Examenes Años Anteriores

7/24/2019 Examenes Años Anteriores

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AULA: FILA: COLUMNA:

GRADO: GRUPO REDUCIDO:

NOMBRE Y APELLIDOS:

Universidad Carlos III

Teoría Microeconómica

Examen Final

23 de enero de 2015

Marco Celentani, Borja Mesa

Instrucciones: Por favor, lea atentamente las siguientes instrucciones.

• En cuanto se le entregue este cuadernillo, ponga su nombre, titulación y grupo así como el aula y lafila y la columna de su asiento en el espacio previsto arriba. Los cuadernillos que se encuentren sin estainformación a los 5 minutos de empezar el examen serán retirados inmediatamente.

• Sobre la mesa sólo puede tener: calculadora, un par de bolígrafos o lápices, regla, borrador, carnet deUniversidad o de identidad, además del examen. No está permitido fumar, pero sí beber o comer. De-posite cualquier otro accesorio, como carpetas, ordenadores, móviles, bolsos, estuches, chaquetas, jerseys,bufandas, etcétera, en los colgadores o cerca de la pizarra.

• En ningún momento separe las hojas del examen. No hable con ningún otro estudiante durante el examen.No pase ningún tipo de material a otro estudiante.

• Compruebe que este cuadernillo contiene 12 hojas grapadas y numeradas correlativamente del 1 al 12 (laspáginas 3, 4, 6, 8, 9, 11 y 12 están vacías).

• Conteste a todas las preguntas y en el espacio previsto para ello (puede utilizar ambas caras de las hojas).No se proporcionarán hojas adicionales.

Los puntos asignados a cada pregunta están indicados en el texto.• Tiene 2 horas y 30 minutos para terminar el examen.

NOMBRE Y APELLIDOS:

Examen Final

24 de enero de 2014

Marco Celentani

• Sobre la mesa sólo puede tener: calculadora, un par de bolígrafos o lápices, regla, borrador, carnet deUniversidad o de identidad, además del examen. No está permitido fumar, pero si beber o comer. De-posite cualquier otro accesorio, como carpetas, ordenadores, moviles, bolsos, estuches, chaquetas, jerseys,bufandas, etcétera, en los colgadores o cerca de la pizarra.

• Compruebe que este cuadernillo contiene 9 hojas grapadas y numeradas correlativamente del 1 al 9 (laspáginas 3, 5, 7 y 9 están vacías).

Los puntos asignados a cada pregunta están indicados en el texto.• Tiene 2 horas y 30 minutos para terminar el examen.

NOMBRE Y APELLIDOS:

Examen Final

20 de junio de 2013

Marco Celentani, Mikhail Drugov

SOLUCIONES

• Sobre la mesa sólo puede tener: calculadora, un par de bolígrafos o lápices, regla, borrador, carnet deUniversidad o de identidad, además del examen. No está permitido fumar, pero si beber o comer. De-posite cualquier otro accesorio, como carpetas, ordenadores, moviles, bolsos, estuches, chaquetas, jerseys,bufandas, etcétera, en los colgadores o cerca de la pizarra.

• Compruebe que este cuadernillo contiene 9 hojas grapadas y numeradas correlativamente del 1 al 9 (laspáginas 3, 5, 7 y 9 están vacías).

• Los puntos asignados a cada pregunta están indicados en el texto.

• Tiene 2 horas y 30 minutos para terminar el examen.

1 Equilibrio

eficiencia

en una

econornía

intercambio

puntos)

Considere uaa

econoaía

dos bienes,

consumidqres,

y B. Las

funciones

de utilidad

los consumidoies

on U¿

{*e,,ye}:

(r¡*2)(A¡+2)

Ue(*a,ya)

dotactiones

niciales

(E¿,p¿)

(1,4) y (78,9):

(2,2) .

1. (9 puntos) Halle el conjunto de asignaqioneseficientes y represéntelo en una caja de Edgeworth.

(g puntos)

Halte el

equilibrio

Wairasiano

represéntelo

caja de

Edgeworth,

puatos)

Represente

caja de

Edgeworth

dotaeiones

niciales

equilibrios

Wairasianos

esquina.

= 2 - ) * * : = : X n + f

f Xa 1

z b ¡

Asqnuurore,s

-,cienles

X n t x s = 3

Y A + I b = 6

cs¡qnocrsnc)

{,-Y.*rtes

Gquin&

rrr\er't¡a\

\onr-cx

1grnyd:s{

c}duc^on

\ntüA

eseftr rrle

q : l l

1 = c l

érÁt ttun t

\ nrüc'\

e-fc-ten\ele a\Srt$mrr

& ' q * ,

. \ . / \

ir\rlcrn

do\uuc'''

intN0']

Cclcu\c'.nnu:

PleüD

equtlttrlo '

2 Equilibrio en una economía con producción

(25 puntos) Considere una economía con dos consumidores, A y B, y dos bienes de consumo, x e y, dondelas funciones de utilidad de los consumidores están descritas por: U A(xA, yA) = xAyA y U B(xB, yB) = xByB.Las dotaciones iniciales de factor trabajo y factor capital de los consumidores son:

LA,K A,

= (1, 7) y

LB,K B

= (4, 3). Los bienes de consumo son producidos por dos empresas con las siguientes funciones de

producción: x = f x(Lx,K x) = L

x e y = f y(Ly,K y) = L

y . El consumidor A posee 2

5 de cada una delas empresas, mientras que el consumidor B posee los restantes 3

5. Denote los precios de los bienes de consumo

por px, py y los precios de los factores de producción por w, r.

1. (4 puntos) Halle las funciones de demanda de factores condicionadas de la empresa X , Lx (w, r;x) yK x (w, r;x).

2. (2 puntos) Halle las funciones de demanda de factores condicionadas de la empresa Y , Ly (w, r; y) yK y (w, r; y).

3. (3 puntos) Halle las funciones de costes totales, C x (w, r;x) y C y (w, r; y).

4. (1 punto) Halle las funciones de costes marginales, CMax (w, r;x) and CMay (w, r; y).

5. (3 puntos) Explique por qué ambas empresas producirán una cantidad estrictamente positiva en equilibrio.

La siguiente relación debe cumplirse: CMax (w, r;x) = px, CMay (w, r; y) = py.6. (3 puntos) Halle las funciones de demanda marshallianas, xA ( px, py,w,r), yA ( px, py,w,r), xB ( px, py,w,r)

e yB ( px, py,w,r).

7. (3 puntos) Escriba las condiciones de vaciado de mercado.

8. (6 puntos) Obtenga los precios de equilibrio Walrasiano.

1. Problema de minimización de coste para la empresa X :

minC (w, r) = wLx + rK x s.t. L3

x ≥ x

Considere el Lagrangiano L

= wLx + rK x −λ

x − x

. Las condiciones de primer orden son

∂ L = w − λ

∂ K = r − λ

Dividiendo la segunda condición por la primera, obetenemos RMST x = 1

= rw ⇒ Lx = 3 r

Sustituyendo en la restricción:

x = x ⇔ K x (w, r;x) = 3−3

y por lo tanto, Lx (w, r;x) = 3 rwK x (w, r;x) = 3 r

4 = 31

2. De manera parecida o por simetría, Ly (w, r; y) = 3−3

34 y y K y (w, r; y) = 3

3. C x (w, r;x) = wLx + rK x = w31

14 x + r3−

34 x = xw

4 + 3−3

4 . De manera

parecida o por simetría, C y (w, r; y) = 4

4. CMax (w, r;x) = 4

4 y CMay (w, r; y) = 4

5. La demanda de ambos bienes es estrictamente positiva a cualquier precio finito.

6. Funciones de demanda

xA ( px, py,w ,r) = wLA + rK A + 2

5 (Πx + Πy)

yA ( px, py,w,r) = wLA + rK A + 2

5 (Πx + Πy)

xB ( px, py,w ,r) = wLB + rK B + 3

5 (Πx + Πy)2 px

yB ( px, py,w,r) = wLB + rK B + 3

5 (Πx + Πy)

Notese que Πx = Πy = 0 Ya que las empresas tienen rendimiento a escala constantes.

7. Condiciones de vaciado de mercado

xA + xB = x

yA + yB = y

Lx + Ly = L

K x + K y = K

8. Sustituyendo xA ( px, py,w ,r), yA ( px, py,w,r), xB ( px, py,w ,r) e yB ( px, py,w ,r) en las condiciones devaciado de mercado se obtiene

xA + xB = wL + rK

2 px= x

yA + yB = wL + rK

2 py= y

Lx + Ly = 31

x + 3−3

K x + K y = 3−3

x + 31

Sustituyendo px and py por los costes marginales de producción el la condición de vaciado de mercado delmercado de trabajo:

4 wL + rK

+ 3−3

4 wL + rK

Normalizando w = 1

3L + rK

L + rK

L + rK = 2L

5 + 10r = 10

r∗ = 1

y por lo tanto p∗x = 4

4 r∗1

≈ 1.4756, p∗y = 4

4 r∗3

≈ 1.0434.

3 Equilibrio y eficiencia en una economía con producción con merca-

dos internacionales

(25 puntos) Considere una economía con un consumidor, A, cuyas preferencias están descritas por la siguientefunción de utilidad: U A(xA, yA) = xAy

A. En esta economía sólo hay un factor de producción, L, y dosempresas, X e Y , que producen los bienes x e y respectivamente, de acuerdo a las funciones de producción

x = f x(Lx) = √ Lx e y = f y(Ly) =p Ly. La dotación inicial de trabajo es LA = 12.

1. (6 puntos) Halle la frontera de posibilidades de producción y represéntela gráficamente.

2. (6 puntos) Halle el equilibrio Walrasiano y represéntelo en el mismo gráfico.

3. (4 puntos) Suponga ahora que existe un mercado internacional para ambos bienes x e y, con preciosrespectivos pix = 1 y piy =

√ 2. Halle el nuevo equilibrio y represéntelo gráficamente. ¿Qué situación

prefiere el consumidor A, la autarquía o aquélla con mercado internacional?

4. (5 puntos) Suponga ahora que los precios internacionales son pix =√

2 y piy = 1. Halle el nuevo equilibrioy represéntelo gráficamente.

5. (4 puntos) ¿Prefiere el consumidorA esta nueva situación o aquélla del apartado 3? (Ayuda: Este apartadopuede resolverse aun sin haber resuelto el anterior)

1. Lx + Ly = x2 + y2 = 12. La FPP es por lo tanto la porción en el ortante positivo del circulo con centroen (0, 0) y radio

√ 12.

2. Hallemos antes la asignación de equilibrio que es también eficiente:

maxx,y xy2, s.t. x2 + y2 = 12

maxx x

12− x2

. La condición del primer orden es 12 − 3x2 = 0, y por lo tanto, x∗ = x∗A = 2. Esto

implica, y∗ = y∗A = 2√

2, L∗x = 4 y L∗y = 8. p∗x p∗y

se puede hallar como la RMT o la RMS de equilibrio:

RMT ∗ =

1√ L∗y

1√ L∗x

L∗xL∗y

= 1√ 2

or RMS ∗ = y∗2A2x∗

Ay∗A

y∗Ax∗A

= 1√ 2

. Para hallar w∗, se puede usar la

condición de maximización del beneficio de una de las empresas, por ejemplo, maxLy p∗y

p Ly − w∗Ly ⇒

p∗y= 1

1√ L∗y

4√ 2

3. Ya que pix piy

= 1√ 2

, la nueva restricción presupuesetaria es tangente a la FPP en la asignación de equilibrio

walrasiana hallada anteriormente (x∗, y∗) =

2, 2√

. Por lo tanto el nuevo equilibrio conicide con elanterior y el consumidor A estaría indiferente entre las dos situaciones.

4. Por la simetría de la FPP, la nueva restricción es tangente a la FPP en el punto (x, y) =

ecuación por lo tanto es√

2x + y =√

2 ∗÷2√

2 + 2 = 6. La asignación eficiente se halla como la solucióndel siguiente problema

maxx,y xy

2, s.t.√

2x + y = 6 ⇔ maxy

6−y√ 2 y2. La condición de primer orden es

1√ 2

12y − 3y2

= 0, por lo tanto, y∗A = 4 y x∗A =

6−y∗A√ 2

2. Para hallar w∗, se puede usar la condiciones

de maximización del beneficio de ambas empresas, Lx + Ly = 1

pi2xw2 + 1

pi2yw2 = 3

4w2 = 12; por lo tantow∗ = 4.

5. A prefiere esta situación a la del apartado 3 ya que elige una asignación distinta a la anterior asignación

de equilibrio a pesar de estar la anterior asignación disponible, lo que es confirmado por las utilidades delas dos asignaciones:

√ 2 ∗ 42 = 16

√ 2 frente a 2

4 Externalidades

puntos)

Considere

simple

modeio de oligopoiio

Cournot.

La función

inversa

de demanda

es Ia cantidad total

precio

mercado.

mercado

hay dos

empresascon ios

mismos

costes

totales.

Denotando con

a eantidad

producida

la empresa , sus

costes

otales son C

(q¿):

puntos)

Escriba las funciones

de beneficio

empresers.

las empresas

niveles

producción independiente

simultáneamente.

(a) (4 puntos)

Ha}le las

píoducciones

los beneficios

de equi.librio.

puntos)

Halle el excedente

del consumidor.

(2 puntos)

el excedente totai.

Suponga

gobierno

plantea

posibilidad

de regular

mercado

obtener

mejoras

eficiencia.

(4 puntos)

Halle la cantidad

maximiza

excedente

total.

(b) (4

puntos)

Suponga

gobierno otorga

subsidio unitario

producción s )

los ingresos de una empresa

que produce

unidades son

producciones

de equilibrio

(c) (4

puntos)

¿Qué

valo: debería

subsidio

Ia suma

de las cantidades

producidas

igual a la

cantidad

has obtenido

ei apartado 3a

= p - ? r - g r =

o - q ' - ? d ? ,

(tS*q,

2' e) f iox r = ttCI?r cti ,ciu 8r

á n l

& l¿-

ry= ?:

\ \ rn¿tr icL'

9 - 1 , = 2 q r

g r = ? r = 3

= [ r O - 3 ^ 3 )

= t ? : = Q

exceder-r\e

tun\rnrdcr

exce&:'rk'

e P = ( q - l ) 6 = ?

l7tl7=

e:c-=t]c-r)e

Ctr,&¿.¿

rrcrXrl'nt?

uttu¿t"tlt

'tdc.\

p = . 1 1

¿ D - Q =

Tl r p . r ? i = ip+ l Qr-?r ( ro-Qrqt2 : )? ' - 9 t

?z ts - l

f i z=PE"-?r=

1?z- -

ro-Qr-q"+9

.?Í ' -

^l=ü-

q- t+\

i r rx¿hic .

q '9 t ts=2gr

Q r = t r =

g , t g : = Q -

¡ 3 j \ . = q

, t t s + 2 s = 2 7 . s = Q S = c f , á

AULA:_

FILA:_

COLUMNA:

GRADO: GRUPO

EDUCIDO:

NOMBRE APELLIDO5:

Universidad

Carlos

Examen

22 de enero

Marco Celentani, Mikhail

Drugov

Instrucciones: Por favor, ea atentamente

as siguientes

nstrucciones.

cuanto

se le entregueeste cuadernillo,

su nombre, titulación

y grupo

así como

el aula

columna de su asiento

en el espacio

previsto

arriba. Los

cuadernillos

se encuentren

informacióna los 5

minutos

empezarel

examenserán

etirados nmediatamente.

a mesa sólo

ener: calculadora,

bolígrafos

o lápices,

egla, borrador,

carnet

Universidad de

identidad,además el

examen.

No está

permit ido

si bebe¡ o

comer.

posite

cualquie¡ tro accesorio,omo

carpetas,

rdenadores,

oviles,

olsos,

stuches,haquetas,

erseys,

bufandas,

etcétera,en los colgadores

pizarra.

En ningún

momentosepare as hojas

del examen.

ningún otro estudiante

durante

el examen.

ningún ipo de mate¡ial

a otro estudiante.

Compruebe

este cuadernillo

contiene

grapadasy

numeradas

orrelativamente

el 1 al 9

páginas

están acías).

Conteste

a todas

preguntas

el espacio

revisto

(puede

utilizar

ambascaras

de las

hojas).

proporcionarán

hojas adicionales'

puntos

asignados

pregunta

están

ndicados

n el texto. El total

puntos

disponible

s 110,

pero a máximapuntuación osibie s 100.

Tiene 2 horas

45 minutos

erminar

examen.

1 Equilibrio

eficiencia

en una economía

de intercambio

puntos)

Considere

na economía

ondos consumidores,

y B, y

dosbienes, eY,

Las dotaciones

niciales

totales

son (X,7)

preferencias

consumidor

están

representadas

la siguiente

unción

utilidad

Ue( r , c ,U ¡ )

x , c ,2Yt }

(6 puntos)

Suponga

preferencias

el consumidor

están epresentadas

la siguiente

unción

util idad

( rn ,an)

asigaciones

ficientes

interiores

si ashay,de

esquina) representelasn

una caja de

Edgeworth.

puntos)

Suponga

preferencias

el consumidor

B están epresentadas

utilidad

( r a , a d :

Halle as asigaciones

ficientes

interiores ,

ashay,de

esquina) representelas

n una caja

de Edgeworth.

3. Suponga

preferencias

el consumidor

B están

representadas

la siguiente unción

utilidad

(a) (6punros)

alreasasigacioner.r.l:,1.

;::ff"1r,

n*, deesquina)

representelas

caja de Edgeworth.

(b) (7 puntos)

Suponga

las dotaciones

niciales

reparten de

la siguiente

.q.ai:

( 5 , 5 )

@ s , Aa ) : ( 5 , 5 ) , H a l l ee lequ i l i b r i oW a l r as ianoy r ep r es en t e loen lac a jadeEdgew or t h .

l^A,YA)

Áb,\ps

?]fi l

: rv1\n

( {g , \ , } )

xñ,1Y4

(xn , )n )

x g * Y r ¡

ñ , io)

5?xtóPy

i . , Y ;

o , 5 )

= '? \n

\ r - -

- ? x t

= \ 6 , 5

Á S =

i i*,-

f t ' : . .

t3t '1

5Px 5P7

x f t =

x r \ :

n r ó

)$ icl=)

\ i - /

Eficiencia

equilibrio

en una economía con

producción

(25 puntos)

Considere na economía

on un consumidor,

tres bienes,X,Y

consumidor.4

func ióndeu t i l i dadU.q (ae ,ae) : r ¡ga .Haydosempresas ,

eY,queempleane l f ac to rdeproducc ión , t r , de

acuerdo las

siguientes

unciones

producciór:

(lv):21v,

La dotación

nicial

del consumidor 4

del factorde

producción

puntos)

Esc¡ibas as

condiciones

la eficiencia.

puntos)

Obtenga

a frontera de

posibilidades

produccióny

representela

raficamente,

puntos)

Obtenga

a asignación ficiente

factor de

producciór

vector

producciones

ef ic ientes,

ix ,A i .

( i0 puntos)

Obtenga

signación

precios

equi l ibr io

Walrasiano,

Ik, l?, rk,aí , , r \ ,ah.pk,pl

,* . ) '

' Y n = Y 7

Rt'r lA

= ' tC

' y J = 2 f y

, ? x q = l t - 2 x o

= , ? t

l x = A x = 5

t ? f ¡ T

. - . , . - q

l , ' ¡

R r i T = ̂

c'-[¡

w ^ - ¿

r" t/t

t r : X . . -

( - l ' l ( . ¡

{ + . r

A ^ = " ) , ) d

Px=C- l ' l c i n -

P s : L L '

3 Eficiencia

equilibrio

una economía con

producción

puntos)

Considereuna

economÍacon

un consumidor,

empresas,X e Y. Las

preferencias

consumidor,4están epresentadas

la siguiente

unciónde uti l idad

Ut(r¡,y¡)

2re,At}

(Nota:

uti l idad de

(ra,y¿)

mdnimo

entre 4 e

eI mínimo).Las funciones e

producción

e las empresas

s o n r x : f x ( k x , ¿ x ) : ( / c x ¿ x ) i

" r " : Í v ( k v , I y ) : ( k y l y ) á . L a s d o t a c i o n e s i n i c i a l e s s o r i T a : E ¡ : 5 .

puntos)

Obtenga a

frontera

posibilidades

producción

representela

raficamente.

(6 puntos)

Obtenga

asignación

ficiente e

factores

producción,

[*,kt, ir),

vectorde

producciones

ficientes,

(2pun tos )Obtenga las func ionesdedemandade lconsumidorA , r4 :nA\px ,py ) ,9 .q :A t (px ,pv ) .

(2 puntos)

Obtenga

as funciones

e demandas

factores

condicionadas

derivadas)de

la empresa

( w , r , r x ) y

( w , r , r y ) .

puntos)

Obtenga

a funciónde

coste otal

de 1aempresa , Cx

(w,r,ry).

puntos)

Obtenga

a funciónde coste

marginalde

la empresa

(w,r,r.¡).

7. (10puntos) btengaas ignac iónyprec iosdeequi l ibr ioWalras iano,

kk, Ik,kí ' ,1?,r\ ,ai , , r-e,A. t ,p\ ,pi , t r* , r*) .

- ' j :

- \ , / q

- Y - x 1 u a = \ r

- - L {

ill'l\T

l . i :

1 * L 4

K x 5 - K x

¡,h+ure¡lt\C

. Á X =

* X = L X

* y - ' J ,

Ly ' l e

-\urlCrL'l)C*t

- ' l :

, r u ' 1 .

r \ t J

l x L x

= 5 K x

- Z x K 4

T t ' \ \ n i ( h i t r K e = l y

K x * K y = 5 ,

X x t ) )

Dcv.\o

1*g¡¡¡¡r\c\c

-^ ,/\

t ¿ I

--( ' I t i

4 : e , r

4 2 ? l

rn , t l ^

(xn,\n)

nrcr.x.

t ¡ t

A ) L x

CTx.xlx t rHrt= l,t, '

ff i 'h

C T x =

2 x i ¡ t l r

' , ' ^ r / ¿

c ( u n

L c ' l r

Rr4\T(

?¡ = cf(cix Px = 2 t' l2 ,''l t P^t=2

.¿tr^\ ?l

-^* 'h

' ' l t

¿ l= r l * .= ¡ ,

r . . | =4 f : f r

x ' l *=x i ' =5 '

t t t t ' l ¡

x = 1 . " "

\ r ' I

( i l ' '

?v) , *

L ü > / ' . : , 1

c ' [ 1 , 2 1

Externalidades

puntos)

Considereuna economíaen

la empresa

produce

producto

empresa

produce

producto

Y.. Los mercadosde

productos

l- son competitivos

precios

(puede

pensarque

precios

están

determinados

xógenamente

n mercadosnternacionales,

importante

a resolución

probiema).

empresa

X tiene costes

otales

producción

empresaY tiene costes otales de producciónCv (A) : y2. La producciónde ambosproductosgeneraemisiones

contaminantes.

particular, por

cada unidad

producida de cada uno

productos,se

genera

unidad

emisiones

ontaminantes.

Considere

l casoen el

no se oma

ninguna medida

controlar

as emisiones ontaminantes.

(a) (1 punto)

Obtenga

producción

la empresa

(b) (i

punto)

Obtenga

producción e la empresdY,

(c) (1 punto)

Obtenga

as emisiones

otales,

Suponga

gobierno

quiere

educir

a contaminación

otal a2l3 de

las emisionesotales

hallado en el apartado

1. Para

alcanzar ste

objetivo

gobierno

asignael

mismo numerode

"derechos

emisión"

a cada una de

las empresas

"derecho

e emisión"

permite

producir

una unidad

de emisiones

producción

cada empresa

puedeser mayor

el numero de

derechos

e emisiÓn

que ha recibido).

Suponga

nicialmente

derechos

e emisión

son rr,onegociables.

punto)

Obtenga

producción de la enipresa

punto)

Obtenga

producción

de la empresaY,

Suponga ahora

los derechos

emisión

son negoci,ables n

un mercado

competttiuo.

Denote

precio

de un derecho

de emisión.

puntos)

Para un

preclo

¿cuál

a demanda bruta

de derechos

de emisión

la empresa

(Nota:

demanda

brzlo entendemos

rrumero otal de derechos

e emisión

la empresa

quiere

te¡er,

numero de derechos

emisión

adicionales

la empresa

quiere

adquir ir

encima

de los

le han sido

asignados

gobierno.)

puntos)

Para un

precio

¿cuál

demanda

br-utade derechos

de emisión

la empresa

pu,'rto.)

mercado

de de¡echos

de emisiones

participan

1as empresas

¿cuál

precio

vacía?

iv. Cuando

niercado

de derechos

de emisión

está en equilibrio

cuando

precio

derechos

emisión es

puntos)

Obtenga

producc iónde

la e rnpresa

X, l .

puntos)

Obtenga

producción de

la empresaY, .

I'[Gx i]x

l lx =

{ t - x : c - x t = l c

r,\trx

Y { = 5

j l l j

/ ( {+y(

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Examenes Años Anteriores

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