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= Flujo laminar a través de una placa plana=
USO DE LA DINÁMICA DE FLUIDOS COMPUTACIONALES
PARA EN ANÁLISIS DE FLUJO SOBRE UNA PLACA
PLANA.
Por ROJAS CONTRERAS FERNANDO.
8AM2
1. Planteamiento del problema.
Se tiene una placa plana tal como muestra la siguiente imagen, y se pretende realizar una
simulación de CFD para determinar las características del flujo sobre ella con la finalidad
de comparar los resultados obtenidos con los que se calculan analíticamente, para así
llegar a una validación y análisis de dichos resultados.
Figura 1. Desarrollo de la capa límite sobre una placa plana de longitud x bajo la acción
de una velocidad de flujo libre U.
2. Considerando una malla estructurada de elementos cuadrangulares.
a) Para éste primer caso, se desarrollarán los cálculos considerando un dominio con las
siguientes características.
Número de Reynolds Re=380 [1]
Longitud de la placa L=1m
Altura del Dominio H=2.56m ≈ 3m [2]
#Divisiones a lo largo de la placa 100
#Divisiones para las fronteras verticales Factor Bias de aglutinamiento
50 298
Número de celdas dentro del dominio de la capa límite
21
Tipo de flujo Laminar e Incompresible
Velocidad del flujo libre sin perturbar V=1 m/s
Densidad del fluido ρ= 1 kg/m3
Viscosidad dinámica µ= 1/380 kg/m*s
Criterio de convergencia utilizado 1E-6
Número de iteraciones para encontrar la solución convergente
698
1 Para determinar éste valor, se tomó en cuenta el número de lista (29) y realizando la operación:
Re=90+10(29). 2 Para determinar éste valor del dominio se hizo uso de la expresión H=10*δ
La relación analítica que define la estimación del espesor de la capa límite, en función del
99% de la velocidad del flujo es:
√
√
Ahora bien, una vez definidos los parámetros para la simulación, se obtienen los
siguientes perfiles de velocidad.
Figura 2. Crecimiento de la capa límite a lo largo de la placa plana, nótese que se cumple
la condición teórica que en el borde de ataque la velocidad es cero, así también sobre la
superficie de la misma placa.
Figura 3. Perfiles de velocidad independientes a la mitad y al final de la placa.
Con la finalidad de hacer una comparación más objetiva y poder analizar de una manera
más clara el comportamiento de éstos perfiles de velocidad se construyó la siguiente
gráfica en la que se superponen ambas curvas que definen precisamente el
comportamiento de la velocidad en su componente longitudinal (dirección x) respecto al
crecimiento de la capa límite.
Como se puede observar el espesor de la capa límite es menor a la mitad de la placa e irá
decreciendo conforme se aproxime al borde de ataque debido a que éste valor depende
del número de Reynolds, el cual a su vez está en función de la distancia al borde de
ataque.
Al obtener la información del aumento de velocidad en función del crecimiento de la capa
límite es posible obtener una aproximación de éste valor mediante una interpolación lineal
al final de la placa, es decir:
Velocidad en su componente x Espesor de la capa límite
0.964132 0.121351
0.99 [3] 0.128014
1.02652 0.137421
Como se puede ver, éste valor difiere del calculado mediante la expresión analítica de
Blasius al inicio de éste análisis.
Espesor de la capa límite analítica (Blasius). Espesor de la capa límite numérica (FLUENT).
0.2565 0.128
Considerando éstos valores se puede decir que la solución numérica tiene un error
relativo porcentual de 50.09% respecto al valor teórico.
3 Se utiliza el valor correspondiente al 99% del valor de la velocidad del flujo libre sin perturbar, ya que
teóricamente a éste valor corresponde el espesor de la capa límite.
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Esp
eso
r d
e la
cap
a lím
ite
[m
]
velocidad del flujo [m/s]
x=1m
x=0.5m
Ya que se tiene el valor del espesor de la capa límite para el perfil de velocidades al final
de la placa es importante comparar dicha distribución de velocidad con la solución
analítica de Blasius. Cabe mencionar que resulta sumamente complicado encontrar una
solución a la ecuación de Blasius de manera analítica, por lo cual se utiliza el método de
diferencias finitas a la ecuación diferencial de segundo grado y posteriormente el
algoritmo de Thomas.4
La ecuación de Blasius se puede escribir de la siguiente manera:
O bien, denotando las derivadas con funciones primas, es decir:
Donde las primas se refieren a derivadas ordinarias; ahora bien, utilizando los valores de
f´ (que representa el factor porcentual de la velocidad del flujo libre sin perturbar), se
obtienen los diferentes valores del factor de forma η. Donde el valor correspondiente a
f´=0.99 (99% del valor absoluto de la velocidad de flujo libre) es 4.96 que para fines
prácticos se utiliza el redondeo a 5.0 para el cálculo del espesor de la capa límite. Ahora
bien, es importante aclarar que éste método se basa en el “principio de similaridad”, el
cual se deriva a partir de condiciones de similitud geométrica, es decir dos cuerpos son
similares cuando la relación entre sus dimensiones permanece constante, lo cual se
extiende a otras propiedades.
A continuación se muestra una tabla condensada con los valores respectivos a las
diferentes derivadas del factor de forma, nótese que la velocidad del flujo libre para éste
problema al ser unitaria, el factor de correlación porcentual a dicha velocidad se toma tal
cual de la tabla, pero es importante aclarar que éste factor se debe multiplicar por el valor
de velocidad al cual se esté trabajando para poder hacer los cálculos correspondientes a
la capa límite.
Otro punto interesante es que el valor de la capa límite para un valor de η igual a 5.0
resulta ser el valor anteriormente calculado, lo cual demuestra la validez y precisión de
éste código desarrollado por la Universidad de Ontario en Canadá. Lo cual una vez más
reafirma la idea de la importancia del desarrollo de códigos propios para la solución de la
dinámica de fluidos computacionales.
4 Para éste cálculo se utilizó la tabla 2.2 que se encuentra en el “Apéndice I: Solución de la capa límite fluido-
dinámica para una placa plana”, por Alberto Blasetti. Donde se muestran los valores del factor de forma, obtenidos bajo la expansión en diferencias finitas y algoritmo de Thomson resuelto bajo un código de programación en FORTRAN.
Una vez calculado el perfil de velocidades bajo ésta técnica y superponiendo la curva
característica al perfil obtenido numéricamente al final de la placa se obtiene la siguiente
gráfica:
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Esp
eso
r d
e la
cap
a lím
ite
[m
]
Velocidad del flujo [m/s]
solución numérica
Solución analítica
Otro aspecto importante es comparar los resultados respectivos a la distribución de
coeficientes de fricción superficial a lo largo de la placa. Lo cual del mismo modo se
determina a partir del análisis que se realiza a la solución de Blasius.
Dicha distribución se encuentra expresada mediante la siguiente ecuación:
√
Donde el valor correspondiente al factor de forma se encuentra numéricamente en la tabla
anterior, teniendo un valor de 0.332, con lo cual la expresión para determinar los valores
de coeficiente de fricción a lo largo de la placa es:
√
Donde el valor del número de Reynolds varía respecto a la distancia al borde de ataque. A
continuación se muestra la comparación entre los valores obtenidos analítica y
numéricamente.
Como se puede observar, la expresión analítica estrictamente no se puede utilizar cerca
del borde de ataque, ya que matemáticamente hablando se tiene una singularidad cuando
x=0, por lo cual la teoría de capa límite no se puede aplicar ahí ya que la fricción crece
asintóticamente hasta infinito. Así también obsérvese que mientras se avanza en
dirección al borde de salida el valor de los coeficientes se asemeja más.
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
Co
efi
cie
nte
s d
e f
ricc
ión
su
pe
rfic
ial
Posición a lo largo de la placa [m]
distribución analítica
distribución numérica
Ahora bien, del mismo modo se puede emplear la solución de Blasius para determinar la
fuerza de resistencia al avance por fricción, la cual no es otra cosa que la integración de la
distribución anterior a lo largo de la placa. Ahora, poniéndolo en términos de coeficiente
de arrastre se tiene:
∫
√
√
Coeficiente de arrastre analítico (Blasius) Coeficiente de arrastre numérico (FLUENT)
0.06812 0.06723
Como se puede ver el error relativo porcentual relacionado al coeficiente de arrastre es de
1.3 % lo cual resulta realmente válido. Al tener una singularidad en x=0 para la
distribución de coeficientes de fricción se dijo que no se podía realizar el análisis en las
cercanías del borde de ataque, pero lo interesante es que para el coeficiente de arrastre
dicha singularidad sí es integrable, con lo cual se obtiene tal valor numérico que resulta
ser muy cercano al teórico.
b) Para éste segundo caso se tienen las siguientes condiciones geométricas, físicas y de
dominio de malla:
Número de Reynolds Re=380
Longitud de la placa L=1m
Altura del Dominio H=5.33m ≈ 5.5m [5]
#Divisiones a lo largo de la placa 100
#Divisiones para las fronteras verticales Factor Bias de aglutinamiento
50 255
Número de celdas dentro del dominio de la capa límite
19
Tipo de flujo Laminar e Incompresible
Velocidad del flujo libre sin perturbar V=1 m/s
Densidad del fluido ρ= 1 kg/m3
Viscosidad dinámica µ= 1/380 kg/m*s
Criterio de convergencia utilizado 1E-6
Como es de esperarse, el valor de la capa límite, al no estar en función del dominio de la
malla, conserva el valor antes calculado.
Del mismo modo que se realizó para el primer caso, se construyó la gráfica donde se
superponen las curvas que definen el perfil de velocidades a la mitad y al final de la placa
y se calcula el valor numérico del espesor de la capa límite al final de ésta con el objeto
de comparar su valor con el analítico y al mismo tiempo el error de aproximación
correspondiente.
5 Para determinar éste valor del dominio se hizo uso de la expresión H=20*δ
Figura 4. Perfiles de velocidad a la mitad y al final de la placa plana, con un dominio en
altura de 5.5m.
Velocidad en su componente x Espesor de la capa límite en x=L
0.922914 0.112847
0.99 0.1276
0.994857 0.128672
Como se puede ver, nuevamente éste valor difiere del calculado mediante la expresión
analítica de Blasius al inicio de éste análisis.
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Esp
eso
r d
e la
cap
a lím
ite
[m
]
Velocidad del flujo [m/s]
x=1m
x=0.5
Espesor de la capa límite analítica (Blasius). Espesor de la capa límite numérica (FLUENT).
0.2565 0.1276
Considerando éstos valores se puede decir que la solución numérica tiene un error
relativo porcentual de 50.25% respecto al valor teórico.
Ahora, es prudente volver a realizar la comparación entre los perfiles de velocidad al final
de la placa de la solución numérica y la analítica.
Nótese que nuevamente el valor de la capa límite al final de la placa en la solución
analítica difiere del dado por la solución en FLUENT®.
Ahora, realizando la comparación entre la distribución de coeficientes de fricción
superficial se tiene que el valor del coeficiente en la cercanía del borde de ataque
disminuyó, pero aún así tiene un valor con error numérico dado por la solución del
algoritmo computacional que resuelve el problema. Es interesante ver hasta ahora, que en
un mismo problema, cambios en el dominio puede traer consigo cambios que si bien no
son radicales o dramáticos evidencian que la definición del dominio es de especial
importancia.
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Esp
eso
r d
e la
cap
a lím
ite
[m
]
Velocidad del flujo [m/s]
Solución numérica
Solución analítica
Coeficiente de arrastre analítico (Blasius) Coeficiente de arrastre numérico (FLUENT)
0.06812 0.06658
Se puede notar que ahora el valor del coeficiente de arrastre por fricción es menor aún
que el anteriormente calculado en FLUENT® para un dominio en altura menor, con un
error de aproximación porcentual de 2.26%, el cual resulta una buena aproximación.
Ahora es interesante ver, que cambios en el dominio alteran la solución, entonces se
propone un dominio menor que el del primer análisis con el objeto de comparar los
resultados obtenidos y determinar cuáles son los cambios sustanciales en la solución.
c) Para éste segundo caso se tienen las siguientes condiciones geométricas, físicas y de
dominio de malla:
Número de Reynolds Re=380
Longitud de la placa L=1m
Altura del Dominio H=1.33m ≈ 1.5m [6]
#Divisiones a lo largo de la placa 100
#Divisiones para las fronteras verticales Factor Bias de aglutinamiento
50 222
Número de celdas dentro del dominio de la capa límite
29
Tipo de flujo Laminar e Incompresible
Velocidad del flujo libre sin perturbar V=1 m/s
Densidad del fluido ρ= 1 kg/m3
Viscosidad dinámica µ= 1/380 kg/m*s
Criterio de convergencia utilizado 1E-6
6 Para determinar éste valor del dominio se hizo uso de la expresión H=5*δ
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Co
efi
cie
nte
s d
e f
ricc
ión
su
pe
rfic
ial
Posición a lo largo de la placa [m]
distribución analítica
distribución numérica
Nuevamente se construye la grafica que compara los perfiles de velocidad a la mitad y al
final de la placa.
Velocidad en su componente x Espesor de la capa límite en x=L
0.927523 0.113185
0.99 0.1268
0.991278 0.127087
Como se puede ver, nuevamente éste valor difiere del calculado mediante la expresión
analítica de Blasius al inicio de éste análisis.
Espesor de la capa límite analítica (Blasius). Espesor de la capa límite numérica (FLUENT).
0.2565 0.1268
Ahora el error de aproximación porcentual relacionado a éste valor numérico
correspondiente al analítico es de 50.56%.
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Títu
lo d
el e
je
Título del eje
x=1m
x=0.5m
Comparando ésta solución al final de la placa con la solución de Blasius se obtiene la
siguiente gráfica comparativa:
Y la distribución de coeficientes de fricción superficial:
Coeficiente de arrastre analítico (Blasius) Coeficiente de arrastre numérico (FLUENT)
0.06812 0.06751
Con un error de aproximación porcentual de 0.89%.
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Esp
eso
r d
e la
cap
a lím
ite
[m
]
Velocidad del flujo [m/s]
solución numérica
solución analítica
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Co
efi
cie
nte
s d
e f
ricc
ión
su
pe
rfic
ial
Posición a lo largo de la placa [m]
distribución analítica
distribución numérica
Si comparamos las curvas que definen el crecimiento de la capa límite sobre la placa entre éstos tres últimos casos podemos
obtener la siguiente gráfica:
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Esp
eso
r d
e la
cap
a lím
ite
[m
]
Velocidad del flujo [m/s]
x=1m ; H=3m
x=1m ;H=5.5m
x=1m ; H=1.5m
x=0.5m ; H=3m
x=0.5m ; H=5.5m
x=0.5m ; H=1.5m
Nótese que el comportamiento de éstas curvas es muy próximo, lo cual nos lleva a
concluir que las dimensiones del dominio no tienen un efecto directo importante en el
resultado de la determinación del espesor de la capa límite, aún así en los tres casos el
valor que se obtuvo es aproximadamente la mitad del que se encuentra analíticamente, lo
cual nos lleva a considerar la solución de Blasius como válida cuando se trata de calcular
ésta característica ya que se obtienen resultados con un gran nivel de precisión. Por otra
parte se puede observar que el error en el algoritmo para la solución de la distribución de
coeficientes de fricción superficial incrementa conforme el dominio es más cercano a la
capa límite, lo cual incrementa la discrepancia entre los valores de éste coeficiente en las
cercanías del borde de ataque, pero al mismo tiempo la integración de éstos da un
coeficiente de arrastre por fricción más próximo al analítico cuando el dominio es más
cercano al espesor teórico de la capa límite, en otras palabras a la superficie de análisis.
3. Considerando una malla no estructurada de elementos triangulares.
Ahora bien, con el objeto de comparar la solución cambiando el tipo de malla a no
estructurada con elementos triangulares se realiza el mismo caso a) considerando los
siguientes cambios:
Número de Reynolds Re=380
Longitud de la placa L=1m
Altura del Dominio H=3m [7]
#Divisiones a lo largo de la placa # Divisiones en la frontera superior
200 100
#Divisiones para las fronteras verticales Factor Bias de aglutinamiento
50 298
Número de celdas dentro del dominio de la capa límite
25
Tipo de flujo Laminar e Incompresible
Velocidad del flujo libre sin perturbar V=1 m/s
Densidad del fluido ρ= 1 kg/m3
Viscosidad dinámica µ= 1/380 kg/m*s
Criterio de convergencia utilizado 1E-6
Espesor de la capa límite teórica δ=0.2565m
Del mismo modo que para los casos anteriores se analizará la comparación entre el perfil
de velocidades a la mitad y al final de la placa; la comparación entre el perfil al final con la
solución analítica de Blasius, la distribución de coeficientes de fricción a lo largo de la
placa y el valor del coeficiente de arrase por fricción numérico en comparación con el
analítico. Al final, de la misma manera que en el ejercicio anterior se compararán los
distintos perfiles de velocidad a lo largo de la placa y se discutirán los efectos de el tipo de
malla en la solución.
7 Para éste análisis se utilizó el mismo dominio que en el primer caso.
Al realizar la interpolación lineal se obtiene un espesor numérico de la capa límite de
0.12873m, donde el error de aproximación porcentual relacionado a éste valor numérico
correspondiente al analítico es de 49.81%.
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Esp
eso
r d
e la
cap
a lím
ite
[m
]
Velocidad del flujo [m/s]
x=1m
x=0.5m
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Esp
eso
r d
e la
cap
a lím
ite
[m
]
Velocidad del flujo [m/s]
solución numérica
solución analítica
Donde el valor del coeficiente de arrastre es 0.07014, con un error de aproximación
porcentual del 2.96% respecto al teórico calculado.
En la siguiente gráfica se puede observar que hay ligeros cambios en los perfiles
de velocidad, y al mismo tiempo en el espesor de la capa límite, siendo en el caso de la
malla no estructurada ligeramente más cercano a la superficie, lo cual se puede
corroborar al comparar el valor de δ al final de la placa con la solución de Blasius, siendo
el porcentaje de error más pequeño, lo cual hay que señalar que también se debe al
número de divisiones que se ocupó para la superficie inferior del dominio.
Por otra parte se puede observar que la singularidad en el borde de ataque para
determinar el coeficiente de fricción superficial incrementa en la solución numérica, pero al
mismo tiempo lleva a encontrar un comportamiento más cercano a la distribución de éstos
coeficientes respecto a la solución analítica. Una vez integrando éstos coeficientes se
encuentra que el coeficiente de arrastre es cerca del 3% mayor en la solución numérica
que en la analítica, lo cual sigue siendo válido, ya que se debe a la integración del
coeficiente en x=0, lo cual no es de gran preocupación ya que es en distancias muy
pequeñas.
Para finalizar, es importante aclarar que si bien en éste problema no se ven cambios
dramáticos en los resultados obtenidos, es importante diseñar la solución del problema
determinando las dimensiones del dominio de tal manera que se requieran los mínimos
cómputos y los costos computacionales para encontrar la solución. Así también es
importante mencionar que el uso de mallas estructuradas resulta muy bueno en ésta clase
de análisis ya que se tiene geometrías sencillas y el cambio de las propiedades es
controlado, por lo cual el uso de mallas no estructuradas resulta menos certero en la
solución del problema.
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Co
efi
cie
nte
s d
e F
ricc
ión
su
pe
rfic
ial
Posición a lo largo de la placa [m]
distribución analítica
distribución numérica