Post on 04-Aug-2015
CÓNICAS
Elipse y Parábola
PROFESORES: Brandon Mella
Ramón Bustos
Cónicas Definición
Se denomina sección cónica ( o simplemente cónica ) a todas las curvas
intersección entre un cono y un plano; si dicho plano no pasa por el
vértice, se obtienen las cónicas propiamente dichas. Dependiendo del
ángulo del plano relativo al cono, la intersección es un círculo, una elipse,
una hipérbola o una parábola.(Nosotros nos concentraremos en la elipse y
parábola)
Elipse
Es una curva cerrada, la intersección de un cono circular recto, y
un plano no paralelo a su base, el eje o algún elemento del cono.
elipse
Definición geométrica: sean 𝐹1 ,𝐹2 dos puntos
diferentes del plano y 𝑘 > 0, 𝑘 mayor que la
distancia entre 𝐹1 y 𝐹2.
La elipse de focos 𝐹1,𝐹2 y eje mayor de longitud 𝑘,
es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya
suma de distancia a 𝐹1 y 𝐹2 es igual a 𝑘.
El punto central entre 𝐹1 y 𝐹2 se llama centro de la
elipse. La recta que pasa por 𝐹1 y 𝐹2 contiene 2
puntos de la elipse se llaman vértices de la elipse 𝑣1 y
𝑣2
Elipse
Observacion: se demuestra que la distancia entre
𝑣1 y 𝑣2 es 𝑘, por lo que el segmento 𝑣1𝑣2 es el eje
mayor de la elipse.
Ecuacion de una elipse con centro (𝟎, 𝟎) y eje
mayor horizontal
Sean 𝐹1(−𝐶, 𝑂) Y 𝐹2(𝐶, 𝑂), 𝐶 > 0 los focos de la
elipse y sea 𝑘 = 2𝑎 la longitud del eje mayor,
con 2𝑎 > 2𝑐, es decir, 𝑎 > 𝑐.
Ecuacion de una elipse con centro (𝟎, 𝟎) y eje
mayor horizontal Deducción ecuación:
∀ 𝑃 𝑥, 𝑦 , 𝑃 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑒𝑙𝑖𝑝𝑠𝑒 ⇔ 𝑑 𝑃, 𝐹1 + 𝑑 𝑃, 𝐹2 = 2𝑎
⇔ 𝑥 + 𝑐 2 + 𝑦2 + 𝑥 − 𝑐 2 + 𝑦2 = 2𝑎
⇔ 𝑥 + 𝑐 2 + 𝑦2 = 2𝑎 − 𝑥 − 𝑐 2 + 𝑦2 , elevamos al cuadrado.
⇔ 𝑥 + 𝑐 2 + 𝑦2 = 4𝑎2 − 4𝑎 𝑥 − 𝑐 2 + 𝑦2 + 𝑥 − 𝑐 2 + 𝑦2
⇔𝑥2 + 2𝑥𝑐 + 𝑐2 = 4𝑎2 − 4𝑎 𝑥 − 𝑐 2 + 𝑦2 + 𝑥2 − 2𝑥𝑐 + 𝑐2
⇔4𝑎 𝑥 − 𝑐 2 + 𝑦2 = 4𝑎2 − 4xc, multiplicamos por 1
4 y elevamos 2
Ecuacion de una elipse con centro (𝟎, 𝟎) y eje
mayor horizontal
⇔𝑎2 𝑥2 − 2𝑥𝑐 + 𝑐2 + 𝑦2 = 𝑎4 − 2𝑎2𝑥𝑐 + 𝑥2𝑐2
⇔𝑎2𝑥2 + 𝑎2𝑦2 − 𝑥2𝑐2 = 𝑎4 − 𝑎2𝑐2.
⇔𝑥2(𝑎2 − 𝑐2) + 𝑎2𝑦2=𝑎2(𝑎2 − 𝑐2), div. Por 𝑎2(𝑎2 − 𝑐2)
Observación como 𝑎 > 𝑐 > 0 ⇒ (𝑎2 − 𝑐2)> 0
⇔𝑥2
𝑎2 +𝑦2
(𝑎2−𝑐2)= 1, luego definimos 𝑏2=(𝑎2 − 𝑐2)
2 2
2 21, es la ecuacion de elipse con
centro 0,0 y focos de 2 de distancia.
x y
a b
c
Elipse
De forma similar se demuestra la ecuación elipse
con centro C 0,0 y eje mayor vertical. además
mostramos le caso anterior eje mayor horizontal.
Ecuacion de una elipse con centro en 𝐂 𝒉, 𝒌 y el eje
mayor horizontal
Ecuacion de una elipse con centro en 𝐂 𝒉, 𝒌 y el eje
mayor vertical
2 2
2 21,
x h y k
a b
2 2
2 21,
x h y k
b a
1 2
1 2
Los vertices y focos son respestivamente.
( , ), ( , )
( , ), ( , ).
v h a k v h a k
F h c k F h c k
1 2
1 2
Los vertices y focos son respestivamente.
( , ), ( , )
( , ), ( , ).
v h k a v h k a
F h k c F h k c
Ecuación general elipse Observación: la ecuación de cualquier elipse con ejes
de simetría paralelos a los ejes coordenados es de la
forma general.
𝐴𝑥2 + B𝑦2 + Cx + Dy + E = 0,
Con 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸 ∈ ℝ fijos y 𝐴B >0, A≠B(ambos
negativos o positivos). Recíprocamente toda ecuación
de esta forma con las condiciones mencionadas
representa una elipse con ejes de simetría paralelos a
los ejes coordenados o una elipse
degenerada(∅(negativa) o un punto(𝑥 = ℎ ∧ 𝑥 = 𝑘)).
Ejemplo: determine todos los elementos de la elipse. 1. 3𝑥2 + 4𝑦2 + 6𝑥 − 12𝑦 + 10 = 0
Solución: 3≠4 y ambos positivos es elipse.
3 𝑥2 + 2𝑥 + 1 + 4 𝑦2 − 3𝑦 +9
4= −10 + 3 + 9
3 𝑥 + 1 2 + 4 𝑦 −3
2
2= 2 , dividimos por 2
3 𝑥 + 1 2
2+ 2 𝑦 −
3
2
2
= 1
𝑥 + 1 2
23
+𝑦 −
32
2
12
Continua próxima diapositiva.
Ejemplo: determine todos los elementos de la
elipse
Como 2
3>
1
2 ⇒
2
3= 𝑎2 por tanto horizontal. luego el
centro −1,3
2 y eje mayor horizontal.
𝑎2=2
3 ⇒ 𝑎=
2
3 , 𝑏2=
1
2 ⇒ b=
1
2=
2
2.
Entonces 𝑐2=𝑎2-𝑏2=2
3−
1
2=
1
6 ⇒𝑐 = ±
1
6=±
6
6
Finalmente los focos y vértices son los siguientes.
1 2 1 2
1 2 1 2
2 3 2 3( , ), ( , ) 1 , , 1 ,
3 2 3 2
1 3 1 3( , ), ( , ) 1 , , 1 ,
2 26 6
v h a k v h a k v v
F h c k F h c k F F
Parábola
Una parábola es una curva abierta, producida por la intersección
de un cono circular recto y un plano paralelo a algún elemento
del cono.
PARÁBOLA: Lugar geométrico de los puntos que
equidistan de un punto llamado foco
y de una recta llamada directriz.
Concepto previo «distancia de un
punto a una recta»
Ya sabemos calcular la distancia entre puntos de la
unidad 1, ahora para poder deducir la ecuación de
la parábola es necesario saber obtener la «distancia
de un punto a una recta»
Distancia de un Punto a una recta Sea 𝑙 una recta de ecuación 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0, con
𝑎, 𝑏 𝑦 𝑐 ∈ ℝ , 𝑎 ≠ 0 ∨ 𝑏 ≠0 y sea 𝑃0 = (𝑥0, 𝑦0)
un punto que no pertenece a 𝑙.
Si 𝑑 𝑃0, 𝑙 se denota la distancia de 𝑃0 a 𝑙.
Se demuestra que 𝑑 𝑃0, 𝑙 .
𝑑 𝑃0, 𝑙 =𝑎𝑥0+𝑏𝑦0+𝑐
𝑎2+𝑏2
( , ) ( , )d P F d P lLos puntos de la parábola
cumplen:
Ecuación de la parábola con vertice 𝑉(0,0) , eje
de simetría vertical y Foco de la parabola
𝑭 𝟎, 𝑪 , 𝑪 ≠ 𝟎 y 𝒍 ∶ 𝒚 = −𝒄
Deducción ecuación de la parábola con vertice 𝑉(0,0) ,
eje de simetría vertical y Foco de la parábola 𝑭 𝟎, 𝑪 , 𝑪 ≠ 𝟎 y 𝒍 ∶ 𝒚 = −𝒄
Entoces ∀ 𝑃 𝑥, 𝑦 , 𝑃 𝑥, 𝑦 ∈ parábola
⇔𝑑 𝑃, 𝐹 = 𝑑 𝑃, 𝑙 (la condición).
⇔ 𝑥2 + 𝑦 − 𝑐 2=𝑦+𝑐
0+12 (distancia Punto a recta )
⇔ 𝑥2 + 𝑦 − 𝑐 2= 𝑦 + 𝑐 ( eleva cuadrado ambos +)
⇔𝑥2+𝑦2 − 2yc + 𝑐2=𝑦2 + 2yc + 𝑐2 (cancelamos)
continuamos próxima diapositiva……
Deducción ecuación de la parábola con vertice 𝑉(0,0) ,
eje de simetría vertical y Foco de la parábola 𝑭 𝟎, 𝑪 , 𝑪 ≠ 𝟎 y 𝒍 ∶ 𝒚 = −𝒄
Continuemos.
2
2
2
4 / multiplicamos por -1
4
(finalmente lo que buscabamos)4
cy x
cy x
xy
c
La parábola en otros casos
Ecuacion de una parábola con vértice en
V 𝒉, 𝒌 𝒚 𝒆𝒋𝒆 𝒅𝒆 𝒔𝒊𝒎𝒆𝒕𝒓𝒊𝒂. 1) Vertical.
𝑦−k =𝑥−ℎ 2
4𝑐,
Donde 𝑐 es la distancia entre el vértice y el
foco o entre el vértice y la directriz.
2) Horizontal.
𝑥 − ℎ =𝑦−𝑘 2
4𝑐
Ecuación general de una
parábola La ecuación de cualquier parábola con ejes de
simetría paralelos a uno de los ejes coordenados es
de la forma general.
𝐴𝑥2 + B𝑦2 + Cx + Dy + E = 0,
Con 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸 ∈ ℝ fijos y 𝐴=0 o bien 𝐵=0.
Recíprocamente, toda ecuación de la forma anterior
con 𝐴 = 0 o bien 𝐵=0 representa una parábola en el
plano con ejes de simetría paralelos a uno de los ejes
coordenados o una parábola degenerada(vacia, una
recta o la unión de dos rectas)
Ejemplos: determine todos los
elementos de la parábola
1. 3𝑥2 + 6𝑥 + 5𝑦 − 8 = 0.
Solución. 3 𝑥2 + 2x + 1 = −5y + 8 + 3
3 𝑥 + 1 2 = −5(𝑦 −11
5)
𝑦 −11
5= −
3
5𝑥 + 1 2
𝑦 −11
5=
𝑥 + 1 2
−53
Continua próxima diapositiva.
Ejemplos: determine todos los elementos
de la parábola Continuación solución, cuando la parábola es de la
forma .
𝑦−k =𝑥−ℎ 2
4𝑐. Eje de simetría Vertical .
Comparando con lo obtenido.
𝑦 −11
5=
𝑥+1 2
−5
3
, Se obtiene el vértice ℎ, 𝑘 , es
−1,11
5, como 4𝑐 = −
5
3, luego 𝑐 = −
5
12.
𝐹(−1,11
5−
5
12=
107
60) , Bisectriz: 𝑦 =
11
5+ 𝑐 =
157
60
5
Ejemplos: determine todos los elementos
de la parábola
2) 5𝑦2 + 3𝑥 − 25𝑦 + 10 = 0.
Solución: 5𝑦2 − 25𝑦 = −3𝑥 − 10
5 𝑦2 − 5y +25
4= −3x − 10 +
125
4
5 𝑦 −5
2
2
= −3𝑥 +85
4
5 𝑦 −5
2
2
= −3(x −85
12)
Continua próxima diapositiva…..
Ejemplos: determine todos los elementos
de la parábola
𝑥 −85
12= −
5
3𝑦 −
5
2
2
𝑥 −85
12=
𝑦 −52
2
−35
Notamos que la ecuación es de la forma ;con eje de
simetría Horizontal.
𝑥 − ℎ =𝑦−𝑘 2
4𝑐, continua prox. Diapositiva.
Ejemplos: determine todos los elementos
de la parábola
85 5 El vertice es ( , ) , y su eje de
12 2
simetria horizontal y se habre hacia la izquierda.
3 3 54 , eje de simetria
5 20 2
85 3 5 104 5foco , ,
12 20 2 15 2
85 y la directriz es:
1
V h k V
c c y
F F
x
3 217
2 20 30