Ejercicio 7

∫ 1x2√4+x2

dx

Para √b2+a se sustituye por √a√btag (u)

Aplicamos la regla por sustitución: ∫ f (g (x ) )∗g ´ (x )dx= ∫ f (u )du ,u=g(x )

x=2 tang (u):dx=2 sec2 (u )du

¿∫ 1(2 tan (u))2√4+(2 tan (u )) ²

sec ²(u)du

¿∫ csc ²(u)2√4 tan ² (u )+4

du

Sacamos la constante: ∫ a∗f ( x )dx=a∗ ∫ f ( x )dx

¿ 12∫

csc ²(u)2√4 tan ² (u )+4

du

Aplicamos la siguiente propiedad algebraica. (a+b )=a(1+ ba) = 4 tan ² (u )+4=4 ( 4 tan ² (u )

4+1)

¿ 12∫

csc ²(u)

√2√ tan ² (u )+1¿du¿

Simplificamos

¿ 12∫

csc ²(u)

2√4 ( 4 tan ² (u )4

+1)du

Aplicamos la siguiente identidad: 1+ tan2(x)=sec2(x)

¿ 12∫

csc ² (u)2√sec2(u)

Sacamos la constante: ∫ a∗f ( x )dx=a∗ ∫ f ( x )dx

¿ 1212∫

csc ²(u)

√sec 2(u)Para √sec2(u)= (sec (u ) ) , asumiendoque sec (u )≥0

¿ 1212∫

csc ² (u)sec(u)

du

¿ 1212∫

1sin (u)

cot (u )du

Ahora utilizamos la siguienteidentidad 1

sin (x )=csc (x )

¿ 1212∫ cot (u ) csc(u)du

Expresamos con seno, coseno

¿ 1212∫

cos (u)sin ² (u)

du

Aplicamos la regla por sustitución: ∫ f (g (x ) )∗g ´ (x )dx= ∫ f (u )du ,u=g(x )

v=sin (u ) :dv=cos (u )du ,du= 1cos (u)

dv

¿ 1212∫

cos (u)v ²

1cos (u)

dv

¿ 1212∫

1v ² dv

Utilizamos la propiedad de los exponentes 1v ²

=v−² dv

¿ 1212v−2+1

−2+1

Sustituimos la ecuación v=sin (u ) :u=artan( 12x )

¿ 1212

sin−2+1(artan( 12 x ))−2+1

Simplificamos

¿−√ x ²4 +1

2 x

Agregamos la constante. si dF (x)dx

=f (x ) entonces∫ f ( x )dx=F ( x )+c

¿−√ x24 +1

2x+C