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7/23/2019 Fisica Guion Ok
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CONDUCCIN DE CALOR POR METODO DE FOURIER.
La ecuacin de calor describe como distribuye la temperatura en un cuerposolido en funcin del tiempo y el espacio.
Condiciones de la problemtica.
1. El ujo de calor se produce en la direccinx.
2. No se pierde calor a travs de la super!cielateral
". La varilla es #omo$nea su densidad porunidad lon$itud esconstante.
%. La barra tiene lon$itud L y reatransversal &
Estas condiciones permitirn 'ue las leyes f(sicas 'ue emplearemos dependan
)nicamente de la posicin y del tiempo.En el proceso de derivacin de la ecuacin se emplearan las si$uientesma$nitudes*
u (x , t)=temperatura de la varillaparala posicin y el tiempo
Q (x , t)=flujo (ocantidad ) de calor en la direccin positiva para x
+i aplicamos el principio de conservacin de la ener$(a en la varilla en el
intervalo [x x+ x ] tendremos*
Variacinde la energainterna ( calor )=flujo decalor entrante flujo decalor saliente
La expresin matemtica correspondiente es*
Q
t
=AQ (x , t)A Qsa(x+ x ,t) ,1-
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/onde el ujo de calor tiene unidades ( calsegcm2 ) se multiplica por & para
obtener unidades (calseg ) .0or otro lado #ay una ley f(sica 'ue relaciona el calor Q (x , t) con la masa m y
la temperatura u (x , t) llamada ecuacin de la termolo$(a 'ue se expresa de
la si$uiente forma.
Q (x , t)=mu (x , t) Ecuacin de calor espec(!co ,2-
Esta ecuacin describe el proceso de calentamiento en una fase del cuerpo en
la 'ue es el calor espec(!co.
Consideremos de nuevo el se$mento in!nitesimal [x x+ x ] como la seccin
transversal de la varilla tiene una seccin transversal & el volumen resultanteser
v=A x ora introduciremos un nuevo parmetro 'ue representa la
densidad del material teniendo 'ue m=A x
+ustituyendo en la ecuacin de calor espec(!co ,2- lle$aremos al resultadosi$uiente*
Q (x , t)=mu (x , t)= A xu (x , t) ,"-
/erivando respecto del tiempo tenemos
Q
t= A x
u
t ,%-
/e esta manera #emos obtenido otra expresin paraQ
t .
El si$uiente paso consiste en i$ualar con el resultado de principio deconservacin de calor ,1- con ,%-*
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A x u
t= AQ (x ,t)A Q sa(x+ x , t)
x u
t=
Q
( (x , t)Qsa(x+ x , t))
/ividiendo por x *
u
t=
Q
( (x , t)Qsa(x+ x , t)) x
,3-
4eescribiendo utili5ando la ley de 6ourier*
Ley de 6ourier (Q (x ,t)=k u x ) donde 7 es la conductividad trmica
u
t=
k(( u x )x+ x(u
x )x) x
,8-
Cuando x0 podemos escribir ,8- de la si$uiente manera
u
t=c2
2u
x2 ,9-
/onde c2=
k
es lo llamado difusividad trmica del material
CONDICIONES DE FRONTERA
+upn$ase a#ora 'ue la barra tiene una lon$itud !nita ! , 'ue va de x=0
a x=! . La funcin de temperatura u(x ,t) se determinara dentro de todas
las posibles soluciones de la ecuacin (7) por las condiciones auxiliares
"
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adecuadas. En el caso de la barra calentada puede especi!carse su funcin de
temperatura f(x ) en el tiempo t=0 . Esto proporciona la condicin inicial.
u (x ,0 )=f(x )(8)
:ambin pueden especi!carse las temperaturas !jas en los dos extremos de labarra. 0or ejemplo si cada extremo se empalma en un $ran bo'ue de #ielo atemperatura cero se tendr(a las condiciones de frontera.
u (0,t)=u (! , t)=0 (para toda t>0 )(9)
Combinando todo esto se obtiene el problema con valor en la frontera
u
t=c2
2u
t2(0
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La estrate$ia completa para resolver el problema con valores en la frontera
(10) ser encontrar las funciones u1 ,u2, u3 , % 'ue satisfa$an tanto la
ecuacin diferencial parcial en (10a) como las condiciones de frontera
#omo$neas (10#) para lue$o intentar combinar estas funciones por
superposicin como si se estuvieran construyendo blo'ues con la esperan5a
de obtener una solucin u=c1 u1+c2 u2+% 'ue satisfa$a tambin la condicin
no #omo$nea en (10c ) $
SEPARACIN DE ARIA!LESEl mtodo para resolver el problema con valores en la frontera dado en ,1;-para la barra calentada lo introdujo 6ourier en su estudio de calor. +uponemos'ue la solucin es de la forma*
u (x , t)=&(x )'( t)(12)
En la cual las variables estn esto es cada una de las funciones
es el producto de una funcin de posicin x ,)nicamente- y una funcin de
tiempo t ,solamente-. +ustituyendo se tiene*
u
t=c2
2u
x2
& '(=c2&( ('
donde por simplicidad se escribe '(
para '((t) y &
( (
para &( ((x) .La
divisin de ambos entre &' resulta en
c2&
( (
&=
'(
' (13)
El lado i5'uierdo de la ecuacin ,1"- es una funcin solamente de x pero ellado derec#o es una funcin slo de t. +i t se mantiene constante en el lado
derec#o entonces en el lado i5'uierdo &( (/& debe permanecer constante
conforme x var(a. /e manera similar si x se mantiene constante en el lado
i5'uierdo entonces el lado derec#o '(/c2' debe permanecer constante
conforme t var(a. En consecuencia la i$ualacin es vlida slo si cada una de
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estas dos expresiones es la misma constante la cual se representa como .
&s( la ecuacin ,1"- se convierte en
c2&
( (
&=
'(
'=(14)
La cual consiste de las dos ecuaciones
&( ((x )
c2&(x )=0(15)
'((t)'(t)=0(16)
Enfocndose primero enX,x- las condiciones de frontera #omo$neas son
u (x ,0 )=&(0 )'( t)=0,u (! , t)=&(! )'(t)=0.(17)
+i '( t) es una funcin no trivial de t entonces ,13- puede cumplirse slo si
&(0 )=&(! )=0 . /e esta manera &(x ) debe satisfacer el problema con
valores en la frontera
&( (
c2&=0
&(0 )=0,&(! )=0(18)
?ste es en realidad un problema de ei$envalores. 0uede veri!carse 'ue 'ue
,13- tiene una solucin no trivial si y slo si es uno de los ei$envalores
n=n2)2c2
!2
$ n=1,2,3,%,(19)
y 'ue una ei$enfuncin asociada con n es
&n=sinn)x
! ,n=1,2,3,% ,(20)
8
E"#envalore$ % e"#enf&nc"one$' (C)mo $e obt"enen*
&( (
c2&=0
&(x )=0,&(! )=0
Como es un real consideramos " casos*
=0 resulta *
&( (=0
Entonces &(x )=A+*x
0ero evaluando las condiciones resulta* &(x )=0 .
=+2>0
&( (
+2
c2&=0
&(x )=A cosh +x+* sinh+x
y las condiciones &(0 )=0=&(!) implican entonces 'ue A=*=0
=+2
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ora atendemos la ecuacin ,2;- sabiendo 'ue la constante debe ser uno
de los ei$envalores de la ecuacin ,18-. 0ara la n@sima de estas posibilidadesla ecuacin ,18- se escribe como
'n(+
n2)
2c2
!2
'n=0 $(21)
&nticipando una solucin diferente 'n ( t) para cada uno de los diferentes
valores enteros positivos de n. Ana solucin no trivial de esta ecuacin es
'n (t)=cnexp (n2)
2c2t/!2) (22)
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/onde cn es una constante arbitraria.
4esumiendo nuestros avances se #an descubierto las dos sucesionesasociadas
un(x , t)=&n(&) 'n(t)=cn exp(n2 )2 c2t
!2
)sen (
n)x
!) (23 )
para n=1,2,3,% Cada una de estas funciones satisface tanto la ecuacin de
calor como las condiciones #omo$neas u (0,t)= u (!, t)=0 . +e combinan
a#ora estas funciones ,superposicin- para intentar satisfacer tambin la
condicin no #omo$nea u (x ,0 )= f(x )$ En consecuencia se forma la serie
in!nita
u (x , t)=n=1
un(x , t)=n=1
cnexp(n2
)2
c2
t
!2 )sen ( n)x!)(24)
0ara satisfacer la condicin u (x ,0 )=f(x )(0
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donde #n son los coe!cientes de seno de la serie de 6ourier en la ecuacin
,29- de la funcin de temperatura inicial de la barra f(x )=u(x ,0)$
Ob$ervac")n.0ara su uso en problemas y ejemplos en la tabla de la !$ura .3." se listan al$unos valores de la constante de
difusividad trmica c2
para al$unos materiales
comunes.
E,emplo -' +upn$ase 'ue una barra de lon$itud !=50 cm est inmersa en
vapor #asta 'ue su temperatura es u0=100 - . . En el tiempo t=0
su super!cie lateral es aislada y sus dos extremos se sumer$en en
#ielo a 0 - . . Calc)lese la temperatura de la barra en sus puntos
medios despus de media #ora si est #ec#a de ,a- #ierro ,b-concreto.
Sol&c")n' El problema con valores en la frontera para esta funcin de
temperatura de la barra u(t , x ) es*
ut=k uxx
u (0,x )=u (! , t)=0 "
u (x ,0 )=u0
Dnte$rando para obtener #n resulta*
u (x , t)=4u0
)
nimpar
1
nexp (n
2)
2c2
t
!2 )sen( n)x!)
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La !$ura .3.% muestra la $r!ca de u=u (x ,t) con u0=100 y
!=50 . Conforme t se incrementa se observa 'ue a
temperatura mxima de la barra ,evidentemente en su punto medio-decrece en estado permanente. La temperatura en el punto medio
x=25 despus de t=1800 se$undos es
u (25,1800 )=400
)
nimpar
(1 )n+1
n exp(18n
2)
2c2
25 )
a/Con el valor de c2
;.13 'ue se utili5 en la !$ura .3.% esta
serie proporciona
u (25,1800 )/43.85190.0029+0.0000/43.85 - .
Este valor u (25,1800 )/43.85 es la altura mxima ,en su punto
medio x=25 - de la curva seccional vertical u=u (x ,1800)
observando en un
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Con0"c"one$ 0e frontera a"$la0a.
Considrese a#ora el problema con valores en la frontera
u
t=k
2u
x2(0
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&( (+&=0 "
&( (0 )=0,&( ( ! )=0.(33)
Ana ve5 ms deben considerarse en forma separada las
posibilidades =0,=+20 para los
ei$envalores.
Con =0 la solucin $eneral de &( (=0 es &(x )=Ax+*
de tal manera 'ue &((x )=A . &s( las condiciones de frontera
dadas en ,""- re'uieren 'ue A=0 pero 'ue G sea diferente de
cero. /ebido a 'ue una constante m)ltiplo de una ei$enfuncines una ei$enfuncin puede seleccionarse cual'uier valor
constante 'ue se desee para * . /e este modo con *=1 se
tiene el ei$envalor cero y la ei$enfuncin asociada.
0=0,&0(x )=1(34)
Con =0 en la ecuacin ,2;- se obtiene '((t)=0 de tal
manera 'ue puede tomarse tambin '0(t)=1 .
Con =+2
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&(x )=Acos (+x )+*sen (+x)
&((x )=A+sen (+x )+*+cos (+x)
0or tanto &(
(0 )=0 implica 'ue *=0 y entonces
&((! )=A+sen (+! )=0
4e'uiere 'ue +! sea un m)ltiplo entero de ) debido a 'ue
+ 20 y A 20 si se tiene una solucin no trivial. /e esta
manera se tiene la sucesin in!nita de ei$envalores yei$enfunciones asociadas.
n=+n2=
n2)
2
!2 , &n(x )=cos ( n)x!)(35)
0ara n=1,2,3 :al como antes la solucin de la ecuacin ,2;-
con =n
2)
2
!2 es 'n (t)=exp(n
2)
2kt
!2 ) .
En consecuencia las funciones producto 'ue satisfacen lascondiciones #omo$neas son
u0(x , t)31 "un(x $ t)=exp(n2)
2kt
!2 )con( n)x!) (36 )
0ara n=1,2,3 0or consi$uiente la solucin de prueba es
u (x , t)=c0+n=1
cn exp(n2
)2
kt
!2 )con( n)x!)(37)
1"
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0ara satisfacerla condicin no #omo$nea u (x ,0 )=f(x )
obviamente se desea reducir la ecuacin ,"9- cuando t=0 a la
serie coseno de 4ourier
f(x )=a0
2+
n=1
ancos ( n)x!)(38)
/onde
an=2
!0
!
f(x ) cos ( n)x!)dx
0ara n=1,2,3 /e esta manera se tiene el resultado si$uiente.
E,emplo 1' Considrese la misma barra de 3; cm del ejemplo 2 pero a#orasupn$ase 'ue su temperatura inicial se proporciona por medio de la
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u
t=k
2u
x2
ux (0, t)=ux(50,t)=0
u (x ,0 )=f(x )
4eali5ando los clculos para obtener an se tiene
'ue
u (x , t)=501600
)2
n=1
1
n2exp(n
2)
2kt
2500 )cos ( n)x50)
La ! $ura .3.8 muestra la $r!ca de u u,x t- para los primeros12;; s en 'ue se observa 'ue la temperatura en la barra inicia conun mximo en el punto mediox 23 pero rpidamente