencia
2-12-1 = potentzial termiko diferentzia = potentzial termiko diferentzia RR = erresistentza elektrikoa= erresistentza elektrikoa L / L / λλ = erresistentzia termikoa= erresistentzia termikoa
1919
© Iñaki Gómez Arriaran
Ejercicio resuelto por analogía eléctricaEjercicio resuelto por analogía eléctrica
En un almacén frigorífico la temperatura superficial interior es de -20 ºC. En un almacén frigorífico la temperatura superficial interior es de -20 ºC. Sobre la pared metálica se desea colocar una aislamiento plástico rígido Sobre la pared metálica se desea colocar una aislamiento plástico rígido de conductividad térmica 0.03 W / m K. Una de las paredes que tiene un de conductividad térmica 0.03 W / m K. Una de las paredes que tiene un área transversal de 100 márea transversal de 100 m22 tiene una ganancia de calor por transmisión tiene una ganancia de calor por transmisión de 2 kW, Si el aire exterior tiene una temperatura de rocío de 15 ºC, de 2 kW, Si el aire exterior tiene una temperatura de rocío de 15 ºC, cálcúlese el espesor del aislamiento mínimo para que no se produzcan cálcúlese el espesor del aislamiento mínimo para que no se produzcan condensaciones superficiales en la cara exterior del aislamiento.condensaciones superficiales en la cara exterior del aislamiento.
θθii = -20 ºC = -20 ºC
λλ = 0.03 W / m K = 0.03 W / m K Considerando queConsiderando que λλpared metálicapared metálica >> >> λλaislamientoaislamiento → →
RRpared metálicapared metálica << R << Raislamientoaislamiento::
xx
θθee = 15 ºC = 15 ºC
ee
RRaislamientoaislamiento
θθii = -20 ºC = -20 ºCθθee = 15 ºC = 15 ºC
RRpared metálicapared metálica
qqqq
RRaislamiento aislamiento = (= (θθee - - θθii ) / ) / q = (15 –(-20)) / (2000/100) = 1.75 ºC/Wmq = (15 –(-20)) / (2000/100) = 1.75 ºC/Wm22
RRaislamiento aislamiento = L / = L / λλ → L = R→ L = Raislamientoaislamiento · · λλ = = 1.75 · 0.03 = 0.0525 m 1.75 · 0.03 = 0.0525 m
2020
© Iñaki Gómez ArriaranPareta konposatuaPareta konposatua
LL11
xx44
11
λλ 22 =0 =0
Kondukzioaren ekuazio orokorra, errejimen Kondukzioaren ekuazio orokorra, errejimen egonkorrean, fluxu unidimentsionala eta egonkorrean, fluxu unidimentsionala eta bero garapenik gabe :bero garapenik gabe :
zz
yyλλ22
LL22 LL33
λλ11 λλ33
Geruza bakoitzarentzat:Geruza bakoitzarentzat:
22 ii = d = d22ii/dx/dx2 2 = 0 = 0
ddii/dx = C/dx = C11
ii(x) = C(x) = C11 x + C x + C2 2 → Recta→ Recta
λλ ii22 ii = 0 = 0
n geruzen kasuan 2n integrazio konstante n geruzen kasuan 2n integrazio konstante sortuko dira ( Csortuko dira ( C11,…., C,…., C2n 2n ) eta askatzeko 2n ) eta askatzeko 2n
ingurune baldintza beharko diraingurune baldintza beharko dira
2121
© Iñaki Gómez Arriaran
1. i.b.: x = 0 1. i.b.: x = 0 = = 11
2. i.b.: x = L2. i.b.: x = L11+L+L22+L+L33+…L+…Lnn = = n+1n+1
• 1. mailako 1. mailako 2 ingurune baldintza:2 ingurune baldintza:
Pared plana sin generación interna de calorPared plana sin generación interna de calor
3. i.b.: x = L3. i.b.: x = L11 11(x) = (x) = 22(x)(x)
..
..
n+1. i.b.: x = Ln+1. i.b.: x = L11+L+L22+L+L33+…L+…Ln-1n-1 n-1n-1 (x) = (x) = nn (x) (x)
• 1. mailako 1. mailako n-1 ingurune baldintza:n-1 ingurune baldintza:
n+2. i.b.: x = Ln+2. i.b.: x = L11 q(x) q(x)11 = q(x) = q(x)22
..
..
2n. i.b.: x = L2n. i.b.: x = L11+L+L22+L+L33+…L+…Ln-1n-1 q(x) q(x)n-1n-1 = q(x) = q(x)nn
• 4. mailako n-1 ing. bald.:4. mailako n-1 ing. bald.:
qq11
L1
x
1(x)
qq22
L2
2(x)
λλ11λλ22
qq33
L3
3(x)
λλ22
2n ekuazio-sistema garatzen da 2n ezezagunekin2n ekuazio-sistema garatzen da 2n ezezagunekin
2222
© Iñaki Gómez Arriaran
q = - (q = - (22- - 11) / (L) / (L11//λλ11) ) → → 1 1 - - 22 = q · L= q · L11/ / λλ11
• Fourier aplikatuz 1. geruzanFourier aplikatuz 1. geruzan::qq11
L1
1(x)
qq22
L2
2(x)
λλ11λλ22
qq33
L3
3(x)
λλ22
Geruza bakoitza banaka aztertuz:Geruza bakoitza banaka aztertuz:
q = - (q = - (33- - 22) / (L) / (L22//λλ22) → ) → 2 2 - - 33 = q · L = q · L22/ / λλ22
..
..
• Fourier aplikatuz 2. geruzanFourier aplikatuz 2. geruzan::
q = - (q = - (n+1n+1- - nn) / (L) / (Lnn//λλnn) → ) → n n - - n+1n+1 = q · L = q · Lnn/ / λλnn
• Fourier aplikatuz n. geruzanFourier aplikatuz n. geruzan::
11- - n+1n+1 = q · ( L = q · ( L11/ / λλ11 + + L L22/ / λλ22 …+ …+ L Lnn/ / λλnn ) )
q = ( q = ( 11- - n+1n+1 ) / ( L ) / ( L11/ / λλ11 + + L L22/ / λλ22 +…..+ +…..+ L Lnn/ / λλnn ) )
R pareta konposatuaren R pareta konposatuaren erresistentzia termikoaerresistentzia termikoa
Ln
2323
© Iñaki Gómez Arriaran
L1
1(x)
L2
λλ11 λλ22
L3
λλ55
L5
2(x)
3(x)
Zirkuito elektriko baliokidea:Zirkuito elektriko baliokidea:
RR22
λλ44λλ33
RR11RR33 RR44
RR55
L4
Analogia elektrikoa Analogia elektrikoa
2424
© Iñaki Gómez Arriaran
LL11
44
11λλ11
LL22 LL33
λλ22 λλ33
q = ( q = ( 11 - - 4 4 ) / ( R) / ( R11 + R + R22 + R + R33 ) )
RR11RR22 RR33
22
11λλ11
λλ22
λλ33
LL
RR11
RR22
RR33
Q = ( Q = ( 11 - - 2 2 ) · ( 1/ R) · ( 1/ R11 +1/ R +1/ R22 + 1/ R + 1/ R33 ) )
Pareta konposatuaren analogia elektrikoaPareta konposatuaren analogia elektrikoa
RRi i = L= Lii / A / Aii λλii
2525
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Ejercicio pared compuestaEjercicio pared compuesta Pared plana sin generación interna de calorPared plana sin generación interna de calor
Calcúlese el flujo de calor a través Calcúlese el flujo de calor a través del muro de la figuradel muro de la figura
θθ44 = 100 ºC = 100 ºC
λλ A A = 75 W / m K= 75 W / m K
λλ BB = 58 W / m K = 58 W / m K
λλ CC = 60 W / m K = 60 W / m K
λλ DD = 20 W / m K = 20 W / m Kθθ11 = 500 ºC = 500 ºC
2020
BB
CCAA DD
aa
aa
A = 2 mA = 2 m22
2525 4040
cmcm
El circuito eléctrico equivalente será:El circuito eléctrico equivalente será:
RRAA = L = LAA / A / A λλAA
RRCC = L = LCC / A / AccλλCC
RRBB = L = LBB / A / ABBλλBB
RRDD = L = LDD / A / A λλDD
QQAA
QQCC
QQBB
QQDD
2626
© Iñaki Gómez Arriaran
Ejercicio pared compuestaEjercicio pared compuesta Pared plana sin generación interna de calorPared plana sin generación interna de calor
Resolviendo el circuito:Resolviendo el circuito:
θθ44 = 100 ºC = 100 ºC
θθ11 = 500 ºC = 500 ºC
2020
BB
CCAA DD
aa
aa
2525 4040
cmcm
RRAA
RRCC = L = LCC / (A / (AccλλCC )= 0’25 / [(A/2)·60] = 0’00834/A )= 0’25 / [(A/2)·60] = 0’00834/A ºC / W ºC / W
RRBB = L = LBB / (A / (ABB λλBB )= 0’25 / [(A/2) 58] = 0’00862/A )= 0’25 / [(A/2) 58] = 0’00862/A ºC / W ºC / W
Q = ( Q = ( θθ11 - - θθ44 ) / R ) / RD D = ( 500 – 100 ) / (0’0269/A) = 29.730 W = ( 500 – 100 ) / (0’0269/A) = 29.730 W
RRAA = L = LAA / (A / (A λλAA)= 0’2 / (A·75)= 0’2 / (A·75 )= 0’00267/A ºC / W)= 0’00267/A ºC / W
RRCC
RRBB
RRDD
RRCC·R·RB B / (R / (RCC + R + RBB ) )R = RR = RAA + [ R + [ RBB·R·RCC / ( R / ( RBB + R + RCC ) ] + R ) ] + RDD
RRDD = L = LDD / (A / (A λλDD )= 0’4 / (A·20) = 0’02/A )= 0’4 / (A·20) = 0’02/A ºC / W ºC / W
R = RR = RAA + [ R + [ RBB·R·RCC / ( R / ( RBB + R + RCC ) ] + R ) ] + RD D = =
(1/A)·[0’00267+ [ 0’00862·0’00834 / (0’00862 + 0’00834) ] + 0’02 =(1/A)·[0’00267+ [ 0’00862·0’00834 / (0’00862 + 0’00834) ] + 0’02 =
0’0269/A ºC / W 0’0269/A ºC / W
2727
© Iñaki Gómez Arriaran
Ejercicio Ejercicio
Una nave industrial de 100 m x 25 x 5 m tiene unas pérdidas de calor por transmisión a través Una nave industrial de 100 m x 25 x 5 m tiene unas pérdidas de calor por transmisión a través de los muros de 100 kW. La composición de los muros es de ladrillo macizo de 25 cm y de los muros de 100 kW. La composición de los muros es de ladrillo macizo de 25 cm y conductividad térmica 1 W / m K y enfoscado de yeso de 2 cm de espesor y conductividad conductividad térmica 1 W / m K y enfoscado de yeso de 2 cm de espesor y conductividad 0,93 W / m K. Si la temperatura superficial exterior de los muros es de -1 ºC, calcúlese la 0,93 W / m K. Si la temperatura superficial exterior de los muros es de -1 ºC, calcúlese la temperatura superficial interior. temperatura superficial interior.
Para reducir las pérdidas de calor a través de muros en un 50 %, se pretende instalar un Para reducir las pérdidas de calor a través de muros en un 50 %, se pretende instalar un aislamiento de fibra de vidrio de conductividad 0,095 W / m K mediante planchas que se aislamiento de fibra de vidrio de conductividad 0,095 W / m K mediante planchas que se adosarán al enfoscado de yeso sujetándolas por medio de un tabique de ladrillo macizo de 10 adosarán al enfoscado de yeso sujetándolas por medio de un tabique de ladrillo macizo de 10 cm de espesor y conductividad 0,98 W / m K, que a su vez será revestido de un enlucido de cm de espesor y conductividad 0,98 W / m K, que a su vez será revestido de un enlucido de yeso como el que tenía inicialmente. yeso como el que tenía inicialmente.
Calcúlese el espesor mínimo de aislante que será necesario instalar para conseguir dicha Calcúlese el espesor mínimo de aislante que será necesario instalar para conseguir dicha reducción en las perdidas por transmisión de calor a través de los muros, siendo la reducción en las perdidas por transmisión de calor a través de los muros, siendo la temperatura en el interior de la nave la calculada anteriormente.temperatura en el interior de la nave la calculada anteriormente.
2828
© Iñaki Gómez Arriaran
Un techo raso como el de la figura está constituido con montantes de madera Un techo raso como el de la figura está constituido con montantes de madera y aislamiento de fibra de vidrio entre ellos. El interior del techo raso está y aislamiento de fibra de vidrio entre ellos. El interior del techo raso está enyesado y en el exterior se colocó una lámina metálica delgada. Calcúlese enyesado y en el exterior se colocó una lámina metálica delgada. Calcúlese el flujo de calor por unidad de área de techo si la temperatura superficial el flujo de calor por unidad de área de techo si la temperatura superficial exterior es de -10 ºC y la superficial interior de 20 ºC.exterior es de -10 ºC y la superficial interior de 20 ºC.
66
PinoPino
30 cm30 cm
15 cm15 cm
Fibra de vidrioFibra de vidrioYesoYeso
Lámina metálicaLámina metálica
22
λλ fibra de vidrio fibra de vidrio = 0,035 W / m K= 0,035 W / m K
λλ yesoyeso = 0,814 W / m K = 0,814 W / m K
λλ pinopino = 0,15 W / m K = 0,15 W / m K
2929
© Iñaki Gómez Arriaran
Ejercicio pared compuestaEjercicio pared compuesta Pared plana sin generación interna de calorPared plana sin generación interna de calor
θθsisi = 25 ºC = 25 ºC
λλ fibra de vidrio fibra de vidrio = 0,035 W / m K= 0,035 W / m K
λλ yesoyeso = 0,814 W / m K = 0,814 W / m K
λλ pinopino = 0,15 W / m K = 0,15 W / m K
θθsese = -10 ºC = -10 ºC
1515
PinoPino
30 cm30 cm 66Fibra de vidrioFibra de vidrio
YesoYeso
Lámina metálicaLámina metálica
22
3030
© Iñaki Gómez Arriaran
Ejercicio pared compuestaEjercicio pared compuesta Pared plana sin generación interna de calorPared plana sin generación interna de calor
Se coloca una capa de ladrillo refractario Se coloca una capa de ladrillo refractario de 5 cm de espesor entre dos placas de de 5 cm de espesor entre dos placas de acero de 0,6 cm. Las caras de la capa de acero de 0,6 cm. Las caras de la capa de ladrillo adyacente a las placas son ladrillo adyacente a las placas son asperas, por lo que el contacto sólido con asperas, por lo que el contacto sólido con sólido es de sólo el 30% del área total, sólido es de sólo el 30% del área total, con una altura promedio de las asperezas con una altura promedio de las asperezas de 0,08 cm. Si las temperaturas de 0,08 cm. Si las temperaturas superficiales de las placas de acero son superficiales de las placas de acero son de 93 ºC y 427 ºC respectivamente, de 93 ºC y 427 ºC respectivamente, determínese el flujo de calor por unidad determínese el flujo de calor por unidad de área.de área.
θθ44 = 100 ºC = 100 ºCλλ ladrillo ladrillo = 1,731 W / m K= 1,731 W / m K
λλ aceroacero = 51,93 W / m K = 51,93 W / m K
λλ aireaire = 0,0346 W / m K = 0,0346 W / m K
θθ11 = 500 ºC = 500 ºC
2020
DD
A = 2 mA = 2 m22
2525 4040
cmcm
3131
© Iñaki Gómez ArriaranPared plana con generación interna de calorPared plana con generación interna de calor
Régimen permanenteRégimen permanente
L
x
2
1
qG
aa 22 + q + qGG/ / cp cp = = //t t
λλ22 + q + qGG = 0 = 0
= = ( x,y,z ) ( x,y,z )
Ecuación general de la Ecuación general de la conducciónconducción
= = ( x,y,z,t ) ( x,y,z,t )Campo temperaturasCampo temperaturas
//t = 0t = 0
zy
3232
© Iñaki Gómez Arriaran
x
y
z
= = ( x ) ( x )
Flujo unidimensionalFlujo unidimensional
Grad Grad = = = ( = (//x) i + (x) i + (//y) j + (y) j + (//z) k z) k
Grad Grad = = = ( = (//x) = dx) = d/dx/dx
Pared plana con generación interna de calorPared plana con generación interna de calor
3333
© Iñaki Gómez Arriaran
Laplaciana Laplaciana 22 = = 22//xx2 2 = d = d22/dx/dx22
λλ 22 + q + qGG = = λλ d d22/dx/dx2 2 + q+ qGG = 0 = 0
dd2 2 /dx/dx2 2 = -q= -qG G / / λλ
dd/dx = -q/dx = -qGG·· x / x / λλ + C + C11
(x) = -q(x) = -qGG·x·x2 2 / 2 / 2 λλ + C + C11 x + C x + C22
λλ22 + q + qGG = 0 = 0
L
x
2
1
qG
Pared plana con generación interna de calorPared plana con generación interna de calor
Flujo unidimensionalFlujo unidimensional
3434
© Iñaki Gómez Arriaran
Las constantes de integración CLas constantes de integración C11 y C y C22 se calculan se calculan
aplicando las condiciones de contorno:aplicando las condiciones de contorno:
1.cond. de contorno: x = 0 1.cond. de contorno: x = 0 = = 11
2. cond. de contorno: x = L 2. cond. de contorno: x = L = = 22
1.c.c.: 1.c.c.: 11 = -q = -qG G ·0·022/2 /2 λλ + C + C11· 0 + C· 0 + C2 2 CC22 = = 11
2.c.c.: 2.c.c.: 22 = -q = -qGG ·L ·L2 2 /2 /2 λλ + C + C11·L + ·L + 1 1 CC11 = ( = (22 - - 11) / L + q) / L + qGG L /2 L /2λλ
(x) = -q(x) = -qGG· x· x2 2 / 2 / 2 λλ + ( + (22 - - 11) x / L + q) x / L + qGG x L /2 x L /2λλ + + 1 1 ==
Distribución de temperaturas Distribución de temperaturas en la pareden la pared
L
x
2
1
qG
(x)
(x) = (x) = 11 + ( + (22 - - 11) x / L + q) x / L + qGG· x (L-x) / 2 · x (L-x) / 2 λλ (Parábola invertida) (Parábola invertida)
Pared plana con generación interna de calorPared plana con generación interna de calor
3535
© Iñaki Gómez Arriaran
Aplicando ley de Fourier: Aplicando ley de Fourier:
qqxx = - = - λλ = - = - λλ d d/dx = - /dx = - λλ [ ([ (22 - - 11) / L + q) / L + qGG (L / 2 – x) / (L / 2 – x) / λλ ] ]
Para x = 0 qPara x = 0 q0 0 = = λλ ((11 - - 22) / L - q) / L - qGG L / 2 L / 2
Para x = L qPara x = L qLL = = λλ ((11 - - 22) / L + q) / L + qGG L / 2 L / 2
Flujo de calor a través de la pared Flujo de calor a través de la pared Pared plana con generación interna de calorPared plana con generación interna de calor
x
max max → → dd/dx =0 → q = 0 Plano adiabático/dx =0 → q = 0 Plano adiabático
q = qq = qL L + Iq+ Iq00I = qI = qGG · L · L
Flujo total de calor que sale (entra) de la pared Flujo total de calor que sale (entra) de la pared
por conducción:por conducción:
x
qqxx
qqLL
qq00
Q = qQ = qGG · L · A = q · L · A = qG G · V· V
3636
© Iñaki Gómez ArriaranPared plana con generación de calorPared plana con generación de calor
Si qSi qGG = 0 = 0 → q→ q00 = = ((11 - - 22)) / R / R Pared sin generaciónPared sin generación
Si qSi qGG L / 2 < ( L / 2 < (1 1 - - 22) /) / R R → q→ q00 > 0 > 0 entra calorentra calor
Si qSi qGG > 0 (fuente) > 0 (fuente) →→
Si qSi qGG < 0 (sumidero) < 0 (sumidero) →→
→ → qq00 > 0 > 0 entra calorentra calor
qq00 = = λλ ((11 - - 22) / L - q) / L - qGG L / 2 L / 2
Si qSi qGG L / 2 > ( L / 2 > (1 1 - - 22) /) / R R → q→ q00 < 0 < 0 sale calorsale calor
x
qqLL
qq00
qqLL = = λλ ((11 - - 22) / L + q) / L + qGG L / 2 L / 2
→ → qqLL > 0 > 0 sale calorsale calor
Si qSi qGG L / 2 < ( L / 2 < (1 1 - - 22) /) / R R → q→ qLL > 0 > 0 sale calorsale calor
Si qSi qGG L / 2 > ( L / 2 > (1 1 - - 22) /) / R R → q→ qLL < 0 < 0 entra calorentra calor
3737
© Iñaki Gómez Arriaran
Caso particular: Caso particular: 11 = = 22 = = pp
1.c.c.: 1.c.c.: pp = -q = -qG G ·0·022/2 /2 λλ + C + C11· 0 + C· 0 + C2 2 CC22 = = pp
2.c.c.: 2.c.c.: pp = -q = -qGG ·L ·L2 2 /2 /2 λλ + C + C11·L + ·L + p p CC11 = q = qGG L /2 L /2λλ
(x) = -q(x) = -qGG· x· x2 2 / 2 / 2 λλ + q + qGG x L /2 x L /2λλ + + p p ==
Distribución de temperaturas Distribución de temperaturas en la pareden la pared
L
x
pp
qG
(x)
(x) = (x) = pp + q + qGG· x (L-x) / 2 · x (L-x) / 2 λλ (Parábola invertida y simétrica) (Parábola invertida y simétrica)
Pared plana con generación interna de calorPared plana con generación interna de calor
3838
© Iñaki Gómez Arriaran
Aplicando ley de Fourier: Aplicando ley de Fourier:
qqxx = - = - λλ = - = - λλ d d/dx = - /dx = - λλ [ q[ qGG (L / 2 – x) / (L / 2 – x) / λλ ] = ] = q qG G (x - L/2 )(x - L/2 )
Para x = 0 qPara x = 0 q0 0 = - q= - qGG L / 2 L / 2
Para x = L qPara x = L qLL = q = qGG L / 2 L / 2
Flujo de calor a través de la pared Flujo de calor a través de la pared Pared plana con generación interna de calorPared plana con generación interna de calor
x
qqLL
qq00
3939
© Iñaki Gómez ArriaranPared plana compuesta con generación de calorPared plana compuesta con generación de calor
LL11
44
11
λλ11 22 =0 =0
λλ22
LL22 LL33
λλ11 λλ33
Para la capa con generación interna de calor:Para la capa con generación interna de calor:
λλii22 ii = 0 = 0
qqGG
Para las capas sin generación interna de Para las capas sin generación interna de calor:calor:
λλ22 22 =0 =0
λλ33 22 + q + qGG= 0= 0
qq11 = - ( = - (22- - 11) / (L) / (L11//λλ11) )
qq33 = - ( = - (44- - 33) / (L) / (L33//λλ33) )
qqxx = - = - λλ22 [ ([ (33 - - 22) / L) / L22 + q + qGG (L (L22 / 2 – x) / / 2 – x) / λλ22 ] ]
4040
© Iñaki Gómez ArriaranPared plana compuesta con generación de calorPared plana compuesta con generación de calor
LL11
44
11 λλ22
LL22 LL33
λλ11 λλ33
qqGG
qq33 = = λλ33 ( (33 - - 44) / L) / L3 3 = q= q11 + q + qG G LL2 2 (3)(3)
qq33 = q = q11 + q + qGG L L22
qq11 = ( = (11- - 22) / (L) / (L11//λλ11) ) (1)(1)
qq11 ( L ( L1 1 / / λλ11 + L + L22 / / λλ2 2 + L+ L33 / / λλ33 ) + ) + qqGG L L2 2 ( L( L22 / 2 / 2 λλ22 + L + L33//λλ33) = ) = ((1 1 - - 44))
RRTT RRG-3G-3
qq11 = ( = (1 1 - - 44) /) / R RT T - - qqGG L L2 2 ( R( RG-3G-3 / R / R TT ) )
qq221212 = = λλ22 ((22 - - 33) / L) / L22 - q - qGG L L22 / 2 = q / 2 = q1 1
(2)(2)
qq222323 = = λλ22 ((22 - - 33) / L) / L22 + q + qGG L L22 / 2 = q / 2 = q33
Ordenando Ordenando (1)(1), , (2)(2) y y (3)(3):: qq11 (L (L11//λλ11) = () = (11- - 22) ) (1)(1)
qq11 (L (L2 2 / / λλ22) + q) + qGG L L2222 / 2 / 2λλ2 2 = = ((22 - - 33) ) (2)(2)
qq11 (L (L33 / / λλ33) + q) + qGG L L22· L· L33 / / λλ33 = = ((33 - - 44) ) (3)(3)
4141
© Iñaki Gómez ArriaranPared plana compuesta con generación de calorPared plana compuesta con generación de calor
Si qSi qGG = 0 = 0 → q→ q11 = = ((11 - - 44)) / R / RTT → → Pared compuesta sin generaciónPared compuesta sin generación
qq11 = ( = (1 1 - - 44) /) / R RT T - - qqGG L L2 2 ( R( RG-3G-3 / R / R TT ) )
Pared antes del sumidero/fuente:Pared antes del sumidero/fuente:
qq33 = q = q11 + q + qGG L L22
Pared después del sumidero/fuente:Pared después del sumidero/fuente:
qq33 = ( = (1 1 - - 44) /) / R RT T - - qqGG L L2 2 ( R( RG-3G-3 / R / R T T -1 )-1 )
= (= (11 - - 44) /) / R RTT + + qqGG L L22 ( R ( R1-G1-G / R / R TT ) )
LL11
44
11 λλ22
LL22 LL33
λλ11 λλ33
4242
© Iñaki Gómez ArriaranPared plana compuesta con generación de calorPared plana compuesta con generación de calor
qq11 = ( = (1 1 - - 44) /) / R RT T - - qqGG L L2 2 ( R( RG-3G-3 / R / R TT ) )
Si qSi qGG L L2 2 ( R( RG-3G-3 / R / R TT ) < ( ) < (1 1 - - 44) /) / R RT T → →
qq11 > 0 > 0 entra calorentra calor
Si qSi qGG L L2 2 ( R( RG-3G-3 / R / R TT ) > ( ) > (1 1 - - 44) /) / R RT T →→
qq11 < 0 < 0 sale calorsale calor
Si qSi qGG > 0 (fuente) > 0 (fuente) →→
Pared antes del sumidero/fuente:Pared antes del sumidero/fuente: Pared después del sumidero/fuente:Pared después del sumidero/fuente:
qq33 > 0 > 0 sale calor sale calor
qq33 = ( = (11 - - 44) /) / R RTT + + qqGG L L22 ( R ( R1-G1-G / R / R TT ) )
LL11
44
1122
LL22 LL33
11 33
qqGG
4343
© Iñaki Gómez ArriaranPared plana compuesta con generación de calorPared plana compuesta con generación de calor
qq11 = ( = (1 1 - - 44) /) / R RT T - - qqGG L L2 2 ( R( RG-3G-3 / R / R TT ) )
Si qSi qGG < 0 (sumidero) < 0 (sumidero) →→
Pared antes del sumidero/fuente:Pared antes del sumidero/fuente: Pared después del sumidero/fuente:Pared después del sumidero/fuente:
qq33 = ( = (11 - - 44) /) / R RTT + + qqGG L L22 ( R ( R1-G1-G / R / R TT ) )
LL11
44
1122
LL22 LL33
11 33
→ → qq11 > 0 > 0 entra calorentra calor
Si qSi qGG L L2 2 ( R( R1-G1-G / R / R TT ) < ( ) < (1 1 - - 44) /) / R RT T
→ → qq33 > 0 > 0 sale calorsale calor
Si qSi qGG L L2 2 ( R( R1-G1-G / R / R TT ) > ( ) > (1 1 - - 44) /) / R RT T
→ → qq33 < 0 < 0 entra calorentra calor
qqGG
4444
© Iñaki Gómez Arriaran
Ejercicio pared compuestaEjercicio pared compuesta Pared plana sin generación interna de calorPared plana sin generación interna de calor
Un almacén industrial de 9x9 mUn almacén industrial de 9x9 m22 en planta se mantiene en invierno a 21 º C mediante en planta se mantiene en invierno a 21 º C mediante un conjunto de emisores que disipan un total de 8.500 kcal/h.un conjunto de emisores que disipan un total de 8.500 kcal/h.
Determínese la temperatura interior de las paredes del almacén si se sustituye este Determínese la temperatura interior de las paredes del almacén si se sustituye este sistema de calefacción por una fuente de calor igual 5.600 kcal/hmsistema de calefacción por una fuente de calor igual 5.600 kcal/hm33 distribuida distribuida uniformemente en el suelo y ocupando toda su superficie.uniformemente en el suelo y ocupando toda su superficie.
λλ loseta loseta = 2,5 kcal/ h m K= 2,5 kcal/ h m K
λλ capa nivelacióncapa nivelación = 0,8 kcal/ h m K = 0,8 kcal/ h m K
λλ fuentefuente = 14 kcal/ h m K = 14 kcal/ h m K
losetacm32233
λλ aislante aislante = 0,03 kcal/ h m K= 0,03 kcal/ h m K
λλ capa antivaporcapa antivapor = 1 kcal/ h m K = 1 kcal/ h m K
C C forjadoforjado = 1,43 kcal/ h m = 1,43 kcal/ h m22 K K
capa nivelaciónfuente de caloraislantecapa antivaporforjado
θsuelo = 8 ºC
θexterior = 0 ºC
4545
© Iñaki Gómez Arriaran
El suelo se trata de una pared plana compuesta con generación de calor:El suelo se trata de una pared plana compuesta con generación de calor:
losetacm32233
capa nivelaciónfuente de caloraislante
forjado
qsuelo = (i - suelo) / RT - qG LG ( RG-suelo / R T )
RT = ( 3/2,5 + 2/0,8 + 2/14 +3/0,03 +3/1 ) 10 -2 + 1/1,43 = 1,7677 K m2 h / kcal
RG-suelo = ( 1/14 +3/0,03 +3/1 ) 10 -2 + 1/1,43 = 1,73 K m2 h / kcal
capa antivapor
Qparedes-techo = (i - ext) / Rparedes-techo
Qsuelo = qsuelo · Asuelo
θθextext = 0 ºC = 0 ºC
Qsuelo
Qtecho
Qparedes
4646
© Iñaki Gómez Arriaran
Para calcular la resistencia térmica de paredes y techos consideramos el caso de Para calcular la resistencia térmica de paredes y techos consideramos el caso de suelo sin fuente de calor:suelo sin fuente de calor:
losetacm3233
capa nivelaciónaislante
forjado
Qsuelo = A suelo · qsuelo = (i - suelo) / Rsuelo
Rsuelo = ( 3/2,5 + 2/0,8 + 3/0,03 +3/1 ) 10 -2 + 1/1,43 = K m2 h / kcal
capa antivapor
θθextext = 0 ºC = 0 ºC
= (i - ext) / Rparedes-techo
Q = 8.500 = Qsuelo + Qparedes-techo
Qsuelo
Qtecho
QparedesQQparedes-techo = 8.500 - Qsuelo
Qsuelo = A suelo · qsuelo = 81 · (21 - 8) / Rsuelo = 596,16 kcal/h
Qparedes-techo = 8.500 – Qsuelo = 8.500 – 596,16 = 7.903,8 kcal/h
Rparedes-techo = (i - ext) / Qparedes-techo = (21-0) / 7.903,8 = 0,002657 h K / kcal
4747
© Iñaki Gómez Arriaran
θθextext = 0 ºC = 0 ºC
Volviendo al caso de suelo con fuente de calor:Volviendo al caso de suelo con fuente de calor:
Qparedes-techo = (i - ext) / Rparedes-techo
Qsuelo = qsuelo · Asuelo
Qsuelo
Qtecho
Qparedes
qsuelo = (i - ext) / (Asuelo ·Rparedes-techo)
IQsuelo I= Qparedes-techo
λλ
4848
© Iñaki Gómez Arriaran
rr22
zz
1122
rr11
r
Pareta zilindrikoa bero-garapenik gabePareta zilindrikoa bero-garapenik gabe
aa 22 + q + qGG/ / cp cp = = //t t Kondukzioaren ekuazio Kondukzioaren ekuazio orokorraorokorra
Tenperatura eremuaTenperatura eremua
Errejimen egonkorraErrejimen egonkorra
= = ( ( r,r,ΦΦ,z,z ) )
= = ( r, ( r,ΦΦ, z ), z )
//t = 0t = 0
Bero-garapenik gabe qBero-garapenik gabe qGG = 0 = 0
aa 22 = 0 = 0 λλ 22 = 0 = 0
4949
© Iñaki Gómez Arriaran
Φrr
zz = = ( r ) ( r )
Fluxu dimentsiobakarrekoaFluxu dimentsiobakarrekoa
= r(= r(//r) + 1/r (r) + 1/r (//) + () + (//z) z)
Grad Grad = = = r( = r(//r) = rdr) = rd/dr/dr
Pareta zilindrikoa bero-garapenik gabePareta zilindrikoa bero-garapenik gabe
5050
© Iñaki Gómez Arriaran
λλ22 = 0 = 0Fluxu unidimentsionalaFluxu unidimentsionala
1/r d(rd1/r d(rd/dr)/dr /dr)/dr = 0= 0
d(rdd(rd/dr)/dr = 0/dr)/dr = 0
rdrd/dr = C/dr = C1 1 →→ dd/dr = C/dr = C11/ r/ r
(r) = C(r) = C1 1 lnr + Clnr + C2 2 → exponentziala→ exponentziala
1.ing. baldintza: r = r1.ing. baldintza: r = r11 = = 11
2. ing. baldintza2. ing. baldintza : r = r: r = r2 2 = = 22
Laplaziarra Laplaziarra
22 = 1/r · = 1/r · (r(r//r)/r)/r = 1/r · d(rdr = 1/r · d(rd/dr)/dr/dr)/dr
rr22
zz
11
22
rr11
r
5151
© Iñaki Gómez Arriaran
1.i.b. : 1.i.b. : 11 = = CC11 lnr lnr11 + C + C22
2.i.b. : 2.i.b. : 22 = = CC11 lnr lnr22 + C + C22
CC1 1 = ( = ( 11 - - 22 ) / ln ( r ) / ln ( r11 / r / r22 ) )
CC22 = = 11 - lnr - lnr11 [( [( 11 - - 22 ) / ln ( r ) / ln ( r11 / r / r22 )] )]
(r) = [( (r) = [( 11 - - 22 ) / ln ( r ) / ln ( r11 / r / r22 )] )] lnr + lnr + 11 - lnr - lnr11 [( [( 11 - - 22 ) / ln ( r ) / ln ( r11 / r / r22 )] )]
(r) = [( (r) = [( 11 - - 22 ) ) ln ( r / rln ( r / r11 ) / ln ( r ) / ln ( r11 / r / r22 )] + )] + 11
1
2r
Pared cilíndrica sin generación interna de calorPared cilíndrica sin generación interna de calor
5252
© Iñaki Gómez Arriaran
Fourier aplikatuz: Fourier aplikatuz:
Bero-fluxua pareta zilindrikoanBero-fluxua pareta zilindrikoan
R ( º C / W ) pareta zilindrikoaren errresistentzia termikoa R ( º C / W ) pareta zilindrikoaren errresistentzia termikoa
QQrr = - = - λλ A A = - = - λλ A d A d/dr = - /dr = - λλ 2 2 r L · ( r L · ( 11 - - 22 ) / r ln ( r ) / r ln ( r11 / r / r22 ) = ) =
QQrr = ( = ( 11 - - 22 ) / [ ln ( r ) / [ ln ( r22 / r / r11 ) / 2 ) / 2 λλ L ] L ]
R = ln ( rR = ln ( r22 / r / r11 ) / 2 ) / 2 λλ L L
5353
© Iñaki Gómez Arriaran
rr33rr22
rr11
RR11RR22
RR11 = ln ( r = ln ( r22 / r / r11 ) / 2 ) / 2 λλ11 L L
RR22 = ln ( r = ln ( r33 / r / r22) / 2) / 2 λλ22 L L
Pareta zilindriko konposatuaPareta zilindriko konposatua
5454
© Iñaki Gómez ArriaranPareta esferikoa bero-garapenik gabePareta esferikoa bero-garapenik gabe
errejimen egonkorraerrejimen egonkorra
aa 22 + q + qGG/ / cp cp = = //t t
= = ( (r,r,ΦΦ,,φφ ) )
Kondukzioaren ekuazio Kondukzioaren ekuazio orokorraorokorra
= = ( r, ( r,ΦΦ,,φφ,t ),t )Tenperatura-eremuaTenperatura-eremua
//t = 0t = 0
Bero-garapenik gabe qBero-garapenik gabe qGG = 0 = 0
aa 22 = 0 = 0 λλ 22 = 0 = 0
rr22
rr11ΦΦ
φ
5555
© Iñaki Gómez Arriaran
rr22
r1
= = ( r) ( r)
Fluxu unidimentsionalaFluxu unidimentsionala
Grad Grad = = = = //r + 1/rsenr + 1/rsenφφ ((//ΦΦ) + 1/r () + 1/r (//φφ) )
Grad Grad = = = ( = (//r) = dr) = d/dr/dr
22 = 0 = 1/r = 0 = 1/r22 d(r d(r22dd/dr)/dr/dr)/dr
d(rd(r22dd/dr)/dr = 0/dr)/dr = 0
rr22dd/dr = C/dr = C1 1 dd/dr = C/dr = C1 1 / r/ r22
(r) =C(r) =C1 1 / r + C/ r + C22
5656
© Iñaki Gómez Arriaran
1.i.b.: r = r1.i.b.: r = r11 = = 11
2. i.b.: r = r2. i.b.: r = r2 2 = = 22
1.i.b. : 1.i.b. : 11 = = CC1 1 / r/ r11 + C + C22
2.i.b.: 2.i.b.: 22 = = CC1 1 / r/ r22 + C + C22
CC1 1 = ( = ( 11 - - 2 2 ) / ( 1/ r) / ( 1/ r11 - 1/ r - 1/ r22 ) )
CC22 = = 11 - ( - ( 11 - - 2 2 ) / r) / r11 ( 1/ r ( 1/ r11 - 1/ r - 1/ r22 ) )
(r) =C(r) =C1 1 / r + C/ r + C2 2 = ( = ( 11 - - 2 2 ) / r ( 1/r) / r ( 1/r11 - 1/r - 1/r22 ) + ) + 11 - ( - ( 11 - - 2 2 ) / r) / r11 ( 1/r ( 1/r11 - 1/r - 1/r22 ) = ) =
(r) = (r) = 11 + ( + ( 11 - - 2 2 ) · [ ( 1/r - 1/r) · [ ( 1/r - 1/r11 ) / ( 1/r ) / ( 1/r11 - 1/r - 1/r22 ) ] ) ]
5757
© Iñaki Gómez Arriaran
Fourier-en legea: Fourier-en legea:
QQrr = - = - λλ A A = - = -λλ A d A d/dr = -/dr = -λλ 4 4 r r22 ( ( 11 - - 2 2 ) / r) / r22( 1/r( 1/r11 - 1/r - 1/r22 ) = ) =
QQrr = ( = ( 11 - - 2 2 ) / [( 1/r) / [( 1/r22 - 1/r - 1/r11 )/ 4 )/ 4 λλ ] ]
Pareta esferikoaren erresistentzia termikoa : Pareta esferikoaren erresistentzia termikoa :
R = ( 1/ rR = ( 1/ r22 - 1/ r - 1/ r11 )/ 4 )/ 4 λλ = ( r = ( r22 -r -r11 ) / 4 ) / 4 λλ r r2 2 rr1 1
rr22
rr11
II
RR
Bero-fluxua pareta esferikoanBero-fluxua pareta esferikoan
5858
© Iñaki Gómez Arriaran
Errejimen egonkorrean /t = 0
k 2 + qG = 0
1.kondukzioaren ekuazio orokorra ebatzi 1.kondukzioaren ekuazio orokorra ebatzi tenperatura-distribuzioatenperatura-distribuzioa
(ariketaren ingurune baldintzak aplikatuz)(ariketaren ingurune baldintzak aplikatuz)
2. Fourier-en legea aplikatu 2. Fourier-en legea aplikatu bero-transmisioabero-transmisioa
Aztertuko ditugun kasuak:Aztertuko ditugun kasuak:
•Pareta laua bero-garapenarekin eta garapenik gabePareta laua bero-garapenarekin eta garapenik gabe
•Pareta zilindrikoa “ “Pareta zilindrikoa “ “
•Pareta esferikoa “ “Pareta esferikoa “ “
5959
© Iñaki Gómez Arriaran
1. Kasua: pareta laua bero-garapenarekin1. Kasua: pareta laua bero-garapenarekin
= = ( x,y,z,t ) ( x,y,z,t )
Errejimen egonkorraErrejimen egonkorra
Fluxu unidimentsionalaFluxu unidimentsionala = = ( x ) ( x )
non non 22 = = 22//xx2 2 = d = d2 2 /dx/dx22
k k 22 + q + qGG = k d = k d2 2 /dx/dx2 2 + q+ qGG = 0 = 0
dd2 2 /dx/dx2 2 = -q= -qGG/k/k
dd/dx = -q/dx = -qG G x / k + Cx / k + C11
(x) = -q(x) = -qGGxx22/2k + C/2k + C11 x + C x + C22
LL
x
pp
qG
k k 22 + q + qGG = = c cpp //t t
k k 22 + q + qGG = 0 = 0
6060
© Iñaki Gómez Arriaran
CC11 eta C eta C22 integrazio konstanteak kalkulatzeko, ingurune integrazio konstanteak kalkulatzeko, ingurune
baldintzak aplikatu:baldintzak aplikatu:
1.ingurune baldintza: x= 0 q1.ingurune baldintza: x= 0 qx=0 x=0 dd/dx = 0/dx = 0
2. Ingurune baldintza: x = 2. Ingurune baldintza: x = ++ L L = = pp
1.i.b. aplikatuz: d1.i.b. aplikatuz: d/dx = 0 = -q/dx = 0 = -qGG/k 0 + C/k 0 + C1 1 CC11 = 0 = 0
2.i.b. aplikatuz: 2.i.b. aplikatuz: p = -qp = -qGG L L2 2 /2k + 0 + C/2k + 0 + C2 2 CC22 = = p + qp + qGG L L2 2 /2k /2k
(x) = -q(x) = -qGG (L (L22 -x -x2 2 )) /2k + /2k + ppParetan barneko Paretan barneko tenperatura-distribuzioatenperatura-distribuzioa
LL
x
pp
qG
(x)
6161
© Iñaki Gómez Arriaran
Fourier-en legea aplikatuz: Fourier-en legea aplikatuz: QQxx = - k A = - k A = -k A d = -k A d/dx = -k A ( -q/dx = -k A ( -qGGx/k )x/k )
Paretatik kanpo guzira transmititutako bero-jarioa:Paretatik kanpo guzira transmititutako bero-jarioa:
Q = QQ = Qx = Lx = L + Q + Qx = -L x = -L = 2AL q = 2AL qG G = V q= V qGG
QQxx= A q= A qGG x x
6262
© Iñaki Gómez Arriaran
2. Kasua: pareta laua bero-garapenik gabe2. Kasua: pareta laua bero-garapenik gabe
x
L
2
1
Q
Kasu honetan qKasu honetan qGG = 0 = 0
1.ingurune baldintza: x = 0 1.ingurune baldintza: x = 0 = = 11
2. Ingurune baldintza: x = L 2. Ingurune baldintza: x = L = = 22
22 = d = d2 2 /dx/dx22 = 0 = 0
dd/dx = C/dx = C11
(x) = C(x) = C11 x + C x + C22
(x) = ((x) = (22 - - 11) x/L + ) x/L + 11 Ordezkatuz:Ordezkatuz:
(x)
k k 22 + q + qGG = = c cpp //t t
k k 22 = 0 = 0
6363
© Iñaki Gómez Arriaran
Fourier-en legea aplikatuz: Fourier-en legea aplikatuz: QQxx = - k A = - k A = -k A d = -k A d/dx = -k A C/dx = -k A C1 1 ==
Q = k A ( Q = k A ( 11 - - 22 )/ L )/ L
Analogia elektrikoa:Analogia elektrikoa:
Ohm-en legea Fourier-en legeaOhm-en legea Fourier-en legea
L
21
k
QI
R
V1
V2
I = I = VV2-12-1 / R / R Q = Q = 2-1 2-1 / (L / k A )/ (L / k A )
Pareta Pareta lauaren lauaren erresistentzia erresistentzia termiko termiko baliokidea: baliokidea:
RRTPTP = L / k A = L / k A
6464
© Iñaki Gómez Arriaran
Pareta konposatuak:Pareta konposatuak:
L1
4
1k1
Q
L2 L3
k2 k3
Q = ( Q = ( 11 - - 4 4 )/ ( R)/ ( R11 + R + R22 + R + R33 ) )
R1R2 R3
Q
2
1k1
Qk2
k3
L
R1
R2
R3
Q = ( Q = ( 11 - - 2 2 ) x ( 1/R) x ( 1/R11 +1/ R +1/ R22 + 1/R + 1/R33 ) )
Q
6565
© Iñaki Gómez Arriaran
3. Kasua: pareta zilindrikoa bero-garapenarekin3. Kasua: pareta zilindrikoa bero-garapenarekin
= = ( r, ( r, ,z,t ),z,t )
Errejimen egonkorraErrejimen egonkorra
Fluxu unidimentsionalaFluxu unidimentsionala
R
r
z
pp
qG
= ( r )
kk22 + q + qGG = 0 = k [1/r d(rd = 0 = k [1/r d(rd/dr)/dr] + q/dr)/dr] + qG G
1/r d(rd1/r d(rd/dr)/dr /dr)/dr = -q= -qGG/k/k
d(rdd(rd/dr)/dr = - r q/dr)/dr = - r qGG/k/k
rdrd/dr = - r/dr = - r22 q qGG/2k + C/2k + C1 1 dd/dr = - r q/dr = - r qGG/2k + C/2k + C11/r/r
(r) = - r(r) = - r22 q qGG/4k + C/4k + C1 1 lnr + Clnr + C22
k k 22 + q + qGG = = c cpp //t t
k k 22 + q + qGG = 0 = 0
6666
© Iñaki Gómez Arriaran
1.ingurune baldintza: r= 0 q1.ingurune baldintza: r= 0 qr=0 r=0 dd/dr = 0/dr = 0
2. Ingurune baldintza: r = R 2. Ingurune baldintza: r = R = = pp
1.i.b. aplikatuz: d1.i.b. aplikatuz: d/dr = 0 /dr = 0 CC11 = 0 = 0
2.i.b. aplikatuz: 2.i.b. aplikatuz: p = -qp = -qGG R R2 2 /4k + 0 + C/4k + 0 + C2 2 CC22 = = p + qp + qGG R R2 2 /4k /4k
(r) = (r) = p + qp + qG G ( R( R2 2 - r- r22 ) /4k ) /4k Ordezkatuz:Ordezkatuz:
Fourier-en legea aplikatuz: QFourier-en legea aplikatuz: Qrr = - k A = - k A = -k A d = -k A d/dr = -k 2/dr = -k 2 r L ( - r L ( -
r r qqGG/2k ) = /2k ) = L r L r22 q qGG
QQrr = = L r L r22 q qGG = V q = V qGG = Q = QGG
z
p
r
6767
© Iñaki Gómez Arriaran
4. Kasua: pareta zilindrikoa bero-garapenik gabe4. Kasua: pareta zilindrikoa bero-garapenik gabe
rr22
zz
1122
rr11
r
Kasu honetan qKasu honetan qGG = 0 = 0
22 = 0 = [1/r d(rd = 0 = [1/r d(rd/dr)/dr]/dr)/dr]
1/r d(rd1/r d(rd/dr)/dr /dr)/dr = 0= 0
d(rdd(rd/dr)/dr = 0/dr)/dr = 0
rdrd/dr = C/dr = C1 1 dd/dr = C/dr = C11/r/r
(r) = C(r) = C1 1 lnr + Clnr + C22
1.ingurune baldintza: r= r1.ingurune baldintza: r= r11 = = 11
2. Ingurune baldintza: r = r2. Ingurune baldintza: r = r2 2 = = 22
k k 22 + q + qGG = = c cpp //t t
k k 22 = 0 = 0
6868
© Iñaki Gómez Arriaran
1.i.b. aplikatuz: 1.i.b. aplikatuz: 11 = = CC11 lnr lnr11 + C + C22
2.i.b. aplikatuz: 2.i.b. aplikatuz: 22 = = CC11 lnr lnr22 + C + C22
CC1 1 = ( = ( 11 - - 22 ) / ln ( r ) / ln ( r11 / r / r22 ) )
CC22 = = 11 - lnr - lnr11 [( [( 11 - - 22 ) / ln ( r ) / ln ( r11 / r / r22 )] )]
(r) = [( (r) = [( 11 - - 22 ) / ln ( r ) / ln ( r11 / r / r22 )] )] lnr + lnr + 11 - lnr - lnr11 [( [( 11 - - 22 ) / ln ( r ) / ln ( r11 / r / r22 )] )]
(r) = [( (r) = [( 11 - - 22 ) ) ln ( r / rln ( r / r11 ) / ln ( r ) / ln ( r11 / r / r22 )] + )] + 11
1
2r
6969
© Iñaki Gómez Arriaran
Fourier-en legea aplikatuz: Fourier-en legea aplikatuz:
QQrr = - k A = - k A = -k A d = -k A d/dr = -k 2/dr = -k 2 r L( r L( 11 - - 22 ) / r ln ( r ) / r ln ( r11 / r / r22 ) = ) =
QQrr = ( = ( 11 - - 22 ) / [ ln ( r ) / [ ln ( r22 / r / r11 ) / 2 ) / 2 k L ] k L ]
Pareta zilindrikoaren erresistentzia termiko baliokidea: Pareta zilindrikoaren erresistentzia termiko baliokidea:
RRTZTZ = ln ( r = ln ( r22 / r / r11 ) / 2 ) / 2 k L k L
Pareta konposatuak:Pareta konposatuak:
rr33
rr22rr11
RR11RR22
RR11 = ln ( r = ln ( r22 / r / r11 ) / 2 ) / 2 k k11 L L
RR22 = ln ( r = ln ( r33 / r / r22) / 2) / 2 k k22 L L
7070
© Iñaki Gómez Arriaran
5.Kasua: pareta esferikoa bero-garapenarekin5.Kasua: pareta esferikoa bero-garapenarekin
= = ( r, ( r, ,z,t ),z,t )
Errejimen egonkorraErrejimen egonkorra
Jario unidimentsionalaJario unidimentsionala = = ( r ) ( r )
kk22 + q + qGG = 0 = k [1/r = 0 = k [1/r22 d(r d(r22dd/dr)/dr] + q/dr)/dr] + qG G
1/r1/r22 d(r d(r22dd/dr)/dr /dr)/dr = -q= -qGG/k/k
d(rd(r22dd/dr)/dr = - r/dr)/dr = - r22 q qGG/k/k
rr22dd/dr = - r/dr = - r33 q qGG/3k + C/3k + C1 1 dd/dr = - r q/dr = - r qGG/3k + C/3k + C1 1 / r/ r22
(r) = - r(r) = - r22 q qGG/6k - C/6k - C1 1 / r + C/ r + C22
1.ingurune baldintza: r = 0 q1.ingurune baldintza: r = 0 qr=0 r=0 dd/dr = 0/dr = 0
2. Ingurune baldintza: r = R 2. Ingurune baldintza: r = R = = pp
R
k k 22 + q + qGG = = c cpp //t t
7171
© Iñaki Gómez Arriaran
1.i.b. aplikatuz: d1.i.b. aplikatuz: d/dr = 0 /dr = 0 CC11 = 0 = 0
2.i.b. aplikatuz: 2.i.b. aplikatuz: p = -qp = -qGG R R2 2 /6k + 0 + C/6k + 0 + C2 2 CC22 = = p + qp + qGG R R2 2 /6k/6k
Ordezkatuz:Ordezkatuz: (r) = (r) = p + qp + qG G ( R( R2 2 - r- r22 ) /6k ) /6k
Fourier-en legea aplikatuz: QFourier-en legea aplikatuz: Qrr = - k A = - k A = -k A d = -k A d/dr = /dr =
-k 4-k 4 r r22 (- r q (- r qGG/3k ) = 4/3 ( /3k ) = 4/3 ( r r33 ) q ) qGG
QQrr = 4/3 ( = 4/3 ( r r33 ) q ) qGG = V q = V qGG = Q = QGG
7272
© Iñaki Gómez Arriaran
6. Kasua: pareta esferikoa bero-garapenik gabe
rr22
rr11
22 = 0 = 1/r = 0 = 1/r22 d(r d(r22dd/dr)/dr/dr)/dr
d(rd(r22dd/dr)/dr = 0/dr)/dr = 0
rr22dd/dr = C/dr = C1 1 dd/dr = C/dr = C1 1 / r/ r22
(r) =C(r) =C1 1 / r + C/ r + C22
1.ingurune baldintza: r= r1.ingurune baldintza: r= r11 = = 11
2. Ingurune baldintza: r = r2. Ingurune baldintza: r = r2 2 = = 22
1.i.b. aplikatuz: 1.i.b. aplikatuz: 11 = = CC1 1 /r/r11 + C + C22
2.i.b. aplikatuz: 2.i.b. aplikatuz: 22 = = CC1 1 / r/ r22 + C + C22
CC1 1 = ( = ( 11 - - 2 2 ) / ( 1/r) / ( 1/r11 - 1/r - 1/r22 ) )
CC22 = = 11 - ( - ( 11 - - 2 2 ) / r) / r11 ( 1/r ( 1/r11 - 1/r - 1/r22 ) )
k k 22 + q + qGG = = c cpp //t t
7373
© Iñaki Gómez Arriaran
(r) =C(r) =C1 1 / r + C/ r + C2 2 = ( = ( 11 - - 2 2 ) / r ( 1/r) / r ( 1/r11 - 1/r - 1/r22 ) + ) + 11 - ( - ( 11 - - 2 2 ) / r) / r11 ( 1/r ( 1/r11 - 1/r - 1/r22 ) = ) =
(r) = (r) = 11 + ( + ( 11 - - 2 2 ) · [ ( 1/r - 1/r) · [ ( 1/r - 1/r11 ) / ( 1/r ) / ( 1/r11 - 1/r - 1/r22 ) ] ) ]
Fourier-en legea aplikatuz: Fourier-en legea aplikatuz:
QQrr = - k A = - k A = -k A d = -k A d/dr = -k 4/dr = -k 4 r r22 ( ( 11 - - 2 2 ) / r) / r22( 1/r( 1/r11 - 1/r - 1/r22 ) = ) =
QQrr = ( = ( 11 - - 2 2 ) / [( 1/r) / [( 1/r22 - 1/r - 1/r11 )/ 4 )/ 4 k ] k ]
Pareta esferikoaren erresistentzia termiko baliokidea: Pareta esferikoaren erresistentzia termiko baliokidea:
RRTETE = ( 1/r = ( 1/r22 - 1/r - 1/r11 )/ 4 )/ 4 k = ( r k = ( r22 -r -r11 )/ [r )/ [r2 2 rr1 1 4 4 k ] k ]
rr22
rr11
II
RRTETE
7474
© Iñaki Gómez Arriaran
KONBEKZIOA
Molekulen arteko loturak aulak izanik, bero dagoen molekula fluidoan barne mugi daiteke, berarekin batera energia termikoa garraiatuz bero-transmisioa.
Fluidoaren molekulen arteko distantzia handia dela eta, kondukzio bidezko bero-transmisioarekiko erresistentzia termikoa handia da.
Materia garraio bitartez gertatzen den bero-transmisio mekanismo honi KONBEKZIO deritzaio.
7575
© Iñaki Gómez Arriaran
Konbekzio bidezko bero-transmisioa, faktore askoren araberakoa da:
•Jariakinaren abiadura ( c )
•Ukipen-azaleraren geometria eta ezaugarriak
•Jariakinaren propietate fisikoak ( , )
•Solidoaren propietate fisikoak ( k , cp )
•etab.
Denak laburbiltzeko, koefiziente bat erabiltzen da: hh = konbekzio-koefiziente edota pelikula-koefizientea.
h pelikula-koefizientea, korrelazio esperimentalen bitartez kalkulatzen da.
7676
© Iñaki Gómez Arriaran
Q = h A h ( W/m2K)
Analogia elektrikoa:
R
I
Q
h
R = 1 / h A
7777
© Iñaki Gómez Arriaran
h2
kL
2
1h1
k
b
R1R2 R3
Q QQKONBEKZIOA KONDUKZIOA KONBEKZIOA
R = R1 + R2 + R3 = 1/A ( 1/h1 + L/k + 1/h2 )
Q = ( b - k ) / R = A ( b - k ) / [ 1 / h1 )+ L / k + 1 / h2 ]
Q = U A U =1 / [ 1 / h1 )+ L / k + 1 / h2 ]
U : Bero-transmisio koefiziente orokorra
7878
© Iñaki Gómez Arriaran
h1
h2
R1R2 R3
Q QQKONBEKZIOA KONDUKZIOA KONBEKZIOA
R = R1 + R2 + R3 = 1/2L ( 1/r1h1 + 1/k ln(r2/r1) + 1/r2h2 )
Q = ( b - k ) / R = 2 r2 L ( b - k ) / [ (r2 / r1 h1 )+ ( r2 / k )ln(r2/r1) + 1 / h2 ]
Q = U2 A2
U2 =1 / [ (r2 / r1 h1 )+ ( r2 / k )ln(r2/r1) + 1 / h2 ]
7979
© Iñaki Gómez Arriaran
Reynolds zenbakia: Jariakinaren inertzia indarren eta liskatasun indarren arteko erlazioa.
Re = c /
Prandtl zenbakia: Jariakinean barne beroa zein abiaduraz transmititzen den adierazten du.
Pr = cP / k
Nusselt zenbakia: jarikaina eta paretaren arteko bero-transmisioa adierazten du.
Nu = h / k
Nu = f ( Re,Pr )Parametro hauen arteko erlazioa esperimentalki lortu behar da, ereduekin entsaiatuz.
KONBEKZIO BEHARTUA
8080
© Iñaki Gómez Arriaran
1.kasua: Tutueria baten barnekaldeko konbekzioa, jarioa zurrunbilotsua denean.
Dittus-Boelter Nu = 0,023 Re 0,8 Pr n
D.B. aplikatzeko baldintzak:
- Re >2100 (zurrunbilotsua)
- parametro adimentsionalak jariakinaren batazbesteko
tenperaturan
ZENBAIT KORRELAZIO ESPERIMENTAL
n=3 hoztutzen bada
n= 4 berotzen bada
cc
= D
= 4A/Pbustita
8181
© Iñaki Gómez Arriaran
2.kasua: Gainazal lau batean zeharreko konbekzio behartua.
= L
Re > 5·104 5·105 Nu = 0,036 ReL0,8 Pr 1/3
Re < 5·104 5·105 Fluxu laminarra NuL = 0,664 ReL 1/2 Pr 1/3 L xkr
L xkr
Parametroak pelikula--batazbesteko tenperaturan neurtuak:
Nu = 0,036 Pr 1/3 (ReL0,8 -23.200) L xkr
m = ( p + f ) / 2L
xkr
Fluxu zurrunbilotsua
Fluxu mistoa
8282
© Iñaki Gómez Arriaran
3.kasua: Zilindro baten kanpokaldeko gainazalarekiko korronte gurutzatu baten konbekzio behartua.
= D
Churchill-Bernstein
Nu = 0,3+ [(0,62 Re1/2Pr 1/3)/ [1+(0,4/Pr)2/31/4 · [1+(Re/282.000)1/2
Parametroak pelikula--batazbesteko tenperaturan neurtuak:
4.kasua: Esfera baten kanpokaldeko gainazalarekiko korronte gurutzatu baten konbekzio behartua.
= D Whitaker
Nu = 2+(0,4Re1/2+0,06Re2/3)Pr0,4
c
8383
© Iñaki Gómez Arriaran
KONBEKZIO NATURALA
Gr = g32 / 2
Grashof zenbakia: Fluidoaren igotze indarren eta liskatasun indarren arteko erlazioa.
Gas idealetan : = 1/T
Grashof zenbakia handiagoa den neurrian, handiagoa izango da jariakinaren mugimendu librea
θ
x
cparetapareta
Liskatasun indarrakLiskatasun indarrak
Flotazio-indarrakFlotazio-indarrak
Nu = f ( Gr, Pr )Rayleigh-en zenbakia: Ra = Gr · Pr
8484
© Iñaki Gómez Arriaran
Gr·Pr > 108 jario zurrunbilotsua
1.kasua: Zilindro horizontal baten kanpokaldeko gainazalarekiko konbekzio naturala.
= D
104< Gr <109 h = 1,32 [ (-f) / D ]1/4
109< Gr <1012 h = 1,25 (-f)1/3
= gainazal tenperaturaf = jariakinaren tenperatura
2.kasua: Plaka bertikal baten gainazalarekiko konbekzio naturala.
= L
104< Gr <109 h = 1,42 [ (-f) / L ]1/4
109< Gr <1012 h = 1,31 (-f)1/3