Post on 10-Jul-2015
5/10/2018 Estadistica Inductiva[1]GUIA - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/estadistica-inductiva1guia 1/132
Página 1 de 132
REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA
LA EDUCACIÓN UNIVERSITARIA
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL
“SIMÓN RODRIGUEZ”
NÚCLEO: PALO VERDE
CÁTEDRA: Estadística II
Curso elemental de
Estadística Inductiva o Inferencial.
Blog: eststredel.blogspot.com
Email: lstredelunesr@gmail.com
Facilitador:
Prof. Lisber Stredel
Palo Verde, 04 de agosto de 2011
5/10/2018 Estadistica Inductiva[1]GUIA - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/estadistica-inductiva1guia 2/132
Página 2 de 132
Contenido
Estadística Inductiva o Inferencial. ...................................................................................................... 7
1. Números Índices. ............................................................................................................................. 8
Definición de Números Índices .................................................................................................. 9
Tipos de Números Índices ........................................................................................................... 9
Índice de precios,.......................................................................................................................... 9
Índice de cantidad, ..................................................................................................................... 10
Índice de valor, ........................................................................................................................... 10
Uso de los Números Índices ...................................................................................................... 10
Problemas relacionados con los Números Índices .................................................................... 10
1.1. Clasificación de los Números Índices. ........................................................................................ 11
Índice Simple de Precios ............................................................................................................ 11
Índices Compuestos de Precios: ................................................................................................ 11
Índices Compuestos de precio Sin Ponderar: ............................................................................ 12
Índices Compuestos de precios Ponderados: ........................................................................... 12
Índice de Laspeyres ................................................................................................................... 12
Índice de Paasche ...................................................................................................................... 12
1.2. Índice de cantidad ...................................................................................................................... 13
1.3. Índice de valor ............................................................................................................................ 13
1.4. Conclusión .................................................................................................................................. 13
Anexo 1: Ejercicio de Elaboración del INPC personal. ....................................................................... 14
2. Técnica de Contar. ......................................................................................................................... 19
Principio de Multiplicación ........................................................................................................ 20
Principio de Adición ................................................................................................................... 21
5/10/2018 Estadistica Inductiva[1]GUIA - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/estadistica-inductiva1guia 3/132
Página 3 de 132
2.1. Muestra ordenadas con repetición ............................................................................................ 22
2.2. Muestra ordenadas sin repetición: Permutacion. ..................................................................... 23
2.3. Muestra no ordenadas sin repetición: Combinacion. ............................................................... 24
Diferencia entre permutación y Combinación .......................................................................... 25
Ejercicios de Técnicas de Conteo ...................................................................................................... 25
3. Probabilidad. ................................................................................................................................. 30
3.1. Definiciones ................................................................................................................................ 34
3.2. Tres enfoques distintos de observar la probabilidad ................................................................. 35
Probabilidad Clásica o a priori. .................................................................................................. 35
Probabilidad de Frecuencia Relativa o a posteriori. ................................................................. 36
Probabilidad Subjetiva.............................................................................................................. 37
3.3. Axiomas de Probabilidad. .......................................................................................................... 38
Primer axioma (Positividad): ..................................................................................................... 38
Segundo axioma (Certidumbre): ............................................................................................... 38
Tercer axioma (Uniones): .......................................................................................................... 39
3.4. Eventos y su Probabilidad. ......................................................................................................... 39
Eventos mutuamente excluyentes ( AU B): ............................................................................... 39
Eventos solapados ( AU B): ........................................................................................................ 39
Eventos complementarios AC : .................................................................................................. 39
Eventos independientes (A ∩ B): .............................................................................................. 40
Eventos condicionados (A ∩ B): ................................................................................................ 40
Ejercicios de Probabilidad ................................................................................................................. 40
4. Distribuciones de Probabilidad. .................................................................................................... 46
4.1. Distribuciones de Probabilidad de variables discretas ............................................................... 46
Distribución Uniforme Discreta ................................................................................................. 46
5/10/2018 Estadistica Inductiva[1]GUIA - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/estadistica-inductiva1guia 4/132
Página 4 de 132
Distribución de Bernoulli. .......................................................................................................... 47
Distribución Binomial ................................................................................................................ 48
Mas sobre la DISTRIBUCION BINOMIAL .................................................................................... 49
Distribución Hipergeométrica ................................................................................................... 53
Distribución Multinomial........................................................................................................... 55
Distribución Geométrica ........................................................................................................... 56
Distribución de Pascal o Binomial Negativa .............................................................................. 57
Distribución de Poisson ............................................................................................................. 57
Mas sobre la DISTRIBUCION DE POISSON ................................................................................. 59
Ejercicios de Distribuciones de Probabilidad de variables discretas. ................................................ 61
4.2. Distribuciones de Probabilidad de variables continuas. ............................................................ 66
Distribución Uniforme Continua ............................................................................................... 66
Distribución Exponencial ........................................................................................................... 68
Distribución de Gamma ............................................................................................................. 68
Distribución de Weibull ............................................................................................................. 68
Distribución Normal o de Gauss ................................................................................................ 68
Mas sobre la DISTRIBUCION DE NORMAL ................................................................................. 69
Distribución Normal Estándar N(0, 1) ....................................................................................... 71
Tipificación de la variable .......................................................................................................... 71
Cálculo de probabilidades con la distribución Normal. ............................................................ 72
Tabla de la Normal Estandarizada N(X; 0, 1) ............................................................................. 74
Ejercicios de Distribución Normal ..................................................................................................... 76
Distribución Log Normal ............................................................................................................ 80
Distribución de Ji- Cuadrado ..................................................................................................... 80
5/10/2018 Estadistica Inductiva[1]GUIA - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/estadistica-inductiva1guia 5/132
Página 5 de 132
Distribución T-Student .............................................................................................................. 80
Distribución F ............................................................................................................................ 80
5. Distribución Muestral. .................................................................................................................. 80
5.1. Algunas de las actividades que se realizan en una investigación por muestreo en formasistemática ........................................................................................................................................ 82
Planteamiento de la investigación ............................................................................................ 83
Elaboración de los instrumentos básicos .................................................................................. 83
Diseño de la encuesta ............................................................................................................... 83
Organización y ejecución de las operaciones de campo ........................................................... 83
Procesamiento de datos ............................................................................................................ 84
Análisis de los resultados .......................................................................................................... 84
Plan de difusión ......................................................................................................................... 84
5.2. Distribución de la media muestral ............................................................................................. 84
5.3. Distribución de la diferencia de medias muestrales .................................................................. 85
5.4. Distribución de la proporción muestral ..................................................................................... 85
5.5. Distribución de la diferencia de proporciones muestrales ........................................................ 85
Ejercicios de Distribución de Muestreo ............................................................................................ 86
5.6. Conceptos básicos para la determinación del tamaño de muestra: variable cualitativa Sexo y
variable cuantitativa Edad. ................................................................................................................ 94
Notación o Simbología utilizada en el Muestreo. ..................................................................... 94
Marco Muestral de 1200 personas, Número identificador y variables: Sexo y Edad. .............. 95
Valores poblacionales de las variables: Sexo y Edad ............................................................... 104
5.7. Cálculo del tamaño de muestra para las variables Sexo y Edad .............................................. 105
6. Estimación puntual y por intervalo de los parámetros. .............................................................. 106
Intervalos de confianza utilizando desviación estándar ................................................ 106
5/10/2018 Estadistica Inductiva[1]GUIA - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/estadistica-inductiva1guia 6/132
Página 6 de 132
Relación entre nivel de confianza e intervalo de confianza ........................................... 106
Intervalos de predicción aproximados .............................................................................. 106
7. Contraste de Hipótesis. ........................................................................................................... 108
8. Regresión simple y Correlación. ........................................................................................... 108
Análisis de Regresión........................................................................................................... 108
Hipótesis del modelo ........................................................................................................... 108
Correlacion ............................................................................................................................ 108
8.1. Principales técnicas utilizadas en el análisis de regresión lineal simple ....................... 109
Diagrama de dispersión e interpretación.......................................................................... 109
Estimación mediante la línea de regresión ....................................................................... 110
Recta de regresión por el método de mínimos cuadrados. ............................................ 111
Verificación de la ecuación de estimación ........................................................................ 111
Error estándar de la estimación.......................................................................................... 111
Interpretación del error estándar de la estimación.......................................................... 112
8.2. Análisis de correlación.......................................................................................................... 112
Coeficiente de determinación ............................................................................................. 112
Coeficiente de correlación ................................................................................................... 114
Ejercicio de regresión lineal simple ................................................................................................. 114
9. Series Cronológicas o Series de Tiempo. ..................................................................................... 118
9.1. Componentes de una serie cronológica ................................................................................... 119
Tendencia ( Tt) ......................................................................................................................... 119
Estacionalidad o variacionales estacionales (St)...................................................................... 120
Ciclos o fluctuaciones cíclicas (Ct) ........................................................................................... 120
Erraticidad o sucesos aleatorios o irregulares (Et) .................................................................. 121
5/10/2018 Estadistica Inductiva[1]GUIA - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/estadistica-inductiva1guia 7/132
Página 7 de 132
9.2. Tendencia. ................................................................................................................................ 121
Método de los mínimos cuadrados ......................................................................................... 122
9.3. Variaciones estacionales .......................................................................................................... 124
Método de diferencia a la tendencia ...................................................................................... 124
Método del porcentaje de tendencia. .................................................................................... 126
Ejercicio sobre serie cronológica o de tiempo ................................................................................ 128
Estadística Inductiva o Inferencial.
Debido a lo extenso y variado del campo cubierto por la Estadística es difícil
proponer una definición precisa del concepto. No obstante, tácitamente todos los
estadísticos están de acuerdo en clasificar la materia en dos tipos, cuales son, la
Estadística Descriptiva y la Estadística Inductiva o Inferencial.
La Estadística Descriptiva trata del resumen y descripción de los datos. Dicho
resumen puede ser Tabular, Grafico o Numérico. El análisis se limita en sí mismo a
los datos coleccionados y no se realiza inferencia alguna o generalización acerca de
la totalidad de donde provienen esas observaciones (Población).
Si bien la descripción de los hechos recolectados es a veces en sí misma el fin que
se propone, en la mayoría de los análisis estadístico estamos realmente mas al
comienzo de la tarea que al término de la misma. La estadística descriptiva no es
más que el trabajo preliminar para la inferencia.
Por ejemplo, si un jefe de personal somete a un test de aptitud a un grupo de
graduados universitarios recientemente contratados; entre lo que puede hacer con
los datos que resultan del test valiéndose de la estadística descriptiva, están losaspectos siguientes: Tabular los datos o clasificarlos de manera que con solo dar un
vistazo se pueda tener una imagen general de los mismos; calcular algunos
promedios y reconocer algo sobre la aptitud típica de los empleados; construir
tablas, graficas y cuadros para visualizar el comportamiento de los datos o bien
5/10/2018 Estadistica Inductiva[1]GUIA - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/estadistica-inductiva1guia 8/132
Página 8 de 132
convertir los datos brutos en rangos o en percentiles para hacer comparaciones;
utilizar el promedio como punto de localización y describir la variabilidad o
dispersión de los datos. Además, si después se obtienen ciertas medidas sobre el
rendimiento en el trabajo de estos empleados, se puede tratar de describir la
relación entre los valores obtenidos en el test y dichas mediciones. Y en cuanto seestablezca una relación semejante, se puede predecir el rendimiento de un
empleado en su trabajo con base a los resultados obtenidos en el test de aptitud.
La Estadística Inductiva o Inferencial es el proceso de hacer predicciones acerca de
un todo o tomar decisiones al basarnos en la información recogida en la muestra,
por lo tanto la estadística inferencial se refiere a la rama de la estadística que trata
de los procesos inferenciales, la que a su vez comprende la teoría de estimación y
prueba de hipótesis.
Al reseñar las dos facetas de la estadística, se puede resumir como sigue el
significado de estadística: “La Estadística es la ciencia, pura y aplicada, que crea,
desarrolla y aplica técnicas, de modo que pueda evaluarse la incertidumbre
derivada de inferencias inductivas”.
1. Números Índices.Uno de los problemas más importantes al estudiar Economía y Administración de
Empresa es como medir la cantidad de algunos agregados heterogéneos.
El agregado puede ser de cantidad física, como una lista de precios, como los
precios pagados por las compras de diversos tipos de insumos, también las
cantidades adquiridas o monto de dinero erogado en la compra.
En todo caso, el problema de la medición es deducir un solo número que sea
descriptivo del volumen de un agregado dado o del cambio ocurrido en él en el
tiempo o de un lugar a otro. El método estadístico para esa medición se conoce
como Número Índice.
En efecto los números índices relacionan una o más variables en un periodo dado
con la misma variable o variables en otro periodo, llamado periodo base.
5/10/2018 Estadistica Inductiva[1]GUIA - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/estadistica-inductiva1guia 9/132
Página 9 de 132
Al paso de los años los números índice han llegado a ser cada vez más importantes
para la administración y la estadística como indicadores de la cambiante actividad
económica o de negocios; de hecho, su uso se ha convertido en el procedimiento de
más amplia aceptación.
Los números índices, constituyen un sencillo artificio para comparar los términos
de una o varias series cronológicas; considerando ésta última como una sucesión
de observaciones de una variable tomada en instantes sucesivos.
En muchos problemas de Economía el interés es combinar, mediante un promedio
adecuadamente definido varios índices simples para obtener un índice con el que
se trata de reflejar la evolución de una magnitud no fácil de definir concretamente,
por ejemplo: coste de vida, nivel de salarios, comercio exterior, etc.
Definición de Números Índices
El número índice es una medida estadística diseñada para poner de relieve
cambios en una variable o en un grupo de variables.
Un número índice es una medida estadística que tiene como finalidad comparar
una variable o magnitud económica en el tiempo.
Los números índices miden el tamaño o la magnitud de algún objeto en un punto
determinado en el tiempo, como el porcentaje de una base o referencia en el
pasado.
Tipos de Números Índices
Los números índices son importantes y concernientes a las actividades de negocios
y económicos pueden clasificarse en tres tipos:
Índice de precios , compara niveles de precios de un período a otro. El índice
nacional de precios al consumidor (INPC) mide los cambios globales de precios de
una variedad de bienes de consumo y de servicios, y se le utiliza para definir el
costo de vida.
5/10/2018 Estadistica Inductiva[1]GUIA - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/estadistica-inductiva1guia 10/132
Página 10 de 132
Índice de cantidad , mide qué tanto cambia el número o la cantidad de una
variable en el tiempo.
Índice de valor , mide los cambios en el valor monetario total; es decir, mide los
cambios en el valor en Bs.F de una variable, combina los cambios en precio ycantidad para presentar un índice con más información.
Uso de los Números Índices
Los números índices son útiles cuando se quiere comparar variables o magnitudes
que están medidas en unidades distintas. Por ejemplo, con los números índices
podemos comparar los costes de alimentación o de otros servicios en una ciudad
durante un año con los del año anterior, o la producción de arroz en un año en una
zona del país con la otra zona.
Aunque se usa principalmente en Economía e Industria, los números índices son
aplicables en muchos campos. En Educación, por ejemplo, se pueden usar los
números índices para comparar la inteligencia relativa de estudiantes en sitios
diferentes o en años diferentes.
Muchos gobiernos se ocupan de elaborar números índice con el propósito de
predecir condiciones económicas o industriales, tales como: índices de precios, de
producción, salariales, del consumidor, poder adquisitivo, costo de vida, etc.
Problemas relacionados con los Números Índices
La in-comparabilidad de índices se presenta cuando se hacen intentos para
comparar un índice con otro después de que ha habido un cambio básico en lo que
se ha estado midiendo.
La distorsión de los números índice también se puede presentar cuando se
selecciona una base no apropiada. Siempre debemos considerar cómo y por qué elperíodo base fue seleccionado antes de aceptar una aseveración basada en el
resultado de comparar números índice.
5/10/2018 Estadistica Inductiva[1]GUIA - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/estadistica-inductiva1guia 11/132
Página 11 de 132
1.1. Clasificación de los Números Índices.Desarrollaremos este punto básicamente para los índices de precio, pero como se
ha dicho antes, puede extenderse a los índices de cantidad y a los índices de valor.
Cuando calculamos índice de precio, es éste el que está variando y tratamos demedir esa variación en el tiempo o en el espacio. Hay muchas formas de medirlas,
una más simples, otras más complejas, pero todas aplicables a cada caso.
Índice Simple de Precios
Son los que se refieren a una sola magnitud o concepto, y, por tanto, nos
proporcionan la variación que ha sufrido esa magnitud en dos períodos distintos.
La forma usual de calcular un índice simple es: I = P1 / P0 X 100
Donde P1 es la magnitud en el período actual, y P0 es la magnitud en el período
base, se multiplica por 100 para expresarlo en base a 100.
Utilizaremos un ejemplo para esclarecer la naturaleza básica y la función de los
números índices.
Productos P1 en mes actual P0 en mes base I = P1 / P0 * 100
Arroz 1500 1400 107,14
Carne 5000 6000 58,12
Cine 1000 1000 100,00
Índices Compuestos de Precios:
Si lo que deseamos es medir la evolución en el tiempo de una magnitud compleja,
o conjunto de magnitudes simples, como, por ejemplo, el precio de las frutas, eneste caso no se podrá utilizar un índice simple, ya que tendríamos diferentes
precios para cada una de las variedades que presenta este tipo de
alimentos(naranjas, manzanas, peras, entre otro).
5/10/2018 Estadistica Inductiva[1]GUIA - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/estadistica-inductiva1guia 12/132
Página 12 de 132
Índices Compuestos de precio Sin Ponderar:
Son los que tratan de medir la evolución de una magnitud compleja, pero donde
las diferentes magnitudes simples que intervienen tienen todas las mismas
importancias.
Índices Compuestos de precios Ponderados:
Aunque los índices compuestos ponderados se pueden obtener para todo tipo de
variables, los más importantes son los que miden las variaciones en los precios.
La característica común a estos índices y a la mayoría de los índices de precios es
que utilizan valores como coeficientes de ponderación; es decir, datos que se
pueden expresar como producto de un precio por una cantidad.
Índice de Laspeyres
Este método utiliza las cantidades consumidas durante el período base. Es el más
usado, debido a que requiere medidas de cantidades de únicamente un período.
Como cada número índice depende de los mismos precios y cantidades base, la
administración puede comparar el índice de un período directamente con el índice
de otro.
Una ventaja de este método es la comparabilidad de un índice con otro. El uso de
la misma cantidad de período base nos permite hacer comparaciones de manera
directa. Otra ventaja es que muchas medidas de cantidad de uso común no son
tabuladas cada año. La principal desventaja es que no toma en cuenta los cambios
de los patrones de consumo.
Índice de Paasche
Es un proceso parecido al seguido para encontrar un índice de Laspeyres. Ladiferencia consiste en que los pesos utilizados en el método Paasche son las
medidas de cantidad correspondientes al período actual. Es particularmente útil
porque combina los efectos de los cambios de precio y de los patrones de consumo,
5/10/2018 Estadistica Inductiva[1]GUIA - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/estadistica-inductiva1guia 13/132
Página 13 de 132
así, es un mejor indicador de los cambios generales de la economía que el método
Laspeyres.
1.2. Índice de cantidad
En tiempos de inflación, un índice de cantidad proporciona una medida más
confiable de la producción real de materias primas y bienes terminados que el
correspondiente índice de valores. De manera parecida, la producción agrícola se
mide mejor si se utiliza un índice de cantidad, debido a que éste elimina los efectos
engañosos producidos por la fluctuación de precios. A menudo usamos un índice
de cantidad para medir mercancías que están sujetas a una variación considerable
de precios.
1.3. Índice de valor
Un índice de valor mide cambios generales en el valor total de alguna variable.
Como el valor está determinado tanto por el precio como por la calidad, un índice
de valor realmente mide los efectos combinados de los cambios de precios y
cantidad.
La principal desventaja de un índice de valor es que no hace diferencia alguna
entre los efectos de estados de los dos componentes.
1.4. Conclusión
Los número índices son llamados también números índices simples o relativos
simples, estos tienen una duración del período a calcular usualmente de un año,
aunque puede ser un trimestre un mes u otra unidad de tiempo.
Desde un punto de vista teórico es deseable que los números índices para grupos
de artículos tengan las propiedades que cumplían las relaciones (números índices
para un solo artículo). Todo número índice que tenga tal o cual propiedad se dice
que satisface el criterio asociado con ella.
No se conoce ningún número índice que cumpla todos los criterios, si bien en
muchos casos se satisfacen aproximadamente.
5/10/2018 Estadistica Inductiva[1]GUIA - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/estadistica-inductiva1guia 14/132
Página 14 de 132
El índice ideal de Fisher , que en particular verifica el criterio de inversión temporal
y el de inversión de factores, es mejor que cualquier otro número índice útil en
cuanto a satisfacer las propiedades consideradas importantes ( de ahí el apelativo
de ideal).
Anexo 1: Ejercicio de Elaboración del INPC personal.Primer Paso: Construir la estructura de ponderación del gasto.
1. Se multiplica las cantidades consumidas por los precios para así obtener los
gastos de cada específico. Se suman los gastos y se sabrá cuanto se gasta en
el mes.
2. Se divide cada gasto entre el total y se multiplica por 100 y se obtendrá las
ponderaciones de los gastos. Se suma y el total debe ser igual a 100,003. La columna estructura de ponderación significa el porcentaje de tus gastos
destinados al consumo de cada especifico o rubro.
Ponderación de mis gastos mensuales, Base Diciembre o un mes cualquiera que será la base de
comparación
Este es el primer paso , es decir elaborar la estructura de ponderación de mis gastos mensuales.
GRUPOS ARTICULOSCantidadesconsumidas
en el mes
Precios
de losartículos
en ese
mes
Gastos
del mes
Estrucde
ponder
ALIMENTOS Y BEBIDAS
NO ALCOHOLICAS
BISTECK 4 32 128,00
LECHE COMPLETA 4 15 60,00
AGUA 10 6 60,00
BEBIDAS ALCOHOLICASY TABACO
CAJA DE CERVEZA 2 65 130,00
CAJA DE CIGARROS 2 20 40,00 VINO
CHAMPAÑISADO 0,25 60 15,00
VESTIDOS Y CALZADOSPANTALON 0,25 200 50,00
ZAPATOS 0,1 550 55,00
5/10/2018 Estadistica Inductiva[1]GUIA - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/estadistica-inductiva1guia 15/132
Página 15 de 132
DEPORTIVOS
SWETER 0,25 280 70,00
ALQUILER DE VIVIENDA
APARTAMENTO
COMPLETO 1 2500 2500,00
HABITACION ENRESIDENCIA 1 700 700,00
CASA EN BARRIO 1 350 350,00
SERVICIOS DE LA VIVIENDA
EXCEPTO TELEFONO
LUZ 1 60 60,00
AGUA 1 30 30,00
GAS 1 35 35,00
EQUIPAMIENTO DEL
HOGAR
JUEGO DE RECIBO
(NORMAL) 0,1 2500 250,00
LAVADORA 0,1 1800 180,00 EQUIPO DE SONIDO 0,1 3200 320,00
SALUD
ECO PELVICO 0,1 120 12,00
RESONANCIA MAG. 0,1 450 45,00
ANTICONCEPTIVO 1 70 70,00
TRANSPORTE
METRO 40 0,9 36,00
TAXI TARIFA
MINIMA 2 25 50,00
BUSETA 40 1,5 60,00
COMUNICACIONES
INTERNET 1 99 99,00
TV DIGITAL 1 140 140,00
TELEFONIA 1 70 70,00
ESPARCIMIENTO Y
CULTURA
CINE 4 14 56,00
WARAIRARREPANO 4 50 200,00
TEATRO 2 60 120,00
SERVICIOS DE
EDUCACION
CURSOS
INFORMATICA 1 270 270,00 UNIVERSIDAD
(SEMESTRE) 0,25 1800 450,00
POST GRADO
(GERENCIAL) 0,25 1500 375,00
5/10/2018 Estadistica Inductiva[1]GUIA - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/estadistica-inductiva1guia 16/132
Página 16 de 132
Segundo Paso: Construir los relativos de precios ponderados.
1. Se divide el precio actual entre el precio del mes anterior y se obtiene la
columna de relativos de precios.
2. Se multiplica la columna de relativos de precios por la columna de
estructura de ponderación y se halla la columna de relativos de precios
ponderados. Se suma y el total expresa como ha afectado la variación de
precios a tus gastos en forma globalizada y en qué porcentaje.
3. Esta columna significa como ha afectado cada específico o rubro a tus gastos
en forma individual y en qué porcentaje.
RESTAURANTES Y HOTELES
DESAYUNO 20 20 400,00
HOSPEDAJE (POR
NOCHE) 4 180 720,00
CENA 20 150 3000,00
BIENES Y SERVICIOS
DIVERSOS
ENCOMIENDA 0,1 120 12,00 PELUQUERIA 8 200 1600,00
INTERNET (CIBER x
HORA) 40 2,5 100,00
TOTAL 12918,00 1
Relativos de precios entre dos meses consecutivos multiplicada por la ponderación
Este es el segundo paso , es decir elaborar la variación de los precios y la incidencia en los gastos.
GRUPOS ARTICULOS
Precios
de los
artículosen el mes
actual
(ENERO)
Precios
de los
artículos
en elmes
anterior
(DIC)
Relativos
de
preciosde Enero
a Dic.
Estructura
deponderación
Relati
prepond
ALIMENTOS Y BISTECK 35 32 1,0938 0,99
5/10/2018 Estadistica Inductiva[1]GUIA - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/estadistica-inductiva1guia 17/132
Página 17 de 132
BEBIDAS
NO ALCOHOLICAS
LECHE COMPLETA 17 15 1,1333 0,46
AGUA 6 6 1,0000 0,46
BEBIDAS
ALCOHOLICASY TABACO
CAJA DE CERVEZA 65 65 1,0000 1,01
CAJA DE CIGARROS 16 20 0,8000 0,31 VINO
CHAMPAÑISADO 60 60 1,0000 0,12
VESTIDOS Y
CALZADOS
PANTALON 200 200 1,0000 0,39
ZAPATOS
DEPORTIVOS 580 550 1,0545 0,43
SWETER 280 280 1,0000 0,54
ALQUILER DE
VIVIENDA
APARTAMENTO
COMPLETO 2500 2500 1,0000 19,35 HABITACION EN
RESIDENCIA 700 700 1,0000 5,42
CASA EN BARRIO 350 350 1,0000 2,71
SERVICIOS DE LA
VIVIENDA
EXCEPTO
TELEFONO
LUZ 42 60 0,7000 0,46
AGUA 20 30 0,6667 0,23
GAS 50 35 1,4286 0,27
EQUIPAMIENTO
DEL HOGAR
JUEGO DE RECIBO(NORMAL) 2550 2500 1,0200 1,94
LAVADORA 1800 1800 1,0000 1,39
EQUIPO DE SONIDO 3250 3200 1,0156 2,48
SALUD
ECO PELVICO 150 120 1,2500 0,09
RESONANCIA MAG. 450 450 1,0000 0,35
ANTICONCEPTIVO 75 70 1,0714 0,54
TRANSPORTE
METRO 0,9 0,9 1,0000 0,28 TAXI TARIFA
MINIMA 35 25 1,4000 0,39
BUSETA 2 1,5 1,3333 0,46
COMUNICACIONES INTERNET 99 99 1,0000 0,77
5/10/2018 Estadistica Inductiva[1]GUIA - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/estadistica-inductiva1guia 18/132
Página 18 de 132
Tercer Paso: Construir los INPC, las variaciones y proyecciones.
1. Obtenidos los relativos de precios ponderados para varios meses, se
construye la columna de INPC multiplicando el relativo de precio de un
mes por el INPC del mes anterior y ese resultado corresponde al mes en
referencia dividido entre 100. Se inicia con 100 en el mes base, dado que es
la base de comparación.
2. La columna de variación mensual se obtiene dividiendo el índice de un mes
TV DIGITAL 140 140 1,0000 1,08
TELEFONIA 70 70 1,0000 0,54
ESPARCIMIENTO Y
CULTURA
CINE 28 14 2,0000 0,43
WARAIRARREPANO 50 50 1,0000 1,55 TEATRO 60 60 1,0000 0,93
SERVICIOS DE
EDUCACION
CURSOS
INFORMATICA 270 270 1,0000 2,09
UNIVERSIDAD
(SEMESTRE) 1800 1800 1,0000 3,48
POST GRADO
(GERENCIAL) 1500 1500 1,0000 2,90
RESTAURANTES Y
HOTELES
DESAYUNO 35 20 1,7500 3,10 HOSPEDAJE (POR
NOCHE) 180 180 1,0000 5,57
CENA 150 150 1,0000 23,22
BIENES Y
SERVICIOS
DIVERSOS
ENCOMIENDA 150 120 1,2500 0,09
PELUQUERIA 200 200 1,0000 12,39
INTERNET (CIBER x
HORA) 2,5 2,5 1,0000 0,77
TOTAL 100,00
5/10/2018 Estadistica Inductiva[1]GUIA - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/estadistica-inductiva1guia 19/132
Página 19 de 132
entre el índice del mes anterior y se multiplica por 100 y se le resta 100 y ese
resultado corresponde al mes de referencia. Se inicia con cero en el mes
base, dado que es la base de comparación.
3. La columna de proyección del gasto se obtiene multiplicando el gasto actual
por el índice del mes en referencia, dividido entre 100 y así sucesivamente.4. Significa la proyección del gasto para ese mes en cuestión.
2. Técnica de Contar.En muchos casos debemos ser capaces de resolver un problema de probabilidad
mediante el conteo del número de elementos del espacio muestral sin listar
realmente todos los elementos.
Las técnicas de conteo son aquellas que son usadas para enumerar eventos difícilesde cuantificar. Se les denominan técnicas de conteo a las combinaciones,
permutaciones y diagrama de árbol, las que a continuación se explicarán y hay que
destacar que éstas nos proporcionan la información de todas las maneras posibles
en que ocurre un evento determinado.
Índice de precios y variación mensual para varios meses, ejemplo Dic. a Junio en base a los relativo
de precios ponderados obtenidos
Este es el tercer paso , es decir elaborar los INPC, la variación mensual y la proyección de los gastos
Meses
Relativos de
preciosponderados
INPC de
Dic. a Junio
Variación
mensual delINPC
Gastos del mes
proyectado en basea la variación
mensual
Gastos del mes
proyectado en baal INPC
Diciembre 100,0000 100,0000 0,0000 12918,00 12918
Enero 103,2435 103,2435 3,2435 13337,00 13337
Febrero 105,1254 108,5352 5,1254 14020,57 14020
Marzo 101,3589 110,0101 1,3589 14211,10 14211
Abril 98,2541 108,0894 -1,7459 13962,99 13962
Mayo 102,3685 110,6495 2,3685 14293,70 14293
Junio 103,5689 114,5985 3,5689 14803,83
5/10/2018 Estadistica Inductiva[1]GUIA - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/estadistica-inductiva1guia 20/132
Página 20 de 132
La teoría combinatoria estudia los métodos que permiten contar el número de
diversos arreglos o selecciones que puede formarse con los elementos de conjuntos
finitos.
Entre sus aplicaciones prácticas está el cálculo de probabilidades, al permitirenumerar los casos favorables y casos posibles. Tiene también utilidad en otras
ramas, como por ejemplo, el cálculo de la complejidad o tiempo de ejecución de un
algoritmo o programa informático, al estimar el número de operaciones que se
realizan en un procedimiento algorítmico.
Las bases para entender el uso de las técnicas de conteo son el principio
multiplicativo y el aditivo, los que a continuación se definen y se hace uso de ellos.
Principio de MultiplicaciónSe establece como sigue: “Si un primer experimento puede tener exactamente n1
resultados distintos; si para cada una de éstas un segundo experimento puede
producir n2 resultados distintos; y si para cada una de las dos primeras se puede
realizar un tercer experimento con n3 resultados distintos; y así sucesivamente para
k experimentos; entonces los experimentos combinados, del primero al k esimo,
pueden tener exactamente (n1) (n2) (n3) (n4) (n5) (n6) (nk) resultados
distintos.
Ejemplo 1. Cuantos almuerzos que consisten en una sopa, seco, postre y bebida
son posibles si podemos seleccionar 4 sopas, 3 secos, 5 postres y 4 bebidas?
Solución: Como (n1)= 4 (n2)= 3 (n3)= 5 (n4)= 4
hay 4 x 3 x 5 x 4 = 240 diferentes maneras de elegir un almuerzo.
Ejemplo 2. Suponga que se desea formar una terna para elegir presidente,
vicepresidente y secretario de una junta directiva. Hay 15 candidatos para la
presidencia; 40 candidatos para la vicepresidencia y 200 para la secretaria, de
cuantas formas se puede elaborar la terna?
Solución: Como (n1)= 15 (n2)= 40 (n3)= 200
hay 15 x 40 x 200 = 120.000 ternas diferentes.
5/10/2018 Estadistica Inductiva[1]GUIA - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/estadistica-inductiva1guia 21/132
Página 21 de 132
Ejemplo 3. Un profesor de Estadística desea exhibir tres carteles en la planta baja
del Núcleo Palo Verde, uno a continuación del otro. De cuantas formas puede
colocar los tres carteles?
Numero de formas como se puede colocar el primer cartel = 3
Numero de formas como se puede colocar el segundo cartel = 2 (puesto que elprimero está colocado)
Numero de formas como se puede colocar el tercer cartel = 1 (puesto que el
primero y el segundo están colocados)
Solución: Como (n1)= 3 (n2)= 2 (n3)= 1
hay 3 x 2 x 1 = 6 formas diferentes.
Ejemplo 4. Se dispone de 3 vías para viajar de C1 a C2 y de 4 vías para viajar de C2
a C1. ¿De cuántas formas se puede organizar el viaje de ida y vuelta de C1 a C2?
Solucion: 3·4=12
Principio de AdiciónSe establece como sigue: “Si un primer experimento puede tener exactamente n1
resultados distintos; un segundo experimento puede producir n2 resultados
distintos; un tercer experimento n3 resultados distintos; y así sucesivamente para k
experimentos; si solo una de estos k experimentos se puede realizar entonces, los
experimentos combinados, del primero al k esimo, pueden tener exactamente(n1) +(n2)+ (n3)+ (n4)+ (n5)+ (n6)+ +(nk) resultados distintos.
Ejemplo 1. Una persona puede viajar de una ciudad a otra por tres carreteras
disponibles, o por dos líneas férreas o por 3 líneas aéreas. De cuantas formas esta
persona puede hacer el viaje entre las dos ciudades?
Obsérvese que si la persona decide por una de las formas quedan descartadas las
otras.
Numero de formas como puede viajar por carretera = 3
Numero de formas como puede viajar por vía férrea = 2
Numero de formas como puede viajar por líneas aéreas = 3
Solución: Como (n1)= 3 (n2)= 2 (n3)= 3
hay 3 + 2 + 3 = 8 formas diferentes de llegar a su destino.
5/10/2018 Estadistica Inductiva[1]GUIA - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/estadistica-inductiva1guia 22/132
Página 22 de 132
Ejemplo 2: Un repuesto de auto se vende en 6 tiendas de la ciudad A y en 8 tiendas
de la ciudad B. ¿En cuantas tiendas se puede adquirir el repuesto?
Solucion: 6+8=14
El análisis estadístico se hace con base en datos (muestra). Estos datos en atención
a la forma como sean recolectados o a la manera como deban estudiarse pueden
ser Ordenados o No ordenados y Con repetición o Sin repetición, de forma tal que
por el Principio de Multiplicación existen 4 modalidades como pueden recolectarse
los datos
Ordenados No ordenados
Con repetición Ordenados con repetición No ordenados conrepetición
Sin repetición Ordenados sin repetición No ordenados sin repetición
En lo que sigue utilizaremos el término muestra para referirnos a cualquier
sucesión de datos.
2.1. Muestra ordenadas con repeticiónSe obtiene cuando cada observación puede darse tantas veces como sea
posible porque la unidad observada se retorna a la población o porque hay
un número grande de unidades que poseen la misma medida y el orden en
que se suceden tales observaciones es de importancia. Este tipo de muestra
se llama enupla (dupla, tripla, cuádrupla, etc.)
El numero de muestras (tamaño del espacio muestral) está dada por
Nn en donde N es el tamaño de la población y n es el tamaño de la muestra.
Ejemplo 1. Un examen de Verdadero o Falso es respondido por una persona
que carece de todo conocimiento sobre el tema. Si la persona debe
responder 10 preguntas, De cuantas formas distintas puede responder el
examen?
5/10/2018 Estadistica Inductiva[1]GUIA - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/estadistica-inductiva1guia 23/132
Página 23 de 132
Solución:
N es el tamaño de la población = 2 (verdadero o falso)
n es el tamaño de la muestra = 10 (numero de respuestas)
S es el tamaño del espacio muestral o numero de exámenes distintos
= Nn = 210 = 1024 exámenes distintos.
2.2. Muestra ordenadas sin repetición: Permutacion.Resultan cuando cada observación solo se da una vez porque cada unidad
una vez observada no se retorna a la población.
Este tipo de muestras se llaman Permutaciones. El numero de muestras
(tamaño del espacio muestral) está dada por
PN,n en donde N es el tamaño de la población y n es el tamaño de la
muestra.
Si se tiene los elementos a1, a2, ..., an, cada ordenamiento diferente de esos n
elementos recibe el nombre de permutación. Es importante resaltar que el orden es
una característica importante en la permutación, cuando variamos el orden de los
elementos se dice que permutamos dichos elementos y se obtiene otra
permutación.
PN,n = N! / (N-n)! El símbolo ! se llama factorial y es un operador, por
ejemplo
8 ! = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 40.320
Ejemplo:
El número total de permutaciones que se puede obtener con las letras A, B y C
tomadas de 3 en 3
será: P3,3 = 3 ! / (0-0)! = 3 ¡ = 3*2*1 = 6
Estas serán las permutaciones {ABC BAC CAB ACB BCA CBA }
Ejemplo 1. Un profesor de estadística dispone de 8 temas sobre los que debe
dictar el curso de Estadística II. Se le pide que lo reduzca a 5 para lo cual
debe presentar una serie de 5 temas ante un jurado evaluador. De cuantas
formas puede organizar los temas?
5/10/2018 Estadistica Inductiva[1]GUIA - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/estadistica-inductiva1guia 24/132
Página 24 de 132
Solución: Como se trata de organizar temas hay implícito un orden y una no
repetición, así que estamos ante una permutación con N = 8 y n = 5
P8,5 = 8! / ( 8 – 5)! = 8! / 3! = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 = 6720 paquetes.
2.3. Muestra no ordenadas sin repetición: Combinacion.Se obtienen cuando cada observación se da solo una vez y el orden en que
aparecen no es de importancia. Este tipo de muestras se llaman
Combinaciones.
El numero de muestras (tamaño del espacio muestral) está dada por
CN,n en donde N es el tamaño de la población y n es el tamaño de la
muestra.
En el caso de las combinaciones, lo importante es el número de agrupacionesdiferentes de objetos que pueden ocurrir sin importar su orden.
Por lo tanto en las combinaciones se busca el número de subgrupos diferentes que
pueden tomarse a partir de n objetos.
El número de combinaciones de N objetos tomados n a la vez es igual a:
CN,n = N! /[n! (N-n)!]
Supongamos que se elegirá a tres miembros de una pequeña organización social deun total de diez miembros para que integren un comité. ¿Cuál es el número de
grupos diferentes de tres personas que pueden ser elegidos, sin importar el orden
en el que cada grupo podría elegirse? Solución NCn =10C3 = 10! / (7! * 3!) = 120
Es evidente que en este caso el orden en que se escojan las tres personas carece de
importancia y que ninguna de ella va a ser escogida 2 veces para formar el comité.
Por tanto es un problema de combinación.
CN,n = N! /n! (N-n)! = 10!/( 3! 7!) = 120 comité de tres personas distintos.
5/10/2018 Estadistica Inductiva[1]GUIA - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/estadistica-inductiva1guia 25/132
Página 25 de 132
Diferencia entre permutación y Combinación
Normalmente usamos la palabra "combinación" descuidadamente, sin pensar en si
el orden de las cosas es importante. En otras palabras:
"Mi ensalada de frutas es una combinación de manzanas, uvas y bananas": no
importa en qué orden pusimos las frutas, podría ser "bananas, uvas y
manzanas" o "uvas, manzanas y bananas", es la misma ensalada.
"La combinación de la cerradura es 472": ahora sí importa el orden. "724" no
funcionaría, ni "247". Tiene que ser exactamente 4-7-2.
Así que en matemáticas usamos un lenguaje más preciso:
Si el orden no importa, es una combinación.
Si el orden sí importa es una permutación.
Estos dos conceptos forman parte de la técnica de conteo.
Ejercicios de Técnicas de Conteo
1. Se lanzan 5 dados ; de cuantas formas pueden caer?
Resp. 7776 formas
2. Se lanzan 4 veces una moneda; de cuantas formas pueden caer?; utilizar un
diagrama de árbol para mostrar todos los resultados posibles.
Resp. 16 formas
3. Una placa para vehículos consta de 2 letras (considerar 26 letras delalfabeto) y a continuación 3 dígitos.
a) ¿Cuántas matrículas pueden hacerse si las 2 letras son diferentes y también los
3 dígitos son diferentes? Resp. 468.000
5/10/2018 Estadistica Inductiva[1]GUIA - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/estadistica-inductiva1guia 26/132
Página 26 de 132
b) ¿Cuántas matrículas pueden hacerse si las letras pueden coincidir e
igualmente los dígitos pueden ser iguales? Resp. 676.000
Aquí podemos observar que usamos el principio de la Multiplicación.
4. Los asegurados de una compañía se clasifican por edades: menos de 30 años(A1); de 30 a 45 (A2) y más de 45 años (A3); por estado civil: solteros (S), casados (C)
y divorciados (D); y por sexo: masculino (M) y femenino (F); de cuantas formas se
pueden clasificar las pólizas de los asegurados? Cuál es el espacio muestral de este
experimento? Construir un diagrama de árbol para representar el espacio
muestral.
Resp. 18 formas.
5. La carta de un restaurant ofrece a elección sopa (S) o ensalada (E) para empezar,
carne de res (R), de cerdo (C), o mariscos (M) como plato principal; y torta (T),pastel (P) o frutas (F) a elegir como postre. La comida completa consta de 3 platos
elegidos de cada una de las 3 clases. Cuantos almuerzos distintos se pueden
preparar?
Resp. 18 almuerzos
6. Si un conjunto A tiene 5 elementos, cuantas duplas se puede formar con los
elementos de A?
Resp. 25 duplas
7. Si en un concurso se presentan 10 libros, de cuantas formas se pueden otorgarlos primeros 3 premios?
Resp. 720 formas
8. En el concurso de belleza de Miss Venezuela, se suelen escoger 15 semifinalistas
y luego se eligen 5 finalistas; de cuantas formas se pueden ocupar las 5 primeras
posiciones entre las 15 finalistas?
Resp. 360.360 formas
9. Se sacan 5 cartas de un mazo de 10 numeradas del 0 al 9; de cuantas formas se
pueden sacar 5 cartas en órdenes distintos con reemplazo y sin reemplazo?Resp. Con reemplazo =100.000 sin reemplazo = 30.240
10. La junta directiva de la compañía ABC consta de 15 miembros; de cuantas
formas se pueden elegir presidente, vicepresidente y secretario?
Resp. 15P3= 2.730 Formas 15C3= 455
5/10/2018 Estadistica Inductiva[1]GUIA - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/estadistica-inductiva1guia 27/132
Página 27 de 132
11. Se va a elegir un comité de 5 entre un grupo de 7 candidatos; de cuantas formas
se puede hacer esto? Si los 7 candidatos van a ocupar 5 cargos distintos; de cuantas
formas se pueden ocupar los cargos?
Resp. 2.520 formas 21 formas12. Cuantos equipos de basquetbol de 5 hombres se puede formar de una escuadra
de 12 hombres si no se tiene en cuenta las posiciones del juego o en caso contrario,
es decir, se toma en cuenta las posiciones?
Resp. 95.040 formas 792 formas
13. Un club tiene 15 miembros; de cuantas formas se puede elegir una junta
directiva de 3 miembros?
Resp. 2.730 formas 455 formas
14. En una clase de Estadística hay 30 estudiantes, 10 hombres y 20 mujeres; decuantas formas distintas se puede constituir un comité de 5 estudiantes? De
cuantas formas si debe haber 3 mujeres en el comité?
Resp. 17100720 comités 615600 comités
15. En La Asamblea Nacional hay 20 diputados del Gobierno Nacional y 10
diputados de la Oposición. Se va a elegir una comisión integrada por 5 diputados;
de cuantas formas puede hacerse? De cuanta si tiene que haber 3 diputados del
gobierno y 2 de la oposición; de cuantas formas si todos tienen que ser del mismo
grupo partidista?Resp. 17100720 comisiones 615.600 comisiones 1890720 comisiones
16. Si se cuenta con 14 alumnos que desean colaborar en una campaña pro
limpieza del Tecnologico, cuantos grupos de limpieza podrán formarse si se desea
que consten de 5 alumnos cada uno de ellos, b) si entre los 14 alumnos hay 8
mujeres, ¿cuantos de los grupos de limpieza tendrán a 3 mujeres?, c.¿cuántos de
los grupos de limpieza contarán con 4 hombres por lo menos?
Solucion: 14C5: 2002 grupos 8C3*6C2 = 840 grupos
6C4*8C1+ 6C5* 8C0= 126
17. Para contestar un examen un alumno debe contestar 9 de 12 preguntas,
a.¿Cuántas maneras tiene el alumno de seleccionar las 9 preguntas?, b.¿Cuántas
maneras tiene si forzosamente debe contestar las 2 primeras preguntas?
5/10/2018 Estadistica Inductiva[1]GUIA - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/estadistica-inductiva1guia 28/132
Página 28 de 132
Solución: 12C9 = 220 maneras 2C2*10C7 = 120 maneras
18. Cuántas palabras diferentes se pueden formar con las letras n, l, o, e; así no
tengan sentido?
nloe, nleo, nelo, neol, nole noel, lnoe, lneo, leno, leon, lone, loen, elon, elno,
enlo, enol, eoln, eonl, olne, olen, oeln, oenl, onle, onel.
19. Cuántos números de tres cifras se pueden construir con los dígitos
1,2,3,4,5,6,7,8,9,0 si ninguno se puede repetir
20. De cuántas maneras se puede escoger un comité de 4 hombres de un grupo de
8?
21. Cuántas palabras diferentes, aun sin significado, se pueden formar con las
letras de la palabra amorosos?
22. Cuántos números de cuatro cifras existen?
23. En el primer grupo de la clase “A” del campeonato de futbol participan 17
equipos. Los premios son: Medalla de Oro, medalla de plata y medalla de bronce.
De cuantas formas estas pueden ser distribuidas? Resp. 4080 formas.
24. ¿Cuantas representaciones diferentes serán posibles formar, si se desea que
consten de Presidente, Secretario, Tesorero, Primer Vocal y Segundo Vocal?, sí esta
5/10/2018 Estadistica Inductiva[1]GUIA - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/estadistica-inductiva1guia 29/132
Página 29 de 132
representación puede ser formada de entre 25 miembros del sindicato de una
pequeña empresa. Resp. 6375600
25. Una persona puede viajar de una ciudad a otra por 3 carreteras disponibles o
por 2 líneas aéreas. ¿de cuantas formas esta persona puede hacer el viaje?
Resp. 3+2=5 formas
26. ¿De cuantas maneras se pueden ordenar las letras de la palabra XSIAON de
modo que las palabras ASI y NO nunca aparezcan?
Respuesta:
El número total de ordenaciones es de n = 6! = 720
El número de las que levan la palabra ASI es 4! = 24, pues basta con considerar la
palabra ASI como una sola letra del grupo X(ASI)ON.Razonando de igual manera, se obtiene que las que llevan la palabra NO son 5! =
120
Las que llevan simultáneamente ASI Y NO vienen dadas por 3! = 6 ( Se considera
ASI como una letra y NO como otra)
El número de las que llevan ASI o NO viene dado, aplicando el principio de
inclusión y exclusión por 120 + 24 – 8 =138
El número de ordenaciones pedidas es por tanto 720 – 138 = 582
27. Se quiere conformar un equipo de profesionales, se tienen: 12
Administradores, 13 Educadores y 16 Contadores ¿de cuantas maneras se pueden
formar?
12 * 13 * 16 =2496 maneras
28. En la Universidad Simon Rodríguez, núcleo la Urbina el Director de la cátedra
de Estadística, necesita conformar un equipo conformado por cinco docentes, tiene
en la terna para escoger: dos Psicólogos, tres Administradores y cuatro Sociólogos,
decide tomar un Psicólogo, dos administradores y dos Sociólogos, ¿De cuantasmaneras puede estar conformado el equipo?
P(x)=nCr
P (1)=2C1+ P (2)=3C2+ P (2)=5C2= 60
5/10/2018 Estadistica Inductiva[1]GUIA - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/estadistica-inductiva1guia 30/132
Página 30 de 132
29. En una clase de 10 alumnos van a distribuirse 3 premios. Averiguar de cuantos
modos puede hacerse si los premios son diferentes o si los premios son iguales.
Respuesta: Hay dos supuestos posibles:
a. Si una misma persona no puede recibir más de un premio:
a.1. Hay P10; 3 = 10 * 9 * 8 = 720 maneras de distribuir los premios si estos son
diferentes
a.2. En el caso de que los premios sean iguales, pueden distribuirse de
C10; 3 = 120 maneras.
b. Si una misma persona puede recibir más de un premio
b.1. Se pueden distribuir los premios, si estos son diferentes, de
PR10; 3 = 10 ^ 3 = 1000 maneras;
b.2. Hay C10; 3 = 120 maneras de distribuir los premios si estos son iguales.?
3. Probabilidad.
En ocasiones cuando se habla de probabilidad o posibilidad de que un evento
ocurra, se pierde la credibilidad acerca del evento en cuestión, pero ¿es posible
tener siempre la certeza total en todo proyecto o actividad que se desea realizar?,
es muy difícil tenerla, debido a que el llevar a efecto un proyecto cualquiera por
más simple que éste sea, éste está sujeto a una gran diversidad de factores que
afectan su ocurrencia, ¿Entonces qué es lo más aconsejable para predecir su
ocurrencia?, la probabilidad es la que nos ayuda en estos casos, ya que basándose en
estadísticas, podemos cuantificar la posibilidad de ocurrencia de los eventos y por
consiguiente tomar una buena decisión basados en esta información.
La probabilidad se encarga de evaluar todas aquellas actividades en donde se tiene
incertidumbre acerca de los resultados que se pueden esperar, esto quiere decir
que la probabilidad está presente en casi todas las actividades que se pretenda
realizar, ejemplos:
5/10/2018 Estadistica Inductiva[1]GUIA - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/estadistica-inductiva1guia 31/132
Página 31 de 132
-Cualquier proyecto de Ingeniería o de otras áreas
-Competencias deportivas
-Juegos de azar, etc., etc.
¿Cómo podemos calcular probabilidades? Haciendo uso de las estadísticas.
En este caso, se hace uso de la información que se ha acumulado acerca del evento
que nos interesa, y después de esto se procede a calcular las probabilidades
requeridas.
Ejemplo 1. Determine la probabilidad de que en cierta línea de producción se
manufacture un producto defectuoso, si se toma como referencia que la
producción de la última semana en esta línea fue de 1,500 productos, entre los que
se encontraron 18 productos defectuosos.
p(producto defectuoso) = No de productos defectuoso /Total de productos
producidos en la semana = 18 / 1500 = 0.012
Las Probabilidades pertenecen a la rama de la matemática que estudia ciertos
experimentos llamados aleatorios, o sea regidos por el azar, en que se conocen
todos los resultados posibles, pero no es posible tener certeza de cuál será en
particular el resultado del experimento. Por ejemplo, experimentos aleatorios
cotidianos son el lanzamiento de una moneda, el lanzamiento de un dado,
extracción de una carta de un mazo de naipes. Más adelante se verá que debemosdistinguir entre los conceptos de probabilidades matemáticas o clásicas de las
probabilidades experimentales o estadísticas.
La probabilidad de un resultado se representa con un número entre 0 y 1, ambos
inclusive. La probabilidad 0 indica que el resultado no ocurrirá nunca y la
probabilidad 1 indica que el resultado ocurrirá siempre.
Los problemas más sencillos estudian la probabilidad de un suceso favorable en
un experimento o acontecimiento con un número finito de resultados, todos elloscon igual probabilidad de ocurrir.
Si un experimento tiene n posibles resultados, y f de ellos se consideran favorables,
la probabilidad de un suceso favorable es f/n. Por ejemplo, un dado no trucado se
5/10/2018 Estadistica Inductiva[1]GUIA - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/estadistica-inductiva1guia 32/132
Página 32 de 132
puede lanzar de seis formas posibles, por tanto, la probabilidad de que salga un 5 ó
un 6 es 2/6.
Para calcular la probabilidad de un evento se toma en cuenta todos los casos
posibles de ocurrencia del evento; es decir, de cuántas formas puede ocurrirdeterminada situación.
Los casos favorables de ocurrencia de un evento serán los que cumplan con la
condición que estoy buscando.
Así para el lanzamiento de una moneda con una cara de un lado y un sello en el
otro lado, tengo 2 casos posibles de ocurrencia (o cae cara o cae sello) y sólo 1 caso
favorable de que pueda caer cara (pues sólo hay un cara en la moneda).
Para calcular la probabilidad de un evento se utiliza la siguiente fórmula:
Para nuestro ejemplo: Probabilidad de "que caiga una cara" tenemos:
P (cara) =1 (caso favorable) / 2 (casos posibles)
P(cara)= ½ = 0.5
Por lo tanto, existe una probabilidad del 50% que yo obtenga una cara al tirar una
moneda.
Ejemplo 2. En un juego de baraja de 40 cartas, ¿Cuál es la probabilidad de que al
sacar al azar una de ellas ésta sea de espadas?
Respuesta:
Casos posibles: las 40 cartas
Casos favorables: 10 cartas de espada
P = 10 / 40 = 1 / 4 = 0,25
La probabilidad es el medio por el cual a partir de la información contenida en una
muestra tomamos decisiones o hacemos afirmaciones que se refieren a toda una
población mediante el proceso llamado Inferencia Estadística.
5/10/2018 Estadistica Inductiva[1]GUIA - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/estadistica-inductiva1guia 33/132
Página 33 de 132
La estadística descriptiva se puede usar directamente para la toma de decisiones si
se trata de parámetros poblacionales. Sin embargo, si se trata de estadísticas
muestrales, se debe seguir otro proceso antes de que la decisión sea tomada. Ese
proceso comprende la generalización de los parámetros en base a la estadística.
Este proceso se llama Inferencia Estadística y comprende dos tipos de problemas:La estimación y la prueba de hipótesis.
La probabilidad y la estadística se refieren a situaciones diferentes y por lo tanto
resuelven problemas distintos. Sin embargo, las dos se complementan como
veremos en la discusión de los dos problemas siguientes:
Un problema de probabilidad: Se lanza un dado balanceado una vez. Cuál es la
probabilidad de obtener el 3?
Como el dado puede caer de 6 formas diferentes y solo una de estas corresponde
al 3, diríamos entonces que tenemos una probabilidad de un caso probable de
acertar entre 6 casos posibles. En términos de probabilidad, decimos que esta es de
1/6 .
Un problema de estadística (inferencial): Se lanza un dado 20 veces para
determinar si está balanceado y se observó que el 3 se obtuvo 17 veces, que
podemos pensar de este dado?
La respuesta es que el dado no está balanceado. Porque de estarlo y si se toma en
cuenta que en este caso cada una de las caras tiene la misma probabilidad de
obtenerse; es decir 1/6, es bastante extraño que el 3 aparezca 17 de cada 20. Una
probabilidad de 17/20.
Es importante darnos cuenta que en el primer caso (Un problema de probabilidad)
partimos de lo general a lo particular, mientras que en segundo caso (Un
problema de estadística) partimos de un hecho particular a lo general: el dado no
está balanceado basándonos en la probabilidad que tiene cada resultado de darse.
La probabilidad nos permite estudiar o analizar los fenómenos o procesos
aleatorios o estocásticos o probabilístico o no determinístico.
5/10/2018 Estadistica Inductiva[1]GUIA - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/estadistica-inductiva1guia 34/132
Página 34 de 132
3.1. Definiciones
Antes de introducirnos en los axiomas, los teoremas y los cálculos de probabilidad
vamos a definir algunos conceptos básicos y a denotar la simbología utilizada que
nos ayudará a comprender este tema.
Experimento aleatorio: Un experimento se dice aleatorio cuando puede
ocurrir de diversas maneras sin que sea posible predecir con certeza que
resultado particular va a ser observado.
Ejemplos de experimentos aleatorios son los siguientes:
- Lanzamiento de un dado una sola vez
- Peso de una persona
- Los valores de las acciones de cierta empresa en el día de mañana
- El estado del tiempo atmosférico en el día de mañana
Espacio muestral: El conjunto de todos los resultados posibles de un
experimento aleatorio y se denota con la letra S
Eventos o sucesos: Es un subconjunto del espacio muestral o resultados
favorables o probables y se denota con la letra E pero puede utilizarse las
letras A, B, C, etc.
Probabilidad del evento E: Se denota como Prob ( E ) y se calcula
dependiendo del enfoque que se utilice. La probabilidad es un numero que
oscila entre 0 y 1; por lo tanto 0 <= Prob ( E ) <= 1
Evento Seguro: Se tiene la certeza de que siempre ocurrirá y se denota con
la letra S; siendo su probabilidad Prob (S) = 1; ; por ejemplo, la probabilidadde que una persona muera es uno porque es un evento seguro.
Evento Imposible: Se tiene la certeza de que nunca ocurrirá y se denota con
la letra ᴓ que significa conjunto vacio; siendo su Prob (ᴓ) = 0; por ejemplo,
5/10/2018 Estadistica Inductiva[1]GUIA - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/estadistica-inductiva1guia 35/132
Página 35 de 132
la probabilidad de que una persona nunca muera es cero porque es un
evento imposible.
3.2. Tres enfoques distintos de observar la probabilidadProbabilidad Clásica o a priori, Probabilidad de Frecuencia Relativa o a posteriori
y Probabilidad Subjetiva.
Probabilidad Clásica o a priori.
La probabilidad clásica o a priori o canónica fue introducido por Laplace y se
establece de la forma siguiente:
“ Si un experimento aleatorio tiene n(S) resultados mutuamente excluyentes e
igualmente posibles (número de casos posibles) y m(E) de estas n maneras poseen
la característica del evento E (número de casos probables), entonces la
probabilidad de E se denota y está dada por Prob ( E) = m(E) / n(S) ; es decir
Prob ( E) = número de casos probables / número de casos posibles”
Calculemos algunas probabilidades:
Probabilidad de cara cuando se lanza una moneda una sola vez
S = (cara,sello) n(S) = 2
E = (cara) m(E) = 1
Prob ( E) = m(E) / n(S) = 1/2
Probabilidad de (cara,cara) cuando se lanza una moneda dos veces
S = ((cara,cara) (cara,sello) (sello,cara) (sello,sello)) n(S) = 4
E = (cara,cara) m(E) = 1
Prob ( E) = m(E) / n(S) = 1/4
Probabilidad (la suma sea igual a 8) cuando se lanza un dado dos
veces
D1+D2 1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
5/10/2018 Estadistica Inductiva[1]GUIA - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/estadistica-inductiva1guia 36/132
Página 36 de 132
S = n(S) = 36
E (D1 + D2 = 8) m(E) = 5
Prob ( E) = m(E) / n(S) = 5/36
Probabilidad de Frecuencia Relativa o a posteriori.
En los ejercicios anteriores la probabilidad se pudo determinar mediante el criterio
de Laplace, puesto que se trata de experimentos aleatorios con resultados
igualmente posibles (probables)’ No obstante cuando la igualdad no se da, el
problema de asignar probabilidad debe ser resuelto de otra forma (Probabilidad a
posteriori o de frecuencia relativa)
Este enfoque se debe a Richard von Mises y se establece de la manera siguiente:
“Si un experimento se repite un numero grande de veces, denotémoslo con n(S) ysea m(E) el número de veces que un evento E ocurrió. Es un hecho observable
experimentalmente que a medida que n(S) aumenta, el cociente m(E) / n(S) tiende a
estabilizarse en un numero P; este número P se llama la probabilidad del evento E
y se denota por Prob ( E)”
A este valor o probabilidad se llega mediante la frecuencia relativa y si los
resultados presentan regularidad probabilística o estadística, lo cual quiere decir
que en un numero grande de repeticiones del experimento los distintos resultados
se presentan en la misma proporción aproximadamente.En el siguiente ejercicio ilustramos como se llegaría a la probabilidad de “obtener
cara” cuando se lanza una moneda mediante el criterio frecuentista.
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
5/10/2018 Estadistica Inductiva[1]GUIA - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/estadistica-inductiva1guia 37/132
Página 37 de 132
Se lanzo una moneda 1000 veces en total, con conteo del número de “caras” y
“sellos” que se iban obteniendo progresivamente en el transcurso de los
lanzamientos. Los resultados fueron como se indica en la tabla que sigue
Númerode
lanzamien-
tos
Númerode caras
Númerode
sellos
Frec.Relativa
de caras
Frec.Relativa
de
sellos
Probabilidadde caras
Probabilidadde sellos
10 6 4 0.600 0.400 0.600 0.400
20 11 9 0.550 0.450 0.550 0.450
100 48 52 0.480 0.520 0.480 0.520
200 112 88 0.560 0.440 0.560 0.440
500 243 257 0.486 0.514 0.486 0.514
1000 521 479 0.521 0.479 0.521 0.479
El punto en donde se va deteniendo el conteo es arbitrario y siempre se irá
contando sobre el resultado anterior. Así por ejemplo, cuando hemos registrado 20
lanzamientos, “nuevos” solo han sido 10 , ya que estos 20 se cuentan sobre los 10anteriores.
De acuerdo con los valores de frecuencia relativa que hemos venido observando
podemos decir que la probabilidad de obtener “cara” o “sello” es 0.5 o 1/2
Probabilidad Subjetiva.
A esta concepción probabilística se le ha prestado mucha atención en las últimas
décadas y se encuentra principalmente relacionada con aquellas situaciones quesolo ocurrirán una vez, como es el caso del precio que tendrán ciertos tipos de
acciones en el día de mañana o el estado del tiempo atmosférico el día 31 de
diciembre de este ano. En estos casos la información del pasado (semejante a la
5/10/2018 Estadistica Inductiva[1]GUIA - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/estadistica-inductiva1guia 38/132
Página 38 de 132
frecuencia relativa), la experiencia y las actitudes sirven de soporte para hacer
evaluaciones probabilísticas.
La probabilidad subjetiva se define o se interpreta como sigue:
Dado un experimento determinado, una situación o un suceso, la probabilidad de
un evento E es el “grado de creencia” asignado a la ocurrencia de este evento porun individuo particular; las únicas exigencias son que: 1) Prob ( E) = 0 representa la
certeza de que el evento no ocurrirá, 2) Prob ( E) = 1 representa la certeza de que el
evento si ocurrirá, y 3) 0 <= Prob ( E) < =1 representa el grado de certeza de que
evento E ocurrirá.
Esto es, la Probabilidad Subjetiva de la ocurrencia de un evento es un número
índice, asignado por una persona y que representa el grado de conocimiento que
esta tiene sobre el suceso en particular considerado. Otra persona, con otros
conocimientos, podría asignar un número índice distinto.Cuando usted trata de responder una interrogante como Cual es la probabilidad
de que mañana en el juego de apertura de la Serie Mundial gane el equipo Home
Club? Está considerando una probabilidad subjetiva.
3.3. Axiomas de Probabilidad.
El cálculo de probabilidad tiene como fundamento la teoría de los conjuntos y se
desarrolla a partir de 3 axiomas o postulados del evento probabilístico.
Primer axioma (Positividad):La probabilidad de un evento es no negativo; significa que puede ser cero o un
numero positivo y se expresa así; Prob ( E) >= 0
Segundo axioma (Certidumbre):Este axioma manifiesta que la probabilidad de todo el espacio muestral es 1 y se
expresa así; Prob ( S) = 1; obsérvese que los dos primeros axiomas indican que la
probabilidad de cualquier evento varía entre 0 y 1. Por lo tanto, tenemos que 0 <=
Prob ( E) <= 1
5/10/2018 Estadistica Inductiva[1]GUIA - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/estadistica-inductiva1guia 39/132
Página 39 de 132
Tercer axioma (Uniones):La probabilidad de un evento compuesto E es la suma de las probabilidades de los
eventos simples de los cuales E es compuesto.
3.4. Eventos y su Probabilidad.Para calcular las probabilidades es necesario definir bien los eventos.
Eventos mutuamente excluyentes ( AU B):Se dice que dos eventos, A y B son mutuamente excluyentes, o simples, si no
pueden ocurrir simultáneamente o no tienen ningún punto muestral en común.
Prob (A U B) = Prob (A) + Prob (B)
Ejemplo: Se extrae aleatoriamente una carta de un mazo de cartasespañolas; Cual es la probabilidad de que aparezca un As o un Rey?
Resp: Prob (As U Rey) = Prob (As) + Prob (Rey) = 4/40 + 4/40 = 2/10
Eventos solapados ( AU B):Se dice que dos eventos, A y B son solapados, si tienen puntos muestrales en
común. Los puntos muestrales que pertenecen tanto a A como a B forman un
subconjunto que se llama intersección de A y B, representada por (A∩B); Prob (A
U B) = Prob (A) + Prob (B) - Prob (A ∩ B)Ejemplo: Se extrae aleatoriamente una carta de un mazo de cartas españolas;
Cual es la probabilidad de que aparezca un As o una espada?
Resp: Prob (As U Espada) = Prob (As) + Prob (Espada) - Prob (As ∩ Espada)
= 4/40 + 10/40 – 1/40 = 13/40
Eventos complementarios AC :Se dice que dos eventos A y AC son complementarios si el segundo es un
subconjunto que contiene todos los sucesos elementales del espacio muestral queno están el primero; los sucesos complementarios son mutuamente excluyentes y
su unión es el espacio muestral S.
Prob (AC) = Prob (S) - Prob (A) = 1 - Prob (A)
5/10/2018 Estadistica Inductiva[1]GUIA - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/estadistica-inductiva1guia 40/132
Página 40 de 132
Ejemplo: Cual es la probabilidad de que aparezca un 1, 2, 3, 4 o 5 cuando se
arroja un dado común?
Resp: Prob (1, 2, 3, 4 o 5) = 1 - Prob (6) = 1 – 1/6 = 5/6
Eventos independientes (A ∩ B):Se dice que dos eventos son independientes si el resultado de uno no afecta al
otro, o no es afectado por el otro. De esta forma si A y B son independiente,
entonces la
Prob (A ∩ B) = Prob (A) x Prob (B); Esto significa que si A y B son
independientes, entonces la probabilidad de que A y B aparezcan
simultáneamente, como lo denota (A ∩ B), es el producto de sus
probabilidades separadas.
Ejemplo: Se arrojan 2 dados, uno Azul A y otro Blanco B; Cual es laprobabilidad de que A <= 4 y B >= 5
Resp. Prob (A ∩ B) = Prob (A) x Prob (B) = 4/6 x2/6 = 2/9
Eventos condicionados (A ∩ B):Se dice que dos eventos son condicionados o dependientes si el resultado de uno
si afecta al otro, o es afectado por el otro. De esta forma si A y B son dependientes,
entonces la
Prob (A ∩ B) = Prob (A) x Prob (B/A) o
Prob (B ∩ A) = Prob (B) x Prob (A/B)
Ejemplo: En un conjunto de 100 productos manufacturados, 15 son
defectuosos. Suponga que 2 son extraídos aleatoriamente sin reemplazo;
Cual es la probabilidad de que ambos sean defectuosos?
Resp. Designemos con D a los defectuosos, entonces tenemos que
Prob (D1 ∩ D2) = Prob (D1) x Prob (D2/D1) = 15/100 x 14/99 = 21/990
Ejercicios de Probabilidad
1. Explique por qué hay error en cada una de las afirmaciones siguientes:
a) Las probabilidades de que un camionero no sufra accidentes, sufra uno,
dos o más durante el ano, son 0.90; 0.02; 0.09
5/10/2018 Estadistica Inductiva[1]GUIA - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/estadistica-inductiva1guia 41/132
Página 41 de 132
b) Un agente de Bolsa afirma que la probabilidad de que suba el precio de
ciertas acciones es 0.48, de que no cambie el valor es 0.64 y de que baje es
- 0.12
c) Las probabilidades de que haya cero, 1, 2 o 3 días de lluvia la semana
que viene son 0.54; 0.28; 0.14 y 0.04 respectivamente.
2. Un estudiante responde al azar a 4 preguntas de una prueba de verdadero o
falso.
a) Escriba el espacio muestral.
b) Escriba el suceso responder “falso” a una sola pregunta.
c) Escriba el suceso responder “verdadero” al menos a 3 preguntas.
d) Escriba la unión de estos dos sucesos, la intersección y la diferencia del 2º y el 1º.
3. En un conjunto de 100 ítems manufacturados, 7 de ellos son defectuosos. Se saca
un ítem aleatoriamente del conjunto; Cual es la probabilidad de que sea
defectuoso? Resp. 7/100
4. Cuál es la probabilidad de que aparezca un 7 o un 11 si se arrojan un par de
dados regulares? Resp. 2/9
5. Se selecciona un participante de una escuela en la que hay 500 varones y 200hembras; Cual es la probabilidad de que el estudiante elegido sea hembra?
Resp. 2/7
6. Una persona posee un billete de lotería perteneciente a una tira de 150 billetes
que ofrecen un primero, un segundo y un tercer premio. Cuál es la probabilidad de
que ganara a) el primer premio, b) el segundo premio, c) el tercer premio, d) un
premio.
7. Se arroja dos dados. Cuál es la probabilidad de no obtener un doble?
8. Durante una campaña política, la probabilidad de A de ganar es de 2/5 y la de Bes 1/3; Cual es la probabilidad de A o de B de ganar si ambos están en la misma
campaña?
9. Se arroja un dado; Cual es la probabilidad de que aparezca:
(a.) un número par ( b) un número divisible entre 3 (c ) un numero mayor que 4?
5/10/2018 Estadistica Inductiva[1]GUIA - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/estadistica-inductiva1guia 42/132
Página 42 de 132
10. Un dado esta cargado de manera que la probabilidad de salir una cara dada es
proporcional al número de puntos que tiene la cara. Halle la probabilidad de
obtener:
a) Un número menor que tres
b) Un número menor o igual que cuatroc) Un número impar
d) Un número mayor o igual que cuatro
11. Tres contratistas, A, B y C, licitan por la construcción de una nueva escuela. Un
experto cree que A tiene la mitad de la probabilidad que B; B, a su vez, tiene 2/3 de
la probabilidad de C de ganar el contrato. Cuál es la probabilidad para cada uno de
ganar el contrato si las estimaciones del experto son acertadas?
12. Se arrojan juntos dos monedas y un dado. ¿Cual es la probabilidad de que
ambas monedas resulten cara y de que el dado de un numero menor que 3? Resp.
1/12
13. Si yo tengo una cesta llena de peras y manzanas, de las cuales hay 20 peras y 10
manzanas. ¿Qué fruta es más probable que saque al azar de la canasta?
Razone analíticamente en terminos probabilistico su respuesta
14. Se toma un producto al azar, cual es la probabilidad
MAQUINAS
PRODUCTOS A B C TOTAL
Defectuoso 13 12 14 39
No defectuoso 36 34 42 112
TOTAL 49 46 56 151
a.- sea de la maquina B b.- sea defectuoso
c.- sea de la maquina A o C d.- no defectuoso de B
15. Se lanza un dado, si el número obtenido es <= 3 se extrae una bola de la urnanúmero 1 que contiene 4 bolas blancas y 3 rojas; si el número es > 3 se extrae una
bola de la urna urna numero 2 que contiene 2 bolas blancas y 6 rojas. Calcular la
probabilidad de que salga un 5 y que la bola sea roja.
5/10/2018 Estadistica Inductiva[1]GUIA - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/estadistica-inductiva1guia 43/132
Página 43 de 132
16. Una rata es colocada en una caja con tres pulsadores de colores rojo, azul y
blanco. Si pulsa dos veces las palancas al azar:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que las dos veces pulse la roja?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que pulse la primera vez o la segunda o ambas latecla Azul?
a) Para que las dos veces pulse la roja tiene que ocurrir que la primera vez pulse la
roja y la segunda también pulse la roja, es decir que se verifique el suceso (R1
R2). Ahora bien , como ambos sucesos son independientes, la probabilidad de la
intersección es igual al producto de las probabilidades de ambos sucesos. La
probabilidad de estos sucesos se determina mediante la regla de Laplace de casos
favorables (uno), partido por casos posibles (tres) .
P(R1 x R2) = P(R1) · P(R2) = 1/3 · 1/3 = 1/9
b) En este apartado, claramente, nos piden la probabilidad de la unión de los
sucesos pulsar azul la primera vez y pulsar azul la segunda. Ahora bien, estos dos
sucesos no son incompatibles, luego la probabilidad de la unión será igual a la
suma de las probabilidades menos la probabilidad de la intersección. La
probabilidad de la intersección, al igual que en el apartado anterior, se calcula
basándonos en el hecho de que son independientes.
P(A1 x A2) = P(A1) + P(A2) – P(A1 x A2) = 1/3 + 1/3 – 1/9 = 5/9
17. Como todo el mundo sabe, la probabilidad de que en una ruleta salga 10 veces
seguidas el color rojo es muy pequeña. Habiendo salido 9 veces seguidas el rojo,
un jugador apuesta al negro ¿Qué probabilidad tiene de ganar?
Para que el jugador gane tiene que ocurrir la secuencia R1, R2, ..., R9, N10. Como
sabemos ya se ha producido R1, R2, ..., R9. La probabilidad que buscamos será la
probabilidad de que salga negro en el décimo lanzamiento, condicionada por quehaya salido rojo en las nueve anteriores. Por la definición de probabilidad
condicionada:
5/10/2018 Estadistica Inductiva[1]GUIA - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/estadistica-inductiva1guia 44/132
Página 44 de 132
Como vemos el hecho de que previamente haya salido nueve veces rojo no cambiala probabilidad de que salga la décima vez. Esto es así porque cada lanzamiento es
independiente de los restantes. (Nota. En realidad la probabilidad de que salga
rojo o negro en una ruleta no es exactamente 0,5, sino 18/37 ya que además de los
18 números rojos y los 18 negros, existe el cero que no tiene asignado color, pero
este dato no cambia el razonamiento hecho y el resultado sería 18/37)
18. En una asignatura se ha decidido aprobar a aquellos que superen uno de los
dos parciales. Con este criterio aprobó el 80%, sabiendo que el primer parcial losuperó el 60% y el segundo el 50% ¿Cuál hubiese sido el porcentaje de aprobados,
si se hubiese exigido superar ambos parciales?
Sea A1 el suceso aprobar el primer parcial y A2 aprobar el segundo. Los datos del
problema nos dicen que:
P(A1 x A2) = 0,8 P(A1) = 0,6 P(A2) = 0,5
Y se pide la probabilidad de la intersección de ambos sucesos. Como A1 y A2 no
son incompatibles, la probabilidad de la unión será:
P(A1 x A2) = P(A1) + P(A2) – P(A1 x A2)
Despejando tenemos: P(A1 x A2) = P(A1) + P(A2) – P(A1 xA2)
Sustituyendo los valores numéricos: P(A1 x A2) = 0,6 + 0,5 – 0,8 = 0,30
La conclusión es que si se hubiese exigido aprobar los dos parciales el porcentaje
de aprobados hubiese sido del 30%.
19. Se lanza un dado tantas veces como sea necesario hasta que aparezca un tres. Si
suponemos que el tres no aparece en la primera lanzada.
(a) ¿Cuál es la probabilidad que se necesiten más de cuatro lanzadas?
(b) ¿Cuál es la probabilidad de que suceda en la tercera lanzada?
5/10/2018 Estadistica Inductiva[1]GUIA - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/estadistica-inductiva1guia 45/132
Página 45 de 132
Definimos los eventos:
A es el evento que la primera lanzada no es tres.
B es el evento en el que en las primeras cuatro lanzadas no sale tres.
P (B|A) es la probabilidad de que se necesiten más de cuatro lanzadas para que
aparezca tres. si en la primera no sale tres. Debemos calcular
p (B \ A) y p(A).
p(B)= 54/64 p(A)= 5/6
P(B/A) = 53/63
p (B|A) indica la probabilidad de que el tres aparece por primera vez en la terceralanzada sabiendo que no salió en la primera. A \ B = B Puesto que si tres sale por
primera vez en la tercera lanzada entonces la primera lanzada no es tres.
p (B) = 52/63 P(A) = 5 /6 p (B|A) = 5/62
20. Un avión con tres bombas trata de destruir una línea férrea; la probabilidad de
destruir la línea con cualquiera de las bombas es 1/3. ¿Cuál es la probabilidad de qe
la línea quede destruida si el avión emplea las tres bombas?
SoluciónLa probabilidad de que una determinada bomba no haga blanco es : 1 - 1/3 = 2/3
La probabilidad de que ninguna haga blanco, es (2/3) elevado a la 3
Análisis es decir no acierte ni la primera ni la segunda ni la tercera, pues son
sucesos independientes.
La probabilidad de que al menos una haga blanco es 1 - (2/3) elevado a la 3 = 19/27,
ya que son contrarios.
21. Suponga que dos tiradores, A y B, disparan simultáneamente sobre un blancosituado a 1000 metros. Las probabilidades de dar en el blanco son: P(A) = 0.3, P(B)
= 0.4 y P(A y B) = 0.12. ¿Cuál es la probabilidad de que A dé en el blanco, en vista
de que B dio? Resp. 0,30 = 30%
5/10/2018 Estadistica Inductiva[1]GUIA - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/estadistica-inductiva1guia 46/132
Página 46 de 132
4. Distribuciones de Probabilidad.Este tema lo vamos a desarrollar indicando para cada distribución los
valores que toma la variable aleatoria y la función de probabilidad. En
virtud de lo anterior, expresaremos qué se pretende calcular y la fórmula
asociada para calcular la media y la desviación estándar de la variablealeatoria. Recordemos que la varianza es el cuadrado de la desviación
estándar, por lo que dejamos al participante el cálculo de la misma. En
estadística la variable aleatoria puede ser discreta o continua, ya sea que
tome valores enteros o valores reales, por lo tanto habrá que hacer la
distinción en el estudio de las mismas.
4.1. Distribuciones de Probabilidad de variables discretas
Distribución Uniforme DiscretaEs la más simple de todas las distribuciones de probabilidad discreta; donde
la variable aleatoria toma cada uno de sus valores con una probabilidad
idéntica.
Aplicación Experimento Valores o
resulta-
dos
Prob (X = X0)
La variable aleatoria X toma
n valores distintos
Cada valor
tiene la
misma
probabilidad
de ser
seleccionado
X1, X2, X3,
X4, X5, X6,
Xn,
Prob (X = X0) = 1/n
Variable aleatoria XCada valor tiene la misma probabilidad
de ser seleccionado
5/10/2018 Estadistica Inductiva[1]GUIA - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/estadistica-inductiva1guia 47/132
Página 47 de 132
Esperanza o Media μ(X) = ∑ Xi /n
Desviación Est{ndar σ(X) =Raíz de ∑(Xi - μ)2 /n
Distribución de Bernoulli.La distribución de Bernoulli se aplica a una variable aleatoria que puede
tomar solo 2 valores o dicotómicas y que se pueden etiquetar como éxito o
fracaso.
Aplicación Experimento Valores o
resulta-
dos
Probabi-
lidad
Es adecuado en cualquier caso en
que se sienta interés por un
experimento que dé cómo
resultado un evento E o su
opuesto, como éxito y fracaso,
masculino o femenino, positivo o
negativo, etc.
Se repite una
sola vez
1, éxito,
defec -
tuoso
Prob (éxito)
= p
0,
fracaso,
no defec-
tuoso
Prob
(fracaso) = q
= 1-p
Variable aleatoria X Éxito o fracaso
Esperanza o Media μ(X) = p
Desviación Estándar σ(X) = Raíz de [p(1-p)]
Ejemplo: Supongamos que 60% de los empleados de una compañía
favorecen un plan de jubilación propuesto. Se selecciona un empleado
aleatoriamente; Sea X=1 si está a favor del plan y X=0 si está en contra. La
5/10/2018 Estadistica Inductiva[1]GUIA - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/estadistica-inductiva1guia 48/132
Página 48 de 132
probabilidad de estar a favor del plan es p = 0.60 o de estar en contra del
plan es (1-p) = 0.40; la esperanza es 0.60 y la desviación estándar es 0.4
Distribución BinomialEsta distribución puede considerarse como una serie de pruebas repetidas e
independientes de Bernoulli. Debe cumplir estas condiciones:
- Se repite un experimento sencillo un número de veces, y sus resultados
son independientes
- Los resultados de cada prueba pueden clasificarse en dos categorías
mutuamente excluyentes, arbitrariamente llamadas Éxitos y Fracasos
- La probabilidad de éxito en una sola prueba, se representa por p y esinvariable en todas las pruebas. La probabilidad de fracaso en una sola
prueba, se representa por q = 1-p
- En una prueba determinada, la atención se centra en el número de éxitos
que ocurrieron o no y es la variable aleatoria a estudiar.
- Se realiza el experimento en las mismas condiciones un número fijo de
pruebas, digamos n, o tamaño de la muestra.
Aplicación Experi-mento
Valores oresultados
Prob (X = X0)
Es adecuado en cualquier caso
en que se sienta interés por el
número de éxitos (1) obtenidos
después de realizar n ensayos
de Bernoulli
Se repite
n veces
0, 1, 2, 3,
..n. La
variable
toma n+1
valores
b(x,n,p) =(nx) px
(1-p)n-x
Variable aleatoria XNumero de éxitos en n ensayos con
reemplazamiento
5/10/2018 Estadistica Inductiva[1]GUIA - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/estadistica-inductiva1guia 49/132
Página 49 de 132
Esperanza o Media μ(X) = np
Desviación Est{ndar σ(X) = Raíz de [np(1-p)]
Ejemplo 1: Se arroja una moneda 10 veces; Cual es la probabilidad de
obtener 8 caras o más? Calcular la media y la desviación estándar.
Resp. Habrá que calcular para 8, 9 y10 caras que son los éxitos y sumarse
los resultados de las probabilidades obtenidas.
La media es igual a 5 y la desviación estándar es igual a 1.58
Mas sobre la DISTRIBUCION BINOMIAL
Supongamos que un experimento aleatorio tiene las siguientes características:
En cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados: el
suceso A (éxito) y su contrario Ac (fracaso).
El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los
resultados obtenidos anteriormente. La probabilidad del suceso A es constante, la representamos por p , y
no varía de una prueba a otra. La probabilidad de Ac es 1- p y la
representamos por q .
El experimento consta de un número n de pruebas.
X (nx) px (1-p)n-x Prob (X = X0)
8 45 0.003906 0.250000 0.043943
9 10 0.001953 0.500000 0.009765
10 1 0.000977 1.000000 0.000977
Total 0.054685
5/10/2018 Estadistica Inductiva[1]GUIA - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/estadistica-inductiva1guia 50/132
Página 50 de 132
Las características de esta distribución son:
a) En los experimentos que tienen este tipo de distribución, siempre se
esperan dos tipos de resultados, ejem. Defectuoso, no defectuoso, pasa, no
pasa, etc, etc., denominados arbitrariamente “éxito” (que es lo que se esperaque ocurra) o “fracaso” (lo contrario del éxito).
b) Las probabilidades asociadas a cada uno de estos resultados son
constantes, es decir no cambian.
c) Cada uno de los ensayos o repeticiones del experimento son
independientes entre sí.
Todo experimento que tenga estas características diremos que sigue el modelo de
la distribución Binomial. A la variable X que expresa el número de éxitos obtenidos
en cada prueba del experimento, la llamaremos variable aleatoria binomial.
La variable binomial es una variable aleatoria discreta , sólo puede tomar los valores
0, 1, 2, 3, 4, ..., n suponiendo que se han realizado n pruebas. Como hay que
considerar todas las maneras posibles de obtener k-éxitos y (n-k) fracasos
debemos calcular éstas por combinaciones (número combinatorio n sobre k).
La distribución Binomial se suele representar por B(n,p,x) siendo n y p los
parámetros de dicha distribución y x los valores que toma la variable.
Función de Probabilidad de la v.a. Binomial
Función de probabilidad de la distribución Binomial o también denominada función de la
distribución de Bernoulli (para n=1).
Como el cálculo de estas probabilidades puede resultar algo tedioso se han
construido tablas para algunos valores de n y p que nos facilitan el trabajo.
5/10/2018 Estadistica Inductiva[1]GUIA - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/estadistica-inductiva1guia 51/132
Página 51 de 132
Parámetros de la Distribución Binomial
Función de Distribución de la v.a. Binomial
siendo k el mayor número entero menor o igual a xi
.
Esta función de distribución proporciona, para cada número real xi , la probabilidad
de que la variable X tome valores menores o iguales que xi.
Sea X una variable aleatoria discreta correspondiente a una distribución binomial.
Ejemplo 2:
Se lanza al aire una moneda normal 3 veces, determine la probabilidad de que
aparezcan 2 caras.
Antes de empezar a resolver este problema, lo primero que hay que hacer es
identificarlo como un problema que tiene una distribución binomial, y
podemos decir que efectivamente así es, ya que se trata de un experimento en
donde solo se pueden esperar dos tipos de resultados al lanzar la moneda, cara
o sello, cuyas probabilidades de ocurrencia son constantes, cada uno de los
lanzamientos es independiente de los demás y el número de ensayos o
repeticiones del experimento son constantes, n = 3.
5/10/2018 Estadistica Inductiva[1]GUIA - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/estadistica-inductiva1guia 52/132
Página 52 de 132
Luego la fórmula de la distribución Binomial sería:
donde:
p(x, n, p) = probabilidad de obtener en n ensayos x éxitos, cuando la probabilidad
de éxito es p
Dando solución al problema del ejemplo tenemos lo siguiente:
n = 3, x = 2, p = ½
Ejemplo 3:
Se dice que el 75% de los accidentes de una planta se atribuyen a errores
humanos. Si en un período de tiempo dado, se suscitan 5 accidentes,
determine la probabilidad de que; a) dos de los accidentes se atribuyan a
errores humanos, b) como máximo 1 de los accidentes se atribuya a errores
de tipo humano, c) tres de los accidentes no se atribuyan a errores
humanos.
Solución:
a) n = 5
x = variable que nos define el número de accidentes debidos a errores humanos
x = 0, 1, 2,...,5 accidentes debidos a errores de tipo humano
p = p(éxito) = p(un accidente se deba a errores humanos) = 0.75
q = p(fracaso) = p(un accidente no se deba a errores humanos) = 1-p = 0.25
b)
xn x
xnn q pC ) p , x ,n( p
8
3
8
13
2
1
4
1
12
321212123
232
23
***!!
!) / () / (C ) / p , x ,n( p
0878900156250562501025075075052252
25.).)(.)(().().(C ). p ,n , x( p
050
0525075010750510 ).().(C ) x( p) x( p). p ,n , , x( p
5/10/2018 Estadistica Inductiva[1]GUIA - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/estadistica-inductiva1guia 53/132
Página 53 de 132
c) En este caso cambiaremos el valor de p;
n =5
x = variable que nos define el número de accidentes que no se deben a
errores de tipo humano
x = 0, 1, 2,...,5 accidentes debidos a errores humanos
p = p(probabilidad de que un accidente no se deba a errores humanos) =
0.25
q = p(probabilidad de que un accidente se deba a errores humanos) = 1-p
= 0.75
Distribución HipergeométricaLa manera más simple de ver la diferencia con la distribución binomial está
en la forma en que se realiza el muestreo. La variable aleatoria es el número de
observaciones que caen en una categoría particular como éxito y fracaso. En el caso
de la binomial, se requiere la independencia entre las pruebas porque el muestreo
es con reemplazo de cada artículo después de que se observe; la distribución
Hipergeométrica no requiere independencia y se basa en el muestreo sin
reemplazo.
Aplicación Experi-
mento
Valores o
resultados
Prob (X = X0)
Es adecuado en cualquier caso
en que se sienta interés enseleccionar x éxitos de los k
artículos considerados como
éxitos y n-x fracasos de los
N –k artículos que se
Se repite
n veces
0, 1, 2, 3,
..n. Lavariable
toma n+1
valores
h(x,N,n,k)
=(kx) (N-kn-x)/(Nn)
015624001464800009760250750151
15...).().(C
5/10/2018 Estadistica Inductiva[1]GUIA - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/estadistica-inductiva1guia 54/132
Página 54 de 132
consideran como fracasos
cuando se selecciona una
muestra aleatoria de tamaño n
de N artículos. Sin
reemplazamiento.
Variable aleatoria XNumero de éxitos en n ensayos sin
reemplazamiento
Esperanza o Media μ(X) = nk/N
Desviación Estándar σ(X) = Raíz de {[(N-n)/(N-1)](1-k/N)nk/N}
Ejemplo: Lotes de 40 componentes cada uno se denominan aceptables si no
contienen más de 3 defectuosos. El procedimiento para muestrear el lote es la
selección de 5 componentes al azar y rechazar el lote si se encuentra un
componente defectuoso. Cuál es la probabilidad de que se encuentre exactamente
un defectuoso en la muestra si hay 3 defectuosos en todo el lote? Encuentre la
media y la desviación estándar de la variable aleatoria del ejemplo.
Solución:
N = 40 (Tamaño de la población) n = 5 (Tamaño de la muestra)
k = 3 (defectuosos en la población) x = 1 (defectuosos en la muestra)
h(x,N,n,k) = (kx) (N-kn-x)/(Nn) = h(1,40,5,3) = (31) (40-35-1)/(405) = 0.3011
La media es igual a nk/N = 5*3/40 = 0.3750
La desviación estándar es igual a Raíz de {[(N-n)/(N-1)](1-k/N)nk/N}
= Raíz {[(40-5)/(40-1)](1-3/40)5*3/40} = Raíz (0.3113) = 0.5579
5/10/2018 Estadistica Inductiva[1]GUIA - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/estadistica-inductiva1guia 55/132
Página 55 de 132
Distribución MultinomialEl experimento binomial se convierte en experimento Multinomial si cada prueba
tiene más de dos resultados posibles. En general, si una prueba dada puede tener
como consecuencia de los k resultados posibles E1 , E2 ,..Ek con probabilidades
p1 , p2 , .pk entonces la distribución Multinomial dará la probabilidad de queE1 ocurra x1veces, E2 ocurra x2 veces .y Ek ocurra xk veces en n pruebas
independientes, donde x1 + x2 + ..xk = n
Aplicación Experi-
mento
Valores o
resultados
Prob (X = X0)
Es adecuado en cualquier casoen que se tenga más de dos
resultados posibles con
reemplazamiento.
Denotaremos esta distribución
de probabilidad conjunta
como
Se repiten veces 0, 1, 2, 3,..n. La
variable
toma n+1
valores
h(x1
, x2
,.. xk,,
p1
,p2 ,.. pk , n)
=(n x1 , x2 ,.. xk) p1x1
p2x2.. pkxk = [n!/( x1
! x2 !.. xk !)] p1x1
p2x2.. pkxk
Ejemplo: Si se lanza seis veces un par de dados. Cuál es la probabilidad de obtener
un total de 7 u 11 dos veces, un par igual una vez y cualquiera otra combinación
tres veces?
Solución: Listamos los siguientes eventos posibles,
E1 : Ocurre un total de 7 u 11 Prob (E1) = 8/36 = 2/9
E2 :Ocurre un par igual Prob (E2) = 6/36 = 1/6
E3 : Cualquier otra combinación Prob (E3) = 22/36 = 11/18
Suma 1 2 3 4 5 6
1 2 7
5/10/2018 Estadistica Inductiva[1]GUIA - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/estadistica-inductiva1guia 56/132
Página 56 de 132
2 4 7
3 6 7
4 7 8
5 7 10 11
6 7 11 12
h(x1 , x2 ,.. xk,, p1 , p2 ,.. pk , n) =(n x1 , x2 ,.. xk) p1x1 p2x2.. pkxk = [n!/( x1 ! x2 !.. xk !)] p1x1 p2x2..
pkxk = h(2,1,3, , 2/9, 1/6,11/18 , 6) =(6 2 ,1 ,3)( 2/9)2 (1/6)1(11/18)3 = [6!/( 2 ! 1! 3! )( 2/9)2
(1/6)1(11/18)3 = 0.1127
Distribución Geométrica
Variable aleatoria XNumero de ensayos requeridos hasta
alcanzar el primer éxitoEsperanza o Media μ(X) = 1/p
Desviación Est{ndar σ(X) =( 1/p)Raíz de (1-p)
Aplicación Experimento Valores o
resulta-
dos
Prob (X = X0)
Se relaciona con una secuencia
de ensayos de Bernoulli, de
hecho la variable aleatoria de
interes denotada por X es el
numero de ensayos requeridos
para alcanzar el primer éxito.
El numero de
experimentos
o ensayos no
es fijo
1, 2, 3,
..
Prob (X = X0)
=(1-p)(x-1)p
5/10/2018 Estadistica Inductiva[1]GUIA - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/estadistica-inductiva1guia 57/132
Página 57 de 132
Distribución de Pascal o Binomial Negativa
Aplicación Experimento Valores o
resulta-dos
Prob (X = X0)
Se relaciona con una
secuencia de ensayos de
Bernoulli y es una extensión
lógica de la distribución
geométrica, de hecho la
variable aleatoria de interes
denotada por X es elnúmero de ensayos
requeridos para alcanzar el
r-esimo éxito.
El numero
de
experimen-
tos o
ensayos no
es fijo
r, r+1, r+2,
r+3,
Prob (X = X0) =
(x-1r-1)(1-p)(x-r)pr
Variable aleatoria XNumero de ensayos requeridos hasta
alcanzar el r-esimo éxito
Esperanza o Media μ(X) = r/p
Desviación Est{ndar σ(X) =( 1/p)Raíz de [r(1-p)]
Distribución de PoissonLos experimentos que dan valores numéricos a una variable aleatoria X, el
número de resultados que ocurren durante un intervalo dado o en una regiónespecifica, se llaman experimentos de Poisson. El intervalo dado puede ser de
cualquier longitud como un minuto, un día, una semana, un mes e incluso un año.
Debe cumplirse estas condiciones:
5/10/2018 Estadistica Inductiva[1]GUIA - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/estadistica-inductiva1guia 58/132
Página 58 de 132
- El número de resultados que ocurren en un intervalo o región específica
es independiente del número que ocurre en cualquier otro intervalo o
región del espacio disjunto.
- La probabilidad de que ocurra un solo resultado durante un intervalomuy corto o en una región pequeña es proporcional a la longitud del
intervalo o al tamaño de la región y no depende del número de
resultados que ocurran fuera de ese intervalo o región.
- La probabilidad de que ocurran más de un resultado en tal intervalo
corto o que caiga en tal región pequeña es insignificante.
Aplicación Experi-
mento
Valores o
resultados
Prob (X = X0)
Es adecuado en cualquier caso
en que se sienta interés por el
número de resultados o
registros por unidad de tiempo
o espacio.
Se fija
un
tiempo o
espacio
para
medir la
frecuenc
ia.
0, 1, 2, 3,
..
Donde λ es
el número
promedio de
resultados
por unidad y
e = 2.71828..
p(x,λt) =
(e-λt)( λt)X /X!
Variable aleatoria X
Numero de resultados que ocurren en un
intervalo dado o región especifica que se
denota por t
Esperanza o Media μ(X) = λt
Desviación Est{ndar σ(X) =Raíz de λt
5/10/2018 Estadistica Inductiva[1]GUIA - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/estadistica-inductiva1guia 59/132
Página 59 de 132
Mas sobre la DISTRIBUCION DE POISSON
Se dice que existe un proceso de Poisson si podemos observar eventos discretos en
un área de oportunidad – un intervalo continuo (de tiempo , longitud, superficie,
etc.) – de tal manera que si se reduce lo suficiente el área de oportunidad o elintervalo,
1. La probabilidad de observar exactamente un éxito en el intervalo es
constante.
2. La probabilidad de obtener más de un éxito en el intervalo es 0.
3. La probabilidad de observar un éxito en cualquier intervalo es
estadísticamente independiente de la de cualquier otro intervalo.
Para determinar la probabilidad de que ocurran x éxitos por unidad de tiempo,área, o producto, la fórmula a utilizar sería:
donde:
p(x , ) = probabilidad de que ocurran x éxitos, cuando el número promedio de
ocurrencia de ellos es
= media o promedio de éxitos por unidad de tiempo, área o producto
= 2.718
x = variable que denota el número de éxitos que se desea que ocurra
Hay que hacer notar que en esta distribución el número de éxitos que ocurren por
unidad de tiempo, área o producto es totalmente al azar y que cada intervalo de
tiempo es independiente de otro intervalo dado, así como cada área es
independiente de otra área dada y cada producto es independiente de otro
producto dado.
Esta distribución se aplica en situaciones como:
El numero de pacientes que llegan al servicio de emergencia de un hospital
en un intervalo de tiempo.
! x) , x( p
x
5/10/2018 Estadistica Inductiva[1]GUIA - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/estadistica-inductiva1guia 60/132
Página 60 de 132
El numero de radiaciones radiactivas que se recibe en un lapso de tiempo,
El numero de glóbulos blancos que se cuentan en una muestra dada.
El numero de partos triples por año
# de defectos de una tela por m2
# de aviones que aterrizan en un aeropuerto por día, hora, minuto, etc, etc.
# de bacterias por cm2 de cultivo
# de llamadas telefónicas a un conmutador por hora, minuto, etc, etc.
# de llegadas de embarcaciones a un puerto por día, mes, etc, etc.
Su utilidad en el área de la salud es muy amplia.
La expresión matemática para la distribución de Poisson para obtener X éxitos,
dado que se esperan λ éxitos es:
Donde: P(X) = probabilidad de X éxitos dado el valor de λ
λ = esperanza del número de éxitos.
e = constante matemática, con valor aproximado 2.711828
X = número de éxitos por unidad
La distribución de Poisson se considera una buena aproximación a la distribución
binomial, en el caso que np < 5 y p < 0.1 ó n > 100 y p < 0.05 y en ese caso λ = np. El
interés por sustituir la distribución Binomial por una distribución de Poisson se
debe a que esta ultima depende únicamente de un solo par{metro, λ , y la binomialde dos, n y p.
Ejemplo 1:
5/10/2018 Estadistica Inductiva[1]GUIA - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/estadistica-inductiva1guia 61/132
Página 61 de 132
Si un banco recibe en promedio 6 cheques sin fondo por día, ¿cuáles son las
probabilidades de que reciba, a) cuatro cheques sin fondo en un día dado, b)
10 cheques sin fondos en cualquiera de dos días consecutivos?
Solución:
a) a) x = variable que nos define el número de cheques sin fondo que
llegan al banco en un día cualquiera = 0, 1, 2, 3, ....., etc, etc.
= 6 cheques sin fondo por día
= 2.718
b) x= variable que nos define el número de cheques sin fondo que llegan
al banco en dos días consecutivos = 0, 1, 2, 3, ......, etc., etc.
= 6 x 2 = 12 cheques sin fondo en promedio que llegan al banco en dos
días consecutivos
Nota: siempre debe estar en función de x o dicho de otra forma, debe
“hablar” de lo mismo que x.
Ejercicios de Distribuciones de Probabilidad de variables discretas.
1. En cierto distrito de la ciudad la necesidad de dinero para comprar drogas se
establece como la razón del 75% de los robos. Encuentre la probabilidad de entre
los siguientes 5 casos de robo que se reporten en ese distrito,
a) Exactamente 2 resulten de la necesidad de dinero para comprar drogas.
b) Al menos 3 resulten de la necesidad de dinero para comprar drogas.
2. Un prominente medico afirma que 70% de las personas con cáncer de pulmón
son fumadores empedernidos. Si su aseveración es correcta:
13392024
0024801296
4
7182664
64
.).)((
!
).()() , x( p
10495303628800
00000615101019173646
10
7182121210
1210
.).)(.(
!
).()() , x( p
5/10/2018 Estadistica Inductiva[1]GUIA - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/estadistica-inductiva1guia 62/132
Página 62 de 132
a) Encuentre la probabilidad de que 10 de tales pacientes admitidos
recientemente en un hospital, menos de la mitad sean fumadores
empedernidos.
3. Al probar cierta clase de neumáticos para camión en un terreno escabroso, se
encuentra que 25% de los camiones no completaban la prueba sin espichaduras. Delos siguientes 15 camiones probados, encuentre la probabilidad de que:
a) De 3 a 6 tengan problemas.
b) Menos de 4 tengan problemas
c) Más de 5 tengan problemas.
4. Se sabe que el porcentaje de victorias del equipo de beisbol de su preferencia
pasara a las finales de esta temporada fue 62.5%, es decir tuvo que ganar 10 de 16
juegos.
a) Cuál es la probabilidad de que sean campeones?5. Cuál es la probabilidad de que un mesonero de un bar se rehuse a servir bebidas
alcohólicas a solo 2 menores si verifica al azar las identificaciones de 5 estudiantes
de entre 9 estudiantes de los cuales 4 no tienen la edad legal?
6. El estudio de un inventario determina que, en promedio, las demandas de un
artículo en particular en un almacén se realizan 5 veces al día. Cuál es la
probabilidad de que en un día dado se pida este artículo:
a) Más de 5 veces
b) Ninguna vezc) Exactamente 2 veces
d) Menos de 2 veces
7. Las llamadas de servicio llegan a un centro de mantenimiento de acuerdo con un
proceso de POISSON con un promedio de 2.7 llamadas por minutos. Encuentre la
probabilidad de que:
a) Lleguen no más de 4 llamadas en cualquier minuto
b) Lleguen menos de 2 llamadas en cualquier minuto
c) Lleguen más de 10 llamadas en un periodo de 5 minutos
8. Se dice que el 75% de los accidentes de una planta se atribuyen a errores
humanos. Si en un período de tiempo dado, se suscitan 5 accidentes, determine la
probabilidad de que:
5/10/2018 Estadistica Inductiva[1]GUIA - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/estadistica-inductiva1guia 63/132
Página 63 de 132
a) dos de los accidentes se atribuyan a errores humanos
b) como máximo 1 de los accidentes se atribuya a errores de tipo humano
Resp. 0,08789 0,01464
9. Si un banco recibe en promedio 6 cheques sin fondo por día, ¿cuáles son las
probabilidades de que reciba, a) cuatro cheques sin fondo en un día dado, b) 10
cheques sin fondos en cualquiera de dos días consecutivos?
Resp. 0,13385 0,04130
10. Cuál es la probabilidad de obtener un total de nueve al lanzar dos dados seis
veces. A) Dos veces b) Al menos dos veces
11. Calcular la probabilidad de que una familia de cuatro hijos tres de ellos seanVarones.
Resp.
12. El número de pacientes que llega a un hospital sigue una distribución de
Poisson. Si el número promedio es de 120 por hora, ¿cuál es la probabilidad de que
en un minuto lleguen por lo menos 3 pacientes? Resp. 0,3233
13. Diez por 100 de los radios producidos en la compañía A son defectuosos. Si se
extrae una muestra aleatoria de 5 ítems del total de cierto dia de producción (que
es más de 100,000 unidades), ¿Cuál es la probabilidad de que haya: a) 0
defectuosos, b) 5 defectuosos, y c) por lo menos 3 defectuosos en la muestra?
14. Ocurren diversos accidentes en forma aleatoria en cierta carretera, a un
promedio de 20 por mes. ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra al menos un
accidente en un intervalo dado de 15 dias? Resp.
15. La última novela de un autor ha tenido un gran éxito, hasta el punto de que el
80% de los lectores ya la han leido. Un grupo de 4 amigos son aficionados a la
lectura:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que en el grupo hayan leido la novela 2 personas?
b) ¿ al menos 2?
5/10/2018 Estadistica Inductiva[1]GUIA - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/estadistica-inductiva1guia 64/132
Página 64 de 132
16. Un agente de seguros vende pólizas a cinco personas de la misma edad y que
disfrutan de buena salud. Según las tablas actuales, la probabilidad de que una
persona en estas condiciones viva 30 años o más es 2/3. Hállese la probabilidad de
que, transcurridos 30 años, vivan:
a) Las cinco personas.
b) Al menos tres personas.
c) Exactamente dos personas.
17. Si de seis a siete de la tarde se admite que un número de teléfono de cada cinco
está comunicando, ¿cuál es la probabilidad de que, cuando se marquen 10 números
de teléfono elegidos al azar, sólo comuniquen dos?
18. La probabilidad de que un hombre acierte en el blanco es 1/4. Si dispara 10
veces ¿cuál es la probabilidad de que acierte exactamente en tres ocasiones? ¿Cuál
es la probabilidad de que acierte por lo menos en una ocasión?
19. La producción de televisores en SAMSUNG trae asociada una probabilidad de
defecto del 2%, si se toma un lote o muestra de 85 televisores , obtener la
probabilidad de que existan 4 televisores con defectos. Resp. 0,0635746
20. En una jaula con 100 pericos 15 de ellos hablan ruso calcular la probabilidad de
que si tomamos 20 pericos al azar 3 de ellos hablen ruso. Resp. 0,2240418
21. Se calcula que en la ciudad el 20% de las personas tienen defecto de la vista si
tomamos una muestra de 50 personas al azar ¿ Calcular la probabilidad de que 10
de ellos tengan defecto en la vista. Resp. 0,12511
22. Una máquina fabrica una determinada pieza y se sabe que produce un 7 por
1000 de piezas defectuosas. Hallar la probabilidad de que al examinar 50 piezas
sólo haya una defectuosa. Resp.
23. La probabilidad de éxito de una determinada vacuna es 0,72. Calcula la
probabilidad de a que una vez administrada a 15 pacientes:
a) Ninguno sufra la enfermedad
5/10/2018 Estadistica Inductiva[1]GUIA - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/estadistica-inductiva1guia 65/132
Página 65 de 132
b) Todos sufran la enfermedad
c) Dos de ellos contraigan la enfermedad
24. La probabilidad de que un alumno de primer año de bachillerato repita el
curso es de 0,3, elegimos 20 alumnos al azar, Cual es la probabilidad de que hayaexactamente 4 alumnos repetidores?
25. En una fábrica de partes de automóviles se sabe que de los productos
elaborados el 12% tienen algún defecto, se toma una muestra al azar de 20 piezas,
cual es la probabilidad de: a) Exactamente tres defectuosos b) Ninguno defectuoso
c) Menos de cinco defectuosos d) Como mínimo cuatro no defectuosos
e) Valor esperado de no defectuoso f) Varianza g) Riesgo
26. Un transportista de pasajeros se tarda en recorrer de Caracas a Valencia tres (3)horas, si reduce la velocidad, sugerencia de los pasajeros y por algunos
inconvenientes en la autopista regional del centro (ARC), ¿cuál es la probabilidad
que tarde cuatro (4) horas? Resp. 0,1680
27. La probabilidad de que un estudiante nuevo se gradué es 0,4. Determinar la
probabilidad de que 5 estudiantes nuevos a) ninguno, b) uno, c) al menos uno se
gradué.
Resp. 0,08 0,26 0,92
28. Un 10% de los utensilios producidos en un cierto proceso de fabricación resulta
ser defectuoso. Hallar la probabilidad de que de una muestra de 10 utensilios
elegidos al azar sean exactamente 2 los defectuosos mediante (a) la distribución
binomial, (b) la aproximación de Poisson a la distribución binomial.
29. Si un 10 % de los remaches producidos por una maquina son defectuosos. Cual
es la probabilidad de que de 5 remaches elegidos al azar:
a) Ninguno sea defectuoso
b) Uno sea defectuoso
c) Al menos 4 sean defectuosos
5/10/2018 Estadistica Inductiva[1]GUIA - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/estadistica-inductiva1guia 66/132
Página 66 de 132
d) Menos de 2 sean defectuosos
30. Se sabe de que la probabilidad de que en una intersección de vías de tránsito
ocurra un accidente es p = 0,001. ¿Cuál será la probabilidad de que por cada 2.000vehículos ocurran exactamente dos o más accidentes?
31. La probabilidad de que un jugador de golf haga hoyo en un lanzamiento a una
cierta distancia es 0,3. Si lo intenta 5 veces, calcular la probabilidad de que:
a) no acierte ninguna
b) b) acierte alguna
c) c) acierte 2.
4.2. Distribuciones de Probabilidad de variables continuas.
Distribución Uniforme ContinuaEs una de las distribuciones continuas más simples de la estadística. Esta
distribución se caracteriza por una función de densidad que es “plana”, y por ello
la probabilidad es uniforme en un intervalo cerrado, digamos [a,b]. Aunque las
aplicaciones de esta distribución continua no son muy abundantes, es apropiado
para el principiante comenzar esta introducción a las distribuciones continuas conla distribución uniforme.
Aplicación Experi-
mento
Valores o
resultados
Prob (X = X0)
Esta densidad surge de un
modo natural en la selección
aleatoria de números. Si X =
numero seleccionadoaleatoriamente entre 0 y 1,
entonces la densidad de
probabilidad de X es plana
sobre el intervalo [0,1]: ningún
Selección
aleatoria
de
números.
Valores
comprendi
do en el
intervalo.
f(x; a,b) = 1/(b-a)
para a<=X<=b
= 0 en cualquierotro caso
5/10/2018 Estadistica Inductiva[1]GUIA - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/estadistica-inductiva1guia 67/132
Página 67 de 132
número tiene una
probabilidad más alta que
otro.
Variable aleatoria XCualquier valor en el intervalo cerrado
[a,b]
Esperanza o Media μ(X) = (a +b) / 2
Desviación Est{ndar σ(X) =Raíz de [ (b – a)2
/ 12 ]
Se debe recalcar que la función de densidad forma un rectángulo con base
(b-a) y altura constante 1/(b-a). Como resultado, la distribución uniforme a
menudo se llama Distribución Rectangular.
Ejemplo Suponga que se puede reservar una sala de conferencia grande para
cierta compañía por no más de 4 horas. Sin embargo, el uso de la sala de
conferencia es tal que muy a menudo tienen lugar conferencias largas y cortas. Dehecho, se puede suponer que la duración X de una conferencia tiene una
distribución uniforme en el intervalo [0 , 4]
a) Cuál es la función de densidad?
b) Cuál es la probabilidad de que cualquier conferencia dada dure al menos 3
horas?
c) Cuál es la duración promedio y la desviación estándar?
Respuesta: el intervalo [a , b] es [0 , 4]
a) f(x; a,b) = 1/(4)
b) Prob *X >= 3 = ∫ 3 4 (1/4) dx = ¼
5/10/2018 Estadistica Inductiva[1]GUIA - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/estadistica-inductiva1guia 68/132
Página 68 de 132
c) μ(X) = (a +b) / 2= 2 σ(X) = Raíz de [ (b – a)2 / 12 ]= 1.15
Distribución Exponencial
Distribución de Gamma
Distribución de Weibull
Distribución Normal o de Gauss
Es la distribución continua de probabilidad más importante en todo el campo de la
estadística. Su gráfica se denomina curva normal y tiene forma de campana. La
ecuación matemática para la distribución de probabilidad de la variable normal
depende de 2 parámetros μ , la media y σ , la desviación estándar. De aquí,
denotamos a esta distribución a menudo denominada gaussiana con N(X; μ , σ)
Aplicación Experi-mento Valores o
resultado
s
Prob (X = X0)
Esta función de densidad es
aplicable a mucho fenómenos
que ocurren en la naturaleza,
la industria, la educación, la
economía, finanzas, análisis
de mercado, investigación,
etc. basado en la suposición
de que la población es normal
Es la distribución
limite de todas las
distribuciones
Valores
compren
dido
entre -∞,
∞
N(X; μ , σ)
= 1/raíz(2∏ σ) * e-
(1/2)[(x- u)/ σ]2
para -∞ <=X<= ∞
donde ∏ =
3.14159 y e =
2.71828
5/10/2018 Estadistica Inductiva[1]GUIA - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/estadistica-inductiva1guia 69/132
Página 69 de 132
Variable aleatoria XCualquier valor en el intervalo de –
menos infinito a infinito
Esperanza o Media μ(X) = la media μ
Desviación Est{ndar σ(X) =la Desviación est{ndar σ
Una vez que se especifican μ y σ la curva normal queda determinada por
completo. A continuación listamos las siguientes propiedades de la curva normal;
a) La moda, que es el punto sobre el eje horizontal donde la curva es un
máximo, ocurre en X = μ
b) La curva es simétrica respecto de un eje vertical a través de la media μ
c) La curva tiene sus puntos de inflexión en X = μ +- σ , es cóncava hacia abajo
si μ – σ < X < μ + σ , y es cóncava hacia arriba en cualquier otro punto
d) La curva normal se aproxima al eje horizontal de manera asintótica
conforme nos alejamos de la media en cualquier dirección
e) El área total bajo la curva y sobre el eje horizontal es igual a 1
La distribución de una variable aleatoria normal con media 0 y desviación estándar
1 se denomina Distribución Normal Estándar y se denota como N(X; 0, 1)
Cualquier variable aleatoria normal X se puede transformar en una variable
aleatoria normal tipificada o estandarizada Z sustrayendo el valor esperado μ y
dividiendo el resultado entre la desviación estándar σ. De aquí tenemos que
Z = ( X - μ ) / σ
Mas sobre la DISTRIBUCION DE NORMAL
Esta distribución es frecuentemente utilizada en las aplicaciones estadísticas. Su
propio nombre indica su extendida utilización, justificada por la frecuencia o
normalidad con la que ciertos fenómenos tienden a parecerse en su
5/10/2018 Estadistica Inductiva[1]GUIA - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/estadistica-inductiva1guia 70/132
Página 70 de 132
comportamiento a esta distribución.
Muchas variables aleatorias continuas presentan una función de densidad cuya
gráfica tiene forma de campana.
En otras ocasiones, al considerar distribuciones binomiales, tipo B(n,p), para un
mismo valor de p y valores de n cada vez mayores, se ve que sus polígonos defrecuencias se aproximan a una curva en "forma de campana".
En resumen, la importancia de la distribución normal se debe principalmente a que
hay muchas variables asociadas a fenómenos naturales que siguen el modelo de la
normal.
Caracteres morfológicos de individuos (personas, animales, plantas,) de
una especie, p. ejm. Tallas, pesos, envergaduras, di{metros, perímetros
Caracteres fisiológicos, por ejemplo; efecto de una misma dosis de unfármaco, o de una misma cantidad de abono.
Caracteres sociológicos, por ejemplo: consumo de cierto producto por un
mismo grupo de individuos, puntuaciones de examen.
Caracteres psicológicos, por ejemplo: cociente intelectual, grado de
adaptación a un medio
Errores cometidos al medir ciertas magnitudes.
Valores estadísticos muestrales, por ejemplo: la media.
Otras distribuciones como la binomial o la de Poisson son aproximaciones
normales
Una distribución normal con media μ y desviación típica σ se designa por N(μ, σ).
Su gráfica es la campana de Gauss:
El área del recinto determinado por la función y el eje de abscisas es igual a la
unidad.
5/10/2018 Estadistica Inductiva[1]GUIA - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/estadistica-inductiva1guia 71/132
Página 71 de 132
Al ser simétrica respecto al eje que pasa por x = µ, deja un área igual a 0.5 a la
izquierda y otra igual a 0.5 a la derecha.
La probabilidad equivale al área encerrada bajo la curva.
Distribución Normal Estándar N(0, 1)
La distribución normal estándar, o tipificada o reducida, es aquella que tiene por
media el valor cero, μ =0 , y por desviación típica la unidad, σ =1.
La probabilidad de la variable X dependerá del área del recinto sombreado en la
figura. Y para calcularla utilizaremos una tabla.
Tipificación de la variable
Para poder utilizar la tabla tenemos que transformar la variable X que sigue una
distribución N(μ, σ) en otra variable Z que siga una distribución N(0, 1).
DISTRIBUCIÓN NORMAL.
Características:
a) Es generada por una variable de tipo continuo, denominada x;
- x
b) La función que nos define esta distribución es:
5/10/2018 Estadistica Inductiva[1]GUIA - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/estadistica-inductiva1guia 72/132
Página 72 de 132
- x
Al dar a la función los valores de , 2 y valores a x, obtendremos ladistribución en cuestión, la que tiene forma de campana, por lo que
también se le conoce como campana de Gauss. Hay un número
infinito de funciones de densidad Normal, una para cada
combinación de y . La media mide la ubicación de la
distribución y la desviación estándar mide su dispersión.
c) Es simétrica con respecto a su eje vertical.
d) Es asintótica con respecto a su eje horizontal; esto quiere decir que jamás va atocar el eje de las equis.
e) El área total bajo la curva es 1.
f) Sí sumamos a , se observará que aproximadamente el 68.26% de los
datos se encuentran bajo la curva; si sumamos a 2 , el 95.44% de los datos
estará entre esos límites y si sumamos a 3 , entonces el 99.74% de los datos
caerá dentro de esos límites.
Esta característica es a la vez una forma empírica y rápida de demostrar si los datosque se analizan tienen una distribución Normal; ya que para trabajar los datos con
esta distribución, debe verificarse que efectivamente así se distribuyen, ya que de
no hacerlo, las decisiones que en un momento dado se tomaran de un análisis de
los datos con la distribución Normal, serían erróneas.
Cálculo de probabilidades con la distribución Normal.Para calcular lo más lógico es que la función f(x, , 2), se integre entre
los límites de la variable x; esto es,
2222
2
1
/ ) x() , , x( f
b
a
dx) , , x( f )b xa( p2
5/10/2018 Estadistica Inductiva[1]GUIA - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/estadistica-inductiva1guia 73/132
Página 73 de 132
La integral anterior nos daría el área bajo la curva de la función, desde a
hasta b, que corresponde o es igual a la probabilidad buscada.
Debido a la dificultad que se presenta para integrar esta función cada
vez que sea necesario, lo que se hace es tipificar el valor de la variable x,esto es, x se transforma en un valor de z, de la siguiente manera:
Este valor de z es buscado en una tabla donde vienen áreas asociadas a
este valor, y haciendo uso de los valores tabulados, se determina la
probabilidad requerida. La tabla que es usada para calcular las
probabilidades es la que nos da el área que se muestra a continuación:
El acero que se utiliza para tuberías de agua a menudo se recubre
internamente con un mortero de cemento para evitar la corrosión. En un estudio
de los recubrimientos de mortero de una tubería empleada en un proyecto de
transmisión de agua en California (Transportation Engineering Journal,
Noviembre de 1979) se especificó un espesor de 7/16 pulgadas para el mortero.
Un gran número de mediciones de espesor dieron una media de 0.635 pulgadas
y una desviación estándar de 0.082 pulgadas. Sí las mediciones de espesor,tenían una distribución Normal, ¿qué porcentaje aproximado fue inferior a 7/16
de pulgada?
Solución: x = variable que nos define el espesor del mortero en pulgadas
= 0.635 pulgadas = 0.082 pulgadas
valor x
z
0 Z
5/10/2018 Estadistica Inductiva[1]GUIA - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/estadistica-inductiva1guia 74/132
Página 74 de 132
p(x 7/16 pulgadas) = 0.5- p(0 <= z =< -2.41) = 0.5-0.492 = 0.008
Por tanto, 0.008 x 100% = 0.8% de los recubrimientos de mortero tienen un espesor
menor de 7/16 pulgadas
Tabla de la Normal Estandarizada N(X; 0, 1)Distribución Normal Tipificada o estandarizada: P(0 < = Z <= Zo)
Z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359
0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753
0,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141
0,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517
0,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879
412408520820
635043750
0820
6350167..
.
..
.
. / Z
X = 7/16 =0.635
Z
5/10/2018 Estadistica Inductiva[1]GUIA - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/estadistica-inductiva1guia 75/132
Página 75 de 132
0,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224
0,6 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549
0,7 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852
0,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133
0,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389
1,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621
1,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830
1,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015
1,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177
1,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319
1,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441
1,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545
1,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633
1,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706
1,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767
2,0 0,4772 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,4817
2,1 0,4821 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,4850 0,4854 0,4857
2,2 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,4890
2,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,49162,4 0,4918 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,4936
2,5 0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,4952
5/10/2018 Estadistica Inductiva[1]GUIA - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/estadistica-inductiva1guia 76/132
Página 76 de 132
2,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,4962 0,4963 0,4964
2,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,4972 0,4973 0,4974
2,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,4980 0,4981
2,9 0,4981 0,4982 0,4982 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986
3,0 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,4990
3,1 0,4990 0,4991 0,4991 0,4991 0,4992 0,4992 0,4992 0,4992 0,4993 0,4993
3,2 0,4993 0,4993 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4995 0,4995 0,4995
3,3 0,4995 0,4995 0,4995 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4997
3,4 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4998
3,5 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998
3,6 0,4998 0,4998 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999
Z 1,2820 1,6450 1,9600 2,3260 2,5750 3,0900 3,2910 3,8910 4,4710
F(Z) 0,900 0,950 0,975 0,990 0,995 0,999 0,9995 1,0000 1,0000
2(1-
F(Z)) 0,200 0,100 0,050 0,020 0,010 0,002 0,001 1E-04 7,8E-06
Ejercicios de Distribución Normal
1. Sea Z una variable aleatoria normal estandarizada, encuentre:
a) Prob (0 <= Z <= 1.96)
b) Prob (Z > = 1.96)
5/10/2018 Estadistica Inductiva[1]GUIA - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/estadistica-inductiva1guia 77/132
Página 77 de 132
c) Prob (- 1.96 <= Z <= 1.96)
d) Prob (- 1 <= Z <= 1.96)
e) Prob (- 1 <= Z <= 2)
f) Prob ( Z < = 0.70)
2. Sea X una variable aleatoria normal con media igual a 500 y desviación estándar
igual a 100, encuentre:
a) Prob (500 <= X <= 696)
b) Prob (X >= 696)
c) Prob (304 <= X <= 696)
d) Prob (400 <= X <= 696)
e) Prob (600 <= X <= 696)
3. Obtenga el valor de Z0 en las siguientes ecuaciones para la variable aleatoria
normal estandarizada.
a) Prob (- Z0 <= Z <= Z0) = 0.98
b) Prob ( Z >= Z0) =0.01
c) Prob ( Z <= - Z0) = 0.01
d) Prob (- Z0 <= Z <= Z0) = 0.6826
e) Prob (- Z0 <= Z <= Z0) = 0.9544
f) Prob (Z >= Z0) = 0.95
4. Sea X una variable aleatoria normal con media igual a 100 y desviación estándarigual a 15, encuentre X0
a) Prob (100 <= X <= 100 + X0) = 0.45
b) Prob (100 – X0 <= X <= 100 + X0) = 0.90
5/10/2018 Estadistica Inductiva[1]GUIA - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/estadistica-inductiva1guia 78/132
Página 78 de 132
c) Prob (X >= X0) = 0.20
d) Prob (X <= X0) = 0.30
e) Prob (X <= X0) = 0.80
f) Prob (X >= X0) = 0.70
5. Un analista financiero señala que (conforme a su probabilidad subjetiva) el
precio X de los bonos del gobierno a largo plazo, con un valor de Bs.F 1000,00
tendrá al cabo de un ano una distribución normal con valor esperado de Bs.F
980,00 y desviación estándar de Bs.F 40,00 . Encuentre
a) Prob (X >= 1000)
b) Prob (X <= 940)
c) Prob (960 <= X <= 1060)
d) Encuentre el valor de X0 que satisface Prob (X >= X0) = 0.90
e) Encuentre el valor de X0 tal que la probabilidad de que el precio de los
bonos (un año después) exceda a X0 sea de 0.60
6. Suponga que el salario por hora de un profesor en una universidad (que se basa
en un sistema de pago a destajo) tiene una distribución normal con media Bs.F
30,00 y desviación estándar Bs.F 5,00
a) Encuentre la probabilidad de que el salario por hora de un profesor sea
superior a Bs.F 37,50
b) Encuentre la probabilidad de que el salario por hora de un profesor se
ubique entre 25 y 35 bolívares fuertes
c) Encuentre la probabilidad de que el salario por hora de un profesor sea
superior al salario mínimo contratado de Bs.F 20,00
d) Encuentre la probabilidad de que el salario por hora de un profesor sea
superior al salario máximo contratado Bs.F 40,00
5/10/2018 Estadistica Inductiva[1]GUIA - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/estadistica-inductiva1guia 79/132
Página 79 de 132
7. Se calculó que el promedio de enfriamiento de todas las neveras para una línea
de cierta compañía, emplean una temperatura de -4°C con una desviación típica de
1.2°C.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que una nevera salga con una temperatura superiora -3°C?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que una nevera salga con una temperatura menor a -
5.5°C?
8. De los 31 productos cuál es la probabilidad de que 20 salgan defectuosos, si el
50% de los productos normalmente sale defectuoso.
9. Los sueldos de 65 empleados de una empresa se distribuyen normalmente con
una x = 2300 bolivares y una σ =150 bolivares se pide :
Hallar la probabilidad de que un empleado obtenga un sueldos inferior a Bs 2400
10. La vida media de los habitantes de un país es de 68 años. Con una varianza de
25. Se hace un estudio en una pequeña ciudad de 10000 habitantes:
a) ¿Cuántas personas superarán previsiblemente los 75 años?
b) ¿Cuántos vivirán menos de 60?
11. Supongamos que la estatura masculinos adultos de chile están normalmente
distribuida con μ = 70 pulgadas y ∂² = 9 pulgadas; ¿de que longitud deberían ser
los colchones para que ellos cupiera por lo menos 99 por 100 de los individuos?
12. En una ciudad se estima que la temperatura máxima en el mes de junio si una
distribución normal, con media 23° y desviación típica 5°. Calcular el número de
días del mes en los que se espera alcanzar máximas entre 21° y 27°.
13. Las calificaciones de los 500 aspirantes presentados a un examen paracontratación laboral, se distribuye normalmente con media 6'5 y varianza 4.
a) Calcule la probabilidad de que un aspirante obtenga más de 8 puntos.
b) Determine la proporción de aspirantes con calificaciones inferiores a 5 puntos.
5/10/2018 Estadistica Inductiva[1]GUIA - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/estadistica-inductiva1guia 80/132
Página 80 de 132
c) ¿ Cuántos aspirantes obtuvieron calificaciones comprendidas entre 5 y 7'5
puntos ?.
14. Se sabe que los 5200 estudiantes que han inscrito Estadística aplicada por
primera vez en la Universidad Nacional Experimental Simón Rodríguez tienen unpromedio de 4,25 puntos, con una varianza de 0,06 puntos, ¿Cuál es la
probabilidad de escoger un estudiante al azar y?
a) No apruebe b) Entre 4 y 4.5 puntos c) Al menos 4.5 puntos
d) Entre 3 y 4 puntos e) Cantidad de aprobados
f) Entre que calificaciones esta el 50% central
g) Calificación máxima del 15% de las notas mas bajas
h) Calificación minima del 10% de las notas mas altas
15. las estaturas de cierta población se distribuyen según una normal de media 1.68y desviación típica 8. Calcula la probabilidad de que elegida una persona al azar su
altura sea 1.70cm como máximo.
Distribución Log Normal
Distribución de Ji- Cuadrado
Distribución T-Student
Distribución F
5. Distribución Muestral.La formulación de los procedimientos de decisión depende de nuestro
conocimiento de las consecuencias que pueden resultar de las diferentes acciones
tomadas en una situación dada y del estado natural predominante en el momentode llevar a la práctica la decisión. En este caso, “estado natural” se refiere a los
modelos de población o a los fenómenos aleatorios. Sin embargo a menudo
encontramos que las propiedades precisas del modelo, o del estado natural, no se
conocen.
5/10/2018 Estadistica Inductiva[1]GUIA - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/estadistica-inductiva1guia 81/132
Página 81 de 132
El análisis estadístico es el método matemático empleado para obtener una misma
información, con la menor cantidad de datos. Una de sus aplicaciones más
conocidas es el control estadístico de calidad en el área de producción. Los
métodos estadísticos permiten producir el máximo de información a partir de los
datos disponibles. El análisis estadístico provee los medios para la elección demuestras y sus características para que sean representativos del universo de datos,
así como del riesgo relacionado con la decisión de aceptar o rechazar un lote de
producciones en función de la información proporcionada por el análisis de la
muestra.
Un método de aproximarnos a los conocimientos de las características de la
población es por el muestreo directo de la misma. Los métodos estadísticos que
nos permiten inferir a partir de datos limitados (muestras) los comportamientos
(poblaciones) a largo plazo que se esperan se llaman Estadística Inductiva o
Inferencial. Rama de la estadística que estudia el comportamiento y propiedades
de las muestras, y la posibilidad y límites de la generalización de los resultados
obtenidos a partir de aquellas a las poblaciones que representan. Esta
generalización de tipo inductivo, se basa en la probabilidad. También se le llama
también estadística matemática, por su complejidad matemática en relación a la
estadística descriptiva.
Tiene como objetivo generalizar las propiedades de la población bajo estudio, basado en los resultados de una muestra representativa de la población.
En el proceso podemos cometer errores pero debemos apreciar esos errores para
tener una medida de confianza en nuestras conclusiones inductivas.
La distribución de probabilidad de una estadística muestral, dado que es una
variable aleatoria, es comúnmente llamada Distribución Muestral. A partir de las
propiedades de la distribución del estadístico podemos calcular los riesgos
(errores) que se corren al hacer generalizaciones de la población con base en lamuestra.
En este curso desarrollaremos la distribuciones muestrales para la media, la
diferencia de medias, la proporción, y la diferencia de proporciones.
5/10/2018 Estadistica Inductiva[1]GUIA - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/estadistica-inductiva1guia 82/132
Página 82 de 132
Pero antes de introducirnos de plano en el tema de las distribuciones muestrales,
mencionaremos a título informativo y somero algunas de las actividades que se
realizan en una investigación por muestreo en forma sistemática.
5.1. Algunas de las actividades que se realizan en una investigaciónpor muestreo en forma sistemáticaSe llama muestra a una parte de la población a estudiar qué sirve para
representarla.
El determinar el tamaño de una muestra representa una parte esencial del método
científico para poder llevar a cabo una investigación. Al muestreo lo podemos
definir como el conjunto de observaciones necesarias para estudiar la distribución
de determinadas características en la totalidad de una población, a partir de laobservación de una parte o subconjunto de una población, denominada muestra.
El cálculo del tamaño de la muestra es uno de los aspectos a concretar en las fases
previas de la investigación comercial y determina el grado de credibilidad que
concederemos a los resultados obtenidos.
Al definir el tamaño de la muestra, nosotros deberemos procurar que ésta
información sea representativa, válida y confiable y al mismo tiempo nos
represente un mínimo costo. Por lo tanto, el tamaño de la muestra estará
delimitado por los objetivos del estudio y las características de la población,además de los recursos y el tiempo de que se dispone.
En Estadística el tamaño de la muestra es el número de sujetos que componen la
muestra extraída de una población, necesarios para que los datos obtenidos sean
representativos de la población. Para calcular el tamaño de una muestra hay que
tomar en cuenta tres factores: El porcentaje de confianza con el cual se quiere
generalizar los datos desde la muestra hacia la población total. El porcentaje de
error que se pretende aceptar al momento de hacer la generalización. El nivel de
variabilidad que se calcula para comprobar la hipótesis. La confianza o el
porcentaje de confianza es el porcentaje de seguridad que existe para generalizar
los resultados obtenidos
5/10/2018 Estadistica Inductiva[1]GUIA - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/estadistica-inductiva1guia 83/132
Página 83 de 132
Una población se precisa como un conjunto finito o infinito de personas u objetos
que presentan características comunes.
Planteamiento de la investigación Definir objetivos
Definir cobertura y periodo de referencia
Definir las variables en estudio
Definiciones y relaciones básicas
Antecedentes
Recursos
Asignación de responsabilidades
Elaboración de los instrumentos básicos Plan de tabulación
Cuestionario estadístico
Prueba y ajuste del cuestionario
Instructivos
Entrevistas
Diseño de la encuesta Universo estadístico
Población estadística
Método de recolección
Marco muestral
Tipo de muestreo
Diseño y tamaño de la muestra
Organización y ejecución de las operaciones de campo Diseño de los controles de operación
Encuesta piloto
Preparación del personal de campo
Codificación de preguntas abiertas
5/10/2018 Estadistica Inductiva[1]GUIA - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/estadistica-inductiva1guia 84/132
Página 84 de 132
Ejecución de la encuesta
Procesamiento de datos Entrada o captura de los datos
Salidas o reportes
Análisis estadístico de la información
Análisis de los resultados Confiabilidad de la información
Estudio de comportamiento
Análisis económico – social
Plan de difusión Medios de comunicación
Medios informativos
Publicaciones
Limitaciones legales
Extraído del libro:
Investigación por Muestreo del Profesor Félix Serijas, segunda edición,Caracas , 1993
5.2. Distribución de la media muestralSi se extrae una muestra aleatoria de tamaño n de una población con media μ y
desviacion estandar σ , las observaciones muestrales son Independiente y las
variables aleatórias están distribuídas em forma identicas, entonces la distribucion
muestral de la media es como sigue:
Variable aleatoria X Media muestral X
Esperanza o Media μ(X) = μ
Desviación Est{ndar σ(X) = [σ/√n √*(N-n )/(N-1)]
5/10/2018 Estadistica Inductiva[1]GUIA - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/estadistica-inductiva1guia 85/132
Página 85 de 132
5.3. Distribución de la diferencia de medias muestralesEn muchos campos de la investigacion científica deseamos a menudo comparar las
medias de dos variables aleatorias, como por ejemplo, el efecto de dos condiciones
o tratamientos o métodos de producción.
Variable aleatoria X1-X2 Medias muestrales X1-X2
Esperanza o Media μ(X1-X2) = μ1- μ2
Desviación Estándar σ(X1-X2) = √(σ21/n1 + σ22/n2 )
5.4. Distribución de la proporción muestralRecordemos que una proporción poblacional se define como P = X / N, en donde X
es el numero de elementos que poseen una cierta característica y N es el numero
total de elementos de la población o tamaño de la población.
Recordemos igualmente que una proporción muestral se define como p = x / n, en
donde x es el numero de elementos de la muestra que poseen cierta característica y
n es el tamaño de la muestra.
Variable aleatoria X Proporcion muestral p
Esperanza o Media μ(X) = P
Desviación Est{ndar σ(X) = √(PQ/n) √*(N-n )/(N-1)]
5.5. Distribución de la diferencia de proporciones muestralesCuando se comparan dos muestras aleatorias extraidas de dos variables
binomiales, es posible trabajar solo con la proporción de éxitos, no con el numero
5/10/2018 Estadistica Inductiva[1]GUIA - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/estadistica-inductiva1guia 86/132
Página 86 de 132
de éxitos, a menos que ambas muestras sean del mismo tamaño. Por ejemplo,
durante una elección presidencial , toma una muestra de 100 votantes de un estado
y se halla que 40 estan a favor del candidato A; se toma otra muestra de 150
votantes de otro estado y se encuentra que 50 estan a favor del candidato A. Sin
duda, estos dos conjuntos de números no se pueden evaluar a menos que sereduzcan a proporciones. Mas específicamente, lo que aquí necesitamos es un
modelo de probabilidad de la diferencia de dos proporciones.
Variable aleatoria p1-p2 Proporciones muestrales p1-p2
Esperanza o Media μ(p1-p2) = P1- P2
Desviación Estándar σ(p1-p2) = √(P1 * Q1/n1 + P2 * Q2/n2 )
Ejercicios de Distribución de Muestreo
1. Si la vida media de operación de una pila de linterna es de 24 horas y está
distribuida normalmente con una desviación de 3 horas. ¿Cuál es la probabilidad
de que una muestra aleatoria de 100 pilas tenga una media que se desvíe por más
de 30 minutos del promedio?
Resp. La probabilidad de que el promedio de la vida útil de las pilas supere las
24.5 Horas es de 4.75%. P (X > 24.5horas) = 4.75%
Z = (24.5 – 24)/(3/√100) = 1.67 P (Z > 1.67) = 4.75%
2. En un estudio para comparar los pesos promedios de niños y niñas de sexto
grado en una escuela primaria se usará una muestra aleatoria de 20 niños y otra de
25 niñas. Se sabe que tanto para niños como para niñas los pesos siguen una
distribución normal. El promedio de los pesos de todos los niños de sexto grado de
5/10/2018 Estadistica Inductiva[1]GUIA - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/estadistica-inductiva1guia 87/132
Página 87 de 132
esa escuela es de 100 libras y su desviación estándar es de 14.142 libras, mientras
que el promedio de los pesos de todas las niñas de sexto grado de esa escuela es de
85 libras y su desviación estándar es de 12.247 libras. ¿ Cuál de la probabilidad de
que el promedio de los pesos de los 20 niños sea al menos 20 libras más mayor que
el de las 25 niñas?.
Resp. P (X1 – X2 >= 20) = 0.1056 Por lo tanto, la probabilidad de que el peso
promedio de los niños sea al menos 20 libras mayor que el peso promedio de las
niñas es 10.56%.
Z = (20-15) / √(199,9962/20 + 149,989/25 ) = 5/3.9999 = 1,25
P (X1 – X2 >= 20) = P ( Z >= 1,25 ) = 10,56%
3. Previo a una elección la senadora X contrata los servicios de la compañía Y paraf ijar la contienda establecida con los electores. Ella percibe con respecto a este
punto que si tiene el 45% de los votos será nominada de acuerdo con su estrategia
de campaña. Suponiendo que la compañía contratada selecciona una muestra
aleatoria simple de 1600 electores registrados. ¿Cuál es la probabilidad de que la
muestra pueda producir una proporción de 45% más dado que la verdadera
proporción es del 40%?
Resp. P (p >= 0,45) = P (Z>= 4,09) = 0 La probabilidad es de casi el 0%.
5/10/2018 Estadistica Inductiva[1]GUIA - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/estadistica-inductiva1guia 88/132
Página 88 de 132
4. Hallar la probabilidad de que en 120 lanzamientos de una moneda el número de
caras (a) esté comprendido entre el 40% y el 60% , (b) sea 5/8 o más del número de
lanzamientos.
5. Si X ˜ N (40,10), calcular Pr (39≤ X ≤ 41) para n=10 ¿ En que intervalo se obtendr{
el 95% de los resultados?
6. Al medir el tiempo de reacción, un psicólogo estima que la desviación típica del
mismo es de 0,05 segundos, ¿Cuál es el tamaño de la muestra mas adecuada para
estimar la media, con una confianza del 95% y un error que no exceda a 0,01?
n= Z²*ô² / e² n= 1,96²*0,05² / 0,01² =96 sujetos
7. El porcentaje de votantes de un Distrito dado que están a favor de determinado
candidato es el 55%. Hallar el tamaño de la muestra con un nivel de confianza del
99% si se quiere un error máximo de 2%, para la proporción de todos los votantes
que están a favor de ese candidato.
n= Z²*P*Q / e² n= 2,58²*0,55*0,45 / 0,02² = 4119 electores
8. Cuál es la probabilidad de que el candidato 1 supere al candidato 2?
Porcentaje de
Votantes
Candidato 1 30%Candidato 2 40%
Candidato 3 30%
5/10/2018 Estadistica Inductiva[1]GUIA - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/estadistica-inductiva1guia 89/132
Página 89 de 132
Resp. Prob[ (p1 – p2 > = 0] = Prob (Z >= 1,49) = 6,81 % La probabilidad de
que el candidato 1 supere al candidato 2 es del 6.81%
9. Un fabricante de focos afirma que su producto durará un promedio de 500 horas
de trabajo. Para conservar este promedio esta persona verifica 25 focos cada mes. Si
el valor y calculado cae entre t = -0.05 y t = 0.05, él se encuentra satisfecho con esta
afirmación.
¿Qué conclusión deberá él sacar de una muestra de 25 focos cuya duración fue?:
520 521 511 512 510 μ = 500 h
513 522 500 521 495 n = 25
496 488 500 502 512 Nc = 90%
510 510 475 505 521 X = 505.36
506 503 487 493 500 S =12.07
5/10/2018 Estadistica Inductiva[1]GUIA - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/estadistica-inductiva1guia 90/132
Página 90 de 132
gl = n -1 = 24 t = 2.22
Se puede concluir que la media poblacional no es 500, porque la muestra
Poblacional está por encima de esta, y por lo tanto debería estar por encima de
500.
10. Un proceso manufacturero usado por una fabrica durante los ultimos 10 años,tiene una distribución normal con la desviación estándar de 8 unidades por hora,
se desea estimar un intervalo de confianza de 90% para el promedio de unidades
por hora producido con dicho proceso. Para tal efecto, se toma una muestra
aleatoria de la producción por hora y se obtiene un promedio de 160 unidades.
Resp. 157.376 < < 162.624
11. En un estudio de prevalencia de factores de riesgo en una cohorte de 412
mujeres mayores de 15 años de la región metropolitana se encontró que el 17.6% de
ellas era hipertensas. Determinar un intervalo para la proporción de mujeres
hipertensas en la región metropolitana con un nivel de confianza del 95%.
Resp. 0.14268< P < 0.20932
12. ¿Que tan grande debe seleccionarse una muestra para tener un intervalo de
95% de confianza con un margen de error de 10 unidades? Suponga que la
desviación estándar poblacional es 40. Resp. n= 61.46
13. ¿Cuántas personas tendríamos que estudiar para conocer la prevalencia al
diabetes? Con un nivel de confianza 95%, un error 3%, proporción esperada
asumamos que pueda ser aproxima al 5%.
5/10/2018 Estadistica Inductiva[1]GUIA - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/estadistica-inductiva1guia 91/132
Página 91 de 132
14. Una población se compone de tres números 3, 6,8, Considerar todas las
muestras posibles de tamaño dos que puedan extraerse. Hallar:
a. Media de la Población µ=5,6667
b.
Desviación típica de la población σ= 2,0548 c. Media de la distribución media con reemplazo= 5,67
d. Media de la distribución media sin reemplazo = 5,67
e. Desviación típica de la distribución muestra de media con reemplazo
σ / √n = 1,45
f. Desviación típica de la distribución muestra de media sin reemplazo
σ / √n √[(N-n)/(N-1)] = 1,02
15. Si la sumatoria de la edades de diez estudiantes es de 126,45 ¿Cuál es elpromedio de las edades? Media X= 12,645 años
16. De los 56 estudiantes en las dos secciones de estadística aplicada, que cursan la
carrera de Informática solo aprobaron 32. Cual es la proporción de aprobados?
P= 32/56= 0,5714
17. Las medidas de los diámetros de una muestra al azar de 200 cojinetes de bolas
hechas por una determinada máquina durante una semana dieron una media de
0,824 pulgadas y una desviación típica de 0,042 pulgadas. Hallar los límites de
confianza del 95% para el diámetro medio de todos los cojinetes.
IC= Med X ± Z* Ôx IC= [0,8182; 0,8298]
Los intervalos de confianza para estimar el diámetros de cojinetes de bolas hechas
por una determinada máquina se encuentra entre [0,8182; 0,8298], con una
confianza del 95%
18. Una muestra de 100 votantes elegidos al azar entre todos los de un Distritodado, indicó que el 55% estaban a favor de un determinado candidato. Hallar los
límites de confianza del 99% para la proporción de todos los votantes que estaban
a favor de ese candidato
IC= p ± Z* Ôp IC= [0,46; 0,64]
5/10/2018 Estadistica Inductiva[1]GUIA - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/estadistica-inductiva1guia 92/132
Página 92 de 132
Los intervalos de confianza para estimar la proporción de todos los votantes
que estaban a favor de ese candidato se encuentra entre [0,46; 0,64], con una
confianza del 99%
19. Una compañía que fabrica pastelitos desea estimar la proporción deconsumidores que prefieran su marca. Los agentes de la compañía observan a 450
compradores, del número total observado 300 compraron los pastelitos. Calcule un
intervalo de confianza del 95% para la proporción de compradores que prefieren
la marca de esta compañía.
Resp.
71,02%
p =
62,31%
La demanda del producto fluctúa entre 62,31% que seria el mínimo y 71,02% que
seria lo máximo.
20. Calcule el tamaño muestral de una encuesta realizada por CIS sobre la Unión
Europea que incluía todas las provincias excepto Ceuta y Melilla. El error teórico
era de + 2, con un intervalo de confianza de 95,5% y P=Q en el supuesto de unmuestreo aleatorio simple.
Resp. n = 2500
5/10/2018 Estadistica Inductiva[1]GUIA - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/estadistica-inductiva1guia 93/132
Página 93 de 132
21. Una fábrica desea saber la proporción de amas de casa que preferirían una
aspiradora de su marca. Se toma al azar una muestra de 100 amas de casa y 20
dicen que les gustaría la máquina. Calcule e interprete un intervalo del 95% de
confianza para la verdadera proporción de amas de casa que preferirían dicha
aspiradora.Interpretación: se tiene una certeza del 95% de que la verdadera proporción de
amas de casa que preferirían la aspiradora está entre 12´2% y 27´8%.
22. Se desea medir la diferencia entre dos categorías de empleados en la actividad
de seguros. Una está formada por personas con título superior y la otra por
personas que sólo tienen estudios secundarios. Tomamos una muestra de 45
empleados entre los primeros y la media de ventas resulta ser 32. Tomamos 60
empleados del segundo grupo y la media es 25. Suponga que las ventas de los dosgrupos se distribuyen normalmente con varianzas de 48 para los titulados
superiores y 56 para los de estudios secundarios.
Calcule e interprete un intervalo del 90% de confianza para la verdadera diferencia
de las medias.
De acuerdo con el intervalo hallado, ¿hay evidencia de que las medias sean
iguales?
I.
Interpretación: La verdadera diferencia de medias se halla entre 4´67 y 9´33 con
una certeza del 90%.
Si las dos medias son iguales, la diferencia entre ambas es cero. Por lo tanto
para que la igualdad entre las medias no pueda descartarse el cero debe
estar en el intervalo calculado. Como en este caso no sucede, no hay
evidencia de la igualdad entre las medias.
5/10/2018 Estadistica Inductiva[1]GUIA - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/estadistica-inductiva1guia 94/132
Página 94 de 132
5.6. Conceptos básicos para la determinación del tamaño demuestra: variable cualitativa Sexo y variable cuantitativa Edad.
Notación o Simbología utilizada en el Muestreo.
Variable: Edad Símbolo Variable: Sexo Símbolo
ParámetroMedia
poblacionalμ Parámetro
Proporción
poblacionalP
Estimadormedia
muestralX media Estimador
Proporción
muestralp
Parámetro
Desviación
estándar
poblacional
σ (X) Parámetro
Desviación
estándar
poblacional
σ (X)
EstimadorDesviaciónestándar
muestral
S EstimadorDesviaciónestándar
muestral
S
PoblaciónTamaño de la
PoblaciónN Población
Tamaño de la
PoblaciónN
MuestraTamaño de la
Muestran Muestra
Tamaño de la
Muestran
Desviación
estándar del
estimador
σ(X
media)
Desviación
estándar del
estimador
σ(p)
Error máximo
admisiblee
Error máximo
admisiblee
Nivel de
confianza
(Probabilidad)
Z = f (Alfa)
Nivel de
confianza
(Probabilidad)
Z = f (Alfa)
Tipo de
muestreoProbabilístico
Tipo de
muestreoProbabilístico
Clase de
muestreo
Muestreo
aleatorio
simple
masClase de
muestreo
Muestreo
aleatorio
simple
mas
5/10/2018 Estadistica Inductiva[1]GUIA - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/estadistica-inductiva1guia 95/132
Página 95 de 132
Marco Muestral de 1200 personas, Número identificadory variables: Sexo y Edad.
Número Sexo Edad Número Sexo Edad Número Sexo Edad
1 Masculino 26 401 Femenino 80 801 Femenino 30
2 Masculino 33 402 Femenino 72 802 Femenino 48
3 Femenino 28 403 Femenino 37 803 Masculino 49
4 Femenino 55 404 Femenino 57 804 Masculino 80
5 Femenino 36 405 Femenino 25 805 Femenino 75
6 Masculino 60 406 Masculino 49 806 Femenino 18
7 Femenino 68 407 Masculino 58 807 Masculino 20
8 Masculino 49 408 Femenino 71 808 Femenino 31
9 Femenino 47 409 Femenino 37 809 Masculino 42
10 Masculino 54 410 Masculino 27 810 Femenino 55
11 Masculino 30 411 Femenino 21 811 Femenino 2712 Femenino 69 412 Masculino 22 812 Masculino 72
13 Femenino 32 413 Masculino 61 813 Masculino 65
14 Femenino 64 414 Femenino 67 814 Masculino 19
15 Masculino 46 415 Femenino 46 815 Femenino 73
16 Femenino 28 416 Masculino 88 816 Masculino 50
17 Femenino 23 417 Femenino 59 817 Femenino 77
18 Masculino 24 418 Masculino 30 818 Femenino 39
19 Masculino 32 419 Masculino 45 819 Femenino 24
20 Femenino 33 420 Femenino 25 820 Femenino 64
21 Masculino 48 421 Femenino 54 821 Masculino 39
22 Femenino 60 422 Masculino 18 822 Masculino 67
23 Femenino 77 423 Masculino 51 823 Masculino 24
24 Masculino 50 424 Masculino 38 824 Femenino 39
25 Masculino 64 425 Femenino 43 825 Femenino 63
26 Masculino 35 426 Masculino 71 826 Masculino 68
27 Femenino 52 427 Femenino 48 827 Masculino 42
28 Femenino 25 428 Femenino 25 828 Femenino 29
29 Masculino 18 429 Masculino 62 829 Masculino 64
30 Femenino 69 430 Femenino 61 830 Femenino 38
31 Femenino 70 431 Femenino 72 831 Femenino 47
32 Femenino 24 432 Femenino 36 832 Femenino 52
33 Masculino 59 433 Masculino 37 833 Femenino 27
34 Femenino 77 434 Femenino 37 834 Masculino 4535 Masculino 38 435 Masculino 47 835 Femenino 49
36 Femenino 61 436 Femenino 74 836 Masculino 39
37 Masculino 24 437 Femenino 57 837 Femenino 60
38 Masculino 75 438 Masculino 25 838 Femenino 31
39 Masculino 78 439 Masculino 68 839 Masculino 21
40 Femenino 34 440 Femenino 23 840 Masculino 66
5/10/2018 Estadistica Inductiva[1]GUIA - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/estadistica-inductiva1guia 96/132
Página 96 de 132
41 Masculino 57 441 Femenino 24 841 Masculino 58
42 Femenino 22 442 Femenino 37 842 Femenino 56
43 Masculino 31 443 Masculino 53 843 Femenino 77
44 Masculino 18 444 Masculino 45 844 Femenino 67
45 Femenino 71 445 Masculino 54 845 Femenino 73
46 Femenino 19 446 Femenino 47 846 Masculino 31
47 Masculino 31 447 Masculino 25 847 Masculino 36
48 Masculino 53 448 Femenino 20 848 Masculino 44
49 Femenino 32 449 Masculino 32 849 Masculino 71
50 Masculino 28 450 Masculino 71 850 Femenino 20
51 Femenino 58 451 Femenino 51 851 Masculino 24
52 Femenino 50 452 Masculino 26 852 Masculino 19
53 Femenino 48 453 Masculino 56 853 Masculino 35
54 Femenino 44 454 Femenino 41 854 Masculino 33
55 Femenino 65 455 Femenino 49 855 Femenino 38
56 Masculino 78 456 Femenino 67 856 Masculino 63
57 Femenino 36 457 Masculino 18 857 Femenino 83
58 Femenino 70 458 Masculino 42 858 Masculino 3959 Masculino 76 459 Masculino 28 859 Masculino 28
60 Femenino 59 460 Femenino 21 860 Masculino 38
61 Masculino 18 461 Femenino 33 861 Masculino 50
62 Masculino 49 462 Masculino 31 862 Femenino 33
63 Femenino 21 463 Femenino 51 863 Femenino 71
64 Masculino 78 464 Femenino 23 864 Femenino 60
65 Femenino 21 465 Femenino 35 865 Masculino 50
66 Masculino 47 466 Masculino 32 866 Masculino 70
67 Masculino 20 467 Masculino 57 867 Femenino 32
68 Femenino 60 468 Femenino 68 868 Femenino 74
69 Femenino 30 469 Masculino 19 869 Masculino 51
70 Masculino 35 470 Masculino 63 870 Masculino 36
71 Femenino 63 471 Masculino 41 871 Femenino 35
72 Masculino 52 472 Femenino 19 872 Femenino 73
73 Masculino 18 473 Femenino 19 873 Femenino 32
74 Masculino 42 474 Masculino 23 874 Femenino 66
75 Femenino 28 475 Femenino 55 875 Femenino 25
76 Femenino 39 476 Femenino 63 876 Masculino 34
77 Masculino 37 477 Masculino 69 877 Femenino 28
78 Femenino 63 478 Masculino 64 878 Femenino 43
79 Masculino 42 479 Masculino 38 879 Masculino 40
80 Masculino 66 480 Femenino 35 880 Femenino 78
81 Masculino 33 481 Femenino 30 881 Femenino 4482 Femenino 61 482 Femenino 43 882 Femenino 18
83 Femenino 18 483 Femenino 68 883 Masculino 25
84 Femenino 30 484 Masculino 21 884 Masculino 34
85 Masculino 20 485 Masculino 51 885 Femenino 39
86 Masculino 51 486 Femenino 76 886 Masculino 65
87 Femenino 28 487 Masculino 43 887 Masculino 67
5/10/2018 Estadistica Inductiva[1]GUIA - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/estadistica-inductiva1guia 97/132
Página 97 de 132
88 Masculino 50 488 Masculino 48 888 Femenino 34
89 Masculino 24 489 Femenino 72 889 Femenino 81
90 Femenino 64 490 Femenino 22 890 Masculino 64
91 Femenino 26 491 Masculino 26 891 Femenino 61
92 Femenino 46 492 Masculino 67 892 Femenino 47
93 Masculino 31 493 Masculino 41 893 Masculino 19
94 Femenino 70 494 Masculino 40 894 Masculino 25
95 Masculino 93 495 Masculino 36 895 Femenino 58
96 Masculino 70 496 Femenino 29 896 Masculino 47
97 Masculino 53 497 Femenino 31 897 Femenino 24
98 Masculino 40 498 Femenino 39 898 Masculino 56
99 Femenino 18 499 Masculino 69 899 Femenino 37
100 Femenino 53 500 Femenino 65 900 Masculino 55
101 Femenino 37 501 Masculino 30 901 Masculino 30
102 Femenino 68 502 Femenino 59 902 Masculino 44
103 Masculino 31 503 Femenino 61 903 Masculino 47
104 Masculino 33 504 Masculino 40 904 Femenino 35
105 Femenino 66 505 Femenino 23 905 Femenino 58106 Femenino 45 506 Femenino 62 906 Masculino 61
107 Masculino 21 507 Masculino 55 907 Femenino 26
108 Femenino 62 508 Femenino 58 908 Masculino 23
109 Masculino 61 509 Masculino 33 909 Masculino 71
110 Masculino 54 510 Femenino 37 910 Femenino 43
111 Masculino 22 511 Masculino 35 911 Femenino 78
112 Femenino 50 512 Masculino 46 912 Masculino 22
113 Femenino 29 513 Femenino 25 913 Femenino 60
114 Masculino 24 514 Masculino 58 914 Masculino 91
115 Masculino 51 515 Masculino 87 915 Femenino 46
116 Masculino 49 516 Femenino 55 916 Femenino 30
117 Femenino 75 517 Femenino 24 917 Masculino 40
118 Femenino 30 518 Masculino 44 918 Masculino 62
119 Masculino 32 519 Masculino 29 919 Masculino 23
120 Femenino 34 520 Masculino 40 920 Femenino 65
121 Masculino 46 521 Femenino 76 921 Femenino 38
122 Masculino 25 522 Femenino 22 922 Masculino 71
123 Masculino 56 523 Masculino 63 923 Femenino 62
124 Masculino 35 524 Masculino 67 924 Femenino 75
125 Femenino 18 525 Femenino 22 925 Masculino 22
126 Femenino 43 526 Masculino 26 926 Femenino 28
127 Masculino 26 527 Femenino 40 927 Masculino 40
128 Femenino 68 528 Masculino 66 928 Masculino 60129 Femenino 34 529 Masculino 38 929 Femenino 80
130 Masculino 49 530 Masculino 46 930 Femenino 43
131 Masculino 55 531 Masculino 23 931 Femenino 49
132 Femenino 72 532 Femenino 40 932 Masculino 18
133 Masculino 30 533 Masculino 18 933 Masculino 70
134 Femenino 23 534 Femenino 39 934 Masculino 48
5/10/2018 Estadistica Inductiva[1]GUIA - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/estadistica-inductiva1guia 98/132
Página 98 de 132
135 Femenino 23 535 Femenino 20 935 Femenino 21
136 Femenino 60 536 Femenino 70 936 Femenino 30
137 Masculino 58 537 Femenino 86 937 Masculino 18
138 Masculino 28 538 Femenino 21 938 Masculino 19
139 Femenino 46 539 Femenino 43 939 Masculino 31
140 Masculino 45 540 Masculino 21 940 Masculino 45
141 Femenino 75 541 Femenino 73 941 Femenino 69
142 Femenino 45 542 Masculino 39 942 Masculino 55
143 Masculino 57 543 Femenino 32 943 Femenino 52
144 Masculino 18 544 Masculino 66 944 Femenino 19
145 Femenino 21 545 Femenino 54 945 Masculino 40
146 Masculino 31 546 Masculino 77 946 Masculino 21
147 Masculino 44 547 Masculino 30 947 Masculino 21
148 Masculino 35 548 Femenino 41 948 Masculino 65
149 Femenino 39 549 Masculino 45 949 Masculino 45
150 Masculino 60 550 Femenino 25 950 Femenino 29
151 Masculino 29 551 Femenino 66 951 Femenino 85
152 Femenino 68 552 Femenino 29 952 Masculino 21153 Femenino 58 553 Femenino 61 953 Masculino 79
154 Femenino 27 554 Masculino 18 954 Femenino 45
155 Masculino 40 555 Masculino 50 955 Femenino 81
156 Masculino 74 556 Masculino 45 956 Femenino 21
157 Femenino 24 557 Femenino 71 957 Femenino 54
158 Femenino 60 558 Femenino 36 958 Masculino 23
159 Masculino 23 559 Masculino 22 959 Masculino 43
160 Masculino 61 560 Femenino 77 960 Femenino 90
161 Femenino 70 561 Femenino 38 961 Masculino 72
162 Femenino 46 562 Masculino 46 962 Femenino 38
163 Femenino 34 563 Masculino 68 963 Femenino 75
164 Masculino 30 564 Femenino 50 964 Masculino 25
165 Femenino 43 565 Femenino 26 965 Femenino 32
166 Femenino 82 566 Masculino 69 966 Femenino 40
167 Femenino 75 567 Masculino 33 967 Femenino 56
168 Femenino 63 568 Femenino 52 968 Masculino 35
169 Masculino 25 569 Femenino 45 969 Femenino 68
170 Masculino 44 570 Masculino 46 970 Femenino 40
171 Femenino 35 571 Masculino 60 971 Masculino 64
172 Masculino 64 572 Masculino 37 972 Masculino 29
173 Masculino 35 573 Masculino 72 973 Masculino 65
174 Masculino 40 574 Femenino 69 974 Masculino 39
175 Femenino 28 575 Femenino 30 975 Femenino 50176 Femenino 41 576 Masculino 39 976 Femenino 26
177 Femenino 77 577 Masculino 65 977 Femenino 30
178 Femenino 59 578 Masculino 19 978 Masculino 29
179 Masculino 75 579 Masculino 53 979 Masculino 68
180 Masculino 27 580 Femenino 41 980 Masculino 42
181 Masculino 61 581 Femenino 20 981 Femenino 43
5/10/2018 Estadistica Inductiva[1]GUIA - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/estadistica-inductiva1guia 99/132
Página 99 de 132
182 Femenino 31 582 Masculino 38 982 Femenino 21
183 Femenino 46 583 Masculino 80 983 Femenino 59
184 Masculino 22 584 Femenino 71 984 Masculino 66
185 Masculino 43 585 Femenino 27 985 Masculino 86
186 Femenino 28 586 Masculino 42 986 Masculino 43
187 Femenino 84 587 Masculino 18 987 Femenino 63
188 Femenino 63 588 Femenino 38 988 Masculino 29
189 Masculino 33 589 Femenino 72 989 Masculino 30
190 Femenino 24 590 Masculino 78 990 Femenino 35
191 Masculino 72 591 Masculino 62 991 Masculino 21
192 Masculino 54 592 Femenino 81 992 Femenino 51
193 Femenino 24 593 Masculino 18 993 Masculino 55
194 Masculino 59 594 Femenino 58 994 Femenino 29
195 Masculino 73 595 Femenino 49 995 Femenino 48
196 Femenino 72 596 Femenino 66 996 Masculino 70
197 Masculino 23 597 Masculino 72 997 Masculino 57
198 Masculino 38 598 Masculino 49 998 Femenino 64
199 Femenino 56 599 Femenino 69 999 Femenino 33200 Femenino 34 600 Masculino 60 1.000 Masculino 18
201 Masculino 20 601 Femenino 34 1.001 Masculino 59
202 Masculino 45 602 Femenino 27 1.002 Femenino 79
203 Masculino 71 603 Femenino 64 1.003 Masculino 48
204 Femenino 76 604 Masculino 18 1.004 Femenino 28
205 Femenino 35 605 Femenino 54 1.005 Femenino 62
206 Femenino 57 606 Masculino 39 1.006 Masculino 26
207 Femenino 28 607 Femenino 62 1.007 Femenino 25
208 Femenino 20 608 Femenino 22 1.008 Masculino 52
209 Masculino 34 609 Masculino 76 1.009 Femenino 41
210 Masculino 28 610 Femenino 44 1.010 Femenino 37
211 Masculino 22 611 Femenino 18 1.011 Masculino 42
212 Femenino 25 612 Masculino 39 1.012 Masculino 53
213 Femenino 68 613 Femenino 50 1.013 Femenino 66
214 Femenino 52 614 Masculino 51 1.014 Femenino 67
215 Masculino 64 615 Masculino 18 1.015 Femenino 77
216 Femenino 71 616 Femenino 83 1.016 Femenino 77
217 Femenino 27 617 Masculino 27 1.017 Femenino 39
218 Femenino 25 618 Femenino 86 1.018 Masculino 59
219 Masculino 60 619 Femenino 69 1.019 Masculino 25
220 Femenino 33 620 Masculino 65 1.020 Masculino 23
221 Masculino 46 621 Femenino 52 1.021 Femenino 45
222 Femenino 57 622 Femenino 62 1.022 Masculino 49223 Masculino 18 623 Femenino 44 1.023 Femenino 39
224 Femenino 18 624 Masculino 22 1.024 Femenino 47
225 Masculino 31 625 Masculino 43 1.025 Femenino 32
226 Femenino 87 626 Femenino 28 1.026 Masculino 33
227 Masculino 58 627 Masculino 48 1.027 Masculino 30
228 Femenino 34 628 Masculino 59 1.028 Femenino 36
5/10/2018 Estadistica Inductiva[1]GUIA - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/estadistica-inductiva1guia 100/132
Página 100 de 132
229 Masculino 59 629 Femenino 70 1.029 Masculino 34
230 Femenino 58 630 Femenino 33 1.030 Femenino 22
231 Femenino 28 631 Femenino 19 1.031 Masculino 53
232 Masculino 22 632 Masculino 28 1.032 Femenino 67
233 Masculino 49 633 Masculino 88 1.033 Masculino 18
234 Femenino 41 634 Femenino 50 1.034 Femenino 63
235 Femenino 89 635 Femenino 59 1.035 Masculino 29
236 Masculino 30 636 Femenino 36 1.036 Femenino 21
237 Masculino 30 637 Masculino 49 1.037 Masculino 27
238 Masculino 55 638 Femenino 21 1.038 Femenino 63
239 Femenino 45 639 Femenino 24 1.039 Masculino 57
240 Femenino 61 640 Femenino 21 1.040 Femenino 54
241 Masculino 21 641 Masculino 25 1.041 Femenino 57
242 Femenino 24 642 Masculino 51 1.042 Femenino 36
243 Masculino 84 643 Masculino 28 1.043 Masculino 34
244 Masculino 29 644 Femenino 20 1.044 Femenino 28
245 Masculino 18 645 Masculino 56 1.045 Masculino 28
246 Femenino 70 646 Femenino 35 1.046 Masculino 43247 Femenino 83 647 Masculino 73 1.047 Femenino 53
248 Masculino 24 648 Femenino 60 1.048 Masculino 55
249 Femenino 81 649 Masculino 22 1.049 Femenino 23
250 Femenino 41 650 Masculino 32 1.050 Masculino 43
251 Masculino 26 651 Femenino 40 1.051 Femenino 25
252 Femenino 26 652 Masculino 65 1.052 Femenino 46
253 Masculino 30 653 Masculino 20 1.053 Femenino 35
254 Masculino 61 654 Masculino 45 1.054 Masculino 66
255 Femenino 31 655 Femenino 39 1.055 Masculino 20
256 Femenino 25 656 Masculino 59 1.056 Femenino 64
257 Femenino 48 657 Femenino 71 1.057 Masculino 46
258 Femenino 61 658 Masculino 64 1.058 Femenino 63
259 Masculino 39 659 Masculino 24 1.059 Femenino 70
260 Masculino 18 660 Femenino 41 1.060 Femenino 24
261 Masculino 24 661 Masculino 56 1.061 Masculino 18
262 Femenino 61 662 Femenino 76 1.062 Masculino 58
263 Femenino 57 663 Femenino 67 1.063 Masculino 48
264 Femenino 39 664 Masculino 73 1.064 Masculino 33
265 Masculino 35 665 Femenino 58 1.065 Masculino 75
266 Femenino 47 666 Femenino 37 1.066 Masculino 23
267 Femenino 21 667 Masculino 42 1.067 Masculino 52
268 Femenino 77 668 Femenino 54 1.068 Femenino 34
269 Femenino 80 669 Femenino 36 1.069 Femenino 57270 Masculino 28 670 Masculino 18 1.070 Masculino 48
271 Femenino 35 671 Masculino 37 1.071 Femenino 70
272 Masculino 36 672 Femenino 26 1.072 Masculino 22
273 Femenino 49 673 Masculino 72 1.073 Femenino 37
274 Femenino 51 674 Femenino 37 1.074 Femenino 26
275 Masculino 63 675 Masculino 26 1.075 Femenino 48
5/10/2018 Estadistica Inductiva[1]GUIA - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/estadistica-inductiva1guia 101/132
Página 101 de 132
276 Masculino 39 676 Femenino 50 1.076 Femenino 51
277 Femenino 22 677 Masculino 65 1.077 Masculino 29
278 Masculino 29 678 Femenino 21 1.078 Masculino 18
279 Femenino 68 679 Masculino 31 1.079 Masculino 64
280 Femenino 46 680 Masculino 19 1.080 Masculino 21
281 Masculino 19 681 Femenino 42 1.081 Femenino 60
282 Masculino 29 682 Masculino 18 1.082 Femenino 49
283 Masculino 25 683 Femenino 30 1.083 Femenino 25
284 Femenino 42 684 Masculino 77 1.084 Femenino 24
285 Masculino 31 685 Femenino 68 1.085 Femenino 46
286 Femenino 30 686 Femenino 66 1.086 Masculino 70
287 Femenino 65 687 Masculino 57 1.087 Masculino 78
288 Masculino 37 688 Femenino 25 1.088 Femenino 86
289 Femenino 19 689 Femenino 25 1.089 Masculino 35
290 Femenino 42 690 Femenino 72 1.090 Femenino 58
291 Femenino 31 691 Masculino 53 1.091 Femenino 30
292 Femenino 51 692 Femenino 34 1.092 Masculino 23
293 Masculino 50 693 Masculino 71 1.093 Femenino 54294 Masculino 65 694 Femenino 38 1.094 Femenino 19
295 Femenino 55 695 Femenino 49 1.095 Femenino 49
296 Masculino 37 696 Masculino 31 1.096 Masculino 46
297 Masculino 63 697 Masculino 53 1.097 Femenino 77
298 Masculino 54 698 Masculino 91 1.098 Masculino 21
299 Femenino 29 699 Femenino 71 1.099 Femenino 19
300 Femenino 40 700 Femenino 23 1.100 Masculino 77
301 Femenino 49 701 Femenino 33 1.101 Femenino 30
302 Masculino 32 702 Femenino 53 1.102 Masculino 42
303 Femenino 22 703 Femenino 75 1.103 Femenino 62
304 Masculino 48 704 Masculino 69 1.104 Masculino 26
305 Femenino 44 705 Masculino 22 1.105 Femenino 29
306 Masculino 31 706 Femenino 47 1.106 Masculino 70
307 Masculino 58 707 Masculino 30 1.107 Masculino 43
308 Masculino 18 708 Masculino 62 1.108 Femenino 52
309 Femenino 39 709 Femenino 71 1.109 Femenino 45
310 Femenino 43 710 Femenino 61 1.110 Femenino 61
311 Femenino 63 711 Masculino 40 1.111 Femenino 23
312 Femenino 29 712 Femenino 38 1.112 Masculino 38
313 Masculino 20 713 Masculino 22 1.113 Masculino 22
314 Masculino 68 714 Masculino 35 1.114 Femenino 43
315 Masculino 68 715 Femenino 25 1.115 Femenino 65
316 Masculino 50 716 Masculino 64 1.116 Femenino 32317 Masculino 42 717 Femenino 38 1.117 Femenino 19
318 Femenino 52 718 Femenino 40 1.118 Masculino 71
319 Femenino 38 719 Masculino 26 1.119 Masculino 54
320 Femenino 77 720 Masculino 31 1.120 Femenino 42
321 Masculino 37 721 Masculino 70 1.121 Femenino 65
322 Femenino 30 722 Masculino 63 1.122 Masculino 37
5/10/2018 Estadistica Inductiva[1]GUIA - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/estadistica-inductiva1guia 102/132
Página 102 de 132
323 Masculino 55 723 Femenino 53 1.123 Masculino 47
324 Femenino 29 724 Femenino 28 1.124 Masculino 32
325 Femenino 80 725 Femenino 36 1.125 Masculino 27
326 Masculino 65 726 Masculino 21 1.126 Femenino 38
327 Femenino 24 727 Masculino 91 1.127 Masculino 57
328 Masculino 65 728 Masculino 48 1.128 Femenino 60
329 Femenino 67 729 Femenino 27 1.129 Femenino 75
330 Femenino 43 730 Masculino 41 1.130 Femenino 28
331 Masculino 21 731 Femenino 82 1.131 Masculino 79
332 Femenino 61 732 Masculino 19 1.132 Masculino 32
333 Masculino 40 733 Femenino 36 1.133 Masculino 43
334 Femenino 57 734 Masculino 20 1.134 Femenino 54
335 Masculino 54 735 Femenino 58 1.135 Femenino 29
336 Femenino 29 736 Masculino 36 1.136 Femenino 61
337 Masculino 40 737 Masculino 70 1.137 Masculino 68
338 Femenino 75 738 Femenino 47 1.138 Masculino 29
339 Masculino 22 739 Masculino 61 1.139 Femenino 47
340 Masculino 22 740 Femenino 26 1.140 Femenino 82341 Femenino 26 741 Masculino 62 1.141 Masculino 21
342 Femenino 33 742 Femenino 32 1.142 Masculino 61
343 Femenino 78 743 Masculino 53 1.143 Femenino 58
344 Femenino 45 744 Femenino 62 1.144 Femenino 29
345 Femenino 36 745 Masculino 67 1.145 Femenino 35
346 Femenino 21 746 Femenino 42 1.146 Masculino 74
347 Masculino 39 747 Masculino 36 1.147 Masculino 40
348 Femenino 62 748 Femenino 18 1.148 Masculino 28
349 Masculino 18 749 Masculino 64 1.149 Femenino 29
350 Masculino 60 750 Masculino 65 1.150 Masculino 32
351 Masculino 20 751 Masculino 29 1.151 Femenino 38
352 Femenino 43 752 Masculino 35 1.152 Masculino 74
353 Femenino 24 753 Femenino 45 1.153 Femenino 65
354 Femenino 73 754 Femenino 54 1.154 Femenino 54
355 Masculino 63 755 Femenino 28 1.155 Masculino 22
356 Masculino 70 756 Masculino 41 1.156 Femenino 28
357 Femenino 28 757 Femenino 59 1.157 Masculino 23
358 Femenino 36 758 Femenino 28 1.158 Femenino 80
359 Masculino 31 759 Femenino 67 1.159 Femenino 22
360 Masculino 48 760 Masculino 45 1.160 Masculino 50
361 Femenino 36 761 Femenino 45 1.161 Femenino 59
362 Masculino 22 762 Masculino 23 1.162 Masculino 49
363 Femenino 26 763 Masculino 34 1.163 Masculino 21364 Femenino 58 764 Masculino 23 1.164 Femenino 50
365 Masculino 65 765 Masculino 60 1.165 Masculino 50
366 Femenino 42 766 Masculino 20 1.166 Femenino 32
367 Masculino 32 767 Femenino 35 1.167 Masculino 48
368 Femenino 38 768 Masculino 41 1.168 Femenino 47
369 Masculino 18 769 Femenino 75 1.169 Femenino 56
5/10/2018 Estadistica Inductiva[1]GUIA - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/estadistica-inductiva1guia 103/132
Página 103 de 132
370 Femenino 24 770 Masculino 71 1.170 Masculino 54
371 Femenino 75 771 Femenino 58 1.171 Femenino 25
372 Femenino 53 772 Femenino 47 1.172 Femenino 49
373 Femenino 58 773 Masculino 38 1.173 Masculino 37
374 Femenino 67 774 Masculino 77 1.174 Femenino 21
375 Masculino 19 775 Masculino 19 1.175 Femenino 51
376 Femenino 30 776 Femenino 34 1.176 Masculino 24
377 Masculino 62 777 Femenino 54 1.177 Masculino 19
378 Masculino 39 778 Femenino 78 1.178 Femenino 38
379 Masculino 44 779 Femenino 23 1.179 Masculino 23
380 Femenino 40 780 Femenino 59 1.180 Masculino 34
381 Femenino 30 781 Masculino 24 1.181 Masculino 42
382 Masculino 56 782 Masculino 63 1.182 Masculino 52
383 Femenino 75 783 Femenino 21 1.183 Femenino 65
384 Femenino 29 784 Masculino 37 1.184 Masculino 67
385 Masculino 39 785 Masculino 69 1.185 Masculino 25
386 Femenino 32 786 Femenino 36 1.186 Femenino 48
387 Masculino 29 787 Femenino 72 1.187 Masculino 39388 Masculino 76 788 Masculino 43 1.188 Femenino 55
389 Femenino 23 789 Femenino 62 1.189 Masculino 23
390 Masculino 49 790 Femenino 45 1.190 Masculino 67
391 Femenino 54 791 Masculino 62 1.191 Masculino 25
392 Femenino 71 792 Femenino 77 1.192 Masculino 19
393 Femenino 44 793 Femenino 40 1.193 Femenino 46
394 Masculino 23 794 Femenino 19 1.194 Masculino 43
395 Femenino 60 795 Masculino 18 1.195 Masculino 65
396 Femenino 49 796 Masculino 30 1.196 Femenino 73
397 Masculino 25 797 Femenino 28 1.197 Femenino 25
398 Femenino 27 798 Masculino 63 1.198 Femenino 27
399 Masculino 61 799 Femenino 33 1.199 Masculino 34
400 Masculino 39 800 Masculino 22 1.200 Femenino 36
5/10/2018 Estadistica Inductiva[1]GUIA - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/estadistica-inductiva1guia 104/132
Página 104 de 132
Valores poblacionales de las variables: Sexo y Edad
Valores poblacionales de las variables: Sexo y Edad
Tamaño de la PoblaciónN = 1200
Edad promedio μ 45,2042
Desviación estándar de la edad σ (X) 18,4239
Proporción Poblacional
P (Femenino) % 51,5833
Q (Masculino) % 48,4167
Desviación estándar del sexo σ (X) 0,4997
Niveles de confianza = 1 - 2* Alfa Valores correspondiente de Z
90,0% 1,6449
95,0% 1,9600
97,5% 2,2414
99,0% 2,5758
99,5% 2,8070
Fórmula para n tamaño de la muestra para lamedia
n = (Z*σ (X)/e )ᴧ2 donde σ (X) es ladesviación estándar de la variable enestudio.
Fórmula para n tamaño de la muestra para la
proporción
n = (Z/e)ᴧ2 *P*Q, donde P y Q son las
proporciones de la variable en estudio.
5/10/2018 Estadistica Inductiva[1]GUIA - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/estadistica-inductiva1guia 105/132
Página 105 de 132
5.7. Cálculo del tamaño de muestra para las variables Sexo y Edad
Determinación del tamaño de muestra de la variable Sexo en función del
nivel de confianza (NC) y del error (e)Error máximo admisible
en porcentajes
Nivel de confianza (Prob) Valores de Z50% 25% 10% 5% 1%
90,00% 1,64493 11 68 270 6757
95,00% 1,96004 15 96 384 9594
97,50% 2,24145 20 125 502 12547
99,00% 2,57587 27 166 663 16571
99,50% 2,80708 31 197 787 19679
Determinación del tamaño de muestra de la variable Edad en función delnivel de confianza (NC) y del error (e)
Error máximo admisibleen años
Nivel de confianza (Prob) Valores de Z
20 10 5 2 190,00% 1,6449
2 9 37 230 91895,00% 1,9600
3 13 52 326 130497,50% 2,2414
4 17 68 426 170599,00% 2,5758
6 23 90 563 225299,50% 2,8070
7 27 107 669 2675
5/10/2018 Estadistica Inductiva[1]GUIA - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/estadistica-inductiva1guia 106/132
Página 106 de 132
6. Estimación puntual y por intervalo de los parámetros.
Intervalos de confianza utilizando desviación estándar
En estadística, la probabilidad que asociamos con una estimación de intervalo se
conoce como el nivel de confianza
Esta probabilidad nos indica que tanta confianza tenemos en que la estimación del
intervalo incluya al parámetro de la población. Una probabilidad mas alta significa
mas confianza.
El intervalo de confianza es el alcance de la estimación que estamos haciendo pero
a menudo hacemos el intervalo de confianza en términos de errores estándar, para
esto debemos calcular el error estándar de la media así:
Donde es el error estándar de la media para una población infinita, es la desviación
estándar de la población.
Con frecuencia expresaremos los intervalos de confianza de esta forma: en la que:
= limite superior del intervalo de confianza
= limite inferior del intervalo de confianza
Relación entre nivel de confianza e intervalo de confianza
Podría pensarse que deberíamos utilizar un alto nivel de confianza, como 99% en
todos los problemas sobre estimaciones, pero en algunos casos altos niveles de
confianza producen intervalos de confianza alto por lo tanto imprecisos.
Debe tenerse un intervalo de confianza que vaya de acuerdo al tema que se este
estimando.
Intervalos de predicción aproximadosuna forma de ver el error estándar de la estimación es concebirla como la
herramienta estadística que podemos usar para hacer un enunciado de
probabilidad sobre el intervalo alrededor del valor estimado de , dentro del cual
cae el valor real de Y.
5/10/2018 Estadistica Inductiva[1]GUIA - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/estadistica-inductiva1guia 107/132
Página 107 de 132
Cuando la muestra es mayor de 30 datos, se calcula los intervalos de predicción
aproximados de la siguiente manera,
Si queremos estar seguros en aproximadamente 65% de que el valor real de Y caerá
dentro de + 1 error estándar de . Podemos calcular los limites superior e inferior deeste intervalo de predicción de la siguiente manera:
= Limite superior del intervalo de predicción
= Limite inferior del intervalo de predicción
Si, en lugar decimos que estamos seguros en aproximadamente 95.5% de que el
dato real estará dentro de + 2 errores estándar de la estimación de . Podríamos
calcular los limites de este intervalo de la siguiente manera:
= Limite superior del intervalo de predicción
= Limite inferior del intervalo de predicción
y por ultimo decimos que estamos seguros en aproximadamente el 99.7% cuando
usamos + 3 errores estándar de la estimación de Podríamos calcular los limites de
este intervalo de la siguiente manera:
= Limite superior del intervalo de predicción
= Limite inferior del intervalo de predicción
Como ya habíamos mencionado solo se usa para grandes muestras (mayores de 30
datos) para muestras más pequeñas se usan la distribución T
Debemos poner énfasis en que los intervalos de predicción son solo
aproximaciones, de hecho los estadísticos pueden calcular el error estándar exacto
para la predicción Sp, usando la formula:
en la que:
X0 = valor especifico de x en el que deseamos predecir el valor de Y
5/10/2018 Estadistica Inductiva[1]GUIA - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/estadistica-inductiva1guia 108/132
Página 108 de 132
7. Contraste de Hipótesis.
8. Regresión simple y Correlación.
La regresión lineal simple, es una herramienta muy importante para la
econometría, que estudia la dependencia existente entre una variable dependiente
y una o más variables explicativas.
El inventor de dicha teoría fue Francis Galton, junto con la del concepto de
correlación
El modelo de regresión lineal simple, busca encontrar la recta de regresion Y = β0
+ β1• X + error que relacione dos variables (X e Y) de forma que el error sea
minimo
Un ejemplo de dicha regresión lineal, es la renta, ya que no podemos saber el nivel
de renta en un futuro, pero si podemos saber si el promedio de la renta aumentará
o disminuirá determinando con cierta exactitud la cantidad
Análisis de Regresión
En el análisis de regresión lo que se pretende es predecir o estimar el valor
promedio de la variable explicada en base a unos valores fijos de las variables
explicativas. En el análisis de regresión, las variables explicativas son fijas y lavariable explicada es estocástica.
Hipótesis del modelo
1. La variable Y se relaciona linealmente con la variable X
2. La variable Y es cuantitativa y aleatoria
3. Los errores son independientes entre si
Correlacion
La correlación es el grado de dependencia mutua entre las variables, y mide la
intensidad de su relación.
5/10/2018 Estadistica Inductiva[1]GUIA - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/estadistica-inductiva1guia 109/132
Página 109 de 132
En otras palabras, el análisis de correlación trata de averiguar el grado o fuerza de
influencia que tienen las variables explicativas (una o más) en la variable
dependiente o explicada.
El coeficiente de correlación es llamado “r”, y su fórmula es:
r = Sxy /[ Sx • Sy] = ∑(x - X )( y - Y) / Raiz* (∑( x - X )2 ∑(y - Y)2] =
= (∑xy - nXY ) / Raiz *(∑x2 – nX2) (∑y2 – nY2)] cuyo valor oscila entre 1 y -1;
X= media de la variable x e Y = media de la variable y
8.1. Principales técnicas utilizadas en el análisis de regresión lineal simple
Diagrama de dispersión e interpretación
El primer paso para determinar si existe o no una relación entre dos variables es
observar la grafica de datos observados. Esta grafica se llama diagrama de
dispersión.
Un diagrama nos puede dar dos tipos de información, visualmente podemos
buscar patrones que nos indiquen que las variables están relacionadas. Entonces si
esto sucede, podemos ver que tipo de línea, o ecuación de estimación, describe esta
relación.
Primero tomamos los datos de la tabla que deseamos analizar y dependiendo de
que se desea averiguar se construye la grafica colocando la variable dependiente
en el eje Y y la independiente en el eje X, Cuando vemos todos estos puntos juntos,
podemos visualizar la relación que existe entre estas dos variables. Como
resultado, también podemos trazar, “o ajustar” una línea recta a través de nuestro
diagrama de dispersión para representar la relación. Es común intentar trazar estaslíneas de forma tal que un numero igual de puntos caiga a cada lado de la línea.
5/10/2018 Estadistica Inductiva[1]GUIA - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/estadistica-inductiva1guia 110/132
Página 110 de 132
Estimación mediante la línea de regresión
Hasta el momento las líneas de regresión se colocaron al ajustar las líneas
visualmente entre los puntos de datos, pero para graficar estas líneas de una forma
más precisa podemos utilizar una ecuación que relaciona las dos variables
matemáticamente.
La ecuación para una línea recta donde la variable dependiente Y esta determinada
por la variable independiente X es: Y = A + B• X + e
La A se denomina intersección con el eje Y porque su valor es el punto en el cual la
línea de regresión cruza el eje Y, es decir el eje vertical.
La B es la pendiente de la línea, representa que tanto por cada cambio de unidad
de la variable independiente X cambia la variable dependiente Y. Tanto A como B
son constantes numéricas, puesto que para cada recta dada, sus valores no
cambian.
5/10/2018 Estadistica Inductiva[1]GUIA - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/estadistica-inductiva1guia 111/132
Página 111 de 132
Recta de regresión por el método de mínimos cuadrados.
Como estamos buscando la línea de estimación que minimiza la suma de los
cuadrados de los errores a este método lo llamamos Método de los Mínimos
Cuadrados.
¿cómo podemos saber cuando hemos encontrado la mejor línea de ajuste?
Los estadísticos han derivado dos formulas que podemos utilizar para encontrar la
pendiente y la intersección Y de la línea de regresión del mejor ajuste. Las formulas
son
A = (∑y / n) – B (∑x / n)
B = *(∑xy / n) -(∑x / n) (∑y / n)/ *(∑x2 / n) - (∑x / n)2]
Verificación de la ecuación de estimación
Ahora que sabemos como calcular la línea de regresión, podemos verificar que
tanto se ajusta.
La suma de los errores individuales positivos y negativos deben dar cero.
Error estándar de la estimación
El error estándar nos permite deducir la confiabilidad de la ecuación de regresión
que hemos desarrollado.
Este error se simboliza σe y es similar a la desviación estándar en cuanto a que
ambas son medidas de dispersión.
El error estándar de la estimación mide la variabilidad, o dispersión de los valores
observados alrededor de la línea de regresión y su formula es la siguiente:
σe = Raiz *∑(y – a – b x)2/(n – 2)] = Raiz [(∑y2 – a∑y – b∑xy)/(n – 2)]
5/10/2018 Estadistica Inductiva[1]GUIA - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/estadistica-inductiva1guia 112/132
Página 112 de 132
Interpretación del error estándar de la estimación
Como se aplicaba en la desviación estándar, mientras más grande sea el error
estándar de estimación, mayor será la dispersión de los puntos alrededor de la
línea de regresión. De manera inversa, si σe = 0, esperemos que la ecuación de
estimación sea un estimador perfecto de la variable dependiente. En este casotodos lo puntos deben caer en la línea de regresión y no habría puntos dispersos.
Usaremos el error estándar como una herramienta de igual forma que la
desviación estándar. Esto suponiendo que los puntos observados están
distribuidos normalmente alrededor de la línea de regresión, podemos encontrar
un 68% de los puntos entre +- 1 σe; 95.5% entre +- 2 σe y 99.7% de los puntos entre
+- 3 σe. Otra cosa que debemos observar es que el error estándar de la estimación
se mide a lo largo del eje Y, y no perpendicularmente de la línea de regresión.
8.2. Análisis de correlación
El análisis de correlación es la herramienta estadística que podemos usar para
describir el grado hasta el cual una variable esta linealmente relacionada con la
otra. Con frecuencia el análisis de correlación se utiliza junto con el análisis de
regresión para medir que tan bien la línea de regresión explica los cambio de la
variable dependiente Y. Sin embargo, la correlación también se puede usar sola
para medir el grado de asociación entre dos variables.
Los estadísticos han desarrollado dos medidas para describir la correlación entre
dos variables: el coeficiente de determinación y el coeficiente de correlación.
Coeficiente de determinación
El coeficiente de determinación es la principal forma en que podemos medir la
extensión, o fuerza de asociación que existe entre dos variables, X y Y. Puesto que
hemos desarrollado una muestra de puntos para desarrollar las líneas de regresión,
nos referimos a esta medida como el coeficiente de determinación de la muestra.
El coeficiente de determinación de la muestra se desarrolla de la relación entre dos
tipos de variación: la variación de los valores Y en conjunto de los datos alrededor
de
5/10/2018 Estadistica Inductiva[1]GUIA - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/estadistica-inductiva1guia 113/132
Página 113 de 132
• la línea de regresión ajustada
• su propia media
el termino variación en estos dos casos se refiere a “la suma de un grupo de
desviaciones cuadradas”. Al usar esta definición, entonces es razonable expresar lavariación de los valores Y alrededor de la línea de regresión con esta ecuación:
variación de los valores Y alrededor de la línea de regresión = ∑ ( y – Yr)2
la segunda variación, la de los valores de Y con respecto a su propia media, esta
determinada por
variación de los valores de Y alrededor de su propia media = ∑ ( y – Y)2
uno menos la razón entre estas dos variaciones es el coeficiente de determinación
de la muestra que se simboliza r2 = ∑ ( Yr -Y)2/ ∑ ( y – Y)2
esta ecuación es una medida del grado de asociación lineal entre X y Y
Una correlación perfecta es aquella en que todos los valores de Y caen en la línea
de estimación , por lo tanto el coeficiente de determinación es 1
Cuando el valor del coeficiente de determinación es 0 quiere decir que no haycorrelación entre las dos variables
En los problemas con que se topa la mayoría de los responsables de la toma de
decisiones, r2 caerá en alguna parte entre estos dos extremos de 1 y 0. recuerde, no
obstante que un r2 cercano a 1 indica una fuerte correlación entre X y Y, mientras
que un r2 cercano a 0 significa que existe poca correlación entre estas dos variables.
Un punto que debemos subrayar fuertemente es que r2 mide solo la fuerza de una
relación lineal entre dos variables.
Otra interpretación de r2
Los estadísticos también interpretan el coeficiente de determinación viendo la
cantidad de variación en Y que es explicada por la línea de regresión.
5/10/2018 Estadistica Inductiva[1]GUIA - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/estadistica-inductiva1guia 114/132
Página 114 de 132
Método de atajo para calcular el coeficiente de determinación (r2)
Hay una formula que nos ahorra muchos cálculos tediosos y esta es:
en la que:
• r2= coeficiente de determinación de la muestra
• a = intersección en Y
• b = pendiente de la línea de estimación de mejor ajuste
• n = numero de puntos de datos
• X = valores de la variable independiente
• Y = valores de la variable dependiente
• = media de los valores observados de la variable dependiente
Coeficiente de correlación
El coeficiente de correlación es la segunda medida que podemos usar para
describir que también una variable es explicada por la otra. Cuando tratamos con
muestras, el coeficiente de variación de muestra se denomina como r y es la raíz
cuadrada del coeficiente de determinación de la muestra:
cuando la pendiente de estimación de la muestra es positiva, r es la raíz cuadrada
positiva, pero si b es negativa, r es la raiz cuadrada negativa. Por lo tanto, el signo
de indica la dirección de la relación entre las dos variables X y Y. Si existe una
relación inversa, esto es , si y disminuye
Ejercicio de regresión lineal simple
Un corredor de bienes raíces estudio la relación entre X= ingreso anual en miles de Bs.Fde los compradores de viviendas e Y= precio de ventas de las viviendas en miles de Bs.F
Se obtuvieron los datos de las solicitudes hipotecarias correspondientes a 24 ventas en una
temporada en el área de interés del corredor.
5/10/2018 Estadistica Inductiva[1]GUIA - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/estadistica-inductiva1guia 115/132
Página 115 de 132
X=Ingreso 25.0 28.5 29.2 30.0 31.0 31.5 31.9 40.9
Y=precio 84.9 94.0 96.5 93.5 102.9 99.5 101.0 120.8
X=Ingreso 33.5 34.0 35.9 36.0 39.0 39.0 40.5 33.0
Y=precio 110.0 100.0 116.0 110.0 125.0 119.9 130.6 99.9
X=Ingreso 44.0 45.0 50.5 54.6 65.0 70.0 32.0 42.5
Y=precio 135.5 140.0 150.7 170.0 110.0 185.0 105.0 129.9
X =Ingresos
Y =Precios
PreciosProyectados
25 84,9 92,22
28,5 94 98,53
29,2 96,5 99,79
30 93,5 101,23
31 102,9 103,03
31,5 99,5 103,93
31,9 101 104,65
40,9 120,8 120,88
33,5 110 107,54
34 100 108,44
35,9 116 111,87
36 110 112,05
39 125 117,45
39 119,9 117,45
5/10/2018 Estadistica Inductiva[1]GUIA - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/estadistica-inductiva1guia 116/132
Página 116 de 132
40,5 130,6 120,16
33 99,9 106,64
44 135,5 126,47
45 140 128,27
50,5 150,7 138,18
54,6 170 145,57
65 110 164,32
70 185 173,34
32 105 104,83
42,5 129,9 123,76
5/10/2018 Estadistica Inductiva[1]GUIA - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/estadistica-inductiva1guia 117/132
Página 117 de 132
Coeficiente
de
Regresión
A
47,15
Coeficiente
de
Regresión
B
1,80
Coeficiente
de
Correlación
R
0,8201
5/10/2018 Estadistica Inductiva[1]GUIA - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/estadistica-inductiva1guia 118/132
Página 118 de 132
9. Series Cronológicas o Series de Tiempo.Una serie cronológica, está formada por un conjunto de observaciones de unavariable, ordenadas en función del tiempo.
Su ámbito de aplicación, no está limitado a la esfera estrictamente económica. Su
metodología puede utilizarse en la medicina (electrocardiograma,electroencefalograma, etc.), agricultura (evolución de las lluvias en las diferentesestaciones), psicología (evolución del coeficiente intelectual de una persona) y enmuchas otras disciplinas.
El propósito perseguido con el análisis de series, consiste en predecir los valores
futuros de la variable estudiada.
Para ello, las observaciones son descompuestas en un conjunto de elementos
(componentes), que permitan descubrir las regularidades que presentan.
El análisis de series cronológicas, se realiza a través de dos modelos básicos.
A) Modelo Aditivo Yt = Tt + St + Ct + Et
B) Modelo Multiplicativo Yt = Tt * St * Ct * Et
Yt - Variable estudiada
Tt - Tendencia
St - Variaciones estacionales
Ct - Fluctuaciones cíclicas
Et – Sucesos aleatorios o irregulares
La elección del modelo a utilizar, estará dada por el que mejor se ajuste a los datos,
de cada problema en particular.
En el modelo aditivo todos los componentes son valores reales, mientras que en el
multiplicativo, la tendencia es real, pero los restantes componentes se expresancomo un porcentaje de ella.
5/10/2018 Estadistica Inductiva[1]GUIA - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/estadistica-inductiva1guia 119/132
Página 119 de 132
9.1. Componentes de una serie cronológica
Tendencia ( Tt )El componente de tendencia de una serie representa movimientos lentos y
graduales del conjunto de datos. Su desplazamiento es uniforme, y se identifica
con los cambios permanentes y fundamentales, como los crecimientos de la
población, los cambios en el salario real de una comunidad, etc.
Si analizamos el consumo de un producto alimenticio, en condiciones normales, esrazonable suponer que un aumento en la población, traerá como consecuencia unmayor consumo del mismo.
Este aumento no se percibe en períodos cortos de tiempo, pues como veremos,
existen otros factores que distorsionan las observaciones, pero sí se advierte en ellargo plazo.
En el gráfico se aprecia una tendencia creciente, a pesar de que las observaciones
fluctúan a lo largo del tiempo, por la influencia de los otros componentes.
0
5
10
15
20
25
3035
40
45
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
5/10/2018 Estadistica Inductiva[1]GUIA - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/estadistica-inductiva1guia 120/132
Página 120 de 132
Estacionalidad o variacionales estacionales (St )Las variaciones estacionales representan los movimientos oscilatorios,
dentro de un plazo relativamente corto (un año o menos). En el período escogido,
presentan una considerable dosis de regularidad.
Si analizamos la evolución de las ventas de una heladería, encontraremos
picos bastantes acentuados, en los meses de verano. La estación, está
condicionando la distribución de las ventas anuales, y ese cuadro se repetirá en los
años sucesivos.
El concepto de estacionalidad, se utiliza también para explicar variaciones
que no se corresponden con el concepto de “estación”.
Las mayores ventas de un supermercado los días sábado, también se consideran
fluctuaciones estacionales, por ser una configuración repetida a intervalos
regulares, del mismo fenómeno.
Ciclos o fluctuaciones cíclicas (Ct )Las fluctuaciones cíclicas, se identifican con los movimientos oscilatorios
alrededor de la tendencia, que no se encuentran ceñidos a períodos regulares, pero
que siempre son de largo plazo. Aunque son fenómenos diferentes, podemos
asociar (al solo efecto de su compresión) estas fluctuaciones, al concepto de cicloeconómico.
Ellos se caracterizan por una primera etapa de crecimiento acelerado, a
mayor ritmo que la tendencia.
Esta faz expansiva del ciclo, hace que los valores aumenten por encima del
valor de tendencia, hasta llegar al momento del “boom” en el cual la situación se
revierte.
Los valores comienzan a caer vertiginosamente en esta faz depresiva, hastaque un nuevo impulso vuelva a estabilizar la situación, y pueda dar lugar al
surgimiento de un nuevo ciclo.
La construcción de viviendas en el Uruguay, ha estado caracterizada porfluctuaciones de este tipo.
5/10/2018 Estadistica Inductiva[1]GUIA - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/estadistica-inductiva1guia 121/132
Página 121 de 132
Erraticidad o sucesos aleatorios o irregulares (Et )Los sucesos aleatorios o irregulares, reflejan el componente de la serie que varía en
forma totalmente esporádica.
Sus variaciones son generalmente ocasionadas por factores accidentales(huelgas, terremotos, inundaciones).
Si estudiamos las ventas de una empresa, cuya fábrica se incendió y
permaneció seis meses inactiva, es lógico encontrar una caída brusca durante ese
período.
Este componente representa un residuo, que no puede ser explicado por
las variaciones de tendencia, estacionalidad y ciclo.
Sus movimientos suelen suavizarse mediante la utilización de promedios,
que distribuyen sus efectos a lo largo del tiempo.
9.2. Tendencia.Cuando se desea conocer la evolución de una variable en el largo plazo, el estudio
de la tendencia se convierte en un factor relevante.
La orientación de la demanda en el largo plazo, es un aspecto de vital importanciapara muchas empresas. Una demanda creciente, puede indicar la ampliación de lasinstalaciones, adquirir maquinaria y equipos más productivos, o requerir fondosque financien su desarrollo.
Una demanda decreciente en cambio, puede sugerir otro tipo de cambios, como
reducir los gastos fijos, reconsiderar la política de publicidad, o lanzar nuevos
productos al mercado.
Para obtener la tendencia es necesario proceder a su aislamiento. Esto se realiza en
función de los siguientes objetivos básicos:
1. Para proyectar los valores futuros de la variable.
5/10/2018 Estadistica Inductiva[1]GUIA - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/estadistica-inductiva1guia 122/132
Página 122 de 132
2. Para eliminar la tendencia calculada para la serie, y estudiar elcomportamiento de los restantes componentes.
La ecuación de la tendencia puede ser lineal o curvilínea (parábola, exponencial).
Nuestro enfoque será lineal por la gran aplicabilidad que posee y la simplicidad
de los cálculos.
La estimación de la tendencia puede hacerse mediante diversos métodos, nosotros
utilizaremos el método de los mínimos cuadrados.
Método de los mínimos cuadrados
Este método es el más utilizado para la obtención de la tendencia y ya fue
definido al hablar de regresión.En este caso consideraremos a la variable X (tiempo) como independiente e Y
(valores observados) como dependiente, y las llamamos “t” y “Yt”
respectivamente.
Suponemos que el sistema causal que influye en la serie, es una función del
tiempo.
Los coeficientes de la recta, definidos al hablar de recta de regresión son:
A = (∑y / n) – B (∑x / n)
B = *(∑xy / n) -(∑x / n) (∑y / n)/ *(∑x2 / n) - (∑x / n)2]
5/10/2018 Estadistica Inductiva[1]GUIA - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/estadistica-inductiva1guia 123/132
Página 123 de 132
Ejemplo.
Año t Yt t.Yt t2
1998 1 10 10 1
1999 2 12 24 4
2000 3 11 33 9
2001 4 13 52 16
2002 5 14 70 25
2003 6 16 96 36
2004 7 12 84 49
2005 8 15 120 64
2006 9 14 126 81
45 117 615 285
B = [( 615/ 9) -(45 / 9) (117 / 9)]/ [(285 / 9) - (45 / 9)2] = 0,50
A = (117 / 9) – 0,50 (45 / 9) = 10,50
Yt = A + B Xt = 10,50 + 0,50 Xt
La primera columna y la tercera corresponden a información obtenida, o
sea los datos en el tiempo. Las restantes columnas son de cálculo para hallar los
coeficientes de la recta.
Con la recta obtenida pueden proyectarse los valores de tendencia para losaños siguientes.
5/10/2018 Estadistica Inductiva[1]GUIA - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/estadistica-inductiva1guia 124/132
Página 124 de 132
Si quisiéramos conocer el valor para 2009 bastaría identificar el número que
le corresponde a ese año el cual es 12 y sustituirlo en la recta
Yt = 10,50 + 0,50 x 12 = 16,50
9.3. Variaciones estacionales
Las variaciones estacionales de una serie cronológica, son aquellasfluctuaciones que se repiten regularmente dentro del año.
El aislamiento del componente estacional, se funda en los siguientes
objetivos:
a.- Para identificar los valores estacionales, que complementan la estimaciónde valores futuros a través de la tendencia.
b.- Para estudiar el componente cíclico de la serie desestacionalizada.
Por ejemplo, si los productos que comercializa una empresa, tienen una
demanda estacional, el ritmo de producción de los mismos, deberá adaptarse
lógicamente a estos factores.
Si esa empresa se dedica a la fabricación y venta de equipos de calefacción y
aire acondicionado, no puede pasar por alto los factores estacionales opuestos quetienen sus productos.
El proceso productivo se diseñará, para tener los calefactores en stock antes
de comenzar el invierno, y los equipos de frío antes del verano, procurando que los
stocks de los mismos sean mínimos fuera de la temporada.
En las siguientes líneas, veremos los métodos más usuales para aislar el
componente estacional.
Método de diferencia a la tendencia
Este procedimiento consiste en restar la tendencia de la información
5/10/2018 Estadistica Inductiva[1]GUIA - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/estadistica-inductiva1guia 125/132
Página 125 de 132
original, para eliminar posteriormente las variaciones cíclicas e irregulares a través
de la promediación.
t t t t t E C ST Y ; luego t t t t t E C ST Y
Al promediar los elementos del segundo miembro, se suavizan los
factores cíclicos y accidentales, quedando aislada la función estacional.
Ejemplo:
2004 2005 2006
1er cuatrim. 16 19 24
2do
cuatrim. 19 26 34
3er cuatrim. 24 31 41
Yt = A + B Xt = 12,917 + 2,617 Xt
Los valores de tendencia para cada uno de los cuatrimestres son los que
aparecen en el siguiente cuadro.
2004 2005 2006
1er cuatrim. 15.533 23.383 31.233
2do cuatrim. 18.150 26.000 33.850
3er cuatrim. 20.767 28.617 36.467
5/10/2018 Estadistica Inductiva[1]GUIA - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/estadistica-inductiva1guia 126/132
Página 126 de 132
Si restamos los valores de tendencia hallados, de los valores observados del
cuadro anterior, se obtiene un nuevo cuadro con las diferencias, que luego se
promedian para calcular el componente estacional.
La función de estacionalidad (St) es la que aparece en la última columna. Si
por efecto del redondeo de cifras, su suma no fuera nula, los valores deberían
ajustarse, sumando o restando una constante adecuada.
Si quisiéramos proyectar los valores de la serie para 2007 en base a tendencia y
estacionalidad, haríamos lo siguiente:
1er cuatr./07=5ˆY = 12,917 + 2,617 x 10 – 3,716 = 35,371
2do cuatr./07=6ˆY = 12,917 + 2,617 x 11 + 0,333 = 42,037
3er cuatr./07=7ˆY = 12,917 + 2,617 x 12 + 3,383 = 47,704
Método del porcentaje de tendencia.
Este procedimiento es similar al descrito en el punto anterior, salvoque la eliminación de la tendencia, se realiza mediante una división, pues se
aplica en esquemas multiplicativos.
t t t t t E C ST Y *** ; luego t t t
t
t E C ST
Y **
2004 2005 2006 Σ Σ /3
1er cuatrim. 0.467 -4.383 -7.233 -11.149 -3.716
2do cuatrim. 0.850 0.000 0.150 1.000 0.333
3er cuatrim. 3.233 2.383 4.533 10.149 3.383
0 0
5/10/2018 Estadistica Inductiva[1]GUIA - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/estadistica-inductiva1guia 127/132
Página 127 de 132
Los valores obtenidos se promedian para suavizar las variaciones
cíclicas e irregulares.
Para ilustrar el mecanismo de cálculo, podemos utilizar los valores
hallados en el punto anterior.
Yt Tt Yt / Tt
16 15.532 1.0302
19 18.149 1.0469
24 20.766 1.1558
19 23.383 0.8126
26 26 1.0000
31 28.617 1.0833
24 31.234 0.7684
34 33.851 1.0044
41 36.468 1.1243
St
Yt/Tt 2004 2005 2006 Σ Σ /3 Ajuste
1er cuatrim. 1,0302 0,8126 0,7684 2,6112 0,8704 0,8679
2do cuatrim. 1,0469 1,0000 1,0044 3,0513 1,0171 1,0142
3er cuatrim. 1,1558 1,0833 1,1243 3,3634 1,1211 1,1179
3,0086 3,0000
5/10/2018 Estadistica Inductiva[1]GUIA - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/estadistica-inductiva1guia 128/132
Página 128 de 132
La suma de los valores estacionales debe ser 3, pues estamos considerando
3 cuatrimestres
Esto significa que en el 1er cuatrimestre, los valores se encuentran
Un 13.21% por debajo del promedio, mientras que en el segundo y tercero, estánrespectivamente el 1.42% y 11.79% por encima de él.
Ejercicio sobre serie cronológica o de tiempo
Un proveedor de equipos de informática acumula durante 5 años los datos relativos a las
ventas mensuales de computadoras. Los datos en miles de unidades son los siguientes:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Ano E F M A M J J A S O N D To
1 101.9 93.0 93.5 93.9 104.9 94.6 105.9 116.7 128.4 118.2 107.3 108.6
2 109.0 98.4 99.1 110.7 100.2 112.1 123.8 135.8 124.8 114.1 114.9 112.9
3 115.5 104.5 105.1 105.4 117.5 106.4 118.6 130.9 143.7 132.2 120.8 121.3
4 122.0 110.4 110.8 111.2 124.4 112.4 124.9 138.0 151.5 139.5 127.7 128.0
5 128.1 115.8 116.0 117.2 130.7 117.5 131.8 145.5 159.3 146.5 134.0 134.2
Total
a) Trace una grafica de los datos. Puede ver una tendencia global en los datos?Parece haber efectos cíclicos o estacionales?
b) Ajuste una ecuación de tendencia lineal Yt=A+B t a los datos. Yt representa lasventas correspondientes al mes t, donde t= 1,2,3………..60. y trace la curva de
tendencia lineal sobre la misma grafica en donde están los datos.c) Determine los valores de A Y B de la recta de ajuste y estime algunos valores de
Yt.d) Interprete los resultados y exprese sus conclusiones.
5/10/2018 Estadistica Inductiva[1]GUIA - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/estadistica-inductiva1guia 129/132
Página 129 de 132
5/10/2018 Estadistica Inductiva[1]GUIA - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/estadistica-inductiva1guia 130/132
Página 130 de 132
Meses
Meses Producción
Año 1
Producción
Año 2
Producción
Año 3
Producción
Año 4
Producción
Año 5
Enero 1 101,90 109 115,5 122 128,1
Febrero 2 93,00 98,4 104,5 110,4 115,8
Marzo 3 93,50 99,1 105,1 110,8 116
Abril 4 93,90 110,7 105,4 111,2 117,2
Mayo 5 104,90 100,2 117,5 124,4 130,7
Junio 6 94,60 112,1 106,4 112,4 117,5
Julio 7 105,90 123,8 118,6 124,9 131,8
Agosto 8 116,70 135,8 130,9 138 145,5
Septiembre 9 128,40 124,8 143,7 151,5 159,3
Octubre 10 118,20 114,1 132,2 139,5 146,5
Noviembre 11 107,30 114,9 120,8 127,7 134
Diciembre 12 108,60 112,9 121,3 128 134,2
Coeficiente
de
Regresión
A 92,06 101,95 103,85 109,67 115,17
Coeficiente
de
Regresión
B 2,08 1,70 2,25 2,37 2,50
5/10/2018 Estadistica Inductiva[1]GUIA - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/estadistica-inductiva1guia 131/132
Página 131 de 132
Meses Meses
Pronostico
Año 1
Pronostico
Año 2
Pronostico
Año 3
Pronostico
Año 4
Pronostico
Año 5
Enero 1 94,14 103,65 106,11 112,04 117,66
Febrero 2 92,61 101,94 104,36 110,20 115,68
Marzo 3 90,48 100,11 102,10 107,87 113,16
Abril 4 90,14 97,58 101,73 107,50 112,71
Mayo 5 92,95 96,84 104,89 110,83 116,17
Junio 6 100,63 107,42 112,99 119,29 125,18
Julio 7 100,29 107,57 112,71 119,04 124,90
Agosto 8 101,06 106,17 113,52 119,89 125,87
Septiembre 9 98,94 106,64 111,24 117,41 123,28
Octubre 10 98,11 103,30 110,43 116,58 122,23
Noviembre 11 99,50 103,33 112,12 118,46 124,21
Diciembre 12 108,53 109,05 122,43 129,33 135,73
5/10/2018 Estadistica Inductiva[1]GUIA - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/estadistica-inductiva1guia 132/132
Página 132 de 132