EJERCICIOS RESUELTOSEJERCICIOS RESUELTOS

En esta sección se presentan una serie de ejercicios resueltos En esta sección se presentan una serie de ejercicios resueltos buscando tratar uno de cada tipo. buscando tratar uno de cada tipo.

1. Geométricos1. Geométricos2. De cálculo2. De cálculo

3. De análisis de parámetros3. De análisis de parámetros4. De modelación4. De modelación

1. ¿ Cómo clasifica el sistema dado?1. ¿ Cómo clasifica el sistema dado?

a)

3

X1 + X2 = 1X2 + X3 = 1

X1

X3

X2

b)

c)

Resolución:Resolución:

a)a) Como son tres planos que se interceptan Como son tres planos que se interceptan en un solo punto, el sistema es en un solo punto, el sistema es

CompatibleCompatible determinado determinado b) b) Como son dos planos que se interceptan Como son dos planos que se interceptan

en una recta, existen infinitas soluciones, en una recta, existen infinitas soluciones, luego el sistema es luego el sistema es Compatible Compatible indeterminadoindeterminado c) c) Como se tiene tres rectas que no se Como se tiene tres rectas que no se interceptan las tres, significa que no interceptan las tres, significa que no existen puntos comunes a las tres por existen puntos comunes a las tres por tanto no hay solución luego el sistema es tanto no hay solución luego el sistema es IncompatibleIncompatible inicio

2. Resolver el sistema:. Resolver el sistema:

22312423

12152

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxx

xxxxxxxx

Resolución:Resolución:La matriz aumentada del sistema es:La matriz aumentada del sistema es:

22311124231111211521

Escalonando la matriz:Escalonando la matriz: F2-2F1, F3 - 3F1, F4 - F1 F2 - F4

338304511401401011521

3383045114031113011521

09800011001401011521

0980001111001401011521

F3 + 4 F2, F4 - F2 F2x(-1) , F3 / 11

01000011001401011521

F4 - 9F3 Como la matriz escalonada,origina un sistema de cuatroecuaciones con cuatro incógnitas,el sistema será Determinado,siendo el sistema equivalente:

x1-2x2-5x3+x4=-1 x2 -4x4=1 x3 + x4=0 x4=0

Hallando las incógnitas mediante una sustitución regresiva:x4 = 0 , x3 = 0, x2 = 1 , x1 =1 C.S.= {(1;1;0;0)}inicio

3. Resolver el sistema por . Resolver el sistema por Gauss- Jordan:Gauss- Jordan:

1 23021

21

321

321

xxxxxxxx

Resolución:Resolución:Resolver un SEL por Gauss-Jordan, consiste en reducir la Resolver un SEL por Gauss-Jordan, consiste en reducir la matriz aumentada a su forma escalonada reducida.matriz aumentada a su forma escalonada reducida.

Llevando la matriz a su forma escalonada reducida:Llevando la matriz a su forma escalonada reducida:F2-2F1, F3 - 3F1 F3 - F2

La matriz aumentada del sistema es:La matriz aumentada del sistema es:

102301121111

F1 + F2

00002-31-01-201

00002-31-0

11-11

23102310

1111

El sistema equivalente será:

23 12

32

31

xxxx

Como el sistema equivalente presenta dos ecuaciones contres incógnitas, entonces el sistema será indeterminado, donde: No de var.lib= No de incóg. – No de ecua.

Sea x3= t , t Luego:

x2 = 2+3t , x1= -1-2t

C.S.={ (-1-2t,2+3t,t) / t } inicio

1 23985

2y- 3

azyxzyxbzx

4. Determinar los valores de a y b para que el sistema:

i) tenga solución únicaii)no tenga solucióniii)tenga un número infinito de soluciones.

Resolución:

1123985

123

a

b

Llevando la matriz a su forma escalonada :Llevando la matriz a su forma escalonada :F1-F3 F2-5F1, F3-2F1

bababa

232370255470

1131

1123985

1131

a

ba

Finalmente se tendrá:

bababa

316200255470

1131F3-F2

i) El sistema tendrá solución única si es determinado, luegoi) El sistema tendrá solución única si es determinado, luego se cumplirá:se cumplirá:

b-aba

y 3 y 062

ii) El sistema no tiene solución si es incompatible, luego seii) El sistema no tiene solución si es incompatible, luego se cumplirá:cumplirá:

3/1y 3 031-y 062

b-aba

iii) El sistema tendrá infinitas soluciones si es indeterminado,iii) El sistema tendrá infinitas soluciones si es indeterminado, luego se cumplirá:luego se cumplirá:

3/1y 3 031-y 062

b-aba

inicio

5. Kimberly Clark vende maquinas limpiadoras de alfombras. El modelo EZ-1000 pesa 10 kilos y viene en una caja de 10 pies cúbicos. El modelo compacto pesa

20 kilos y viene en una caja de 8 pies cúbicos. El modelo comercial pesa 60 kilos y viene en una caja de 28 pies cúbicos. Cada uno de sus camiones de entregas tiene 248 pies cúbicos de espacio y puede contener un máximo de 440 kilos . Para que un camión esté totalmente cargado, encuentre el número de cajas de cada modelo que debe llevar un camión de acuerdo a lo siguiente:

a)  Asigne variables a las incógnitas respectivas y formule el modelo matemático que involucre a todas las

incógnitas.

 b) Resuelva el modelo obtenido en (a) y determine el número de cajas que debe llevar cada camión para que este esté totalmente cargado.

  c)  Si una unidad del modelo EZ-1000 cuesta $20 , una unidad

del modelo compacto $30 y una unidad del modelo comercial $50 ¿cuál es el mínimo ingreso que podría obtener un camión en una entrega ? y ¿cuál es el máximo ingreso que podría obtener?

Resolución:Sea x el no de cajas del modelo EZ-1000 que debe llevar un camión

Sea y el no de cajas del modelo compacto que debe llevar un camiónSea z el no de cajas del modelo comercial que debe llevar un camión

Tendremos:Cada camión contiene un máximo de 440 kilos , luego: 10x+20y+60z = 440 Cada camión tiene un espacio máximo de 248 pies cúbicos, luego: 10x+8y+28z = 248

a)

Así el modelo matemático que se obtiene de la situación es:

10x + 20y + 60z = 440 ... (1)10x + 8y + 28z = 248 ... (2)

Como hay dos ecuaciones con tres incógnitas se tiene una variable libre luego: sea z = t , t

De (2): y = 16- (8/3)tDe (1): x = 12- (2/3)t

(1)-(2): 12y+32z =192 3y+8z =48 ...(3)

b)Resolviendo el modelo obtenido en (a):

Analizando, los posibles valores que puede tomar t son: 0;3 y 6Para t=0 , se tiene x = 12, y=16, z=0Para t=3 , se tiene x = 10, y=8, z=3Para t=6 , se tiene x = 8, y=0, z=6

c)El ingreso que puede tener un camión en una entrega será:

I = 20x+30y+50z

Es decir: I = 20(12-(2/3)t)+30(16-(8/3)t)+50tI = 720- (130/3)t

Mínimo ingreso, para t=6 : I = 720-(130/3)(6) = 460Máximo ingreso, para t=0 : I = 720-(130/3)(0) = 720

Es decir el mínimo ingreso que puede tener una camión en una entrega es de $ 460, y el máximo ingreso es de $ 720.

inicio