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26-9-2011
TEMA DOS | ING. SANTIAGO GONZLEZ LPEZ
UNAM ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO
CAPITULO DOS
CAPACITORES
Un capacitor es un elemento que almacena carga y capacitancia la propiedad que la determina
cuanta energa puede guardar.
Dos conductores separados por aislantes o el vaco forman un capacitor.
Conductor A
+
Conductor B
1. Inicialmente con conductor tiene una carga neta de cero.
Q=0
2. Cargas de un capacitor
La manera ms comn es conectar los bornes de una batera a cada extremo del capacitor.
3. Se desconecta la batera
Cargas de igual magnitud pero de signo contrario.
1.
2. Constante de proporcionalidad (C)
C (capacitancia)
3. Unidades
[
]
F: farad
Calculo de la capacitancia, capacitor de placas planas paralelas.
Distancia de separacin entre placas.
1 El campo elctrico entre placas es uniforme.
2 Las cargas de las placas estn distribuidas en superficies opuestas.
3 Mediante la ley de Gauss
De la definicin de Potencial
-sustituyendo ecuacin 1 en ecuacin 2
De la definicin de capacitancia
Sustituyendo 3 en definicin de capacitancia
Ecuacin de capacitancia para un capacitor de placas planas y paralelas con vaco
entre ellas.
En el vaco (aire) la capacitancia C es una constante independiente de la carga del capacitor o de la
diferencia de potencial entre placas.
Las placas de cierto capacitor de placas planas paralelas en un vaco estn separadas 5.0 (mm) y
tienen 2.0 de rea. Se aplica una diferencia de potencial de 10,000[v] entre los Barnes del
capacitor.
Caractersticas de un capacitor
Capacitancia (Energa almacenada)
Voltaje (Ruptura) Voltaje mximo que soporta antes de ser destruida.
Valores Comerciales (estandarizados)
1
1.2
1.5 Mltiplos
2.2
3.3 y
4.7
5.6 Submltiplos
6.8
8.2
9.1
1. De acuerdo con Gauss
2. Potencial ( de un dipolo)
[
]
3. De la definicin de capacitancia
Capacitor Cilndrico
1. De acuerdo con Gauss
2.
3. La capacitancia por unidad de longitud es:
Vemos que la capacitancia de los cilindros coaxiales estn determinada en una totalidad por
las dimensiones; aunque con un material aislante entre el conductor interior y el conductor
exterior.
Conexiones Serie y Paralelo
Conexin Serie
Inicialmente sin carga.
1. Se aplica y la carga Q tiene la misma magnitud.
Los capacitores se cargan
Nota:
En una conexin en serie, la magnitud de la carga de todas las placas es la misma.
2.
Capacitancia Equivalente
En una conexin Serie, la capacitancia equivalente siempre es menor, que el menor de los valores
de los capacitores.
Circuito Paralelo
Las cargas en una conexin paralelo en cada capacitor no son iguales pues llegan indistintamente a
uno u otro capacitor.
En una conexin paralelo la cada de potencial en capacitor es la misma.
Generalizando
Almacenamiento de energa en capacitores y energa de campo elctrico
Muchas de las aplicaciones ms importantes de los capacitores dependen de la capacidad para
almacenar energa.
La energa Potencial Elctrica almacenada en un capacitor cargado, es simplemente la cantidad de
trabajo que se necesita para cargarlo.
El (W) consiste en separar cargas opuestas y colocarlas en conductores diferentes.
La energa Potencial (U) de un capacitor cargado, se halla colocando el (W) que se necesita para
cargarlo.
1. Proceso de Carga del Capacitor
2. Sean la diferencia de potencial y la carga en una etapa intermedia del proceso de
carga.
3. Relacin entre trabajo y el potencial elctrico.
4. En la etapa intermedia y para conocer el trabajo total realizado
5. Sustituyendo ecuacin 1 en 2
6. Integrando desde que hasta que quede cargado el capacitor
7. Energa Potencial Almacenada en un capacitor
[
]
Esta ecuacin nos indica que la capacitancia, mide la facultad de un capacitor de almacenar
tanta energa como cargar.
Energa y Campo Elctrico
La ecuacin anterior asocia la energa de un capacitor con la energa potencial de sus cargas, un
punto de vista alternativo es atribuir esta energa al campo elctrico que existe sus placas.
(
)
Ad=Volumen entre placas (v)
Densidad de Energa Elctrica en un vaco
Energa por unidad de volumen
Valida con respecto a cualquier capacitor en un vaco y cualquier configuracin de campo elctrico
en un vaco.
Observacin
Pensamos que el vaco no contiene materia; pero el vaco puede tener no obstante, campos
elctricos y por tanto energa. As pues, el espacio vaco no est necesariamente vaco a final de
cuentas.
Capacitor con Dielctricos
Dielctrico: material no conductor entre placas.
Funciones
1. Resuelve el problema mecnico de mantener 2 conductores separados por una distancia (d)
pequea.
2. Aumenta la diferencia de potencial (v+) posible entre placas del capacitor, y almacena
mayores cantidades de carga Q y energa (U).
3. La capacitancia es mayor con dielctrico
Vamos a examinar el efecto de llenar el interior de un capacitor con un material dielctrico
(Faradax 1837)
Polarizacin de la Materia
Cuando cualquier campo descargado se coloca dentro e un campo elctrico , le produce en el
una redistribucin de las partculas cargadas de los tomos.
Si el cuerpo es de un material conductor, sus electrones libres se trasladan de tal forma que el
volumen del cuerpo constituye una regin equipotencial.
Si es el material aislante, los electrones y los ncleos positivos de cada tomo o molcula sufren
un desplazamiento, debido a la accin del campo, pero en este caso el cuerpo no constituye una
regin equipotencial.
Los materiales que tiene este comportamiento se conoce con el nombre de dielctricos.
Nota: en los casos descritos, la carga neta del cuerpo es nula, aunque algunas regiones del mismo
adquieren un exceso de carga + -.
A las cargas que aparezcan en la superficie del cuerpo, debido al proceso mencionado, se le
denomina cargas inducidas y, cuando ha ocurrido el desplazamiento de cargas debido a un campo
elctrico, se dice que la materia se ha polarizado.
En los dielctricos, las cargas de las molculas no pueden sufrir desplazamientos semejantes
a los que experimentan los electrones de conduccin en un bloque metlico.
Por consiguiente, los desplazamientos originados por fuerzas elctricas debidas a campos
elctricos externos al dielctrico son muy pequeas y la magnitud de estos depender de la
mayor o menor rigidez con los que las cargas de un tomo o molcula estn unidos.
Constantes Dielctricas
Si tenemos
Definiendo el vector polarizacin (P)
| | [
]
Densidad indicada de carga elctrica
Al aplicar un dielctrico, diferente intensidades de campo elctrico (E), las fuerzas elctricas sobre
las cargas de dicha sustancia variaron en relacin directa a las intensidades aplicadas. Esto quiere
decir que se modificara, en caso, el momento dipolar de las molculas y, en consecuencia, la
polarizacin de dicha sustancia.
Adems, si con una misma intensidad de campo elctrico, se emplean diversas sustancias la
polarizacin en cada una de ellas, ser en general, diferente y esto depender de la rigidez con que
las cargas estn dispuestas en un tomo dado.
Definicin
Susceptibilidad elctrica .
Magnitud que cuantifica el comportamiento descrito, y establece relacin entre la polarizacin y el
campo elctrico.
Primero, Susceptibilidad
Segundo: Se convierten en una ecuacin cuando se introducimos una constante de proporcionalidad
que de acuerdo con el sistema de unidades resulta (permitividad del vaco).
Anlisis dimensional de
La susceptibilidad es una cantidad adimensional que nos indica la forma como se comporta una
sustancia al caer introducida en una regin en la que existe un campo elctrico, y su valor ser
tpico para cada sustancia.
Aplicando Gauss en las superficies mostradas
Recordando que | | | |
Despejando la magnitud del campo elctrico se tiene
Definiendo una nueva con una nueva constante dielctrica que denominaremos permitividad
relativa, como: Adimensional
De la expresin 1, podemos concluir que el campo elctrico en un punto (P) se ve denominado por
un factor al introducir en esa regin una sustancia dielctrica.
El campo elctrico que origina la ionizacin del dielctrico se conoce como campo elctrico de
ruptura, y el fenmeno de ionizacin de la sustancia se denomina ruptura de rigidez dielctrica.
Dielctrico Susceptibilidad Permitividad Relativa
Campo E de ruptura
Aire 0.00059 1.00059 0.8
Bakelito 3.8 4.8 12
vidrio 3.5 4.5 13
Vaco 0 1 00
Vectores Elctricos
D Desplazamiento elctrico
Definicin:
Establece la relacin entre el campo vectorial E y el campo vectorial de desplazamiento elctrico D,
vlida para materiales lineales e istropos.
Para este tipo de materiales, los vectores para cada punto, son paralelas entre s y en sus
magnitudes se relacionan por la pemitividad del material en cuestin.
Para un campo vectorial cualquiera
C el flujo se calcula:
Evaluando el flujo del campo vectorial D a travs de una superficie, el cual llamaremos
Flujo de a travs de una superficie Gaussiana.
Superficie Gaussiana en forma de paraleleppedo rectngulo para evaluar el flujo D.
1. En las caras 3,4,5y 6 la integral nula ya que para ellas son perpendiculares
(cos 90=0).
2. En la cara 2 la integral es nula ya que se localiza al interior de un cuerpo cargado y ,
por el de .
3. Solo la integral de cara 1 es diferente de cero.
3.1 son paralelos (cos 0=1).
3.2 como el campo vectorial D es uniforme, su magnitud es constante
3.3 De la definicin D ecuacin 1
El flujo del campo vectorial D(Desplazamiento elctrico), es igual a la cantidad de carga de la
placa encerrada por la superficie Gaussiana empleada.
Generalizacin de la Ley de Gauss con un dielctrico presente.
3.4La magnitud del vector D, es:
| |
Experimento de Faraday
Descubri que q>q es decir la carga en un capacitor con dielctrico es mayor que en aquel que
contiene aire o vaci entre placas.
El dielctrico en el capacitor le permite almacenar ms cargas, y por tanto en presencia mejora el
desempeo del capacitor.
Campo Elctrico en un Dielctrico
El campo neto en el aislante es menor que el campo aplicado, pues
Como concluyo Faraday la tendencia del dielctrico a disminuir el campo, se ve balanceado
suministrar a las placas cuando se inserta el dielctrico.
3. Para un capacitor de placas planas paralelas
4. Cuando el dielctrico este presente
5. Puesto que los campos elctricos han de ser iguales
Igualando ecuacin 1 y 2
Esta ecuacin nos indica que debido a la presencia de un dielctrico la carga q, aumenta en una
proporcin .
Capacitancia con dielctrico (C)
Por definicin
Sabemos que
Donde
Ningn dielctrico real es un aislador perfecto. En consecuencia, siempre hay cierta corriente de
fuga entre placas con carga de un capacitor con dielctrico.
Carga inducida y Polarizacin
Lneas de campo elctrico
(imagen)
Densidad superficial carga (+)
Densidad de superficial de carga (-)
Insertando un Dielctrico y manteniendo Q=cte.
El potencial V disminuye en un factor
La carga densidad superficial de las placas , no cambia, pero aparece una carga inducida de
signo opuesto en cada superficie del dielctrico, A esta redistribucin se le conoce como
polarizacin.
1. Su pondremos que
2. Densidad Neta de carga en cada lado del capacitor con dielctrico
3. El campo elctrico ( E) total para un par de placas planas paralelas (Gauss).
Sin dielctrico
Con dielctrico
4. Sabemos que
5. Sustituyendo ecuacin 1 y ecuacin 2 en ecuacion3.
(
)
Resumen
1.
2.
3.
4.