El concepto de vector está motivado por la idea de desplazamiento en el espacio

Si una partícula se mueve de P a Q determina un segmento de recta dirigido con punto inicial P y punto final Q

PQ

Vectores en el plano

La magnitud del vector es la longitud de ese desplazamiento y se denota por

Vectores de la misma magnitud

Vectores en el plano

PQ

PQ RS

R S P Q

S

R

La dirección del vector viene dada por el punto inicial y el punto final. En este sentido

SRRS

Vectores de la misma dirección

S

R Q

P

S

R

Vectores en direcciones distintas

P

Q

Vectores en el plano

Vectores Equivalentes

Q

P

RSPQTienen la misma magnitud y dirección

S

R

Definición Geométrica

Un vector es el conjunto de todos los segmentos dirigidos equivalentes

O

Eje x

Eje y

Todo vector se puede representar por un vector cuyo punto inicial es el origen, denominado vector posición.

Vectores en el plano

(a,b) son las coordenadas del vector 𝒖 y también del punto P

𝑢

a

b

A un vector 𝒖 se le asocia el punto P(a,b) así:

P(a,b)

Eje Y

O Eje X

( , )u OP a b

Vectores en el plano

Magnitud o módulo de un vector 𝒖:

𝒖 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐

El vector nulo (0,0) no tiene dirección

Dirección de 𝒖 es el ángulo que forma con el eje positivo X

a

b tag

Un vector de módulo uno se llama unitario

Vectores en el plano

u

a

b (a,b)

Eje Y

O Eje X

Definamos el vector como un segmento de recta dirigido.

Definición Geométrica de un vector

SENTIDO

Flecha encima del símbolo:

Convenciones para representar una magnitud vectorial en un texto

Convenciones para representar el módulo o norma de una magnitud vectorial en un texto

Dos barras rodeando a la magnitud vectorial:

El módulo de un vector siempre es positivo, y especifica las unidades de la magnitud que el

vector representa

a

a

Todo vector que se puede desplazar por el espacio y mantiene

su magnitud, dirección y sentido, entonces son iguales.

A B

C

A B C

Sea el vector A

El resultado es otro vector en la misma dirección Si multiplicamos un escalar “ λ ” a un vector

Propiedades de Vectores

B = l

El resultado es otro vector en la misma dirección

λ > 0

Para: λ > 0 , el vector B tiene

la misma dirección al vector A

B

Para: λ < 0 , el vector B tiene

sentido opuesto al vector A

B

Propiedades de Vectores

a a2a

2

1

al

al

a2

3

Todos los vectores múltiplos de 𝑎 son paralelos

Vectores iguales o equivalentes.

Son aquellos que tienen su módulo, dirección y sentido

iguales

α β

A B

Si A y B son iguales se cumple:

• ||A|| = ||B||

• α = β

• Sentido de A = Sentido de B

Coliniales. Si se encuentran sobre la misma línea de

acción.

A B C

Tipos de Vectores

Tipos de Vectores

CONCURRENTES.- Si sus líneas de acción concurren

en un mismo punto.

Punto de

Concurrencia

A

C

B

Consiste en sumar dos vectores gráficamente y se realiza de la siguiente manera:

Se unen los orígenes de los dos vectores.

A partir de sus puntas o terminaciones se trazan paralelas a cada uno de ellos formando una paralelogramo.

La diagonal de dicho paralelogramo es el vector suma, lo cual se ilustra mediante el siguiente ejemplo:

Suma de vectores. Método del Paralelogramo

A

B

A

B

Método del Paralelogramo

Consiste en unir el origen del segundo vector con la punta del primero. Si son mas de dos vectores, unir el origen del tercer vector con la punta del segundo y así sucesivamente, el vector resultante es el que va desde el origen del primero hasta la punta del último.

A

B

B C A

C

D D

Método del Polígono

Multiplicación de un vector por un escalar

Al multiplicar un vector por un escalar, se obtiene un nuevo

vector ( 𝐵 ) que es k veces mayor, k veces menor o bien igual que el vector que le dio origen, todo depende del escalar. Ejemplo:

𝑭 𝑩 = 𝟐𝑭

k = 2

k = 1

2

𝑊 =1

2𝐹

Negativo de un vector

El negativo de un vector 𝑆 es aquél que tiene la misma

magnitud y dirección que 𝑆 pero sentido contrario.

El negativo de un vector 𝑆 es aquél que hay que sumarle a 𝑆 para obtener el vector nulo.

O bien el vector multiplicado por un escalar unitario negativo. Ejemplo:

𝑺

−𝑺 𝑩 = - 𝑆

k = - 1

𝑺 + −𝑺 = 𝟎

Se define la resta de vectores como:

𝒂 − 𝒃 = 𝒂 + (−𝒃) = 𝒓

Para restar un vector B al vector A, se procede igual que en la suma con la única salvedad de que se toma el negativo del vector B. Ejemplo

𝒂

𝒃 𝒂

- 𝒃

Resta de Vectores …

𝑎

𝒃

𝒂

−𝒃

Se define la resta de vectores como:

𝒂 − 𝒃 = 𝒂 + (−𝒃) = 𝒓

Para restar un vector 𝑏 al vector 𝑎 , se procede igual que en la suma

con la única salvedad de que se toma el negativo del vector 𝑏.

Ejemplo

𝒃

𝒂

Propiedades

i. 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎

ii. 𝑎 + (𝑏 + 𝑐 ) = (𝑎 + 𝑏) + 𝑐

iii. 𝑎 + 0 = 𝑎

iv. 𝑎 + −𝑎 = 0

v. 𝑘 𝑎 + 𝑏 = 𝑘𝑎 + 𝑘𝑏 𝑘1 escalar

vi. 𝑘1 + 𝑘2 𝑎 = 𝑘1𝑎 + 𝑘2𝑎 𝑘1, 𝑘2 escalares

vii. 𝑘1 𝑘2𝑎 = 𝑘1𝑘2 𝑎 𝑘1𝑘2 escalares

viii. 1 ∙ 𝑎 = 𝑎

ix. 0 ∙ 𝑎 = 0

x. 0 = (0,0)

Definición 2: (Definición algebraica de un vector)

Un vector v en el plano XY es un par ordenado de números reales (a,b) donde a y b se llaman componentes del vector.

v= (a,b) se llama vector de posición, cuyo punto inicial es el origen (0,0)

Vectores en el plano (R2)

(a,b)

y

x

v

Definiciones en R2

2 2

1 2a a a

Sea 𝑎 = (𝑎1, 𝑎2), 𝑏 = (𝑏1, 𝑏2) en R2

(i) 𝑎 + 𝑏 = (𝑎1 + 𝑏1, 𝑎2 + 𝑏2) (ii) 𝑘𝑎 𝑘 = (𝑘𝑎1, 𝑘𝑎2)

(iii) 𝑎 = 𝑏 𝑠𝑖 𝑦 𝑠ó𝑙𝑜 𝑠𝑖 𝑎1 = 𝑏1, 𝑎2 = 𝑏2

(iv) −𝑎 = (−1)𝑎 = (−𝑎1, −𝑎2)

(v) 𝑎 − 𝑏 = (𝑎1 − 𝑏1, 𝑎2 − 𝑏2)

(vi) 0 = (0,0) (vi)

Ejemplo 1.

Si 𝑎 = (1, 4), 𝑏 = (−6, 3), hallar 𝑎 + 𝑏, 𝑎 − 𝑏 , 2𝑎 + 3𝑏.

Solución Usando propiedades (1), (2), (4), tenemos

𝑎 + 𝑏 = (1 + −6 , 4 + 3)

𝑎 − 𝑏 = 1 − −6 , 4 − 3 = (7,1)

2𝑎 + 3𝑏 = 2 1,4 + 3 −6,3 = 2,8 + −18,9 = (−16,17)

El espacio tridimensional R3

El conjunto de todas las ternas ordenadas de números reales recibe el nombre de espacio numérico tridimensional, y se denota por R3. Cada terna ordenada (x, y, z) se denomina punto del espacio numérico tridimensional.

x y

z

plano xz

plano yz plano xy

orígen

SISTEMA DE

COORDENADAS

CARTESIANAS

Es un conjunto de ternas ordenadas de números reales

Primera

componente

Segunda

componente Tercera

componente

R3 = { ( x , y , z ) / x R, y R, z R }

El espacio tridimensional R3

Vector en R3

P(a1,a2,a3) z

x

y

a

a1

a2 a3

Ejemplo 2.

Represente los puntos (4, 5, 6) y (−2, −2, 0).

Solución Fig 7.25.

Definiciones en R3

2 2 2

1 2 3a a a a

Propiedades del módulo o norma

Sean 𝑟 , 𝑢 ∈ ℝ𝑛, entonces:

1. 𝑟 ≥ 0; 𝑟 = 0 si y sólo si 𝑟 = 0.

2. 𝑟 + 𝑢 ≤ 𝑟 + 𝑢

3. 𝛼𝑟 = 𝛼 𝑟 , 𝛼 ∈ ℝ

Un vector cuya magnitud es la unidad, se denomina vector unitario.

a

𝑎

Vector unitario.

Todo vector unitario 𝑎 , tiene la misma dirección del vector 𝑎 .

aa

a

Ejemplo 3.

Calcula 𝑎 si 𝑎 = (−2,3,6)

𝑎 = (−2)2+32 + 62 = 49 = 7

𝑎 =(−2,3,6)

7= −

2

7,3

7,6

7

Ejemplo 4.

Dado 𝑎 = (2,−1) el vector unitario en la misma dirección 𝑢 es:

𝑎 = 22 + (−1)2= 5

𝑢 =1

5𝑎 =

1

52,−1

𝑢 =2

5, −

1

5

Nota: En R2 y en R3 existen vectores que nos permiten representar cualquier otro vector en términos de ellos. Se les llaman vectores unitarios canónicos y se representan por

ii

𝑅2: 𝑖 = 1,0 ; 𝑗 = (0,1)

𝑅3: 𝑖 = 1,0,0 ; 𝑗 = 0,1,0 ; 𝑘 = (0,0,1)

Los vectores 𝒊 , 𝒋

Si 𝑎 = (a1, a2) entonces:

𝑎 = 𝑎1, 0 + 0, 𝑎2

𝑎 = 𝑎1 1,0 + 𝑎2 0,1

𝑎 = 𝑎1𝑖 + 𝑎2𝑗

i

j

1a i

2a j

Ejemplo 5.

5) 𝑎 = 6𝑖 + 4𝑗 , 𝑏 = 9𝑖 + 6𝑗 son paralelos y 𝑏 =3

2𝑎

1) (4, 7) = 4𝑖 + 7𝑗

2) (2 𝑖 – 5 𝑗 ) + (8 𝑖 + 13 𝑗 ) = 10 𝑖 + 8𝑗

3) 𝑖 + 𝑗 = 2

4) 10(3 𝑖 – 𝑗 ) = 30 𝑖 – 10 𝑗

Los vectores 𝒊 , 𝒋 , 𝒌

Si 𝑎 = (a1, a2, a3) entonces:

𝑎 = 𝑎1, 0,0 + 0, 𝑎2, 0 + 0,0, 𝑎3

𝑎 = 𝑎1 1,0,0 + 𝑎2 0,1,0 +𝑎3(0,0,1)

𝑎 = 𝑎1𝑖 + 𝑎2𝑗 + 𝑎3𝑘

Vectores unitarios canónicos 𝒊 , 𝒋 , 𝒌 .

Los vectores 𝑖 , 𝑗 y 𝑘 son unitarios y están dirigidos en la dirección de los ejes 𝑋, 𝑌 y 𝑍 respectivamente.

ij

k

1a i 2a j

3a k

a

Ejemplo 6

Sea 𝑎 = 4𝑖 + 2𝑗 , 𝑏 = −2𝑖 + 5𝑗 . Dibujar 𝑎 + 𝑏, 𝑎 − 𝑏.

Solución

Dos vectores son paralelos entre sí si todas sus componentes son proporcionales. Ejemplo:

Definición

),,( 321 aaau

),,( 321 bbbv

Dado:

vu

// kb

a

b

a

b

a

3

3

2

2

1

1

vku

Un vector es libre de moverse bajo desplazamientos paralelos si queremos medirlo con nuestro sistema de referencia Oxyz.

x

y O

A

z

Coordenadas de un vector libre cualquiera

Las coordenadas de un vector libre 𝑃𝑄 respecto a los vectores

𝑖 , 𝑗 y 𝑘 se obtienen restando las coordenadas del punto P con las coordenadas correspondientes de Q.

𝑂𝑃 + 𝑃𝑄 = 𝑂𝑄

Los puntos 𝑃 y 𝑄 determinan

el vector fijo 𝑃𝑄

𝑃𝑄 = 𝑂𝑄 − 𝑂𝑃

𝑃𝑄 = 𝑂𝑄 − 𝑂𝑃 = (𝑏 − 𝑎, 𝑏′ − 𝑎′, 𝑏"−𝑎")

Ejemplo 7.

Hallar el vector que va de (4, 6, −2) a (1, 8, 3)

Solución

( , , ( ))

( , , )

1 2 2 1

1 2

1 2

P P OP OP

P P 1 4 8 6 3 2

P P 3 2 5

Recordemos que la dirección de un vector r no nulo en R2 es la medida del ángulo α, que forma el semieje positivo X con el vector posición asociado a r. El ángulo α esta medido en radianes tal que 0 ≤ α ≤ π.

Cosenos Directores

Los ángulos directores de un vector no nulo en R3 son los tres ángulos , , que forman respectivamente los ejes positivos X, Y,Z con el vector posición s

Los ángulos α, β, γ están medidos en radianes tales que 0 ≤ α, β, γ ≤ π.

Si 𝑟 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 , se cumple además que:

sin 𝛼 =𝑦

𝑟 , cos 𝛼 =

𝑥

𝑟 , tan 𝛼 =

𝑦

𝑥

𝑟 = 𝑟 cos 𝛼 𝑖 + 𝑟 sin 𝛼 𝑗

decimos que cos , cos , cos son cosenos directores, y

||a||||a||||a||

321 cos,cos,cosaaa

Cosenos Directores

31 2

a c

aa aa

os(

i j

) i cos( ) j cos( ) k

ka a a

cos2() + cos2() + cos2() = 1

Hallar los cosenos directores y los ángulos directores de

𝑎 = 2𝑖 + 5𝑗 + 4𝑘.

Solución

1 1 12 5 4cos ; cos ; cos ;

3 5 3 5 3 5

2 5 4

cos ; cos ; cos3 5 3 5 3 5

2 2 2a 2 5 4 45 3 5

Ejemplo 6

Hallar la magnitud o norma y dirección del vector 𝑟 = (−2,1).

Dados los puntos 𝐴(−2,1,3), 𝐵 = (1,2,−3) y 𝐶 = (2,1,4). Se pide:

c) Ángulos directores del vector 𝐵𝐶.

b) Un vector unitario en la dirección 2𝐴𝐵 − 3𝐵𝐶.

a) Gráfica de los puntos.

d) Perímetro del triángulo formado por los puntos dados.