Post on 16-Dec-2015
description
FORMULACIN HAMILTONIANA: ECUACIONES
1. El punto de suspensin de un pndulo simple de masa y de longitud l est obligado a moverse a lo largo de una pista horizontal, y est conectado a un punto de la periferia de un volante de masa y de radio . El volante gira libremente alrededor de un centro fijo en la pista. Hallar la hamiltoniana del sistema, y las correspondientes ecuaciones del movimiento de Hamilton.
m
M a
cossincos2
lylax
=+=
&&&&&
lsinylasinx
=+= cos2
( )
( )
=
+
++==
=====
=
+=
&&&&
&&&&
&
&&&&
A,21
coscossin2sin222
cos4122
21
cossin2sin22
22222
224
0
2
2
22222
L
mglalmmaIlmL
mglV
MRlaMlarrdrlI
IT
almmalmT
a
D
p
32
2cos2sin2224)2sin24(2
12cossin2
cossin22sin24)1(
)1(21
2sin24cossin2cossin22
mlamaIml
mlalmalmaI
TT
P
P
maIalmalmml
+
+=
=
=
=
+=
A
PAP
AP
A
&&
coscossin4222)2sin24(21 mglPPalmPmlPmaIH
+++=
No hay ninguna que sea obviamente cclica, aunque H se conserva: H=E, al no depender explcitamente del tiempo.
Las ecuaciones de Hamilton son:
PHHP
PHHP
=
=
=
=
&&
&&
;
;
-------------------------------------------
2. La Lagrangiana de un sistema con dos grados de libertad puede escribirse en la forma
])()cos[(2
22 tqsintqtsinqmL ++= &
Cul es la Hamiltoniana correspondiente?Se conserva? Introduciendo la nueva coordenada
tqsinQ = , hallar la Lagrangiana en funcin de Q y su derivada, y tambin la correspondiente Hamiltoniana .Se conserva ? H H
33
[ ]
22
)cos(
)()cos(2
2222
22
mqtsinqmH
LqpH
tqtsinqtmsinqLp
tqtsintqtsinqmL
==
+==
++=
&
&
&&
&
donde
tsintq
tmsinpq
1)cos( =&
Entonces la Hamiltoniana es:
2)cos(
2222 mqtq
tmsinpmH =
No se conserva al depender del tiempo.
22211
1222
1
21
21
)(2
cos
QmPm
H
QmPQQmL
tqtsinqQ
tqsinQ
=
=+=+=
=
&&&&
S, se conserva.
-----------------------------------------
3. Considrese un cilindro de radio R, libre de girar respecto de su eje de simetra, situado verticalmente, y cuyo momento de inercia respecto de tal eje es . Sobre la superficie lateral del cilindro est fija rgidamente una espira uniforme pista helicoidal, a lo largo de la cual puede deslizarse sin rozamiento un punto material de masa . El ngulo formado por la hlice respecto de la vertical es tal que desciende una altura 2 por cada vuelta que se da alrededor del cilindro. Supngase que la partcula parte del reposo desde la parte superior del cilindro y se desliza bajo la influencia de la gravedad. Usando un sistema de coordenadas cualquiera, obtener la Hamiltoniana para el sistema combinado partcula-cilindro, y resolver completamente el movimiento del sistema. Interprtense todas las variables cclicas del sistema.
I
m
34
=+=+=
zryrx )sin(;)cos(
siendo la constante de la espiral: 2=L
[ ]2222 )((21 &&& ++= RmTparticula
2
21 &ITcilindro = mgV =
[ ] mgaIRmL +++++=2
)2(21 222222 &&&&&&
=
++=
&
&&&&&&& A),(
21)(
),(21
22
222
ImRmRmRRmT
=
2
1
2
1
&&
App
( )
++
= 21
222
22
21 )(,
21
pp
RmmRmRImR
ppT
siendo 42222 ))(( RmmRIRm ++=
pero es cclica de modo que es constante: Lo que equivale a la conservacin del momento angular total. De hecho, como el sistema parte del reposo
,
2p .2 constp ==
0=.0)( 22 =++ && ImRmR
Entonces,
.)(21 2
12 pImRT +=
35
Definiendo + ImR
21 ,
mgp
H =2
21
Las ecuaciones de movimiento son:
1pH=& ;
= Hp1&
1p=& ; mgp =1&
)0(;)( 01 ==== &&tmgttmgp en t .0=2
0 2tmg
+=
242222
2
0 ))((2t
RmmRIRmImRmg
++++=
Movimiento uniformemente acelerado:
mg=&& ;
ImRmRmg
+= 22
&&
----------------------------------------
4. Una Hamiltoniana de un grado de libertad tiene la forma
[ ]kbeebqpqbeptqpH ttt +++= )(22
),,(22
en donde y son constantes. b, ka) Hallar la Lagrangiana asociada a esta Hamiltoniana. b) Obtener una Lagrangiana equivalente que no dependa del tiempo
explcitamente, explicando someramente la base del procedimiento seguido. c) Escribir la Hamiltoniana correspondiente a esta segunda Lagrangiana y
explicar su relacin con la Hamiltoniana anterior.
22
22qpqpH +=
con kbeebbe ttt ++ )(; HpqqqL = &&),( qp
pH ==&q
36
Entonces,
22
22 qpL = Sustituyendo el p:
22
2)(
2),( qqqqqL += &&
Recurdese que por el origen variacional de las ecuaciones de Lagrange L es
equivalente al Lagrangiano dtdFLL +1
siendo F arbitrario. Ntese que
= teqdtd 2 .2 2 tt eqeqq &
Resulta inmediato ver que
,22
)(2
2221 q
kqeqdtdLL t = &
de modo que el Lagrangiano equivalente es el del oscilador armnico:
221 22
qkqL = & y el Hamiltoniano asociado es:
.22
221 q
kqH += & ----------------------------------------
5. Dos masas puntuales y estn unidas por una cuerda de longitud constante . La primera partcula puede moverse libremente sin rozamiento sobre un plano horizontal, mientras la segunda cuelga verticalmente de la cuerda que pasa por un orificio practicado en dicha superficie. Obtener el
Lagrangiano, tambin el Routhiano correspondiente, y el Hamiltoniano. Reducir el problema a una cuadratura.
1m 2ml
1. Lagrangiano. Usamos z y como coordenadas.
37
1x cos)( zl = , entonces cossin)(1 zzlx &&& =sin)(1 zly = , entonces sincos)(1 zzly &&& =
22122122
21
211 )(222
1)(21 &&&&& zlmzmmzmyxmT ++=++=
gzmV 2=
gzmzlm
zmm
L 2221221 )(
22+++= &&
Ntese que es coordenada cclica: .0=L El correspondiente momento conjugado
es constante
.)( 212 ==== constzlmLp &&
2. Routhiano.
Es Vzlm
zmm
zlmLpppzR ++== 221221221221 )(22)();,( &&&&
Finalmente:
21);,( 21 =ppzR 22122
1
22
2)(z
mmgzm
zlmp &+
Las correspondientes ecuaciones de Lagrange tienen un solo grado de libertad, , puesto que
z.2 == constp
El potencial efectivo es .)(2 21
2
2 zlmgzm +
.0=
zR
zR
dtd
&
Entonces,
).)(2
()( 21
22
221 zlmp
gzmz
zmm =+ &&
Naturalmente, una primera integral de la ultima ecuacin es la ecuacin de la energa:
constEzlm
pgzmz
mm ==++
21
22
2221
)(22&
Despejando , se obtiene la solucin para z& :)(tz
++
==2
1
22
221 )(2
)(
zlmp
gzmEmm
z
dztz
dzdt &
38
Para la coordenada cclica tenemos: )(t
[ ] ,)( 212 dt
tzlmp
d = lo que reduce la solucin a dos cuadraturas.
El Hamiltoniano es trivial de obtener al ser diagonal la matriz
a invertir:
21
1211 ;)( mm
pzzmm
zLp +=+== &&&
21
2212 )(
;)(zlm
pzlmLp ==
= &&
&
T= 21
22
21
21
)(2)(2 zlmp
mmp
++
=+= VTH gzmzlm
pmm
p22
1
22
21
21
)(2)(2++
Evidentemente es tambin cclico en H .0: 2 === constpH
Ntese que la existencia de una coordenada cclica reduce en dos(no en uno) el orden del sistema a integrar, al desaparecer tanto la coordenada como su momento conjugado del problema diferencial. Ello no era obvio en los ejemplos anteriores en los que usamos el formalismo lagrangiano en vez del hamiltoniano.
------------------------------------------
6. A partir de la formulacin de Lagrange para un sistema descrito por n coordenadas generalizadas q : i
a) constryase una funcin , anloga a la hamiltoniana, en la que las variables independientes sean q y .
( tpqG ii ,, &&&i &pi
)
) )
b) Dedzcanse las correspondientes ecuaciones de movimiento.
a) A partir de la lagrangiana , construimos la funcin G mediante una transformacin de Legendre:
( tqqL ii ,, & ( tpq ii ,, &&( )tqqLpqG iiii ,, && = .
Diferenciando esta expresin se obtiene:
ttLq
qLq
qLqppqG i
ii
iiiii dddddd
+= &&&&
39
Aqu, el segundo y el tercer trmino se anulan en virtud de la ecuacin de Lagrange, , mientras que de la definicin de momento generalizado,
resulta: ii pqL &= / ii qLp &= / ,
ttLqppqG iiii dddd = &&
De forma que la diferencial de la nueva funcin G expresada en funcin de t como variables independientes.
ii pq && , y
b) Para obtener las ecuaciones de movimiento, comparamos el resultado anterior con la forma general de la diferencial de , ( )tpqG ii ,, &&
ttGp
pGq
qGG i
ii
i
dddd +
+= &&&& ,
obtenindose
ii p
Gq &= ,
ii q
Gp &= ,
tL
tG
=
, que son las ecuaciones del movimiento pedidas.
-------------------------------------
7. En un sistema de n grados de libertad el clculo de 2n constantes del movimiento del tipo fi(q1,..., qn, p1,...,pn, t), i = 1,...,2n, permite, en principio, integrar el problema. Considrese una partcula de masa m que se mueve en un plano vertical cartesiano (q1, q2) bajo la accin de la gravedad. Sin recurrir a la integracin de las ecuaciones de Hamilton, sino utilizando stas en la ecuacin general de una constante del movimiento, encontrar cuatro constantes del movimiento de forma a recuperar a partir de ellas la conocida solucin general: q1 = c1 + c2t ; q2 = c3 + c4t gt2/2. (Nota) : busque soluciones a la ecuacin en derivadas parciales para una constante del movimiento que dependan alternativamente de un par de variables conjugadas: primero, slo de (q1, p1); segundo, slo de (q2, p2). Combnelas despus con otras constantes del movimiento triviales para dar el resultado pedido).
Tomando q1 como la coordenada espacial horizontal y q2 la vertical, la hamiltoniana de la partcula es
22
222
21 mgq
mp
mpH ++
40
de modo que
, 0 , , 21
2
2
1
1
mgqH
qH
mp
pH
mp
pH ====
y las ecuaciones de Hamilton son
=
=
==
mgp
p
mp
qmp
q
2
1
22
11
0
&
&
&
&
Mientras que la condicin para que una funcin f(q1, q2, p1, p2, t) sea una constante del movimiento es
02
2
1
1
2
=+++tf
qf
mp
qf
mp
pfmg
Busquemos una solucin a esta ecuacin del tipo f(q1, p1, t). Una simple inspeccin de la ecuacin permite ver que
11
1 cmtp
q = es una solucin. Procediendo de forma equivalente, podemos ver que
21 mcp =
2
32
22 c
gtm
tpq = 42 mcmgtp =+
son tambin soluciones. Combinando todas ellas, encontramos la trayectoria del tiro parablico.
-----------------------------------------
8. La ecuacin de movimiento de una masa que se desliza sin rozamiento bajo la influencia de la gravedad, a lo largo de un cable cuya forma es la de una curva suave , viene dada por:
m
)(xfy =0hcoshsenhcosh 22 =++ xgsenxxxxx &&& .
a) Demostrar que la simple definicin lleva a una representacin de la ecuacin de movimiento anterior en variables que
xmp &=( , )x p no es hamiltoniana.
b) Encontrar la buena definicin del momento conjugado a la posicin x que s lleva a una representacin hamiltoniana.
c) Encuentre el hamiltoniano. a) Haciendo la transformacin , la ecuacin del movimiento se reduce a: pxm =&
41
xH
xxmgx
mpp
pH
mpx
==
==
coshtanhtanh
,
2
&
&
Queda claro que, con estas ecuaciones, no se cumple pxHxpH 22 = . No pueden, por lo tanto, derivar de un formalismo hamiltoniano.
b) La energa potencial es V . Mientras, la cintica viene dada por:
)(),( xfmgmgyyx ==
( )22222 )(2
)(2
xfxxmyxmT +=+= &&&& Una vez construido el lagrangiano, llegamos a la siguiente ecuacin de Lagrange:
( )[ ]( ) ( ) 0)()()(2)(1
)()(1
2
2
=+++=++
xfmgxfxfxxmxfxm
xfmgxfxmdtd
&&&&
&
Identificando trminos con los de la ecuacin del enunciado:
xxfxxxfxf
xxf
senh )(;cosh senh )()(2
;cosh)(1 22
==
=+
De lo que deducimos fcilmente que:
xxf cosh)( = Dicho todo lo anterior, es fcil ver que:
( ) ( )xm pxxxmxLp 22 senh1;senh1 +=+== &&& c)
( )
( ) xmgxm pxmgxxmpxLpxH
coshsenh12
1
coshsenh121
2
2
22
++
=++== &&&
------------------------------------------- 9. Obtenga el hamiltoniano de un mvil, sometido a un potencial V, que se
desplaza sobre un disco horizontal que gira con una velocidad angular constante . Hgalo en los sistemas de referencia del laboratorio y del disco y establezca la relacin entre ambos hamiltonianos. Utilice la notacin
( ) para las coordenadas en el sistema laboratorio y para las correspondientes en el sistema que gira con el disco.
lablab, yx( yx, )
42
Lo importante aqu, es tener en cuenta que, para la construccin del hamiltoniano, T y V tienen que ser evaluadas en el sistema inercial (laboratorio).
( )lablab2lab ,2 yxVvmL =
Las ecuaciones que relacionan las coordenadas del sistema laboratorio y las del sistema no inercial giratorio, son:
sencossencos
lab
lab
xyyyxx
+==
Si el disco gira, por ejemplo, en el sentido contrario a las agujas del reloj, la diferenciacin con respecto al tiempo de las ecuaciones (con ) t =
( )( )
sencossencos
cossensencos
lab,
lab,
yxvvvyxvvv
xyy
yxx
++=+=
Un simple clculo nos lleva a:
( ) 22222lab 2 ryvxvvvv xyyx ++= ( )222 yxr += . Sustituyendo la expresin anterior en el lagrangiano inicial, obtenemos su representacin en las coordenadas del sistema giratorio. El paso siguiente es el de la obtencin de los momentos en el sistema giratorio.
( )( )xvm
vLp
yvmvLp
yy
y
xx
x
+==
==
El hamiltoniano en el sistema no inercial se construye de la forma usual
LvpvpH yyxx += = ( ) ( ) ),(
2
22
yxVxpypm
ppyx
yx +++ Finalmente, la relacin entre ambos hamiltonianos se obtiene teniendo en cuenta que el correspondiente al sistema inercial ser aqul que resulta de hacer nula la velocidad angular en la ecuacin anterior:
zlHH = = 00 -------------------------------------------
43
10. La relacin entre los hamiltonianos de una partcula movindose en un potencial V, definidos, respectivamente, en un sistema inercial y en un sistema no inercial que gira alrededor del eje z con velocidad angular constante , es
( l es la componente correspondiente del momento angular definido en el sistema no-inercial). Haciendo uso de esta ltima relacin demuestre el Teorema de Larmor, que asegura que puede eliminarse el efecto de un campo magntico estacionario uniforme sobre una partcula cargada en movimiento colocndose el observador en un sistema de referencia giratorio. Halle la frecuencia con la que debe girar el sistema de referencia no inercial (frecuencia de Larmor).
zinercialinercialno lHH = z
Ayuda: Recuerde que el lagrangiano de una partcula cargada en un campo
electromagntico viene dado por Avc
eemvL
rr += 221 . Recuerde tambin que la
ecuacin ( rBA rrr = 21 ) r define un campo magntico uniforme. Por ltimo, tome el eje z como direccin del campo uniforme y como eje de giro del sistema giratorio. B
Dado el lagrangiano del enunciado del problema es fcil obtener el momento conjugado y el hamiltoniano (recuerde que estamos en un sistema inercial). Son, respectivamente,
+
=+= eAcep
mHA
cevmp inercial
2
21 ,
rrrrr
H es constante slo si los campos son estacionarios. En el campo magntico de caractersticas impuestas en el enunciado campo magntico uniforme en la direccin z y ( rBA r= 21 )rr el hamiltoniano se transforma en:
zlmc
eBeBr
mc
e
m
pinercialH 2
224
122
2
2
2++=
Podemos, ahora, invocar el problema 9. La comparacin con la relacin del enunciado lleva inmediatamente a encontrar la frecuencia de Larmor y el hamiltoniano en el sistema giratorio:
mc
eBL 2
=
+
+= eBrmce
mp
giratorioH22
41
22
2
2
2
Vemos que el trmino lineal en B est ausente. Esto indica que, si el campo es pequeo, la dependencia en ste es despreciable (en trminos de segundo orden).
-------------------------------------------
11. Sabemos que no existe una forma estndar de obtener una funcin generatriz
que lleve a una formulacin ms conveniente. Sin embargo, el empleo de las propiedades que deseamos en la formulacin de destino, permite obtenerla
44
fcilmente. Un ejemplo clsico es el de la funcin en el caso de la cada libre de un cuerpo en un campo gravitatorio . Queremos que en la nueva formulacin, el Hamiltoniano, , sea slo funcin de la coordenada, Q , y que se cumpla la equivalencia entre los dos momentos, . Obtenga a partir de estos requisitos la forma de la funcin . (Recuerde que
( tQqF ,,1
pP =
)mgq
)t,K
( QqF ,1 qFp = 1 , QFP = 1 y tFHK += 1 )
Partimos de la expresin , que se traduce en el contexto presente en HK =
( ) mgqm
pQ +=2
f2
,
entendindose que f expresa la forma de . De esta ltima expresin obtenemos ( )Q K( )[ ]2122f2 gqmQmp =
Podemos hacer uso del requisito dado por la identificacin de ambos momentos
QF
qFPp
=== 11
Se desprende que f . Finalmente, la funcin generatriz resulta de la integracin de la ecuacin
( ) mgQQ =
( )[ ]qFqQgmp == 12 2
1
2
dando ( ) ( )[ ]23221 23 1, qQgmgmQqF =
------------------------------------------- 12. Un cuerpo, de masa m=1, se mueve en un campo en el cual la energa potencial
es , siendo g la aceleracin de la gravedad. Se sabe que la ecuacin del movimiento es
g f x( )
0)()()( =++ xgCxxBxxA &&& , siendo A(x), B(x) y C(x) tres funciones continuas. Si , axaaxaaxaxA 4-e243-e282-e241)( ++=a.- Cul es la expresin de la energa potencial?; Dibjela; b.- Cul es la expresin del hamiltoniano?; c.- Cul es la frecuencia de las pequeas oscilaciones alrededor del equilibrio?
Sea V la energa potencia. La ecuacin de Lagrange es: f(x)),( ggyyx == ( ) ( ) 0fff2f1 2 =+++ gxxx &&&& , con dxdff = . Comparando con la ecuacin
0)()()( =++ xgCxxBxxA &&& , identificamos
2f1)( +=xA Si es la expresin dada en el enunciado, tendremos: A x( )
45
2axe1f
axe1axae2f
ax4e24ax3e28ax2e242f
=
=+= aaa
a) La energa potencial es V y su grfica es: 2axe1
= g
b) El hamiltoniano es , con: VTH +=
( ) ( )( )( )2ax
2ax42ax32ax222
22222
e1
);(2
e4e8e412
f22
=
=++
=+=+=
gV
xAxmaaaxm
xxmyxmT
&&
&&&&
c) La frecuencia de las pequeas oscilaciones alrededor del equilibrio (x=0) vendr dada a partir del desarrollo de V para pequeos desplazamientos: ( ) )(e1 3222ax xOxgagV += quedndonos con el trmino cuadrtico, obtenemos el potencial de un oscilador armnico, de frecuencia:
mga 2=
------------------------------------------- 13.- Encontrar el Lagrangiano y el Hamiltoniano de un pndulo que consta de una masa m unida a una vara rgida y sin masa AB de longitud l,libre de moverse en el plano vertical. El extremo A de la vara slo puede moverse en la direccin vertical y de modo que su desplazamiento respecto al origen de coordenadas O esta fijado por una funcin del tiempo . La gravedad acta verticalmente y hacia abajo. )(tb)Mostrar que la aceleracin vertical del punto A, , tiene el mismo efecto sobre la ecuacin del movimiento que una campo gravitacional dependiente del tiempo.Se conserva el Hamiltoniano? Es el Hamiltoniano igual a la energa total del sistema?
)(t&&
46
a) Tomando como coordenada la variable de la figura tenemos
lsenx = , , coslz = coslx && = lsenz &&& +=( ) senllmmvT &&& 2
21
21 222 +== ; V , ( ) = coslmg
( ) ( ) ++= cos221 22 lmgsenllmL &&& ;
senlmlmpL &&& +== 2 2ml
senlmp && =
Vmml
senmlpLpH +== 22
2
21)(
21 &&&
b) cos2 &&&&&&& mlsenmlml
Ldtd ++=
; mglsenmlL = cos&&
0coscos2 =+++ mglsenmlmlsenmlml &&&&&&&& .)( sen
ltgsen
lg
lsen == &&&& dnde &&+= gtg )( .
Dado que el Hamiltoniano depende del tiempo, a travs de (t), no es una cantidad conservada. La ecuacin que define la coordenada ,
ztx= )(tg , tambin depende
del tiempo por lo que la Hamiltoniana no representa la energa total del sistema (puede comprobarse directamente sobre la expresin calculada).
------------------------------------------- 14. Raznese si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: a) Dado un sistema hamiltoniano (por simplicidad de un grado de libertad) una cantidad dinmica que depende explcitamente del tiempo podra ser constante del movimiento.
),,( tpqF
b) El sistema dinmico 212221
211 ;2
xxxxxx
axx == && , es un sistema hamiltoniano. a) No existe ninguna condicin que exija que una constante del movimiento no dependa del tiempo, siempre y cuando cumpla la condicin:
47
[ ]tFFH =, .
b) Para que un sistema sea hamiltoniano tiene que existir una matriz H tal que el sistema tenga la siguiente estructura
12
21 ; x
HxxHx
== &&
y esto solo se cumplir si
1
2
21
2
2
1
xx
xxH
xx
=
= &&
y fcilmente vemos que no se cumple para el sistema propuesto.
------------------------------------------- 15. A partir de la formulacin de Lagrange para un sistema descrito por n coordenadas generalizadas : iq1. Constryase una funcin G anloga a la hamiltoniana, en la que las variables independientes sean y .
),,( tpq ii &&iq ip
2. Dedzcanse las correspondientes ecuaciones de movimiento.
Realicemos una transformacin de Legendre para
y diferenciemos dicha expresin
que, reorganizando queda
Por otro lado, teniendo en cuenta la forma funcional requerida para su diferencial total debe ser
Igualando ambas expresiones diferenciales
y reorganizando
Debido a la independencia de variables ha de cumplirse
48
Teniendo en cuenta las ecuaciones de Lagrange
obtenemos
con lo que las ecuaciones del movimiento con la nueva funcional G sern
-------------------------------------------
16. En el sistema representado en la figura, el cilindro se mueve por rodadura sobre una superficie lisa, la varilla del pdulo es rgida y muy ligera y la bola del pdulo es pequea. (ver figura al inicio de la solucin). Se pide: 1 - Hallar el lagrangiano , el hamiltoniano y las ecuaciones del movimiento suponiendo que la unin entre el pndulo y el cilindro es rgida. 2 - Hallar lo mismo que en el apartado anterior pero suponiendo que la unin entre el pndulo y el cilindro es articulada y sin rozamiento. 3 - En el caso anterior, hallar la reaccin a la que est sometida la unin pndulo-cilindro. 4 - Hallar las frecuencias de oscilacin para pequeas desviaciones de la posicin de equilibrio. Discutir los lmites para M
-
La coordenada cartesiana X del cilindro, tomando como origen la posicin del cilindro en la que =0, ser:
RX = , && RX =y las coordenadas del pndulo son:
Rlsenx += , &&& Rlx += coscosly = . senly && =
La Energa Cintica es la suma de las energas de la masa suspendida en el pndulo y del cilindro, que tiene energa de translacin y de rotacin:
( ) ( )( ) 222222
2222
22222
cos223
21
21
43
21
21
21
21
21
21
21
&&&&
&&&&
&&&
++
+=++
=+++
=+++=
mlRmlRmMyxmXM
yxmXMRXMRyxmXMIwT
Construir ahora el Lagrangiano y el Hamiltoniano es inmediato:
coscos223
21 222 mglmlRmlRmML +
++
+= & ,
&
&
++
+== cos2
23 22 mlRmlRmMLp ,
( ) coscos22321
22
2
mglmlRmlRMm
pLpH +++==
& .
Las ecuaciones del movimiento son tambin inmediatas, calculemos ahora la ecuacin de Lagrange
( )( ) 02cos223 2222 =++++=
senmlRmlRmlRMmsenmglsenmlR
LdtdL
&&&&&
(1).
50
2). En el caso en que la unin es articulada tenemos dos grados de libertad. Necesitamos dos coordenadas generalizadas: mantendremos el ngulo del apartado anterior, y aadiremos la coordenada horizontal del centro de masas (simbolizada por z):
MmxmXMz +
+= , de este modo las coordenadas cartesianas, y sus derivadas, sern:
lsenmzX '= , cos' &&& lmzX =
lsenMzx '+= , cos' &&& lMzx +=cosly = , senly && =
con Mm
mm +=' y '1' mMmMM =+=
Y por tanto el Lagrangiano es:
( ) ( )( ) coscoscos2321 22
222
12 mglmsenllzzmML ++++= &&&& ,
con )(1 MmmM += , 22 )()23( MmmMmM ++= , del cual deducimos las siguientes ecuaciones de Lagrange:
0=z&& , ( ) ( ) 0coscos 2222222 =+++ mglsenmsenlmsenl &&& , (2) y de la primera ecuacin obtenemos que, como era de esperar, el centro de masas se mueve con velocidad constante. Para el Hamiltoniano calculamos las siguientes expresiones:
zmMpz &
+=23 , ( ) cos21cos 12222 lzlmsenp && += ,
( )( )( )
coscos2
23cos21
232 222
21
2
mglmsenl
Mmpl
p
Mmp
H
z
z +
++++= . 3). La reaccin a la que esta sometida la unin pndulo-cilindro es igual a la fuerza ejercida para mantener la ligadura de esta unin. Para calcular esta fuerza slo tenemos que plantear el problema ignorando la ligadura, con tres grados de libertad correspondientes a los movimientos horizontales de M y m y al vertical de m, y a partir de la expresin de la ligadura calcular el multiplicador de Lagrange correspondiente. Si suponemos que la masa m no esta ligada al cilindro y tomando como coordenadas generalizadas: z, coordenada horizontal del centro de masas, y r coordenadas polares de la masa m con el origen de coordenadas en el centro del cilindro, tenemos que
rsenmzX '= , senrmrmzX &&&& 'cos' =rsenMzx '+= , senrMrMzx &&&& 'cos' ++=
cosry = , cosrsenry &&& =y la ligadura vendr dada por (notacin del apartado 2.4 del Goldstein):
0),,( == lrrzf , . 0=dr 1 011 == zaa 1 =ra Por tanto la Lagrangiana tendr la siguiente expresin:
51
( )( ) ( ) (
cos
cos2coscos23
21
2122
22222
mgr
msenrrsenrrzmsenrrzMmL
+ ++++++
+= &&&&&&&&
y la nica ecuacin de Lagrange que necesitamos para calcular el valor de es:
01 =+
rar
Ldtd
rL &
11 =radonde substituimos las condiciones de ligadura ,
, para obtener la expresin de la fuerza de ligadura:
0, === rrlr &&&
cos)cos(cos)( 22222 mgsenmlsenml = &&& . 4). A) Para el primer caso, tenemos que el punto de equilibrio es , por lo que para oscilaciones pequeas la ecuacin (1), con y despreciando trminos de orden mayor a 1, toma la forma
0=1cos, sen
( )( ) 0222 =++++ &&mlRmlRMmmgl , y por tanto la frecuencia de oscilacin ser
mlRmlRMmmglw
2)( 22 +++= . Sobre la que podemos tomar los siguientes limites:
- M>>m, y entonces . Se comportara prcticamente como un cilindro girando sobre el plano, en el que no habra movimiento peridico.
0w
- m>>M, y lRlR
gl222 ++w , es decir se comporta como un pndulo normal
pero en el que la longitud del hilo es l
lR 2)(' +=l . B) Idem para el segundo caso. La ecuacin (2) la podemos escribir como:
02 =+ mgll && y por tanto
MmMl
gw
+= ,
y los limites son:
- M>>m, y entonces lgw = , que corresponde a la frecuencia de un pndulo
simple. El movimiento del cilindro ser igual al del centro de masas, velocidad constante, y estar desacoplado del pndulo.
- m>>M, y
mMl
gw , es decir cmo un pndulo de longitud mMl=' .l
------------------------------------------- 17. Una partcula de masa m tiene su movilidad restringida a la superficie de una esfera de radio R. No actan fuerzas exteriores sobre la partcula.
52
a) Cul es el nmero de coordenadas generalizadas necesario para describir el problema? b) Escoja el sistema de coordenadas ms apropiado y escriba el lagrangiano y el hamiltoniano c) Pruebe que el movimiento de una partcula se realiza a lo largo de un crculo mximo. a) y b) Son dos grados de libertad y escogiendo coordenadas esfricas
( ) 2222 sen21 && += mRL
y
+=
2
22
2 sen21 pp
mRH
c) constantesenp 0 22 ==== && mRHp
Podemos coger las coordenadas ( tal que la condicin inicial es . Como en este caso no puede ser cero para todo tiempo, concluimos que para todo t. El movimiento de la partcula se realiza a lo largo de un crculo mximo.
) , ( ) 00 ==t&2sen 0=&
------------------------------------------- 18. Obtenga las ecuaciones de Hamilton para los casos siguientes. 1.- Caso en el que las fuerzas generalizadasQ sean suma de una componente
derivada de un potencial y de otra que no lo es:
i
i ii
VQ Qq = +
2.- Caso de un sistema no holnomo, con ecuaciones de ligadura . 0l k k l tk
a q a+ = &
En un caso u otro tenemos, respectivamente k
j jkk k j
Qd L Ladt q q = &
o, lo que es lo mismo k
k j jkk j
QLp aq = &
Por lo tanto, aplicando el procedimiento usual de obtencin de las ecuaciones de Hamilton, se obtiene
k
k k j jkk k j
QH Hq p ap q = = + & &
junto a las ecuaciones 0l k k l t
ka q a+ = &
-------------------------------------------
53