Post on 21-Apr-2020
FLUJO DE UN FLUIDO
A TRAVÉS DE UN
MEDIO POROSO CURSO: MODELACIÓN MATEMÁTICA
COMPUTACIONAL DE SISTEMAS TERRESTRES I
POSGRADOS: CIENCIAS DE LA TIERRA Y
CIENCIA E INGENIERIA DE LA COMPUTACIÓN
AUTOR: GUILLERMO DE J. HERNÁNDEZ G. UNAM
FLUJO DE UN FLUIDO EN UN MEDIO POROSO
Los supuestos generalmente adoptados para modelos de flujo de fluidos en un medio poroso son:
• El medio poroso es saturado por el fluido;
• La matriz sólida permanece en reposo durante el proceso de flujo de fluido;
• La matriz sólida es elástica;
• El fluido es compresible;
• Las velocidad de las partículas de fluido cumple con la ley de Darcy:
• La masa de fluido se conserva;
• El fluido no está sujeto a procesos de difusión, τ = 0.
EL MODELO BÁSICO PARA EL FLUJO DE UN FLUIDO A TRAVÉS DE UN MEDIO POROS
.,, producto el es modelo este de
única extensiva propiedad lascon asociada intensiva
propiedad La fluido. del densidad la es , Donde
,,
fluido. del masa la
:extensiva propiedad una soloen basado es modelo El
txtx
tx
dxtxtxtMtB
f
EL MODELO BÁSICO PARA EL FLUJO DE UN FLUIDO A TRAVÉS DE UN MEDIO POROS
0
a reduce se
modelo delecuación la 0, = g sistema, elen masa
genera se no que asumiendoy 0, = separadas, especies
hay no porquedifusión a sujeto está no fluido El
:es poroso medioun de travésa fluidoun de flujo el
para básico matemático modelo el tantoloPor
vt
gvt
EL MODELO BÁSICO PARA EL FLUJO DE UN FLUIDO A TRAVÉS DE UN MEDIO POROS
UvvU
Uv
gvt
1;
por asrelacionadson que es, velocidad
dos estas entre distinción laen cuidadoponer necesario Es
. Darcy, de velocidadlay , ,partículas las de velocidadla
:definidasser pueden es velocidadde clases Dos
:0 g
caso cuyoen as,distribuid externas fuentes incorporan se
entefrecuentem pozospor inyección o extracción para
asubterráne agua de regional flujo de estudiosEn
EL MODELO BÁSICO PARA EL FLUJO DE UN FLUIDO A TRAVÉS DE UN MEDIO POROS
incógnita. estado de variablesola una
tienefinalecuación la , velocidadla a aplicada estado de
variablemisma la de sen término en y en cambios los
describir paraaplican se vasconstituti relaciones otras Cuando
. ,hidráulica carga la presión, de estado de
variablela víarepresenta se velocidadla que laen ecuación
una a conduce modelo elen Darcy deley la den sustitució La
h
MODELADO DE LA ELASTICIDAD Y LA COMPRESIBILIDAD
• Bajo los supuestos dados, el producto ερ de las ecuaciones anteriores es función de la presión, exclusivamente. Para la aplicación de esas ecuaciones es necesario hacer más explícita la dependencia del producto ερ de la presión del fluido. En particular, la meta del siguiente desarrollo es expresar la derivada respecto al tiempo ερ en términos de la derivada de la presión respecto al tiempo.
• Entonces procedemos a descomponer la derivada respecto al tiempo de ερ en dos contribuciones: una debida a la compresibilidad del fluido y la otra debida a la elasticidad de la matriz sólida.
MODELADO DE LA ELASTICIDAD Y LA COMPRESIBILIDAD
es).individual granos los solo (no conjuntosu en sólida matriz
la de delasticida la deón contribuci una produce
términoel que mientras fluido, del lidadcompresibi
la deón contribuci una produce términoel Aquí
:aplicada es productoun de derivada la para fórmula la
cuandoón continuaci a inmediata esción descomposi Tal
t
t
ttt
MODELADO DE LA ELASTICIDAD Y LA COMPRESIBILIDAD
Compresibilidad del fluido
• Aquí se hará uso de del supuesto de que el
fluido satisface una ecuación de estado, que
permite expresar la densidad como función de
la presión, ρ(p), exclusivamente. Por otro lado,
en el procedo de flujo de un fluido la presión
es función de la posición x, y el tiempo t. No
obstante, el fluido se asume homogéneo, es
decir, satisface la misma ecuación de estado en
cada punto del espacio y del tiempo.
MODELADO DE LA ELASTICIDAD Y LA COMPRESIBILIDAD
Compresibilidad del fluido
1
por definido es cual el
fluido, del el representa Donde
11
:por definido es enteexplícitam másy ,
como conocido es cual el , parámetro el defineecuación Esta
:que implica cual Lo
,
por dada es tiempodely posición la defunción como densidad La
V
pecíficovolumen esV
dp
dV
Vdp
d
fluidolidad del compresibi
t
p
t
p
dp
d
t
txp
MODELADO DE LA ELASTICIDAD Y LA COMPRESIBILIDAD
Compresibilidad del fluido
dp
dV
Vdp
Vd
dp
d
dp
d
dp
d
V
pecíficovolumen esV
1lnlnln1
relación siguiente la usado ha se esdefinicion anteriores lasEn
masa. de unidadpor volumen el es específico volumen el que
:es palabrasen cual Lo
por definido fluido, del el representa
1
1
MODELADO DE LA ELASTICIDAD Y LA COMPRESIBILIDAD
Compresibilidad de poro
• El siguiente análisis es para entender el proceso que
produce y determina la compresibilidad de la matriz
sólida. Sea ptot la presión total (fuerza por unidad de
área) atribuible al sistema sólido fluido (asumiendo
estado de estrés isotrópico). Parte del sistema es
soportado por la matriz sólida y la otra por el fluido.
La notación pef (presión efectiva) es usada para el
soporte provisto por la matriz sólida.
• Entonces
ppp eftot
MODELADO DE LA ELASTICIDAD Y LA COMPRESIBILIDAD
Compresibilidad de poro
• La magnitud de ptot depende de las condiciones del ambiente que rodea al sistema medio poroso - fluido. Por ejemplo, si tal sistema lo constituye el suelo en el cual un edificio es localizado, ptot va a cambiar el edificio es removido. En el análisis que sigue se asume que las condiciones del ambiente que rodea el sistema poro-fluido no cambia, y la presión total no cambia durante el tiempo considerado en el análisis.
ppp eftot
MODELADO DE LA ELASTICIDAD Y LA COMPRESIBILIDAD
Compresibilidad de poro
• En problemas considerados en mecánica de
suelos e ingeniería de cimentaciones consiste
en estudiar las modificaciones en la
distribución de la presión del fluido producida
por un cambio en ptot debida a, por ejemplo, a
la construcción de obras civiles como
edificios. Un análisis similar no incluido aquí,
puede ser aplicado a tal problema.
ppp eftot
MODELADO DE LA ELASTICIDAD Y LA COMPRESIBILIDAD
Compresibilidad de poro
expande. se poro ely
,decremento sufre efectivapresión la
,incrementoun tieneporo depresión la cuando
:cambio o incrementoindicar para es símbolo el Aquí
0
:que implican observació Esta
efectiva.presión laen cambioun
por acompañado es fluido delpresión laen cambiocualquier
adoptado, es tiempodel nteindependie de supuesto el Cuando
totef
tot
ppp
p
MODELADO DE LA ELASTICIDAD Y LA COMPRESIBILIDAD Compresibilidad de poro
S
tottot
ef
SS
ef
S
Sef
tot
tot
tot
tot
tot
tot
S
V
dp
d
dp
dV
Vdp
dV
V
V
1
1y 1
que observa Se
1y
1
:por dados mente,respectiva
son, sólidos gramos los de lidadcompresibi
y sólida matriz la de lidadescompresibi Las
sólida matríz la de específicovolumen
sólida matriz la de densidad
sólido del específico volumen V
sólido material del densidad
:óncontinuaci a usada seránotación siguiente La
S
S
S
1-
tot
1-
S
MODELADO DE LA ELASTICIDAD Y LA COMPRESIBILIDAD
Compresibilidad de poro
1
ecuaciónanterior la usando escribirse puedeecuación Esta
11
:por términosegundo el
dividiendoy ndomultiplicay relación esta Derivando
11
1
identidad siguiente lacon inicia se análisis El
totS
tot
StotS
ef
ef
S
stot
S
ef
tot
tottot
S
ef
S
tot
S
S
S
V
V
dp
d
dp
dV
VV
V
dp
dV
VV
V
dp
d
V
v
V
MODELADO DE LA ELASTICIDAD Y LA COMPRESIBILIDAD
Compresibilidad de poro
sólida. matriz la forma que sólido material del volumen el
en cambio el quemayor mucho es poros devolumen
elen cambio el cuando cumple secondición Esta
1
:desprecia se entoncesy , Usualmente
1
entonces Y
1
anterior lo De
t
p
dt
d
t
p
t
p
dp
d
dt
d
dp
d
dp
d
tot
SStot
Stot
Stot
ef
MODELADO DE LA ELASTICIDAD Y LA COMPRESIBILIDAD
Coeficiente de almacenamiento
ρq g
g
qgvgt
pS
ionaln gravitacaceleracióg
gS
S
t
p
dt
d
S
StotS
S
Stot
subtrránea hidrologíaen usual es que forma unapor
sustituida sido ha , masa, de externo suministro derazón la donde
ˆˆ
como ahora que planteada teinicialmen balance deecuación La
la es ˆ donde
1ˆ
como definido es , , específico entoalmacenami de ecoeficient El
1
así queda producto del derivada la ,anteriores resultados losCon
LEY DE DARCY
• Esta ley es una ecuación constitutiva que relaciona la velocidad del fluido y la distribución espacial de presión del fluido. Fue establecida en el siglo diecinueve por el ingeniero francés Henri Darcy para flujo saturado unidimensional a través de arena, y desde entonces ha sido generalizada para considerar regímenes de flujo más complicados; en particular ,
• en forma generalizada, también es ahora usada para describir flujo multifásico en medios porosos anisotrópicos. Aquí consideramos el caso en que el fluido tiene solo una fase; el flujo multifásico se discute en temas avanzados.
LEY DE DARCY
• Generalmente, cuando la matriz sólida es anisotrópica, el
medio poroso tiene direcciones preferenciales para el flujo de
fluidos. En este caso general, la Ley de Darcy para un fluido
monofásico es dado por la ecuación
Darcy de velocidadla es
el es
fluido del cos la es
)(un vector gravedad la a debidan aceleració la es ˆ
donde
ˆ1
U
intrínsecadadpermeabilitensor de k
dinámicaidadvis
g
gpkvU
LEY DE DARCY
• El tensor de de permeabilidad intrínseca, k es una matriz simétrica y positiva definida.
• Es notable la similitud entre esta la ley de Darcy y las Leyes de Fourier(flujo de calor) y de Fick (flujo de masa de soluto). Sin embargo en la ley de Darcy, la fuerza de la gravedad juega un un papel especial, algo que no sucede en las otras dos leyes.
• También debe notarse que en flujos en los que la ley de Darcy aplica, la presión del fluido es siempre continua. Esto es necesario porque de otra forma el gradiente de la presión sería de magnitud infinita, y también lo serían las velocidades del fluido.
LEY DE DARCY
• Según se estableció la ecuación aplica en el
caso general en que la matriz porosa puede ser
anisotrópica.
• En el caso particular en que la matriz sólida es
isotrópica no hay direcciones preferenciales de
flujo debidas a la matriz porosa, y el tensor de
permeabilidad intrínseca tiene la forma
Ikk
LEY DE DARCY
0. >k si soloy si definido positivo
es intrínseca dadpermeabili de tensor El
escalar.un esk intrínseca dadpermeabili la
forma la tieneintrínseca dadpermeabili
de tensor el ,isotrópica es sólida matriz la Si
Ikk
LEY DE DARCY
gravedad. la de
n aceleració la de magnitud la es donde
ˆˆ
es gravedad la a debidan aceleració La
dado. referencia de nivelun a
respectocon elevación la es z(x) entonces
físico, espacio del x cualquiera puntoun Dado
zgg
LEY DE DARCY
Darcy de velocidadlaexpresar para petrolera industria la
en usadas comúnmenteson para ecuaciones anteriores Las
ˆ1
:isotrópica es sólida matriz la cuandoy
;3,2,1;ˆ
:indicialnotación usando
ˆ1
:esDarcy deley la paraecuación La
3
2
1
U
zgpkU
U
U
U
Uix
zg
x
pkU
zgpkU
jj
ij
i
NIVEL PIEZOMÉTRICO
zg
ppzpH
zd
gzpH
p
p
ˆ,
:como quedaecuación la entoncesy de
nteindependie constante una es )( ble,incompresi es fluido el cuando
ˆ
1,
:auxiliar
función una de definición lacon iniciar puede se ón,introduccisu Para
útil.muy es copiezométri nivel o capiezométri carga de conceptos
los a,subterráne agua del hidrología la de estudio elen nteespecialme
porosos, medios de travésa flujo el modela se Cuando
0
0
NIVEL PIEZOMÉTRICO
xzg
ptxptxh
xzd
gtxh
xztxpHtxh
txp
p
ˆ
,,
bleincompresi es fluido el cuando
ˆ
1,
enteexplícitam más o
,,,
:como t),h(x, co,piezométri nivel el definimos saturado,
poroso medioun de x puntocualquier y t tiempocualquier En
0
,
0
NIVEL PIEZOMÉTRICO
t
hg
t
p
ˆ
escribir podemosanterior ecuación laen baseCon
a.subterráne hidrologíaen usada eampliament esecuación última la
esto a Debido normales. scondicione bajo ecompresibl poco es agua El
NIVEL PIEZOMÉTRICO
hKU
kg
K
licadad hidráuconductivitensor de
hkg
U
hgzgp
comoescribir puede se previaecuación lay
ˆ
como definido es el donde
ˆ
como escritaser puede esta
ˆˆ
:es extensivo, usosu motiva vez
su a que co,piezométri nivel del importante propiedad Otra
NIVEL PIEZOMÉTRICO
Darcy. de velocidadlaexpresar para asubterráne hidrologíaen
usadas comúnmenteson para ecuaciones anteriores Las
:isotrópico caso al laaplicaándoy
ˆ
como definida es lay
ˆ
,isotrópica es sólida matriz la Cuando
U
hKU
kg
K
ulicaidad hidrá conductiv
IKIkg
K
ECUACIÓN GENERAL GOBERNANTE PARA EL FLUJO A TRAVÉS DE UN MEDIO POROSO
qUUt
hS
qUt
hS
t
hg
t
pqgvg
t
pS
S
S
S
ln
es que
:producen n,combinacióen que mismas
ˆ,ˆˆ
:ecuaciones siguientes las obtuvieron se previas secciones lasEn
1
ECUACIÓN GENERAL GOBERNANTE PARA EL FLUJO A TRAVÉS DE UN MEDIO POROSO
a.subterráne hidrología de menteparticular
es,aplicacionen enteextensivam usada es que básica ldiferenciaecuación la es Esta
.
obtiene se
ecuación anterior laen incorpora seDarcy deley la ndoporoso.Cua medioun en
monofásico fluidoun de flujo de modelosderivar para usado es resultado Este
.
entoncesy 1ln
moderadaDarcy de velocidadlay ecompresibl poco es fluido el Cuando
qhKt
hS
qUt
hS
U
S
S
ECUACIÓN GENERAL GOBERNANTE PARA EL FLUJO A TRAVÉS DE UN MEDIO POROSO
. donde
.K
como escritaser puede su vez a Que
.
:notación la aplicando O
.
:posición la de ntesindependieson spropiedade sus homogénea, es sólida matriz la Si
.
:isotrópico es poroso medio el Cuando
2
2
S
S
S
S
SK
qh
t
h
qhKt
hS
qhKt
hS
qhKt
hS
gobernante ldiferencia ecuación la de especiales Formas
ECUACIÓN GENERAL GOBERNANTE PARA EL FLUJO A TRAVÉS DE UN MEDIO POROSO
aplican. se también ecuaciones anteriores lasy anula se
tiempoal respecto derivada la io,estacionar estado de problemasen lado, otroPor
.Ky
.y
.
:0 Entonces
ble.incompresi es poro -fluido sistema el cuando es especial interés de caso Otro
0
:0=q cuando calor, delecuación laen ormadaser transf puede
t,t que elen variable,de cambioun por si d,similarida dey
ldimensiona análisis del aperspectiv la desde interés ieneecuación t La
qh
qhK
qhK
S
ht
h
S
PROBLEMAS BIEN PLANTEADOS Introducción
• La clase de problemas que son bien planteados para
los modelos es determinada por el tipo de ecuación
diferencial gobernante. En el caso de flujo a través de
medios porosos, dos tipos de ecuaciones diferenciales
serán encontradas: parabólicas y elípticas. Para el
caso dado por la ecuación
.qhKt
hSS
PROBLEMAS BIEN PLANTEADOS Introducción
• La anterior es una ecuación diferencial parcial parabólica, siempre
que SS > 0, porque el tensor de conductividad hidráulica, K, es
siempre una matriz positiva definida.
• Sin embargo cuando SS = 0 y para modelos de estado estacionario, la
ecuación diferencial gobernante se reduce a una ecuación diferencial
parcial de tipo elíptico. Estos dos tipos de ecuación también ocurren
cuando se estudia el transporte de solutos por un fluido libre descrito
en el capítulo correspondiente y, consecuentemente, la discusión
siguiente es muy similar a la presentada allí.
• Sin embargo, a pesar de las similitudes entre los modelos
matemáticos gobernando estos dos tipos de sistemas hay diferencias
significativas entre la física que debe ser entendida.
PROBLEMAS BIEN PLANTEADOS Introducción
• La ecuación gobernante para transporte de un soluto por un fluido libre es
de tipo parabólica; cuando es comparada con la de flujo exhibe diferencia
relevantes que reflejan los dientes principios físicos que intervienen.
• Una muy importante, que tiene implicaciones significantes en su
tratamiento numérico y en las propiedades de las soluciones numéricas
resultantes, es el hecho de que la ecuación de transporte tiene un término de
advección (o convección), cv, que está ausente en la ecuación de flujo.
• Debido a este hecho, el operador diferencial envolviendo las coordenadas
espaciales asociadas con la ecuación de flujo es un operador simétrico,
mientras que es no-simétrico para la ecuación de transporte.
• El coeficiente de la derivada de segundo orden es el escalar D, en la
ecuación de transporte, mientras que es una matriz K en la ecuación de
flujo.
PROBLEMAS BIEN PLANTEADOS Modelos de estado estacionario
• Para empezar, se considerarán los problemas bien planteados
para modelos para estado estacionario, para los cuales las
ecuaciones diferenciales gobernantes son de tipo elíptico. En
este caso los problemas bien planteados son problemas de
valores a la frontera que buscan obtener una función h(x) que
satisfaga las ecuaciones gobernantes para flujo estacionario en
un dominio Ω en el espacio físico y que satisface condiciones
de frontera en su frontera ∂Ω.
PROBLEMAS BIEN PLANTEADOS Modelos de estado estacionario
frontera la de travésa dominio del fuera fluye que
área, de unidadpor co volumétriflujo el es
1
,
:forma siguiente lacon
; como conocida una
es frontera decondición de clase general más La
ecuación la Para
22
nxU
xxxhxnxU
a Robinde frontercondición
qhK
PROBLEMAS BIEN PLANTEADOS Modelos de estado estacionario
xxxhxn
hK
xxxhxxhKn
,
isotrópico es poroso medio el Cuando
,
:sustituye seDarcy deley la Si
PROBLEMAS BIEN PLANTEADOS Modelos de estado estacionario
xxnxU
xxhxh
,
esecuación su y
0)=( dogeneralizaNeumann problema al ecorrespond Robin, de
dageneraliza frontera decondición la de extremo caso otro El
,
esecuación su y 0)=(Dirichlet problema al ecorrespond Una
Robin. de
dageneraliza frontera decondición la de extremos casos dosHay
prescrito ovolumétric flujo con Problemas
prescrita capiezométri carga con Problemas
PROBLEMAS BIEN PLANTEADOS
Problemas dependientes del tiempo
• La ecuación diferencial gobernante para problemas
dependientes del tiempo cuando SS>0 es parabólica. Entonces
los problemas bien planteados problemas con valores iniciales
y de frontera, que buscan una función h(x,t) que satisfaga la
ecuación de transporte en el dominio Ω, junto con condiciones
de frontera definidas en un intervalo de tiempo especificado.
• Estas condiciones de frontera pueden ser cualquiera de las
definidas para estado estacionario. Además la función h(x,t)
debe satisfacer adicionalmente las condiciones iniciales
xxhxh ,0, 0
MODELOS CON UN NÚMERO DE DIMENSIONES ESPACIALES REDUCIDO
Introducción • En toda la discusión hasta aquí, el espacio físico ha sido
modelado como un espacio euclidiano tridimensional (3-D).
En algunos problemas de ingeniería y ciencia es útil aplicar
modelos bidimensionales y unidimensionales, esto se justifica
por razones que dependen del problema considerado.
• Por ejemplo en hidrología subterránea las dimensiones
horizontales de los acuíferos son frecuentemente mucho
mayores que su espesor y, cuando se estudian, las variaciones
de parámetros como carga piezométrica en la dirección vertical
son tan pequeñas que pueden ser despreciadas.
• Para el uso de los modelos simplificados en forma
confiable se necesita información sobre su rango de
aplicabilidad, que se adquieren por medios teóricos o
empíricos. Frecuentemente el análisis teórico de los
errores introducidos por modelos con un número de
dimensiones reducido es tan complicado que no es
práctico llevarlo a cabo, y entonces los únicos medios
para establecer los rangos de aplicabilidad son
empíricos.
MODELOS CON UN NÚMERO DE DIMENSIONES ESPACIALES REDUCIDO
Introducción
• Hay unos pocos modelos de dimensión
reducida que son basados en completos y poco
complicados fundamentos teóricos. A
continuación se describe un ejemplo cuyo
análisis es también útil para introducir e
ilustrar en forma natural algunas ideas y
conceptos que son básicos para esa clase de
modelos.
MODELOS CON UN NÚMERO DE DIMENSIONES ESPACIALES REDUCIDO
Introducción
• Considérese el acuífero
confinado de la figura, los
siguientes supuestos son
adoptados:
1. Su espesor es uniforme;
2. El acuífero es verticalmente
homogéneo (las propiedades del
material que constituyen la
matriz sólida no dependen de su
coordenada vertical;
MODELOS CON UN NÚMERO DE DIMENSIONES ESPACIALES REDUCIDO
Derivación teórica de un modelo bidimensional para un acuífero confinado
3. La dirección vertical es un eje de
simetría para el tensor de
conductividad hidráulica (es decir,
cualquier vector en la dirección
vertical es un vector propio de la
matriz de conductividad hidráulica); y
4. El estrato que constituye el acuífero es
limitado por dos estratos de baja
permeabilidad y sobreyaciendo y
subyaciendo (es decir, el acuífero es un
acuífero confinado)
MODELOS CON UN NÚMERO DE DIMENSIONES ESPACIALES REDUCIDO
Derivación teórica de un modelo bidimensional para un acuífero confinado
b.z0 que el para
espacio delporción esa ocupa acuífero el que Asumimos
z
definimos,,por dado es espacio del punto cada
cual elen Cartesiano scoordenada de sistemaun Tomando
3
321
x
xxxx
qz
U
x
U
t
hS
bUUnxU
a
S
32
1
33
así escribe se flujo deecuación la Ahora
00 entonces ,0 si Entonces
MODELOS CON UN NÚMERO DE DIMENSIONES ESPACIALES REDUCIDO
Derivación teórica de un modelo bidimensional para un acuífero confinado
MODELOS CON UN NÚMERO DE DIMENSIONES ESPACIALES REDUCIDO
Derivación teórica de un modelo bidimensional para un acuífero confinado
dzqQybdzSS
da de áreado por unital extraivolumen to
enamientoe de almaccoeficient
dzqdzx
Udzh
tS
U
bzz
bb
S
bb
a
b
S
00
0
2
100
por dadosson
ely El
para sexpresione lascon y
, hasta 0 desdeecuación la Integrando
MODELOS CON UN NÚMERO DE DIMENSIONES ESPACIALES REDUCIDO
Derivación teórica de un modelo bidimensional para un acuífero confinado
. la es donde
:es hidráulica dadconductivi
de tensor del simetría la asumiendo Darcy, deley La
1;
1
:por dadasson
promedio velocidadlay promedio capiezométri carga La
esdefinicion las Usando
2
1
ntaldad horizoconductiviK
x
hKU
dzUb
Uyhdzb
h
Qx
Ub
t
hS
H
H
b
o
b
o
a
MODELOS CON UN NÚMERO DE DIMENSIONES ESPACIALES REDUCIDO
Derivación teórica de un modelo bidimensional para un acuífero confinado
H
aa
bKT
Tilidadtransmisib
Qx
hT
xt
hS
es,, la donde
en a transformse flujo deecuación laanterior loen baseCon
2
1
MODELOS CON UN NÚMERO DE DIMENSIONES ESPACIALES REDUCIDO
Derivación teórica de un modelo bidimensional para un acuífero confinado
• La ecuación de flujo obtenida es una ecuación
exacta para la carga promedio y de allí que
cuando es sujeta a condiciones inicial y de
frontera apropiadas, hace posible en principio,
obtener los valores exactos de la carga promedio.
Cuando las variaciones de carga a través del
espesor del acuífero son pequeñas, su promedio
vertical constituye una buena aproximación de su valor en cualquier punto a través del acuífero.
MODELOS CON UN NÚMERO DE DIMENSIONES
ESPACIALES REDUCIDO
Método para flujo de acuitardos filtrantes
• En 1960 M. S. Hantush planteó la posibilidad de que el
material sobre la frontera superior de un acuífero pueda ser
permeable, y de permeabilidad baja (de un acuitardo). Bajo
estas circunstancias el agua puede entrar al acuífero a través
de filtración vertical.
MODELOS CON UN NÚMERO DE DIMENSIONES
ESPACIALES REDUCIDO
Método para flujo de acuitardos filtrantes
• En la figura se ilustra el sistema cuyo análisis se toma de
Pinder y Celia, 2006. En el sistema el acuífero es limitado por
arriba por una capa de baja permeabilidad (capa A). Esta capa
es capaz de proveer agua al acuífero vía filtración vertical. La
base del acuífero limitada también por una capa de baja
permeabilidad (capa B).
MODELOS CON UN NÚMERO DE DIMENSIONES
ESPACIALES REDUCIDO
Método para flujo de acuitardos filtrantes
• Bajo este acuitardo hay una capa casi impermeable. Se asume
que el agua en as capas de baja permeabilidad se mueve solo
verticalmente. Sobre la capa A hay un acuífero sin bombeo que
mantiene una carga constante durante la prueba de bombeo. Se
asume que el acuífero es de espesor constante, de extensión
infinita y homogéneo.
MODELOS CON UN NÚMERO DE DIMENSIONES
ESPACIALES REDUCIDO
Método para flujo de acuitardos filtrantes
mente.respectiva
B,y A capas las de shidráulica dadesconductivi lasson y donde
0,,1
,
:obtenida la varianteuna es sistema el describe que flujo deecuación La
2
2
KK
z
h
T
K
z
h
T
Ktrh
tT
Strh
rrtrh
r
BA
mente.respectiva
B,y A capas las de entoalmacenami de escoeficient losson y donde
0,,
0,,
:acuitardo elen carga de oriaón transitdistribuci ladescribir
para usa se osubterráne flujo deecuación la de onalunidimensi forma La
SS
tzhzz
tzhtbK
S
tzhzz
tzhtbK
S
BB
AA
MODELOS CON UN NÚMERO DE DIMENSIONES
ESPACIALES REDUCIDO
Método para flujo de acuitardos filtrantes
• La solución de este conjunto de ecuaciones
requiere condiciones iniciales y de frontera
paracada una de las variables de estado h, hA y
hB. Se define al abatimiento s=H-h y sn=Hn-hn,
donde n=A, B; y H, y Hn son los valores de
carga inicial del sistema. Las condiciones de
frontera y las condiciones iniciales se pueden
establecer a continuación:
MODELOS CON UN NÚMERO DE DIMENSIONES
ESPACIALES REDUCIDO
Método para flujo de acuitardos filtrantes
figura. laen definen se ,,,, donde
,,,
es base laen y
0,,
es frontera decondición lasuperior acitardo el Sobre
00,,
es inicialcondicion lasuperior acuitardo el Para
4321
3
4
zzzz
trstzrs
tzrs
zrs
A
A
A
T
Q
r
sr
trs
r
r
r
2lim
es pozo deln perforació pequeña nteinfinitame elen frontera decondición La
0,lim
es en frontera decondición lay
0r,0s
es inicialcondición la acuífero el Para
MODELOS CON UN NÚMERO DE DIMENSIONES
ESPACIALES REDUCIDO
Método para flujo de acuitardos filtrantes
• El significado físico de esta relación se ve por la
multiplicación cruzada de r y T. ahora se puede ver que el flujo
al pozo es balanceado por el flujo a través del perímetro del
pozo, con una circunferencia de 2πr.
0
,,s
es base laen y
,,,
es )( frontera decondición lainferior acuitardo del topeelEn
.00,,
es inicialcondición la inferior, acuitardo el Para
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1
2
2
z
tzr
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zz
zrs
B
B
MODELOS CON UN NÚMERO DE DIMENSIONES
ESPACIALES REDUCIDO
Método para flujo de acuitardos filtrantes
• Una solución para tiempos cortos a este sistemas de ecuaciones fue
sugerido por Hantush y es discutido por Batu, 1998.
2
1
2
12
4;
4
erfc,
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essolución la de forma La
1010
son rtos tiemposcoparasolución la de aplicación la para necesarias scondicione Las
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donde
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y
MODELOS CON UN NÚMERO DE DIMENSIONES
ESPACIALES REDUCIDO
Aproximación de ecuaciones integrodiferenciales
• La aplicabilidad de de las soluciones de Hantush es restringida a periodos cortos de tiempo. Esta clase de solución analítica es útil en hidrología subterránea cuando el análisis de un solo pozo se lleva a cabo, tal como en interpretación de pruebas de bombeo, en las cuales la restricción de tiempos cortos es frecuentemente satisfecha. Neuman y Witherspoon (1969) desarrollaron una solución que no está sujeta a tales restricciones. Por otro lado, los cálculos de filtraje transitorio son necesarios en el análisis de sistemas acuíferos regionales en el cual el flujo del agua subterránea en unidades confinantes es una componente significativa del total del balance de agua.
MODELOS CON UN NÚMERO DE DIMENSIONES
ESPACIALES REDUCIDO
Aproximación de ecuaciones integrodiferenciales
• En tales casos hay que apoyarse con códigos computacionales basados en modelos numéricos (Leake, S. A., P. Leahy, A. S. Navoy, 1994). Un minucioso y profundo estudio basado en ecuaciones integrodiferenciales, que ha sido una base para la construcción de modelos numéricos regionalesde sistemas acuíferos semiconfinados fue introducido y desarrollado por Herrera y colaboradores: Herrera, I. y V. Figueroa,1969; Herrera, I, 1970; Herrera, I and L. Rodarte , 1973; Herrera, I, 1974; Herrera, I and R. Yates,1977; Herrera, I, J.P. Hennart and R. Yates, 1980.
MODELOS CON UN NÚMERO DE DIMENSIONES
ESPACIALES REDUCIDO
Aproximación de ecuaciones integrodiferenciales
• Aquí se explicará la aproximación por ecuaciones
integrodiferenciales para el sistema de dos acuíferos
separados por un acuitardo mostrado en la figura. Por
simplicidad se discutirán solo las ecuaciones que
gobiernan el acuífero 1, y similares ecuaciones aplican
al acuífero 2.
MODELOS CON UN NÚMERO DE DIMENSIONES
ESPACIALES REDUCIDO
Aproximación de ecuaciones integrodiferenciales
0
2
2
2
21
que implica flujo deecuación la acuíferoprimer el para
, o,abatimient del sen término que implica flujo deecuación La
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2
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MODELOS CON UN NÚMERO DE DIMENSIONES
ESPACIALES REDUCIDO
Aproximación de ecuaciones integrodiferenciales
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tt
0,00,,00,
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0,0,1,0
a sujetasy anterior
ecuación lacon cumple que auxiliares funcionesson ,,
,,,,,,,,,
:1973) Rodarte,y Herrera(ver
Duhamel de integrales las de mediopor expresadaser puedesolución su
planteado;bien está definido problema el dados,son ,,y ,, Cuando
2. acuífero al refiere se 2 subíndice ely
acuitardo, del spropiedade distinguir para usadasson primas las siguiente loEn
0
2
0
2
MODELOS CON UN NÚMERO DE DIMENSIONES
ESPACIALES REDUCIDO
Aproximación de ecuaciones integrodiferenciales
,0,0
,,,,,,
1973 I., Herrera, véaseecuación anterior la mediante
s evaluandoy para dada definición la Aplicando
(1973), Rodartey Herreraen dada es
frontera dey iniciales valoresde problemas estos desolución La
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22
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MODELOS CON UN NÚMERO DE DIMENSIONES
ESPACIALES REDUCIDO
Aproximación de ecuaciones integrodiferenciales
2. acuífero el parasimilar ecuación unacon acoplada esecuación última esta general,En
,,,,
1
así queda gobernante flujo deecuación La
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adacomplement es cuando nteseparadame resueltaser puede Y
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a reduce se flujo deecuación la 0)2( tiempodel travésa
doimperturba permanece 2 acuífero del capiezométri carga la cuando embargoSin
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2
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MODELOS CON UN NÚMERO DE DIMENSIONES
ESPACIALES REDUCIDO
Aproximación de ecuaciones integrodiferenciales
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22
21
222
211
21
:esequivalent
sexpresione dos tienefunción la homogéneo acuífero sistemaun Para
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:corto mentesificiente es tiempoel Cuando
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MODELOS CON UN NÚMERO DE DIMENSIONES
ESPACIALES REDUCIDO
Aproximación de ecuaciones integrodiferenciales
1
222 222
21
es relevante es que expresar de manera Otra
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1960). S., M. (Hantush, largos emposHantush ti
por dadasolución la esecuación esta de exactasolución La
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siguiente forma la tomaflujo deecuación la resultado esteen baseCon
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MODELOS CON UN NÚMERO DE DIMENSIONES
ESPACIALES REDUCIDO
Aproximación de ecuaciones integrodiferenciales
1
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121
por dada es función La .00,,
es 1 acuífero del oabatimient el para
inicialcondicion la que asume se sigue que loEn
n
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MODELOS CON UN NÚMERO DE DIMENSIONES
ESPACIALES REDUCIDO
Aproximación de ecuaciones integrodiferenciales
Dirac de delta3
por dado es largos tiemposparaHantush por provistasolución laEn
1994). al,et A., S. Leake, 1977; Yates,(Herreray
dosdesarrolla sidohan n integració de espaciales tosprocedimen algunos
erencialesintegrodif ecuaciones las de eficiente numérico uso el Para
22 bbg
g
.31
:porque es Esto ocurre. oabatimient el cuando amenteinstantáne
liberado es acuitardo del completo entoalmacenami el que significaón aproximaci Esta
0
22
dbgb
MODELOS CON UN NÚMERO DE DIMENSIONES
ESPACIALES REDUCIDO
Otros modelos bidimensionales para acuíferos
• Cuando se están desarrollando modelos aproximados, se deben distinguir dos etapas:
1. La formulación del modelo; y
2. La evaluación del error.
• Por definición, un modelo aproximado debe predecir el comportamiento del
sistema excepto para pequeños errores, dentro de un rango apropiado de
aplicaciones. En muchos procedimientos para derivar modelos
aproximados las dos etapas están cercanamente relacionadas, de modo que
es difícil separarlas. Sin embargo hay casos en los que la formulación es
bastante independiente de la evaluación del error. Este es el caso cuando el
modelo aproximado propuesto es sugerido no tanto por el análisis matemático como por la experiencia práctica.
MODELOS CON UN NÚMERO DE DIMENSIONES
ESPACIALES REDUCIDO
Otros modelos bidimensionales para acuíferos
• Un procedimiento que produce una más amplia clase de modelos de acuíferos que
los presentados para acuíferos semiconfinados, es basado en la aplicación del
método axiomático, en el espacio bidimensional, para derivar modelos de sistemas
continuos. Usándolo es posible obtener modelos bidimensionales que pueden ser
aplicados no solo a acuíferos semiconfinados, sino también a los no- confinados. Ellos se basan en los siguientes supuestos.
1. El acuífero es verticalmente homogéneo;
2. La dirección vertical es un eje de simetría para el tensor de conductividad hidráulica;
3. El acuífero es confinado en su base por una capa impermeable, y puede ser confinado o no-confinado en su superficie superior;
4. Cada sección vertical del acuífero está en equilibrio hidrostático, es decir, la carga piezométrica, h, es independiente de la elevación z; y
5. El fluido es incompresible.
MODELOS CON UN NÚMERO DE DIMENSIONES
ESPACIALES REDUCIDO
Otros modelos bidimensionales para acuíferos
nales.bidimensio
cuerposán considerar se sdimensione dosen axiomático método elaplicar Para
. de ntesindependie e eshorizontaln son tambié fluido de partículas las de es velocidadLas
,,
:por dada esy , de nteindependie ,horizontal esDarcy de velocidadla Además
modelo. del derivación la durante )21(escribir puede sey y
scoordenada dos las defunción es solo capiezométri carga la dados, supuestos los Bajo
21
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txhKtxUv
z
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MODELOS CON UN NÚMERO DE DIMENSIONES
ESPACIALES REDUCIDO
Otros modelos bidimensionales para acuíferos
.,0con junto que tales puntos
sus unode cada decondición lapor adocaracteriz es cilindro El . tienpoelen y en
cilindro del altura la especifica quefunción una es , Aquí ., es alturasu y es base cuya
cilindroun es ional tridimenscuerpo Este figura).(ver asociado es ional tridimenscuerpoun
nalbidimensio cuerpo cadaCon . fluido de partícula de velocidadlacon mueve se
que nalbidimensio plano del dominioun tiempocualquier en ocupa así cuerpoCualquier
nales.bidimensio cuerposán considerar se sdimensione dosen axiomático método elaplicar Para
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MODELOS CON UN NÚMERO DE DIMENSIONES
ESPACIALES REDUCIDO
Otros modelos bidimensionales para acuíferos
especies. las deión concentrac la de ni ra temperatula de ni
función es noy bleincompresi es fluido el que ya constante es fluido, del densidad la
, que yde acuífero del verticaladhomogeneid la de supuesto el uso hecho ha se donde
,,,
por dada es cilindro eseen contenido fluido de masa La
0
tBtB
b
f dxtxtxbdxdztxM
extensiva. propiedad única la como masa asumiendo axiomático método elpor
derivará se deseado nalbidimensio modelo ely , sobre áres de integral una como
dada definición lapor dada masa la asocia se nalbidimensio cuerpo cadaCon
tB
tB
MODELOS CON UN NÚMERO DE DIMENSIONES
ESPACIALES REDUCIDO
Otros modelos bidimensionales para acuíferos
tzxtxb,tx ,,,
:decir es
,definición la de integrando ientecorrespond el es asociada intensiva propiedad La
tiempo.de unidadáreapor de unidadpor totalextracción de volumen el es
,,,
,,,
es global masa de balance deecuación La
txqtxbtxQ
donde
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MODELOS CON UN NÚMERO DE DIMENSIONES
ESPACIALES REDUCIDO
Otros modelos bidimensionales para acuíferos
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en convierte seecuación La
MODELOS CON UN NÚMERO DE DIMENSIONES
ESPACIALES REDUCIDO
Otros modelos bidimensionales para acuíferos
ón.aproximaci diferente una usando flujo deecuación la recuperado ha se Donde
a reduce seecuación lay Entonces tiempo.del nteindependie es
acuífero, delespesor el , donde ;confinados acuiferos a es primera La
es.aplicacion doshacen se resultado este De
QhTt
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b
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MODELOS CON UN NÚMERO DE DIMENSIONES
ESPACIALES REDUCIDO
Otros modelos bidimensionales para acuíferos
libre superficie de acuíferos de to tratamienel para
regionales estudiosen aplicada entefrecuentem esecuación Esta
:en convierte se olinealizadser puede
tiempo,del nteindependie , fijoun valor a cercana es capiezométri carga la Cuando
dad.aplicabili de orestringid rangoun tienelineal-no suformaen y
;literatura laen conocidabien lineal-noecuación una es Esta
es.ecuación la , donde libre; acuiferoes el cuando esón aproximaci otra La
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