Post on 23-Jan-2016
Estabilidad de sistemas planetarios
Raúl Santos
• Modelo (simplificado) del problema1. Descripción del problema usando aproximación lineal de las
ecuaciones de movimiento
2. Soluciones y discusión de estabilidad • Estabilidad de sistemas en la zona habitable1. Sistema 51 Peg
2. Sistema 47 Uma
3. Sistema HD210277
• Conclusiones
Tópicos a DiscutirTópicos a Discutir
Modelando la evolución planetaria
P
Consideremos el movimiento de un planeta (partícula), sometido a la atracción de su Estrella madre y sometido, además, a la perturbación de otro cuerpo.Las suposiciones que haremos son:• La perturbación ocurre en el mismo plano de movimiento del sistema no perturbado• Las perturbaciones son periódicas, de periodo T (principalmente las estamos asociandoa la acción de otro planeta en nuestro sistema, por lo que las perturbaciones tienen asociada una frecuencia característica que proviene del movimiento del objeto que introduce la Perturbación)
Sistema sin perturbar, soluciones => CónicasSistema perturbadoSistema perturbado
Modelamos la influencia de otro objeto sobre m por una
perturbación periódica en el plano
m
M
P
P
Descripción del problema
kza
kzv
kzr
ˆˆ)2(ˆ)(
ˆˆˆ
ˆˆ
2
amF
ˆ)(ˆ)(
22
tt
z
GMf
m
F
0
2
222
z
z
GM
Elegimos coordenadas cilíndricas
Usando la segunda ley de Newton (tratamiento no relativista)
Estudiemos el comportamiento del sistema bajo la atracción de la estrellade masa M y la acción de una fuerza perturbativa (por ahora arbitraria),Que modela la atracción que sufre m debido a otros cuerpos
tvztz 00)( 000 vz
2
22 GM
La ecuación en z es trivial Nos preocupamos del caso
Con esta condición, el sistema conserva momentum angular (dirección), y aun vive en el plano.
(1)
(2)
De la ecuación (2)
CdttF
Cdtdt
d
)(
22
Reemplazando en (1)
23
GMF
Linealizemos la ecuación anterior respecto a una orbita circular
20
30
GM
)( 00 rr
(3)
La ecuación para r es
))((1
)())(32(1
30
40
tFtrtFr
Versión in-homogénea de la ecuación de Hill
Recordemos que:
)()( tFTtF
Esta es una ecuación lineal, podemos descomponer la solución en la homogénea + la particular
40
40
3
2
2
2
0)cos(
cos)(
hTh
T
utu
ttF
Estudiando el espacio de parámetros para la solución homogénea, en el caso especial
Podemos arreglar la ecuación anterior haciendo el cambio:
30
40
0
)32(1
3
uFu
ru
ph uuu
0)cos( 2 hTh utu
Finalmente si estudiamos la solución particular con:
)}()({
)(,00
30
2
2
tTtuu pp
Dada la ultima ecuación, podemos expandir en serie de Fourier la perturbación (la asumimos par)
022
0
0
022
0
)cos(3
1
2)(
2)cos()(
)cos()(
nn
n
np
nn
n
np
nnn
tA
tr
tA
tu
tAt
Aparecen las resonancias
asociadas a los periodos orbítales
Estabilidad de sistemas planetarios en la zona habitable
Revisamos los resultados de simulaciones hechas en distintossistemas planetarios conocidos, sobre la estabilidad de orbitas de planetas tipo tierra en la franja donde la vida se puede desarrollarde manera similar que en la tierra, la denominada zona habitable (HZ).
La Zona Habitable
Toda la vida en la tierra requiere agua líquida al menos en alguna parte de su ciclo vital, por lo tanto se define la HZ como el rango de distancia desde la estrella donde el agua en la superficie está en fase líquida.Los criterios para determinar las fronteras de esta zona son variados, pero los acá utilizados son:1. Para el limite inferior, la distancia máxima a la cual el efecto
invernadero produce la evaporación de toda el agua superficial2. Para el limite superior, la distancia máxima a la cual una atmósfera libre
de Nubes de CO2, puede mantener una temperatura de 273 ºK
Los sistemas a considerar:
51-Peg51-Peg47 UMa,y HD 210277
Notar que los 3 sistemas poseen HZ similares, mientras que los planetas de los sistemas poseen características variadas
Órbitas de los planetas en los sistemas considerados
Las áreas grises corresponden a las HZ de
los distintos planetas
Las simulaciones para determinar la estabilidad en estos modelos se
realiza en base a las perturbaciones de periodos cortos, del orden de 1000
años, con las cuales se pueden manejar mejor los procesos de
encuentros planetarios
Se asume:
Órbitas coplanares entre los plantas del sistema
Masa de los planetas terrestres simulados = Masa de la tierra
En base a las edades de las estrellas madre, se estima la posición de las HZ
51 PEG51 PEG
La órbita de un planeta terrestre en la HZ, es estable independiente de la posición inicial dentro de la franja
Explicación
51-Peg esta en una orbita circular muy cercana a la estrella madre, su efecto neto sobre un planeta tipo tierra en la franja de habitabilidad es despreciable frente a la acción de la masa central.
En principio, podríamos pensar que si en el sistema 51-Peg se generó un planeta tipo tierra en la HZ, este perfectamente podría albergar vida, pero debemos recordar que la presencia de 51-Peg b, en una orbita circular y cercana a la estrella se infiere de procesos de migración en una etapa inicial de la formación del sistema.
63
62
61
10489.1;9275.1
10071.1;6041.1
10075.1;2803.1
AUr
AUr
AUr
Estudiemos un poco mas en detalle la migración, y su efecto en los planetas interiores
Simulando un sistema de dos planetas con masas entre aleatorias entre 0 y 5 masas de Júpiter, tal que el planeta externo es influenciado por la acción de las fuerzas de marea por la presencia de un disco.
Los planetas en un comienzo no están en resonancia, pero el planeta externo es forzado hacia adentro por causa de la disipación con el disco, por lo que los planetas entran gradualmente en resonancia, típicamenteen resonancia 3:1. Luego los dos planetas migran juntos hacia la estrella, siempre cerca de la resonancia, pero las interacciones entre los dos planetas tienden a aumentar la excentricidad orbital de ambos.Estas grandes excentricidades llevan a alguno de los planetas a salir fuera de la condición resonante, pero además sacan al sistema de la estabilidad, lo que se traduce en:a) Acreción por la estrella b) Eyección c) Colisión
Diagrama esquemático del proceso de migración y
estabilidad
Propiedades de los planetas sobrevivientes: dos planetas sometidos
a fuerza de marea por presencia del disco (350 simulaciones)
47 Uma47 Uma
A diferencia de 51 Peg, este sistema si presenta inestabilidad para las orbitas externas, 2 y 3
}6171.1;1853.1{
10546.8;1176.1
2
51
AUAUr
AUr
Para la órbita mas externa, el Para la órbita mas externa, el planeta deja la HZ después de planeta deja la HZ después de
tan solo 0.24 años!tan solo 0.24 años!
HD210277HD210277
Este sistema es altamente no estable, todas las órbitas (1,2 y 3) se escapan de HZPara la órbita intermedia, el tiempo de vida en la HZ es de solo 52.52 años.Dada la alta inestabilidad en estas condiciones, se procede además a estudiar distintos ángulos relativos entre los HD210277b y el planeta tipo tierra considerado.
yryrt 9.20;7.462
HD210277 ContinuaciónHD210277 Continuación
60º60º 120º120º 180º180º
Es clara la razón de esta inestabilidad, la orbita del gigante
atraviesa la HZ debido a su excentricidad (e=0.45)
ConclusionesConclusiones
51 Peg
A pesar de que un planeta tipo tierra (ET) es estable en todas las configuraciones testeadas, si 51 Peg b se ubica donde esta luego de un proceso de migración, solo hay una probabilidad del 20% de sobrevivencia de un planeta ET.
47 Uma
Es posible que si este sistema posee un planeta ET en la parte interior de la HZ, este sea capaz de soportar vida (habría que investigar la variación de la propia HZ debido al envejecimiento de 47 Uma), las órbitas lanzadas en la parte mas externa de la HZ, no son estables como para albergar vida conocida.
HD210277
Esta planeta no puede albergar vida (como la conocemos)
ReferenciasReferencias
1. Adams F. C. & Laughlin G. 2003, Icarus, 163, 209
2. C.D. Murray & S.F. Dermott (1999). Dynamics of Solar System. (Cambridge U. Press)
3. J.Avron, B.Simon, 1981, Phys, Rev. Letts. 46, 17
4. Jones, B. W., Sleep, P. N., & Chambers, J. E. 2001, A&A, 366, 254
5. Noble M., Musielak Z. E. & Cuntz M. 2002, ApJ, 572, 1024
6. R. Rothe (1970). Matemática Superior (Editorial Labor)