Electricidad y Magnetismo 2010/2011

Integrales de Superposición para el campo

electrostático EyM 3-b 1

J.L. Fernández Jambrina

Electrostática

• Definición

• Los conductores en electrostática.

• Campo de una carga puntual.

• Aplicaciones de la Ley de Gauss

• Integrales de superposición.

• Potencial electrostático.

– Definición e Interpretación. Ecuaciones de Poisson y Laplace. Condiciones de Interfase. Integrales de superposición. Condiciones de regularidad. Teorema de unicidad, teorema del valor medio.

• Campo y potencial eléctrico en puntos alejados: dipolo, momento dipolar, ...

• Polarización de materiales.

• Método de las imágenes.

• Sistemas de conductores. Condensadores.

• Energía y Fuerzas.EyM 3b-1

J.L. Fernández Jambrina

• Supongamos un conjunto de cargas puntuales en el vacío.

– El campo producido por ellas será la suma de los que producen cada una de ellas por separado, es decir:

siendo el campo producido por la carga i-ésima qi.

Campo producido por un sistema de cargas puntuales

( ) ( ) ( )∑∑∑−πε

−=

−πε==

ii

ii

i

i

i

i

i

i

rr

rrqR

rr

qrErE

3'

'

2' 4

ˆ

4rr

rr

rrrrrr

O

q2

q1

rr2

rr1

rE

1

rr

rri qi

rE

2

rE

i

r rE E

Total i

i

==== ∑∑∑∑

( )rEi

rr

EyM 3b-2

Electricidad y Magnetismo 2010/2011

Integrales de Superposición para el campo

electrostático EyM 3-b 2

J.L. Fernández Jambrina

• Un elemento de volumen dV' situado en tendrá una carga y producirá un campo eléctrico en el punto de observación que viene dado por:

• El campo total vendrá dado por la integral:

– Análogamente, para distribuciones superficiales y lineales:

– Estas expresiones permiten obtener el campo producido por distribuciones arbitrarias y por tanto son de aplicación más general que la ley de Gauss.

Integrales de Superposición:(Aportaciones infinitesimales)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )33

44 rr

rrVdr

rr

rrrdqrEd

′−

′−′′=

′−

′−′= rr

rrr

rr

rrrrr

περ

πε

( )dVrdq ′=r

ρ( )dE rr r

rr

dV’

dq

O

V

r ′r

( )rEdrr

rr rr ′−

rr

( ) ( ) ( )( )∫∫∫∫∫∫ ′−

′′−′=

′−

′−=

VQ rr

Vdrrr

rr

dqrrrE

334

1

4

1rr

rrr

rr

rrrr ρ

πεπε

( ) ( )( )∫∫ ′−

′′−′ρπε

=S

S

rr

SdrrrrE

34

1rr

rrrrr

( ) ( )( )∫ ′−

′′−′ρπε

=C

L

rr

ldrrrrE

34

1rr

rrrrr

r ′r

( )( )( )

′

′

′

=

dlr

dSr

dVr

dq

l

sr

r

r

ρρρ

EyM 3b-3

J.L. Fernández Jambrina

• Calcular el campo creado por un disco de carga uniforme, , de radio R en su eje.

– Se aplica:

– Dada la geometría:

– Debido a la simetría solo hay componente z.

Integrales de Superposición: Ejemplo 1

X

Y

Z

rr

r′′′′r

R( ) ( )( ) ( )∫∫∫∫ ′−

′−πεσ

=′−

′−′ρπε

=SS

S

rr

dSrr

rr

dSrrrrE

33

'

4

'

4

1rr

rr

rr

rrrrr

ρ σS =

( ) ρ′ϕ′ρ′=′

+ρ′=′−

+ρ′ρ′−=′−⇒

ρ′ρ′=′

=ddSd

zrr

zzrr

r

zzr21

22

ˆˆ

ˆ

ˆrr

rr

r

r

( )( ) ( )

( ) ( )zz

zRzzzz

z

dzz

ddz

zzd

zzzE

R

R

R

ˆ11

2

1ˆ

2ˆ

4

2

ˆ

0

ˆ4

ˆ

22

0

220 22

0

2

022

2

022

21

23

23

23

+−

εσ

=+ρ′

−ε

σ=

+ρ′

ρ′ρ′

πεπσ

=

=ρ′ρ′

ϕ′+ρ′

+ϕ′ρ′+ρ′

ρ′−

πεσ

=

=ρ′=ρ

=ρ′

π

=ϕ′

π

=ϕ′

∫

∫ ∫∫43421

r

EyM 3b-4

Electricidad y Magnetismo 2010/2011

Integrales de Superposición para el campo

electrostático EyM 3-b 3

J.L. Fernández Jambrina

Integrales de Superposición: Ejemplo 1 (2)

Líneas de campo eléctrico de un disco cargado con densidad uniforme.

0 +1-1

0

+1

-1

z/a

ρρρρ/aEyM 3b-5

J.L. Fernández Jambrina

Integrales de Superposición: Ejemplo 1 (3)

• Notas:

–

– El campo presenta una discontinuidad en el origen de valor σ/ε, como se podría haber predicho a partir de la condición de interfase:

– Cuando la distancia al disco es muy grande, comparada con su tamaño, el campo se comporta como el de una carga puntual de valor igual a la del disco.

( ) 0ˆsenˆcosˆ2

0

2

0=ϕϕ+ϕ=ϕρ ∫∫

ππdyxd zzz ≠=2

( )

( )( ) ( ) zzzEzzE

zzzzRz

zzE

zzzzRz

zzE

zz

zz

zz

ˆˆlimˆlim

ˆ2

ˆ11

2limˆlim

ˆ2

ˆ11

2limˆlim

00

2200

2200

εσ

=−⇒

εσ

−=

+−

εσ

=

εσ

=

+−

εσ

=

−→+→

−→−→

+→+→ rr

r

r

( )

===

−≈

≈

+−=

+−=

⇒>>

zz

zQz

zz

Qz

zz

Rz

z

R

z

z

zzRz

zzz

zRzzzE

Rz

DISCODISCO ˆ4

ˆ4

ˆ4

ˆ2

11

2

ˆ1

11

2ˆ

11

2ˆ

3

2

2

2

2222

πεπεεσ

εσ

εσ

εσr

EyM 3b-6

Electricidad y Magnetismo 2010/2011

Integrales de Superposición para el campo

electrostático EyM 3-b 4

J.L. Fernández Jambrina

1

0.5

Integrales de Superposición: Ejemplo 1 (4)

• Representación gráfica de:

( )z

zRz

zEz

+−=

σε

22

112

5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5

0

0.5

1

( )3

2,

2

2

z

zRzE lejz =σ

ε

RzEyM 3b-7

J.L. Fernández Jambrina

Ejemplo 2: Línea de carga uniforme.

• Sea ahora una línea de carga uniforme de longitud L.

– Supongamos que está sobre el eje Zy centrada en el origen:

XY

Z

L/2/2/2/2

-L/2/2/2/2

ρ λL =

( )( ) zdld

zzrr

zzzrr

zzr

zzr′=′

′−+=′−

′−+=′−⇒

′=′

+=22

ˆˆ

ˆ

ˆˆ

ρ

ρρρρrr

rr

r

r

( ) ( )( ) ( )( )[ ]

( )( )[ ]

( )[ ] ( )[ ]

( )[ ] ( )[ ]

++−

−+

+

++

++

−+

−

=

=

−′+

+−′=′

−′+

−′−=′

′−

′−′=

−−∫∫

zzLzL

zL

zL

zL

zL

zz

zzzzd

zz

zzzld

rr

rrrrE

L

L

L

LL

L

ˆ2

1

2

1

ˆ2

2

2

21

4

ˆˆ

4

ˆˆ

44

1

21222122

21222122

2

2

2122

2

2

23223

ρρ

ρρρρ

πελ

ρ

ρρπελ

ρ

ρρπελρ

πε rr

rrrrr

EyM 3b-8

Electricidad y Magnetismo 2010/2011

Integrales de Superposición para el campo

electrostático EyM 3-b 5

J.L. Fernández Jambrina

Ejemplo 2: Línea de carga uniforme. (2)

• Representación del campo.

0

1

2

-1

-20-1-2 1 2Lρ

Lz

EyM 3b-9

J.L. Fernández Jambrina

Ejemplo 2: Línea de carga uniforme. (3)

• La expresión anterior no está definida en el eje Z, aunque se puede intentar obtener una:

– La componente radial

» Fuera de la distribución es nula.

» Sobre la distribución no está definida. Esto es común a todas las distribuciones lineales.

– La componente z en los extremos de la distribución se hace infinita.

zzLzL

zzE ˆ2

1

2

1

4)ˆ(

+−

−=

πελr

0 L 2L-L-2L

0

-5

5

λπε4

)ˆ( zzE z

EyM 3b-10

Electricidad y Magnetismo 2010/2011

Integrales de Superposición para el campo

electrostático EyM 3-b 6

J.L. Fernández Jambrina

Distribuciones Invariantes en z

• Una distribución es invariante en z si ni su geometría ni su densidad dependen de la coordenada z.

– queda definida por su intersección con un plano z=cte y su densidad.

• Cálculo del campo:

– Se pueden definir elementos de carga lineal a partir de diferenciales de superficie:

– Partiendo del campo creado por una línea de carga:

– Y sumando las contribuciones:

» Importante: Todos los vectores de posición implicados deben pertenecer a un mismo plano z=cte: son bidimensionales.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )rldrrqdrldr

rSdrrqdrSdr

SLS

L

′′′=′′⇒′′′

′′′=′′⇒′′′rrrrr

rrrrr

ρρρρ

,

,

( )2

2 rr

rrrE L

′−

′−πε

ρ= rr

rrrr

$z

S

dS

( )( )

( )

′′ρ′−

′−πε

′′ρ′−

′−πε

=ρ′′−

′−πε

=

∫

∫∫∫

LS

S

LL

ldrrr

rr

Sdrrr

rr

qd

rr

rrrE

rrr

rr

rrr

rr

rr

rrrr

2

2

2

2

1

2

1

2

1

EyM 3b-11

J.L. Fernández Jambrina

Distribuciones Invariantes en z: Ejemplo

• Calcular el campo creado por una tira indefinida de densidad superficial de carga constante en los puntos del eje Y.

– Se aplica:

– De la geometría:

– Sustituyendo:

» La componente x se cancela por simetría.

Z

Y

X

ρ σS =

w

( ) ( )∫ ′′ρ′−

′−πε

=L

S ldrrr

rrrE

rrr

rrrr

22

1

( )

( )y

wy

y

xyyx

x

xdyx

yyxxzzyyE

w

w

w

w

2arctgˆarctgˆln

2

ˆ

2

ˆˆ

2ˆˆ

2/

2/

22

2/

2/ 22

πεσ

=

′++′

−πεσ

=

=′+′+′−

πεσ

=+

−

−∫r

( ) xdldyxrr

yyxxrr

xxr

yyr′=′

+′=′−

+′−=′−⇒

′=′

=21

22

ˆˆ

ˆ

ˆrr

rr

r

r

EyM 3b-12

Electricidad y Magnetismo 2010/2011

Integrales de Superposición para el campo

electrostático EyM 3-b 7

J.L. Fernández Jambrina

Distribuciones Invariantes en z: Ejemplo (2)

• Existe una discontinuidad en y=0 de valor σ/ε como se podría haber predicho a partir de la condición de interfase:

( )

( )( ) ( )

εσ

=−⇒

εσ−

=πεσ

=

εσ

=πεσ

=

−→+→

−→−→

+→+→yyyEyyE

yy

wyyyE

yy

wyyyE

yy

yy

yyˆˆlimˆlim

2ˆ

2arctgˆlimˆlim

2ˆ

2arctgˆlimˆlim

00

00

00rr

r

r

E yy ( )

σε

y/w

5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 50.5

0

0.5

EyM 3b-13

J.L. Fernández Jambrina

Distribuciones Invariantes en z: Ejemplo (3)

• Cuando la distancia a la tira es mucho mayor que su ancho el campo tiende al de una línea indefinida de carga con la misma carga por unidad de longitud que la línea:

( )y

qy

y

wy

y

wy

y

wyzzyyEwy L

πε=

πεσ

=πεσ

≈πεσ

=+⇒>>2ˆ

2ˆ

2ˆ

2arctgˆˆˆ

r

y/w

E y

E y

y

y LJE

( )

( ).

σ

σ

0.1 1 100.01

0.1

1

10

EyM 3b-14

Electricidad y Magnetismo 2010/2011

Integrales de Superposición para el campo

electrostático EyM 3-b 8

J.L. Fernández Jambrina

Distribuciones Invariantes en z: Ejemplo (bis)

• Calcular el campo creado por una tira indefinida de densidad superficial de carga constante en todos los puntos del espacio.

– Se aplica:

– De la geometría:

– Sustituyendo:

Z

Y

X

ρ σS =

w

( ) ( )∫ ′′ρ′−

′−πε

=L

S ldrrr

rrrE

rrr

rrrr

22

1

( )( )

+′−=′−

+′−=′−⇒

′=′

+=222

ˆˆ

ˆ

ˆˆ

yxxrr

yyxxxrr

xxr

yyxxrrr

rr

r

r

( )( )

( ){ }

( )( )

++

−+

+−

++=

=

−′++′−−=

=′+′−

+′−=

−=′

−=′∫

y

xw

y

xwy

ywx

ywxx

y

xxyyxx

x

xdyxx

yyxxxrE

w

wx

w

wx

2arctan

2arctanˆ

2

2ln2

ˆ

2

arctanˆln2

ˆ

2

ˆˆ

2)(

22

22

2

2

22

2

2

22

πεσ

πεσ

πεσrr

EyM 3b-15

J.L. Fernández Jambrina

Distribuciones Invariantes en z: Ejemplo (4)

1111

0000

−−−−1111

−−−−1111 0000 1111

y/w

x/w

• Representación del campo.

EyM 3b-16