Espacios de Sobolev y La Formulación Variacional...

Introducción Espacios de Sobolev Formulación Variacional de Problemas de Frontera

Espacios de Sobolev y La FormulaciónVariacional de problemas de frontera

J. Benavides

July 3, 2012

Introducción

MotivaciónDada f ∈ C([a,b]) queremosencontrar una solución alsiguiente problema{−u′′ + u = f en [a,b],

u(a) = u(b) = 0(1)

Una solución clásica o fuerte de(1) es una función C2 que satisface(1) en sentido clásico.

En muchos casos puederesultar difícil encontrardirectamente solucionesclásicas a problemas como (1).

Alternativamente, si multiplicamos(1) por ϕ ∈ C1([a,b]) tal queϕ(a) = 0 = ϕ(b) e integramos porpartes obtenemos∫ b

au′ϕ′ +

auϕ =

afϕ. (2)

Notemos que (2) tiene sentido si ues C1, mientras (1) requiereu ∈ C2([a,b]).De hecho si logramos obtener unageneralización de derivada parafunciones en L1, tenemos que paraque (2) tenga sentido bastaríau,u′ ∈ L1

Introducción

u(a) = u(b) = 0(1)

au′ϕ′ +

auϕ =

afϕ. (2)

Introducción

u(a) = u(b) = 0(1)

au′ϕ′ +

auϕ =

afϕ. (2)

Introducción

u(a) = u(b) = 0(1)

au′ϕ′ +

auϕ =

afϕ. (2)

Introducción

u(a) = u(b) = 0(1)

au′ϕ′ +

auϕ =

afϕ. (2)

Notemos que (2) tiene sentido si ues C1, mientras (1) requiereu ∈ C2([a,b]).

De hecho si logramos obtener unageneralización de derivada parafunciones en L1, tenemos que paraque (2) tenga sentido bastaríau,u′ ∈ L1

Introducción

u(a) = u(b) = 0(1)

au′ϕ′ +

auϕ =

afϕ. (2)

Debilitando las restricciones sobre u ampliamos la posibilidadde encontrar una solución de (2). Si esta solución existe ysatisface ulteriores condiciones de diferenciabilidad, esta escandidata a ser solución de (1).

Programa del método variacional en la teoría de las EDP1 Se define la noción de solución débil para ecuaciones

como (1), es aquí donde de los espacios de Sobolevresultan fundamentales.

2 Se establece la existencia y la unicidad de una solucióndébil usando el metodo variacional a través del teorema deLax-Milgram.

3 Se demuestra que la solución débil es de clase C2

(regularidad)4 Se demuestra que una solución débil de clase C2 es una

solución clásica

(regularidad)

4 Se demuestra que una solución débil de clase C2 es unasolución clásica

solución clásica

Espacios de Sobolev

El Espacio de Sobolev W 1,p(I)

Sea I = (a,b) un intervalo arbitrario, no necesariamentelimitado, y p ∈ R tal que 1 ≤ p ≤ ∞. W 1,p(I) se define como

W 1,p(I) ≡ {u ∈ Lp(I) : ∃g ∈ Lp(I) tal que∫Iuϕ′ = −

∫gϕ ∀ϕ ∈ C1

c (I)}.

Cuando p = 2 denotamos H1(I) = W 1,2(I) y para u ∈W 1,p lafunción g (que es única) se denota con u′ .

Es claro que si u ∈ C1(I) ∩ Lp(I) y la derivada clásica pertenece aLp(I) entonces u ∈W 1,p(I) y la derivada clásica y la derivada débilcoinciden. Si I es limitado

C1(I) ⊆W 1,p(I)

Espacios de Sobolev

El Espacio de Sobolev W 1,p(I)

Sea I = (a,b) un intervalo arbitrario, no necesariamentelimitado, y p ∈ R tal que 1 ≤ p ≤ ∞. W 1,p(I) se define como

W 1,p(I) ≡ {u ∈ Lp(I) : ∃g ∈ Lp(I) tal que∫Iuϕ′ = −

∫gϕ ∀ϕ ∈ C1

c (I)}.

Cuando p = 2 denotamos H1(I) = W 1,2(I) y para u ∈W 1,p lafunción g (que es única) se denota con u′ .

Es claro que si u ∈ C1(I) ∩ Lp(I) y la derivada clásica pertenece aLp(I) entonces u ∈W 1,p(I) y la derivada clásica y la derivada débilcoinciden. Si I es limitado

C1(I) ⊆W 1,p(I)

EjemploConsideremos la función

u(x) =12

(|x |+ x)

en I = (−1,1) queremosdemostrar que u ∈W 1,p(I) paratodo 1 ≤ p ≤ ∞

u(x) =12

(|x |+ x)

definida en I = (−1,1) queremosdemostrar que u ∈W 1,p(I) paratodo 1 ≤ p ≤ ∞

Un candidato natural a derivada débilde u es la función

g(x) =

{1 si 0 < x < 10 si − 1 < x < 0

Es claro que ∀ϕ ∈ C1c (I)∫ 0

−1uϕ′ + gϕ+

0uϕ′ + gϕ

= u(0)ϕ(0)− u(0)ϕ(0) = 0

entonces∫

I uϕ′ =∫

I gϕ y u ∈W 1,p

Analogamente se demuestra que unafunción continua en I con derivadacontinua por pedazos pertenece a W 1,p(I)para todo 1 ≤ p ≤ ∞.

u(x) =12

(|x |+ x)

g(x) =

{1 si 0 < x < 10 si − 1 < x < 0

−1uϕ′ + gϕ+

0uϕ′ + gϕ

= u(0)ϕ(0)− u(0)ϕ(0) = 0

entonces∫

I uϕ′ =∫

I gϕ y u ∈W 1,p

u(x) =12

(|x |+ x)

g(x) =

{1 si 0 < x < 10 si − 1 < x < 0

−1uϕ′ + gϕ+

0uϕ′ + gϕ

= u(0)ϕ(0)− u(0)ϕ(0) = 0

entonces∫

I uϕ′ =∫

I gϕ y u ∈W 1,p

W 1,p esta dotado de la norma

||u||W 1,p = ||u||Lp + ||u′||Lp

y H1 = W 1,2 esta dotado del producto escalar

(u, v)H1 = (u, v)L2 + (u′, v ′)L2

• El siguiente resultado muestra porque los espacios W 1,p sonimportantes en formulaciones variacionales.

Theorem

W 1,p es un espacio de Banach para 1 ≤ p ≤ ∞, es reflexivopara 1 < p <∞ y separable para 1 ≤ p <∞. H1 es unespacio de Hilbert separable.

W 1,p esta dotado de la norma

||u||W 1,p = ||u||Lp + ||u′||Lp

y H1 = W 1,2 esta dotado del producto escalar

(u, v)H1 = (u, v)L2 + (u′, v ′)L2

• El siguiente resultado muestra porque los espacios W 1,p sonimportantes en formulaciones variacionales.

Theorem

W 1,p es un espacio de Banach para 1 ≤ p ≤ ∞, es reflexivopara 1 < p <∞ y separable para 1 ≤ p <∞. H1 es unespacio de Hilbert separable.

Proof.

1. Sea {un} una sucesión de Cauchy en W 1,p, tenemos entonces que {un} y{u′

n} son sucesiones de Cauchy en Lp.

Por lo tanto un → u in Lp y u′n → g in Lp y tenemos∫

′ = −∫

nϕ ∀ϕ ∈ C1c (I)

tomando el límite tenemos∫Iuϕ′ = −

∫Igϕ ∀ϕ ∈ C1

c (I),

por lo tanto u ∈ W 1,p, u′ = g y ||un − u||W 1,p → 0.Consideremos el espacio E = Lp(I)× Lp(I) y la siguiente isometría

T : W 1,p → E t.q. T (u) = (u, u′)

2. Para 1 < p <∞, T (W 1,p) es un espacio cerrado de E que es reflexivo,por lo tanto es reflexivo y lo es tambienW 1,p.3. Para 1 ≤ p <∞, E es separable por lo tanto los es T (W 1,p) y W 1,p.

Proof.

n} son sucesiones de Cauchy en Lp.Por lo tanto un → u in Lp y u′

n → g in Lp y tenemos∫Iunϕ

′ = −∫

c (I),

T : W 1,p → E t.q. T (u) = (u, u′)

Proof.

′ = −∫

c (I),

por lo tanto u ∈ W 1,p, u′ = g y ||un − u||W 1,p → 0.

Consideremos el espacio E = Lp(I)× Lp(I) y la siguiente isometría

T : W 1,p → E t.q. T (u) = (u, u′)

Proof.

′ = −∫

c (I),

T : W 1,p → E t.q. T (u) = (u, u′)

Proof.

′ = −∫

c (I),

T : W 1,p → E t.q. T (u) = (u, u′)

2. Para 1 < p <∞, T (W 1,p) es un espacio cerrado de E que es reflexivo,por lo tanto es reflexivo y lo es tambienW 1,p.

3. Para 1 ≤ p <∞, E es separable por lo tanto los es T (W 1,p) y W 1,p.

Proof.

′ = −∫

c (I),

T : W 1,p → E t.q. T (u) = (u, u′)

Los espacios de Sobolev W m,p(I)

Dado un entero m ≥ 2 y p ∈ R tal que 1 ≤ p ≤ ∞ definimos

W m,p(I) ≡ {u ∈W m−1,p(I) : u′ ∈W m−1,p(I)}

como antes escribimos Hm = W m,2(I).

• Tenemos que u ∈ W m,p si existen funciones g1, ..., gm ∈ Lp(I) tales que∫IuDjϕ = (−1)j

∫igjϕ ∀ϕ ∈ C∞

c (I), j = 1, ...,m.

•W m,p esta dotado de la norma

||u||W m,p = ||u||Lp +m∑α=1

||Dαu||Lp

y Hm esta dotado del producto escalar

(u, v)Hm = (u, v)L2 +m∑α=1

(Dαu,Dαv)L2

W m,p(I) ≡ {u ∈W m−1,p(I) : u′ ∈W m−1,p(I)}

como antes escribimos Hm = W m,2(I).• Tenemos que u ∈ W m,p si existen funciones g1, ..., gm ∈ Lp(I) tales que∫

IuDjϕ = (−1)j

c (I), j = 1, ...,m.

||u||W m,p = ||u||Lp +m∑α=1

||Dαu||Lp

(u, v)Hm = (u, v)L2 +m∑α=1

(Dαu,Dαv)L2

W m,p(I) ≡ {u ∈W m−1,p(I) : u′ ∈W m−1,p(I)}

como antes escribimos Hm = W m,2(I).• Tenemos que u ∈ W m,p si existen funciones g1, ..., gm ∈ Lp(I) tales que∫

IuDjϕ = (−1)j

c (I), j = 1, ...,m.

||u||W m,p = ||u||Lp +m∑α=1

||Dαu||Lp

(u, v)Hm = (u, v)L2 +m∑α=1

(Dαu,Dαv)L2

El espacio de Sobolev W 1,p0 (I)

Dado 1 ≤ p ≤ ∞ definimos W 1,p0 (I) como la clausura de C1

c (I)en W 1,p(I). Usamos la notación H1

0 = W 1,20 (I).

• H10 con el producto escalar heredado de H1 es un espacio de

Hilbert separable.

• El siguiente resultado justifica el importante rol de H10 en el

estudio de problemas de frontera como veremos.

Theorem

Dado u ∈W 1,p(I), tenemos que u ∈W 1,p0 (I) ssi u = 0 en ∂I

Proof.

⇒: Si u ∈W 1,p0 existe {un} ⊂ C1

c (I) t.q. un → u en W 1,p(I). Porlo tanto un converge uniformemente en I y u = 0 en ∂I.

0 = W 1,20 (I).

Hilbert separable.• El siguiente resultado justifica el importante rol de H1

0 en elestudio de problemas de frontera como veremos.

Theorem

Proof.

0 = W 1,20 (I).

Theorem

Proof.

0 = W 1,20 (I).

Theorem

Proof.

0 = W 1,20 (I).

Theorem

Proof.

Formulación Variacional de Problemas de Frontera

De nuevo consideremos elproblema{−u′′ + u = f en I = (0,1),

u(0) = u(1) = 0,(3)

donde f es una función continuao en L2.

• Usando los espacios deSobolev podemos dar unadefinición rigurosa de solucióndébil.

DefinitionUna solución débil de (3) es unafunción u ∈ H1

0 que satisface∫Iu′v ′ +

∫Iuv =

∫Ifv ∀v ∈ H1

Formulación Variacional de Problemas de Frontera

De nuevo consideremos elproblema{−u′′ + u = f en I = (0,1),

u(0) = u(1) = 0,(3)

donde f es una función continuao en L2.

• Usando los espacios deSobolev podemos dar unadefinición rigurosa de solucióndébil.

DefinitionUna solución débil de (3) es unafunción u ∈ H1

0 que satisface∫Iu′v ′ +

∫Iuv =

∫Ifv ∀v ∈ H1

Theorem (Existencia e Unicidad de una solución débil)

Para toda f ∈ L2, existe u ∈ H10 única solución de (4). u se obtiene

como el

Minv∈H10

∫I(v ′2 + v2)−

∫Ifv}

Proof.La demostración se basa en el teorema de Lax-Milgram

Lemma (Teorema de Lax-Milgram)

Sea a(u, v) una forma bilineal actuando sobre un espacio de Hilbert H,continua (i.e ∃C t.q. |a(u, v)| ≤ C|u||v | ∀u, v) y coerciva (i.e. ∃α > 0 t.q.a(v , v) ≥ α|v |2, ∀v). Dada τ ∈ H ′ existe un único u ∈ H t.q

a(u, v) = τ(v) ∀v ∈ H.

Si a es simétrica u viene caracterizado por la propiedad

a(u, u)− τ(u) = Minv∈H

a(v , v)− τ(v)}

Theorem (Existencia e Unicidad de una solución débil)

Para toda f ∈ L2, existe u ∈ H10 única solución de (4). u se obtiene

como el

Minv∈H10

∫I(v ′2 + v2)−

∫Ifv}

Proof.La demostración se basa en el teorema de Lax-Milgram

Lemma (Teorema de Lax-Milgram)

Sea a(u, v) una forma bilineal actuando sobre un espacio de Hilbert H,continua (i.e ∃C t.q. |a(u, v)| ≤ C|u||v | ∀u, v) y coerciva (i.e. ∃α > 0 t.q.a(v , v) ≥ α|v |2, ∀v). Dada τ ∈ H ′ existe un único u ∈ H t.q

a(u, v) = τ(v) ∀v ∈ H.

Si a es simétrica u viene caracterizado por la propiedad

a(u, u)− τ(u) = Minv∈H

a(v , v)− τ(v)}

proof (Continuación).

Aplicamos entonces el teorema de Lax-Milgram en el espacio de HilbertH = H1

0 con la forma bilineal

a(u, v) =∫

Iu′v ′ +

∫Iuv = (u, v)H1

y con la forma lineal

τ(v) =∫

Como a(u, v) = (u, v)H1 , entonces a es naturalmente continua ycoerciva.

Regularidad

Notemos que si f ∈ L2 y u ∈ H10 es una solución débil entonces dado que∫

u′v ′ =

∫(f − u)v ∀v ∈ C1

tenemos que u′ ∈ H1 y u ∈ H2. Si f ∈ C(I) entonces (f − u) = (u′)′ ∈ C(I)por lo tanto u′ ∈ C1 y u ∈ C2

proof (Continuación).

Aplicamos entonces el teorema de Lax-Milgram en el espacio de HilbertH = H1

0 con la forma bilineal

a(u, v) =∫

Iu′v ′ +

∫Iuv = (u, v)H1

y con la forma lineal

τ(v) =∫

Como a(u, v) = (u, v)H1 , entonces a es naturalmente continua ycoerciva.

Regularidad

Notemos que si f ∈ L2 y u ∈ H10 es una solución débil entonces dado que∫

u′v ′ =

∫(f − u)v ∀v ∈ C1

tenemos que u′ ∈ H1 y u ∈ H2. Si f ∈ C(I) entonces (f − u) = (u′)′ ∈ C(I)por lo tanto u′ ∈ C1 y u ∈ C2

Retorno a una solución clásica

Si u ∈ C2(I) es una solución de (4), integrando por partes de nuevoobtenemos ∫

I(−u′′ + u − f )v = 0 ∀v ∈ C∞c (I).

Dado que C∞c (I) es denso en L2(I), tenemos que −u′′ + u − f = 0casi en todo punto, pero como u ∈ C2(I) la igualdad vale en todopunto y u(0) = u(1) = 0 ya que u ∈ H1

• El método apenas descrito se puede aplicar a una gran variedad deproblemas y resulta muy flexible; sin embargo note que que en estemétodo el uso de la integración por partes resulta fundamental,desafortunadamente no toda EDP puede ser manipulada de estamanera para dar una definición de solución débil; en estos casos serequiere aproximaciones alternativas (e.g. soluciones viscosas).

I(−u′′ + u − f )v = 0 ∀v ∈ C∞c (I).

• Trabajamos en esta presentación el caso a dimensión unoporque este da una perspectiva general del método variacionaly del papel de los espacios de Sobolev en este, sin embargopodemos generalizar la definición de los espacios de Sobolev adominios sobre Rn y a variedades Riemannianas.

Espacios de Sobolev en Dimension n

Dado U ⊆ Rn abierto definimos

W m,p(U) = {u ∈ Lp(U) : para todo multi-indice α, |α| < m,

∃gα ∈ Lp(U)t .q.,∫

UuDαϕ = (−1)|α|

gαϕ, ∀ϕ ∈ C∞c (U)}

W 1,p0 ,H1

0 se definen analogamente como antes.

Problema de DirichlethomogeneoGeneralizando el problemaconsiderado anteriormente adimension n consideremosU ⊆ Rn queremos entonceshallar u : U → R que satisface{

−∆u + u = f en Uu = 0 en ∂U

Analogamente integrando porpartes obtenemos la definición

DefinitionUna solución débil de (5) es unafunción en H1

0 (U) que satisface∫U∇u∇v +

∀v ∈ H10 (U)

• Desde este punto se procedecomo antes para encontrar unasolución.

−∆u + u = f en Uu = 0 en ∂U

∀v ∈ H10 (U)

−∆u + u = f en Uu = 0 en ∂U

∀v ∈ H10 (U)

Bibliografía• H. Breziz, Functional Analysis, Sobolev Spaces and PDE’s• L.C. Evans, Partial Differential Equations• E. Hebey, Sobolev Spaces on Riemannian Manifolds.

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