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8/8/2019 Ejercicios Hormigon Armado y Pre Tens Ado - Ediciones Upc
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Antonio R. Mar Bernat
Antonio Aguado de CeaLuis Agull FitFernando Martnez AbellaDiego Cobo del Arco
Hormign armadoy pretensado. EjerciciosAdaptado a la instruccin EHE
POLITEXT
EDICIONS UPC
8/8/2019 Ejercicios Hormigon Armado y Pre Tens Ado - Ediciones Upc
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Primera edicin: abril de 1999
Diseo de la cubierta: Manuel Andreu
los autores, 1999
Edicions UPC, 1999
Edicions de la Universitat Politcnica de Catalunya, SL
Jordi Girona Salgado 31, 08034 Barcelona
Tel. 934 016 883 Fax. 934 015 885
Edicions Virtuals: www.edicionsupc.es
e-mail: edupc@sg.upc.es
Produccin: CBS Impressi digital
Pintor Fortuny 151, 08224 Terrassa (Barcelona)
Depsito legal: B-19994-99
ISBN: 84-8301-302-9
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La presente obra fue galardonada en el tercer concurso
"Ajut a l'elaboraci de material docent" convocado por la UPC.
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P r l o g o
%
P r l o g o
E l h o r m i g n a r m a d o y e l h o r m i g n p r e t e n s a d o s o n d o s t c n i c a s q u e t r a d i c i o n a l m e n t e h a n s i d o
o b j e t o d e u n t r a t a m i e n t o s e p a r a d o , e n s u e n f o q u e d o c e n t e , e n l a n o r m a t i v a e i n c l u s o e n l a p r c t i c a
p r o f e s i o n a l ( e l p r e t e n s a d o s e c o n s i d e r a b a p r o p i o d e e s p e c i a l i s t a s ) , f u n d a m e n t a l m e n t e p o r r a z o n e s
h i s t r i c a s . E n e f e c t o , e l h o r m i g n a r m a d o , e n s u c o n c e p c i n a c t u a l , n a c i a f i n a l e s d e l s i g l o X I X ,
m i e n t r a s q u e e l h o r m i g n p r e t e n s a d o n o f u e u n a r e a l i d a d e n l a p r c t i c a h a s t a m e d i a d o s d e e s t e s i g l o .
E i n c l u s o , d e s d e s u n a c i m i e n t o , e l h o r m i g n p r e t e n s a d o f u e e n t e n d i d o c o m o u n m a t e r i a l n u e v o y
c o n t r a p u e s t o a l h o r m i g n a r m a d o , a l c o n s i d e r a r s e , e r r n e a m e n t e , q u e c a r e c a d e f i s u r a c i n , d a d o e l
e s t a d o t e n s i o n a l p r e v i o c r e a d o a r t i f i c i a l m e n t e p o r l a s a r m a d u r a s a c t i v a s .
S i n e m b a r g o , e s t e c o n c e p t o h a e v o l u c i o n a d o h a s t a e l p u n t o d e c o n s i d e r a r e n l a a c t u a l i d a d a m b a s
t c n i c a s a r m a d o y p r e t e n s a d o - , c o m o d o s e x t r e m o s d e u n m i s m o m a t e r i a l : e l h o r m i g n e s t r u c t u r a l .
Y e l l o s e r e f l e j a e n l a f u s i n d e l a s a s o c i a c i o n e s i n t e r n a c i o n a l e s C E B y F I P e n l a F d e r a t i o n
I n t e r n a t i o n a l e d u B t o n ( F I B ) , e n e l t r a t a m i e n t o d o c e n t e c o n j u n t o d e q u e e s o b j e t o e n a l g u n a s
e s c u e l a s t c n i c a s d e i n g e n i e r a ( e n t r e e l l a s , l a d e B a r c e l o n a d e s d e 1 9 7 9 ) , a s c o m o e n l a n o r m a t i v a
v i g e n t e , c o n l a p u b l i c a c i n d e t e x t o s u n i f i c a d o s t a n t o a e s c a l a i n t e r n a c i o n a l ( C d i g o M o d e l o C E B -
F I P 1 9 9 0 , E u r o c d i g o E C - 2 ) c o m o n a c i o n a l ( I n s t r u c c i n d e H o r m i g n E s t r u c t u r a l , E H E 1 9 9 8 ) .
P o r o t r a p a r t e , e s t a e v o l u c i n h a i d o a c o m p a a d a d e l a a p a r i c i n y e l d e s a r r o l l o d e n u e v o s
m a t e r i a l e s , m t o d o s d e c l c u l o y p r o c e d i m i e n t o s c o n s t r u c t i v o s , y l a c o n s o l i d a c i n y g e n e r a l i z a c i n
d e v i e j o s c o n c e p t o s , c o m o l o s m t o d o s d e b i e l a s y t i r a n t e s , q u e p l a n t e a n n u e v a s h e r r a m i e n t a s d e
d i s e o y p o s i b i l i d a d e s c o n s t r u c t i v a s .
D e n t r o d e e s t e m a r c o t e c n o l g i c o , e l p r e s e n t e l i b r o t i e n e u n d o b l e o b j e t i v o : p o r u n a p a r t e , p r e t e n d e
c o n s t i t u i r u n e l e m e n t o d i d c t i c o d e a p o y o a l a d o c e n c i a d e l a s a s i g n a t u r a s r e l a c i o n a d a s c o n l a s
e s t r u c t u r a s d e h o r m i g n y , p o r o t r o , s e r u n a r e f e r e n c i a q u e a y u d e a p r o y e c t a r e s t e t i p o d e
e s t r u c t u r a s e n l a p r c t i c a p r o f e s i o n a l , d a d o q u e s i g u e l o s p r i n c i p i o s y l a s r e g l a s e s t a b l e c i d o s e n l a
I n s t r u c c i n d e H o r m i g n E s t r u c t u r a l E H E . P a r a e l l o , h a s a b i d o c o n j u g a r , t a n t o e n e l e n u n c i a d o
c o m o e n l a r e s o l u c i n d e l o s e j e r c i c i o s , l a s i m p l i c i d a d q u e r e q u i e r e u n p l a n t e a m i e n t o p e d a g g i c o ,
c o n e l r e a l i s m o q u e r e q u i e r e u n l i b r o o r i e n t a d o n o s l o a e s t u d i a n t e s u n i v e r s i t a r i o s s i n o t a m b i n a
p r o f e s i o n a l e s d e l p r o y e c t o y l a c o n s t r u c c i n d e e s t r u c t u r a s .
E l l i b r o r e c o g e a l g u n o s d e l o s e j e r c i c i o s r e a l i z a d o s e n l a s c l a s e s d e H o r m i g n d e l a s t i t u l a c i o n e s d e
I n g e n i e r a d e C a m i n o s , I n g e n i e r a T c n i c a d e O b r a s P b l i c a s e I n g e n i e r a G e o l g i c a d e l a s e s c u e l a s
t c n i c a s s u p e r i o r e s d e i n g e n i e r o s d e c a m i n o s d e B a r c e l o n a y d e L a C o r u a , y o t r o s d e s a r r o l l a d o s
e x p r e s a m e n t e p a r a e s t e l i b r o . S i b i e n t o d o s l o s e n u n c i a d o s s o n n u e v o s e n a l g n a s p e c t o , a l g u n o s
e j e r c i c i o s t i e n e n s u o r i g e n e n l a c o l e c c i n d e p r o b l e m a s e l a b o r a d a p o r e l c o n j u n t o d e p r o f e s o r e s d e
H o r m i g n d e l a E T S E C C P B h a c e d o s d c a d a s , e n t r e l o s q u e s e e n c o n t r a b a n , a d e m s d e l o s a c t u a l e s
a u t o r e s , l o s p r o f e s o r e s J u a n M u r c i a , E n r i q u e M i r a m b e l l y P e r e R o c a , y a q u i e n e s q u e r e m o s
e x p r e s a r n u e s t r o a g r a d e c i m i e n t o p o r s u a p o r t a c i n e n a q u e l m o m e n t o .
Los autores, 1998; Edicions UPC, 1998.
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H o r m i g n a r m a d o y p r e t e n s a d o . E j e r c i c i o s
&
E l l i b r o s e h a d i v i d i d o e n t r e s g r a n d e s b l o q u e s : a n l i s i s e s t r u c t u r a l , e s t a d o s l m i t e y e l e m e n t o s
e s t r u c t u r a l e s . E n e l p r i m e r o s e t r a t a n a s p e c t o s r e l a t i v o s a l a s b a s e s d e c l c u l o , t a l e s c o m o a c c i o n e s ,
s e g u r i d a d , e f e c t o s e s t r u c t u r a l e s d e l p r e t e n s a d o , a n l i s i s s e c c i o n a l o a n l i s i s e n e l t i e m p o . E n e l
s e g u n d o s e a b o r d a n p r o b l e m a s d e d i m e n s i o n a m i e n t o y / o c o m p r o b a c i n d e s e c c i o n e s o e l e m e n t o s
f r e n t e a l o s e s t a d o s l m i t e l t i m o s ( f l e x i n , c o r t a n t e , t o r s i n , a d h e r e n c i a , a n c l a j e , p a n d e o ) o d e
s e r v i c i o ( f i s u r a c i n y d e f o r m a b i l i d a d ) . E n e l t e r c e r o s e e s t u d i a e l p r o y e c t o d e e l e m e n t o s
e s t r u c t u r a l e s c o m p l e t o s , c o m o v i g a s , p i l a r e s , m n s u l a s c o r t a s , p l a c a s , v i g a s d e g r a n c a n t o o z o n a s
d e a n c l a j e . O b v i a m e n t e s e p l a n t e a n i n d i s t i n t a m e n t e e l e m e n t o s d e h o r m i g n a r m a d o o p r e t e n s a d o .
A s i m i s m o , c o n e l a f n d e a p o r t a r s o l u c i o n e s p r c t i c a s , s e p l a n t e a n d o s e j e r c i c i o s f i n a l e s e n l o s q u e
s e h a c e e s p e c i a l h i n c a p i e n l a r a c i o n a l i z a c i n d e l a r m a d o y s e p r o p o r c i o n a n s o l u c i o n e s c o n b a r r a s
c o r r u g a d a s y c o n m a l l a s e l e c t r o s o l d a d a s . E n a m b o s c a s o s s e a g r a d e c e l a c o l a b o r a c i n d e J a u m e
G r a u , i n g e n i e r o d e C a m i n o s d e l a e m p r e s a C E L S A , q u i e n g u s t o s a m e n t e h a p a r t i c i p a d o e n l a
s o l u c i n d e l o s m i s m o s .
A s i m i s m o l o s a u t o r e s d e s e a n e x p r e s a r s u a g r a d e c i m i e n t o a t o d a s l a s p e r s o n a s q u e , d e u n a m a n e r a u
o t r a , h a n h e c h o p o s i b l e l a a p a r i c i n d e e s t e l i b r o : a V i c e n t e P e a s , i n g e n i e r o d e C a m i n o s , c u y a
t e s i n a d e e s p e c i a l i d a d f u e e l g e r m e n d e e s t e l i b r o y q u e c o l a b o r c o m o b e c a r i o r e s o l v i e n d o
n u m e r o s o s e j e r c i c i o s ; a C a r o l i n a G u e r r e r o , b e c a r i a d e l D e p a r t a m e n t o d e I n g e n i e r a d e l a
C o n s t r u c c i n d e l a U P C , q u e h a r e a l i z a d o u n a p a c i e n t e r e v i s i n d e l a s s o l u c i o n e s d e t o d o s l o s
e j e r c i c i o s , p r o c u r a n d o d e q u e s t o s s a l i e r a n a l a l u z s i n e r r a t a s ; a R o s a M o r e r a , t a m b i n b e c a r i a d e l
D e p a r t a m e n t o , q u e h a c o l a b o r a d o e n l a r e v i s i n y e d i c i n f i n a l d e l t e x t o ; a l o s p r o f e s o r e s C r i s t i n a
V z q u e z y M a n u e l F . H e r r a d o r y a l o s b e c a r i o s A l b e r t o V e i r a s y J a v i e r A n c h e l e r g u e s , t o d o s e l l o s
i n t e g r a n t e s d e l G r u p o d e C o n s t r u c c i n d e l a E s c u e l a d e C a m i n o s d e L a C o r u a , q u e h a n c o l a b o r a d o
e n l a r e a l i z a c i n d e a l g u n o s p r o b l e m a s ; y , s o b r e t o d o , a E l e n a S a u , s e c r e t a r i a d e l g r u p o d e
h o r m i g n , c u y a d e d i c a c i n y c a r i o e n l a e d i c i n d e e s t e l i b r o s o b r e p a s a n l o e x i g i b l e a c u a l q u i e r
p r o f e s i o n a l y s l o p u e d e n e n t e n d e r s e c u a n d o s e l a c o n o c e p e r s o n a l m e n t e . A t o d o s e l l o s , m u c h a s
g r a c i a s .
F i n a l m e n t e , l o s a u t o r e s d e s e a n a g r a d e c e r a E d i c i o n s U P C p o l a a y u d a p r e s t a d a e n t o d o m o m e n t o
p a r a r e s o l v e r l o s p r o b l e m a s d e e d i c i n q u e h a n i d o s u r g i e n d o , y a l a U P C , q u e c o n c e d i u n p r e m i o
a l p r o y e c t o d e l i b r o e n 1 9 9 5 , p o r s u p a c i e n t e e s p e r a a q u e e s t e p r o y e c t o s e h i c i e r a r e a l i d a d , l o c u a l
s l o h a s i d o p o s i b l e t r a s c o n o c e r l a v e r s i n d e f i n i t i v a d e l a I n s t r u c c i n E H E .
B a r c e l o n a , m a r z o d e 1 9 9 9
Los autores, 1998; Edicions UPC, 1998.
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n d i c e
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n d i c e
B L O Q U E I A n l i s i s e s t r u c t u r a l
A c c i o n e s
I - 1 O b t e n c i n d e l e y e s d e e s f u e r z o e n u n a v i g a i s o s t t i c a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5
I - 2 O b t e n c i n d e l e y e s d e e s f u e r z o s e n u n p e s c a n t e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1
I - 3 O b t e n c i n d e l e y e s d e e s f u e r z o s e n u n p r t i c o i s o s t t i c o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1
I - 4 O b t e n c i n d e l e y e s d e e s f u e r z o s e n u n a v i g a c o n t i n u a d e h o r m i g n a r m a d o . . . . . . . . . . . 6 3
M a t e r i a l e s
I - 5 D e f o r m a c i o n e s d e l h o r m i g n . E s t u d i o a n i v e l p r o b e t a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 9
I - 6 P r o b l e m a d e r e l a j a c i n y f l u e n c i a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 5
A n l i s i s e s t r u c t u r a l
I - 7 P r d i d a s i n s t a n t n e a s y d i f e r i d a s e n u n a v i g a c o n a r m a d u r a s p o s t e s a s . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 9
I - 8 P r d i d a s i n s t a n t n e a s y d i f e r i d a s e n u n a v i g a c o n a r m a d u r a s p r e t e s a s . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 5
I - 9 C a r g a s y e s f u e r z o s d e b i d o s a l p r e t e n s a d o e n e s t r u c t u r a s i s o s t t i c a s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 3
I - 1 0 H i p e r e s t t i c o s d e p r e t e n s a d o . T r a z a d o c o n c o r d a n t e . V i g a c o n t i n u a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 9
I - 1 1 E s f u e r z o s d e p r e t e n s a d o e n u n p r t i c o b i e m p o t r a d o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 5
I - 1 2 A n l i s i s e n e l t i e m p o . C o n s t r u c c i n e v o l u t i v a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 3
A n l i s i s s e c c i o n a l
I - 1 3 D i a g r a m a M - C d e s e c c i o n e s d e h o r m i g n a r m a d o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 5
I - 1 4 D i a g r a m a M - C d e s e c c i o n e s d e h o r m i g n p r e t e n s a d o c o n a d h e r e n c i a . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 5
I - 1 5 S e c c i n s o m e t i d a a t r a c c i n p u r a . A r m a d u r a s p r e t e s a s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5 5
I - 1 6 E f e c t o s t r m i c o s a n i v e l s e c c i n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6 1
C u r a d o
I - 1 7 C u r a d o d e e s t r u c t u r a s d e h o r m i g n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6 9
B L O Q U E I I E s t a d o s l m i t e s l t i m o s
E . L . U . d e a g o t a m i e n t o p o r s o l i c i t a c i o n e s n o r m a l e s
I I - 1 I n f l u e n c i a d e l a s c u a n t a s y e l a x i l e n e l c o m p o r t a m i e n t o e n E . L . U .
d e s e c c i o n e s r e c t a n g u l a r e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7 3
I I - 2 D i m e n s i o n a m i e n t o y c o m p r o b a c i n d e s e c c i o n e s r e c t a n g u l a r e s e n f l e x i n s i m p l e . . . 1 7 9
Los autores, 1998; Edicions UPC, 1998.
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H o r m i g n a r m a d o y p r e t e n s a d o . E j e r c i c i o s
I I - 3 D i m e n s i o n a m i e n t o y c o m p r o b a c i n d e s e c c i o n e s r e c t a n g u l a r e s
e n f l e x o c o m p r e s i n r e c t a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8 5
I I - 4 D i m e n s i o n a m i e n t o y c o m p r o b a c i n d e s e c c i o n e s m e d i a n t e d i a g r a m a s
d e i n t e r a c c i n e n f l e x i n r e c t a y e s v i a d a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 9 1
I I - 5 C o m p r o b a c i n d e l E . L . U d e f l e x o c o m p r e s i n d e s e c c i o n e s p r e t e n s a d a s
c o n a r m a d u r a a d h e r e n t e y n o a d h e r e n t e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 9 9
E . L . U . d e a g o t a m i e n t o p o r s o l i c i t a c i o n e s t a n g e n c i a l e s
I I - 6 E s f u e r z o c o r t a n t e e n v i g a s d e h o r m i g n a r m a d o y p r e t e n s a d o
c o n a r m a d u r a s p r e t e s a s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0 3
I I - 7 C o r t a n t e e n v i g a s d e h o r m i g n p r e t e n s a d o c o n a r m a d u r a s p o s t e s a s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 5
I I - 8 T o r s i n e n u n a v i g a d e h o r m i g n a r m a d o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 3
I I - 9 T o r s i n e n u n a v i g a d e h o r m i g n a r m a d o e m b r o c h a l a d a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3 1
I I - 1 0 T o r s i n e n u n a v i g a d e h o r m i g n p r e t e n s a d o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4 3
E . L . U . a c o r t a n t e - f r i c c i n
I I - 1 1 A n l i s i s d e s e c c i o n e s d e p i e z a s c o m p u e s t a s p o r v a r i o s h o r m i g o n e s .
C o r t a n t e f r i c c i n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5 3
E . L . U . a d h e r e n c i a y a n c l a j e
I I - 1 2 A n c l a j e d e a r m a d u r a s p o s t e s a s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5 7
I I - 1 3 A n c l a j e p o r a d h e r e n c i a d e a r m a d u r a s p r e t e s a s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 6 1
E . L . U . p a n d e o
I I - 1 4 D i m e n s i o n a m i e n t o d e s o p o r t e s e s b e l t o s a i s l a d o s : m t o d o s s i m p l i f i c a d o s
y c o l u m n a m o d e l o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 6 5
I I - 1 5 C o m p r o b a c i n d e s o p o r t e s e s b e l t o s e n p r t i c o s . M t o d o s i m p l i f i c a d o . . . . . . . . . . . . . . . 2 7 3
E . L . U . s e r v i c i o
I I - 1 6 F i s u r a c i n y d e f o r m a b i l i d a d e n v i g a s d e h o r m i g n a r m a d o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 7 9
I I - 1 7 F i s u r a c i n d e u n a v i g a d e h o r m i g n p r e t e n s a d o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 8 7
I I - 1 8 D e f o r m a b i l i d a d d e f o r j a d o s p r e t e n s a d o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 9 7
B L O Q U E I I I E l e m e n t o s e s t r u c t u r a l e s
I I I - 1 P a s a r e l a p e a t o n a l p o s t e n s a d a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0 5
I I I - 2 V i g a s o m e t i d a a f l e x i n y c o r t a n t e . D i m e n s i o n a m i e n t o c o m p l e t o d e a r m a d u r a s . . . . 3 2 3
I I I - 3 D i m e n s i o n a m i e n t o d e u n p e s c a n t e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 9
I I I - 4 Z a p a t a y e n c e p a d o p a r a p e s c a n t e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 4 3
I I I - 5 V i g a d e p u e n t e p r e t e n s a d o p a r a t r a b a j a r j u n t o a l o s a d e c o m p r e s i n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 6 1
I I I - 6 T i r a n t e d e h o r m i g n p r e t e n s a d o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 7 1
I I I - 7 V i g a d e g r a n c a n t o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 7 9
Los autores, 1998; Edicions UPC, 1998.
8/8/2019 Ejercicios Hormigon Armado y Pre Tens Ado - Ediciones Upc
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n d i c e
I I I - 8 M n s u l a c o r t a p a r a p u e n t e - g r a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 8 3
I I I - 9 P u n z o n a m i e n t o d e u n a p l a c a e n u n p i l a r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 8 7
I I I - 1 0 P u n z o n a m i e n t o d e p l a c a s b a j o c a r g a s c o n c e n t r a d a s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 9 1
I I I - 1 1 R a c i o n a l i z a c i n d e l a r m a d o I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 9 7
I I I - 1 2 R a c i o n a l i z a c i n d e l a r m a d o I I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 0 7
Los autores, 1998; Edicions UPC, 1998.
8/8/2019 Ejercicios Hormigon Armado y Pre Tens Ado - Ediciones Upc
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A n l i s i s e s t r u c t u r a l
!
B L O Q U E I A n l i s i s e s t r u c t u r a l
Los autores, 1998; Edicions UPC, 1998.
8/8/2019 Ejercicios Hormigon Armado y Pre Tens Ado - Ediciones Upc
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A c c i o n e s
#
E j e r c i c i o I - 1 O b t e n c i n d e l e y e s d e e s f u e r z o e n u n a v i g a i s o s t t i c a
U n a v i g a d e h o r m i g n a r m a d o d e 1 3 m d e l o n g i t u d t o t a l y s e c c i n r e c t a n g u l a r d e 1 . 0 x 0 . 3 0 m , s e
e n c u e n t r a s i m p l e m e n t e a p o y a d a e n d o s p u n t o s c o m o s e m u e s t r a e n l a f i g u r a .
L a s a c c i o n e s q u e p u e d e n a c t u a r s o b r e l a v i g a s o n :
a ) U n d e s c e n s o d e l a p o y o B d e 2 c m .
b ) U n a c a r g a u n i f o r m e m e n t e r e p a r t i d a d e 1 0 k N / m q u e p u e d e e x t e n d e r s e d e c u a l q u i e r f o r m a .
c ) U n a c a r g a p u n t u a l m v i l d e 8 0 k N .
S e c o n s i d e r a r u n n i v e l d e c o n t r o l i n t e n s o . S e c o n s i d e r a r q u e l a s d o s a c c i o n e s v a r i a b l e s t i e n e n e l
m i s m o o r i g e n .
S e p i d e :
U t i l i z a n d o l o s c r i t e r i o s d e c o m b i n a c i n d e l a E H E 9 8 :
1 . c o m p r o b a r e l e q u i l i b r i o d e l a e s t r u c t u r a ,
2 . d e t e r m i n a r l a s l e y e s d e s o l i c i t a c i o n e s d e c l c u l o c o n l a s q u e d e b e d i m e n s i o n a r s e l a e s t r u c t u r a
f r e n t e a E . L . U .
S o l u c i n
1 C o m p r o b a c i n d e l e s t a d o l m i t e d e e q u i l i b r i o
A c c i o n e s :
- p e s o p r o p i o , p = 0 . 3 0 m 1 . 0 m 2 5 k N / m
3
= 7 . 5 k N / m
- c a r g a v a r i a b l e u n i f o r m e , q = 1 0 k N / m
- c a r g a p u n t u a l m v i l , Q = 8 0 k N
- e l d e s c e n s o d e a p o y o n o o r i g i n a e s f u e r z o s a l t r a t a r s e d e u n a e s t r u c t u r a i s o s t t i c a .
Los autores, 1998; Edicions UPC, 1998.
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H o r m i g n a r m a d o y p r e t e n s a d o . E j e r c i c i o s
$
C o n f i g u r a c i n d e c a r g a s :
A d o p t a n d o l a h i p t e s i s d e q u e e l e s q u e m a e s t t i c o c o r r e s p o n d e a l a s i t u a c i n d e c o n s t r u c c i n :
gG
*
= 0 . 9 5
g G
* *
= 1 . 1 0
E n e l c a s o d e q u e l a h i p t e s i s s e a q u e e l e s q u e m a e s t t i c o c o r r e s p o n d e a l a s i t u a c i n d e s e r v i c i o ,
s e r a gG
*
= 0 . 9 y gG
* *
= 1 . 1 0 .
E n c o n s e c u e n c i a , t o m a n d o g Q = 1 . 5 0 p a r a l a s a c c i o n e s v a r i a b l e s , s e t i e n e :
- P l a n t e a m o s l o s m o m e n t o s v o l c a d o r y e s t a b i l i z a d o r r e s p e c t o a l p u n t o B .
M o m e n t o v o l c a d o r
M v = 8 . 2 5 k N / m
!
m
2
+ 1 5 k N / m
!
m
2
+ 1 2 0 k N 3 m = 4 6 4 . 3 6 k N m
M o m e n t o e s t a b i l i z a d o r
M
E
= 7 . 1 3 k N / m
m
2
= 3 5 6 . 5 k N m
N o t e m o s q u e a l c o n s i d e r a r l a s d o s s o b r e c a r g a s v a r i a b l e s c o m o c o r r e s p o n d i e n t e s a l m i s m o t i p o n o
t e n e m o s r e d u c c i n e n l a c o m b i n a c i n p o r l o s f a c t o r e s Y .
M E = 3 5 6 . 5 k N m < M v = 4 6 4 . 6 3 k N m
N o s e c u m p l e e l e s t a d o l m i t e l t i m o d e e q u i l i b r i o .
- O t r a f o r m a d e p r o c e d e r e s c a l c u l a r l a r e a c c i n e n e l a p o y o A . C o n s i d e r a n d o e s t a r e a c c i n p o s i t i v a
( R
A
) , y t o m a n d o m o m e n t o s r e s p e c t o a B , s e t i e n e :
7 . 1 3 k N / m
1 2 0 k N
1 5 k N / m
8 . 2 5 k N / m
Los autores, 1998; Edicions UPC, 1998.
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A c c i o n e s
%
R A 1 0 m - 7 . 1 3 k N / m
m
2
+ 8 . 2 5 k N / m
!
m
2
+ 1 5 k N / m
!
m
2
+
+ 1 2 0 k N 3 m = 0
R A 1 0 + 1 0 8 . 1 3 = 0
R A = - 1 0 . 8 1 k N
E l l o c o n d u c e , e n a m b o s c a s o s , a t e n e r q u e a n c l a r e l a p o y o A .
2 L e y e s d e l a s s o l i c i t a c i o n e s d e c l c u l o
- C a r g a s p e r m a n e n t e s :
p e s o p r o p i o , p = 0 . 3 0 m 1 . 0 m 2 5 k N / m
3
= 7 . 5 k N / m
p
*
= gG
p = 1 . 3 5 7 . 5 k N / m = 1 0 . 1 3 k N / m
p
* *
= 7 . 5 k N / m
- C a r g a s v a r i a b l e s :
u n i f o r m e m e n t e r e p a r t i d a , q
*
= gG
q = 1 . 5 1 0 k N / m = 1 5 k N / m
p u n t u a l m v i l , Q
*
= g G Q = 1 . 5 8 0 k N = 1 2 0 k N
C r i t e r i o s p a r a l a s e x p r e s i o n e s a n a l t i c a s
t r a m o A B ( f r o n t a l e s )
0 x 1 0 m
t r a m o C B ( d o r s a l e s )
0 x 3 m
2 . 1 L e y e s d e m o m e n t o s f l e c t o r e s
- C a r g a s p e r m a n e n t e s :
p
*
= 1 0 . 1 3 k N / m
- 4 5 . 6 3 m . k N
1 0 4 . 9 6 m . k N
Los autores, 1998; Edicions UPC, 1998.
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H o r m i g n a r m a d o y p r e t e n s a d o . E j e r c i c i o s
&
L e y I
T r a m o A B : 0 x 1 0 m
M
I
x = 5 . 0 7 x ( 9 . 1 - x )
x = 0 M
I
= 0
x = 4 . 5 5 m M
I
m a x
= 1 0 4 . 9 6 k N m
x = 9 . 1 0 m M
I
= 0
x = 1 0 m M
I
= - 4 5 . 6 3 k N m
T r a m o B C : 0 x 3 m
M
I
x = - 5 . 0 7 x
2
x = 0 M
I
= 0
x = 3 m M
I
= - 4 5 . 6 3 k N m
L e y I I
T r a m o A B : 0 x 1 0 m
M
I I
x = 3 . 7 5 x ( 9 . 1 - x )
x = 0 M
I I
= 0
x = 4 . 5 5 m M
I I
m a x = 7 7 . 6 3 k N m
x = 9 . 1 0 m M
I I
= 0
x = 1 0 m M
I
= - 3 3 . 7 5 k N m
T r a m o B C : 0 x 3 m
M
I I
x = - 3 . 3 8 x
2
x = 0 M
I I
= 0
x = 3 m M
I I
= - 3 0 . 4 2 k N m
C a r g a v a r i a b l e u n i f o r m e m e n t e r e p a r t i d a q * = 1 5 k N / m
- 3 3 . 7 5 m . k N
7 7 . 6 3 m . k N
p * * = 7 . 5 k N / m
Los autores, 1998; Edicions UPC, 1998.
8/8/2019 Ejercicios Hormigon Armado y Pre Tens Ado - Ediciones Upc
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A c c i o n e s
'
M o m e n t o s f l e c t o r e s p o s i t i v o s
L e y I I I
T r a m o A B : 0 x 1 0 m
M
I I I
x = 7 5 x 7 . 5 x
2
x = 0 M
I I I
= 0
x = 5 m M
I I I
m a x = 1 8 7 . 5 k N m
x = 1 0 m M
I I I
= 0
M o m e n t o s f l e c t o r e s n e g a t i v o s
L e y I V
T r a m o A B : 0 x 1 0
M
I V
x = - 6 . 7 5 x
x = 0 M
I V
= 0
x = 1 0 m M
I V
= - 6 7 . 5 0 k N m
T r a m o C B : 0 x 3
M
I V
x = - 7 . 5 x
2
x = 0 M
I V
= 0
x = 3 m M
I V
= - 6 7 . 5 0 k N m
C a r g a p u n t u a l m v i l Q
*
= 1 2 0 k N
M o m e n t o s f l e c t o r e s p o s i t i v o s
Los autores, 1998; Edicions UPC, 1998.
8/8/2019 Ejercicios Hormigon Armado y Pre Tens Ado - Ediciones Upc
14/378
H o r m i g n a r m a d o y p r e t e n s a d o . E j e r c i c i o s
L e y V
T r a m o A B : 0 x 1 0 m
M
V
x = 1 2 0 x 1 2 x
2
X = 0 M
V
= 0
X = 5 m M
V
m x
= 3 0 0 m . k N
X = 1 0 m M
V
= 0
M o m e n t o s f l e c t o r e s n e g a t i v o s
L e y V I
T r a m o A B : 0 x 1 0 m
M
V I
x = 3 6 x
X = 0 M
V I
= 0
X = 1 0 m M
V I
= - 3 6 0 m . k N
T r a m o C B : 0 x 3 m
M
V I
x
= - 1 2 0 x
X = 0 M
V I
= 0
X = 3 m M
V I
= - 3 6 0 m . k N
C o m p o s i c i n d e m o m e n t o s f l e c t o r e s p o s i t i v o s
T r a m o b i a p o y a d o ( A B )
0 x 9 . 1 0 m I + I I I + V
M d ( x ) = 5 . 0 7 x ( 9 . 1 0 - x ) + 7 5 x 7 . 5 x
2
+ 1 2 0 x 1 2 x
2
= 2 4 1 . 1 4 x 2 4 . 5 7 x
2
X = 0 M d = 0
Los autores, 1998; Edicions UPC, 1998.
8/8/2019 Ejercicios Hormigon Armado y Pre Tens Ado - Ediciones Upc
15/378
A c c i o n e s
X = 4 . 9 1 m M d m x = 5 9 1 . 6 6 m . k N
X = 9 . 1 0 m M d = 1 5 9 . 7 3 m . k N
9 . 1 0 m x 1 0 m I I + I I I + V
M d ( x ) = 3 . 7 5 x ( 9 . 1 - x ) + 7 5 x 7 . 5 x
2
+ 1 2 0 x 1 2 x
2
= 2 2 9 . 1 3 x 2 3 . 2 5 x
2
X = 9 . 1 0 m M d = 1 5 9 . 7 1 m . k N
X = 9 . 8 6 m M d = 0
C o m p o s i c i n d e m o m e n t o s f l e c t o r e s n e g a t i v o s
T r a m o b i a p o y a d o ( A B )
0 x 9 . 1 0 m I I + I V + V I
M d ( x ) = 3 . 7 5 x ( 9 . 1 - x ) 6 . 7 5 x 3 6 x
= - 8 . 6 3 x 3 . 7 5 x
2
X = 0 M d = 0
X = 9 . 1 0 m M d = - 3 8 9 . 0 3 m . k N
9 . 1 0 m x 1 0 m I + I V + V I
M d ( x ) = 5 . 0 7 x ( 9 . 1 0 - x ) - 6 . 7 5 x 3 6 x
= 3 . 3 9 x 5 . 0 7 x
2
X = 9 . 1 0 m M d = - 3 8 9 m . k N
X = 1 0 m M d = - 4 7 3 . 1 m . k N
T r a m o v o l a d i z o ( C B )
0 x 3 m I + I V + V I
M d ( x ) = - 5 . 0 7 x
2
7 . 5 x
2
1 2 0 x
= - 1 2 . 5 7 x
2
1 2 0 x
X = 0 M d = 0
X = 3 m M d = - 4 7 3 . 1 3 m . k N
Los autores, 1998; Edicions UPC, 1998.
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16/378
H o r m i g n a r m a d o y p r e t e n s a d o . E j e r c i c i o s
2 . 2 L e y e s d e e s f u e r z o s c o r t a n t e s
- C a r g a s p e r m a n e n t e s
L e y I
T r a m o A B : 0 x 1 0 m
V
I
x = 4 6 . 0 9 1 0 . 1 3 x
X = 0 V
I
= 4 6 . 0 9 k N
X = 4 . 5 5 m V
I
= 0
X = 1 0 m V
I
= - 5 5 . 2 1 k N
p
*
= 1 0 . 1 3 k N / m
- 5 5 . 2 1 k N
3 0 . 3 9 k N
4 6 . 0 9 k N
4 . 5 5 m
4 . 9 1 m
9 . 1 0 m
9 . 8 6 m
4 7 3 . 1 m . k N
3 8 9 m . k N
5 9 1 . 7 m . k N
1 5 9 . 7 m . k N
Los autores, 1998; Edicions UPC, 1998.
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A c c i o n e s
!
T r a m o C B : 0 x 3 m
V
I
x = 1 0 . 1 3 x
X = 0 V
I
= 0
X = 3 m V
I
= 3 0 . 3 9 k N
L e y I I
T r a m o A B : 0 x 1 0 m
V
I I
x
= 3 4 . 1 3 7 . 5 x
X = 0 V
I I
= 3 4 . 1 3 k N
X = 4 . 5 5 m V
I I
= 0
X = 1 0 m V
I I
= - 4 0 . 8 7 k N
T r a m o C B : 0 x 3 m
V
I I
x = 7 . 5 x
X = 0 V
I I
= 0
X = 3 m V
I I
= 2 2 . 5 k N
C a r g a v a r i a b l e u n i f o r m e m e n t e r e p a r t i d a q * = 1 5 k N / m
A c t u a n d o e n e l t r a m o b i a p o y a d o : 0 x 1 0
3 4 . 1 3 k N
2 2 . 5 k N
- 4 0 . 8 7 k N
p * * = 7 . 5 k N / m
Los autores, 1998; Edicions UPC, 1998.
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H o r m i g n a r m a d o y p r e t e n s a d o . E j e r c i c i o s
"
2
2
x
x7 5.0
l2
x
qV -=-=
X = 0 V = 0
X = 1 0 m V = - 7 5 k N
( )( )2
2
x
x1 07 5.0
l2
xlq
V -=
-
=
X = 0 V = 7 5 k N
X = 1 0 m V = 0
A c t u a n d o e n e l v o l a d i z o :
T r a m o A B : 0 x 1 0
k N7 5.6
l2
lq
V
2
x
-=
-=
Los autores, 1998; Edicions UPC, 1998.
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A c c i o n e s
#
T r a m o C B : 0 x 3
x1 5xqV
x
==
X = 0 V = 0
X = 3 V = 4 5 k N
A g r u p a n d o e n c o r t a n t e s p o s i t i v o s ( l e y I I I ) y c o r t a n t e s n e g a t i v o s ( l e y I V ) :
L e y I I I
T r a m o A B : 0 x 1 0
( ) 2x
I I I
x1 07 5.0V -=
X = 0 V
I I I
= 7 5 k N
X = 1 0 V
I I I
= 0
T r a m o C B : 0 x 3
N8
N
1 1 1
1 5=
X = 0 V
I I I
= 0
X = 3 V
I I I
= 4 5 k N
L e y I V
T r a m o A B : 0 x 1 0
2
x
I V
x7 5.07 5.6V --=
Los autores, 1998; Edicions UPC, 1998.
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H o r m i g n a r m a d o y p r e t e n s a d o . E j e r c i c i o s
$
X = 0 V
I V
= - 6 . 7 5 k N
X = 1 0 V
I V
= - 8 1 . 7 5 k N
C a r g a p u n t u a l m v i l Q * = 1 2 0 k N
A c t u a n d o e n e l t r a m o b i a p o y a d o ( A B ) :
T r a m o A B : 0 x 1 0
V x =
-
1 0
x
11 2 0
X = 0 V = 1 2 0 k N
X = 1 0 V = 0
V x = 1 2 x
X = 0 V = 0
X = 1 0 V = - 1 2 0 k N
A c t u a n d o e n e l v o l a d i z o ( C B ) :
T r a m o A B : 0 x 1 0
Los autores, 1998; Edicions UPC, 1998.
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A c c i o n e s
%
k N3 6
l
l a*Q
V x -=-=
T r a m o C D : 0 x 3
V x = Q * = 1 2 0 k N
A g r u p a n d o e n c o r t a n t e s p o s i t i v o s ( l e y V ) y c o r t a n t e s n e g a t i v o s ( l e y V I ) :
L e y V
T r a m o A B : 0 x 1 0
V
V
x =
-
1 0
x
11 2 0
X = 0 V
V
= 1 2 0 k N
X = 1 0 V
V
= 0
T r a m o C B : 0 x 3
V
V
x = 1 2 0 k N
X = 0 V = 1 2 0 k N
X = 1 0 V = 0
L e y V I
T r a m o A B : 0 x 1 0
0 x 3 V
V I
x
= - 3 6 k N
Los autores, 1998; Edicions UPC, 1998.
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H o r m i g n a r m a d o y p r e t e n s a d o . E j e r c i c i o s
&
3 x 1 0 V
V I
x = - 1 2 x
C o m p o s i c i n d e c o r t a n t e s p o s i t i v o s
T r a m o b i a p o y a d o ( A B )
0 x 4 . 5 5 m I + I I I + V
V d ( x ) = 4 6 . 0 9 - 1 0 . 1 3 x + 0 . 7 5 ( 1 0 - x )
2
+
-
1 0
x
11 2 0
= 2 4 1 . 0 9 3 7 . 1 3 x + 0 . 7 5 x
2
X = 0 V d = 2 4 1 . 0 9 k N
X = 4 . 5 5 m V d = 8 7 . 6 8 k N
4 . 5 5 m x 1 0 m I I + I I I + V
V d ( x ) = 3 4 . 1 3 7 . 5 x + 0 . 7 5 ( 1 0 - x )
2
+
-
1 0
x
11 2 0
= 2 2 9 . 1 3 3 4 . 5 x + 0 . 7 5 x
2
X = 4 . 5 5 m V d = 8 7 . 6 8 k N
X = 8 . 0 5 m V d = 0
T r a m o v o l a d i z o ( C B )
0 x 3 m I + I I I + V
V d ( x ) = 1 0 . 1 3 x + 1 5 x + 1 2 0
= 2 5 . 1 3 x + 1 2 0
X = 0 V d = 1 2 0 k N
X = 3 m V d = 1 9 5 . 3 9 k N
C o m p o s i c i n d e c o r t a n t e s n e g a t i v o s
T r a m o b i a p o y a d o ( A B )
0 x 4 . 5 5 m I I + I V + V I
0 x 3 m V d ( x ) = 3 4 . 1 3 - 7 . 5 x - 6 . 7 5 - 0 . 7 5 x
2
- 3 6 =
= - 8 . 6 2 7 . 5 x 0 . 7 5 x
2
Los autores, 1998; Edicions UPC, 1998.
8/8/2019 Ejercicios Hormigon Armado y Pre Tens Ado - Ediciones Upc
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A c c i o n e s
'
X = 0 V d = - 8 . 6 2 k N
X = 3 m V d = - 3 7 . 8 7 k N
3 m x 4 . 5 5 m V d ( x ) = 3 4 . 1 3 - 7 . 5 x - 6 . 7 5 - 0 . 7 5 x
2
1 2 x
= 2 7 . 3 8 1 9 . 5 x 0 . 7 5 x
2
X = 3 m V d = - 3 7 . 8 7 k N
X = 4 . 5 5 m V d = - 7 6 . 8 7 k N
4 . 5 5 m x 1 0 m I + I V + V I
V d ( x ) = 4 6 . 0 9 1 0 . 1 3 x 6 . 7 5 0 . 7 5 x
2
1 2 x
= 3 9 . 3 4 2 2 . 1 3 x 0 . 7 5 x
2
X = 4 . 5 5 m V d = - 7 6 . 8 8 k N
X = 1 0 m V d = - 2 5 6 . 9 6 k N
7 6 . 9 k N
2 5 7
2 4 1 k N
8 7 . 7 k N
1 9 5 . 4 k N
8 . 0 5 m
Los autores, 1998; Edicions UPC, 1998.
8/8/2019 Ejercicios Hormigon Armado y Pre Tens Ado - Ediciones Upc
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A c c i o n e s
3 1
E j e r c i c i o I - 2 O b t e n c i n d e l e y e s d e e s f u e r z o s e n u n p e s c a n t e
C o n s i d r e s e e l p e s c a n t e d e h o r m i g n a r m a d o c u y a s d i m e n s i o n e s s e i n d i c a n e n l a f i g u r a a d j u n t a .
D i c h a e s t r u c t u r a s e e n c u e n t r a a l a i n t e m p e r i e e n u n a m b i e n t e e x t e r i o r n o r m a l .
L a e s t r u c t u r a e s t s o m e t i d a a l a s s i g u i e n t e s a c c i o n e s :
- p e s o p r o p i o : 8 k N / m l ,
- s o b r e c a r g a u n i f o r m e p e r m a n e n t e e n e l d i n t e l ( A C ) d e 2 2 k N / m l ,
- s o b r e c a r g a d e u s o : c a r g a p u n t u a l m v i l d e 1 0 0 k N q u e p u e d e a c t u a r n i c a m e n t e e n e l
t r a m o B C d e l d i n t e l ,
- v i e n t o : c a r g a p u n t u a l h o r i z o n t a l d e 5 0 K N ,
- n i e v e : s o b r e c a r g a u n i f o r m e d e 1 0 k N / m l .
S e c o n s i d e r a n l o s s i g u i e n t e s m a t e r i a l e s :
- h o r m i g n H A - 3 0 / P / 1 2 / I I b f
c k
= 3 0 M P a ,
- a c e r o B - 5 0 0 S f
y k
= 5 0 0 M P a .
A s i m i s m o , s e c o n s i d e r a u n n i v e l d e c o n t r o l i n t e n s o .
S e p i d e :
1 . O b t e n e r l a s l e y e s d e e s f u e r z o s d e c l c u l o c o n l o s q u e s e d e b e d i m e n s i o n a r l a e s t r u c t u r a f r e n t e a
e s t a d o s l m i t e l t i m o s , u t i l i z a n d o e l c r i t e r i o s i m p l i f i c a d o p a r a e s t r u c t u r a s d e e d i f i c a c i n d e l a
i n s t r u c c i n E H E .
S o l u c i n
1 . 1 C o e f i c i e n t e s d e s e g u r i d a d p a r a a c c i o n e s
A l a v i s t a d e l a s a c c i o n e s q u e s e t i e n e n e n c u e n t a , s e c o n s i d e r a l a s i t u a c i n p e r s i s t e n t e o t r a n s i t o r i a a
l a h o r a d e c o m b i n a r l a s a c c i o n e s .
Los autores, 1998; Edicions UPC, 1998.
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H o r m i g n a r m a d o y p r e t e n s a d o . E j e r c i c i o s
3 2
D a d o q u e e l n i v e l d e c o n t r o l e s i n t e n s o , l o s c o e f i c i e n t e s p a r c i a l e s d e s e g u r i d a d s o n l o s q u e s i g u e n :
T i p o d e a c c i n E f e c t o
F a v o r a b l e D e s f a v o r a b l e
P e r m a n e n t e 1 1 . 3 5
V a r i a b l e 0 1 . 5 0
1 . 2 S o l i c i t a c i o n e s d e c l c u l o
1 . 2 . 1 M o m e n t o s f l e c t o r e s
C a r g a s p e r m a n e n t e s e n e l d i n t e l : p e s o p r o p i o y c a r g a p e r m a n e n t e
G = 8 + 2 2 = 3 0 k N / m l
7 5 k N m
1 3 . 5 k N m 8 0 k N m
Los autores, 1998; Edicions UPC, 1998.
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A c c i o n e s
3 3
S o b r e c a r g a d e u s o m v i l
Q = 1 0 0 k N
V i e n t o
H = 5 0 k N
N i e v e
q = 1 0 k N / m l
Los autores, 1998; Edicions UPC, 1998.
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H o r m i g n a r m a d o y p r e t e n s a d o . E j e r c i c i o s
3 4
P a r a s i t u a c i o n e s p e r s i s t e n t e s o t r a n s i t o r i a s , E H E a d m i t e c u a n d o s e t r a t a d e e s t r u c t u r a s d e e d i f i c a c i n
s o m e t i d a s a d o s o m s a c c i o n e s v a r i a b l e s a f e c t a r l o s c o e f i c i e n t e s d e s e g u r i d a d d e s t a s p o r e l f a c t o r
0 . 9 . P r o c e d i e n d o d e e s t e m o d o o b t e n e m o s :
E n v o l v e n t e d e m o m e n t o s f l e c t o r e s
1 . 2 . 2 E s f u e r z o c o r t a n t e
C a r g a s p e r m a n e n t e s e n e l d i n t e l : p e s o p r o p i o y c a r g a p e r m a n e n t e
G = 8 + 2 2 = 3 0 k N / m l
6 0 k N
9 0 k N
2 2 5 k N m
Los autores, 1998; Edicions UPC, 1998.
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A c c i o n e s
3 5
S o b r e c a r g a d e u s o m v i l
Q = 1 0 0 k N
V i e n t o
H = 5 0 k N
N i e v e
q = 1 0 k N / m l
Los autores, 1998; Edicions UPC, 1998.
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H o r m i g n a r m a d o y p r e t e n s a d o . E j e r c i c i o s
3 6
E n v o l v e n t e d e e s f u e r z o s c o r t a n t e s
1 . 2 . 3 A x i l e s
C a r g a s p e r m a n e n t e s e n e l d i n t e l : p e s o p r o p i o y c a r g a p e r m a n e n t e .
G = 8 + 2 2 = 3 0 k N / m l
1 5 0 k N
Los autores, 1998; Edicions UPC, 1998.
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A c c i o n e s
3 7
P e s o p r o p i o d e l p i l a r
G p = 8 k N / m l
S o b r e c a r g a d e u s o m v i l
Q = 1 0 0 k N
M I
6 0 k N m
1 3 5 . 5 k N m
7 5 k N m
1 0 1 . 2 5 k N m
8 1 k N m
1 8 2 . 2 5 k N m
M I I
3 2 k N 4 3 . 2 k N
Los autores, 1998; Edicions UPC, 1998.
8/8/2019 Ejercicios Hormigon Armado y Pre Tens Ado - Ediciones Upc
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H o r m i g n a r m a d o y p r e t e n s a d o . E j e r c i c i o s
3 8
V i e n t o
H = 5 0 k N
N i e v e
q = 1 0 k N / m l
Q
4 5 0 k N m
4 5 0 k N m
M V
M V I I
3 0 0 k N m 3 0 0 k N m
M V I
1 . 5 1 0 ( 2 + 3 ) = 7 5 k N
3 7 . 5 k N m
3 0 k N m
6 7 . 5 k N m
M V I I I
Los autores, 1998; Edicions UPC, 1998.
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A c c i o n e s
3 9
E n v o l v e n t e d e a x i l e s y m o m e n t o s f l e c t o r e s c o n c o m i t a n t e s .
8 1
8 1 1
6 4 8 k N m
M I I + M V I I I
M I I + 0 . 9 ( M V + M V I I 1 )
M I I + ( M V + M V I I + M V I I ) 0 . 9
M I + M V I I
8 1 0 k N m
2 2 5 k N m
5 1 0 k N m
1 1 1 k N m
Los autores, 1998; Edicions UPC, 1998.
8/8/2019 Ejercicios Hormigon Armado y Pre Tens Ado - Ediciones Upc
33/378
A c c i o n e s
"
E j e r c i c i o I - 3 O b t e n c i n d e l e y e s d e e s f u e r z o s e n u n p r t i c o i s o s t t i c o
S e a l a e s t r u c t u r a d e u n a c u b i e r t a ( v a s e l a f i g u r a a d j u n t a ) s i t u a d a e n l a c o s t a d e A C o r u a e n
s i t u a c i n e x p u e s t a .
S o b r e e l l a p u e d e n a c t u a r l a s s i g u i e n t e s a c c i o n e s :
a ) U n a c a r g a p e r m a n e n t e ( v e r t i c a l y d e s c e n d e n t e ) f o r m a d a p o r u n a c a r g a r e p a r t i d a s o b r e t o d o e l
d i n t e l d e v a l o r 7 . 5 k N / m .
b ) U n a c a r g a v a r i a b l e p u n t u a l ( v e r t i c a l y d e s c e n d e n t e ) q u e a c t a e n e l d i n t e l , d e v a l o r 5 0 k N , y
c u y a p o s i c i n e s l i b r e a l o l a r g o d e l a l o n g i t u d d e l d i n t e l ( Y 0 = 0 . 7 ; Y 1 = 0 . 5 ; Y 2 = 0 . 3 ) .
c ) U n a c a r g a d e v i e n t o h o r i z o n t a l e n e l p l a n o d e l p r t i c o c u y a d i r e c c i n p u e d e s e r ,
i n d i s t i n t a m e n t e , d e d e r e c h a a i z q u i e r d a o v i c e v e r s a ( Y0
= 0 . 6 ; Y1
= 0 . 5 ; Y2
= 0 . 2 5 ) . D e c a r a a
l a c a r g a d e v i e n t o d e b e c o n s i d e r a r s e u n a n c h o ( e n e l p l a n o p e r p e n d i c u l a r a l p r t i c o ) d e 6 m . E l
v a l o r d e l a c a r g a d e v i e n t o p u e d e c a l c u l a r s e d e a c u e r d o a l a n o r m a N B E - A E - 8 8 , s e g n l o s
g r f i c o s a d j u n t o s .
S e p i d e :
H a l l a r l a s l e y e s d e s o l i c i t a c i o n e s d e c l c u l o d e l o s e s f u e r z o s a x i l y m o m e n t o f l e c t o r e n E L U , p a r a l a
s i t u a c i n p e r s i s t e n t e o t r a n s i t o r i a .
N o t a : C o n s i d r e n s e l o s c o e f i c i e n t e s d e s e g u r i d a d c o r r e s p o n d i e n t e s a u n c o n t r o l i n t e n s o . S e
c o n s i d e r a r g = 0 . 9 c o m o c o e f i c i e n t e d e s e g u r i d a d p a r a l a s a c c i o n e s p e r m a n e n t e s f a v o r a b l e s .
h = 5 m
l = 6 m
4 0 c m
3 0 c m
5 0 c m
D e t a l l e n u d o p i l a r - d i n t e l
Los autores, 1998; Edicions UPC, 1998.
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H o r m i g n a r m a d o y p r e t e n s a d o . E j e r c i c i o s
"
x
x
x
S o l u c i n
1 V a l o r d e
f
C . C o n t r o l i n t e n s o
E L U E L S
P e r m . o T r a n s i t . A c c i d e n t a l
F a v . D e s f a v . F a v . D e s f a v . F a v . D e s f a v .
P e s o P r o p i o ( P P ) G
G
C
0 . 9 1 . 3 5 1 1 1 1
C . P e r m a n e n t e ( C P ) G
G
C
0 . 9 1 . 3 5 1 1 1 1
C . V a r . P u n t u a l ( C V P ) Q
Q
C
0 1 . 5 0 1 0 1
C . V a r . V i e n t o I z q . ( C W I ) Q
Q
C
0 1 . 5 0 1 0 1
C . V a r . V i e n t o I z q . ( C W I ) Q
Q
C
0 1 . 5 0 1 0 1
2 C r i t e r i o d e s i g n o s
E s f u e r z o a x i l P i l a r i z q u i e r d o ( P I ) P i l a r d e r e c h o ( P D ) D i n t e l ( D )
P o s i t i v o ( t r a c c i n )
N e g a t i v o ( c o n p r e s i n )
M o m e n t o f l e c t o r P I P D D
P o s i t i v o
N e g a t i v o
C o o r d e n a d a s :
Los autores, 1998; Edicions UPC, 1998.
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A c c i o n e s
" !
3 . 7 5 k N / m
3 k N / m
3 k N / m
- 1 1 . 2 5 k N - 1 1 . 2 5 k N
- 2 6 . 2 5 k N - 2 6 . 2 5 k N
1 6 . 8 7 5 m k N
7 . 5 k N / m
3 A c c i o n e s y l e y e s p a r c i a l e s
3 . 1 P e s o p r o p i o ( p p )
P i l a r e s :
mk N3m3.0m4.0mk N2 5
3
=
D i n t e l e s :
mk N7 5.3m3.0m5.0mk N2 5
3
=
E s f u e r z o s :
N p p
P . I . : N ( x ) = - 2 6 . 2 5 + 3 x
D : N ( x ) = 0
P . D . : N ( x ) = - 2 6 . 2 5 + 3 x
M p p
P . I . : M ( x ) = 0
D : M ( x ) = - 1 . 8 7 5 x
2
+ 1 1 . 2 5 x
P . D . : M ( x ) = 0
3 . 2 C a r g a p e r m a n e n t e ( c p )
Los autores, 1998; Edicions UPC, 1998.
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H o r m i g n a r m a d o y p r e t e n s a d o . E j e r c i c i o s
" "
E s f u e r z o s :
N c p
P . I . : N ( x ) = - 2 2 . 5
D : N ( x ) = 0
P . D . : N ( x ) = - 2 2 . 5
M c p
P . I . : M ( x ) = 0
D : x5.2 2x7 5.3x
2
lp
x
2
p
)x(M
22
+-=
+-=
P . D . : M ( x ) = 0
3 . 3 C a r g a v a r i a b l e p u n t u a l e n d i n t e l ( c v p )
6
yQ
QR
6
yQ
R
A
B
-=
=
E n e l d i n t e l ,
( )
-
-
=
yx)x6(y
6
Q
yxxy6
6
Q
)x(M
y l a e n v o l v e n t e p a r a y = x e s : ) x6(x
6
Q
)x(M -= .
E s f u e r z o s y :
N c v p
P . I . : ) y6(3 3 3.8)y6(
6
Q
)x(N
k N5 0Q
- --=
=
D : N ( x ) = 0
P . D . : y 3 3 3.8y
6
Q
)x(N
k N5 0Q
- -=
=
- 2 2 . 5 k N
- 2 2 . 5 k N
3 3 . 7 5 m k N
x
y
Q
R
)
R
*
Los autores, 1998; Edicions UPC, 1998.
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A c c i o n e s
" #
- 5 0 k N
- 5 0 k N
M c v p
P . I . : M ( x ) = 0
D :
( ) ( )
( )
- -
- -
=
=
=
y)x6(3 3 3.8yxy6y
6
Q
xy63 3 3.8yxxy6
6
Q
)x(M
k N5 0Q
k N5 0Q
P . D . : M ( x ) = 0
E n v o l v e n t e d e e s f u e r z o s m x i m o s :
A x i l e s :
P . I . : N ( x ) = - Q ( y = 0 )
D : N ( x ) = 0
P . D . N ( x ) = - Q ( y = 6 )
M o m e n t o s :
P . I . : M ( x ) = 0
D :
2
x3 3 3.8x5 0)x6(x
6
Q
)x(M -=-=
P . D . : M ( x ) = 0
3 . 4 C a r g a d e v i e n t o p o r l a i z q u i e r d a ( c w i )
L a e s t r u c t u r a s e e n c u e n t r a e n z o n a e l i c a Y ( A C o r u a ) y e n l a s i t u a c i n t o p o g r f i c a e x p u e s t a . S i s e
t o m a u n a a l t u r a d e 6 m s o b r e e l n i v e l d e l s u e l o s e o b t i e n e u n a c a r g a d e v i e n t o p d e 8 2 k p / m
2
. P o r l a
i z q u i e r d a a c t u a r u n a c a r g a d e 2 p / 3 y p o r l a d e r e c h a u n a d e p / 3 . S o b r e l a c u b i e r t a , c o n u n n g u l o
d e 0 , s e p r o d u c e u n a s u c c i n m d e v a l o r 3 1 k p / m
2
c o n s i d e r a n d o u n a e d i f i c a c i n s i n h u e c o s . L a s
c a r g a s t o t a l e s s e o b t i e n e n p a r a u n a n c h o d e 6 m .
7 5 m . k N
Los autores, 1998; Edicions UPC, 1998.
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H o r m i g n a r m a d o y p r e t e n s a d o . E j e r c i c i o s
" $
M = 3 1 k p / m
2
= 0 . 3 1 k N / m
2
P = 8 2 k p / m
2
= 0 . 8 2 k N / m
2
A n c h o = 6 m , l u e g o
2 p / 3 = 3 . 2 8 k N / m y p / 3 = 1 . 6 4 k N / m
k N8 3.1 5R
k N6 7.4R
k N6.2 4H
k N6.2 4m5
m
k N
6 4.1
m
k N
2 8.3
A
B
=
=
=
=
+
1 . 8 6 k N / m
H
R
)
R
*
Los autores, 1998; Edicions UPC, 1998.
8/8/2019 Ejercicios Hormigon Armado y Pre Tens Ado - Ediciones Upc
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A c c i o n e s
" %
E s f u e r z o s e n p i l a r i z q u i e r d o :
x
2 4 . 6 k N
1 5 . 8 3 k N
3 . 2 8 k N / m
k Nm8 2)5(M
x6 4.1x6.2 4
2
x
2 8.3xH)x(M
k N8 3.1 5R)x(N
)
=
-=-=
==
1 5 . 8 3 k N
8 2 m k N
E s f u e r z o s e n d i n t e l :
1 . 8 6 k N / m
N
8 . 2 k N
1 5 . 8 3 k N
8 2 m k N
k Nm5.2 0)6(M
k Nm8 8.4 2)3(M
k Nm8 2)0(M
x8 3.1 5x9 3.08 2)x(M
k N2.8)x(N
2
=
=
=
-+=
=
8 . 2 k N
8 2 m k N
2 0 . 5 m k N
Los autores, 1998; Edicions UPC, 1998.
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H o r m i g n a r m a d o y p r e t e n s a d o . E j e r c i c i o s
" &
E s f u e r z o s e n p i l a r d e r e c h o :
x
4 . 6 7 k N
1 . 6 4 k N / m
k Nm5.2 0)5(M
0)0(M
x8 2.0
2
x
6 4.1)x(M
k N6 7.4)x(N
2
2
=
=
==
-=
4 . 6 7 k N
2 0 . 5 m k N
R e s u l t a r , p o r t a n t o :
8 2 m k N
8 2 m k N 2 0 . 5 m k N
2 0 . 5 m k N
1 5 . 8 3 k N
8 . 2 k N
4 . 6 7 k N
3 . 5 C a r g a d e v i e n t o p o r l a d e r e c h a ( c w d )
H = 2 4 . 6 k N
R A = 4 . 6 7 k N
R B = 1 5 . 8 3 k N
1 . 8 6 k N / m
1 . 6 4 k N / m 3 . 2 8 k N / m
H
R
)
R
*
Los autores, 1998; Edicions UPC, 1998.
8/8/2019 Ejercicios Hormigon Armado y Pre Tens Ado - Ediciones Upc
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A c c i o n e s
" '
E s f u e r z o s e n p i l a r i z q u i e r d o :
x
4 . 6 7 k N
2 4 . 6 k N
k Nm5.1 0 2)5(M
0)0(M
x6.2 4x8 2.0)x(M
k N6 7.4)x(N
2
-=
=
-=
-=
4 . 6 7 k N
1 0 2 . 5 m k N
E s f u e r z o s e n d i n t e l :
1 . 8 6 k N / m
N
1 6 . 4 k N
4 . 6 7 k N
1 0 2 . 5 m k N
k Nm4 1)6(M
k Nm1 2.8 2)3(M
k Nm5.1 0 2)0(M
x9 3.0x6 7.45.1 0 2)x(M
k N4.1 6)x(N
2
-=
-=
-=
++-=
-=
1 6 . 4 k N
1 0 2 . 5 m k N
4 1 m k N
E s f u e r z o s e n p i l a r d e r e c h o :
x
1 5 . 8 3 k N
3 . 2 8 k N / m
Los autores, 1998; Edicions UPC, 1998.
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H o r m i g n a r m a d o y p r e t e n s a d o . E j e r c i c i o s
#
k Nm4 1)5(M
0)0(M
x6 4.1
2
x
2 8.3)x(M
k N8 3.1 5)x(N
2
2
-=
=
-=-=
=
1 5 . 8 3 k N
4 1 m k N
P o r l o t a n t o :
1 0 2 . 5 m k N 4 1 m k N
4 . 6 7 k N
1 5 . 8 3 k N
1 6 . 4 k N
4 C o m b i n a c i n d e a c c i o n e s
L a c o m b i n a c i n e n E L U p a r a s i t u a c i o n e s p e r s i s t e n t e s o t r a n s i t o r i a s s e d e b e c a l c u l a r , s e g n l a
i n s t r u c c i n , c o m o s i g u e :
>
yg+g+g+g+g
1j 1j 1i
i,ki,0i,Q1,k1,Qkp
*
k j
jG
k jG j
QQPGG
*
E n e s t e c a s o ,
G
*
k j = 0
P k = 0
G
*
k j : a c c i o n e s p e r m a n e n t e s ( p p y c p )
Q k , 1 : a c c i n v a r i a b l e d e t e r m i n a n t e
Q k i : a c c i n v a r i a b l e c o n c o m i t a n t e
L a c o m b i n a c i n d e b e h a c e r s e v a r i a n d o l a a c c i n v a r i a b l e d e t e r m i n a n t e p a r a o b t e n e r l a p s i m a
s i t u a c i n d e l a e s t r u c t u r a e n c a d a s e c c i n . E n e s t e c a s o , p o r t a n t o , l a a c c i n v a r i a b l e d e t e r m i n a n t e
d e b e s e r :
A c c i n v a r i a b l e d e t e r m i n a n t e A c c i n v a r i a b l e c o n c o m i t a n t e
Q
c p
Q
c w i
o Q
c w d
Q
c w i
Q
c p
Q
c w d
Q
c p
Los autores, 1998; Edicions UPC, 1998.
8/8/2019 Ejercicios Hormigon Armado y Pre Tens Ado - Ediciones Upc
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A c c i o n e s
#
4 . 1 C o m b i n a c i n d e e n v o l v e n t e s
C o n s i d e r a n d o c o n c o m i t a n t e s l o s e s f u e r z o s d e l a s d i s t i n t a s e n v o l v e n t e s , s e e x p o n e e l c l c u l o d e l a s
d i s t i n t a s c o m b i n a c i o n e s q u e s u r g i r a n a p a r t i r d e l a s e n v o l v e n t e s y c o n s i d e r a n d o l o s e s f u e r z o s
m x i m o s p o r s e p a r a d o p a r a E . L . U . e n s i t u a c i n p e r m a n e n t e o t r a n s i t o r i a :
a ) D i n t e l
a . 1 ) Q 1 = c v p
M o m e n t o s p o s i t i v o s :
M
+
= 1 . 3 5 M
p p
+ 1 . 3 5 M
c p
+ 1 . 5 M
c v p
+ 1 . 5 0 . 6 M
c w i
, d e d o n d e :
M ( x ) = 1 . 3 5 ( - 1 . 8 7 5 x
2
+ 1 1 . 2 5 x ) + 1 . 3 5 ( - 3 . 7 5 x
2
+ 2 2 . 5 x ) +
+ 1 . 5 ( 5 0 x - 8 . 3 3 3 x
2
) + 1 . 5 0 . 6 ( 8 2 + 0 . 9 3 x
2
- 1 5 . 8 3 x ) =
M ( x ) = - 1 9 . 2 5 6 2 5 x
2
+ 1 0 6 . 3 2 x + 7 3 . 8
M o m e n t o s n e g a t i v o s :
M
-
= 0 . 9 M p p + 0 . 9 M c p + 1 . 5 0 . 6 M c w d , d e d o n d e :
M ( x ) = 0 . 9 ( - 1 . 8 7 5 x
2
+ 1 1 . 2 5 x ) + 0 . 9 ( - 3 . 7 5 x
2
+ 2 2 . 5 x ) +
+ 1 . 5 0 . 6 ( - 1 0 2 . 5 + 4 . 6 7 x + 0 . 9 3 x
2
) =
M ( x ) = - 4 . 2 3 x
2
+ 3 7 . 7 3 x - 9 2 . 2 5
A x i l e s p o s i t i v o s :
N
+
= 1 . 5 0 . 6 N c w i , d e d o n d e :
N ( x ) = 1 . 5 0 . 6 8 . 2 = 7 . 3 8
A x i l e s n e g a t i v o s :
N
-
= 1 . 5 0 . 6 N c w d , d e d o n d e :
N ( x ) = 1 . 5 0 . 6 ( - 1 6 . 4 ) = - 1 4 . 7 6
a . 2 ) Q
1
= c w i
M o m e n t o s p o s i t i v o s :
M
+
= 1 . 3 5 M p p + 1 . 3 5 M c p + 1 . 5 0 . 7 M c v p + 1 . 5 M c w i , d e d o n d e :
M ( x ) = 1 . 3 5 ( - 1 . 8 7 5 x
2
+ 1 1 . 2 5 x ) + 1 . 3 5 ( - 3 . 7 5 x
2
+ 2 2 . 5 x ) +
+ 1 . 5 0 . 7 ( - 8 . 3 3 3 x
2
+ 5 0 x ) + 1 . 5 ( 0 . 9 3 x
2
- 1 5 . 8 3 x + 8 2 ) =
M ( x ) = - 1 4 . 9 5 x
2
+ 7 4 . 3 2 x + 1 2 3
M o m e n t o s n e g a t i v o s y a c a l c u l a d o s .
Los autores, 1998; Edicions UPC, 1998.
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H o r m i g n a r m a d o y p r e t e n s a d o . E j e r c i c i o s
#
A x i l e s p o s i t i v o s :
N
+
= 1 . 5 0 . 6 N c w i , d e d o n d e :
N ( x ) = 1 . 5 8 . 2 = 1 2 . 3
A x i l e s n e g a t i v o s y a c a l c u l a d o s .
a . 3 ) Q
1
= c w d
M o m e n t o s p o s i t i v o s y a c a l c u l a d o s .
M o m e n t o s n e g a t i v o s :
M
-
= 0 . 9 M p p + 0 . 9 M c p + 1 . 5 M c w d , d e d o n d e :
M ( x ) = 0 . 9 ( - 1 . 8 7 5 x
2
+ 1 1 . 2 5 x ) + 0 . 9 ( - 3 . 7 5 x
2
+ 2 2 . 5 x ) +
+ 1 . 5 ( - 1 0 2 . 5 + 4 . 6 7 x + 0 . 9 3 x
2
) =
M ( x ) = - 3 . 6 7 x
2
+ 3 7 . 3 8 x - 1 5 3 . 7 5
A x i l e s p o s i t i v o s y a c a l c u l a d o s .
A x i l e s n e g a t i v o s :
N
-
= 1 . 5 N
c w d
, d e 0 d o n d e :
N ( x ) = 1 . 5 ( - 1 6 . 4 ) = - 2 4 . 6
b ) P i l a r i z q u i e r d o
b . 1 ) Q 1 = c v p
M o m e n t o s p o s i t i v o s :
M
+
= 1 . 5 0 . 6 M c w i
M ( x ) = 1 . 5 0 . 6 ( 2 4 . 6 x - 1 . 6 4 x
2
) = 2 2 . 1 4 x - 1 . 4 7 6 x
2
M o m e n t o s n e g a t i v o s :
M
-
= 1 . 5 0 . 6 M c w d
M ( x ) = 1 . 5 0 . 6 ( - 2 4 . 6 x + 0 . 8 2 x
2
) = - 2 2 . 1 4 x + 0 . 7 3 8 x
2
A x i l e s p o s i t i v o s :
N
+
= 0 . 9 N
p p
+ 0 . 9 N
c p
+ 1 . 5 0 . 6 N
c w i
, d e d o n d e :
N ( x ) = 0 . 9 ( 3 x - 2 6 . 2 5 ) + 0 . 9 ( - 2 2 . 5 ) + 1 . 5 0 . 6 1 5 . 8 3 = - 2 9 . 6 3 + 2 . 7 x
N o e x i s t e n t r a c c i o n e s e n e l p i l a r
Los autores, 1998; Edicions UPC, 1998.
8/8/2019 Ejercicios Hormigon Armado y Pre Tens Ado - Ediciones Upc
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A c c i o n e s
# !
A x i l e s n e g a t i v o s :
N
-
= 1 . 5 N p p + 1 . 5 N c p + 1 . 5 0 . 6 N c w d , d e d o n d e :
M ( x ) = 1 . 5 ( 3 x - 2 6 . 2 5 ) + 1 . 5 ( - 2 2 . 5 ) + 1 . 5 ( - 5 0 ) + 1 . 5 0 . 6 ( - 4 . 6 7 ) = 4 . 5 x - 1 5 2 . 3 3
b . 2 ) Q 1 = c w i
M o m e n t o s p o s i t i v o s :
M
+
= 1 . 5 M c w i
M ( x ) = 1 . 5 ( 2 4 . 6 x - 1 . 6 4 x
2
) = 3 6 . 9 x - 2 . 4 6 x
2
M o m e n t o n e g a t i v o y a c a l c u l a d o .
A x i l p o s i t i v o :
N
+
= 0 . 9 N
p p
+ 0 . 9 N
c p
+ 1 . 5 N
c w i
, d e d o n d e :
N ( x ) = 0 . 9 ( 3 x - 2 6 . 2 5 ) + 0 . 9 ( - 2 2 . 5 ) + 1 . 5 ( 1 5 . 8 3 ) = 2 . 7 x - 2 0 . 1 3
E l p i l a r e s t c o m p r i m i d o .
A x i l n e g a t i v o y a c a l c u l a d o .
b . 3 ) Q 1 = c w d
M o m e n t o p o s i t i v o y a c a l c u l a d o .
M o m e n t o n e g a t i v o :
M
-
= 1 . 5 M c w d
M ( x ) = 1 . 5 ( - 2 4 . 6 x + 0 . 8 2 x
2
) = - 3 6 . 9 x + 1 . 2 3 x
2
A x i l p o s i t i v o n o e x i s t e .
A x i l n e g a t i v o y a c a l c u l a d o .
c ) P i l a r d e r e c h o
c . 1 ) Q 1 = c v p
M o m e n t o s p o s i t i v o s :
M
+
= 1 . 5 0 . 6 M c w i
M ( x ) = 1 . 5 0 . 6 ( 0 . 8 2 x
2
) = 0 . 7 3 8 x
2
Los autores, 1998; Edicions UPC, 1998.
8/8/2019 Ejercicios Hormigon Armado y Pre Tens Ado - Ediciones Upc
46/378
H o r m i g n a r m a d o y p r e t e n s a d o . E j e r c i c i o s
# "
M o m e n t o s n e g a t i v o s :
M
-
= 1 . 5 0 . 6 M c w d
M ( x ) = 1 . 5 0 . 6 ( - 1 . 6 4 x
2
) = - 1 . 4 7 6 x
2
A x i l e s p o s i t i v o s :
N
+
= 0 . 9 N
p p
+ 0 . 9 N
c p
+ 1 . 5 0 . 6 N
c w d
, d e d o n d e :
N ( x ) = 0 . 9 ( 3 x - 2 6 . 2 5 ) + 0 . 9 ( - 2 2 . 5 ) + 1 . 5 0 . 6 ( 1 5 . 8 3 ) = 2 . 7 x - 2 9 . 6 3
A x i l e s n e g a t i v o s :
N
-
= 1 . 5 N p p + 1 . 5 N c p + 1 . 5 0 . 6 N c w i , d e d o n d e :
N ( x ) = 1 . 5 ( 3 x - 2 6 . 2 5 ) + 1 . 5 ( - 2 2 . 5 ) + 1 . 5 ( - 5 0 ) + 1 . 5 0 . 6 ( - 4 . 6 7 ) = 4 . 5 x - 1 5 1 . 3 3
c . 2 ) Q
1
= c w i
M o m e n t o s p o s i t i v o s :
M
+
= 1 . 5 M c w i
M ( x ) = 1 . 5 ( 0 . 8 2 x
2
) = 1 . 2 3 x
2
M o m e n t o s n e g a t i v o s y a c a l c u l a d o s .
A x i l e s p o s i t i v o s y a c a l c u l a d o s .
A x i l e s n e g a t i v o s y a c a l c u l a d o s .
c . 3 ) Q 1 = c w d
M o m e n t o s p o s i t i v o s y a c a l c u l a d o s .
M o m e n t o s n e g a t i v o s :
M
-
= 1 . 5 M c w d
M ( x ) = 1 . 5 ( - 1 . 6 4 x
2
) = - 2 . 4 6 x
2
A x i l e s p o s i t i v o s :
N
+
= 0 . 9 N
p p
+ 0 . 9 N
c p
+ 1 . 5 N
c w d
, d e d o n d e :
N ( x ) = 0 . 9 ( 3 x - 2 6 . 2 5 ) + 0 . 9 ( - 2 2 . 5 ) + 1 . 5 ( 1 5 . 8 3 ) = 2 . 7 x - 2 0 . 1 3
C o m p r e s i o n e s e n t o d o s l o s c a s o s .
A x i l e s n e g a t i v o s y a c a l c u l a d o s .
Los autores, 1998; Edicions UPC, 1998.
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A c c i o n e s
# #
L a s e n v o l v e n t e s d e e s f u e r z o s s o n l a s s i g u i e n t e s :
1 2 3
3 0 . 7
- 1 5 3 . 7 5
- 6 1 . 5 9
2 1 9 . 4 5
- 1 5 3 . 7 5
- 6 1 . 5
M+ M
-
1 2 . 3
- 1 5 2 . 3 3
- 1 2 9 . 8 3 - 1 2 9 . 8 3
- 2 4 . 6
N+ N-
4 . 2 C o m b i n a c i n d e e s f u e r z o s c o n c o m i t a n t e s
A c o n t i n u a c i n v a a s u p o n e r s e q u e , c o m o o c u r r e s i e m p r e e n r e a l i d a d , l a s l e y e s d e e n v o l v e n t e s n o
p r o p o r c i o n a n e s f u e r z o s c o n c o m i t a n t e s e n c a d a s e c c i n . C o n f i n a l i d a d d o c e n t e s e v a a a b o r d a r e l
p r o b l e m a d e l a c o m b i n a c i n d e e s f u e r z o s c o n c o m i t a n t e s .
L a s l e y e s d e a x i l y f l e c t o r , p o r s e p a r a d o , n o t i e n e n e x c e s i v o v a l o r , p u e s t o q u e t o d o s l o s c l c u l o s q u e
s e d e r i v e n d e e l l a s d e b e r n h a c e r s e p a r a p a r e s d e v a l o r e s ( N , M ) c o n c o m i t a n t e s . E s t o s u p o n e q u e n o
p u e d e t r a b a j a r s e c o n l a s e n v o l v e n t e s d e c a d a e s f u e r z o y a q u e :
P r o p o r c i o n a n v a l o r e s m x i m o s d e M y N e n c a d a s e c c i n q u e p u e d e n n o s e r c o n c o m i t a n t e s ( c o s t e
e c o n m i c o ) .
S i s e a s o c i a n v a l o r e s m x i m o s d e M y N , a n s i n s e r c o n c o m i t a n t e s , n o s e t i e n e g a r a n t a d e q u e e l
p a r o b t e n i d o ( N m x , M m x ) s e a e l m s l e s i v o p a r a l a e s t r u c t u r a . E l l o q u e d a p a t e n t e o b s e r v a n d o , p o r
e j e m p l o , u n d i a g r a m a d e i n t e r a c c i n :
Los autores, 1998; Edicions UPC, 1998.
8/8/2019 Ejercicios Hormigon Armado y Pre Tens Ado - Ediciones Upc
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H o r m i g n a r m a d o y p r e t e n s a d o . E j e r c i c i o s
# $
N
P o s i b l e v a l o r ( N
m x
, M
m x
)
n o c o n c o m i n a n t e
V a l o r c o n c o -
m i t a n t e d e
( M , N ) q u e
r e s u l t a m s
p e r j u d i c i a l p a r a
l a s e c c i n
M
E l p r o b l e m a d e b e r e s o l v e r s e e s t u d i a n d o s i m u l t n e a m e n t e l a c o m b i n a c i n d e M y N c o n c o m i t a n t e s
e n c a d a s e c c i n , c o m o p r o p o n e l a E H E . U n p r o c e s o e q u i v a l e n t e a l q u e s e v a a p l a n t e a r a q u d e
f o r m a m a n u a l e s e l q u e d e b e s e g u i r s e e n l o s p r o g r a m a s d e c l c u l o d e e s t r u c t u r a s .
A s s e t e n d r :
P a r a c a r g a v a r i a b l e d e t e r m i n a n t e Q c p :
G ? F G ? F Q ? F Q ? M E Q ? M @
C O M B .
g g g
g y g y
G
F F
y G
? F
D E S F .
1 1 . 3 5 1 . 3 5 1 . 5
1 . 5 0 . 6
0 Q ? F D E S F .
Q ? M E D E S F .
G
F F
y G
? F
D E S F .
2 1 . 3 5 1 . 3 5 1 . 5 0
1 . 5 0 . 6
Q ? F D E S F .
Q ? M @ D E S F .
G F F y G ? F D E S F .
3 1 . 3 5 1 . 3 5 1 . 5 0 0 Q ? F D E S F .
Q ? M E y Q ? M @ F A V .
G
F F
y G
? F
D E S F .
4 1 . 3 5 1 . 3 5 0
1 . 5 0 . 6
0 Q
? F
F A V .
Q ? M E D E S F .
G
F F
y G
? F
D E S F .
5 1 . 3 5 1 . 3 5 0 0
1 . 5 0 . 6
Q
? F
F A V .
Q ? M @ D E S F .
G
F F
y G
? F
D E S F .
6 1 . 3 5 1 . 3 5 0 0 0 Q
? F
F A V .
Q
? M E
y Q
? M @
F A V .
G F F y G ? F F A V .
7 0 . 9 0 . 9 1 . 5
1 . 5 0 . 6
0 Q ? F D E S F .
Q
? M E
D E S F .
G F F y G ? F F A V .
8 0 . 9 0 . 9 1 . 5 0
1 . 5 0 . 6
Q ? F D E S F .
Los autores, 1998; Edicions UPC, 1998.
8/8/2019 Ejercicios Hormigon Armado y Pre Tens Ado - Ediciones Upc
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A c c i o n e s
# %
Q ? M @ D E S F .
G F F y G ? F F A V .
9 0 . 9 0 . 9 1 . 5 0 0 Q
? F
D E S F .
Q
? M E
y Q
? M @
F A V .
G F F y G ? F F A V .
1 0 0 . 9 0 . 9 0
1 . 5 0 . 6
0 Q ? F F A V .
Q
? M E
D E S F .
G F F y G ? F F A V .
1 1 0 . 9 0 . 9 0 0
1 . 5 0 . 6
Q ? F F A V .
Q
? M @
D E S F .
G F F y G ? F F A V .
1 2 0 . 9 0 . 9 0 0 0 Q ? F F A V .
Q ? M E y Q ? M @ F A V .
A d v i r t a s e q u e n u n c a a c t a n s i m u l t n e a m e n t e Q
c w i
y Q
c w d
. C a d a c o m b i n a c i n p r o p o r c i o n a u n p a r ( N ,
M ) e n c a d a s e c c i n d e c a d a e l e m e n t o d e l a e s t r u c t u r a ( p i l a r d e r e c h o , p i l a r d e r e c h o , d i n t e l ) .
P a r a c a r g a v a r i a b l e d e t e r m i n a n t e Q c w i :
G ? F G ? F Q ? F Q ? M E Q ? M @
C O M B
.
g g g y g g y
G F F y G ? F D E S F .
1 1 . 3 5 1 . 3 5
1 . 5 0 . 7
1 . 5 0 Q
? F
D E S F .
Q ? M E D E S F .
G F F y G ? F D E S F .
2 1 . 3 5 1 . 3 5 1 . 5 1 . 5 0 Q
? F
F A V .
Q
? M E
D E S F .
G F F y G ? F D E S F .
3 1 . 3 5 1 . 3 5
1 . 5 0 . 7
0
1 . 5 0 . 6
Q ? F D E S F .
Q
? M @
D E S F .
4 1 . 3 5 1 . 3 5 0 0
1 . 5 0 . 6
R E P E T I D A
G F F y G ? F D E S F .
5 1 . 3 5 1 . 3 5
1 . 5 0 . 7
0 0 Q ? F D E S F .
Q
? M E
y Q
? M @
F A V .
6 1 . 3 5 1 . 3 5 0 0 0 R E P E T I D A
G F F y G ? F F A V .
7 0 . 9 0 . 9
1 . 5 0 . 7
1 . 5 0 Q
? F
D E S F .
Q ? M E D E S F .
G
F F
y G
? F
F A V .
8 0 . 9 0 . 9 0 1 . 5 0 Q
? F
F A V .
Q
? M @
D E S F .
G F F y G ? F F A V .
9 0 . 9 0 . 9
1 . 5 0 . 7
0
1 . 5 0 . 6 0
Q ? F D E S F .
Los autores, 1998; Edicions UPC, 1998.
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H o r m i g n a r m a d o y p r e t e n s a d o . E j e r c i c i o s
# &
Q ? M @ D E S F .
1 0 0 . 9 0 . 9 0 0
1 . 5 0 . 6
R E P E T I D A
G
F F
y G
? F
F A V .
1 1 0 . 9 0 . 9
1 . 5 0 . 7
0 0 Q
? F
D E S F .
Q ? M E y Q ? M @ F A V .
1 2 0 . 9 0 . 9 0 0 0 R E P E T I D A
P a r a l a c a r g a v a r i a b l e d e t e r m i n a n t e Q
c w d
:
G ? F G ? F Q ? F Q ? M E Q ? M @
C O M B .
g g
g y
g
g y
G
? F
y G
? F
D E S F .
1 1 . 3 5 1 . 3 5
1 . 5 0 . 7
0 1 . 5 Q
? F
D E S F .
Q ? M @ D E S F .
G
? F
y G
? F
D E S F .
2 1 . 3 5 1 . 3 5
1 . 5 0 . 7
0 1 . 5 Q
? F
D E S F .
Q ? M @ D E S F .
G
? F
y G
? F
D E S F .
3 1 . 3 5 1 . 3 5
1 . 5 0 . 7 1 . 5 0 . 6
0 Q
? F
D E S F .
Q ? M E D E S F .
4 1 . 3 5 1 . 3 5 0
1 . 5 0 . 6
0 R E P E T I D A
5 1 . 3 5 1 . 3 5
1 . 5 0 . 7
0 0 R E P E T I D A
6 1 . 3 5 1 . 3 5 0 0 0 R E P E T I D A
G ? F y G ? F F A V .
7 0 . 9 0 . 9
1 . 5 0 . 7
0 1 . 5 Q
? F
D E S F .
Q
? M E
D E S F .
G ? F y G ? F F A V .
8 0 . 9 0 . 9 0 0 1 . 5 Q
? F
F A V .
Q
? M @
D E S F .
G ? F y G ? F F A V .
9 0 . 9 0 . 9
1 . 5 0 . 7 1 . 5 0 . 6
0 Q ? F D E S F .
Q
? M E
D E S F .
1 0 0 . 9 0 . 9 0
1 . 5 0 . 6
0 R E P E T I D A
1 1 0 . 9 0 . 9
1 . 5 0 . 7
0 0 R E P E T I D A
1 2 0 . 9 0 . 9 0 0 0 R E P E T I D A
Los autores, 1998; Edicions UPC, 1998.
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A c c i o n e s
# '
4 . 3 C o m p a r a c i n d e r e s u l t a d o s
A c o n t i n u a c i n s e p r e s e n t a n l o s e s f u e r z o s o b t e n i d o s s e g n l a s d o s f o r m a s d e c l c u l o ( e s f u e r z o s
c o n c o m i t a n t e s y e n v o l v e n t e s d e m x i m o s ) . S e d a n l o s p a r e s ( N , M ) e n v a r i a s s e c c i o n e s d e l o s t r e s
e l e m e n t o s ( p i l a r i z q u i e r d o , d i n t e l y p i l a r d e r e c h o ) . L o s p u n t o s p e q u e o s r e p r e s e n t a n l o s p a r e s
c o n c o m i t a n t e s r e a l e s , m i e n t r a s q u e l a s c r u c e s g r a n d e s
+e q u i v a l e n a c o m b i n a c i o n e s d e v a l o r e s
m x i m o s ( N m x , M m x ) o b t e n i d o s d e e n v o l v e n t e s . C o m o s e v e , s e o b t i e n e n v a l o r e s m x i m o s q u e e n
o c a s i o n e s s o n i r r e a l e s y q u e e n a l g n c a s o ( d i n t e l , s e c c i n x = 3 ) p u e d e n r e s u l t a r i n s e g u r o s d e c a r a
a l d i m e n s i o n a m i e n t o .
R E S U L T A D O S D E L P I L A R I Z Q U I E R D O
P . I Z . X = 0
- 1 7 5
- 1 2 5
-7 5
-2 5
25
75
12 5
17 5
-1 6 0 -1 1 0 -6 0 -1 0
N
M
P . I Z . X = 1
- 1 7 5
- 1 2 5
-75
-25
25
75
12 5
17 5
-1 5 0 -1 0 0 -5 0 0
N
M
P . I Z . X = 2
- 1 7 5
- 1 2 5
-7 5
-2 5
25
75
12 5
17 5
-1 5 0 -1 0 0 -5 0 0
N
M
P . I Z . X = 3
- 1 7 5
- 1 2 5
-75
-25
25
75
12 5
17 5
-1 5 0 -1 0 0 -5 0 0
N
M
Los autores, 1998; Edicions UPC, 1998.
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H o r m i g n a r m a d o y p r e t e n s a d o . E j e r c i c i o s
$
P . I Z . X = 4
- 1 7 5
- 1 2 5
-7 5
-2 5
25
75
12 5
17 5
-1 5 0 -1 0 0 -5 0 0
N
M
P . I Z . X = 5
- 1 7 5
- 1 2 5
-75
-25
25
75
12 5
17 5
-1 5 0 -1 0 0 -5 0 0
N
M
R E S U L T A D O S D E L D I N T E L
D I N T E L X = 0
- 1 7 5
- 1 2 5
-7 5
-2 5
25
75
12 5
17 5
22 5
-3 0 -2 0 -1 0 0 1 0 2 0
N
M
D I N T E L X = 1
- 1 7 5
- 1 2 5
-7 5
-2 5
25
75
12 5
17 5
22 5
-3 0 -2 0 -1 0 0 1 0 2 0
N
M
D I N T E L X = 2
- 1 7 5
- 1 2 5
-7 5
-2 5
25
75
12 5
17 5
22 5
-3 0 -2 0 -1 0 0 1 0 2 0
N
M
D I N T E L X = 3
- 1 7 5
- 1 2 5
-7 5
-2 5
25
75
12 5
17 5
22 5
-3 0 -2 0 -1 0 0 1 0 2 0
N
M
Los autores, 1998; Edicions UPC, 1998.
8/8/2019 Ejercicios Hormigon Armado y Pre Tens Ado - Ediciones Upc
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A c c i o n e s
$
D I N T E L X = 4
- 1 7 5
- 1 2 5
-7 5
-2 5
25
75
12 5
17 5
22 5
-3 0 -2 0 -1 0 0 1 0 2 0
N
M
D I N T E L X = 5
- 1 7 5
- 1 2 5
-7 5
-2 5
25
75
12 5
17 5
22 5
-3 0 -2 0 -1 0 0 1 0 2 0
N
M
D I N T E L X = 6
- 1 7 5
- 1 2 5
-7 5
-2 5
25
75
12 5
17 5
22 5
-3 0 -2 0 -1 0 0 1 0 2 0
N
M
R E S U L T A D O S D E L P I L A R D E R E C H O
P. DER. X=0
-75
-55
-35
-15
5
25
45
-1 5 5 -1 0 5 -5 5 -5
N
M
P. DER. X=1
-7 5
-5 5
-3 5
-1 5
5
25
45
-1 5 5 -1 0 5 -5 5 -5
N
M
Los autores, 1998; Edicions UPC, 1998.
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H o r m i g n a r m a d o y p r e t e n s a d o . E j e r c i c i o s
$
P. DER. X=2
-75
-55
-35
-15
5
25
45
-1 5 5 -1 0 5 -5 5 -5
N
M
P. DER. X=3
-7 5
-5 5
-3 5
-1 5
5
25
45
-1 5 5 -1 0 5 -5 5 -5
N
M
P. DER. X=4
-75
-55
-35
-15
5
25
45
-1 5 5 -1 0 5 -5 5 -5
N
M
P. DER. X=5
-7 5
-5 5
-3 5
-1 5
5
25
45
-1 5 5 -1 0 5 -5 5 -5
N
M
Los autores, 1998; Edicions UPC, 1998.
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A c c i o n e s
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E j e r c i c i o I - 4 O b t e n c i n d e l e y e s d e e s f u e r z o s e n u n a v i g a c o n t i n u a d e h o r m i g n
a r m a d o
P a r a c r u z a r u n a v a u r b a n a s e p r o y e c t a u n a p a s a r e l a p e a t o n a l d e h o r m i g n a r m a d o c o n s i s t e n t e e n
u n a v i g a c o n t i n u a d e d o s v a n o s d e 9 . 0 y 1 2 . 0 m e t r o s , c o n s e c c i n c o n s t a n t e c o m o i n d i c a l a f i g u r a
a d j u n t a . E l t a b l e r o s e a p o y a s o b r e d o s a p a r a t o s d e a p o y o d e m a t e r i a l e l a s t o m t r i c o , s e p a r a d o s 1 . 2 0
m t r a n s v e r s a l m e n t e ( q u e p e r m i t e n e l m o v i m i e n t o h o r i z o n t a l y e l g i r o d e f l e x i n e n l o s e s t r i b o s ) y
s o b r e u n n i c o a p o y o c e n t r a d o s o b r e l a p i l a i n t e r m e d i a , q u e n o p e r m i t e m o v i m i e n t o s l o n g i t u d i n a l e s
p e r o s g i r o s d e f l e x i n y t o r s i n .
L a s a c c i o n e s q u e s e d e b e n c o n s i d e r a r s o n :
- p e s o p r o p i o d e l t a b l e r o : 4 1 . 5 k N / m l ,
- c a r g a s m u e r t a s ( p a v i m e n t o , a c e r a s , b a r a n d i l l a s , i n s t a l a c i o n e s ) : 3 . 5 k N / m l ,
- s o b r e c a r g a d e u s o e x t e n d i d a s o b r e c u a l q u i e r r e a d e l t a b l e r o e n s e n t i d o l o n g i t u d i n a l o
t r a n s v e r s a l : 4 . 0 k N / m
2
,
- v a r i a c i n t r m i c a d e + 2 0 C e n l a f i b r a s u p e r i o r y + 1 0 C e n l a i n f e r i o r .
A d o p t a r e m o s l o s c o e f i c i e n t e s d e m a y o r a c i n d e a c c i o n e s e s t a b l e c i d o s e n l a i n s t r u c c i n E H E , y
s u p o n d r e m o s u n c o n t r o l i n t e n s o d e l a e j e c u c i n y p a r a u n h o r m i g n H A - 3 0 / P / 2 0 / I I . T o m a r
O
0
= 0 . 6 , O
1
= 0 . 5 , O
2
= 0 . 2 c o m o c o e f i c i e n t e s p a r a d e t e r m i n a r l o s v a l o r e s r e p r e s e n t a t i v o s d e
c o m b i n a c i n , f r e c u e n t e s y c u a s i p e r m a n e n t e s .
A = 1 8 1 2 5 m
2
I = 8 . 3 7 6 1 0
- 2
v = - 0 . 4 7 6 m
v = 0 . 3 2 4 m
A l z a d o l o n g i t u d i n a l
S e c c i n d e l t a b l e r o
Los autores, 1998; Edicions UPC, 1998.
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H o r m i g n a r m a d o y p r e t e n s a d o
$ "
S e p i d e :
1 . O b t e n e r l a s l e y e s d e e s f u e r z o s c o n l a s q u e s e d e b e n d i m e n s i o n a r l a s a r m a d u r a s d e l t a b l e r o e n
e s t a d o l m i t e l t i m o .
2 . O b t e n e r l a s l e y e s d e e s f u e r z o s n e c e s a r i a s p a r a l a c o m p r o b a c i n d e l o s e s t a d o s l m i t e d e s e r v i c i o
p a r a l a c o m b i n a c i n p o c o p r o b a b l e .
3 . C a l c u l a r l a s r e a c c i o n e s m x i m a y m n i m a e n l o s a p o y o s e x t r e m o s , n e c e s a r i a s p a r a e l
d i m e n s i o n a m i e n t o d e l o s a p a r a t o s d e a p o y o e n l a c o m b i n a c i n d e a c c i o n e s p o c o p r o b a b l e .
S o l u c i n
1 . L a s l e y e s d e e s f u e r z o s q u e h a n d e u t i l i z a r s e e n e l d i m e n s i o n a m i e n t o s e o b t i e n e n c o m b i n a n d o
a d e c u a d a m e n t e l a s l e y e s o e n v o l v e n t e s d e e s f u e r z o s q u e p r o v o c a c a d a u n a d e l a s a c c i o n e s q u e s e
c o n s i d e r a n e n e l p r o y e c t o d e l a e s t r u c t u r a . P o r e l l o , l o p r i m e r o q u e s e h a r e s o b t e n e r l a s l e y e s d e
e s f u e r z o s p r o v o c a d a s p o r c a d a u n a d e l a s c a r g a s .
A f i n d e s i m p l i f i c a r e l c l c u l o d e e s f u e r z o s , n o s e t e n d r n e n c u e n t a l a s a c c i o n e s h o r i z o n t a l e s s o b r e
e l t a b l e r o ( f r e n a d o , e t c . ) y l a p i l a ( v i e n t o , d e f o r m a c i o n e s i m p u e s t a s d e b i d a s a l a v a r i a c i n d e
t e m p e r a t u r a , r e t r a c c i n , e t c . ) . D e e s t a f o r m a n o s e c o n s i d e r a n l o s e s f u e r z o s h o r i z o n t a l e s q u e l o s
a p a r a t o s d e a p o y o t r a n s m i t e n a l a p i l a , p o r l o q u e s t a n i c a m e n t e s e v e r s o m e t i d a a e s f u e r z o s
a x i l e s . P o r e l l o , s e c a l c u l a n p r i m e r o l a s l e y e s d e m o m e n t o s f l e c t o r e s , l o s e s f u e r z o s c o r t a n t e s y
m o m e n t o s t o r s o r e s . P o s t e r i o r m e n t e s e o b t i e n e l a e n v o l v e n t e d e a x i l e s p a r a l a p i l a .
L e y e s d e e s f u e r z o s d e b i d a s a l p e s o p r o p i o d e l t a b l e r o
L e y e s d e e s f u e r z o s d e b i d a s a l a s c a r g a s m u e r t a s
6 0 6 . 9 4
4 4 3 . 5 4
3 7 . 3 8
9 . 8 3
Los autores, 1998; Edicions UPC, 1998.
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E n v o l v e n t e s d e l a s l e y e s d e e s f u e r z o s d e b i d a s a l a s o b r e c a r g a d e u s o
D a d o q u e l a s o b r e c a r g a d e u s o p u e d e e x t e n d e r s e s o b r e c u a l q u i e r r e a d e l t a b l e r o , t a n t o l o n g i t u d i n a l
c o m o t r a n s v e r s a l m e n t e , h a n d e c o n s i d e r a r s e l a s e n v o l v e n t e s d e t o d a s l a s l e y e s d e e s f u e r z o s p o s i b l e s .
N o o b s t a n t e , c o m o e l d i m e n s i o n a m i e n t o s e h a c e s o b r e l a s s e c c i o n e s c r t i c a s , l o s v a l o r e s d e l o s
e s f u e r z o s n i c a m e n t e s e c a l c u l a n e n e s t a s s e c c i o n e s , y e l r e s t o d e l a e n v o l v e n t e s e d i b u j a d e f o r m a
c u a l i t a t i v a .
L e y e s d e e s f u e r z o s d e b i d a s a l a v a r i a c i n t r m i c a