UNIVERSIDAD ALONSO DE OJEDA

FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Unidad Curricular: Matemática II

Elaborado por:

Ing. Ronny Altuve

Ciudad Ojeda, Mayo 2016

LÍMITES

INDICADOR DE LOGRO

Unidad curricular: Matemática II

Aplicar la definición y propiedades de los límites, resolviendo

problemas propuestos.

Un límite matemático, expresa la tendencia de una función mientras

sus parámetros se aproximan a un cierto valor.

Esta noción de “acercarse cada vez más a algo, pero sin tocarlo”, es

muy importante en matemáticas y tiene que ver con el concepto de límite,

que es fundamental para el Cálculo.

INTRODUCCIÓN

Unidad curricular: Matemática II

Básicamente, se considera que una

variable “se acerca al máximo” a un

valor específico, y se examina el efecto

que esto tiene sobre los valores de la

función.

INTRODUCCIÓN

Unidad curricular: Matemática II

Por ejemplo, si se considera la función:

lim𝑥→1

𝑓 𝑥 =𝑥3 − 1

𝑥 − 1

X < 1 X > 1

x f(x) x f(x)

0.8 2.44 1.2 3.64

0.9 2.71 1.1 3.31

0.95 2.8525 1.05 3.1525

0.99 2.9701 1.01 3.0301

0.995 2.985025 1.005 3.015025

0.999 2.997001 1.001 3.003001

INTRODUCCIÓN

Unidad curricular: Matemática II

Por ejemplo, si se considera la función:

lim𝑥→2

𝑓(𝑥) = 𝑥 + 3

X < 2 X > 2

X f(x) x f(x)

1.5 4.5 2.5 5.5

1.9 4.9 2.1 5.1

1.95 4.95 2.05 5.05

1.99 4.99 2.01 5.01

1.999 4.999 2.001 5.001

El límite de f(x) cuando x tiende a “c” es el número L, y ello se escribe:

lim𝑥→𝑐

𝑓(𝑥) = 𝐿

Si f(x) está arbitrariamente cerca de L para toda “x” suficientemente

cercana a “c”, pero no igual a “c”.

DEFINICIÓN DE LÍMITE

Unidad curricular: Matemática II

Es importante recordar que cuando

se determina un límite, lo importante

NO es lo que le sucede a f(x) cuando x

es igual a “c”, sino sólo lo que le ocurre

cuando x está cerca de c.

PROPIEDADES DE LOS LÍMITES

Unidad curricular: Matemática II

Teorema 1.

Si a є R, entonces:

lim𝑥→𝑎

𝑥 =𝑎

Teorema 2. Límite de una constante

Si c = constante, entonces:

lim𝑥→𝑎

𝑐 = 𝑐

Teorema 3. Límite de una combinación lineal

Si c = constante y 𝑓(𝑥) una función, entonces:

lim𝑥→𝑎

𝑐 ∙ 𝑓(𝑥) = 𝑐 ∙ lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥)

PROPIEDADES DE LOS LÍMITES

Unidad curricular: Matemática II

Teorema 4.

Si m = cte, b = cte, entonces:

lim𝑥→𝑎

𝑚𝑥 + 𝑏 = 𝑚𝑎 + 𝑏

Teorema 5. Límite de una suma

Si lim𝑥→𝑎

𝑔(𝑥) = 𝐺 y lim𝑥→𝑎

ℎ(𝑥) = 𝐻 , con G y H є R, entonces:

lim𝑥→𝑎

[𝑔 𝑥 + ℎ 𝑥 ] = lim𝑥→𝑎

𝑔 𝑥 + lim𝑥→𝑎

ℎ 𝑥 = 𝐺 + 𝐻

Teorema 6. Límite de una diferencia

Si lim𝑥→𝑎

𝑔(𝑥) = 𝐺 y lim𝑥→𝑎

ℎ(𝑥) = 𝐻 , con G y H є R, entonces:

lim𝑥→𝑎

[𝑔 𝑥 − ℎ 𝑥 ] = lim𝑥→𝑎

𝑔 𝑥 − lim𝑥→𝑎

ℎ 𝑥 = 𝐺 − 𝐻

PROPIEDADES DE LOS LÍMITES

Unidad curricular: Matemática II

Teorema 7. Límite de un producto

Si lim𝑥→𝑎

𝑔(𝑥) = 𝐺 y lim𝑥→𝑎

ℎ(𝑥) = 𝐻 , con G y H є R, entonces:

lim𝑥→𝑎

[𝑔 𝑥 ∙ ℎ 𝑥 ] = lim𝑥→𝑎

𝑔 𝑥 ∙ lim𝑥→𝑎

ℎ 𝑥 = 𝐺 ∙ 𝐻

Teorema 8. Límite de un cociente

Si lim𝑥→𝑎

𝑔(𝑥) = 𝐺 y lim𝑥→𝑎

ℎ(𝑥) = 𝐻 , con G y H є R, con H ≠ 0, entonces:

lim𝑥→𝑎

𝑔(𝑥)

ℎ(𝑥)=

lim𝑥→𝑎

𝑔(𝑥)

lim𝑥→𝑎

ℎ(𝑥)=𝐺

𝐻

Teorema 9. Límite de una potencia

Si lim𝑥→𝑎

𝑔(𝑥) = 𝐺 , con m y n є R, siendo n ≠ 0, entonces:

lim𝑥→𝑎

𝑔(𝑥)𝑚

𝑛 = 𝐺𝑚

𝑛

PROPIEDADES DE LOS LÍMITES

Unidad curricular: Matemática II

Teorema 10. Límite de un polinomio

Si P(x) es una función polinómica, entonces:

lim𝑥→𝑎

𝑃(𝑥) = 𝑃(𝑎)

Teorema11.

Si lim𝑥→𝑎

𝑔(𝑥) = 𝐺 y lim𝑥→𝑎

ℎ(𝑥) = 𝐻 , con G y H є R, entonces:

lim𝑥→𝑎

𝑔(𝑥)ℎ(𝑥)

= lim𝑥→𝑎

𝑔(𝑥)lim𝑥→𝑎

ℎ(𝑥)= 𝐺𝐻

Calcular el siguiente límite, justificando que propiedad se está

usando:

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

Unidad curricular: Matemática II

a) lim𝑥→2

7

b) lim𝑥→3

𝑥2

c) lim𝑥→

1

2

𝑥2+6𝑥+9

𝑥2−2𝑥+1

d) lim𝑥→2

(𝑥2 + 𝑥)

e) lim𝑥→2

𝑥 + 1 𝑥 − 3

f) lim𝑥→−2

3𝑥3

g) lim𝑥→1

2𝑥2+𝑥−3

𝑥3+4

h) lim𝑡→4

𝑡2 + 1

i) lim𝑥→3

𝑥2 + 73

j) lim𝑡→

1

2

(3𝑡 − 5)

k) lim𝑥→−1

(𝑥3 − 3𝑥2 − 2𝑥 + 1)

l) lim𝑝→4

𝑝2 + 𝑝 + 5

INDETERMINACIONES

Unidad curricular: Matemática II

Indeterminación cero partido entre cero 0

0

1. Función racional sin radicales: Se descomponen en factores los

polinomios y se simplifica la fracción.

FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS

Unidad curricular: Matemática II

FACTORIZACIÓN

Para factorizar un polinomio y calcular sus raíces, se deben seguir los

siguientes pasos, cuando sean posibles:

1. Factor común de un polinomio: Extraer factor común a un polinomio,

consiste en aplicar la propiedad distributiva.

a ∙ x + b ∙ x + c ∙ x = x a + b + c

2. Igualdad notable

I. Diferencia de cuadrados: Una diferencia de cuadrados es igual a

suma por diferencia.

a2 − b2 = a + b ∙ a − b

II. Suma o Diferencia de Cubos perfectos:

a3 + b3 = a + b ∙ 𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏2

a3 − b3 = a − b ∙ 𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏2

FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS

Unidad curricular: Matemática II

III. Trinomio cuadrado perfecto: Un trinomio cuadrado perfecto es

igual a un binomio al cuadrado.

𝑎2 ± 2𝑎𝑏 + 𝑏2 = 𝑎 ± 𝑏 2

IV. Trinomio de segundo grado: Para descomponer en factores el

trinomio de segundo grado𝑃(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, se iguala a cero y se

resuelve la ecuación de 2º grado. Si las soluciones a la ecuación

son x₁ y x₂, el polinomio descompuesto será:

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎 ∙ 𝑥 − 𝑥1 ∙ 𝑥 − 𝑥2

FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS

Unidad curricular: Matemática II

Factorización de un polinomio de grado superior a dos

Utilizamos el teorema del resto y la regla de Ruffini para encontrar las

raíces enteras.

A. Tomamos los divisores del término independiente

B. Aplicando el teorema del resto sabremos para que valores la división

es exacta

C. Dividimos por Ruffini.

D. Por ser la división exacta, D = d · c

E. Se continua realizando las mismas operaciones a los siguientes

factores.

Evalúa los siguientes límites:

1. lim𝑥→1

𝑥² − 1

𝑥 − 1

2. lim𝑥→1

𝑥² + 𝑥 − 2

𝑥 − 1

3. lim𝑥→

13

3𝑥 − 1

3𝑥2 + 5𝑥 − 2

4. lim𝑥→2

𝑥3 − 8

𝑥2 − 4

5. lim𝑥→1

𝑥3 − 3𝑥 + 2

𝑥3 − 𝑥2 − 𝑥 + 1

6. lim𝑥→1

3𝑥4 − 4𝑥3 + 1

(𝑥 − 1)2

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

Unidad curricular: Matemática II

7. lim𝑥→1

𝑥² + 𝑥 − 2

𝑥2 − 𝑥

8. lim𝑡→1

𝑡² + 𝑡 − 2

𝑡2 − 1

9. lim𝑦→0

5𝑦3 + 8𝑦2

3𝑦4 − 16𝑦2

10. lim𝑥→2

𝑥2 − 4

𝑥 − 2

11. lim𝑥→4

𝑥 − 4

𝑥2 − 𝑥 − 12

12. lim𝑥→2

8 − 𝑥3

𝑥2 − 2𝑥

INDETERMINACIONES

Unidad curricular: Matemática II

Indeterminación cero partido entre cero 0

0

2. Función racional con radicales. En primer lugar se multiplica

numerador y denominador por la conjugada de la expresión

irracional.

Para la conjugada: (A + B)(A - B) = A² - B²

(A – B)(A² + AB + B²) = A³ - B³

(A + B)(A² - AB + B²) = A³ + B³

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

Unidad curricular: Matemática II

Evalúa los siguientes límites:

1. limx→9

x²−9x

3− x

2. limx→2

x²+3x−10

x2+5−3

3. limx→1

1− x

x2+3−2

4. limx→0

1− 1+x3

x

5. limx→1

x3 −1

x−1

6. limx→−1

x3 +1

𝑥2+x

INDETERMINACIONES

Unidad curricular: Matemática II

Indeterminación infinito partido entre infinito ∞

∞

Se dividen todos los sumandos por la potencia de mayor exponente.

Reglas Prácticas

1. Si el numerador y denominador tienen el mismo grado el límite es el

cociente entre los coeficientes de las potencias de mayor grado.

2. Si el numerador tiene mayor grado que el denominador el límite es

±∞, dependiendo del signo del coeficiente de mayor grado.

3. Si el numerador tiene mayor grado el límite es cero.

Evalúa los siguientes límites:

1. limx→∞

x²+5𝑥+4

𝑥2−2𝑥+1

2. limx→∞

2𝑥5−3𝑥2

𝑥4−𝑥3

3. limx→∞

𝑥2−𝑥+2

3𝑥2+2𝑥−4

4. limx→+∞

3𝑥2−2𝑥

2𝑥+3

5. limx→+∞

𝑥2+1

𝑥+1

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

Unidad curricular: Matemática II