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ESTIMACIÓN DE LA VARIABILIDAD DE LA DERIVA Y DEL CORTANTE BASAL
RESISTENTE DE PÓRTICOS DE CONCRETO REFORZADO EN BOGOTÁ.
MARIA CLAUDIA BORRERO CHAUX
PONTIFICIA UNIVERSIDAD JAVERIANA
FACULTAD DE INGENIERÍA
DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA CIVIL
BOGOTÁ, COLOMBIA
JUNIO DE 2011
___________________________________
FIRMA
_________________________
FECHA
ESTIMACIÓN DE LA VARIABILIDAD DE LA DERIVA Y DEL CORTANTE BASAL
RESISTENTE DE PÓRTICOS DE CONCRETO REFORZADO EN BOGOTÁ.
MARIA CLAUDIA BORRERO CHAUX
PONTIFICIA UNIVERSIDAD JAVERIANA
FACULTAD DE INGENIERÍA
DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA CIVIL
BOGOTÁ, COLOMBIA
JUNIO DE 2011
ESTIMACIÓN DE LA VARIABILIDAD DE LA DERIVA Y DEL CORTANTE BASAL
RESISTENTE DE PÓRTICOS DE CONCRETO REFORZADO EN BOGOTÁ.
TRABAJO DE GRADO PARA OPTAR AL TÍTULO DE INGENIERO CIVIL
MARIA CLAUDIA BORRERO CHAUX
DIRECTOR
DANIEL MAURICIO RUIZ VALENCIA
INGENIERO CIVIL M.Sc.
PONTIFICIA UNIVERSIDAD JAVERIANA
FACULTAD DE INGENIERÍA
DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA CIVIL
BOGOTÁ, COLOMBIA
JUNIO DE 2011
Bogotá, 11 de Julio de 2011
Ingeniera
Sandra Patricia Jarro Sanabria
Directora de Carrera
Ingeniería Civil
Pontificia Universidad Javeriana
Apreciada Ingeniera:
Por medio de la presente hacemos entrega del proyecto de grado titulado: “ESTIMACIÓN
DE LA VARIABILIDAD DE LA DERIVA Y DEL CORTANTE BASAL RESISTENTE DE
PÓRTICOS DE CONCRETO REFORZADO EN BOGOTÁ”.
Atentamente,
Maria Claudia Borrero Chaux
C.C.: 1 020 752 060
REGLAMENTO DE LA PONTIFICIA UNIVERSIDAD JAVERIANA
Art. 23 de la resolución No. 13 del 6 de Julio de 1964
“La Universidad no se hace responsable por los conceptos emitidos por sus alumnos en sus trabajos de tesis. Solo velará porque no se publique nada contrario al dogma y la moral católica y porque las tesis no contengan ataques o polémicas puramente personales; antes bien, se ve en ellas el anhelo de buscar la verdad y la justicia”.
FORMATO DE DESCRIPCIÓN DE LA TESIS
AUTOR (O AUTORES)
Apellidos Borrero Chaux Nombres Maria Claudia .
TÍTULO DEL TRABAJO
ESTIMACIÓN DE LA VARIABILIDAD DE LA DERIVA Y DEL CORTANTE BASAL
RESISTENTE DE PÓRTICOS DE CONCRETO REFORZADO EN BOGOTÁ.
CIUDAD BOGOTÁ AÑO DE ELABORACIÓN 2011 .
NÚMERO DE PÁGINAS 188
TIPO DE ILUSTACIONES Esquemas de Word, modelos en SAP2000, esquemas de
AutoCAD, gráficas en Excel y esquemas de Bestfit. .
MATERIAL ANEXO Esquemas de SAP2000, esquemas de Bestfit, archivos Microsoft
Excel. .
FACULTAD Ingeniería PROGRAMA Ingeniería Civil
TÍTULO OBTENIDO Ingeniero Civil
MENCIÓN
DESCRIPTORES
Deriva elástica, deriva inelástica, análisis no lineal estático, variabilidad de las
propiedades mecánicas de los materiales, análisis no lineal Pushover, cortante basal
resistente.
Bogotá, 11 de Julio de 2011
Señores
BIBLIOTECA GENERAL
Pontificia Universidad Javeriana
Ciudad
Respetados Señores,
Autorizo a los interesados, consultar y reproducir (parcial o totalmente) el contenido del
trabajo de grado titulado: “ESTIMACIÓN DE LA VARIABILIDAD DE LA DERIVA Y DEL
CORTANTE BASAL RESISTENTE DE PÓRTICOS DE CONCRETO REFORZADO EN
BOGOTÁ”, presentado por la estudiante Maria Claudia Borrero Chaux como requisito para
optar por el título de Ingeniero Civil, en el año 2011, siempre que mediante la
correspondiente cita bibliográfica se les dé crédito al trabajo de grado y a sus autores.
Atentamente,
Maria Claudia Borrero Chaux
C.C.: 1 020 752 060
AGRADECIMIENTOS
La autora agradece cordialmente a:
CESAR AUGUSTO BORRERO GARCÍA, Ingeniero Civil, padre maravilloso y ejemplo de
vida, por su apoyo, su dedicación y su amor.
A mi madre, mi hermano, mis familiares, mis amigos y todos aquellos conocidos y
desconocidos que me apoyaron, colaboraron y acompañaron incondicionalmente durante
la realización del trabajo.
RICARDO JARAMILLO RIVERA y CARLOS EDUARDO RIVEROS PEDRAZA,
compañeros de estudio y futuros ingenieros civiles, por su gran colaboración y su eterna
paciencia.
DANIEL MAURICIO RIUZ VALENCIA, Ingeniero Civil y Director del trabajo grado, por la
colaboración, las enseñanzas, las correcciones, la confianza y la paciencia durante el
desarrollo del trabajo.
A mis padres, mi hermano y mi familia.
A todos aquellos que sueñan.
Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá.
Introducción Página 11 de 188
TABLA DE CONTENIDO
1 Introducción ............................................................................................................. 27
1.1 Objetivos............................................................................................................ 29
1.1.1 Objetivo general ......................................................................................... 29
1.1.2 Objetivos específicos .................................................................................. 29
1.2 Alcance .............................................................................................................. 29
2 Marco teórico ........................................................................................................... 30
2.1 Conceptos básicos del análisis no lineal ............................................................ 30
2.1.1 Análisis no lineal por la geometría .............................................................. 30
2.1.2 Análisis no lineal por el material .................................................................. 31
2.2 Materiales .......................................................................................................... 32
2.2.1 Concreto inconfinado .................................................................................. 32
2.2.2 Concreto confinado ..................................................................................... 34
2.2.3 Acero de refuerzo ....................................................................................... 35
2.3 Diagrama momento curvatura ............................................................................ 36
2.3.1 Determinación de la curva teórica del diagrama M-f para vigas
simplemente reforzadas ........................................................................................... 38
2.3.1.1 Punto A: primer agrietamiento ........................................................... 41
2.3.1.2 Punto B: punto de fluencia del acero ................................................. 42
2.3.1.3 Punto C punto último ......................................................................... 44
2.3.2 Determinación de la curvatura teórica del diagrama M – φ para columnas . 46
2.3.2.1 Punto A: Primer agrietamiento .......................................................... 48
2.3.2.2 Punto B: Punto de fluencia del acero a tensión ................................. 48
2.3.2.3 Punto C punto ultimo ......................................................................... 51
2.4 Nivel de desempeño de las estructuras ............................................................. 53
2.4.1 Elementos estructurales ............................................................................. 53
2.4.2 Elementos no estructurales ........................................................................ 55
Maria Claudia Borrero Chaux
Página 12 de 188 Introducción
2.4.3 Nivel global de desempeño ......................................................................... 55
2.5 Respuesta histerética ........................................................................................ 57
2.6 Deriva inelástica ................................................................................................ 62
2.7 Variabilidad de las propiedades mecánicas de los materiales de Bogotá........... 64
2.7.1 Concreto ..................................................................................................... 64
2.7.2 Acero de refuerzo ....................................................................................... 68
3 Análisis de la variabilidad de los materiales ............................................................. 70
3.1 Concreto ............................................................................................................ 70
3.2 Acero de refuerzo .............................................................................................. 74
3.3 Generación de números aleatorios ................................................................... 82
3.4 Fórmula para determinar el módulo de elasticidad ............................................. 85
4 Diseño de pórticos ................................................................................................... 88
4.1 Metodología de diseño....................................................................................... 90
4.1.1 Avalúo de Cargas. ...................................................................................... 90
4.1.1.1 Carga muerta .................................................................................... 91
4.1.1.2 Carga viva ......................................................................................... 93
4.2 Metodología de Análisis ..................................................................................... 94
4.2.1 Dimensionamiento de elementos estructurales ........................................... 95
4.2.2 Modos de vibración. .................................................................................... 97
4.2.3 Diseño de concreto reforzado. .................................................................... 99
5 Deriva Elástica ....................................................................................................... 104
5.1 Visual Basic ..................................................................................................... 105
5.2 Piedemonte-B .................................................................................................. 107
5.2.1 Análisis dinámico elástico espectral .......................................................... 108
5.2.2 Fuerza Horizontal Equivalente .................................................................. 112
5.3 Lacustre-500 .................................................................................................... 117
Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá.
Introducción Página 13 de 188
5.3.1 Análisis dinámico elástico espectral .......................................................... 117
5.3.2 Fuerza Horizontal Equivalente .................................................................. 121
5.4 Análisis de resultados ...................................................................................... 126
6 Deriva inelástica ..................................................................................................... 130
6.1 Visual Basic ..................................................................................................... 131
6.2 Piedemonte-B .................................................................................................. 136
6.3 Lacustre-500 .................................................................................................... 157
6.4 Análisis de resultados ...................................................................................... 175
7 Cortante basal resistente ....................................................................................... 177
7.1 Piedemonte-B .................................................................................................. 177
7.2 Lacustre-500 .................................................................................................... 179
8 Conclusiones y recomendaciones .......................................................................... 182
9 Referencias ............................................................................................................ 185
Maria Claudia Borrero Chaux
Página 14 de 188 Introducción
ÍNDICE DE TABLAS
Tabla 2-1 Propiedades de la sección ............................................................................... 42
Tabla 2-2 Propiedades de la sección ............................................................................... 47
Tabla 2-3 Niveles de desempeño. Tomado de (ATC-40, 1996)....................................... 57
Tabla 2-4 Pasos para ir de carga a deflexión en sistemas elásticos. Teoría de Navier.
Tomado de (García, 1998) ............................................................................................... 59
Tabla 2-5 Valores estadísticos para el total de barras ensayadas. Tomado de (González et
al, 2005) ........................................................................................................................... 69
Tabla 3-1 Análisis estadístico Resistencia a la compresión del concreto (f'c) .................. 71
Tabla 3-2 Análisis estadístico Módulo elástico del concreto (E). ..................................... 73
Tabla 3-3 Análisis estadístico Resistencia a la fluencia (fy) ............................................. 75
Tabla 3-4 Análisis estadístico Resistencia última (fu) ....................................................... 76
Tabla 3-5 Análisis estadístico Resistencia a la fluencia (fy) para barras de 1" ................ 78
Tabla 3-6 Análisis estadístico Resistencia última (fu) para barras de 1”. ......................... 80
Tabla 3-7 Análisis estadístico fu/fy ................................................................................... 81
Tabla 3-8 Análisis estadístico de 1500 valores aleatorios de la resistencia a la compresión
del concreto (f'c) .............................................................................................................. 83
Tabla 3-9 Análisis estadístico de 1000 valores aleatorios de la resistencia a la fluencia (fy)
........................................................................................................................................ 84
Tabla 4-1 Características de los materiales ..................................................................... 89
Tabla 4-2 Características espectros de diseño ................................................................ 89
Tabla 4-3. Características de la losa de entrepiso............................................................ 91
Tabla 4-4. Avalúo de carga muerta para pisos intermedios. ............................................. 91
Tabla 4-5. Peso por metro lineal vigas para pisos intermedios......................................... 92
Tabla 4-6. Avalúo de carga muerta para la cubierta. ........................................................ 92
Tabla 4-7. Cargas por metro lineal para vigas de cubierta. .............................................. 92
Tabla 4-8. Avalúo de carga Viva. ..................................................................................... 93
Tabla 4-9. Dimensiones de elementos estructurales ........................................................ 96
Tabla 4-10 Modos de vibración, periodos y participaciones modales de masa para
Piedemonte-B. ................................................................................................................. 98
Tabla 4-11. Modos de vibración, periodos y participaciones modales de masa Lacustre-
500. ................................................................................................................................. 99
Tabla 4-12 Refuerzo para pórtico Lacustre. ................................................................... 101
Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá.
Introducción Página 15 de 188
Tabla 4-13 Refuerzo para pórtico Piedemonte ............................................................... 103
Tabla 5-1 Análisis estadístico para 1000 valores de deriva elástica por el método del
espectro - Piedemonte. .................................................................................................. 109
Tabla 5-2 Análisis estadístico para 500 valores de deriva elástico por el método del
espectro - Piedemonte. ................................................................................................. 110
Tabla 5-3 Análisis estadístico para 1500 valores de deriva elástica por el método del
espectro - Piedemonte. .................................................................................................. 110
Tabla 5-4 Fuerza horizontal equivalente - Piedemonte. ................................................ 112
Tabla 5-5 Análisis estadístico para 1000 valores de deriva elástica por el método de FHE -
Piedemonte.................................................................................................................... 113
Tabla 5-6 Análisis estadístico para 500 valores de deriva elástico por el método FHE -
Piedemonte.................................................................................................................... 114
Tabla 5-7 Análisis estadístico para 1500 valores de deriva elástica por el método FHE –
Piedemonte.................................................................................................................... 115
Tabla 5-8 Análisis estadístico para 1000 valores de deriva elástica por el método del
espectro. Lacustre. ........................................................................................................ 118
Tabla 5-9 Análisis estadístico para 500 valores de deriva elástica por el método del
espectro – Lacustre. ...................................................................................................... 119
Tabla 5-10 Análisis estadístico para 1500 valores de deriva elástica por el método del
espectro - Lacustre. ....................................................................................................... 120
Tabla 5-11 Fuerza Horizontal Equivalente - Lacustre. ................................................... 122
Tabla 5-12 Análisis estadístico para 1000 valores de deriva elástica por el método FHE –
Lacustre. ........................................................................................................................ 123
Tabla 5-13 Análisis estadístico de 500 valores de deriva elástica por el método de FHE –
Lacustre. ........................................................................................................................ 124
Tabla 5-14 Análisis estadístico para 1500 valores de deriva elástica por el método de FHE
– Lacustre. ..................................................................................................................... 124
Tabla 5-15 Resumen resultados deriva elástica para Piedemonte B.............................. 127
Tabla 5-16 Resumen resultados deriva elástica para Lacustre 500. .............................. 127
Tabla 6-1 Valores mínimos de f'c y fy. ........................................................................... 137
Tabla 6-2 Valores máximos de f'c y fy ........................................................................... 143
Tabla 6-3 Fuerzas máximas inducidas en el pórtico y deriva máxima con el método FHE y
Pushover. ...................................................................................................................... 144
Tabla 6-4 Análisis estadístico deriva inelástica. Nivel de daño B - Piedemonte. ............ 152
Maria Claudia Borrero Chaux
Página 16 de 188 Introducción
Tabla 6-5 Análisis estadístico deriva inelástica. Nivel de daño IO - Piedemonte. ........... 153
Tabla 6-6 Análisis estadístico deriva inelástica. Nivel de daño LS - Piedemonte. .......... 155
Tabla 6-7 Valores mínimos de f'c y fy ........................................................................... 157
Tabla 6-8 Valores máximos de f'c y fy ........................................................................... 162
Tabla 6-9 Fuerzas máximas inducidas en el pórtico y deriva máxima con el método FHE y
Pushover. ...................................................................................................................... 162
Tabla 6-10 Análisis estadístico deriva inelástica. Nivel de daño B – Lacustre. .............. 170
Tabla 6-11 Análisis estadístico deriva inelástico. Nivel de daño IO - Lacustre. .............. 171
Tabla 6-12 Anbálisis estadístico deriva inelástica. Nivel de daño LS - Lacustre. ........... 173
Tabla 6-13 Resumen de resultados deriva inelástica - Piedemonte. .............................. 175
Tabla 6-14 Resumen de resultados deriva inelástica – Lacustre.................................... 175
Tabla 7-1 Análisis estadístico cortante basal resistente - Piedemonte. .......................... 178
Tabla 7-2 Análisis estadístico cortante basal resistente - Lacustre. ............................... 180
Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá.
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ÍNDICE DE GRÁFICAS
Gráfica 2-1 Diagrama momento - curvatura ..................................................................... 40
Gráfica 3-1 Histograma Resistencia a la compresión del concreto (f’c). ........................... 71
Gráfica 3-2 Histograma Módulo elástico del concreto (E)............................................... 72
Gráfica 3-3 Histograma Resistencia a la fluencia (fy) ...................................................... 74
Gráfica 3-4 Histograma Resistencia última (fu) ............................................................... 76
Gráfica 3-5 Histograma Resistencia a la fluencia (fy) para barras de 1". .......................... 78
Gráfica 3-6 Histograma Resistencia última (fu) para barras de 1”. ................................. 79
Gráfica 3-7 Histograma fu/fy ............................................................................................ 81
Gráfica 3-8 Resumen de resultados módulo elástico en función de la raíz cuadrada de la
resistencia a la compresión para datos de Bogotá. A) Sistema MKS. B) Sistema
internacional. ................................................................................................................... 85
Gráfica 3-9 Regresión estadística para el módulo de elasticidad. .................................... 87
Gráfica 4-1. Espectros de diseño Microzonificación Sísmica de Bogotá. ......................... 90
Gráfica 5-1 Comportamiento de la deriva en función del número de simulaciones......... 105
Gráfica 5-2 Espectro de diseño Piedemonte-B. (Tomado de la Microzonificación sísmica
de Bogotá, Decreto 523 de 2010). ................................................................................. 107
Gráfica 5-3 Histograma para 1000 valores de deriva elástica por el método del espectro -
Piedemonte.................................................................................................................... 108
Gráfica 5-4 Resultados típicos deriva elástica por el método del espectro - Piedemonte 111
Gráfica 5-5 Histograma para 1000 valores de deriva elástica por el método de FHE –
Piedemonte.................................................................................................................... 113
Gráfica 5-6 Resultados típicos deriva elástica por el método FHE - Piedemonte. ......... 116
Gráfica 5-7 Espectro de diesño Lacustre-500. Tomado de la Microzonificación sísmica de
Bogotá. .......................................................................................................................... 117
Gráfica 5-8 Histograma para 1000 valores de deriva elástica por el método del espectro -
Lacustre. ........................................................................................................................ 118
Gráfica 5-9 Resultados deriva elástica por el método del espectro - Lacustre ............... 121
Gráfica 5-10 Histograma para 1000 valores de deriva elástica por el método FHE –
Lacustre. ........................................................................................................................ 122
Gráfica 5-11 Resultados típicos deriva elástica por el método FHE – Piedemonte. ....... 125
Gráfica 5-12 Probabilidad de excedencia de la deriva máxima con respecto a la deriva de
diseño. ........................................................................................................................... 129
Maria Claudia Borrero Chaux
Página 18 de 188 Introducción
Gráfica 6-1 Curva Pushover para valores mínimos - Piedemonte. ................................ 137
Gráfica 6-2 Curva Pushover para valores máximos – Piedemonte ............................... 143
Gráfica 6-3 Resultados típicos de Pushover para Piedemonte....................................... 150
Gráfica 6-4 Resumen distribución de probabilidad deriva inelástica - Piedemonte. ........ 156
Gráfica 6-5 Curva Pushover para valores mínimos – Lacustre ..................................... 158
Gráfica 6-6 Curva Pushover para valores máximos – Lacustre ...................................... 162
Gráfica 6-7 Histograma deriva inelástica para pasos 3,4 y 5 – Lacustre. (Tomado de
Bestfit). .......................................................................................................................... 169
Gráfica 6-8 Resumen distribución de probabilidad deriva inelástica - Lacustre ............. 174
Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá.
Introducción Página 19 de 188
ÍNDICE DE FIGURAS
Figura 2-1 Diferencia de la respuesta entre análisis lineal y no lineal. Tomado de
http://www.iberisa.com/designstar/nonlinear.htm ............................................................. 30
Figura 2-2 Análisis no lineal por la geometría de una estructura Tomado de
http://www.iberisa.com/designstar/nonlinear.htm ............................................................. 31
Figura 2-3 Carga y descarga de la unión viga – columna de acero bajo cargas dinámicas.
Tomado de http://www.iberisa.com/designstar/nonlinear.htm .......................................... 31
Figura 2-4 Curva esfuerzo-deformación de Mander para el concreto inconfinado. (Tomado
de XTRACT, 2004) .......................................................................................................... 33
Figura 2-5 Curva esfuerzo-deformación de Mander para el concreto confinado. (Tomado
de XTRACT, 2004) .......................................................................................................... 34
Figura 2-6 Curva esfuerzo - deformación para el acero. (Tomado de XTRACT, 2004) .... 35
Figura 2-7 Deformaciones unitarias de un elemento sometido a flexión. Tomado de (Ruiz,
2000) ............................................................................................................................... 37
Figura 2-8 Curva típica del diagrama de momento-curvatura de una sección sub reforzada
(cuantía menor a la balanceada). Tomado de (Ruiz, 2000).............................................. 38
Figura 2-9 Curva teórica para el diagrama momento – curvatura para sección
sobrerreforzada. Tomado de (Ruiz, 2000) ....................................................................... 38
Figura 2-10 Dimensiones de la sección transversal. Tomado de (Ruiz,2000) .................. 40
Figura 2-11 Dimensiones de la sección transversal de una viga en concreto reforzado.
Tomado de (Ruiz, 2000) .................................................................................................. 42
Figura 2-12 Deformaciones unitarias en el punto de fluencia del acero. Tomado de (Ruiz,
2000) ............................................................................................................................... 43
Figura 2-13 Fuerzas y deformaciones unitarias en el punto de resistencia última de la
sección. Tomado de (Ruiz, 2000) .................................................................................... 44
Figura 2-14 Dimensiones de la sección transversal de una columna de concreto reforzado.
Tomado de (Ruiz, 2000) .................................................................................................. 46
Figura 2-15 Propiedades geométricas de una columna de concreto reforzado. Tomado de
(Ruiz, 2000) ..................................................................................................................... 47
Figura 2-16 Sumatoria de fuerzas en el punto de fluencia del acero. Tomado de (Ruiz,
2000) ............................................................................................................................... 50
Figura 2-17 Sumatoria de fuerzas en el punto de resistencia última de sección. Tomado
de (Ruiz, 2000) ................................................................................................................ 52
Maria Claudia Borrero Chaux
Página 20 de 188 Introducción
Figura 2-18 Curva de capacidad típica. Tomado de (ATC-40, 1996)............................... 54
Figura 2-19 Estructura somedita a un evento sísmico. Tomado de (Crisafulli, 2002) ...... 58
Figura 2-20 Curva esfuerzo - deformación para un material inelástico. Tomado de
(García, 1998) .................................................................................................................. 58
Figura 2-21 Curva típica de momento-giro de una viga de concreto reforzado. Tomado de
(Marín, 2004) ................................................................................................................... 59
Figura 2-22 Distribución de la curvatura de una viga en voladizo. Tomado de (García y
Ramírez, 2004) ................................................................................................................ 61
Figura 2-23 Modelos de histéresis. Adaptada de (García, 1998)...................................... 62
Figura 2-24Deriva máxima en ensayos para a) Todos los especímenes y b) Especímenes
que no fueron llevados a la falla. (Tomado de Dymiotis,Ch.et al.,1999) ........................... 63
Figura 2-25 Regresión estadística que dió origen a la fórmula del módulo de elasticidad de
la referencia AIS (1998) (promedio nacional). Extractado (escaneado) de Cortés, Zabaleta
y Amézquita (1995) .......................................................................................................... 66
Figura 2-26 Resumen de resultados módulo elástico en función de la raíz cuadrada de la
resistencia a la compresión para datos de Bogotá. A) Sistema MKS. B) Sistema
internacional. Tomado de: Ruiz, Vacca y León, 2007 ...................................................... 67
Figura 3-1 Distribución de probabilidad Resistencia a la compresión del concreto (f'c).
(Tomado de Bestfit) ......................................................................................................... 72
Figura 3-2 Distribución de probabilidad Módulo de elasticidad del concreto (E). Tomado
de Bestfit .......................................................................................................................... 73
Figura 3-3 Distribución de probabilidad Resistencia a la fluencia (fy). Tomado de Bestfit
........................................................................................................................................ 75
Figura 3-4 Distribución de probabilidad Resistencia última (fu). Tomado de Bestfit. ....... 77
Figura 3-5 Distribución de probabilidad Resistencia a la fluencia (fy) para barras de 1".
Tomado de Bestfit. ........................................................................................................... 79
Figura 3-6 Distribución de probabilidad Resistencia última (fu) para barras de 1”. Tomado
de Bestfit. ......................................................................................................................... 80
Figura 3-7 Distribución de probabilidad de 1500 valores aleatorios de la resistencia a la
compresión del concreto (f'c). Tomado de Bestfit. ............................................................ 83
Figura 3-8 Distribución de probabilidad de 1000 valores aleatoreos del esfuerzo de
fluencia del acero (fy). (Tomado de Bestfit). ..................................................................... 84
Figura 4-1. Planta Típica adaptada de García (1996). ..................................................... 88
Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá.
Introducción Página 21 de 188
Figura 4-2. Esquema pórtico eje 3. .................................................................................. 88
Figura 4-3 Sección transversal losa. ................................................................................ 91
Figura 4-4. Asignaciones de carga muerta. Tomado de SAP2000® ................................ 93
Figura 4-5. Asignación de carga viva. (Tomado de SAP2000®)....................................... 94
Figura 4-6 Asignación dimensiones de los elementos pórtico Piedemonte. Tomado de
SAP2000® ........................................................................................................................ 96
Figura 4-7 Asignación dimensiones de los elementos pórtico Lacustre. Tomado de
SAP2000® ........................................................................................................................ 97
Figura 4-8 Orientación y dimensiones columnas Lacustre. ............................................ 100
Figura 4-9 Orientación columnas para pórtico Lacustre. Tomado de SAP2000® .......... 100
Figura 4-11Sección transversal COLY. Lacustre ........................................................... 101
Figura 4-10 Sección transversal COLCENTRO. Laustre ................................................ 101
Figura 4-12 Sección transversal CCENTRO. Lacustre ................................................... 101
Figura 4-15 Orientación y dimensiones columnas Piedemonte. ..................................... 102
Figura 4-16 Orientación columnas para pórtico Piedemonte. Tomado de SAP2000®.... 102
Figura 4-14 Sección transversal Viga 5. Lacustre .......................................................... 102
Figura 4-13 Sección transversal Viga 1-4. Lacustre ....................................................... 102
Figura 4-18 Sección transversal COLCENTRO. Piedemonte ......................................... 103
Figura 4-17 Sección transversal COLY. Piedemonte ..................................................... 103
Figura 4-19 Sección transversal Viga5. Piedemonte. ..................................................... 103
Figura 4-20 Sección transversal Viga 1-4. Piedemonte. ................................................. 103
Figura 5-1 Distribución de probabilidad para 1000 valores de deriva elástica por el método
del espectro - Piedemonte. (Tomado de Bestfit). ........................................................... 109
Figura 5-2 Distribución de proabilidad para 500 valores de deriva elástica por el método
del espectro – Piedemonte. (Tomado de Bestfit) ........................................................... 110
Figura 5-3 Distribución de probabilidad para 1500 valores de deriva elástica por el método
del espectro - Piedemonte. (Tomado de Bestfit) ............................................................ 111
Figura 5-4 Distribución de probabilidades para 1000 valores de deriva elástica por el
método de FHE - Piedemonte. (Tomado de Bestfit). ...................................................... 114
Figura 5-5 Distribución de probabilidades para 500 valores de deriva elástica por el
método FHE – Piedemonte. (Tomado de Bestfit). .......................................................... 115
Figura 5-6 Distribución de probabilidades para 1500 valores de deriva elástica por el
método FHE - Piedemonte. (Tomado de Bestfit). ........................................................... 115
Maria Claudia Borrero Chaux
Página 22 de 188 Introducción
Figura 5-7 Distribución de probabilidades para 1000 valores de deriva elástica por el
método del espectro – Lacustre. (Tomado de Bestfit). ................................................... 119
Figura 5-8 Distribución de probabilidades para 500 valores de deriva elástica por el
método del espectro - Lacustre. (Tomado de Bestfit). .................................................... 120
Figura 5-9 Distribución de probabilidades para 1500 valores de deriva elástica por el
método del espectro. (Tomado de Bestfit). .................................................................... 120
Figura 5-10 Distribución de probabilidades para 1000 valores de deriva elástica por el
método FHE – Lacustre. (Tomado de Bestfit). ............................................................... 123
Figura 5-11 Distribución de probabilidades para 500 valores de deriva elástica por el
método de FHE – Lacustre. (Tomado de Bestfit). .......................................................... 124
Figura 5-12 Distribución de probabilidades para 1500 valores de deriva elástica por el
método de FHE - Lacustre. (Tomado de Bestfit). ........................................................... 125
Figura 5-13 Deriva máxima permitida en la NSR-10. (Tomado de (AIS, 2010)). ............ 126
Figura 5-14 Análisis estadísticos y funciones de distribución de probabilidad ajustada para
la deriva de los dos edificios diseñados (con Piedemonte B y con Lacustre 500) y para
análisis modal espectral y para fuerza horizontal equivalente ........................................ 128
Figura 6-1 Diagrama de momento rotación con los niveles de daño ............................. 130
Figura 6-4 Sección transversal VIGA1-4 y VIGA5. ......................................................... 136
Figura 6-2 Sección transversal COLY ............................................................................ 136
Figura 6-3 Sección transversal COLCENTRO. (Tomado de SAP2000®). ....................... 136
Figura 6-5 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 1 - Pushover- mínimos -
Piedemonte. Tomado de SAP2000®. ............................................................................. 138
Figura 6-6 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 2 - Pushover- mínimos -
Piedemonte. Tomado de SAP2000®. ............................................................................. 138
Figura 6-7 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 3 - Pushover- mínimos -
Piedemonte. Tomado de SAP2000®. ............................................................................. 139
Figura 6-8 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 4 - Pushover- mínimos -
Piedemonte. Tomado de SAP2000®. ............................................................................. 139
Figura 6-9 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 5 - Pushover- mínimos -
Piedemonte. Tomado de SAP2000®. ............................................................................. 139
Figura 6-10 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 6 - Pushover- mínimos -
Piedemonte. Tomado de SAP2000®. ............................................................................. 140
Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá.
Introducción Página 23 de 188
Figura 6-11 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 7 - Pushover- mínimos -
Piedemonte. Tomado de SAP2000®. ............................................................................. 140
Figura 6-12 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 8 - Pushover- mínimos -
Piedemonte. Tomado de SAP2000®. ............................................................................. 140
Figura 6-13 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 9 - Pushover- mínimos -
Piedemonte. Tomado de SAP2000®. ............................................................................. 141
Figura 6-14 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 10 - Pushover- mínimos -
Piedemonte. Tomado de SAP2000®. ............................................................................. 141
Figura 6-15 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 11 - Pushover- mínimos -
Piedemonte. Tomado de SAP2000®. ............................................................................. 141
Figura 6-16 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 12 - Pushover- mínimos -
Piedemonte. Tomado de SAP2000®. ............................................................................. 142
Figura 6-17 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 13 - Pushover- mínimos -
Piedemonte. Tomado de SAP2000®. ............................................................................. 142
Figura 6-18 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 14 - Pushover- mínimos -
Piedemonte. Tomado de SAP2000®. ............................................................................. 142
Figura 6-19 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 15 - Pushover- mínimos -
Piedemonte. Tomado de SAP2000®. ............................................................................. 143
Figura 6-20 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 1 - Pushover- máximos -
Piedemonte. Tomado de SAP2000®. ............................................................................. 144
Figura 6-21 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 2 - Pushover- máximos -
Piedemonte. Tomado de SAP2000®. ............................................................................. 145
Figura 6-22 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 3 - Pushover- máximos -
Piedemonte. Tomado de SAP2000®. ............................................................................. 145
Figura 6-23 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 4 - Pushover- máximos -
Piedemonte. Tomado de SAP2000®. ............................................................................. 145
Figura 6-24 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 5 - Pushover- máximos -
Piedemonte. Tomado de SAP2000®. ............................................................................. 146
Figura 6-25 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 6 - Pushover- máximos -
Piedemonte. Tomado de SAP2000®. ............................................................................. 146
Figura 6-26 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 7 - Pushover- máximos -
Piedemonte. Tomado de SAP2000®. ............................................................................. 146
Figura 6-27 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 8 - Pushover- máximos -
Piedemonte. Tomado de SAP2000®. ............................................................................. 147
Maria Claudia Borrero Chaux
Página 24 de 188 Introducción
Figura 6-28 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 9 - Pushover- máximos -
Piedemonte. Tomado de SAP2000®. ............................................................................. 147
Figura 6-29 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 10 - Pushover- máximos -
Piedemonte. Tomado de SAP2000®. ............................................................................. 147
Figura 6-30 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 11 - Pushover- máximos -
Piedemonte. Tomado de SAP2000®. ............................................................................. 148
Figura 6-31 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 12 - Pushover- máximos -
Piedemonte. Tomado de SAP2000®. ............................................................................. 148
Figura 6-32 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 13 - Pushover- máximos -
Piedemonte. Tomado de SAP2000®. ............................................................................. 148
Figura 6-33 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 14 - Pushover- máximos -
Piedemonte. Tomado de SAP2000®. ............................................................................. 149
Figura 6-34 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 15 - Pushover- máximos -
Piedemonte. Tomado de SAP2000®. ............................................................................. 149
Figura 6-35 Histograma deriva inelástica para pasos 3,4 y 5 – Piedemonte. (Tomado de
Bestfit). .......................................................................................................................... 151
Figura 6-36 Distribución de probabilidad deriva inelástica. Nivel de daño B - Piedemonte.
...................................................................................................................................... 152
Figura 6-37 Distribución de probabilidad deriva inelástica. Nivel de daño IO - Piedemonte.
(Tomdado de Bestfit) ..................................................................................................... 154
Figura 6-38 Distribución de probabilidades deriva inelástica. Nivel de daño LS -
Piedemonte. (Tomado de Bestfit). .................................................................................. 155
Figura 6-39 Sección transversal CCENTRO. (Tomado de SAP2000®).......................... 157
Figura 6-40 Sección transversal COLCENTRO. (Tomado de SAP2000®) ...................... 157
Figura 6-41 Sección transversal VIGA1-4 y VIGA 5. (Tomado de SAP2000®) ............... 157
Figura 6-42 Sección transversal COLY. (Tomado de SAP2000®) .................................. 157
Figura 6-43 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 1 - Pushover- mínimos -
Lacustre. Tomado de SAP2000®. .................................................................................. 158
Figura 6-44 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 2 - Pushover- mínimos -
Lacustre. Tomado de SAP2000®. .................................................................................. 159
Figura 6-45 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 3 - Pushover- mínimos -
Lacustre. Tomado de SAP2000®. .................................................................................. 159
Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá.
Introducción Página 25 de 188
Figura 6-46 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 4 - Pushover- mínimos -
Lacustre. Tomado de SAP2000®. ................................................................................... 159
Figura 6-47 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 5 - Pushover- mínimos -
Lacustre. Tomado de SAP2000®. .................................................................................. 160
Figura 6-48 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 6 - Pushover- mínimos -
Lacustre. Tomado de SAP2000®. .................................................................................. 160
Figura 6-49 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 7 - Pushover- mínimos -
Lacustre. Tomado de SAP2000®. .................................................................................. 160
Figura 6-50 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 8 - Pushover- mínimos -
Lacustre. Tomado de SAP2000®. ................................................................................... 161
Figura 6-51 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 9 - Pushover- mínimos -
Lacustre. Tomado de SAP2000®. .................................................................................. 161
Figura 6-52 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 10 - Pushover- mínimos -
Lacustre. Tomado de SAP2000®. .................................................................................. 161
Figura 6-53 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 1 - Pushover- mínimos -
Lacustre. Tomado de SAP2000®. .................................................................................. 163
Figura 6-54 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 2 - Pushover- mínimos -
Lacustre. Tomado de SAP2000®. .................................................................................. 163
Figura 6-55 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 3 - Pushover- mínimos -
Lacustre. Tomado de SAP2000®. .................................................................................. 164
Figura 6-56 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 4 - Pushover- mínimos -
Lacustre. Tomado de SAP2000®. .................................................................................. 164
Figura 6-57 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 5 - Pushover- mínimos -
Lacustre. Tomado de SAP2000®. .................................................................................. 165
Figura 6-58 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 6 - Pushover- mínimos -
Lacustre. Tomado de SAP2000®. ................................................................................... 165
Figura 6-59 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 7 - Pushover- mínimos -
Lacustre. Tomado de SAP2000®. .................................................................................. 165
Figura 6-60 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 8 - Pushover- mínimos -
Lacustre. Tomado de SAP2000®. ................................................................................... 166
Figura 6-61 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 9 - Pushover- mínimos -
Lacustre. Tomado de SAP2000®. .................................................................................. 166
Figura 6-62 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 10 - Pushover- mínimos -
Lacustre. Tomado de SAP2000®. .................................................................................. 166
Maria Claudia Borrero Chaux
Página 26 de 188 Introducción
Figura 6-63 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 11 - Pushover- mínimos -
Lacustre. Tomado de SAP2000®. .................................................................................. 167
Figura 6-64 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 12 - Pushover- mínimos -
Lacustre. Tomado de SAP2000®. .................................................................................. 167
Figura 6-65 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 13 - Pushover- mínimos -
Lacustre. Tomado de SAP2000®. .................................................................................. 167
Figura 6-66 Distribución de probabilidad deriva inelástica. Nivel de daño B – Lacustre.
(Tomado de Bestfit). ...................................................................................................... 170
Figura 6-67 Distribución de probabilidades deriva inelástica. Nivel de daño IO - Lacustre.
(Tomado de Bestfit). ...................................................................................................... 172
Figura 6-68 Distribución de probabilidades deriva inelástica. Nivel de daño LS - Lacustre.
(Tomado de Bestfit). ...................................................................................................... 173
Figura 6-69 Deriva inelástica. (Tomado de (AIS, 2010)) ................................................ 176
Figura 7-1 Distribución de probabilidad cortante basal resistente – Piedemonte. (Tomado
de Bestfit) ...................................................................................................................... 179
Figura 7-2 Distribución de probabilidad cortante basal resistente - Piedemonte. (Tomado
de Bestfit) ...................................................................................................................... 180
Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá.
Introducción Página 27 de 188
1 INTRODUCCIÓN
Los parámetros más importantes que utilizan los ingenieros calculistas para el diseño de
edificaciones de concreto reforzado son: Módulo de elasticidad, resistencia a la
compresión del concreto a los 28 días, el esfuerzo de fluencia del acero de refuerzo, la
geometría de los elementos estructurales, las cargas y la ubicación y la cantidad del acero
de refuerzo. Al tener en cuenta simultáneamente esas variables, se diseñan las
edificaciones de acuerdo con la normatividad existente (ACIS,2010).
Para considerar la variabilidad de la resistencia de los materiales y de las cargas que
actúan sobre los sistemas estructurales, se utiliza desde hace más de 25 años en
Colombia el método LRFD (Load and Resistance Factor Design), en el cual se mayoran
las cargas y se disminuyen las resistencias con el fin de tener adecuados valores de
factores de seguridad. Este método de diseño parte de análisis probabilísticos cuyo
fundamento se explica en detalle en (Sánchez, 2004). Dichas combinaciones de carga
fueron derivadas para el diseño estructural de elementos, más no para evaluar los
desplazamientos que se presentan en un sistema estructural que ha sido afectado por
cargas externas. Sin embargo, en la actualidad se utilizan dichas combinaciones de carga
tanto para el diseño como para evaluar la flexibilidad.
En el caso específico de Bogotá la carga sísmica es la que normalmente controla el
diseño de los edificios; siendo la deriva sísmica uno de los parámetros que mayor
influencia tiene en el tamaño de los elementos estructurales. La deriva elástica depende
de tres parámetros básicamente: la carga sísmica, el módulo de elasticidad del concreto,
y las dimensiones de los elementos estructurales. Según la referencia (Gallego y Sarria,
2006) la incertidumbre del módulo de elasticidad aumenta la incertidumbre de la rigidez de
un sistema estructural; y se menciona que estudios de confiabilidad han establecido que
los resultados de los modelos numéricos pueden dar errores de hasta el 30% de la
estimación real de los desplazamientos de un edificio. Esto puede ser la diferencia entre
un desastre y la supervivencia de los elementos estructurales y no estructurales de una
edificación.
De acuerdo con la referencia (Ruiz, Vacca y León, 2007) para el caso de Bogotá y para el
concreto de 21MPa, el concreto puede tener un módulo de elasticidad que varía entre
7500MPa y 22500MPa. Esta variación automáticamente genera que las derivas
Maria Claudia Borrero Chaux
Página 28 de 188 Introducción
calculadas mediante modelos numéricos sean diferentes a las reales y corrobora las
anotaciones que hicieron (Gallego y Sarria, 2006).
Por otro lado, la deriva inelástica calculada mediante análisis no lineales estáticos de
Pushover, como los descritos en (ATC40, 1996), depende tanto de la rigidez inicial de los
materiales como de sus valores de resistencia: Resistencia a la compresión del concreto a
los 28 días, y esfuerzo de fluencia del acero de refuerzo (f’c y fy). De acuerdo con (DIACO
y CIMOC 2000) y (Ruiz, Vacca y León, 2007), fy y f’c también son variables aleatorias.
Específicamente en el estudio de (DIACO y CIMOC, 2000) se estableció que el
coeficiente de variación para el esfuerzo de fluencia del acero de refuerzo utilizado en el
país era del 7%. Sin embargo, para el caso específico de Bogotá no se han encontrado
publicaciones que muestren dicha variación; siendo este uno de los objetivos específicos
del trabajo que se va a realizar.
En la literatura técnica y científica nacional, no abundan análisis de confiabilidad que
consideren comportamientos inelásticos del concreto reforzado sometidos a carga sísmica
y usando materiales colombianos. Dentro de los pocos documentos que estudiaron este
tema está el de (Muñoz et al, 2005) y (Prieto et al, 2005) en donde se realizaron análisis
de confiabilidad para una edificación indispensable (hospital) que no fue construido con la
norma sismoresistente vigente. De acuerdo con todo lo anterior existe un vacío
conceptual de la variabilidad que pueden tener las derivas elásticas e inelásticas así como
el cortante basal resistente de edificaciones de concreto construidas en Bogotá. Es
precisamente este vacío el que pretende llenar el presente trabajo.
Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá.
Introducción Página 29 de 188
1.1 OBJETIVOS
1.1.1 Objetivo general
Evaluar la variabilidad de la deriva elástica e inelástica y del cortante basal resistente de
pórticos de concreto reforzado diseñados con la NSR-10 y con la microzonificación
sísmica de Bogotá.
1.1.2 Objetivos específicos
Determinar la variación del esfuerzo de fluencia del acero de refuerzo utilizado en
Bogotá.
Estimar las funciones de distribución de probabilidad de la deriva inelástica con
base en análisis no lineales estáticos de Pushover.
Determinar la variación en el comportamiento estructural de pórticos de concreto
reforzado considerando la aleatoriedad de las propiedades mecánicas del concreto
y el acero usados en Bogotá.
1.2 ALCANCE
El alcance de este trabajo está definido por las siguientes limitaciones:
El estudio realizado sólo es aplicable a Estructuras construidas en Concreto
Reforzado de acuerdo con la NSR-10 y la Microzonificación Sísmica para Bogotá
(2010).
El análisis de las edificaciones se realizó mediante modelos computacionales, por
lo cual constituye un análisis teórico y no hay verificación experimental del mismo.
El análisis se realizó en pórticos planos y no se tuvo en cuenta los efectos
tridimensionales ni de la cimentación.
Maria Claudia Borrero Chaux
Página 30 de 188 Marco teórico
2 MARCO TEÓRICO
(Adaptado de Romero, A; Becerra, O (2006))
2.1 CONCEPTOS BÁSICOS DEL ANÁLISIS NO LINEAL
El análisis lineal asume que la relación entre cargas y desplazamientos resultantes es
lineal, es decir, se cumple el principio de superposición: si se duplica la magnitud de la
carga se obtiene el doble de respuesta del modelo (desplazamientos, deformaciones y
tensiones resultantes). Sin embargo, todas las estructuras construidas se comportan de
forma no lineal a partir de un cierto nivel de la carga. Por tanto, un análisis lineal como el
que se realiza normalmente, puede ser adecuado, pero en otros muchos la solución lineal
producirá resultados erróneos, en cuyo caso se deberá realizar un análisis no lineal,
tomando en cuenta la fluencia y la falla de los elementos.
Figura 2-1 Diferencia de la respuesta entre análisis lineal y no lineal. Tomado de http://www.iberisa.com/designstar/nonlinear.htm
2.1.1 Análisis no lineal por la geometría
En el análisis no lineal, una importante fuente de no linealidades se debe al efecto de los
grandes desplazamientos en la configuración geométrica global de la estructura. En un
análisis lineal los desplazamientos inducidos son muy pequeños, de tal forma que se
ignoran los cambios de rigidez de la estructura causados por las cargas. En cambio, las
estructuras y las características mecánicas de los materiales con grandes
desplazamientos pueden experimentar importantes cambios en la geometría debido a que
las cargas inducidas por la deformación pueden provocar una respuesta no lineal de la
estructura en forma de rigidización (stress stiffening) o ablandamiento (stress softening).
Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá.
Marco teórico Página 31 de 188
Figura 2-2 Análisis no lineal por la geometría de una estructura Tomado de http://www.iberisa.com/designstar/nonlinear.htm
2.1.2 Análisis no lineal por el material
Otra importante causa de no linealidad se debe a la relación no lineal existente entre
esfuerzo y deformación. Esta situación ocurre cuando el material no sigue la Ley de Hook,
es decir, los esfuerzos no son directamente proporcionales a las deformaciones. Algunos
materiales se comportan linealmente sólo si las deformaciones son muy pequeñas, pero a
medida que la deformación o la carga aumentan, la relación deja de ser lineal.
Existen diferentes factores que hacen que un material tenga un comportamiento no lineal
como la dependencia de la curva de esfuerzo-deformación del material de la historia de
cargas (problemas con plasticidad), la duración de la carga (análisis de fluencia - creep) o
la temperatura (problemas termo-plásticos). Un ejemplo de comportamiento no lineal por
el material es el caso de plastificación de la unión viga-columna de acero durante un
sismo.
Figura 2-3 Carga y descarga de la unión viga – columna de acero bajo cargas dinámicas. Tomado de http://www.iberisa.com/designstar/nonlinear.htm
Maria Claudia Borrero Chaux
Página 32 de 188 Marco teórico
2.2 MATERIALES
Los elementos estructurales están hechos de concreto reforzado y según (AIS, 2010),
siempre se debe colocar refuerzo transversal al eje del elemento, aunque sea con la
cuantía mínima, esto hace que los elementos tengan una zona de concreto confinada lo
que hace que la resistencia a la compresión de los elementos estructurales sea mayor.
Según (Ruiz, 2000), el concreto sin confinamiento, cargado uniaxialmente en compresión
tiene una relación de Poisson del orden de 0.15 a 0.20 en los estados iniciales de carga
cuando se introducen niveles de deformación axial altos. Las deformaciones transversales
se vuelven muy grandes debido a una microfisuración progresiva interna, lo cual conlleva
a un aumento del volumen del concreto, cuando los esfuerzos se acercan a los valores de
la resistencia no confinada del concreto. La falla ocurre por ruptura longitudinal del
concreto. Cuando hay refuerzo transversal, se sabe que a niveles bajos de deformación
longitudinal el refuerzo transversal está sometido a esfuerzos muy bajos y por lo tanto
está en un estado no confinado. Por esta razón la curva esfuerzo-deformación presentada
por Kent y Park es la misma para concreto confinado y no confinado para deformaciones
unitarias inferiores a 0.002. Se supone que a estos valores de deformación unitaria y por
lo tanto de esfuerzos, el refuerzo transversal no está confinando el núcleo central del
elemento estructural, en cuanto el volumen de concreto no se ha expandido lo suficiente
por efectos del módulo de Poisson del material. En la medida que las deformaciones
transversales se hacen mayores, el refuerzo transversal induce confinamiento en el
concreto del núcleo. Por lo tanto, el refuerzo transversal aplica una presión de
confinamiento pasiva la cual mejora substancialmente la relación esfuerzo-deformación
del concreto para valores altos de deformación.
2.2.1 Concreto inconfinado
En la Figura 2-4 se muestra la curva característica de esfuerzo – deformación para el
concreto inconfinado conocida como la curva de Mander para el concreto inconfinado.
Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá.
Marco teórico Página 33 de 188
Figura 2-4 Curva esfuerzo-deformación de Mander para el concreto inconfinado. (Tomado de XTRACT, 2004)
Donde:
ξcc = Deformación unitaria del concreto en la máxima resistencia (0.002)
ξcu = Deformación última del concreto
ξsp = Deformación de descascaramiento
f´c = Resistencia de compresión del concreto a los 28 días
fcu = Esfuerzo para la deformación ξcu
fcp = Resistencia del concreto después del descascaramiento
Ec = Módulo de elasticidad del concreto
Las ecuaciones que describen el comportamiento del modelo esfuerzo deformación con el
cual se obtiene la curva que se muestran en la referencia (Mander, 1988) son las
siguientes:
Cuando la deformación es lenta y hasta que llega a f´c
r
cc
cxr
rxff
1
**´ (Ec 2.1)
cc
cx
(Ec 2.2)
Maria Claudia Borrero Chaux
Página 34 de 188 Marco teórico
secEE
Er
c
c
(Ec 2.3)
Donde:
f´cc = Resistencia a la compresión del concreto confinado
ξc = Deformación longitudinal a compresión del concreto
Ec = Módulo de elasticidad tangente del concreto
Esec = Módulo de elasticidad secante
Cuando la deformación unitaria es menor a la deformación de descascaramiento se utiliza
la siguiente ecuación:
ucsp
cucucpcuc ffff
* (Ec 2.4)
Esta resistencia para el concreto inconfinado se utiliza para la zona de la sección de los
elementos de concreto reforzado que queda afuera del acero transversal.
2.2.2 Concreto confinado
En la Figura 2-5 se muestra la curva esfuerzo-deformación para el concreto confinado,
conocida como la curva de Mander para una sección circular de concreto confinado.
Figura 2-5 Curva esfuerzo-deformación de Mander para el concreto confinado. (Tomado de XTRACT, 2004)
Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá.
Marco teórico Página 35 de 188
Donde:
ξcc = Deformación unitaria del concreto en la máxima resistencia (0.002)
ξcu = Deformación última del concreto.
f´c = Resistencia de compresión del concreto a los 28 días.
fcc = Resistencia máxima del concreto confinado (aproximadamente 25% más de la
resistencia del concreto).
Las ecuaciones que describen el comportamiento del modelo esfuerzo deformación con el
cual se obtiene la curva que se muestran en la referencia (Mander, 1988) son las
siguientes:
r
cc
cxr
rxff
1
**´ (Ec 2.5)
1
´
´*51002.0
c
cc
ccf
f (Ec 2.6)
Este aumento en la resistencia se debe a las presencia del acero transversal. El aumento
es válido para deformaciones menores a 0.002 (deformación para la máxima resistencia).
2.2.3 Acero de refuerzo
La curva característica para el acero basada en el modelo bilineal de endurecimiento por
deformación parabólica se muestra en la Figura 2-6.
Figura 2-6 Curva esfuerzo - deformación para el acero. (Tomado de XTRACT, 2004)
Maria Claudia Borrero Chaux
Página 36 de 188 Marco teórico
Donde:
fy = Esfuerzo de fluencia.
ξcc = Deformación de fluencia.
ξsh = Deformación de la fase de endurecimiento.
fy = Esfuerzo último o de rotura.
ξu = Deformación ultima del material.
El comportamiento del modelo se representa por la ecuación:
shu
u
yuus ffff
* (Ec 2.7)
2.3 DIAGRAMA MOMENTO CURVATURA
El radio de curvatura de una sección se mide con respecto al eje neutro de la sección. El
radio de curvatura, R, la profundidad del eje neutro kd, la deformación del concreto en la
fibra extrema a compresión y la deformación del acero a tensión varían a lo largo del
miembro.
Si se considera un pequeño elemento de longitud dx, componente de un elemento
estructural sometido a flexión, se puede elaborar un grafico (ver Figura 2-7) a partir del
cual se establecen las siguientes relaciones:
kd
dx
kd
dx
R
dx sc
1
(Ec. 2.8)
kdkdR
sc
1
1 (Ec. 2.9)
Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá.
Marco teórico Página 37 de 188
Figura 2-7 Deformaciones unitarias de un elemento sometido a flexión. Tomado de (Ruiz, 2000)
Como 1/R es la curva del elemento (rotación por unidad de longitud), entonces se tiene
que:
dkdkd
cssc
)1( (Ec. 2.10)
La curvatura (f) puede variar a lo largo de la longitud del miembro de las fluctuaciones del
eje neutro y de las deformaciones. Con incrementos en el momento, las fracturas en el
concreto reducen la rigidez de la sección, reducción que es mayor para las secciones que
no poseen demasiado refuerzo de acero longitudinal. De acuerdo con (García, 1998)
cuando el acero fluye, se presenta un gran incremento en la curvatura para
aproximadamente el mismo momento flector. El momento va creciendo lentamente y
luego baja hasta la falla, que se define cuando el concreto llega a la deformación unitaria
de ξc.
La ecuación Ec. 2.10 se fundamenta en la suposición de que las secciones transversales
son planas.
Una curva típica para una sección con poco acero (con cuantía inferior a la balanceada o
sub-reforzada) se presenta en la Figura 9.
Maria Claudia Borrero Chaux
Página 38 de 188 Marco teórico
Figura 2-8 Curva típica del diagrama de momento-curvatura de una sección sub reforzada (cuantía menor a la balanceada). Tomado de (Ruiz, 2000)
Si la sección tiene demasiado acero, el diagrama Momento curvatura se vuelve no lineal
cuando el concreto entra en el rango inelástico de la curva esfuerzo deformación, y la falla
ocurre de manera frágil a menos que tenga confinado el concreto. Es por esta razón que
en la práctica se usan vigas con contenido de acero menor al balanceado, para asegurar
que no se va a presentar una falla frágil de la sección.
2.3.1 Determinación de la curva teórica del diagrama M-f para vigas
simplemente reforzadas
En una sección sobrerreforzada, la relación momento curvatura, se puede tomar
elastoplástica. La distribución teórica debe estar compuesta por dos segmentos con una
marcada tendencia lineal, y dos curvas (Ver Figura 2-9).
Figura 2-9 Curva teórica para el diagrama momento – curvatura para sección sobrerreforzada. Tomado de (Ruiz, 2000)
Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá.
Marco teórico Página 39 de 188
En un inicio se tiene una recta que cambia abruptamente su pendiente cuando se
presenta una micro fisura, la cual logra atravesar la sección a tensión del concreto, luego
se presenta otra recta que llega un momento tal que se presenta una rótula plástica, ya
que la sección presenta altas curvaturas para pequeños incrementos de momento.
Cuando se llega al rango inelástico de la estructura, la curva de esfuerzo contra
deformación se comporta de manera diferente dependiendo de sí el concreto está
confinado o no. Cuando el concreto no está confinado, su comportamiento es como el de
un cilindro estándar, en el cual f’c es la resistencia máxima a la compresión. La curvatura
inicial es una parábola que al llegar a f’c se convierte en una recta con pendiente negativa,
teniendo una pendiente mayor (menos negativa) en concreto no confinado.
Conociendo las curvas de esfuerzo deformación del concreto y del acero, puede
determinarse el diagrama M-f para diferentes configuraciones de refuerzo del elemento
estructural analizado. Cuando se tiene un bajo nivel de esfuerzos, en el cual el concreto
se comporta elásticamente, el eje neutro de la sección se encuentra en el centroide. En el
momento en que aparece la primera grieta el eje neutro comienza a desplazarse hacia la
zona de compresión, originándose un aumento en el esfuerzo de compresión debido a
que aumenta la fuerza y disminuye el área efectiva que soporta los esfuerzos. En este
punto la tensión es absorbida únicamente por el acero de tal forma que se conserva el
equilibrio en toda la sección. De acuerdo con (Reyes,1989), la aparición de la primera
grita hace que las deformaciones aumenten en el miembro así mismo cuando un concreto
es de alta resistencia, es fácil que se presenten descascaramientos debidos a la fragilidad
del material.
El diagrama de momento-curvatura puede definirse con tres puntos básicos como se
muestra en la Gráfica 2-1:
Punto A: Primer agrietamiento del concreto
Punto B: Fluencia del acero a tensión
Punto C: Punto de resistencia última del concreto
Maria Claudia Borrero Chaux
Página 40 de 188 Marco teórico
Gráfica 2-1 Diagrama momento - curvatura
La teoría que se desarrollará a continuación está basada en unidades de fuerza en kg y
unidades de desplazamiento en cm. Para otro tipo de sistema de unidades, deben
cambiarse algunas constantes.
Figura 2-10 Dimensiones de la sección transversal. Tomado de (Ruiz,2000)
Nomenclatura utilizada en los materiales estructurales:
Acero de refuerzo:
As = Área de acero de refuerzo a tensión
A’s = Área de acero de refuerzo a compresión
Es = Módulo de elasticidad del acero
Fy = Esfuerzo de fluencia del acero
Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá.
Marco teórico Página 41 de 188
Concreto:
f’c = Resistencia máxima a la compresión de un cilindro de concreto a los 28 días
Ec = Módulo de elasticidad del concreto.
2.3.1.1 Punto A: primer agrietamiento
Cálculo de esfuerzos y deformaciones unitarias en el concreto:
fr = Esfuerzo en el concreto para el primer agrietamiento
(Ec 2.11)
Deformación unitaria en el primer agrietamiento
c
r
E
f (Ec. 2.12)
n = Relación modular
c
s
E
En (Ec. 2.13)
Cálculo de deformaciones unitarias en el acero
s = Deformación unitaria en el acero a tensión para la carga aplicada
y = Deformación unitaria de fluencia en el acero
y
s
s
sE
f (Ec. 2.14)
Calculo de la inercia de la sección transformada (Ver Figura 2-11)
Maria Claudia Borrero Chaux
Página 42 de 188 Marco teórico
Figura 2-11 Dimensiones de la sección transversal de una viga en concreto reforzado. Tomado de (Ruiz, 2000)
Yb = Localización de la fibra extrema a compresión medida a partir del centroide de
la sección.
Yt = Localización de la fibra extrema a tensión medida a partir del centroide de la
sección.
bt YhY (Ec. 2.15)
Tabla 2-1 Propiedades de la sección
Material Área
(A)
Centroide
(Y) AY IO AY
2 IO+AY
2
Concreto Bh Yb-h/2 bh(Yb-h/2) bh3/12 Bh(Yb-h/2)
2 bh3/12+bh(Yb-h/2)2
Acero (n-1)As d-Yb (n-1)As(d-Yb) -------- (n-1)As(d-Yb)2 (n-1)As(d-Yb)2
TOTAL A YA yyo IIYA 2
2.3.1.2 Punto B: punto de fluencia del acero
Ocurre cuando el esfuerzo del acero que se encuentra a tensión (As) llega a un valor de fy.
Sea Kd la distancia desde el eje neutro hasta la fibra extrema a compresión. Luego K es
una fracción de la altura efectiva d.
d
KdK (Ec. 2.16)
Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá.
Marco teórico Página 43 de 188
Se debe proceder a verificar la deformación unitaria en el concreto sabiendo que el acero
se encuentra en su esfuerzo de fluencia. Se compara c con o=0.002. Si c<o=0.002,
entonces se debe usar las siguientes expresiones:
2
o
c
o
c
co
co
412
4
(Ec. 2.17)
Si c>o=0.002, entonces se deben usar las siguientes expresiones para y para :
2231
2
c
c
o
o
c
o Z
(Ec. 2.18)
326122
111
2
2
3
2
2
co
c
o
c
o ZZ
(Ec. 2.19)
Realizando la sumatoria de fuerzas, a partir del diagrama de cuerpo libre de la Figura 2-12
se tiene:
Figura 2-12 Deformaciones unitarias en el punto de fluencia del acero. Tomado de (Ruiz, 2000)
En este punto s=y, luego Ts=Asfy. Del equilibrio de fuerzas se tiene que:
cs CT fcbkdfA ys (Ec. 2.20)
De compatibilidad de deformaciones se tiene:
kkdd c
yccyc
(Ec. 2.21)
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Página 44 de 188 Marco teórico
Y reemplazando:
yc
c
cys bdffA
(Ec. 2.22)
Pero es una función de c y por lo tanto utilizando tanteos se busca un valor de c que
cumpla la ecuación anterior. Con el valor de c se busca , y el momento se obtiene con:
kdfAM ysy 1 (Ec. 2.23)
La curvatura se calcula con:
kd
cy
(Ec. 2.24)
2.3.1.3 Punto C punto último
Figura 2-13 Fuerzas y deformaciones unitarias en el punto de resistencia última de la sección. Tomado de (Ruiz, 2000)
En este punto ξc = ξcu del equilibrio de fuerzas se tiene que:
cs CT fcbkdsfy (Ec. 2.25)
De compatibilidad de deformaciones:
kdd
cuycu
k
cu
scu
(Ec. 2.26)
Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá.
Marco teórico Página 45 de 188
Y reemplazando:
scu
cu
cys bdffA
(Ec. 2.27)
Si 002.08.0
002.0 200
cc , entonces se deben usar las siguientes
expresiones para α y para :
2231
2
00
0 c
cc
(Ec. 2.28)
326122
111
2
00
2
3
0
2
0
c
(Ec. 2.29)
Si 002.08.0
200
cc entonces deben usarse las siguientes expresiones para
α y para :
2.032.0
3
4.1 0
cc
(Ec. 2.30)
2
2
0
2
0
21.0
3
256.032.0
12
8.311 c
c
(Ec. 2.31)
Pero cu es conocido, por lo tanto α y también. Esto permite despejar el valor de s
que cumple la ecuación
scu
cu
cYS bdffA
Finalmente el momento se obtiene con la siguiente expresión:
kAsFydMu 1 (Ec. 2.32)
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Página 46 de 188 Marco teórico
La curvatura se calcula con:
kd
cuy
(Ec. 2.33)
Así mismo pueden ser calculados los diagramas de momento curvatura para columnas y
vigas doblemente reforzadas.
2.3.2 Determinación de la curvatura teórica del diagrama M – φ para
columnas
Toda la teoría que se desarrollará a continuación está basada en unidades de fuerza en
Kg y desplazamiento en cm. Para otro tipo de sistema de unidades, deben cambiarse
algunas constantes.
Figura 2-14 Dimensiones de la sección transversal de una columna de concreto reforzado. Tomado de (Ruiz, 2000)
Nomenclatura utilizada en los materiales estructurales:
Acero de refuerzo
As = Área de acero de refuerzo a tensión.
A’s = Área de acero de refuerzo a compresión.
Es = Módulo de elasticidad del acero (se asumirá igual a 2039000 kg/cm2)
fy = Esfuerzo de fluencia del acero
Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá.
Marco teórico Página 47 de 188
Concreto
f’c = Resistencia máxima a la compresión de un cilindro de concreto a los 28 días.
Ec = Módulo e elasticidad del concreto. Se asumirá un valor de 12500 (f’c1/2)
El diagrama de momento-curvatura puede definirse con tres puntos básicos:
Punto A: Primer agrietamiento del concreto
Punto B: Fluencia del acero a tensión
Punto C: Punto de resistencia última del concreto.
En la Figura 2-15 y en la Tabla 2-2 se tienen las propiedades geométricas de la sección
correspondiente a una columna de concreto reforzado.
Figura 2-15 Propiedades geométricas de una columna de concreto reforzado. Tomado de (Ruiz, 2000)
Tabla 2-2 Propiedades de la sección
Material Área
(A)
Centroide
(Y) AY Io AY2 Io + AY2
Concreto bh Yb-h/2 bh(Yb-h/2) bh3/12 bh(Yb-h/2)
2 bh
3/12 + bh(Yb-h/2)
2
Acero a
tensión (n-1)As Yt-(h-d) (n-1)As (Yt-(h-d)) --------- (n-1)As (Yt-(h-d))
2 (n-1)As (Yt-(h-d))
2
Acero a
compresión (n-1)A’s Yb-d’ (n-1)A’s (Yb-d’) (n-1)A’s (Yb-d’)
2 (n-1)A’s (Yb-d’)
2
TOTAL ΣA ΣAY ΣAY2 + Io = Iyy
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Página 48 de 188 Marco teórico
2.3.2.1 Punto A: Primer agrietamiento
Cálculo de esfuerzos y deformaciones unitarias en el concreto
fr = Esfuerzo en el concreto para el primer agrietamiento.
fr= 2(f’c1/2) (Ec. 2.34)
Deformación unitaria en el primer agrietamiento
c
rr
f
(Ec. 2.35)
n = Relación modular
c
s
E
En (Ec. 2.36)
Cálculo de deformaciones unitarias en el acero
s = Deformación unitaria en el acero a tensión para la carga aplicada
y = Deformación unitaria de fluencia en el acero
s' = Deformación unitaria en el acero a compresión para la carga aplicada.
y
s
s
sE
f (Ec. 2.37)
ycykd
dkd'
''
(Ec. 2.38)
2.3.2.2 Punto B: Punto de fluencia del acero a tensión
Sea Kd la distancia desde el eje neutro hasta la fibra extrema a compresión. Luego K es
una fracción de la altura efectiva d.
d
KdK (Ec. 2.16)
El acero en la zona a tensión se encuentra en fluencia, por lo tanto ys .
Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá.
Marco teórico Página 49 de 188
Se debe verificar la deformación unitaria en el concreto sabiendo que el acero se
encuentra en su esfuerzo de fluencia. Por relaciones de triángulos de llega a la siguiente
expresión:
K
Kyc
1 (Ec. 2.39)
Se compara c con .002.00 Si 002.00 c , entonces se debe usar las
siguientes expresiones para α y para :
2
c
c
c
c
c
cc
412
4
0
(Ec. 2.40)
Si 002.08.0
002.0 200
cc , entonces se debe usar las siguientes
expresiones para α y para :
2231
2
00
c
cc
o
(Ec. 2.41)
326122
111
2
0
2
3
0
2
2
0 c
cc
(Ec. 2.42)
Parámetro Z
chu f '
)tan(
002.0
5.0
5050
(Ec. 2.43)
70'
'002.021.050
c
cu
f
f (Ec. 2.44)
h
shS
b ''
4
350 (Ec. 2.45)
s = Relación del volumen del esfuerzo transversal al volumen de concreto en el
núcleo confinado, medido fuera-fuera de los estribos
''b = Ancho del estribo medido fuera-fuera
hS = Espaciamiento de estribos
Maria Claudia Borrero Chaux
Página 50 de 188 Marco teórico
Se debe cumplir equilibrio entre las fuerzas actuantes y las fuerzas resistentes. Para esto,
se realiza una sumatoria de fuerzas en la Figura 2-16, con lo que se obiene:
fsAkdbfPfAF scys '' (Ec. 2.46)
Donde se tiene el acero a tensión trabajando en fluencia (Asfy), el concreto trabajando a
compresión kdbf c' , y el acero a compresión trabajando a un esfuerzo sss fAf .
Figura 2-16 Sumatoria de fuerzas en el punto de fluencia del acero. Tomado de (Ruiz, 2000)
Se realiza la verificación del acero a compresión:
Si
kd
dkdcs
'' , el acero a compresión no fluye.
Si ycskd
dkd
'' , el acero a compresión fluye y se tiene que ys ' .
Posteriormente se calcula el esfuerzo al que está sometido el acero a compresión:
Si el acero a compresión no fluye, sssf ''
Si el acero a compresión fluye, yssf ''
Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá.
Marco teórico Página 51 de 188
Sea My el momento de fluencia, se calcula con respecto al centroide de la sección de la
columna.
kd
hkdbf
dhfAfA cssysy
2'
2
'2'' (Ec. 2.47)
Finalmente se debe calcular la curvatura de la sección en fluencia del acero a tensión, con
la siguiente expresión:
kd
c
y
(Ec. 2.48)
2.3.2.3 Punto C punto ultimo
En este punto cuc , y no se tiene en cuenta el endurecimiento por deformación del
acero de refuerzo.
Si 002.08.0
002.0 20
ccc , entonces se debe usar las siguientes
expresiones para α y para :
2231
2
00
0 c
cc
(Ec. 2.49)
326122
111
2
0
2
3
0
2
2
0 c
cc
(Ec. 2.50)
Si 002.08.0
200
cc entonces deben usarse las siguientes expresiones para α
y para :
2.032.0
3
4.1 0
cc
(Ec. 2.51)
2
2
0
2
21.0
3
256.032.0
12
8.311 c
c
c
(Ec. 2.52)
Maria Claudia Borrero Chaux
Página 52 de 188 Marco teórico
Se realiza una sumatoria de fuerzas con respecto a la Figura 2-17, con lo que se obtiene
la siguiente expresión:
fsAkdbfPfAF scys '' (Ec. 2.53)
Figura 2-17 Sumatoria de fuerzas en el punto de resistencia última de sección. Tomado de (Ruiz, 2000)
Se supone que ys ff ' . Luego se debe verificar lo siguiente:
bf
PfAAkd
c
yss
'
'
(Ec. 2.54)
Si kd>d’=5cm (se supuso un recubrimiento de 5 cm para el refuerzo), entonces el acero a
compresión fluye, por lo tanto ys ff . Si por el contrario kd<d’=5cm, se debe recalcular sf
Para realizar lo anterior se debe seguir el siguiente procedimiento:
Se calcula kd con la ecuación
bf
PfAAkd
c
yss
'
'
Luego se calcula s' con la ecuación ycskd
dkd
'' .
Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá.
Marco teórico Página 53 de 188
Luego se calcula sssf '' .
Este valor calculado debe ser semejante al valor supuesto. De lo contrario se debe
reiniciar el proceso suponiendo el sf ' hallado mediante esta última ecuación.
Por último se calcula el momento último de la sección mediante la siguiente ecuación:
kd
hkdbf
dhfAfA cssysu
2'
2
'2'' (Ec. 2.55)
y la curvatura última de la sección con la siguiente ecuación:
kd
cu
u
(Ec. 2.56)
2.4 NIVEL DE DESEMPEÑO DE LAS ESTRUCTURAS
El documento (ATC-40, 1996) “Seismic Evaluation and Retrofit of Concrete Buildings”
clasifica por separado el nivel de desempeño de la estructura y el nivel de desempeño de
los elementos no-estructurales para que al tener en cuenta ambos niveles de desempeño
se pueda estimar el nivel de desempeño de la edificación.
2.4.1 Elementos estructurales
Estos niveles describen el posible estado de daño de los elementos estructurales. Las
siglas SP (Structural Performance) anteceden las siglas correspondientes a los niveles de
daño.
SP-1 Ocupación Inmediata (IO): El sistema resiste cargas verticales y horizontales,
permanece prácticamente inalterado, el peligro a la vida es despreciable. Se pueden
presentar daños estructurales menores, pero el edificio sigue funcionando en su totalidad.
SP-2 Rango de Daños Controlados (IO-LS): La vida de los ocupantes no corre peligro
pero posiblemente pueden ser afectados, los daños estructurales se encuentran
controlados.
Maria Claudia Borrero Chaux
Página 54 de 188 Marco teórico
SP-3 Protección a la Vida (LS): Se presenta un daño significativo en la estructura; sin
embargo, la mayoría de los elementos se mantienen aunque no se puede garantizar la
protección a la vida. Costos elevados asociados a las reparaciones estructurales.
SP-4 Rango de seguridad limitada (LS-CP): Estado de daño que varía entre las
condiciones de Seguridad y Estabilidad Estructural, con alto peligro para los ocupantes.
SP-5 Estabilidad estructural (D): Estado de daño en el cual el sistema estructural está
en el límite de experimentar un colapso parcial o total. Han sucedido daños sustanciales,
con una significativa degradación de la rigidez del sistema que resiste las cargas laterales.
Aún cuando el sistema que soporta las cargas verticales mantiene la capacidad suficiente
para evitar el colapso, existe un elevado peligro para los ocupantes y transeúntes, así
como un peligro elevado en caso de réplicas. Estas edificaciones requieren reparaciones
estructurales significativas.
SP-6 Colapso (E): No corresponde a un nivel de desempeño de la estructura, sino a una
condición en la cual sólo se incluye una evaluación de los componentes No Estructurales.
En la Figura 2-18 se muestra una curva de capacidad típica, mostrando gráficamente lo
descrito anteriormente.
Figura 2-18 Curva de capacidad típica. Tomado de (ATC-40, 1996)
Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá.
Marco teórico Página 55 de 188
2.4.2 Elementos no estructurales
Estos niveles describen los posibles estados de daño de los componentes no
estructurales. Se definen cuatro estados de daño: Operacional, ocupación inmediata,
seguridad y amenaza, la sigla NP (“Non Structural Performance”), antecede las siglas de
los niveles de daño.
NP-A Operacional: Después del sismo, los sistemas, componentes y elementos no
estructurales permanecen sin daño y funcionando. Todos los equipos y las máquinas
deben permanecer operando, aunque algunos servicios externos no estén del todo
disponibles.
NP-B Ocupación Inmediata: Los sistemas, componentes y elementos estructurales
permanecen en su sitio, con pequeñas interrupciones que no comprometen o limitan su
funcionamiento.
NP-C Seguridad: Contempla considerables daños en sistemas, componentes y
elementos no estructurales, pero sin colapso o interrupción de los mismos que puedan
atentar seriamente contra los ocupantes. No debería haber fallo en los componentes, sin
embargo, el equipamiento y las maquinas pueden quedar fuera de servicio.
NP-D Amenaza: Incluye importantes daños en sistemas, componentes y elementos no
estructurales, pero sin colapso de los grandes y pesados elementos que pongan en
peligro a grupos de personas. El peligro a la vida por daños en los componentes
estructurales es alto.
NP-E No considerado: no corresponde a un nivel de desempeño de los elementos no
estructurales, sino con una condición en la cual se incluye una evaluación sísmica de los
componentes estructurales.
2.4.3 Nivel global de desempeño
Los niveles globales de desempeño describen los posibles estados de daño para la
edificación. Estos niveles de desempeño se obtienen de la apropiada combinación de los
niveles de desempeño de la estructura y de los componentes no estructurales. En la
Tabla 2-3 se muestra las posibles combinaciones en donde se destacan los cuatro niveles
de desempeño de edificaciones que se referencian más frecuentemente:
Maria Claudia Borrero Chaux
Página 56 de 188 Marco teórico
Operacional (1-A), Ocupación Inmediata (1-B), Protección a la Vida (3-C), y Estabilidad
Estructural (5-E), así como los niveles de desempeño posibles (2A, 2B,…). La sigla NR
corresponde a niveles de desempeño No Recomendables en el sentido de que no deben
ser considerados en la evaluación.
1-A Operacional: Se relaciona básicamente con la funcionalidad. Los daños en
componentes permanecen funcionando. Cualquier reparación requerida no perturbará
ninguna función. Se mantiene la seguridad de los ocupantes. Se mantienen las funciones
de los servicios de la edificación, incluso cuando los externos a la misma no estén
disponibles.
1-B Ocupación Inmediata: Los espacios de la edificación, los sistemas y los
equipamientos permanecen utilizables. Se mantienen en funcionamiento los servicios
primarios. Quizás algunos servicios secundarios presenten pequeñas interrupciones de
fácil e inmediata reparación. Se mantiene la seguridad de los ocupantes.
1-C Protección a la Vida: Estado de daño que representa una baja probabilidad de
atentar contra la vida. Constituye el nivel de desempeño de la edificación que se espera
alcanzar con la aplicación de los actuales códigos sísmicos. Se caracteriza por presentar
daños limitados en los componentes estructurales y el eventual fallo o volcamiento de los
componentes no estructurales, con posibilidad incluso de falla en algún elemento
peligroso o en alguno de los componentes primarios (servicios de agua y electricidad…), y
secundarios (acabados, fachadas...), siempre que no atente contra la vida de los usuarios.
5-E Estabilidad Estructural: Estado de daño en el que prácticamente no queda reserva
alguna del sistema resistente a carga lateral que permita soportar una réplica, solo se
mantiene cierta capacidad del sistema resistente a cargas verticales para mantener la
estabilidad de la estructura, de manera que el peligro para la vida es muy alto. El nivel de
daño estructural implica que no se requiere la revisión de los componentes no
estructurales. El peligro de los ocupantes y transeúntes por el colapso o falla de
componentes no estructurales exige el desalojo de la edificación.
Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá.
Marco teórico Página 57 de 188
Tabla 2-3 Niveles de desempeño. Tomado de (ATC-40, 1996)
SP-1
Ocupación Inmediata
SP-2 Rango Daño
Controlado
SP-3 Protección
a la Vida
SP-4 Rango
Seguridad Limitada
SP-5 Estabilidad Estructural
SP-6 Colapso
NP-A Operacional
1-A Operacional
2-A NR NR NR NR
NP-B 2-B Ocupación Inmediata
Ocupación Inmediata
2-B 3-B NR NR NR
NP-C 3-C
Seguridad 1-C 2-C Protección
a la Vida 47-C 5-C NR
NP-D Amenaza
NR 2-D 3-D 4-D 5-D 6-D
NP-E Estabilidad estructural
NR NR 3-E 4-E 5-E
Estabilidad Estructural
No Aplicable
2.5 RESPUESTA HISTERÉTICA
Este tipo de amortiguamiento es muy importante cuando se está hablando de análisis
estructural sometido a fuerza sísmica, ya que la característica fundamental de éste
análisis es que se tiene en cuenta que el comportamiento de un determinado evento
depende de la historia de una acción previa que hace que las características del sistema
cambien en cada momento, de donde se desarrolla el concepto de no linealidad. Este
concepto implica necesariamente que los materiales después de haber soportando cierto
grado de exigencia; no vuelven a su estado original.
Para que se produzca histéresis es necesario analizar el caso de un ciclo de carga –
descarga (similar al efecto de un sismo, ver la Figura 2-26) en donde existen fuerzas
aplicadas en dos sentidos opuestos; si no existieran deformaciones permanentes y si los
materiales se comportaran elásticamente en todo momento, no habría histéresis, pero
como en algunas ocasiones, las fuerzas que actúan sobre el sistema sobrepasan los
límites de la elasticidad, los materiales no se recuperan y se producen deformaciones
permanentes.
Maria Claudia Borrero Chaux
Página 58 de 188 Marco teórico
Figura 2-19 Estructura somedita a un evento sísmico. Tomado de (Crisafulli, 2002)
Figura 2-20 Curva esfuerzo - deformación para un material inelástico. Tomado de (García, 1998)
Según la teoría elástica, es posible a partir de las cargas aplicadas en un elemento, llegar
hasta sus deflexiones. Esto se hace llevando a cabo un proceso de cálculo que incluye
pasar por la determinación del cortante, momento, curvatura y rotación, hasta llegar a las
deflexiones punto a punto del elemento (Tabla 2-4). La restricción que presenta este
procedimiento es que sólo es válido para sistemas en los cuales los materiales se
mantienen en los rangos elásticos de esfuerzos y además que se presenten
deformaciones pequeñas como se explica en (Ruiz, 2000).
Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá.
Marco teórico Página 59 de 188
Tabla 2-4 Pasos para ir de carga a deflexión en sistemas elásticos. Teoría de Navier. Tomado de (García, 1998)
Las expresiones tienen una aplicabilidad muy limitada cuando se está trabajando con
concreto reforzado debido a que, como se ha expuesto anteriormente, el concreto sólo se
comporta elásticamente hasta un valor muy pequeño de deformaciones. Adicionalmente,
el comportamiento elástico del acero de refuerzo, aunque abarca deformaciones mayores
a las del concreto, desaparece cuando se sobrepasa el esfuerzo de fluencia.
Considerando que el concreto reforzado es la combinación de estos dos materiales, su
comportamiento deja de ser elástico desde que se presenta la primera fisura, por lo que
las expresiones mostradas en la Figura 2-21 no pueden ser utilizadas. A pesar de esto, es
posible hallar las deflexiones en un elemento de concreto reforzado integrando su
diagrama de momento – giro a lo largo de su longitud.
Figura 2-21 Curva típica de momento-giro de una viga de concreto reforzado. Tomado de (Marín, 2004)
Maria Claudia Borrero Chaux
Página 60 de 188 Marco teórico
En la Figura 2-21 se puede ver que la sección se comporta elásticamente hasta que se
presente la primera fisura en el concreto (punto 1 - Mcr). Hasta este punto todos los
cálculos se realizan con la inercia de la sección total sin fisurar Ig. A partir de ahí el eje
neutro se eleva debido de la fisura y el comportamiento sigue siendo similar al inicial
hasta que fluye el acero de refuerzo (punto 2 - My). Desde este punto cambia el
comportamiento debido a la fluencia del acero, en la cual aumenta la curvatura sin que
aumente el momento. Esta etapa termina cuando se presenta el inicio del endurecimiento
por deformación del acero (punto 3 - Mu), en la cual la curva aumenta su resistencia hasta
que el acero llegue a su resistencia máxima. En este momento se da la resistencia
máxima del concreto (Mu). De ahí la resistencia del elemento empieza a descender hasta
que se presenta la falla por tensión del acero. Este comportamiento se presenta para
vigas con cuantías menores a la balanceada, y además se garantiza que no va a haber
falla por cortante ni falla de adherencia entre el concreto y el acero (García, 1998).
Ahora, si se analiza el comportamiento de una viga en voladizo a la cual se le aplica una
carga en el extremo libre (Figura 2-22), se pueden apreciar las distribuciones de las
curvaturas en los casos de que la carga sea la de fluencia y que sea la carga última. En el
caso de la carga de fluencia, se observa una distribución uniforme de las curvaturas. Pero
al pasar a la carga que provoca el momento último de la sección, hay una concentración
de curvaturas grande en una zona adyacente a la base del voladizo. En esta zona se
presenta el mayor momento de toda la viga y además las más grandes rotaciones. Esta
zona se llama articulación plástica, y la longitud en la que se presenta esta concentración
de curvaturas se llama longitud de plastificación (Lp en la Figura 2-22) (García, 1998).
Según (Ruiz, 2000) la longitud de plastificación se define como la zona donde el momento
aplicado sobre la sección iguala o excede el momento de fluencia del acero. Es decir, la
zona del elemento estructural donde la curvatura es mayor a la curvatura de fluencia (φY)
pero inferior a la curvatura última (φU). Esta zona de plastificación no posee una
distribución uniforme, sino que por el contrario es variable. En gran medida la distribución
de la curvatura depende de la formación de grietas de flexión, que no son otra cosa que
concentración de curvatura.
Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá.
Marco teórico Página 61 de 188
Figura 2-22 Distribución de la curvatura de una viga en voladizo. Tomado de (García y Ramírez, 2004)
Existen diferentes modelos de ciclos de histéresis, cada uno con diferentes hipótesis con
el objeto de representar adecuadamente el comportamiento de los materiales o de las
estructuras teniendo en cuenta sus diversas características de deformación. Algunos de
estos modelos son: el modelo elastoplastico (Figura 2-23 a), el cual maneja niveles de
elasticidad hasta que llega al punto en que se deforma sin aumentar la carga, luego se
descarga y se devuelve manteniendo un comportamiento elástico hasta que se carga de
nuevo y vuelve a llegar al punto de plasticidad. Este es uno de los métodos más
convencionales, también existen otros métodos que se basan en análisis experimentales
como ensayos sobre mesas vibratorias y curvas de fuerza- deformación de diferentes
materiales. Ejemplo de esto son el modelo de Ramberg – Osgood (Figura 2-23 b.), y el de
rigidez degradante (Figura 2-23 c.).
Maria Claudia Borrero Chaux
Página 62 de 188 Marco teórico
a. Elastoplastico b. Ramberg – Osgood c. rigidez degradante
Figura 2-23 Modelos de histéresis. Adaptada de (García, 1998)
2.6 DERIVA INELÁSTICA
En la literatura existen pocas referencias en las que se haya realizado investigaciones o
estudios similares al presente, sin embargo, en la investigación realizada por (Dymiotis,
Ch., et al., 1999), en el que se estudió el comportamiento de la deriva de pórticos de
concreto reforzado a escala y en tamaño original, mencionan que a nivel mundial existen
valores máximos recomendados para que la estructura no llegue al colapso, dichos
valores oscilan entre 2% y 6%.
Según las referencias (Kappos, 1991) y (Vision, 2000) se debe ser precavidos con
valores de deriva entre 2% y 3%, ya que una estructura de concreto reforzado que llegue
a estos valores tiene una gran probabilidad de colapsar. Por otro lado, según (Ghobarah y
El-Attar, 1997), una deriva del 3% está asociada a daños que pueden ser remediados a
corto plazo, y valores de deriva cercanos a 5.6%, provocan el colapso de la estructura.
En la Figura 2-24 a) se muestran los resultados de la investigación realizada por
(Dymiotis,Ch. et al, 1999), para todos los especímenes ensayados. Posteriormente, se
hace una depuración de los resultados y en la Figura 2-24 b) se muestran aquellos
especímenes que no llegaron a la falla con las cargas aplicadas. Con lo anterior, se
consideró que los resultados de la Figura 2-24 corresponde a la deriva en la cual se
presenta fluencia en los materiales, pero la estructura no llega a la falla. La media de los
resultados es 4.30% y la distribución que mejor se ajusta a la serie de datos es la
LogNormal.
Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá.
Marco teórico Página 63 de 188
Finalmente, hacen la aclaración que los ensayos de los especímenes no fueron
controlados por los investigadores, sino que fueron una recopilación de investigaciones
pasadas, por lo que los resultados dependen de las condiciones en las que se realizaron.
Figura 2-24Deriva máxima en ensayos para a) Todos los especímenes y b) Especímenes que no fueron llevados a la falla. (Tomado de Dymiotis,Ch.et al.,1999)
Maria Claudia Borrero Chaux
Página 64 de 188 Marco teórico
2.7 VARIABILIDAD DE LAS PROPIEDADES MECÁNICAS DE LOS
MATERIALES DE BOGOTÁ
El comportamiento mecánico de un material refleja la relación entre la fuerza aplicada y la
respuesta que tiene el material ante esta, en otras palabras, la relación entre la fuerza
aplicada y la deformación del material.
Una de las propiedades mecánicas más importantes en cualquier material es la
resistencia, definiendo resistencia como la capacidad del material de soportar un
esfuerzo.
En Bogotá, una gran parte de las edificaciones están hechas de concreto reforzado, por lo
que, conocer las propiedades mecánicas del acero y el concreto ha sido tema de
constante estudio.
De acuerdo con (González et al, 2005) las diferencias entre los resultados analíticos y
experimentales de respuestas de edificios sometidos a eventos sísmicos, son
ocasionadas por las incertidumbres involucradas en el proceso de diseño, que hacen
referencia a la variación entre la resistencia real y nominal de los materiales, las
diferencias entre las solicitaciones reales y las empleadas en el diseño, y el grado de
aproximación entre el modelo propuesto y el construido.
2.7.1 Concreto
Cuando el concreto llega a obra, se realiza un control de calidad para aceptarlo mediante
ensayos in-situ, adicionalmente se toman cilindros de concreto que posteriormente son
ensayados en laboratorios. Aunque el supuesto es que los concretos que llegan a obra
tienen exactamente la resistencia que especifica la concretera, puede tener pequeñas
diferencias, que aunque son aceptadas en obra, pueden tener efectos sobre el módulo de
elasticidad. Adicionalmente, aunque las buenas prácticas de trabajo para la manipulación,
fundición, compactación o vibrado y curado del concreto en obra deben asegurar un
adecuado porcentaje de esa resistencia, existen diferencias que afectan directamente el
módulo de elasticidad y por consiguiente en la flexibilidad de la estructura, lo que da como
resultado una variación en la deriva de la estructura.
Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá.
Marco teórico Página 65 de 188
Según la referencia (Ruiz, Vacca, León, 2007), en el caso colombiano, el módulo de
elasticidad para el concreto de peso normal puede determinarse experimentalmente a
partir de las curvas esfuerzo-deformación obtenidas para un grupo representativo de
cilindros estándar de concreto, como la pendiente de la línea trazada desde el origen
hasta el punto en la curva esfuerzo-deformación correspondiente a un esfuerzo de 0,45f’c
en compresión, sin embargo, de acuerdo con la Norma Técnica Colombiana (NTC) 4025
(Método de ensayo para determinar el módulo de elasticidad estático y la relación de
Poisson en concreto a compresión), se calcula el módulo de elasticidad como:
Ec. 2.57
En donde
E = módulo de elasticidad secante, en MPa (psi)
s2 = esfuerzo correspondiente al 40% de la carga última.
s1 = esfuerzo correspondiente a la deformación longitudinal, 1, de las 50
millonésimas, en MPa
= deformación longitudinal producida por el esfuerzo s2.
Según (Ruiz, Vacca y León, 2007), aunque es probable que este diferencia en la
definición no tenga una marcada influencia en el valor final del módulo de elasticidad (por
cuanto ambas alternativas de cálculo corresponden a líneas secantes), debería existir una
unificación de criterios al respecto.
Por otro lado, siendo f’c la resistencia a la compresión del concreto y E el módulo de
elasticidad del mismo, en la referencia (AIS, 1998) se planteaba la expresión
(en MPa) siendo la constante 3.900 el valor medio para toda la información
nacional sin distinguir el origen del agregado, expresión que es resultado de la regresión
estadística realizada en la investigación de la referencia (Cortez, Zabaleta y Amézquita,
1995) que se muestra en la Figura 2-25 . La dispersión de los datos de la Figura 2-25 es
excesivamente alta y el factor R2 es muy bajo (0.149).
Maria Claudia Borrero Chaux
Página 66 de 188 Marco teórico
Figura 2-25 Regresión estadística que dió origen a la fórmula del módulo de elasticidad de la referencia AIS (1998) (promedio nacional). Extractado (escaneado) de Cortés, Zabaleta y Amézquita (1995)
En la actualización de la NSR-98, publicada en el año 2010, NRS-10, la expresión fue
modificada. Según la referencia (AIS, 2010), para concreto de densidad normal, E puede
tomarse como (en MPa).
La dependencia del módulo de elasticidad de la raíz cuadrada de la resistencia a la
compresión tuvo su origen en (Pauw, 1960), donde se reporta que E puede estimarse
como
donde es el peso unitario del concreto y es una constante
adimensional.
Según la referencia (Gallego y Sarria, 2006), el parámetro
toma valores que oscilan
entre 9.900 y 14.000 en unidades Kg y cm y anotan que esta es una variación sumamente
grande y peligrosa porque si el valor del módulo E usado en obra es menor que el usado
en el diseño, necesariamente los desplazamientos, rotaciones y deformaciones serán
mayores que los calculados.
De acuerdo con (Ruiz, Vacca y León, 2007), en la Figura 2-26 se muestra la línea de
ajuste (ubicada en el centro) con su respectivo R2, el cual es de 0,57 (bajo). Se muestran
las líneas inferior por encima de las cuales se encuentra el 90% de los datos. Señalan
también que, la cota superior propuesta coincide con el promedio nacional que propone la
Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá.
Marco teórico Página 67 de 188
referencia (AIS, 1998) y que sugiere la referencia (AIS,2010), demostrando que usar un
coeficiente de 12.500 (en kg/cm2) para Bogotá es muy poco conservativo, y peor aún,
usar un coeficiente de 15.000 (en kg/cm2) que equivaldría a un coeficiente de 4700 en
MPa como se presenta ahora en la NSR10.
Figura 2-26 Resumen de resultados módulo elástico en función de la raíz cuadrada de la resistencia a la compresión para datos de Bogotá. A) Sistema MKS. B) Sistema internacional. Tomado de: Ruiz, Vacca y León, 2007
Como se observa en la Figura 2-26, los datos del módulo de elasticidad están
concentrados entre los 150.000 y los 230.000 kg/cm2, aunque se tienen valores entre
24.000 y 350.000 kg/cm2.
y = 3319.5(f´c)1/2
R2 = 0.5714
E = 2750 (f´c) 1/2
y = 3900 (f´c)1/2
0
5,000
10,000
15,000
20,000
25,000
30,000
35,000
40,000
0 5 10
Mó
du
lo d
e e
las
tic
ida
d -
E -
(MP
a)
Raíz (f´c) (MPa 1/2)
y = 10598(f´c)1/2
R2 = 0.5714
E = 8800 (f´c) 1/2
E = 12500 (f´c) 1/2
0
50,000
100,000
150,000
200,000
250,000
300,000
350,000
400,000
0 10 20 30 40 50
Mó
du
lo d
e e
las
tic
ida
d -
E -
(kg
/cm
2)
Raíz (f´c) (kg-f 1/2 /cm)
A)
B)
Maria Claudia Borrero Chaux
Página 68 de 188 Marco teórico
Con base en el análisis efectuado en (Ruiz, Vacca y León, 2007), se proponen las
siguientes expresiones para la estimación del módulo de elasticidad del concreto (E) en
Bogotá:
(en kg/cm2) Ec. 2.58 a
(en MPa) Ec. 2.58 b
En la referencia (Ruiz, Vacca y León, 2007) se comparan las expresiones obtenidas en la
investigación con las del promedio nacional de la referencia AIS (1998) (
en unidades kg/cm2 y (en MPa), dando como resultado una
disminución del 42% en el módulo de elasticidad estimado. Adicionalmente, se menciona
que las derivas calculadas subirían automáticamente un 42%, y por esta razón, las
edificaciones diseñadas con la referencia (AIS, 1998) y con la microzonificación sísmica
(vigente en el momento) no cumplirían con el requisito de mantener las derivas por debajo
del 1%.
2.7.2 Acero de refuerzo
Con el fin de reducir las incertidumbres en la variación de la resistencia del acero de
refuerzo (González et al, 2005) realizaron una investigación con la que relacionan los
criterios teóricos de las propiedades mecánicas del acero y los resultados obtenidos
mediante ensayos experimentales.
En el estudio realizado por (González et al, 2005), se realizó un análisis estadístico de las
variables principales que definen las propiedades mecánicas del acero de acuerdo con el
diámetro de la varilla y la empresa productora de acero.
En la Tabla 2-5 se presentan los resultados obtenidos por (González et al, 2005) para el
número total de barras ensayadas, en donde es la estimación de la media aritmética,
es la estimación de la desviación estándar y V es el coeficiente de variación.
Adicionalmente, se presentan los valores máximos y mínimos, así como los percentiles 5
y 95.
Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá.
Marco teórico Página 69 de 188
Tabla 2-5 Valores estadísticos para el total de barras ensayadas. Tomado de (González et al, 2005)
Con lo anterior se puede ver que el valor mínimo obtenido fue de 419.93 MPa, que de
acuerdo con (González et al, 2005), es aproximadamente igual al mínimo nominal
especificado por la Norma Técnica Colombiana NTC 2289, que especifica un valor de
420MPa. Sin embargo, en la norma también se establece como valor máximo de fluencia
540 MPa, y el valor máximo encontrado fue igual a 538,804 MPa. Esta característica
puede ser desfavorable debido a que pueden presentarse modos de falla frágiles.
Adicionalmente, en el estudio de (DIACO y CIMOC, 2000) se estableció que el coeficiente
de variación para el esfuerzo de fluencia del acero de refuerzo utilizado en el país era del
7%.
Maria Claudia Borrero Chaux
Página 70 de 188 Análisis de la variabilidad de los materiales
3 ANÁLISIS DE LA VARIABILIDAD DE LOS MATERIALES
Las propiedades de los materiales no tienen valores exactos, razón por la cual siempre
existe dispersión y variabilidad en los resultados. Las Normas Técnicas Colombianas
establecen rangos en los cuales es posible tener resultados satisfactorios, sin embargo,
existen pocos estudios en los que se relacione la variabilidad de los materiales con el
diseño de estructuras de concreto reforzado en Colombia.
Por otro lado, en la literatura se encontraron pocos estudios relacionados con la
variabilidad de las propiedades mecánicas del acero de refuerzo utilizado en la
construcción en Bogotá. Como consecuencia, se realizó el análisis del esfuerzo de
fluencia del acero (fy) y la resistencia última (fu) basado en resultados de ensayos de
laboratorio.
Con la variabilidad de las propiedades mecánicas del concreto y del acero se generaron
1000 números aleatorios para realizar posteriormente las simulaciones de Montecarlo (en
la propuesta se había indicado solamente 100).
Con el fin de establecer la distribución de probabilidad de las variables estudiadas, se
empleó, por medio del programa Bestfit, la técnica de bondad del ajuste para la curva de
densidad de probabilidad acumulada de Kolgomorov-Smirnov, y se estableció la
distribución óptima para la serie de datos.
3.1 CONCRETO
De acuerdo con lo mencionado anteriormente, y para conocer la variabilidad de las
propiedades mecánicas del concreto: resistencia a la compresión (f’c) y módulo de
elasticidad (E), se acudió a los datos utilizados en la investigación realizada en (Ruiz,
Vacca y León, 2007) y se adicionaron los reportes de ensayos realizados entre los años
2007 y 2010 del Laboratorio de Pruebas y Ensayos del Departamento de Ingeniería Civil
de la Pontificia Universidad Javeriana, para un total de 1514 datos.
El histograma de frecuencias y el análisis estadístico para la resistencia a la compresión
de los datos recopilados se presenta en la Gráfica 3-1 y la Tabla 3-1.
Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá.
Análisis de la variabilidad de los materiales Página 71 de 188
Gráfica 3-1 Histograma Resistencia a la compresión del concreto (f’c).
Tabla 3-1 Análisis estadístico Resistencia a la compresión del concreto (f'c)
Resistencia (f´c) (kg-f/cm2)
Media 301.23
Error típico 3.50
Mediana 269.00
Moda 284.00
Desviación estándar 136.17
Varianza de la muestra 18541.77
Coeficiente de asimetría 1.88
Mínimo 13.54
Máximo 941.59
Cuenta 1514
Nivel de confianza (95.0%) 6.86
Los valores de f’c varían entre 941.59 Kg-f/cm2 (92.37 MPa) y 13.54 Kg-f/cm2 (1.33 MPa).
De acuerdo con el análisis estadístico realizado, la muestra tiene una media de 301.23
Kg-f/cm2 y una desviación estándar de 136.17 Kg-f/cm2.
Con el fin de conocer la distribución de probabilidad para los valores de f’c, se utilizó la
herramienta Bestfit. En la Figura 3-1 se muestra el histograma de frecuencias y la
distribución que más se ajusta: LogLogistica.
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
20 60
100
140
180
220
260
300
340
380
420
460
500
540
580
620
660
700
740
780
820
860
900
940
Frec
uen
cia
Resistencia f'c (kg-f/cm2)
Frecuencia % acumulado
Maria Claudia Borrero Chaux
Página 72 de 188 Análisis de la variabilidad de los materiales
Figura 3-1 Distribución de probabilidad Resistencia a la compresión del concreto (f'c). (Tomado de Bestfit)
El histograma de frecuencias y el análisis estadístico para el módulo de elasticidad del
concreto de los datos recopilados se presenta en la Gráfica 3-2 y la Tabla 3-2.
Gráfica 3-2 Histograma Módulo elástico del concreto (E)
0.00%
10.00%
20.00%
30.00%
40.00%
50.00%
60.00%
70.00%
80.00%
90.00%
100.00%
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
2000
0
3000
0
4000
0
5000
0
6000
0
7000
0
8000
0
9000
0
1000
00
1100
00
1200
00
1300
00
1400
00
1500
00
1600
00
1700
00
1800
00
1900
00
2000
00
2100
00
2200
00
2300
00
2400
00
2500
00
2600
00
2700
00
2800
00
2900
00
3000
00
3100
00
3200
00
3300
00
3400
00
3500
00
3600
00
3700
00
3800
00
3900
00
4000
00
Frec
uenc
ia
Módulo (kg-f/cm2)
Frecuencia % acumulado
Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá.
Análisis de la variabilidad de los materiales Página 73 de 188
Tabla 3-2 Análisis estadístico Módulo elástico del concreto (E).
Módulo elástico (kg-f/cm2)
Media 179275.93
Error típico 1132.74
Mediana 176167.50
Moda 179302.00
Desviación estándar 44075.24
Varianza de la muestra 1942626762.15
Coeficiente de asimetría 0.48
Mínimo 23836.00
Máximo 370277.76
Cuenta 1514.00
Nivel de confianza (95.0%) 2221.91
Los valores del módulo de elasticidad de la muestra oscilan entre 370277.76 kg-f/cm2
(36324.25 MPa) y 23836 kg-f/cm2 (2338.31 MPa). La media de la muestra es de
179275.93 kg-f/cm2 y la desviación estándar de 44075.24 kg-f/cm2.
En la Figura 3-2 se muestra la distribución de probabilidad para el módulo de elasticidad,
de acuerdo con el análisis realizado en Bestfit, la distribución de probabilidad que se
ajusta es LogLogistica.
Figura 3-2 Distribución de probabilidad Módulo de elasticidad del concreto (E). Tomado de Bestfit
Maria Claudia Borrero Chaux
Página 74 de 188 Análisis de la variabilidad de los materiales
3.2 ACERO DE REFUERZO
Para determinar la variación del esfuerzo de fluencia del acero de refuerzo en Bogotá, se
tomaron los reportes de ensayos realizados entre los años 2005 y 2010 del Laboratorio de
Pruebas y Ensayos del Departamento de Ingeniería Civil de la Pontificia Universidad
Javeriana, para un total de 986 datos.
Inicialmente se realizó un análisis para todos los datos sin diferenciar el diámetro de las
barras ensayadas.
El histograma de frecuencias y el análisis estadístico del esfuerzo de fluencia del acero
(fy) de todos los datos, sin diferenciar su diámetro, se presentan en la Gráfica 3-3 y en la
Tabla 3-3.
Gráfica 3-3 Histograma Resistencia a la fluencia (fy)
0.00%
10.00%
20.00%
30.00%
40.00%
50.00%
60.00%
70.00%
80.00%
90.00%
100.00%
0
20
40
60
80
100
120
140
260
270
280
290
300
310
320
330
340
350
360
370
380
390
400
410
420
430
440
450
460
470
480
490
500
510
520
530
540
550
560
570
580
590
600
610
Fre
cue
nci
a
Resistencia a la fluencia (MPa)
Frecuencia % acumulado
Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá.
Análisis de la variabilidad de los materiales Página 75 de 188
Tabla 3-3 Análisis estadístico Resistencia a la fluencia (fy)
Resistencia a la fluencia (MPa)
Media 425.97
Error típico 0.78
Mediana 424.22
Moda 419.73
Desviación estándar 24.21
Varianza de la muestra 585.88
Coeficiente de asimetría 0.33
Mínimo 277.00
Máximo 602.28
Nivel de confianza (95.0%) 1.53
De acuerdo con el análisis estadístico, los valores de fy varían entre 277MPa y
602.28MPa. La media de la muestra es 425.97MPa y la desviación estándar es
24.21MPa.
En la Figura 3-3 se presenta la distribución de probabilidad que mejor se ajusta a la
variabilidad del esfuerzo de fluencia (fy): LogLogistica.
Figura 3-3 Distribución de probabilidad Resistencia a la fluencia (fy). Tomado de Bestfit
Maria Claudia Borrero Chaux
Página 76 de 188 Análisis de la variabilidad de los materiales
En la Gráfica 3-4 y en la Tabla 3-4 se muestra el histograma de frecuencia y el análisis
estadístico de los valores de la resistencia última (fu).
Gráfica 3-4 Histograma Resistencia última (fu)
Tabla 3-4 Análisis estadístico Resistencia última (fu)
Resistencia última (Mpa)
Media 630.58
Error típico 1.02
Mediana 628.90
Moda 621.85
Desviación estándar 32.02
Varianza de la muestra 1025.01
Coeficiente de asimetría -0.61
Mínimo 373.37
Máximo 790.27
Cuenta 986.00
Nivel de confianza (95.0%) 2.00
Los valores de la resistencia última (fu) varían entre 373.37MPa y 790.27MPa. La media
de la muestra es 630.58MPa y la desviación estándar es 32.02MPa.
0.00%
10.00%
20.00%
30.00%
40.00%
50.00%
60.00%
70.00%
80.00%
90.00%
100.00%
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
35
0
37
0
39
0
41
0
43
0
45
0
47
0
49
0
51
0
53
0
55
0
57
0
59
0
61
0
63
0
65
0
67
0
69
0
71
0
73
0
75
0
77
0
79
0
Fre
cue
nci
a
Resistencia última (MPa)
Frecuencia % acumulado
Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá.
Análisis de la variabilidad de los materiales Página 77 de 188
La distribución de probabilidad que mejor se ajusta a la variabilidad de la resistencia
última (fu) se muestra en la Figura 3-4. De acuerdo con esto, la distribución que mejor se
ajusta es LogLogistica.
Figura 3-4 Distribución de probabilidad Resistencia última (fu). Tomado de Bestfit.
Adicionalmente, se tomaron los resultados obtenidos en los ensayos para barras de 1” y
se les realizó el correspondiente análisis estadístico.
En la Gráfica 3-5 y en la Tabla 3-5 Análisis estadístico Resistencia a la fluencia (fy) para
barras de 1" se presentan el histograma de frecuencias y el análisis estadístico para la
resistencia a la fluencia (fy) para las barras de 1”.
Maria Claudia Borrero Chaux
Página 78 de 188 Análisis de la variabilidad de los materiales
Gráfica 3-5 Histograma Resistencia a la fluencia (fy) para barras de 1".
Tabla 3-5 Análisis estadístico Resistencia a la fluencia (fy) para barras de 1"
Resistencia a la fluencia (Mpa)
Media 419.819
Error típico 2.372
Mediana 414.697
Moda 408.502
Desviación estándar 19.984
Varianza de la muestra 399.377
Coeficiente de asimetría 2.165
Mínimo 397.079
Máximo 507.627
Cuenta 71
Nivel de confianza (95.0%) 4.730
Para los valores de barras de diámetro igual a 1”, los valores de la resistencia a la fluencia
(fy) oscilan entre 397.079MPa y 507.627MPa. La media de la muestra es 419.82MPa y la
desviación estándar es 18.98MPa.
0.00%
10.00%
20.00%
30.00%
40.00%
50.00%
60.00%
70.00%
80.00%
90.00%
100.00%
0
5
10
15
20
25
30
35
0
36
0
37
0
38
0
39
0
40
0
41
0
42
0
43
0
44
0
45
0
46
0
47
0
48
0
49
0
50
0
51
0
52
0
53
0
54
0
55
0
Fre
cue
nci
a
Resistencia a la fluencia (MPa)
Frecuencia % acumulado
Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá.
Análisis de la variabilidad de los materiales Página 79 de 188
En la Figura 3-5 se presenta la distribución de probabilidad que mejor se ajusta a la
variación de la resistencia a la fluencia (fy) para las barras de 1”: LogLogistica.
Figura 3-5 Distribución de probabilidad Resistencia a la fluencia (fy) para barras de 1". Tomado de Bestfit.
El histograma de frecuencias y el análisis estadístico de los valores de la resistencia
última para los barras de 1” se muestran en la Gráfica 3-6y en la Tabla 3-6.
Gráfica 3-6 Histograma Resistencia última (fu) para barras de 1”.
0.00%
10.00%
20.00%
30.00%
40.00%
50.00%
60.00%
70.00%
80.00%
90.00%
100.00%
0
5
10
15
20
25
51
0
52
0
53
0
54
0
55
0
56
0
57
0
58
0
59
0
60
0
61
0
62
0
63
0
64
0
65
0
66
0
67
0
68
0
69
0
70
0
71
0
72
0
73
0
74
0
75
0
Fre
cue
nci
a
Resistencia a última (MPa)
Frecuencia % acumulado
Maria Claudia Borrero Chaux
Página 80 de 188 Análisis de la variabilidad de los materiales
Tabla 3-6 Análisis estadístico Resistencia última (fu) para barras de 1”.
Resistencia última (Mpa)
Media 622.778
Error típico 3.017
Mediana 621.852
Moda 615.076
Desviación estándar 25.419
Varianza de la muestra 646.125
Coeficiente de asimetría 0.834
Mínimo 560.093
Máximo 696.196
Cuenta 71
Nivel de confianza (95.0%) 6.017
Para las varillas de 1”, la resistencia última (fu) varía entre 560.09MPa y 696.20MPa. La
media de la muestra es 622.78MPa y la desviación estándar es 25.42MPa.
En la Figura 3-6 se muestra la distribución de probabilidad que mejor se ajusta a la
variación de la resistencia última de las varillas de 1”.
Figura 3-6 Distribución de probabilidad Resistencia última (fu) para barras de 1”. Tomado de Bestfit.
Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá.
Análisis de la variabilidad de los materiales Página 81 de 188
Para realizar el análisis del presente trabajo, fue necesario conocer la relación existente
entre la variación del esfuerzo último del acero (fu) y esfuerzo de fluencia (fy). En
consecuencia, se realizó la división del esfuerzo último sobre el esfuerzo de fluencia y se
realizó el histograma de frecuencias mostrado en la Gráfica 3-7 y el análisis estadístico
que se encuentra en la Tabla 3-7.
Gráfica 3-7 Histograma fu/fy
Tabla 3-7 Análisis estadístico fu/fy
fu/fy
Media 1.48
Error típico 2.11E-03
Mediana 1.48
Moda 1.51
Desviación estándar 0.07
Varianza de la muestra 4.37E-03
Coeficiente de asimetría -0.01
Mínimo 1.00
Máximo 1.96
Cuenta 986
Nivel de confianza (95.0%) 4.13E-03
La relación fu/fy oscila entre 1.00 y 1.96. La media de la muestre es 1.48 y la desviación
estándar 0.07. Con esto, se planteó la ecuación Ec. 3.1
Ec. 3.1
0.00%
10.00%
20.00%
30.00%
40.00%
50.00%
60.00%
70.00%
80.00%
90.00%
100.00%
0
50
100
150
200
250
300
350
1.03
1.06
1.09
1.12
1.15
1.18
1.21
1.24
1.27 1.3
1.33
1.36
1.39
1.42
1.45
1.48
1.51
1.54
1.57 1.6
1.63
1.66
1.69
1.72
1.75
1.78
1.81
1.84
1.87 1.9
1.93
1.96
1.99
2.02
Fre
cue
nci
a
fu/fy
Frecuencia % acumulado
Maria Claudia Borrero Chaux
Página 82 de 188 Análisis de la variabilidad de los materiales
3.3 GENERACIÓN DE NÚMEROS ALEATORIOS
Conociendo la variabilidad de las características mecánicas del acero de refuerzo y del
concreto, se generaron 1500 valores aleatorios para la resistencia a la compresión del
concreto (f’c) y 1000 valores aleatorios para el esfuerzo de fluencia del acero de refuerzo
(fy). Se utilizó la herramienta “Generación de números aleatorios” del menú “Análisis de
datos” del programa Microsoft Excel. De los 1500 valores de resistencia a la compresión
se seleccionaron 1000 para hacer los cálculos de la variabilidad de la deriva elástica
(2000 corridas, 1000 por cada edificio). Por su parte para las modelaciones de la deriva
inelástica se tomaron 200 datos aleatorios de resistencia a la compresión del concreto y
200 datos de resistencia a la fluencia del acero para una total de 80.000 corridas para dos
edificios (40.000 corridas por edificio).
Las distribuciones de probabilidad de estas dos variables (fy y f’c) son LogLogistica, sin
embargo, para la generación de los números aleatorios se consideró, para las dos
variables, una distribución Normal. De acuerdo con (González et al, 2005) los valores que
caracterizan la curva esfuerzo-deformación del acero, se consideran variables continuas,
por lo cual se puede buscar una aproximación de ajuste a una distribución normal. Por
otro lado, en el análisis estadístico realizado, se obtuvo el índice de confiabilidad, que, de
acuerdo con las referencias (Mays, L, et al, 1992) y (Ang.A.H-S, 1973), se utiliza aún para
funciones de distribución de probabilidad diferentes a la normal con resultados
satisfactorios, pues consideran este procedimiento como aproximado con un error mínimo
y aceptable.
A continuación se presentan los análisis estadísticos realizados para los valores aleatorios
generados, confirmando que la media de los valores aleatorios es similar a la obtenida
con los valores originales. Adicionalmente se presentan las figuras de Bestfit que
muestran la distribución Normal para cada una de las series.
Los valores aleatorios de la resistencia a la compresión del concreto oscilan entre
12.44kg-f/cm2 y 729.80 kg-f/cm2. La media obtenida con los valores originales es
301.23kg-f/cm2, la media de los valores aleatorios es 307.36 kg-f/cm2. En la Figura 3-7 se
muestra la distribución Normal asociada a los 1500 valores generados.
Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá.
Análisis de la variabilidad de los materiales Página 83 de 188
Tabla 3-8 Análisis estadístico de 1500 valores aleatorios de la resistencia a la compresión del concreto (f'c)
Aleatorios f’c
Media 307.36
Error típico 3.36
Mediana 301.81
Moda 537.23
Desviación estándar 130.17
Varianza de la muestra 16943.38
Coeficiente de asimetría 0.26
Mínimo 12.44
Máximo 729.80
Cuenta 1500.00
Nivel de confianza (95.0%) 6.59
Figura 3-7 Distribución de probabilidad de 1500 valores aleatorios de la resistencia a la compresión del concreto (f'c). Tomado de Bestfit.
Los 1000 valores aleatorios que se generaron para el esfuerzo de fluencia del acero
varían entre 351.20MPa y 503.93MPa. La media de estos valores es de 425.53MPa,
similar a la media obtenida en el análisis estadístico realizado para todos los datos de la
resistencia a la fluencia, 425.97MPa. Por otro lado, en la Figura 3-8 se muestra la
distribución de probabilidad que mejor se ajusta: Normal.
Maria Claudia Borrero Chaux
Página 84 de 188 Análisis de la variabilidad de los materiales
Tabla 3-9 Análisis estadístico de 1000 valores aleatorios de la resistencia a la fluencia (fy)
Aleatorios fy
Media 425.525
Error típico 0.754
Mediana 425.391
Moda 424.551
Desviación estándar 23.847
Varianza de la muestra 568.678
Coeficiente de asimetría 0.049
Mínimo 351.204
Máximo 503.927
Cuenta 1000.000
Nivel de confianza (95.0%) 1.480
Figura 3-8 Distribución de probabilidad de 1000 valores aleatoreos del esfuerzo de fluencia del acero (fy). (Tomado de Bestfit).
Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá.
Análisis de la variabilidad de los materiales Página 85 de 188
3.4 FÓRMULA PARA DETERMINAR EL MÓDULO DE
ELASTICIDAD
Al graficar el módulo de elasticidad y raíz cuadrada de la resistencia a la compresión del
concreto se obtiene la relación planteada por el Código Colombiano de Construcción
Sismo Resistente (NSR-10). Sin embargo, siguiendo las recomendaciones hechas en
(Ruiz, Vacca y León, 2007), para concretos de Bogotá, y con los datos recolectados para
este trabajo, se obtuvo la Gráfica 3-8 A) y B).
Gráfica 3-8 Resumen de resultados módulo elástico en función de la raíz cuadrada de la resistencia a la compresión para datos de Bogotá. A) Sistema MKS. B) Sistema internacional.
E = 10591(f'c)1/2
R² = 0.5763
0
50,000
100,000
150,000
200,000
250,000
300,000
350,000
400,000
0.00 5.00 10.00 15.00 20.00 25.00 30.00 35.00
Mó
du
lo d
e el
asti
cid
ad -
E -(
(kg
-f 1
/2/c
m)
Raíz (f´c) (kg-f 1/2/cm)
E= 3317.1(f'c)1/2
R² = 0.5763
0
5,000
10,000
15,000
20,000
25,000
30,000
35,000
40,000
0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00
Mó
du
lo d
e e
last
icid
ad -
E -
(MP
a 1
/2)
Raíz (f´c) (MPa 1/2)
A)
B)
Maria Claudia Borrero Chaux
Página 86 de 188 Análisis de la variabilidad de los materiales
Con la Gráfica 3-8 A) y B), se determinó la regresión lineal de la distribución de puntos y
se obtuvieron las ecuaciones Ec. 3.1 a y b.
(en kg/cm2) Ec. 3.1 a
(en MPa) Ec. 3.1 b
Con estas ecuaciones se calculó el módulo de elasticidad para realizar las simulaciones y
determinar la variabilidad de la deriva elástica e inelástica. Vale la pena aclarar que estas
nuevas regresiones, calculadas con los datos usados en (Ruiz, Vacca y León, 2007) y
varios cientos de datos adicionales no arrojaron una gran variación. Específicamente en
(Ruiz, Vacca y León, 2007) se reportó una regresión en MPa muy similar a la anterior
(véase la ecuación 3.2).
(en MPa) Ec. 3.2
En la Gráfica 3-9 se presenta la línea de ajuste mostrada anteriormente, con su respectivo
R2 (0.57). Por otro lado, se muestran las líneas que definen el intervalo de confianza (al
99 %) de la ecuación de ajuste por mínimos. Es obvio que en la zona en donde hay
menos datos la incertidumbre crece de forma importante (f`c0.5<4 y f`c0.5>6).
Obsérvese también que la curva sugerida por la normativa vigente en
MPa, está muy por encima de la ecuación de ajuste para los concretos bogotanos que se
observa en la figura, ya que el coeficiente que multiplica a (4700 en MPa) es un 39%
inferior al valor de la regresión estadística (3317 en MPa).
Aunque en la referencia AIS (2010) se deja la opción de usar valores de E inferiores,
queda únicamente como una simple sugerencia que muchos calculistas nunca usarán.
Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá.
Análisis de la variabilidad de los materiales Página 87 de 188
Gráfica 3-9 Regresión estadística para el módulo de elasticidad.
Maria Claudia Borrero Chaux
Página 88 de 188 Diseño de pórticos
4 DISEÑO DE PÓRTICOS
De acuerdo con la actualización del Código Colombiano de Construcción Sismo
Resistente NSR – 10 y la microzonificación sísmica de Bogotá (Decreto 523 de 2010), y
tomando como referencia la planta usada por García (1996), se realizó el diseño de 2
edificios tridimensionales con losas en una dirección, siendo los pórticos cargueros
aquellos con mayores luces entre apoyos.
Figura 4-1. Planta Típica adaptada de García (1996).
Para las simulaciones, se tomó el diseño del pórtico central correspondiente al eje 3, de 5
pisos, con luces de 9 metros y altura de entrepiso de 3 m.
Figura 4-2. Esquema pórtico eje 3.
Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá.
Diseño de pórticos Página 89 de 188
El diseño del edificio se realizó con base en las características típicas de los materiales
con los que se diseña en Bogotá.
Tabla 4-1 Características de los materiales
Características de los materiales
γconcreto 24 kN/m³
f'c 28 MPa
Econcreto 20636.86 MPa
fy 420 MPa
El módulo de elasticidad se determinó mediante la ecuación Ec. 4.1. tomada
directamente de la NSR-10. Vale la pena aclarar, que a pesar de que en apartados
anteriores se indicó que para Bogotá usar este valor de módulo pueden ser poco
conservativo, se buscó en el presente trabajo realizar un diseño a la luz de la
normatividad vigente y no con las recomendaciones hechas por diferentes autores.
(en MPa) Ec. 4.1
Para realizar el análisis, se tomaron los dos casos más críticos para suelo rocoso (donde
el estrato de suelo es pequeño) y el segundo caso suelo blando (donde el estrato de suelo
rocoso se encuentra a gran profundidad). Se utilizaron dos espectros de diseño
característicos de la nueva microzonificación sísmica de Bogotá (Decreto 523 de 2010):
Piedemonte B y Lacustre-500.
En la Tabla 4-2 se muestran el ancho de la plataforma y la aceleración espectral en la
plataforma para cada espectro de diseño.
Tabla 4-2 Características espectros de diseño
Piedemonte B Lacustre-500
Plataforma 0 - 0,56 segundos 0 - 1.82 segundos
Aceleración espectral
0.731 g 0.356 g
Maria Claudia Borrero Chaux
Página 90 de 188 Diseño de pórticos
Gráfica 4-1. Espectros de diseño Microzonificación Sísmica de Bogotá.
4.1 METODOLOGÍA DE DISEÑO
El diseño de los pórticos se realizó de acuerdo con los lineamientos del Reglamento de
Construcción Sismo Resistente NSR-10 (Decreto 926 de 2010), y los espectros de diseño
mencionados anteriormente, seleccionados de la microzonificación sísmica de Bogotá
(Decreto 523 de 2010).
Teniendo en cuenta que se planteó realizar el análisis de la variabilidad de la deriva en
pórticos de concreto reforzado de Bogotá, se asumió un sistema aporticado en una
dirección y se realizó el análisis sobre pórticos cargueros en la dirección en las que las
luces eran mayores (dirección X)
4.1.1 Avalúo de Cargas.
Se determinaron las cargas muertas y vivas para establecer el peso total de los pórticos,
incluyendo el peso de los elementos estructurales y no estructurales.
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0 1 2 3 4 5 6 7
Sa (
g)
Periodo (s)
Espectro de Diseño
CERROS PIEDEMONTE APIEDEMONTE B PIEDEMONTE CLACUSTRE-50 LACUSTRE-100LACUSTRE-200 LACUSTRE-300LACUSTRE-500 LACUSTRE ALUVIAL-200
Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá.
Diseño de pórticos Página 91 de 188
4.1.1.1 Carga muerta
El avalúo de la carga muerta se realizó según lo consignado en el título B de la NSR-10.
Se determinó el peso del entrepiso por metro cuadrado para poderlo asignar por metro
lineal a los pórticos.
En la Tabla 4-1 se mencionan las características de los materiales con los que se
diseñaron los pórticos. En la Tabla 4-3 se muestran las dimensiones del entrepiso y en la
Tabla 4-4 se establece el peso por metro cuadrado del entrepiso y elementos no
estructurales para los pisos intermedios (piso 2, 3, 4 y 5).
Tabla 4-3. Características de la losa de entrepiso.
Longitud 7.5 m
Altura entrepiso calculado 0.405 m
Altura entrepiso 0.42 m
Losa superior 0.05 m
Losa inferior 0.03 m
Altura vigueta 0.34 m
Ancho vigueta 0.15 m
Figura 4-3 Sección transversal losa.
Tabla 4-4. Avalúo de carga muerta para pisos intermedios.
Carga Muerta (kN/m²) Pisos 2-penúltimo
Losa superior 1.2 kN/m²
Losa inferior 0.72 kN/m²
Vigueta 1.224 kN/m²
Casetón 0.2 kN/m²
Muros divisorios 2.931 kN/m²
Afinado 1.5 kN/m²
TOTAL 7.775 kN/m²
Maria Claudia Borrero Chaux
Página 92 de 188 Diseño de pórticos
Con el peso por metro cuadrado de entrepiso, se establece el peso por metro lineal
tomando el área aferente de los pórticos (7.5 m).
Tabla 4-5. Peso por metro lineal vigas para pisos intermedios.
Pórticos Cargueros Pisos 2-penúltimo
Vigas 58.319 kN/m
El avalúo de cargas del último piso, correspondiente a la cubierta, se realiza aparte, pues
los elementos no estructurales tenidos en cuenta para dicho avalúo son diferentes (ver
Tabla 4-6). Adicionalmente, en la Tabla 4-7 se establece el peso por metro lineal para el
pórtico.
Tabla 4-6. Avalúo de carga muerta para la cubierta.
Carga Muerta (kN/m²) Cubierta
Losa superior 1.2 kN/m²
Losa inferior 0.5 kN/m²
Vigueta 1.224 kN/m²
Capa Bituminosa 0.22 kN/m²
Casetón 0.2 kN/m²
TOTAL 3.344 kN/m²
Tabla 4-7. Cargas por metro lineal para vigas de cubierta.
Pórticos Cargueros Cubierta
Vigas 25.08 kN/m
En la Figura 4-4 se muestra mediante un esquema de SAP2000® la asignación de la
carga muerta para los pórticos con los valores obtenidos en la Tabla 4-4 y en la Tabla 4-6.
Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá.
Diseño de pórticos Página 93 de 188
Figura 4-4. Asignaciones de carga muerta. Tomado de SAP2000®
4.1.1.2 Carga viva
El avalúo de la carga viva en los pórticos se realizó de acuerdo al título B de la NSR-10.
Conociendo la carga por metro cuadrado correspondiente a vivienda, se determinó la
carga por metro lineal para el pórtico en sus pisos intermedios (piso 2, 3, 4 y 5) como se
muestra en la Tabla 4-8.
Tabla 4-8. Avalúo de carga Viva.
Carga Viva (kN/m²)
Uso: Residencial 1.8 kN/m²
Pórticos Cargueros
Vigas 13.5 kN/m
En la Figura 4-5, se muestra la distribución de la carga viva en el pórtico.
Maria Claudia Borrero Chaux
Página 94 de 188 Diseño de pórticos
Figura 4-5. Asignación de carga viva. (Tomado de SAP2000®)
4.2 METODOLOGÍA DE ANÁLISIS
El análisis estructural de una edificación se puede realizar mediante diferentes métodos
definidos en El Código Colombiano de Construcción Sismo Resistente, NSR-10. Existe la
posibilidad de realizarlo por el método de la fuerza horizontal equivalente, en donde a
partir de la rigidez de cada piso, se asignan cargas horizontales en el centro de masa del
piso, de acuerdo con la aceleración espectral de la zona en la que vaya a ser construida
la edificación.
Sin embargo, esta metodología asume periodos de edificaciones basándose únicamente
en su altura, y no en su rigidez y su masa, que son las verdaderas variables que
gobiernan el periodo fundamental de una estructura.
El análisis de los pórticos se realizó mediante el método de análisis dinámico elástico
espectral. Los requerimientos más importantes de esta metodología incluyen el garantizar
una participación máxima de mínimo 90%, por lo que se debe juzgar cuántos modos
utilizar para el análisis.
La herramienta para realizar el presente trabajo es el programa de análisis SAP2000®,
que diferencia una asignación de cargas de una asignación de masas. Es por esto que se
requiere indicarle al programa la fuente de masas que se debe utilizar para realizar el
análisis modal. Para este caso, las mismas cargas muertas (incluidas las cargas debidas
Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá.
Diseño de pórticos Página 95 de 188
al peso propio de los elementos) fueron la fuente de masa para la asignación de masas,
utilizando la función de “Mass Source”.
Finalmente, para conocer el comportamiento sísmico de la estructura aprovechando sus
formas modales de movimiento, se utilizan los espectros de diseño de Piedemonte-B y
Lacustre-500 de la microzonificación Sísmica de Bogotá. Ingresando estos como
funciones de “Response Spectrum” y agregando casos de análisis de espectro de
respuesta, utilizando el método de combinación estadística de la raíz cuadrada de la
suma de los cuadrados, conocida en SAP2000® como SRSS (Square Root Sum Square).
4.2.1 Dimensionamiento de elementos estructurales
De acuerdo con el capítulo B del Código Colombiano de Construcción Sismo Resistente
NSR-10, para el método de resistencia, se deben evaluar las solicitaciones de carga
mediante 7 combinaciones de carga, que combinan carga muerta, carga viva, carga de
viento, carga de sismo, cargas de presión lateral del suelo, cargas de empozamiento de
agua y granizo.
Las dimensiones de las vigas y de las columnas se variaron hasta conseguir cumplir con
una deriva máxima del 1% para cada una de las 7 combinaciones de carga.
Con las dimensiones preliminares de los elementos estructurales que garantizan derivas
inferiores al 1%, se procedió a revisar las solicitaciones de fuerzas internas (axial, cortante
y momento) de cada una de las combinaciones de carga.
Las solicitaciones de carga se realizan teniendo en cuenta que la fuerza sísmica debe
estar atenuada por el factor R de capacidad de disipación de energía, que para Bogotá,
estando en una zona de amenaza sísmica intermedia, debe garantizar una disipación
moderada de energía, o DMO. (AIS, 2010). De acuerdo con lo anterior y con la referencia
(AIS, 2010), el valor del factor R que se utilizó fue 5.
En términos generales, el diseño de las vigas estuvo gobernado principalmente por la
combinación de carga B.2.4-2 (AIS, 2010), en donde se aplica un 20% más de carga
muerta, y un 60% más de carga viva como factores de mayoración.
Maria Claudia Borrero Chaux
Página 96 de 188 Diseño de pórticos
Para el caso de las columnas, la combinación de carga B.2.4-5 (AIS, 2010) que aplica un
factor de mayoración de 1.2 para la carga muerta, y a esto le suma tanto la carga viva
como la carga sísmica sin mayorar
Al finalizar el predimensionamiento gobernado por derivas, y las dimensiones finales con
la comprobación de solicitaciones, se obtuvieron para los dos pórticos, tres tipos de
columnas y dos tipos de vigas diferenciadas en su refuerzo.
Tabla 4-9. Dimensiones de elementos estructurales
Tipo
Piedemonte-B Lacustre-500
Dir x (m) Dir y (m) Dir z (m) Dir x (m) Dir y (m) Dir z (m)
VIGA5 - 0.5 0.7 - 0.5 0.6
VIGA1-4 - 0.5 0.7 - 0.5 0.6
COLCENTRO 1.8 0.5 - 0.4 1.9 -
COLY 0.6 2 - 0.5 1.6 -
CCENTRO - - - 1.9 0.4 - Nota: Dir x corresponde a la dimensión en dirección del pórtico y Dir y corresponde a la dimensión en dirección
perpendicular al pórtico
En la Figura 4-6 y en la Figura 4-7 se muestra la asignación de las vigas y de las
columnas en el pórtico.
Figura 4-6 Asignación dimensiones de los elementos pórtico Piedemonte. Tomado de SAP2000®
Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá.
Diseño de pórticos Página 97 de 188
Figura 4-7 Asignación dimensiones de los elementos pórtico Lacustre. Tomado de SAP2000®
4.2.2 Modos de vibración.
Los modos de vibración de las estructuras dependen de su masa y su rigidez, y éstas
están gobernadas por las dimensiones de sus elementos. Así pues, con las dimensiones
finales, se obtuvieron las siguientes formas modales y factores de participación modal de
masa, tanto para cada modo, como acumulativas. Se realizó un análisis en el plano XZ, lo
que hace que la participación de la masa que aparece en la Tabla 4-10 y en la Tabla 4-11
sea en dirección X.
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Página 98 de 188 Diseño de pórticos
Tabla 4-10 Modos de vibración, periodos y participaciones modales de masa para Piedemonte-B.
Piedemonte-B
Modo Periodo
(s) Participación de
Masa (%)
Participación de Masa Acumulada
(%)
1 0.90 66.35% 66.35%
2 0.23 24.39% 90.74%
3 0.10 0.00% 90.74%
4 0.10 0.00% 90.74%
5 0.10 0.00% 90.74%
6 0.10 4.32% 95.06%
7 0.08 0.00% 95.06%
8 0.08 0.00% 95.06%
9 0.06 4.37% 99.42%
10 0.05 0.58% 100.00%
11 0.04 0.00% 100.00%
12 0.04 0.00% 100.00%
13 0.04 0.00% 100.00%
14 0.03 0.00% 100.00%
15 0.03 0.00% 100.00%
16 0.02 0.00% 100.00%
17 0.02 0.00% 100.00%
18 0.02 0.00% 100.00%
19 0.02 0.00% 100.00%
20 0.02 0.00% 100.00%
Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá.
Diseño de pórticos Página 99 de 188
Tabla 4-11. Modos de vibración, periodos y participaciones modales de masa Lacustre-500.
Lacustre-500
Modo Periodo
(s) Participación de
Masa (%)
Participación de Masa Acumulada
(%)
1 0.90 75.98% 75.98%
2 0.24 14.62% 90.60%
3 0.12 5.99% 96.59%
4 0.08 0.00% 96.59%
5 0.08 0.00% 96.59%
6 0.08 0.00% 96.59%
7 0.07 2.65% 99.24%
8 0.06 0.00% 99.24%
9 0.06 0.00% 99.24%
10 0.05 0.76% 100.00%
11 0.03 0.00% 100.00%
12 0.03 0.00% 100.00%
13 0.03 0.00% 100.00%
14 0.02 0.00% 100.00%
15 0.02 0.00% 100.00%
16 0.02 0.00% 100.00%
17 0.02 0.00% 100.00%
18 0.02 0.00% 100.00%
19 0.01 0.00% 100.00%
20 0.01 0.00% 100.00%
Como se puede apreciar, se restringió el caso de análisis modal a 20 modos, ya que esta
combinación garantizó una participación acumulada de masa de más del 90%, como lo
exige la NSR-10. (AIS, 2010).
4.2.3 Diseño de concreto reforzado.
El diseño del refuerzo de las vigas y las columnas sólo se realizó en los nudos, ya que en
los nudos es donde se presentan las rótulas plásticas, que se necesitan para el análisis
no lineal estático de Pushover, adicionalmente estas zonas en donde ocurre la
plastificación y es donde se concentran las mayores solicitaciones sísmicas. Por otro lado,
no se tomó en cuenta la reducción del refuerzo longitudinal en las columnas, aunque en
Maria Claudia Borrero Chaux
Página 100 de 188 Diseño de pórticos
los últimos pisos la solicitación fuera menor. Sin embargo, las vigas intermedias tuvieron
un diseño diferente a las vigas de cubierta por la distribución de esfuerzos en las mismas.
En la Figura 4-9 y en la Figura 4-16 muestra la orientación de los elementos en cada
pórtico, en la Tabla 4-12 y en la Tabla 4-13 se muestra el refuerzo longitudinal tanto para
vigas como para columnas. Finalmente se muestran las secciones transversales de los
elementos estructurales indicando las dimensiones y el refuerzo de cada una.
Figura 4-8 Orientación y dimensiones columnas Lacustre.
Figura 4-9 Orientación columnas para pórtico Lacustre. Tomado de SAP2000®
Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá.
Diseño de pórticos Página 101 de 188
Tabla 4-12 Refuerzo para pórtico Lacustre.
Tipo
Lacustre-500 Refuerzo
Dir x (m) Dir y (m) Dir z (m)
VIGA5 - 0.5 0.6 5 No 7
VIGA1-4 - 0.5 0.6 9 No 8
COLCENTRO 0.4 1.9 - 16 No 8
COLY 0.5 1.6 - 16 No 8
CCENTRO 1.9 0.4 - 16 No 8
Figura 4-11 Sección transversal COLCENTRO. Laustre
Figura 4-10Sección transversal COLY. Lacustre
Figura 4-12 Sección transversal CCENTRO. Lacustre
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Página 102 de 188 Diseño de pórticos
Figura 4-15 Orientación y dimensiones columnas Piedemonte.
Figura 4-16 Orientación columnas para pórtico Piedemonte. Tomado de SAP2000®
Figura 4-14 Sección transversal Viga 1-4. Lacustre
Figura 4-13 Sección transversal Viga 5. Lacustre
Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá.
Diseño de pórticos Página 103 de 188
Tabla 4-13 Refuerzo para pórtico Piedemonte
En los dos pórticos el diseño a cortante estuvo gobernado por parámetros constructivos
ya que el cortante es absorbido por el concreto. Esto debido a las dimensiones de los
elementos y la dimensión de las luces de los pórticos.
Un análisis no lineal estático de Pushover implica que son los nudos de los elementos
estructurales los que se plastifican, por lo que sólo se calculó el refuerzo longitudinal, el
refuerzo transversal para la zona cercana a los nudos, o zona de confinamiento, y no se
realizó un cálculo de la separación de los flejes en zonas diferentes a los nudos.
Figura 4-17 Sección transversal COLCENTRO. Piedemonte
Figura 4-18 Sección transversal COLY. Piedemonte
Figura 4-20 Sección transversal Viga 1-4. Piedemonte.
Figura 4-19 Sección transversal Viga5. Piedemonte.
Tipo
Piedemonte-B Refuerzo
Dir x (m) Dir y (m) Dir z (m)
VIGA5 - 0.5 0.7 6 No 7
VIGA1-4 - 0.5 0.7 9 No 8
COLCENTRO 1.8 0.5 - 18 No 8
COLY 0.6 2 - 24 No 8
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Página 104 de 188 Deriva Elástica
5 DERIVA ELÁSTICA
El análisis de la variabilidad de la deriva elástica se realizó mediante dos métodos
propuestos en el Código Colombiano de Construcción Sismo Resistente (NSR-10): El
análisis dinámico elástico espectral y la fuerza horizontal equivalente.
Para los dos métodos, se define la deriva elástica como:
Ec.5.1
Donde:
: Deriva máxima
: Desplazamiento horizontal máximo de un punto en el piso i.
: Desplazamiento horizontal máximo de un punto localizado en el mismo eje
vertical localizado en el piso inmediatamente inferior (i-1).
: Altura del piso i.
Para realizar el análisis se tomaron 1000 valores aleatorios de la resistencia a la
compresión del concreto (f’c) generados como se describió en el numeral 3.3. Con estos
valores se utilizó la ecuación Ec. 3.1a para determinar 1000 valores de módulo de
elasticidad del concreto.
Las estadísticas y los diagramas de frecuencia se realizaron mediante la herramienta
Microsoft Excel y el análisis para conocer la distribución de probabilidad se realizó
mediante el programa Bestfit. Lo anterior con las derivas máximas obtenidas en las
simulaciones.
Con el fin de establecer si la muestra estadística de 1500 puntos era confiable para
estimar cada una de las cuatro derivas, se presenta en la Gráfica 5-1 la evolución de las
derivas elásticas para diferentes simulaciones, en donde se hace evidente que a partir
200 simulaciones los valores medios de las deriva estimadas se mantienen
aproximadamente constantes. Las derivas de los dos edificios diseñados y los dos
análisis tienen un comportamiento similar puesto que se analizaron los mismos 1500
Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá.
Deriva Elástica Página 105 de 188
datos de f `c y E para las edificaciones. Por otro lado, la desviación estándar de las
muestras analizadas tuvo un comportamiento similar.
Gráfica 5-1 Comportamiento de la deriva en función del número de simulaciones
5.1 VISUAL BASIC
Con el fin de realizar las simulaciones para la obtención de la deriva elástica, se utilizó la
interfaz que tiene el programa SAP2000® desde su versión 11 para manejar la mayoría de
sus comandos desde la aplicación Visual Basic. Con esto, se creó una macro en Microsoft
Excel que hace ciclos en los que cambia el valor del módulo de elasticidad del concreto
en el modelo del pórtico plano realizado en SAP2000® y guarda los resultados en Excel.
A continuación se muestra el código utilizado con sus respectivos comentarios.
Sub Sap2000_modulo()
Dim SapObject As Sap2000.SapObject Dim ret As Long Dim coordmodulo As Range Dim coordfc As Range Dim totale As Integer Dim Nmodulo As Integer
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1 10 100 1000
De
riva
pro
me
dio
(%)
Número de simulaciones
Modal espectral Lacustre 500 Modal espectral Piedemonte B
Fuerza Horizontal Equivalente Lacustre 500 Fuerza Horizontal Equivalente Piedemonte B
Maria Claudia Borrero Chaux
Página 106 de 188 Deriva Elástica
Dim Nfc As Integer Dim modulo As Double Dim fc As Double Dim Poi As Double Dim ExTe As Double Dim NumResult As Long Dim obj() As String Dim elm() As String Dim acase() As String Dim StepType() As String Dim stepnum() As Double Dim u1() As Double Dim u2() As Double Dim u3() As Double Dim r1() As Double Dim r2() As Double Dim r3() As Double Dim i As Integer Dim resultados As Range 'Variación Módulo de Elasticidad del Concreto Poi = Range("c5") ExTe = Range("c6") Set coordmodulo = Range("e3:e102") Set coordfc = Range("f3:f102") totale = coordmodulo.Rows.Count For Nmodulo = 1 To totale modulo = coordmodulo(Nmodulo, 1).Value fc = coordfc(Nmodulo, 1).Value 'Propiedades material "Concreto" 'ret = SapModel.PropMaterial.SetOConcrete_1("Concreto", fc, False, fcsfactor, SSType, SSHysType, StrainAtfc, strainUltimate) ret = SapModel.PropMaterial.SetOConcrete("Concreto", fc, False, 1, 1, 2, 0.002, 0.003) ret = SapModel.PropMaterial.SetMPIsotropic("Concreto", modulo, Poi, ExTe) 'Correr modelo ret = SapModel.Analyze.RunAnalysis 'Limpiar todos los casos y combos en resultados ret = SapModel.Results.Setup.DeselectAllCasesAndCombosForOutput 'Escoger casos para mostrar resultados ret = SapModel.Results.Setup.SetCaseSelectedForOutput("100x30ypiedemonte") 'Obtener los desplazamientos de los nudos
Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá.
Deriva Elástica Página 107 de 188
ret = SapModel.Results.JointDispl("ALL", GroupElm, NumResult, obj, elm, acase, StepType, stepnum, u1, u2, u3, r1, r2, r3) 'Pasar los resultados a Excel Set resultados = Range("h3:dc102") For i = 0 To NumResult - 1 resultados(i + 1, Nmodulo).Value = u1(i) Next i 'Desbloquear archivo ret = SapModel.SetModelIsLocked(False) Next Nmodulo End Sub
Nótese que se tomó un valor constante para la relación de Poisson igual a 0.2 y un valor
constante para el coeficiente de expansión térmica igual a 9.9 x 10-6. Adicional a esto, el
valor strainUltimate se tomó como 0.003 y el valor StrainAtfc se tomó como 0.002.
5.2 PIEDEMONTE-B
En la Gráfica 5-2 se presenta el espectro de diseño de la zona Piedemonte-B tomado de
la Microzonificación sísmica de Bogotá (Decreto 523 de 2010), con el que se realizó el
análisis de la deriva elástica.
Gráfica 5-2 Espectro de diseño Piedemonte-B. (Tomado de la Microzonificación sísmica de Bogotá, Decreto 523 de 2010).
Maria Claudia Borrero Chaux
Página 108 de 188 Deriva Elástica
5.2.1 Análisis dinámico elástico espectral
Como se mencionó anteriormente, para realizar el análisis dinámico elástico espectral se
ingresó el espectro correspondiente a Piedemonte-B como una función de “Response
Spectrum” y agregando el caso de análisis de espectro de respuesta, utilizando el método
de combinación estadística de la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados, conocida en
SAP2000® como SRSS (Square Root Sum Square).
Con el caso de análisis definido en SAP2000®, se realizaron 1000 simulaciones y se
encontró la deriva máxima para cada simulación. Posteriormente, con los valores
encontrados de deriva elástica, se obtuvieron los resultados presentados en la Gráfica 5-3
y en la Tabla 5-1. Adicional a esto, se determinó la distribución de probabilidad que mejor
se ajustara a estos resultados, obteniendo una distribución Pearson5 como se muestra en
la Figura 5-1.
Gráfica 5-3 Histograma para 1000 valores de deriva elástica por el método del espectro - Piedemonte.
0.00%
10.00%
20.00%
30.00%
40.00%
50.00%
60.00%
70.00%
80.00%
90.00%
100.00%
0
20
40
60
80
100
120
140
160
0.4
0.4
5
0.5
0.5
5
0.6
0.6
5
0.7
0.7
5
0.8
0.8
5
0.9
0.9
5 1
1.0
5
1.1
1.1
5
1.2
1.2
5
1.3
1.3
5
1.4
1.4
5
1.5
1.5
5
1.6
1.6
5
1.7
1.7
5
1.8
1.8
5
1.9
1.9
5 2
2.0
5
Fre
cue
nci
a
Deriva
Frecuencia % acumulado
Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá.
Deriva Elástica Página 109 de 188
Tabla 5-1 Análisis estadístico para 1000 valores de deriva elástica por el método del espectro - Piedemonte.
Deriva
Media 0.861
Error típico 0.008
Mediana 0.792
Moda 0.795
Desviación estándar 0.247
Varianza de la muestra 0.061
Coeficiente de asimetría 1.663
Mínimo 0.521
Máximo 1.964
Cuenta 1000.000
Nivel de confianza (95.0%) 0.015
Figura 5-1 Distribución de probabilidad para 1000 valores de deriva elástica por el método del espectro - Piedemonte. (Tomado de Bestfit).
De acuerdo con la Figura 5-1 se pude decir con un nivel de confianza del 95%, que la
deriva elástica para un pórtico diseñado con materiales de Bogotá y con el espectro de
Maria Claudia Borrero Chaux
Página 110 de 188 Deriva Elástica
diseño Piedemonte-B, puede tener una deriva que toma valores entre 0.37% y 1.36%,
teniendo presente que el pórtico fue diseñado para una deriva de 0.7 %.
Para verificar que 1000 simulaciones son suficientes para realizar el análisis estadístico y
determinar la distribución de probabilidad, se realizaron los mismos análisis a 500 y a
1500 simulaciones.
Tabla 5-2 Análisis estadístico para 500 valores de deriva elástico por el método del espectro - Piedemonte.
Deriva
Media 0.852
Desviación estándar 0.242
Máximo 1.964
Mínimo 0.530
Figura 5-2 Distribución de proabilidad para 500 valores de deriva elástica por el método del espectro – Piedemonte. (Tomado de Bestfit)
Tabla 5-3 Análisis estadístico para 1500 valores de deriva elástica por el método del espectro - Piedemonte.
Deriva
Media 0.853
Desviación estándar 0.218
Máximo 1.964
Mínimo 0.521
Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá.
Deriva Elástica Página 111 de 188
Figura 5-3 Distribución de probabilidad para 1500 valores de deriva elástica por el método del espectro - Piedemonte. (Tomado de Bestfit)
De acuerdo con lo anterior, con 500 simulaciones se obtuvo una media de 0.852, con
1000 simulaciones 0.861 y con 1500 simulaciones 0.853, lo que verifica que con 1000
simulaciones se pueden obtener resultados válidos para el análisis estadístico y por
consiguiente para la distribución de probabilidad.
En la Gráfica 5-4 se muestran algunos de resultados típicos de la deriva en cada piso del
pórtico para diferentes módulos de elasticidad.
Gráfica 5-4 Resultados típicos deriva elástica por el método del espectro - Piedemonte
1
2
3
4
5
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8
Pis
o
Deriva
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Página 112 de 188 Deriva Elástica
5.2.2 Fuerza Horizontal Equivalente
Las fuerzas sísmicas horizontales para realizar el análisis de la deriva elástica al pórtico
se obtuvieron tomando como referencia lo mencionado en el Capítulo A.4 del Código
Colombiano de construcción Sismo Resistente (NSR-10). Vale la pena aclarar que se usó
siempre el mismo periodo especificado en la norma sismo resistente; a pesar de que es
obvio que en la medida que se cambia el módulo de elasticidad varía el periodo
estructural. Sin embargo debe recordarse que la fórmula para calcular el periodo de una
edificación en la NSR-10 NO depende de la rigidez ni tampoco de la masa; simplemente
depende del sistema estructural y de la altura de la edificación.
En la Tabla 5-4 se presenta la fuerza sísmica horizontal Fx aplicada al pórtico para
realizar el análisis mediante la Fuerza Horizontal Equivalente (FHE).
Tabla 5-4 Fuerza horizontal equivalente - Piedemonte.
Piso Peso piso
(kN) h (m) Wxh
Cvx Fx (kN) Vs
5 1388.88 15 20833.2
0.20 1827.73 1827.73
4 2769.12 12 33229.44
0.32 2915.27 4743.01
3 2769.12 9 24922.08
0.24 2186.46 6929.46
2 2769.12 6 16614.72
0.16 1457.64 8387.10
1 2769.12 3 8307.36
0.08 728.82 9115.92
Σ 12465.36 103906.8
1.00 9115.92
En la Gráfica 5-5 y en la Tabla 5-5 se presentan los resultados obtenidos para 1000
derivas elásticas máximas, derivadas de las 1000 simulaciones realizadas con el método
de Fuerza Horizontal Equivalente. En la Figura 5-4 se muestra la distribución de
probabilidad que mejor se ajusta a los resultados: Pearson5.
Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá.
Deriva Elástica Página 113 de 188
Gráfica 5-5 Histograma para 1000 valores de deriva elástica por el método de FHE – Piedemonte.
Tabla 5-5 Análisis estadístico para 1000 valores de deriva elástica por el método de FHE - Piedemonte.
Deriva
Media 0.998
Error típico 0.009
Mediana 0.918
Moda 0.694
Desviación estándar 0.286
Varianza de la muestra 0.082
Coeficiente de asimetría 1.663
Mínimo 0.603
Máximo 2.276
Cuenta 1000.000
Nivel de confianza (95.0%) 0.018
0.00%
10.00%
20.00%
30.00%
40.00%
50.00%
60.00%
70.00%
80.00%
90.00%
100.00%
0
20
40
60
80
100
120
0.6
0.6
5
0.7
0.7
5
0.8
0.8
5
0.9
0.9
5 1
1.0
5
1.1
1.1
5
1.2
1.2
5
1.3
1.3
5
1.4
1.4
5
1.5
1.5
5
1.6
1.6
5
1.7
1.7
5
1.8
1.8
5
1.9
1.9
5 2
2.0
5
2.1
2.1
5
2.2
2.2
5
2.3
Fre
cue
nci
a
Deriva
Frecuencia % acumulado
Maria Claudia Borrero Chaux
Página 114 de 188 Deriva Elástica
Figura 5-4 Distribución de probabilidades para 1000 valores de deriva elástica por el método de FHE - Piedemonte. (Tomado de Bestfit).
De acuerdo con la Figura 5-4 se pude decir con un nivel de confianza del 95%, que la
deriva elástica para un pórtico diseñado con materiales de Bogotá y con el espectro de
diseño Piedemonte-B, puede tener una deriva que toma valores entre 0.43% y 1.57%,
teniendo presente que el pórtico fue diseñado para una deriva de 0.70 %.
Con el fin de verificar que 1000 simulaciones son suficientes para realizar el análisis
estadístico y determinar la distribución de probabilidad, se realizaron los mismos análisis a
500 y a 1500 simulaciones.
Tabla 5-6 Análisis estadístico para 500 valores de deriva elástico por el método FHE - Piedemonte.
Deriva - 500
Media 0.988
Desviación estándar 0.280
Máximo 2.276
Mínimo 0.614
Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá.
Deriva Elástica Página 115 de 188
Figura 5-5 Distribución de probabilidades para 500 valores de deriva elástica por el método FHE – Piedemonte. (Tomado de Bestfit).
Tabla 5-7 Análisis estadístico para 1500 valores de deriva elástica por el método FHE – Piedemonte.
Deriva
Media 0.998
Desviación estándar 0.283
Máximo 2.335
Mínimo 0.268
Figura 5-6 Distribución de probabilidades para 1500 valores de deriva elástica por el método FHE - Piedemonte. (Tomado de Bestfit).
Maria Claudia Borrero Chaux
Página 116 de 188 Deriva Elástica
De acuerdo con lo anterior, con 500 simulaciones se obtuvo una media de 0.998, con
1000 simulaciones 0.998 y con 1500 simulaciones 0.998, lo que verifica que con 1000
simulaciones se pueden obtener resultados válidos para el análisis estadístico y por
consiguiente para la distribución de probabilidad.
En la Gráfica 5-6 se muestran resultados típicos obtenidos de la deriva elástica para los
pisos del pórtico, variando el módulo de elasticidad del concreto, analizado por el método
de la Fuerza Horizontal Equivalente.
Gráfica 5-6 Resultados típicos deriva elástica por el método FHE - Piedemonte.
1
2
3
4
5
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8
Pis
o
Deriva
Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá.
Deriva Elástica Página 117 de 188
5.3 LACUSTRE-500
En la Gráfica 5-7 se muestra el espectro de la zona Lacustre-500 de la Microzonificación
sísmica de Bogotá, con el que se realizó el análisis de la deriva elástica.
Gráfica 5-7 Espectro de diesño Lacustre-500. Tomado de la Microzonificación sísmica de Bogotá.
5.3.1 Análisis dinámico elástico espectral
El análisis dinámico elástico espectral se realizó ingresando el espectro correspondiente a
Lacustre-500 como una función de “Response Spectrum” y agregando el caso de análisis
de espectro de respuesta, utilizando el método de combinación estadística de la raíz
cuadrada de la suma de los cuadrados, conocida en SAP2000® como SRSS (Square Root
Sum Square).
Con el caso de análisis definido en SAP2000®, se realizaron 1000 simulaciones y se
encontró la deriva máxima para cada simulación. Posteriormente, con los valores
encontrados de deriva elástica, se obtuvieron los resultados presentados en la Gráfica 5-8
y en la Tabla 5-8. Adicional a esto, se determinó la distribución de probabilidad que mejor
se ajustara a estos resultados, obteniendo una distribución Pearson5 como se muestra en
la Figura 5-7.
Maria Claudia Borrero Chaux
Página 118 de 188 Deriva Elástica
Gráfica 5-8 Histograma para 1000 valores de deriva elástica por el método del espectro - Lacustre.
Tabla 5-8 Análisis estadístico para 1000 valores de deriva elástica por el método del espectro. Lacustre.
Deriva
Media 0.931
Error típico 0.008
Mediana 0.856
Moda 0.654
Desviación estándar 0.267
Varianza de la muestra 0.071
Coeficiente de asimetría 1.663
Mínimo 0.563
Máximo 2.123
Cuenta 1000.000
Nivel de confianza (95.0%) 0.017
0.00%
10.00%
20.00%
30.00%
40.00%
50.00%
60.00%
70.00%
80.00%
90.00%
100.00%
0
20
40
60
80
100
120
140
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9 1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9 2
2.1
2.2
Fre
cue
nci
a
Deriva
Frecuencia % acumulado
Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá.
Deriva Elástica Página 119 de 188
Figura 5-7 Distribución de probabilidades para 1000 valores de deriva elástica por el método del espectro – Lacustre. (Tomado de Bestfit).
De acuerdo con la Figura 5-7 se pude decir con un nivel de confianza del 95%, que la
deriva elástica para un pórtico diseñado con materiales de Bogotá y con el espectro de
diseño Lacustre-500, puede tener una deriva que toma valores entre 0.40% y 1.47%,
teniendo presente que el pórtico fue diseñado para una deriva de 0.8 %.
Para verificar que 1000 simulaciones son suficientes para realizar el análisis estadístico y
determinar la distribución de probabilidad, se realizaron los mismos análisis a 500 y a
1500 simulaciones.
Tabla 5-9 Análisis estadístico para 500 valores de deriva elástica por el método del espectro – Lacustre.
Deriva
Media 0.921
Desviación estándar 0.261
Máximo 2.123
Mínimo 0.573
Maria Claudia Borrero Chaux
Página 120 de 188 Deriva Elástica
Figura 5-8 Distribución de probabilidades para 500 valores de deriva elástica por el método del espectro - Lacustre. (Tomado de Bestfit).
Tabla 5-10 Análisis estadístico para 1500 valores de deriva elástica por el método del espectro - Lacustre.
Deriva
Media 0.931
Desviación estándar 0.264
Máximo 2.178
Mínimo 0.250
Figura 5-9 Distribución de probabilidades para 1500 valores de deriva elástica por el método del espectro. (Tomado de Bestfit).
Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá.
Deriva Elástica Página 121 de 188
De acuerdo con lo anterior, con 500 simulaciones se obtuvo una media de 0.921, con
1000 simulaciones 0.931 y con 1500 simulaciones 0.931, lo que verifica que con 1000
simulaciones se pueden obtener resultados válidos para el análisis estadístico y por
consiguiente para la distribución de probabilidad.
En la Gráfica 5-9 se muestran los resultados típicos de deriva elástica en cada piso,
utilizando el método del análisis dinámico elástico espectral, variando el módulo de
elasticidad del concreto (E).
Gráfica 5-9 Resultados deriva elástica por el método del espectro - Lacustre
5.3.2 Fuerza Horizontal Equivalente
Las fuerzas sísmicas horizontales para realizar el análisis de la deriva elástica al pórtico
se obtuvieron tomando como referencia lo mencionado en el Capítulo A.4 del Código
Colombiano de construcción Sismo Resistente (NSR-10).
En la Tabla 5-1 se presenta la fuerza sísmica horizontal Fx aplicada al pórtico para
realizar el análisis mediante la Fuerza Horizontal Equivalente (FHE).
1
2
3
4
5
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6
Pis
o
Deriva
Maria Claudia Borrero Chaux
Página 122 de 188 Deriva Elástica
Tabla 5-11 Fuerza Horizontal Equivalente - Lacustre.
Peso piso h Wxh Cvx Fx Vs
5 1329.12 15 19936.8 0.20 851.84 851.84
4 2638.08 12 31656.96 0.32 1352.61 2204.45
3 2638.08 9 23742.72 0.24 1014.46 3218.90
2 2638.08 6 15828.48 0.16 676.30 3895.21
1 2638.08 3 7914.24 0.08 338.15 4233.36
Σ 11881.44
99079.2 1.00 4233.36
Los resultados obtenidos en las 1000 simulaciones realizadas con el método de Fuerza
Horizontal Equivalente se muestran en la Gráfica 5-8 y en la Tabla 5-8. En la Figura 5-10
se presenta la distribución de probabilidad que mejor se ajusta a los resultados: Pearson5.
Gráfica 5-10 Histograma para 1000 valores de deriva elástica por el método FHE – Lacustre.
0.00%
10.00%
20.00%
30.00%
40.00%
50.00%
60.00%
70.00%
80.00%
90.00%
100.00%
0
20
40
60
80
100
120
140
0.6
0.6
5
0.7
0.7
5
0.8
0.8
5
0.9
0.9
5 1
1.0
5
1.1
1.1
5
1.2
1.2
5
1.3
1.3
5
1.4
1.4
5
1.5
1.5
5
1.6
1.6
5
1.7
1.7
5
1.8
1.8
5
1.9
1.9
5 2
2.0
5
2.1
2.1
5
2.2
2.2
5
Fre
cue
nci
a
Deriva
Frecuencia % acumulado
Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá.
Deriva Elástica Página 123 de 188
Tabla 5-12 Análisis estadístico para 1000 valores de deriva elástica por el método FHE – Lacustre.
Deriva
Media 0.968
Error típico 0.009
Mediana 0.890
Moda 0.674
Desviación estándar 0.278
Varianza de la muestra 0.077
Coeficiente de asimetría 1.663
Mínimo 0.585
Máximo 2.208
Cuenta 1000.000
Nivel de confianza(95.0%) 0.017
Figura 5-10 Distribución de probabilidades para 1000 valores de deriva elástica por el método FHE – Lacustre. (Tomado de Bestfit).
De acuerdo con la Figura 5-10 se pude decir con un nivel de confianza del 95%, que la
deriva elástica para un pórtico diseñado con materiales de Bogotá y con el espectro de
diseño Lacustre-500, puede tener una deriva que toma valores entre 0.41% y 1.52%,
teniendo presente que el pórtico fue diseñado para una deriva de 0.8%.
Maria Claudia Borrero Chaux
Página 124 de 188 Deriva Elástica
Para verificar que 1000 simulaciones son suficientes para realizar el análisis estadístico y
determinar la distribución de probabilidad, se realizaron los mismos análisis a 500 y a
1500 simulaciones.
Tabla 5-13 Análisis estadístico de 500 valores de deriva elástica por el método de FHE – Lacustre.
Deriva
Media 0.958
Desviación estándar 0.272
Máximo 2.208
Mínimo 0.596
Figura 5-11 Distribución de probabilidades para 500 valores de deriva elástica por el método de FHE – Lacustre. (Tomado de Bestfit).
Tabla 5-14 Análisis estadístico para 1500 valores de deriva elástica por el método de FHE – Lacustre.
Deriva
Media 0.967
Desviación estándar 0.273
Máximo 2.208
Mínimo 0.227
Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá.
Deriva Elástica Página 125 de 188
Figura 5-12 Distribución de probabilidades para 1500 valores de deriva elástica por el método de FHE - Lacustre. (Tomado de Bestfit).
De acuerdo con lo anterior, con 500 simulaciones se obtuvo una media de 0.958, con
1000 simulaciones 0.968 y con 1500 simulaciones 0.967, lo que verifica que con 1000
simulaciones se pueden obtener resultados válidos para el análisis estadístico y por
consiguiente para la distribución de probabilidad.
En la Gráfica 5-11 se presentan resultados típicos de la deriva elástica en cada piso,
calculadas mediante el método de la Fuerza Horizontal Equivalente, variando el módulo
de elasticidad.
Gráfica 5-11 Resultados típicos deriva elástica por el método FHE – Piedemonte.
1
2
3
4
5
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8
Pis
o
Deriva
Maria Claudia Borrero Chaux
Página 126 de 188 Deriva Elástica
5.4 ANÁLISIS DE RESULTADOS
De acuerdo con el numeral A.6.1.3 del Código Colombiano de Construcción Sismo
Resistente (NSR-10), la necesidad de controlar la deriva está asociada con evitar la
deformación inelástica de los elementos estructurales y no estructurales, garantizar la
estabilidad global de la estructura durante un temblor y evitar los daños a los elementos
estructurales que no hacen parte del sistema de resistencia sísmica y a los elementos no
estructurales, tales como muro divisorios, particiones, enchapes, acabados, instalaciones
eléctricas, mecánicas, etc. Por esta razón, en el numeral A.6.4.1, define para estructuras
de concreto reforzado que la deriva máxima debe ser del 1% (Figura 5-13).
Figura 5-13 Deriva máxima permitida en la NSR-10. (Tomado de (AIS, 2010)).
En la actualidad, las estructuras que se diseñan deben cumplir con la NSR-10, y en su
versión anterior con el Código Colombiano de Construcción Sismo Resistente (NSR-98).
Estas normas presentan el mismo límite de deriva máxima para estructuras de concreto
reforzado que es del 1%.
Sin embargo, en las simulaciones realizadas a pórticos diseñados con los requisitos
establecidos en la NSR-10, la microzonificación sísmica de Bogotá y variando únicamente
el módulo de elasticidad del concreto (E), se encontró que las derivas tienen una
variabilidad ligada directamente con la variabilidad del módulo de elasticidad en concretos
de Bogotá.
Lo que quiere decir que una estructura de concreto reforzado diseñada con materiales de
Bogotá y con una deriva de diseño de 0.7%, como el pórtico analizado en la zona de
Piedemonte, puede alcanzar derivas de hasta 1.57% (Tabla 5-15), lo que se traduce en
un aumento de más del 100% en la deriva de diseño y un aumento de hasta el 60% con
respecto a la máxima estipulada en la NSR-10.
Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá.
Deriva Elástica Página 127 de 188
Tabla 5-15 Resumen resultados deriva elástica para Piedemonte B.
Deriva elástica - Piedemonte B
Deriva de diseño 0.70
Espectro FHE
Simulaciones
Media (μ) 0.861 0.998
Desviación estándar (σ) 0.247 0.286
μ + 2σ 1.355 1.570
Por otro lado, se puede realizar el mismo análisis en el caso de una estructura de
concreto reforzado diseñada con materiales de Bogotá, en la zona Lacustre 500, con una
deriva de diseño igual a 0.8%. De acuerdo con el análisis realizado, para estas
condiciones, la deriva puede alcanzar valores de hasta 1.52% (Tabla 5-16) si se realiza
mediante el método de la Fuerza Horizontal Equivalente, lo que equivale a un aumento de
más del 100% en la deriva de diseño, y un aumento de 65% con respecto a la deriva
máxima estipulada en la NSR-10.
Tabla 5-16 Resumen resultados deriva elástica para Lacustre 500.
Deriva elástica - Lacustre 500
Deriva de diseño 0.80
Espectro FHE
Simulaciones
Media (μ) 0.931 0.968
Desviación estándar (σ) 0.267 0.278
μ + 2σ 1.465 1.523
La diferencia entre la deriva de diseño y la deriva real que se puede presentar en un
evento sísmico, como consecuencia de la variabilidad de las propiedades mecánicas de
los materiales. Esto puede significar el daño de elementos no estructurales o la
estabilidad global de la estructura, o en palabras de (Gallego, M.; Sarria, A., 2006), puede
ser la diferencia entre un desastre y la supervivencia de los elementos estructurales y no
estructurales de una edificación.
Maria Claudia Borrero Chaux
Página 128 de 188 Deriva Elástica
Figu
ra 5
-14
Aná
lisi
s es
tadí
stic
os y
func
ione
s de
dis
trib
ució
n de
pro
babi
lida
d aj
usta
da p
ara
la d
eriv
a de
los
dos
edif
icio
s di
seña
dos
(con
Pie
dem
onte
B y
con
Lacu
stre
500
) y
para
aná
lisi
s m
odal
esp
ectr
al y
par
a fu
erza
hor
izon
tal e
quiv
alen
te
Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá.
Deriva Elástica Página 129 de 188
En la Figura 5-14 se muestra el resumen de los resultados obtenidos para el pórtico
diseñado con el espectro de Lacustre-500 y Piedemonte-B por los métodos Modal
Espectral y Fuerza Horizontal Equivalente. Adicionalmente se señala el límite señalado en
la NSR-10 para la deriva máxima (1%), con lo anterior, se puede ver que en el peor de los
casos el 62% de la muestra estadística (para FHE y para el edificio diseñado en
Piedemonte B) cumplan con una deriva máxima de 1%. Lo anterior es consistente con
que el coeficiente de asimetría en todos los casos indica que las funciones de distribución
tienen la tendencia hacia valores superiores al límite del 1%.
Por otro lado en la Gráfica 5-12 se presentan las probabilidades de excedencia asociadas
con las funciones de distribución de probabilidad de la Figura 5-14. De acuerdo con estos
datos, en promedio 52 de cada 100 edificios de cinco pisos construidos en Bogotá con la
NSR-10 y tendrían derivas mayores a la deriva de diseño al ser cometidas a las fuerzas
sísmicas de la nueva microzonificación (Decreto 523 de 2010).
Gráfica 5-12 Probabilidad de excedencia de la deriva máxima con respecto a la deriva de diseño.
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5
Pro
bab
ilid
ad d
e ex
ced
enci
a
Deriva máxima/Deriva de diseño
Modal espectral Lacustre 500 Modal Espectral Piedemonte B
Fuerza Horizontal Equivalente Lacustre 500 Fuerza Horizontal Equivalente Piedemonte B
Maria Claudia Borrero Chaux
Página 130 de 188 Deriva inelástica
Sigla Nivel de daño
B Esfuerzo de fluencia de la sección
IO Nivel de ocupación inmediata
LS Nivel de protección a la vida
CP Prevención de colapso
C Rango de seguridad limitada
D Estabilidad estructural
E Colapso
6 DERIVA INELÁSTICA
La deriva inelástica se define como la máxima deriva presentada en el pórtico en cada
paso considerado en el análisis no lineal estático de Pushover.
Para realizar el análisis no lineal estático de Pushover, es necesario asignar a las vigas y
a las columnas los diagramas momento curvatura y adicionalmente, a las columnas, se
les debe asignar el diagrama de interacción. Ya que los valores de los diagramas
momento curvatura y el diagrama de interacción se determinan con las características de
los materiales y de las secciones, se asignaron automáticamente mediante la herramienta
SAP2000®.
Con los parámetros necesarios para el análisis, el programa está en capacidad de inducir
esfuerzos generados por incrementos en el desplazamiento de la estructura, de tal forma
que se puede observar cómo se degrada la rigidez de cada elemento. La variación del
comportamiento de los elementos es monitoreada por el programa SAP2000® a través de
los siguientes niveles de desempeño:
Figura 6-1 Diagrama de momento rotación con los niveles de daño
Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá.
Deriva inelástica Página 131 de 188
Un análisis de Pushover muestra el mecanismo de colapso de una estructura en pasos de
carga, adicionalmente desplaza a la estructura una distancia definida al inicio del análisis.
Con los resultados obtenidos en cada simulación se calcularon las derivas máximas en el
paso 3, 4, 5 y 6 del análisis de Pushover, pues como se observará en el desarrollo del
presente capítulo, es en estos pasos donde los pórticos presentan rótulas B, IO y LS.
De acuerdo con el Código Colombiano de Construcción Sismo Resistente (NSR-10), la
deriva, determinada con análisis no lineales se debe tomar verificando el desempeño de
la totalidad de los elementos estructurales en un rango de desempeño no mayor a
“Protección a la vida”, correspondiente a LS en el programa SAP2000®.
Cada pórtico fue sometido a 40.000 análisis no lineales estáticos de Pushover (uno para
cada combinación de f’c y fy), lo que hacen un total de 80.000 simulaciones. Fueron
40.000 análisis teniendo en cuenta que se combinaron 200 valores aleatorios de f`c con
200 valores aleatorios de fy, para un total de 40.000 datos. Vale la pena mencionar que
para el cálculo de las rótulas (automáticas por SAP 2000) la relación entre la resistencia
máxima del acero (fu) y la resistencia a la fluencia del acero (fy) se mantuvo en el valor
medio de los análisis estadísticos de laboratorio presentados en capítulos anteriores.
Dicho valor se supuso constante en 1.48=fu/fy.
6.1 VISUAL BASIC
Similar a la deriva elástica, se realizó una macro en Microsoft Excel para realizar las
simulaciones y obtener la deriva inelástica. De igual manera, se utilizó la interfaz que tiene
el programa SAP2000® desde su versión 11 para manejar la mayoría de sus comandos
desde la aplicación Visual Basic. En este caso, se creó una macro en Microsoft Excel que
hace ciclos en los que cambia el valor del módulo de elasticidad del concreto (f’c), el valor
del esfuerzo de fluencia del acero (fy) y el valor de la resistencia última del acero (fu) en el
modelo del pórtico plano realizado en SAP2000® y guarda los resultados en Excel.
El código utilizado para obtener los resultados de la deriva inelástica se presente a
continuación:
Sub Sap2000_modulo() Dim SapObject As Sap2000.SapObject Dim ret As Long Dim coordmodulo As Range
Maria Claudia Borrero Chaux
Página 132 de 188 Deriva inelástica
Dim coordfc As Range Dim coordfy As Range Dim totale As Integer Dim totalfy As Integer Dim Nmodulo As Integer Dim Nacero As Integer Dim modulo As Double Dim fc As Double Dim fy As Double Dim fu As Double Dim Poi As Double Dim col As Double Dim Ncol As Double Dim ExTe As Double Dim NumResult As Long Dim obj() As String Dim elm() As String Dim acase() As String Dim StepType() As String Dim stepnum() As Double Dim u1() As Double Dim u2() As Double Dim u3() As Double Dim r1() As Double Dim r2() As Double Dim r3() As Double Dim i As Integer Dim resultados As Range Dim fuerza As Range Dim f1() As Double Dim f2() As Double Dim f3() As Double Dim m1() As Double Dim m2() As Double Dim m3() As Double Dim j As Double Dim k As Double Dim resultreac As Range Dim contador As Double 'Variación E concreto, f'c concreto, fy Acero Sheets("Hoja1").Select Poi = Range("c5") ExTe = Range("c6") col = "1" Ncol = col der = 1
Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá.
Deriva inelástica Página 133 de 188
Set coordmodulo = Range("e3:e102") Set coordfc = Range("f3:f102") Set coordfy = Range("g3:g5") totale = coordmodulo.Rows.Count totalfy = coordfy.Rows.Count For Nmodulo = 1 To totale modulo = coordmodulo(Nmodulo, 1).Value fc = coordfc(Nmodulo, 1).Value 'Propiedades material "Concreto" 'ret = SapModel.PropMaterial.SetOConcrete_1("Concreto", fc, False, fcsfactor, SSType, SSHysType, StrainAtfc, strainUltimate) ret = SapModel.PropMaterial.SetOConcrete("Concreto", fc, False, 1, 0, 0, 0.002, 0.003) ret = SapModel.PropMaterial.SetMPIsotropic("Concreto", modulo, Poi, ExTe) For Nacero = 1 To totalfy fy = coordfy(Nacero, 1).Value fu = 1.4845 * fy 'Propiedades material "Acero" ‘ret = SapModel.PropMaterial.SetORebar("Acero", fy, fu, efy, efu, SSType, SSHys, StainAtHardening, StrainUltimate, UseCaltransSSDefaults(False, True)) ret = SapModel.PropMaterial.SetORebar("Rebar", fy, fu, fy, fu, 0, 0, 0.012, 0.14, False) 'Correr modelo ret = SapModel.Analyze.RunAnalysis 'Escoger casos para mostrar resultados ret = SapModel.Results.Setup.SetCaseSelectedForOutput("pushx") 'Extraer resultados 'Desplazamientos de los nudos ret = SapModel.Results.JointDispl("ALL", GroupElm, NumResult, obj, elm, acase, StepType, stepnum, u1, u2, u3, r1, r2, r3) 'Pasar los resultados a Excel Set resultados = Range("i3:iv699") For i = 0 To NumResult - 1 resultados(i + 1, Ncol).Value = u1(i) Next i 'Fuerzas en los nudos
Maria Claudia Borrero Chaux
Página 134 de 188 Deriva inelástica
ret = SapModel.Results.JointReact("ALL", GroupElm, NumResult, obj, elm, acase, StepType, stepnum, f1, f2, f3, m1, m2, m3) For i = 0 To NumResult - 1 resultados(i + 1, Ncol + 1).Value = f1(i) Next i 'Cantidad de datos k = 0 For i = 0 To NumResult If resultados(i + 1, Ncol).Value = 0 Then j = k + 1 k = j Else i = NumResult End If Next i 'Suma de Fuerzas For i = 0 To k - 1 resultados(i + 1, Ncol + 2).Value = (resultados(i + 1, Ncol + 1) + resultados(i + 1 + k * 6, Ncol + 1).Value + resultados(i + 1 + k * 12, Ncol + 1).Value + resultados(i + 1 + k * 18, Ncol + 1).Value + resultados(i + 1 + k * 24, Ncol + 1).Value) * -1 Next i 'Desplazamientos j = k - 1 For i = 0 To k - 1 resultados(i + 1, Ncol + 3).Value = resultados(NumResult - j, Ncol).Value j = j - 1 Next i 'Derivas 'Deriva piso 1 - 2 j1 = 5 * k - 1 j2 = 4 * k - 1 For i = 0 To k - 1 resultados(i + 1, Ncol + 4).Value = ((resultados(NumResult - j2, Ncol).Value - resultados(NumResult - j1, Ncol).Value) / 3) * 100 j1 = j1 - 1 j2 = j2 - 1 Next i 'Deriva piso 2 - 3 j2 = 4 * k - 1
Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá.
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j3 = 3 * k - 1 For i = 0 To k - 1 resultados(i + 1, Ncol + 5).Value = ((resultados(NumResult - j3, Ncol).Value - resultados(NumResult - j2, Ncol).Value) / 3) * 100 j2 = j2 - 1 j3 = j3 - 1 Next i 'Deriva piso 3 - 4 j3 = 3 * k - 1 j4 = 2 * k - 1 For i = 0 To k - 1 resultados(i + 1, Ncol + 6).Value = ((resultados(NumResult - j4, Ncol).Value - resultados(NumResult - j3, Ncol).Value) / 3) * 100 j3 = j3 - 1 j4 = j4 - 1 Next i 'Deriva piso 4 - 5 j4 = 2 * k - 1 j5 = 1 * k - 1 For i = 0 To k - 1 resultados(i + 1, Ncol + 7).Value = ((resultados(NumResult - j5, Ncol).Value - resultados(NumResult - j4, Ncol).Value) / 3) * 100 j4 = j4 - 1 j5 = j5 - 1 Next i Range("c19") = contador contador = contador + 1 'Desbloquear archivo ret = SapModel.SetModelIsLocked(False) Next Nacero Next Nmodulo End Sub En las simulaciones, el material Concreto tomó un valor constante para la relación de
Poisson igual a 0.2 y un valor constante para el coeficiente de expansión térmica igual a
9.9 x 10-6. Adicional a esto, el valor strainUltimate se tomó como 0.003 y el valor StrainAtfc
se tomó como 0.002. En el material Acero, el valor StainAtHardening se tomó como 0.012
y el valor StrainUltimate se tomó como 0.14.
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6.2 PIEDEMONTE-B
El programa SAP2000® genera automáticamente las rótulas plásticas de los elementos y
los diagramas de interacción de las columnas, para esto, se debe definir la sección de los
elementos y su respectivo refuerzo. En las siguientes figuras se muestra la sección
transversal de las columnas y las vigas para el pórtico diseñado con el espectro de diseño
Piedemonte-B.
Figura 6-4 Sección transversal VIGA1-4 y VIGA5. (Tomado de SAP2000®)
Con los límites asociados a la generación de los valores aleatorios para f’c y fy, se
realizaron análisis no lineales estáticos de Pushover y con esto se determinaron los
valores dentro de los que estan las curvas generadas por las simulaciones.
En la Gráfica 6-1 se muestra la curva de Pushover para los valores mínimos obtenidos de
los valores aleatorios.
Figura 6-2 Sección transversal COLY (Tomado de SAP2000®).
Figura 6-3 Sección transversal COLCENTRO. (Tomado de SAP2000®).
Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá.
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Tabla 6-1 Valores mínimos de f'c y fy.
Valores Mínimos
fy 351.20 MPa
fu 521.36 M|Pa
f'c 5.02 MPa
Gráfica 6-1 Curva Pushover para valores mínimos - Piedemonte.
El análisis no lineal estático de Pushover se llevó hasta un desplazamiento de 38cm, la
fuerza máxima a la que llegó el pórtico fue 3910kN.
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4
Fue
rza
(kN
)
Desplazamiento (m)
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Página 138 de 188 Deriva inelástica
En las siguientes figuras se muestra el mecanismo de colapso del pórtico con los valores
mínimos de f’c, fy y fu. Obsérvese que en el paso 2 se presentan las primeras rótulas B
(fluencia) en las columnas del primer piso, adicionalmente, en el paso 5 se presentan las
primeras rótulas que sobrepasan el valor LS (seguridad a la vida), en estas mismas
columnas.
Figura 6-5 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 1 - Pushover- mínimos - Piedemonte. Tomado de SAP2000®.
Figura 6-6 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 2 - Pushover- mínimos - Piedemonte. Tomado de SAP2000®.
Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá.
Deriva inelástica Página 139 de 188
Figura 6-7 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 3 - Pushover- mínimos - Piedemonte. Tomado de SAP2000®.
Figura 6-8 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 4 - Pushover- mínimos - Piedemonte. Tomado de SAP2000®.
Figura 6-9 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 5 - Pushover- mínimos - Piedemonte. Tomado de SAP2000®.
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Figura 6-10 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 6 - Pushover- mínimos - Piedemonte. Tomado de SAP2000®.
Figura 6-11 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 7 - Pushover- mínimos - Piedemonte. Tomado de SAP2000®.
Figura 6-12 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 8 - Pushover- mínimos - Piedemonte. Tomado de SAP2000®.
Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá.
Deriva inelástica Página 141 de 188
Figura 6-13 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 9 - Pushover- mínimos - Piedemonte. Tomado de SAP2000®.
Figura 6-14 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 10 - Pushover- mínimos - Piedemonte. Tomado de SAP2000®.
Figura 6-15 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 11 - Pushover- mínimos - Piedemonte. Tomado de SAP2000®.
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Página 142 de 188 Deriva inelástica
Figura 6-16 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 12 - Pushover- mínimos - Piedemonte. Tomado de SAP2000®.
Figura 6-17 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 13 - Pushover- mínimos - Piedemonte. Tomado de SAP2000®.
Figura 6-18 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 14 - Pushover- mínimos - Piedemonte. Tomado de SAP2000®.
Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá.
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Figura 6-19 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 15 - Pushover- mínimos - Piedemonte. Tomado de SAP2000®.
El mismo análisis se realizó para los valores máximos obtenidos en la generación de los
valores aleatorios. En la Gráfica 6-2 se muestra la curva de Pushover para los valores
máximos.
Tabla 6-2 Valores máximos de f'c y fy
Máximos
fy 503.93 MPa
fu 748.08 MPa
f'c 71.2 MPa
Gráfica 6-2 Curva Pushover para valores máximos – Piedemonte
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4
Fue
rza
(kN
)
Desplazamiento (m)
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Página 144 de 188 Deriva inelástica
El análisis no lineal estático de Pushover se llevó hasta un desplazamiento de 38cm, la
fuerza máxima a la que llegó el pórtico con los valores máximos fue 8230kN, menor a la
fuerza máxima inducida por el método de la fuerza horizontal equivalente que fue de
9115.92 kN (Tabla 6-3)Tabla 6-3 Fuerzas máximas inducidas en el pórtico y deriva
máxima con el método FHE y Pushover.
Tabla 6-3 Fuerzas máximas inducidas en el pórtico y deriva máxima con el método FHE y Pushover.
Método fuerza horizontal
equivalente Pushover
Fuerzas máximas inducidas en el
pórtico (kN) 9115.92 8230,43
Deriva (%) 0.84 1.02 0.71*
*NOTA: De acuerdo con la NSR-10 cuando se realiza un análisis no lineal se pueden multiplicar las derivas por 0.7.
En las siguientes figuras se muestra el mecanismo de colapso del pórtico con los valores
mínimos de f’c, fy y fu. Obsérvese que en el paso 1 se presentan las primeras rótulas B
(fluencia) en las columnas del primer piso, adicionalmente, en el paso 5 se presentan las
primeras rótulas que sobrepasan el valor LS (seguridad a la vida), en estas mismas
columnas.
Figura 6-20 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 1 - Pushover- máximos - Piedemonte. Tomado de SAP2000®.
Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá.
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Figura 6-21 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 2 - Pushover- máximos - Piedemonte. Tomado de SAP2000®.
Figura 6-22 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 3 - Pushover- máximos - Piedemonte. Tomado de SAP2000®.
Figura 6-23 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 4 - Pushover- máximos - Piedemonte. Tomado de SAP2000®.
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Página 146 de 188 Deriva inelástica
Figura 6-24 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 5 - Pushover- máximos - Piedemonte. Tomado de SAP2000®.
Figura 6-25 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 6 - Pushover- máximos - Piedemonte. Tomado de SAP2000®.
Figura 6-26 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 7 - Pushover- máximos - Piedemonte. Tomado de SAP2000®.
Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá.
Deriva inelástica Página 147 de 188
Figura 6-27 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 8 - Pushover- máximos - Piedemonte. Tomado de SAP2000®.
Figura 6-28 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 9 - Pushover- máximos - Piedemonte. Tomado de SAP2000®.
Figura 6-29 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 10 - Pushover- máximos - Piedemonte. Tomado de SAP2000®.
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Página 148 de 188 Deriva inelástica
Figura 6-30 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 11 - Pushover- máximos - Piedemonte. Tomado de SAP2000®.
Figura 6-31 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 12 - Pushover- máximos - Piedemonte. Tomado de SAP2000®.
Figura 6-32 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 13 - Pushover- máximos - Piedemonte. Tomado de SAP2000®.
Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá.
Deriva inelástica Página 149 de 188
Figura 6-33 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 14 - Pushover- máximos - Piedemonte. Tomado de SAP2000®.
Figura 6-34 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 15 - Pushover- máximos - Piedemonte. Tomado de SAP2000®.
En la Gráfica 6-3 se muestran algunas de las 40.000 diferentes curvas del análisis de
Pushover obtenidas en las simulaciones realizadas incluyendo la que da una mayor
resistencia y una menor resistencia.
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Página 150 de 188 Deriva inelástica
Gráfica 6-3 Resultados típicos de Pushover para Piedemonte.
Los resultados de las simulaciones en el paso 3, 4 y 5 del análisis de Pushover se
muestran en la Figura 6-35.
En el histograma de los valores de deriva máxima registrados en los pasos 3, 4 y 5 se
puede observar rangos en los que se presentan histogramas con una distribución
definida, por lo que se analizaron los resultados obtenidos en 3 rangos de deriva. El
primero, derivas entre 0.30% y 0.65%, el segundo, derivas entre 0,65% y 1.1% y el
tercero derivas entre 1.1 a 1.5%.
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4
Fue
rza
(kN
)
Desplazamiento (m)
Max Min
Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá.
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Figura 6-35 Histograma deriva inelástica para pasos 3,4 y 5 – Piedemonte. (Tomado de Bestfit).
Es muy importante anotar que al igual que en los trabajos de (Muñoz et al, 2005) y (Prieto
et al, 2005) en el presente trabajo también se obtuvo histograma histogramas con
frecuencias claramente diferenciables para diferentes niveles de desplazamiento.
De acuerdo con los resultados obtenidos en el análisis no lineal de Pushover con los
valores medios de f’c y fy de la generación de números aleatorios, se determinó que el
primer rango, correspondiente a derivas entre 0.30% y 0.65%, genera en el pórtico un
nivel de daño B (esfuerzo de fluencia). Esto se corroboró al determinar la curva de
pushover para el pórtico calculado con los valores medios de f`c y de fy.
El análisis estadístico para las derivas que oscilan entre 0.30% y 0.65% se presenta en la
Tabla 6-4. Adicionalmente en la Figura 6-36 se presenta la distribución de probabilidad
que mejor se ajusta a los valores (Weibull).
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Página 152 de 188 Deriva inelástica
Tabla 6-4 Análisis estadístico deriva inelástica. Nivel de daño B - Piedemonte.
B
Media 0.471
Error típico 0.0004
Mediana 0.457
Moda 0.448
Desviación estándar 0.074
Varianza de la muestra 0.006
Curtosis -0.379
Coeficiente de asimetría 0.567
Rango 0.358
Mínimo 0.292
Máximo 0.650
Suma 20104.470
Cuenta 42677
Nivel de confianza (95.0%) 0.001
Figura 6-36 Distribución de probabilidad deriva inelástica. Nivel de daño B - Piedemonte.
Con un nivel de confianza del 95% la deriva para que se genere un nivel de daño B
(esfuerzo de fluencia) en pórticos de concreto reforzado diseñados en la zona
Piedemonte-B, varía entre 0.35% y 0.62%.
Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá.
Deriva inelástica Página 153 de 188
En el segundo rango, en donde las derivas varían entre 0.65% y 1.1%, el pórtico tiene un
nivel de daño en el que hay rótulas B (esfuerzo de fluencia), pero predominan las rótulas
que han llegado nivel de daño IO (ocupación inmediata).
El análisis estadístico se presenta en la Tabla 6-5 y la distribución de probabilidad que
mejor se ajusta a los resultados, distribución Weibull, se presenta en la Figura 6-37.
Tabla 6-5 Análisis estadístico deriva inelástica. Nivel de daño IO - Piedemonte.
IO
Media 0.863
Error típico 0.001
Mediana 0.871
Moda 0.818
Desviación estándar 0.115
Varianza de la muestra 0.013
Curtosis -0.729
Coeficiente de asimetría -0.078
Rango 0.450
Mínimo 0.650
Máximo 1.100
Suma 27992.805
Cuenta 32425
Nivel de confianza (95.0%) 0.001
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Página 154 de 188 Deriva inelástica
Figura 6-37 Distribución de probabilidad deriva inelástica. Nivel de daño IO - Piedemonte. (Tomdado de Bestfit)
Con un nivel de confianza de 95%, un pórtico de concreto reforzado diseñado en la zona
Piedemonte, tiene un nivel de daño IO (ocupación inmediata), en algunos de sus
elementos, si la deriva varía entre 0.69% y 1.06%.
El tercer rango, correspondiente a derivas que varían entre 1.1% y 1.5%, presenta rotulas
con un nivel de daño B (esfuerzo de fluencia), rótulas con un nivel de daño IO (ocupación
inmediata) y empiezan a generarse rótulas con un nivel de daño LS (protección a la vida).
Esto se corroboró al determinar la curva de pushover para el pórtico calculado con los
valores medios de f`c y de fy.
El análisis estadístico se presenta en la Tabla 6-6 y la distribución de probabilidad que
mejor se ajusta a los resultados, distribución Weibull, se presenta en la Figura 6-38.
Para el tercer rango, con un nivel de confianza de 95%, un pórtico de concreto reforzado
diseñado en la zona Piedemonte, llega a un nivel de daño LS (Protección a la vida), en
algunos de sus elementos, si la deriva varía entre 1.12% y 1.40%.
Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá.
Deriva inelástica Página 155 de 188
Tabla 6-6 Análisis estadístico deriva inelástica. Nivel de daño LS - Piedemonte.
LS
Media 1.496
Error típico 0.001
Mediana 1.424
Moda 1.101
Desviación estándar 0.306
Varianza de la muestra 0.094
Curtosis 0.890
Coeficiente de asimetría 1.152
Rango 1.648
Mínimo 1.100
Máximo 2.748
Suma 135113.496
Cuenta 90334
Nivel de confianza (95.0%) 0.002
Figura 6-38 Distribución de probabilidades deriva inelástica. Nivel de daño LS - Piedemonte. (Tomado de Bestfit).
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Página 156 de 188 Deriva inelástica
Finalmente en la Gráfica 6-4 se presenta el histograma de frecuencias de los pasos 3, 4 y
5 con las distribuciones de probabilidad para cada intervalo de derivas.
Grá
fica
6-4
Res
umen
dis
trib
ució
n de
pro
babi
lida
d de
riva
inel
ásti
ca -
Pie
dem
onte
.
Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá.
Deriva inelástica Página 157 de 188
6.3 LACUSTRE-500
En las siguientes figuras se muestra la sección transversal de las columnas y las vigas
para el pórtico diseñado con el espectro de diseño Lacustre-500.
En la Gráfica 6-5 se muestra la curva de Pushover para los valores mínimos obtenidos de
los valores aleatorios.
Tabla 6-7 Valores mínimos de f'c y fy
Valores Mínimos
fy 351.20 MPa
fu 521.36 MPa
f'c 5.02 MPa
Figura 6-39 Sección transversal CCENTRO. (Tomado de SAP2000®).
Figura 6-40 Sección transversal COLCENTRO. (Tomado de SAP2000®)
Figura 6-42 Sección transversal COLY. (Tomado de SAP2000®)
Figura 6-41 Sección transversal VIGA1-4 y VIGA 5. (Tomado de SAP2000®)
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Página 158 de 188 Deriva inelástica
Gráfica 6-5 Curva Pushover para valores mínimos – Lacustre
El análisis no lineal estático de Pushover se llevó hasta un desplazamiento de 38cm, la
fuerza máxima a la que llegó el pórtico fue 1893kN.
En las siguientes figuras se muestra el mecanismo de colapso del pórtico con los valores
mínimos de f’c, fy y fu. Obsérvese que en el paso 1 se presentan las primeras rótulas B
(fluencia) en las columnas del primer piso, adicionalmente, en el paso 5 se presentan las
primeras rótulas que sobrepasan el valor LS (seguridad a la vida), en estas mismas
columnas.
Figura 6-43 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 1 - Pushover- mínimos - Lacustre. Tomado de SAP2000®.
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4
Fue
rza
(kN
)
Desplazamiento (m)
Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá.
Deriva inelástica Página 159 de 188
Figura 6-44 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 2 - Pushover- mínimos - Lacustre. Tomado de SAP2000®.
Figura 6-45 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 3 - Pushover- mínimos - Lacustre. Tomado de SAP2000®.
Figura 6-46 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 4 - Pushover- mínimos - Lacustre. Tomado de SAP2000®.
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Página 160 de 188 Deriva inelástica
Figura 6-47 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 5 - Pushover- mínimos - Lacustre. Tomado de SAP2000®.
Figura 6-48 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 6 - Pushover- mínimos - Lacustre. Tomado de SAP2000®.
Figura 6-49 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 7 - Pushover- mínimos - Lacustre. Tomado de SAP2000®.
Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá.
Deriva inelástica Página 161 de 188
Figura 6-50 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 8 - Pushover- mínimos - Lacustre. Tomado de SAP2000®.
Figura 6-51 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 9 - Pushover- mínimos - Lacustre. Tomado de SAP2000®.
Figura 6-52 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 10 - Pushover- mínimos - Lacustre. Tomado de SAP2000®.
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Página 162 de 188 Deriva inelástica
La curva Pushover para los valores máximos se muestra en la Gráfica 6-6.
Tabla 6-8 Valores máximos de f'c y fy
Máximos
fy 503.93 MPa
fu 748.08 MPa
f'c 71.2 MPa
Gráfica 6-6 Curva Pushover para valores máximos – Lacustre
El análisis no lineal estático de Pushover se llevó hasta un desplazamiento de 38cm, la
fuerza máxima a la que llegó el pórtico fue 7549kN. Este valor es mayor que la fuerza
máxima inducida por el Método de la Fuerza Horizontal Equivalente, que fue de
4233.36kN.
Tabla 6-9 Fuerzas máximas inducidas en el pórtico y deriva máxima con el método FHE y Pushover.
Método fuerza horizontal
equivalente Pushover
Fuerzas máximas inducidas en el
pórtico (kN) 4233.36 7549
Deriva (%) 0.95 1.41 0.99* *NOTA: De acuerdo con la NSR-10 cuando se realiza un análisis no lineal se pueden multiplicar las derivas por 0.7.
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4
Fue
rza
(kN
)
Desplazamiento (m)
Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá.
Deriva inelástica Página 163 de 188
En las siguientes figuras se muestra el mecanismo de colapso del pórtico con los valores
máximos de f’c, fy y fu. Obsérvese que en el paso 1 se presentan las primeras rótulas B
(fluencia) en las columnas del primer piso, adicionalmente, en el paso 4 se presentan las
primeras rótulas que sobrepasan el valor LS (seguridad a la vida), en estas mismas
columnas.
Figura 6-53 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 1 - Pushover- mínimos - Lacustre. Tomado de SAP2000®.
Figura 6-54 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 2 - Pushover- mínimos - Lacustre. Tomado de SAP2000®.
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Página 164 de 188 Deriva inelástica
Figura 6-55 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 3 - Pushover- mínimos - Lacustre. Tomado de SAP2000®.
Figura 6-56 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 4 - Pushover- mínimos - Lacustre. Tomado de SAP2000®.
Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá.
Deriva inelástica Página 165 de 188
Figura 6-57 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 5 - Pushover- mínimos - Lacustre. Tomado de SAP2000®.
Figura 6-58 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 6 - Pushover- mínimos - Lacustre. Tomado de SAP2000®.
Figura 6-59 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 7 - Pushover- mínimos - Lacustre. Tomado de SAP2000®.
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Página 166 de 188 Deriva inelástica
Figura 6-60 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 8 - Pushover- mínimos - Lacustre. Tomado de SAP2000®.
Figura 6-61 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 9 - Pushover- mínimos - Lacustre. Tomado de SAP2000®.
Figura 6-62 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 10 - Pushover- mínimos - Lacustre. Tomado de SAP2000®.
Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá.
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Figura 6-63 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 11 - Pushover- mínimos - Lacustre. Tomado de SAP2000®.
Figura 6-64 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 12 - Pushover- mínimos - Lacustre. Tomado de SAP2000®.
Figura 6-65 Desplazamiento y rótulas generadas en paso 13 - Pushover- mínimos - Lacustre. Tomado de SAP2000®.
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En la Gráfica 6-3 se muestran diferentes curvas del análisis de Pushover obtenidas en las
simulaciones realizadas.
Los resultados de las simulaciones en el paso 3, 4 y 5 del análisis de Pushover se
muestran en la Gráfica 6-7.
En el histograma de los valores de deriva máxima registrados en los pasos 3, 4 y 5 se
puede observar rangos en los que se presentan histogramas con una distribución
definida, por lo que se analizaron los resultados obtenidos en 3 rangos de deriva. El
primero, derivas entre 0.35% y 0.65%, el segundo, derivas entre 0,65% y 0.96% y el
tercero derivas entre 0.96% a 1.2%.
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4
Fue
rza
(kN
)
Dezplazamiento (m)
Min Max
Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá.
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Gráfica 6-7 Histograma deriva inelástica para pasos 3,4 y 5 – Lacustre. (Tomado de Bestfit).
De acuerdo con los resultados obtenidos en el análisis no lineal de Pushover con los
valores medios de f’c y fy de la generación de números aleatorios, se determinó que el
primer rango, correspondiente a derivas entre 0.35% y 0.65%, genera en el pórtico un
nivel de daño B (esfuerzo de fluencia).
El análisis estadístico para derivas entre 0.35% y 0.65% se muestra en la Tabla 6-10. En
la Figura 6-66 se muestra el histograma de frecuencias con la distribución de
probabilidades que mejor se ajusta los resultados, Weibull.
Maria Claudia Borrero Chaux
Página 170 de 188 Deriva inelástica
Tabla 6-10 Análisis estadístico deriva inelástica. Nivel de daño B – Lacustre.
B
Media 0.544
Error típico 0.0003
Mediana 0.548
Moda 0.577
Desviación estándar 0.055
Varianza de la muestra 0.003
Curtosis -0.554
Coeficiente de asimetría -0.280
Rango 0.283
Mínimo 0.372
Máximo 0.655
Suma 18586.971
Cuenta 34141
Nivel de confianza (95.0%) 0.001
Figura 6-66 Distribución de probabilidad deriva inelástica. Nivel de daño B – Lacustre. (Tomado de Bestfit).
Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá.
Deriva inelástica Página 171 de 188
Con un nivel de confianza del 95%, la deriva para que un pórtico de concreto reforzado
diseñado en la zona Lacustre-500 alcance un nivel de daño B (esfuerzo de fluencia), varía
entre 0.44% y 0.65%.
En el segundo rango, en donde las derivas varían entre 0.65% y 0.96%, el pórtico tiene un
nivel de daño en el que hay rótulas B (esfuerzo de fluencia), pero predominan las rótulas
que han llegado nivel de daño IO (ocupación inmediata).
El análisis estadístico se presenta en la Tabla 6-11 y la distribución de probabilidad que
mejor se ajusta a los resultados, distribución Weibull, se presenta en la Figura 6-67.
Tabla 6-11 Análisis estadístico deriva inelástico. Nivel de daño IO - Lacustre.
IO
Media 0.819
Error típico 0.000
Mediana 0.823
Moda 0.816
Desviación estándar 0.074
Varianza de la muestra 0.005
Curtosis -0.745
Coeficiente de asimetría -0.157
Rango 0.305
Mínimo 0.655
Máximo 0.960
Suma 33355.104
Cuenta 40737
Nivel de confianza (95.0%) 0.001
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Página 172 de 188 Deriva inelástica
Figura 6-67 Distribución de probabilidades deriva inelástica. Nivel de daño IO - Lacustre. (Tomado de Bestfit).
Con un nivel de confianza del 95%, la deriva para que un pórtico de concreto reforzado
diseñado en la zona Lacustre-500 alcance un nivel de daño IO (ocupación inmediata) en
algunos de sus elementos, varía entre 0.44% y 0.65%.
El tercer rango, con derivas que oscilan entre 0.96% y 1.2%, presenta rotulas con un nivel
de daño B (esfuerzo de fluencia), rótulas con un nivel de daño IO (ocupación inmediata) y
empiezan a generarse rótulas con un nivel de daño LS (protección a la vida).
El análisis estadístico se presenta en la Tabla 6-12 y la distribución de probabilidad que
mejor se ajusta a los resultados, distribución Weibull, se presenta en la Figura 6-68.
Para el tercer rango, con un nivel de confianza de 95%, un pórtico de concreto reforzado
diseñado en la zonaLacustre-500, llega a un nivel de daño LS (Protección a la vida), en
algunos de sus elementos, si la deriva varía entre 0.90% y 1.20%.
Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá.
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Tabla 6-12 Anbálisis estadístico deriva inelástica. Nivel de daño LS - Lacustre.
LS
Media 1.332
Error típico 0.001
Mediana 1.321
Moda 0.962
Desviación estándar 0.227
Varianza de la muestra 0.051
Curtosis -0.833
Coeficiente de asimetría 0.304
Rango 0.993
Mínimo 0.960
Máximo 1.953
Suma 133150.649
Cuenta 99953
Nivel de confianza (95.0%) 0.001
Figura 6-68 Distribución de probabilidades deriva inelástica. Nivel de daño LS - Lacustre. (Tomado de Bestfit).
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Grá
fica
6-8
Res
umen
dis
trib
ució
n de
pro
babi
lida
d de
riva
inel
ásti
ca -
Lac
ustr
e
Finalmente en la Gráfica 6-8 se presenta el histograma de frecuencias de los pasos 3, 4 y
5 con las distribuciones de probabilidad para cada intervalo de derivas.
Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá.
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6.4 ANÁLISIS DE RESULTADOS
Los resultados obtenidos en el presente trabajo se resumen en la Tabla 6-13 y en la Tabla
6-14, en donde se muestran las derivas en las que los elementos de los pórticos llegaron
a estados de daño B (esfuerzo de fluencia), IO (ocupación inmediata), y LS (protección de
la vida).
Tabla 6-13 Resumen de resultados deriva inelástica - Piedemonte.
Deriva inelástica - Piedemonte B
B IO LS
Media (μ)
Desviación estándar
(σ) μ + 2σ
Media (μ)
Desviación estándar
(σ) μ + 2σ
Media (μ)
Desviación estándar
(σ) μ + 2σ
0.471 0.074 0.619 0.863 0.115 1.093 1.260 0.072 1.404
Tabla 6-14 Resumen de resultados deriva inelástica – Lacustre.
Deriva inelástica - Lacustre 500
B IO LS
Media (μ)
Desviación estándar
(σ) μ + 2σ
Media (μ)
Desviación estándar
(σ) μ + 2σ
Media (μ)
Desviación estándar
(σ) μ + 2σ
0.544 0.055 0.654 0.819 0.074 0.967 1.070 0.061 1.192
La deriva de diseño de los pórticos diseñados con los espectros Piedemonte-B y
Lacustre-500 es 0.70% y 0.80% respectivamente. Con los resultados expuestos
anteriormente, los elementos de los pórticos llegarían a un nivel de daño B (esfuerzo de
fluencia). Sin embargo, la variabilidad de la deriva podría llevar estos pórticos a tener
rótulas con nivel de daño IO (ocupación inmediata) y hasta LS (protección de la vida).
Por otro lado, el Código Colombiano de Construcción Sismo Resistente (NSR-10), señala
que la deriva se puede obtener de los resultados de un análisis inelásticos verificando el
desempeño de la totalidad de los elementos estructurales en un rango no mayor a
Protección a la vida, y multiplicándola por 0.7. (Figura 6-69).
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Página 176 de 188 Deriva inelástica
Figura 6-69 Deriva inelástica. (Tomado de (AIS, 2010))
Si se toma como referencia lo mencionado, la deriva del pórtico diseñado con el espectro
Piedemonte-B es 0.88% y la deriva del pórtico diseñado con el espectro Lacustre-500 es
0.74%.
Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá.
Cortante basal resistente Página 177 de 188
7 CORTANTE BASAL RESISTENTE
Según el Código Colombiano de Construcción Sismo Resistente (NSR-10), el cortante en
la base se debe calcular como la suma algebraica, tomada en la base, de todas las
fuerzas sísmicas horizontales del edificio, en otras palabras, el cortante basal es la fuerza
total sísmica en la base de la estructura.
Con el fin de establecer la distribución de probabilidad del cortante basal resistente de los
pórticos analizados, se tomaron los pasos 3, 4 y 5 del análisis no lineal estático de
Pushover.
7.1 PIEDEMONTE-B
Con la suma algebraica de las fuerzas en la base del pórtico diseñado con el espectro
Piedemonte-B, se realizó el análisis estadístico que se presenta en la Tabla 7-1.
Adicionalmente, se realizó el análisis para conocer la distribución de probabilidad que
mejor se ajusta a la serie de datos. La distribución LogLogística se presenta en la
Maria Claudia Borrero Chaux
Página 178 de 188 Cortante basal resistente
Figura 7-1.
Tabla 7-1 Análisis estadístico cortante basal resistente - Piedemonte.
Cortante basal (kN)
Media 5456.74
Error típico 2.57
Mediana 5298.69
Moda 4804.56
Desviación estándar 811.51
Varianza de la muestra 658546.76
Curtosis -0.52
Coeficiente de asimetría 0.44
Rango 4880.95
Mínimo 3111.75
Máximo 7992.70
Suma 545674063.76
Cuenta 100000.00
Nivel de confianza (95.0%) 5.03
Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá.
Cortante basal resistente Página 179 de 188
Los valores del cortante basal resistente para el pórtico diseñado con el espectro
Piedemonte oscilan entre 3111.7kN y 7992.7kN. La serie de datos tiene una media igual a
5456.74kN y una desviación estándar de 811.51kN.
Figura 7-1 Distribución de probabilidad cortante basal resistente – Piedemonte. (Tomado de Bestfit)
7.2 LACUSTRE-500
El análisis estadístico realizado para los resultados obtenidos de cortante basal resistente
en el modelo del pórtico diseñado con el espectro de Lacustre-500 se muestra en la Tabla
7-2 Análisis estadístico cortante basal resistente - Lacustre. . En la Figura 7-2 se presenta
la distribución de probabilidad que mejor se ajusta a los resultados, LogLogística.
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Página 180 de 188 Cortante basal resistente
Tabla 7-2 Análisis estadístico cortante basal resistente - Lacustre.
Cortante basal (kN)
Media 3149.43
Error típico 1.83
Mediana 3096.36
Moda 2598.87
Desviación estándar 528.51
Varianza de la muestra 279323.83
Curtosis 0.42
Coeficiente de asimetría -0.08
Rango 3827.37
Mínimo 1294.82
Máximo 5122.18
Suma 263617018.84
Cuenta 100000
Nivel de confianza (95.0%) 3.58
Figura 7-2 Distribución de probabilidad cortante basal resistente - Piedemonte. (Tomado de Bestfit)
Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá.
Cortante basal resistente Página 181 de 188
El cortante basal resistente para el modelo del pórtico diseñado con el espectro de
Lacustre, tiene valores que varían entre 1294.82kN y 5122.18kN. Los resultados tienen
media igual a 3149.43kN y desviación estándar de 528.51kN. De acuerdo con esto, con
un nivel de confianza de 95% el cortante basal resistente podría llegar a 4206.45kN.
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Página 182 de 188 Conclusiones y recomendaciones
8 CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
Con el fin de determinar la variabilidad de la deriva elástica, la deriva inelástica y el
cortante basal resistente en pórticos de concreto reforzado diseñados con la NSR-10, la
microzonificación sísmica de Bogotá y las características mecánicas de los materiales con
los que se construye en Bogotá, se realizaron análisis estadísticos para conocer algunos
parámetros importantes.
Dentro de estos se incluyen la media y la desviación estándar de las diferentes variables,
ajustes de distribución de probabilidad, análisis lineales para determinar la deriva elástica,
siguiendo los métodos de la Fuerza Horizontal Equivalente y Análisis dinámico elástico
espectral y análisis no lineales estáticos de Pushover, para conocer el mecanismo de
colapso de los pórticos, la deriva inelástica y el cortante basal resistente.
Los resultados proporcionan las siguientes conclusiones:
Los resultados del análisis de la variabilidad de las propiedades mecánicas para el
concreto y el acero en Bogotá muestran que los valores de f’c varían entre 92.37
MPa y 1.33 MPa, tienen una media de 30.1MPa y una desviación estándar de 13.6
MPa. Los valores del módulo de elasticidad oscilan entre 36324.25 MPa y
2338.31 MPa, con una media de 17927.5 MPa y desviación estándar de
4407.5MPa. Los valores de fy varían entre 277MPa y 602.28MPa, con una media
de la muestra es 425.97MPa y la desviación estándar es 24.21MPa.
La ecuación sugerida por la normativa vigente (NSR-10) en MPa,
está muy por encima de la ecuación de ajuste para los concretos bogotanos, ya
que el coeficiente que multiplica a (4700 en MPa) es un 39% inferior al valor
de la regresión estadística (3317 en MPa).
El análisis de la variabilidad de la deriva elástica muestra que con un nivel de
confianza del 95%, un pórtico diseñado con materiales de Bogotá y con el
espectro de diseño Piedemonte-B de la Microzonificación Sísmica de Bogotá,
puede tener una deriva que toma valores entre 0.37% y 1.36%.
Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá.
Conclusiones y recomendaciones Página 183 de 188
Por otro lado, en el caso de estructuras diseñadas con el espectro Lacustre 500, la
deriva puede alcanzar valores de hasta 1.52%, lo que equivale a un aumento de
más del 100% en la deriva de diseño, y un aumento de 65% con respecto a la
deriva máxima estipulada en la NSR-10.
En promedio 52 de cada 100 edificaciones de cinco pisos construidas en Bogotá
con la norma NSR-10 tendrían derivas mayores a la deriva de diseño al ser
sometidas a las fuerzas sísmicas de la nueva microzonificación
De acuerdo con los resultados obtenidos en el análisis no lineal de Pushover para
el pórtico diseñado con el espectro Lacustre-500, derivas entre 0.35% y 0.65%,
generan un nivel de daño B (esfuerzo de fluencia), derivas que varían entre 0.65%
y 0.96%, generan un nivel de daño en el que predominan las rótulas que han
llegado nivel de daño IO (ocupación inmediata) y para derivas que oscilan entre
0.96% y 1.2%, empiezan a generarse rótulas con un nivel de daño LS (protección
a la vida).
De acuerdo con los resultados obtenidos en el análisis no lineal de Pushover para
el pórtico diseñado con el espectro Piedemonte – B, derivas entre 0.30% y 0.65%,
generan en el pórtico un nivel de daño B (esfuerzo de fluencia), derivas que varían
entre 0.65% y 1.1%, generan en el pórtico un nivel de daño en el que predominan
las rótulas que han llegado nivel de daño IO (ocupación inmediata) y para derivas
que varían entre 1.1% y 1.5%, empiezan a generarse rótulas con un nivel de daño
LS (protección a la vida).
Teniendo en cuenta en que la deriva de diseño de los pórticos diseñados con los
espectros Piedemonte-B y Lacustre-500 es 0.70% y 0.80% respectivamente, los
resultados obtenidos en el análisis no lineal estático de Pushover, muestran que
los elementos de los dos pórticos llegaran a un nivel de daño B (esfuerzo de
fluencia) si alcanzaran las derivas de diseño. Sin embargo, debido a la variabilidad
de la deriva, los pórticos podrían llegar a tener rótulas, en algunos de sus
elementos, con nivel de daño IO (ocupación inmediata) y hasta LS (protección de
la vida).
Maria Claudia Borrero Chaux
Página 184 de 188 Conclusiones y recomendaciones
A la luz de los resultados anteriores, el hecho de que el módulo de elasticidad del
concreto haya aumentado en la actualización de la Norma de Construcción Sismo
Resistente (NSR-10), es incompatible con los niveles de seguridad, pues si se considera
la variabilidad de los materiales como en casos de Bogotá, la deriva puede llegar hasta
duplicarse, teniendo las respectivas consecuencias para los elementos estructurales y no
estructurales.
Lo anterior se agrava aún más, teniendo en cuenta la disminución de la amenaza sísmica
en la Microzonificación Sísmica para Bogotá, en la cual la aceleración espectral
disminuyere en un 70% en algunos casos.
Estimación de la variabilidad de la deriva y del cortante basal resistente de pórticos de concreto reforzado en Bogotá.
Referencias Página 185 de 188
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