Post on 17-Jan-2016
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DDEERRIIVVAADDAASS
La derivada de una función y = f(x) con respecto a x se define por el límite:
f’(x) = x
f(x) - x) f(x xy
dxdy límlím
0x0x ΔΔ+
=ΔΔ
=→Δ→Δ
FFÓÓRRMMUULLAASS DDEE DDEERRIIVVAACCIIÓÓNN
u,v : funciones de x a, c : constantes
dxdc = 0 ( )
dxdu ·
ue log u log
dxd
=
dxdx = 1 ( )
dxdu · aln · a a
dxd uu =
( )dxdv
dxdu vu
dxd
±=± ( )dxdu · e e
dxd uu =
( )dxdu · c u · c
dxd
=
( )dx
u ·u ln dx
u v udx
v1 - vv +=dvdud
( )dxdu · v
dxdv ·u v·u
dxd
+= ( )dxduu cos u sen
dxd
=
( )dxdu nu u
dxd 1 -n n = ( )
dxduu sen - u cos
dxd
=
2vdxdvu -
dxduv
vu
dxd
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ( )
dxduu sec utan
dxd 2=
( )dxdu ·
dudy y
dxd
= ( )dxduu cosec- u ancot
dxd 2=
dydx1
dxdy
= ( )dxduu u tan sec u sec
dxd
=
( )dxdu ·
u1 u ln
dxd
=
( )dx
u cotan u cosec- u cosecdx
=dud
220073-1
ÁÁLLGGEEBBRRAA DDEE DDEERRIIVVAADDAASS 1. Derive las siguientes funciones, usando las propiedades de
derivación: a) y = x5 – 4x3 + 2x – 3
b) f(x) = ax2 – bx + c
c) y = a
5x- 3
d) f(x) = 2x2 - x3
e) y = 4x - 5x3
f) f(x) = x2 3 2x
g) y = b x
a+
h) f(x) = 3 -5x 4 3x +
i) y = x- 1x
j) f(x) = 1 x
x+
k) y = 5sen x + 3cos x l) f(x) = tan x – cot x m) y = 2x sen x
n) f(x) = xsec xcos
o) y = ex cos x
p) f(x) = xcos -sen x xcos sen x +
q) y = ln (x + 5) r) f(x) = (x2 – 5x) ln(x –5)
s) y = 2ln xe
2
x
+
t) f(x) = 2 -x 1 x ln +
2. Aplicando los teoremas de derivación, obtenga la función derivada de cada una de las siguientes funciones:
a) f(x) = ax + xb p) y = esenx
b) f(x) = 3 2x
1+
q) y = ecosx · senx
c) f(x) = x2 (x3 – 1) r) y = ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ x - x e
e d) f(x) = (x3 – 3x)4 s) y = ln ex
e) f(x) = 1 - x1 2x
2
+ t) y = xe
ln x
f) f(x) = 2
1 -x a x ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
u) y = ln (4 – 3x)
g) f(x) = 2 x 1 x- 1
+ v) y = x3 · ln x
h) y = x · sen x w) y = x
ln x
i) y = x
sen x x) y = ( )1 x x ln 2 ++
j) y = 2x cos 2 + y) y = 1 x
xln 2 +
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k) y = xcos 1
sen x - 1+
z) y = xx
l) y = x · e –x aa) y = xsen x
m) y = sen 2x · e –x bb) y = (sen x)x
n) y = 1 e1 - e
x
x
+ cc) y = (ex)x
o) y = ex(1 – x2) 3. Evaluar las derivadas de las siguientes funciones en el valor
indicado:
a) f(x) = 2x3 – 5x en x = 0
b) y = x1 - x4 en x =
41
c) f(x) = 3 5x 4 3x
++
en x = -1
d) s(t) = 4t – 16t2 en t = 1
e) y = 2ex x en x = 1 f) y = 2x en x = 0
4. EJERCICIOS DE INTERPRETACIÓN GRÁFICA
Para cada una de las siguientes funciones, obtenga la ecuación de la recta tangente a la curva f(x), en cada uno de los tres puntos que se indican.
a) f(x) = 4 en: x0 = -3, x0 = 0, x0 = 1
b) f(x) = x2 – 4 en: x0 = -1, x0 = 0, x0 = 2
c)
f(x) = x2
en: x0 = -1, x0 = 1, x0 = 2
d) f(x) = x3 – x en: x0 = -1, x0 = 0, x0 = 1
e) f(x) = ex en: x0 = -2, x0 = 0, x0 = 1
f) f(x) = e -x en: x0 = -1, x0 = 0, x0 = 1 5. Encuentre las ecuaciones de las rectas tangente y normal a
cada una de las siguientes curvas, en los puntos indicados. En cada caso, grafique la curva y la tangente.
a) y = x2 en (2,4)
b) y = x en x0 = 4 c) y = 4x – x2 en (2,4) 6. En cada uno de los siguientes casos, encuentre el punto de
intersección entre ambas curvas; y el ángulo formado por las tangentes a las curvas en dicho punto.
a) y = x2 y = 2 – x2
b) f(x) = sen x g(x) = cos x c) y = ln (x + 1) y = ln (5 – x) NOTA: El ángulo α entre dos rectas cuyas pendientes son m1 y m2 está dado por la relación:
tan α = 21
12
m ·m 1m - m
+ ( m1 · m2 ≠ -1 )
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SSOOLLUUCCIIOONNEESS ÁÁLLGGEEBBRRAA DDEE DDEERRIIVVAADDAASS 1.
a) 2x12x5'y 24 +−=b) bax2)x('f −=
c) 2xa
15'y −=
d) 2x2
3)x`(f −=
e) 6x154'y +=
f) 35
x38)x('f =
g) 23
x2a'y
−−=
h) 2)3x5(
29)x('f−
−=
i) 2)x1(x2
x1'y−
+=
j) 1x
)1x(2x1x
)x('f23
+
+−+=
−
k) xsen3xcos5'y −=
l) xeccosxsec)x('f 22 +=m) xcosx2xsen2'y +=
n) xsec
xtgxsecxsecxsen)x('f 2⋅−⋅−
=
o) )xsenx(cose'y x −=
p) 2)xcosx(senxcosxsen4)x('f
−⋅
−=
q) 5x
1'y+
=
r) 5x5x2)5xln()5x2()x('f
−−
+−⋅−=
s) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −= 32
x
x2
x1e'y
t) )2x(2
1)1x(2
1)x('f−
−+
=
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2.-
a) f x a bx
' ( ) = − 2
b) ( )
f xx
' ( ) = −+
1
2 3 3
c) f x x x' ( ) = −5 24
d) ( )f x x x x' ( ) ( )= − −12 3 13 3 2
e) ( )( )
f xx x
x
' ( ) = −+ +
−
2 1
1
2
2 2
f) ( )( )
f xx
x' ( ) = −
+
−
4 1
1 3
g)
( )( )f x x x
x x
' ( ) = −− −
− +
2
2 3
2 1
2 1 1
h) y' = sen( x )+ x cos( x )
i) y x x xx
' cos( ) sen( )=
−2
j) y xx
' sen( )cos( )
=+
22 2
k) ( )
y x x
x' sen( ) cos( )
cos( )=
− −
+
1
1 2
l) y e xx' ( )= −− 1
m) y e x xx' ( cos( ) sen( ))= −− 2 2 2
n)
( )y e
e
x
x' =
+
2
12
o) y e x xx' ( )= − −1 2 2
p) y x e x' scos( )= ⋅ en( )
q) y e x xx' cos( ) (cos( ) sen ( ))= − 2
r) ( )y e ex x ex' = − ⋅ −1
s) y' = 1
t) y x xx ex
' ln=
−
⋅
1
u) yx
' =−3
3 4
v) y x x' ( ln= +2 1 3 )
w) y xx
' ln=
−12
x) yx
' =+
1
12
y) yx x
'
( )=
⋅ +
112
z) y x xx' ( ln= +1 )
aa) y x xx
x xx' sen( ) sen( ) cos( ) ln= +⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⋅
bb) y x x xx
xx' sen( ) cos( )sen( )
ln(sen )=⋅
+⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
cc) y x ex' = ⋅22
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4.- a) T: y = 4, en x = -3, x = 0 y x = 1 c) T: y = -2x - 4 en x = -1
T: y = -2x + 4 en x = 1
T: y = −x2+ 2 en x = 2
e) T: , en x = -2 y e x e= ⋅ + ⋅−2 3 −2
T: y = x + 1, en x = 0 T: y = ex
5