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Espacios de medida
Jonathan Farfán
PUCP
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Operaciones elementales entre conjuntos
Sean A, B conjuntos y {Aλ ; λ ∈ Λ} una familia no vaćıa de conjuntos.
La unión de los conjuntos Aλ, λ ∈ Λ, es el conjunto formado por aquelloselementos que pertenecen a al menos un Aλ.
λ∈Λ
Aλ =x ; x ∈ Aλ para al menos un λ ∈ Λ
.
La intersección de los conjuntos Aλ, λ ∈ Λ, es el conjunto formado poraquellos elementos que pertenecen a todos los Aλ.
λ∈Λ
Aλ =x ; x ∈ Aλ para todo λ ∈ Λ
.
La diferencia de los conjuntos A y B es el conjunto formado por aquellos
elementos que pertenecen a A
, pero que no pertenecen a B
.A − B = A\B =
x ; x ∈ A y x /∈ B
.
La diferencia simétrica de los conjuntos A y B es el conjunto formado poraquellos elementos que pertenecen a exactamente uno de estos dos conjuntos.
A∆B = x ; o x ∈ A o x ∈ B .Jonathan Farfán (PUCP) Espacios de medida 2 / 15
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Consideremos ahora que todos los conjuntos con los que estemos trabajando sonsubconjuntos de un conjunto fijo Ω, el cual es conocido como conjunto universo.
El complemento de A es el conjunto formado por aquellos elementos (que
pertenecen a Ω y) que no pertenecen a A
.A
c =x ; x ∈ Ω y x /∈ A
.
Leyes de Morgan. λ∈Λ
Aλ
c =λ∈Λ
Ac λ
y
λ∈Λ
Aλ
c =λ∈Λ
Ac λ
.
Leyes distributivas.
A ∩ λ∈Λ
Aλ
=λ∈Λ
(A ∩ Aλ) y A ∪ λ∈Λ
Aλ
=λ∈Λ
(A ∪ Aλ) .
Sea A1,A2, . . . una sucesión de conjuntos. Se dice que:
La sucesión (An) es creciente si se cumple que A1 ⊂ A2 ⊂ A3 ⊂ · · · . En este
caso, si A =∞n=1
An, usaremos la notación An ↑ A.
La sucesión (An) es decreciente si se cumple que A1 ⊃ A2 ⊃ A3 ⊃ · · · . En
este caso, si A =∞n=1
An, usaremos la notación An ↓ A.
La sucesión (An) es monótona si es creciente o decreciente.Jonathan Farfán (PUCP) Espacios de medida 3 / 15
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ÁlgebrasSean Ω un conjunto no vaćıo y C una familia no vaćıa de subconjuntos de Ω.
Se dice que C es una álgebra sobre Ω si se cumplen:i) Si A ∈ C entonces Ac ∈ C ;
ii) Si A1,A2, . . . ,An ∈ C entoncesn
k =1
Ak ∈ C .
Observaciones.1. Si C es una álgebra sobre Ω entonces ∅, Ω ∈ C .
2. La condición ii) es equivalente a la (aparentemente más débil) condición:
ii’) Si A,B ∈ C entonces A ∪ B ∈ C .
3. C es una álgebra sobre Ω si y solo si se cumplen i) y
iii) Si A1,A2, . . . ,An ∈ C entoncesn
k =1
Ak ∈ C .
4. La condición iii) es equivalente a la condición:
iii’) Si A
,B
∈ C entonces A
∩B
∈ C .Jonathan Farfán (PUCP) Espacios de medida 4 / 15
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σ-álgebras
Se dice que C es una σ-álgebra sobre Ω si se cumplen i) y
iv) Si A1,A2, · · · ∈ C entonces∞k =1
Ak ∈ C .
Observaciones.
1. Si C es una σ-álgebra sobre Ω entonces también es una álgebra sobre Ω.
2. C es una σ-álgebra sobre Ω si y solo si se cumplen i) y
v) Si A1,A2, · · · ∈ C entonces∞k =1
Ak ∈ C .
3. Si F es una σ-álgebra sobre Ω entonces: el par (Ω, F ) es llamado espacio
medible; Ω, espacio muestral; y los elementos de F , conjuntos medibles.
4. F 1 = {∅, Ω} es una σ-álgebra sobre Ω conocida como la σ-álgebra trivial de Ω.
5. F 2 = 2Ω (conjunto potencia de Ω) es una σ-álgebra sobre Ω conocida como la
σ-álgebra total de Ω.
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Otras clases de familias de subconjuntos
Se dice que C es una clase monótona sobre Ω si se cumplen:
vi) Si A1,A2,A3, · · · ∈ C y An ↑ A entonces A ∈ C ;vii) Si A1,A2,A3, · · · ∈ C y An ↓ A entonces A ∈ C .
Se dice que C es un π-sistema sobre Ω si se cumple iii).
Se dice que C es un λ-sistema (o sistema de Dynkin) sobre Ω si se cumplen vi) y
viii) Ω ∈ C ;
ix) Si A,B ∈ C son tales que A ⊂ B entonces B \A ∈ C .
Ejercicio. Sea C una familia no vaćıa de subconjuntos de Ω. Pruebe que lassiguientes afirmaciones son equivalentes.
a) C es una σ-álgebra sobre Ω.
b) C es una álgebra y una clase monótona sobre Ω.
c) C es un λ-sistema y un π-sistema sobre Ω.
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Teorema
Si {F λ ; λ ∈ Λ} es una familia no vaćıa de σ-álgebras sobre Ω entonces
F = λ∈Λ
F λ
tambíen es una σ-álgebra sobre Ω.
Sea A una familia cualquiera de subconjuntos de Ω.
Considere la familia S A de σ-álgebras sobre Ω que contienen a A. Note que S A esno vaćıa ya que la σ-álgebra total de Ω pertenece a S A.
Entonces, si aplicamos el teorema anterior a S A obtenemos que
σ(A) =G∈SA
G
es una σ-álgebra sobre Ω, la cual es conocida como σ-álgebra generada por A.
Observación. σ(A) es la menor σ-álgebra sobre Ω que contiene a A en el sentidoque se cumple:
Si G es una σ-álgebra sobre Ω que contiene a A entonces σ(A) ⊂ G .
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El teorema anterior sigue siendo válido si cambiamos σ-álgebra por álgebra, oclase monótona, o π-sistema, o λ-sistema.
En consecuencia, si A es una familia cualquiera de subconjuntos de Ω entonces
La intersección de todas las clases monótonas sobre Ω que contienen a A esuna clase monótona sobre Ω, la cual es llamada clase monótona generada porA y es denotada por M(A).
La intersección de todos los λ-sistemas sobre Ω que contienen a A es unλ-sistema sobre Ω, el cual es llamado λ-sistema generado por A y esdenotado por λ(A).
Teorema de la clase monótona
Suponga que A es una álgebra sobre Ω entonces σ(A) = M(A).
Teorema π-λ
Suponga que A es un π-sistema sobre Ω entonces σ(A) = λ(A).
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Espacios de medidaUna medida sobre el espacio medible (Ω, F ) es una función µ : F → [0, ∞] quesatisface las siguientes condiciones:
i) µ(∅) = 0;
ii) Si A1,A2,A3, . . . son conjuntos medibles disjuntos dos a dos entonces
µ
∞n=1
An
=
∞n=1
µ(An) .
Observaciones. Sea µ una medida sobre (Ω, F ).1. La terna (Ω, F , µ) es llamada espacio de medida.
2. Se dice que µ es finita cuando µ(Ω)
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Propiedades. Sean µ una medida sobre el espacio medible (Ω, F ) yA,B ,A1,A2,A3, . . . conjuntos medibles.
1. Si A1,A2, . . . ,An son disjuntos dos a dos entonces µ nk =1
Ak
=
n
k =1
µ(Ak ) .
2. Si A ⊂ B entonces µ(B ) = µ(A) + µ(B \A). En particular, µ(A) ≤ µ(B ).
3. µ(A ∪ B ) + µ(A ∩ B ) = µ(A) + µ(B ).
4. µ ∞
n=1
An
≤
∞n=1
µ(An).
5. µ n
j =1
A j
≤
n j =1
µ(A j ).
6. Si An ↑ A entonces µ(An) ↑ µ(A).
7. Si µ(A1) < ∞ y An ↓ A entonces µ(An) ↓ µ(A).
Si además µ es una medida probabilidad entonces:
8. µ(A) ≤ 1 y µ(Ac ) = 1 − µ(A).
9. µ n
k =1
Ak =n
k =1
(−1)k −1 1≤i 1
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Ĺımites superior e inferior de una sucesión de conjuntos
Sea A1,A2,A3, . . . una sucesión de conjuntos.
El ĺımite superior y el ĺımite inferior de la sucesión de conjuntos (An) son losconjuntos definidos respectivamente por
lim supn
An =∞n=1
∞k =n
Ak y lim inf n
An =∞n=1
∞k =n
Ak .
Se dice que (An) es convergente si lim supn
An = lim inf n
An. En este caso, este último
conjunto es denotado por limnAn.
Observaciones:
1. lim inf n
An ⊂ lim supn
An.
2. lim supn
An =ω ∈ Ω ; ω ∈ An para infinitos valores de n
. Por esta razón, el ĺımite
superior de (An) también es denotado porAn i.v.
.
3. lim inf n
An = ω ∈ Ω ; ω ∈ An salvo para una cantidad finita de valores de n.Jonathan Farfán (PUCP) Espacios de medida 11 / 15
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Primer lema de Borel-Cantelli
4. Si para cada n
∈ N, definimos
B n =∞k =n
Ak y C n =∞k =n
Ak ,
entoncesB
n ↓ lim supnA
n y C
n ↑ lim inf nA
n .
Primer lema de Borel-Cantelli
Sean A1,A2,A3, . . . eventos tales que la serie∞
n=1
P (An) < ∞. Entonces
P
{An i.v.}
= 0 .
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BorelianosLa σ-álgebra de Borel en Rn es la sigma-álgebra generada por la familia deconjuntos abiertos de Rn. Esta σ-álgebra es denotada por B (Rn).
Los elementos de B (Rn) son llamados borelianos de Rn o conjuntos de Borel deRn.
Un cilindro de Rn es un subconjunto de Rn de la forma C = I 1 × I 2 × · · · × I n,donde I 1, I 2, . . . , I n son intervalos de R.
Teorema
Sean:
C =
Cilindros de Rn
;
C 1 =
(−∞, b 1] × (−∞, b 2] × · · · × (−∞, b n] ; b 1, b 2, . . . , b n ∈ R
;
C 2 =
(−∞, b 1) × (−∞, b 2) × · · · × (−∞, b n) ; b 1, b 2, . . . , b n ∈ R
;
C 3 =
(a1, b 1) × (a2, b 2) × · · · × (an, b n) ; a1, a2, . . . , an, b 1, b 2, . . . , b n ∈ Q
.
Entonces σ(C ) = σ(C 1) = σ(C 2) = σ(C 3) = B (Rn).
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Medida de LebesgueEl volumen de un cilindro C = I 1 × I 2 × · · · × I n de R
n es definido por
vol(C ) =n
k =1
(I k ) , donde (I k ) es la longitud del intervalo I k .
La medida exterior de Lebesgue en Rn es la función λ∗ : 2Rn
→ [0, ∞] definida por
λ∗(A) = inf
∞n=1
vol(C n) ; C 1,C 2,C 3, . . . son cilindros de Rn y A ⊂
∞n=1
C n
Se dice que un conjunto A ⊂ Rn es Lebesgue-medible si se cumple que
λ∗(B ) = λ∗(B ∩ A) + λ∗(B ∩ Ac ) para todo B ⊂ Rn .
Lema
a) Si A ⊂ Rn y λ∗(A) = 0 entonces A es Lebesgue-medible.
b) Si C es un cilindro de Rn entonces C es Lebesgue-medible y λ∗
(C ) = vol(C ).
Teorema
La familia L(Rn) de conjuntos Lebesgue-medibles de Rn es una σ-álgebra yλ∗|L(Rn) : L(R
n) → [0, ∞] es una medida sobre el espacio medibleRn, L(Rn)
.
Jonathan Farfán (PUCP) Espacios de medida 14 / 15
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La medida λ = λ∗|L(Rn) es conocida como la medida de Lebesgue en Rn.
La medida λ es completa, es decir, cumple la siguiente propiedad:
Si A
⊂ B
, B
∈ L(Rn
) y λ(B
) = 0 entonces A
∈ L(Rn
).
Teorema
Sea A ⊂ Rn. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:
a) A es Lebesgue-medible.
b) Para todo > 0, existe un abierto O de Rn tal que O ⊃ A y λ∗(O − A) < .
c) Existen abiertos O 1,O 2, . . . de Rn tales que O =
∞n=1
O n ⊃ A y λ∗(O − A) = 0.
d) Para todo > 0, existe un cerrado F de Rn tal que F ⊂ A y λ∗(A − F ) < .
e) Existen cerrados de F 1,F 2, . . . de Rn tales que F =
∞n=1
F n ⊂ A y λ∗
(A − F ) = 0.
En particular, todo conjunto abierto (y todo cerrado) de Rn es Lebesgue-medibley B (Rn) ⊂ L(Rn).
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