Universidad Nacional Experimental“Francisco de Miranda”

Área de TecnologíaPrograma IngenieríaU.C. Matemática IV

Ecuaciones Diferenciales por

Separación de Variables

A continuación, resolveremos ED por Separación de Variables Aplicando diversos procedimientos para su solución (Integración Inmediata, Cambio de Variables, ILATE, Fracciones Parciales)

ED por Separación de Variables

3 𝑦 ´+8 𝑥3=2

3 𝑦 ´=2−8𝑥3

𝑦 ´=2−8 𝑥3

3

Despejamos

a “y”

𝑑𝑦𝑑𝑥

=2−8𝑥3

3

𝒜

ED por Separación de Variables

Ahora:

Integramo

s

∫ 𝑑𝑦=23∫ 𝑑𝑥−

83∫ 𝑥3𝑑𝑥

Podemos Aplicar:

INTEGRACIÓN

INMEDIATA

𝑦+𝑐1=23

𝑥+𝑐2− 83.𝑥4

4+𝑐3

𝑦=−23

𝑥4+23

𝑥+𝑐2+𝑐3−𝑐 1

ED por Separación de Variables

𝑦=−23

𝑥4+23

𝑥+𝑐

Pero => 𝒞=𝑐 2+𝑐3−𝑐1

Solución

ED por Separación de Variables

𝟗 𝒚 ´+𝑺𝒆𝒏 (𝒙+𝟐 )=𝟎

y´ = -

Despejamos

a “y” = -

= -

ℬ

ED por Separación de Variables

= -

Integramo

s y + c 1= -

y + c 1= -

Aplicamos: CAMBIO DE VARIABLE

y + c 1= - Devolvemos el CAMBIO

ED por Separación de Variables

y + c 1= - 2

Pero => - 2

y = -

Solución

ED por Separación de Variables

Integramo

s

Despejamos

a “y”

𝒞

ED por Separación de Variables

Aplicamos: ILATE

𝓊= ln𝑥

𝑑𝑢=𝑑𝑥𝑥

∫𝒹 𝑣= ∫ 𝑥2𝑑𝑥

𝑣=𝑥3

3

. - .

Sustituimos

ED por Separación de Variables

. - .

. - . + 2

Integramos

. - . 2

ED por Separación de Variables

Sustituim

os en la

original

𝒚+𝒄1=¿ . - . 2

( -

Factor Común

𝒚=¿ . - .

Pero => - 2

Solución

𝒟𝑑𝑦𝑑𝑥

=5𝑥+2

3 𝑥2+5 𝑥+2

𝑑𝑦=5 𝑥+2

3 𝑥2+5𝑥+2𝑑𝑥

Despejamos a

“y”

Integramo

s

∫ 𝑑𝑦= ∫5 𝑥+2

3 𝑥2+5𝑥+2𝑑𝑥

y+𝑐1= ∫5𝑥+2

3𝑥2+5 𝑥+2𝑑𝑥

ED por Separación de Variables

y+𝑐1= ∫5𝑥+2

3𝑥2+5 𝑥+2𝑑𝑥

Apliquemos: FRACCIONES PARCIALES

∫5 𝑥+2

3 𝑥2+5𝑥+2𝑑𝑥

Debemos aplicar La RESOLVENTE

−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐2𝑎

𝑎=3 , b=5 , c=2

−5±√52−4(3)(2)2.3

ED por Separación de Variables

−5±√25−246

𝑥1=−5+16

𝑥2=−5−16

𝑥1=−23 𝑥2=−1

3 𝑥+2=0 𝑥+1=0

∫5 𝑥+2

3 𝑥2+5𝑥+2𝑑𝑥= ∫

5𝑥+2(3 𝑥+2)(𝑥+1)

𝑑𝑥

ED por Separación de Variables

∫5 𝑥+2

3 𝑥2+5𝑥+2𝑑𝑥= ∫

5𝑥+2(3 𝑥+2)(𝑥+1)

𝑑𝑥

Separamos

𝐴 ( 𝑥+1 )+𝐵(3 𝑥+2)(3𝑥+2)(𝑥+1)

∫5𝑥+2

(3 𝑥+2 ) (𝑥+1 )𝑑𝑥=¿

∫5𝑥+2

(3 𝑥+2 ) (𝑥+1 )𝑑𝑥=¿

∫5𝑥+2

(3 𝑥+2 ) (𝑥+1 )𝑑𝑥=¿

ED por Separación de Variables

𝐴𝑥+𝐴+3𝐵𝑥2𝐵(3𝑥+2)(𝑥+1)

∫5𝑥+2

(3 𝑥+2 ) (𝑥+1 )𝑑𝑥=¿

( 𝐴+3𝐵 ) 𝑥+( 𝐴+2𝐵)(3 𝑥+2)(𝑥+1)

∫5𝑥+2

(3 𝑥+2 ) (𝑥+1 )𝑑𝑥=¿

Ahora, Resolvemos:

A + 3B = 5 (1)(-1) A + 2B = 2 (2)

A + 3B = 5-A - 2B = -2

B = 3

A + 2B = 2 A = 2 - 2B A = 2 – 2(3)

Sustituimos En (2)

A = -4

ED por Separación de Variables

Sustituimos EN:

-4

Integramos:

−43ln (3 𝑥+2 )+3 ln ( 𝑥+1 )+𝑐2

Sustituimos EN ORIGINAL:

∫5 𝑥+2

3 𝑥2+5𝑥+2𝑑𝑥=¿

∫5 𝑥+2

3 𝑥2+5𝑥+2𝑑𝑥=¿

y+𝑐1=−43ln (3 𝑥+2 )+3 ln ( 𝑥+1 )+𝑐2

Pero =>𝑐 3=𝑐2−𝑐1

𝑐 3= ln𝑐

ED por Separación de Variables

y=−43ln (3𝑥+2 )+3 ln ( 𝑥+1 )+ ln𝑐

𝑦=ln (3𝑥+2 )− 43+ ln(𝑥+1)3+ ln𝑐

𝑦=ln [c . (3 𝑥+2 )¿¿− 43. ln(𝑥+1)3]¿

Solución

ED por Separación de Variables