Post on 03-Dec-2018
Minimizar el funcionalMinimizar el funcional
Funciones de aproximación. Método Variacional
Método Variacional (Método de Rayleigh-Ritz)
EcuaciEcuacióón Diferencialn Diferencial
02
2
=+ Qdx
dD
φdxQ
dx
dD∫Ω
−
=∏ φ
φ2
2
FuncionalFuncional
ónaproximacidefunción:φ
La La funcifuncióón de aproximacin de aproximacióónn que generque generéé un valor un valor mmíínimonimo del del funcional funcional es la solucies la solucióón mn máás aproximada de la s aproximada de la ecuaciecuacióón diferencialn diferencial
0=∂
Π∂
ia
Forma fuerteForma fuerte Forma dForma déébilbil
Definición
Identificar el Identificar el funcional funcional de la de la ecuaciecuacióón diferencial.n diferencial.11
Método Variacional (Método de Rayleigh-Ritz)
Procedimiento
EcuaciEcuacióón Diferencialn Diferencial
Ω∈∀=+ xQdx
dD 0
2
2φdxQ
dx
dD∫Ω
−
=∏ φ
φ2
2
FuncionalFuncional
Ω∈∀+++= xxaxaxaa 3
3
2
210φ
Suponer una Suponer una funcifuncióón de aproximacin de aproximacióónn y aplicarle las y aplicarle las condiciones de bordecondiciones de borde22
FunciFuncióón de aproximacin de aproximacióónn
Coordenadas generalizadas
Γ∈∀= xx 0)(ˆ φφCondiciones de bordeCondiciones de borde
DespuDespuéés de aplicadas las condiciones de borde a la funcis de aplicadas las condiciones de borde a la funcióón de aproximacin de aproximacióón se reduce el nn se reduce el núúmero mero de coordenadas generalizadasde coordenadas generalizadas
Ω
Ω
Γ
Funciones de aproximación. Método Variacional
Derivar el Derivar el funcionalfuncional respecto a las coordenadas respecto a las coordenadas generalizgeneraliz..33
Igualar a cero la derivada del Igualar a cero la derivada del funcional.funcional.Calcular las coordenadas generalizadas.Calcular las coordenadas generalizadas.
44
Método Variacional (Método de Rayleigh-Ritz)
Procedimiento
Minimizar el funcionalMinimizar el funcional 0=∂
Π∂
ia
Ω∈∀+++= xxaxaxaa 3
3
2
210φ
⋅+
+
=
L
xsena
L
xa
L
xsena
πππφ
32cosˆ
210
Parte de una serie de TaylorParte de una serie de Taylor
Parte de una serie de FourierParte de una serie de Fourier
02
2
>∂
Π∂
ia
Sistema de ecuacionesSistema de ecuaciones
Funciones de aproximación. Método de los residuos ponderados
ResiduoResiduo
0)(2
2
≠=+⋅ xRQdx
dD
φ
La La funcifuncióón de aproximacin de aproximacióónn no satisface a la no satisface a la ecuaciecuacióón n diferencial, diferencial, mostrando un mostrando un residuoresiduo o error a la derecha de la o error a la derecha de la ecuaciecuacióón. El mn. El méétodo requiere que la integral del todo requiere que la integral del residuo residuo multiplicada multiplicada por una por una funcifuncióón de ponderacin de ponderacióónn sea igual a cero.sea igual a cero.
W(x)·R(x)
x
0)()(1
1 =⋅∫ dxxRxW 0)()(2
2 =⋅∫ dxxRxW 0)()(3
3 =⋅∫ dxxRxW
W(x)·R(x)
x
1 2 3
0)()( =⋅∫Ω
dxxRxWi
i
Método de los Residuos Ponderados
Definición
Este error es minimizado con respecto a las coordenadas generaliEste error es minimizado con respecto a las coordenadas generalizadaszadas
La funciLa funcióón de impulso vale cero cuando n de impulso vale cero cuando x=Xix=Xi
Funciones de aproximación. Método de los residuos ponderados
MMéétodo de la Colocacitodo de la Colocacióónn )()( ii XxxW −= δ
Cada modalidad del mCada modalidad del méétodo esttodo estáá definida por la definida por la funcifuncióón de n de ponderaciponderacióónn utilizada.utilizada.
MMéétodo de todo de GalerkGalerkíínn
MMéétodo de los Mtodo de los Míínimos Cuadradosnimos Cuadrados
MMéétodo del Subdominiotodo del Subdominio
[ ]∫== dxxRErrorxRxWi
2)()()(
1)( =xWi
φformaxWi =)(
Método de los Residuos Ponderados
Modalidades
Funciones de aproximación. Método Variacional
Suponer la Suponer la funcifuncióón de aproximacin de aproximacióónn..11
Calcular el Calcular el Residuo Residuo sustituyendo la sustituyendo la funcifuncióón de n de aproximaciaproximacióónn en la ecuacien la ecuacióón diferencial.n diferencial.
22
Definir la Definir la funcifuncióón de ponderacin de ponderacióón n (modalidad del m(modalidad del méétodo)todo)33
Calcular la(s) integral(es) del Calcular la(s) integral(es) del residuo ponderadoresiduo ponderado e e igualarla(s) a cero.igualarla(s) a cero.
44
Calcular las Calcular las coordenadas generalizadas coordenadas generalizadas a partir de la a partir de la solucisolucióón del sistema de ecuaciones simultaneas.n del sistema de ecuaciones simultaneas.55
0)(2
2
≠=+⋅ xRQdx
dD
φ
0)()( =⋅∫Ω
dxxRxWi
i
2
210 xaxaa ⋅+⋅+=φ
Método de los Residuos Ponderados
Procedimiento
EnergEnergíía ela eláástica de deformacistica de deformacióónn
Cuando el valor estacionario es un Cuando el valor estacionario es un mmíínimonimo el el equilibrioequilibrio es es estableestable. .
Funciones de aproximación. Método de los residuos ponderados
MMéétodo de la Colocacitodo de la Colocacióónn
De todos los estados de desplazamiento de un De todos los estados de desplazamiento de un sistema sistema conservativoconservativo que satisface compatibilidad y condiciones de borde, que satisface compatibilidad y condiciones de borde, aquel que ademaquel que ademáás ests estáá en en equilibrioequilibrio es un sistema que tiene es un sistema que tiene energenergíía potencial estacionariaa potencial estacionaria..
EnergEnergíía potencial totala potencial totalWU −=Π
Trabajo hecho por las cargasTrabajo hecho por las cargas
Π
∫ ⋅=V
TdVU εσ
2
1 iT
i
i
A
s
T
V
c
TPudAfudVfuW ⋅+⋅+⋅= ∑∫∫
Principio de la Energía Potencial Estacionaria
Definición
Π
uu
minΠ
uu
U, WU, WEnergEnergíía potencial total a potencial total
Principio de la energía potencial estacionaria
2
2
1ukU ⋅⋅=
Trabajo hecho por las cargasTrabajo hecho por las cargas
EnergEnergíía ela eláástica de deformacistica de deformacióónn
kk
PP
uu
uPW ⋅=
0
0
2
1
2
2
2
>=∂
Π∂
=−⋅=∂
Π∂
⋅−⋅⋅=−=Π
ku
Puku
uPukWU
Potencial estacionarioPotencial estacionario
Potencial mPotencial míínimonimo
Principio de la Energía Potencial Estacionaria
Sistema de un grado de libertad
El método de los elementos finitos
Procedimiento numProcedimiento numéérico para resolver problemas frico para resolver problemas fíísicos controlados por sicos controlados por una una ecuaciecuacióón diferencialn diferencial o por un o por un teorema de energteorema de energííaa..
El El MEFMEF Convierte un medio continuo en un grupo finito de Convierte un medio continuo en un grupo finito de elementoselementos, , en los cuales existe una funcien los cuales existe una funcióón de aproximacin de aproximacióón definida.n definida.
LLáámina simmina siméétrica sometida a tensitrica sometida a tensióónnRed de elementos finitos Red de elementos finitos de 1/4 de lde 1/4 de lááminamina
elementoelemento
cargascargas
CondicCondic. de borde. de borde
Condic
Condic. de borde
. de borde
El método de los elementos finitos
Definición
El método de los elementos finitos
Plantear y resolver de forma débil las ecuaciones de gobierno del problema y sus condiciones de borde
1
Métodos de aproximación de funciones: método variacional, método de los residuos ponderados.
Principios energéticos: principio de la energía potencial total estacionaria, principio de los trabajos virtuales.
Generalidades del método de los elementos finitos
Planteamiento general
Definir la función de aproximación del elemento finito y sus funciones de forma
2
Plantear de forma matricial como la solución de un sistema de ecuaciones simultaneas
3
Establecer la matriz de rigidez y el vector de términos independientes del elemento finito
Definir el proceso de ensamblaje para obtener matrices del problema a partir de matrices elementales.
El método de los elementos finitos
Generalidades del método de los elementos finitos
Planteamiento general
Plantear de forma matricial las condiciones de borde del problema4
Obtener los valores nodales de la función de aproximación en la malla de elementos finitos
6
Calcular la función de aproximación en cada elemento finito7
Las condiciones de borde naturales determinan valores conocidos de las derivadas (en el espacio) de la función de aproximación
Las condiciones de borde esencialesestablecen valores conocidos de la función de aproximación
Calcular las derivadas de la función de aproximación en cada elemento finito8
Obtener los valores promedio de las derivadas de la función de aproximación en los nudos de la red de elementos finitos
9
Aplicar las condiciones de borde en los nudos de la malla de elementos finitos
5
El método de los elementos finitos
Colocar muchos elementos en las regiones Colocar muchos elementos en las regiones donde los pardonde los paráámetros cambian rmetros cambian ráápidamente.pidamente.
11
Colocar nudos en los lugares donde los Colocar nudos en los lugares donde los coeficientes de la ecuacicoeficientes de la ecuacióón diferencial cambie.n diferencial cambie.
22
Colocar nudos en los lugares donde se desea Colocar nudos en los lugares donde se desea calcular la funcicalcular la funcióón de aproximacin de aproximacióón. n.
33
Convertir el sistema continuo en una malla de Convertir el sistema continuo en una malla de elementos elementos conectados entre sconectados entre síí por por nudosnudos. .
Cada Cada nudo nudo tiene un ntiene un núúmero especmero especíífico de fico de grados de libertadgrados de libertad. .
Los Los grados de libertad grados de libertad son los parson los paráámetros desconocidos que se metros desconocidos que se desean calcular. Tambidesean calcular. Tambiéén se denominan n se denominan valores nodales.valores nodales.
Recomendaciones
Recomendaciones
Generalidades del método de los elementos finitos
Discretización
Problemas de campo unidimensional
iφ
jφ
Xi Xj
l
I J
φ
X
xaa 21 +=φ
)(e
ji
i
jx
l
xx
l
xxΩ∈∀
−+
−= φφφ
Elemento unidimensional lineal
Descripción general
condiciones de borde del elemento
iix φφ =)(jjx φφ =)(
jj
ii
xaa
xaa
21
21
+=
+=
φ
φ
Función de aproximación
Problemas de campo unidimensional
)()( ej
i xl
xxxN Ω∈∀
−=
Xi XjL
IJ
jN
X
l
xxN i
j
−=
1
Xi XjL
IJ
iN
X
l
xxN
j
i
−=
1
Elemento unidimensional lineal
Funciones de forma
)()( eij x
l
xxxN Ω∈∀
−=
jjii xNxN φφφ )()( +=Función de aproximación
Funciones de forma
Problemas de campo unidimensional
[ ]T
ji
e φφ=Φ )(
Elemento unidimensional lineal
Formulación matricial
[ ]
TTe
j
i
ji
eNN
N
N
)(
)(
Φ=
=Φ=
φ
φ
φφ
[ ]ji NN=NMatriz de funciones de forma
Vector de valores nodales
Función de aproximación
(expresión matricial)
jjii xNxN φφφ )()( +=Función de aproximación
Problemas de campo unidimensional
Elemento unidimensional lineal
Formulación matricial
Matriz de operadores diferenciales
aplicados sobre las funciones de forma
[ ] TTe
j
i
ji
e
dx
dBB
dx
dBB
)()( Φ=
=Φ=
φ
φ
φφ
Operadores diferenciales actuando
sobre funciones de forma
jijjiij
j
ii
LLBB
dx
dN
dx
dN
dx
dφφφφφφ
φ 11+−=+=+=
Derivada de la función
de aproximación
ldx
dNB
ldx
dNB
j
ji
i
1,
1==−==
Derivada de la función de
aproximación (expresión
matricial)
[ ]ji BB=∂= NB
Matriz operador diferencial para
problemas de campo unidimensional
=∂
dx
d
Problema de campo unidimensional
Problema de campo unidimensional
Planteamiento
φ
Solución de la E.D.
x
Ecuación Diferencial Ω∈∀=+ xQdx
dD 0
2
2φ
qxqxdx
d
xx
Γ∈∀=
Γ∈∀=
0
0
)(
)(
φ
φφ φCondiciones de borde Esenciales o de Dirichlet
Condiciones de borde Naturales o de Neumann
0)( φφ =x
0)( φφ =x
)(xφ
φΓ
φΓ
Ω
Problema de campo unidimensional
Problema de campo unidimensional
Planteamiento
φ
04 φφ =1φ
2φ 3φ 05 φφ =
Aproximación por tramos. Solución de la E.D.
53214 1 2 3 4
x
CB
CB
=
==Φ
=Φ
Φ
Φ=
=Φ05
04
3
2
1
5
4
3
2
1
φφ
φφ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
βαβ
α[ ]
[ ]
[ ]
[ ]T
T
T
T
53
)4(
32
)3(
21
)2(
24
)1(
φφ
φφ
φφ
φφ
=Φ
=Φ
=Φ
=Φ
Vector de valores nodales
en cada elementoVector de valores nodales del sistema
subvector de valores
nodales conocidos
subvector de valores
nodales desconocidos
Problema de campo unidimensional
Ecuación Diferencial Ω∈∀=+ xQdx
dD 0
2
2φ
∑ ∫∫= ΩΩ
−
=
−
=∏
ne
e e
ee
dxQdx
dDdxQ
dx
dD
1 )(
)(
2)(2
22φ
φφ
φFuncional
dxQdxDe
j
ei
ej
ei
x
x
TeTeex
x
eTTee
∫∫ Φ−Φ
Φ=∏
)(
)(
)(
)(
)()()()()()(
2
1NBB
Problema de campo unidimensional
Método variacional
[ ]dxQDdxQdx
dD
e
TTeeeTTe
e
ee
e
∫∫ΩΩ
Φ−ΦΦ=
−
=∏
)(
)()()()(
21
)(
)(
2)()(
2NBBφ
φ
Aporte del elemento (e) al Funcional
Problema de campo unidimensional
Funcional del elemento (e))()()()()(
21)( eTeeeTee
fK Φ−ΦΦ=∏
)()()(
)(
)(eee
e
e
fK −Φ=Φ∂
∏∂
Problema de campo unidimensional
Método variacional
dxQdxDe
j
ei
ej
ei
x
x
Teex
x
eTe
∫∫ ==)(
)(
)(
)(
)()()()( , NfBBKMatriz de rigidez y vector de términos
independientes del elemento (e)
Derivada del Funcional del elemento (e)
0=Φ∂
∏∂=
Φ∂
∏∂∑
=
ne
e
e
1
)(
Minimización del Funcional
=
∏∂
∏∂
∏∂
∏∂
∏∂
=
∏∂
∏∂
∏∂
∏∂
∏∂
=Φ∂
∏∂∑
=
0
0
0
0
0
1
)(
)(
)(
)(
)(
5
4
3
2
1
5
4
3
2
1
ne
e
e
e
e
e
e
φ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
−
=
∏∂
∏∂=
Φ∂
∏∂)(
)(
)(
)(
)()(
)()(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
e
j
e
i
e
j
e
i
e
jj
e
ji
e
ij
e
ii
e
e
e
e
f
f
kk
kk
ej
ei
φ
φ
φ
φ
Problema de campo unidimensional
Problema de campo unidimensional
Método variacional
Derivada del funcional del elemento (e) extendida a todos los GL del sistema
)()()(
e
ext
e
ext
e
fK −Φ=Φ∂
∏∂
−
=
∏∂
∏∂
∏∂
∏∂
∏∂
=Φ∂
∏∂
0
0
0
00000
000
00000
00000
000
)(
)(
5
4
3
2
1
)()(
)()(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
5
4
3
2
1
e
i
e
j
e
ii
e
ij
e
ji
e
jj
e
e
e
e
e
e
f
f
kk
kk
φ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
( ) 0fKfKfK =−Φ=
−Φ
=−Φ=
Φ∂
∏∂=
Φ∂
∏∂∑∑∑∑
====
ne
e
e
ext
ne
e
e
ext
ne
e
e
ext
e
ext
ne
e
e
1
)(
1
)(
1
)()(
1
)(
Minimización del Funcional
)(
11
)()(
11
)( , e
ne
e
ne
e
e
ext
e
ne
e
ne
e
e
ext fffKKK=
==
=
==== ∑∑ AA
Matriz de rigidez y vector de términos independientes del sistema (ensamblaje)
φ)(e
iφ
)(e
jφ
ji e
x
j
ij
i
Problema de campo unidimensional
Problema de campo unidimensional
ensamblaje
Ecuaciones del sistema
Derivada del funcional respecto a los valores nodales el cada elemento (1)
Ecuaciones del elemento
Numeración de los grados de libertad del elemento14 1
CB
Ensamblaje del elemento (1)41
1
1
1
4
4
4
−
=
∏∂
∏∂)1(
)1(
1
5
)1()1(
)1()1(
)1(
)1(
1
5
j
i
jjji
ijii
f
f
kk
kk
φ
φ
φ
φ
−
=
∏∂
∏∂
∏∂
∏∂
∏∂
0
0
0
00000
000
00000
00000
000
)1(
)1(
5
4
3
2
1
)1()1(
)1()1(
)1(
)1(
)1(
)1(
)1(
5
4
3
2
1
i
j
iiij
jijj
f
f
kk
kk
φ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
Problema de campo unidimensional
Problema de campo unidimensional
ensamblaje
Ecuaciones del sistema
Derivada del funcional respecto a los valores nodales el cada elemento (2)
Ecuaciones del elemento
Numeración de los grados de libertad del elemento21 2
Ensamblaje del elemento (2)
2
2
2
2
1
1
1
1
−
=
∏∂
∏∂)2(
)2(
2
1
)2()2(
)2()2(
)2(
)2(
2
1
j
i
jjji
ijii
f
f
kk
kk
φ
φ
φ
φ
+
−
+
=
∏∂
∏∂
∏∂
∏∂
∏∂
+
∏∂
∏∂
∏∂
∏∂
∏∂
0
0
00000
000
00000
000
00)(
)1(
)2(
)2()1(
5
4
3
2
1
)1()1(
)2()2(
)1()2()2()1(
)2(
)2(
)2(
)2(
)2(
)1(
)1(
)1(
)1(
)1(
5
4
3
2
1
5
4
3
2
1
i
j
ij
iiji
jjij
jiijiijj
f
f
ff
kk
kk
kkkk
φ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
Problema de campo unidimensional
Problema de campo unidimensional
Aplicación de las condiciones de borde
Minimización del Funcional
Calculo de los valores nodales desconocidos del sistema
( )βαβαααα
ββββαβα
αβαβααα
β
α
β
α
βββα
αβαα
Φ−=Φ
=−Φ+Φ
=−Φ+Φ
=
−
Φ
Φ
−KfK
0fKK
0fKK
0
0
f
f
KK
KK
1
=
−
=
∏∂
∏∂
∏∂
∏∂
∏∂
0
0
0
0
0
5
4
3
2
1
5
4
3
2
1
55
4544
353433
25242322
1514131211
5
4
3
2
1
f
f
f
f
f
ksim
kk
kkk
kkkk
kkkkk
φ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
04 φφ =
1φ2φ 3φ
05 φφ =
53214 1 2 3 4
x
Problema de campo unidimensional
Problema de campo unidimensional
Resultados en cada elemento finito
[ ]
)(
)(
)(
)()()()( )()()(
e
e
j
e
ie
j
e
i
ee
x
xNxNx
Ω∈∀
=Φ=
φ
φφ N
Función de aproximación
[ ]
)(
)(
)(
)()()()( )()(
e
e
j
e
ie
j
e
i
ee
x
xBxBdx
d
Ω∈∀
=Φ=
φ
φφB
Derivada de la función de
aproximación
φ
04 φφ =
1φ2φ 3φ
05 φφ =
53214 1 2 3 4
x
dx
dφ
53214 1 2 3 4
x
Continuidad de la función
de aproximación
Discontinuidad en la primera derivada
de la función de aproximación
Problema de campo unidimensional
Problema de campo unidimensional
Matriz de rigidez y vector de fuerzas del elemento unidimensional lineal
φ)(e
iφ
)(e
jφ
ji e
x
dxQ
dxD
ej
ei
ej
ei
x
x
Teee
x
x
eeTee
∫
∫
=
=
)(
)(
)(
)(
)()()(
)()()()(
Nf
BBK
[ ]
=
−
−=
−
−=−
−=
∫
∫
1
1
2)(
)(
11
1111
1
1
)()()()(
)(
)()()(
)(
)(
)(
)(
eex
xi
jee
e
ex
x
ee
lQdx
lxx
lxxQ
l
DdxllD
l
l
ej
ei
ej
ei
f
K
Problemas de campo unidimensional
)(2
321
essasaa Ω∈∀++=φ
( )
( )
( )2
2
)(
2
2
)(
22
2
)(
21
)(
4)(
231
)(
slsl
sN
slsl
sN
slsll
sN
e
k
e
j
e
i
+−=
−=
+−=
Elemento unidimensional cuadrático
Descripción general
condiciones de borde del elemento
kjill φφφφφφ === )(,)2(,)0(
2
221
)(
2
241
221
1
)(
21
1
)(
)(
)(
)0(
lalaal
lalaal
a
e
k
e
j
e
i
++==
++==
==
φφ
φφ
φφ
)(e
iφ)(e
jφ
ji
e
s
)(e
kφ
k
)(sφ
2l 2l
función de aproximación en términos de
coordenadas generalizadas
)()()()()()()(
e
k
e
k
e
j
e
j
e
i
e
i NNNs φφφφ ++=
función de aproximación en términos de
las funciones de forma
funciones de forma
Problemas de campo unidimensional
( )
( )sll
sB
ds
dN
dx
dNB
slsll
sN
e
i
e
i
e
ie
i
e
i
431
)(
231
)(
2
)(
)()()(
22
2
)(
+−=
==
+−=
Elemento unidimensional cuadrático
Funciones de forma y sus derivadas
ji
e
s
k
)(e
iN
2l 2l
1.0
ji
e
s
k
)(e
jN
2l 2l
1.0
ji
e
s
k
)(sφ
2l 2l
1.0
( )
( )sll
sB
ds
dN
dx
dNB
slsl
sN
e
j
e
j
e
je
j
e
j
841
)(
441
)(
2
)(
)()(
)(
2
2
)(
−=
==
−= ( )
( )sll
sB
ds
dN
dx
dNB
slsl
sN
e
k
e
k
e
ke
k
e
k
41
)(
21
)(
2
)(
)()()(
2
2
)(
+−=
==
+−=siendo s
paralelo a x
Problemas de campo unidimensional
Elemento unidimensional cuadrático
Formulación matricial
)(e
iφ)(e
jφ
ji
e
s
)(e
kφ
k
)(sφ
2l 2l
[ ]Te
k
e
j
e
i
e )()()()( φφφ=Φ
[ ]
TeTe
e
k
e
j
e
i
e
k
e
j
e
i
ee NNN
)()(
)(
)(
)(
)()()()()(
N
N
Φ=
=Φ=
φ
φ
φ
φ
φ
[ ])()()()( e
k
e
j
e
i
e NNN=N
Matriz de funciones de forma
Vector de valores nodales
Función de aproximación (expresión matricial)
Función de aproximación
)()()()()()()( e
k
e
k
e
j
e
j
e
i
e
i NNNs φφφφ ++=
Problemas de campo unidimensional
Elemento unidimensional cuadrático
Formulación matricial
)(e
iφ)(e
jφ
ji
e
s
)(e
kφ
k
)(sφ
2l 2l
[ ] TeTe
e
k
e
j
e
i
e
k
e
j
e
i
ee
dx
dBBB
dx
d )()(
)(
)(
)(
)()()()()( , BB Φ=
=Φ=φ
φ
φ
φφ
[ ])()()()()( e
k
e
j
e
i
ee BBB=∂= NB
Matriz de operadores diferenciales
actuando sobre funciones de forma
Derivada de la función de aproximación (expresión matricial)
Derivada de la función de aproximación
)()()()()()(
)()(
)(
)(
)()(
e
k
e
k
e
j
e
j
e
i
e
i
e
k
e
ke
j
e
je
i
e
i
BBBdx
d
ds
dN
ds
dN
ds
dN
ds
d
dx
d
φφφφ
φφφφφ
++=
++==
siendo s
paralelo a x
Problemas de campo unidimensional
Elemento unidimensional cuadrático
Matriz de rigidez y vector de fuerzas del elemento
( )[ ]
=
+−
−
+−
=
−
−−
−
=+−−+−
+−
−
+−
=
∫
∫
1
4
1
62
44
23
781
8168
187
3)4()84(43
1
)4(
)84(
)43(1
)()(
02
2
22
2
)()(
)(
)(
0 2
)(
2
)(
eel
ee
e
el
ee
lQds
sls
sls
slsl
l
Q
l
Ddsslslsl
lD
sl
sl
sl
l
f
K
)(e
ix
s
)(e
kx
)(sφ
)(e
iφ)(e
jφ
ji
x
)(e
kφ
k2l 2l
dssQdxxQ
dssDsdxxDx
lTee
x
x
Teee
leeTe
x
x
eeTee
ek
ei
ek
ei
∫∫
∫∫
==
==
0
)()()()()(
0
)()()()()()()(
)()(
)()()()(
)(
)(
)(
)(
NNf
BBBBK
siendo s paralelo a x
Problema de campo unidimensional
Algoritmo de cálculo
lectura de datos de
entrada
EDLECE
lectura de parámetros
generales de la malla
EDLECR
lectura de tabla de
coordenadas de nudos crear matriz de rigidez del
elemento
KUNID2
ensamblar la matriz de
rigidez del elemento
ENSAMK
crear la matriz de rigidez
del sistema K
crear matriz de rigidez del
sistema llena de ceros
MTCONS
ciclo por elemento finito
for
nextlectura tabla conectividad
o tabla incidencias*
EDLECI
en cada elemento, lectura
de
EDLECR
crear vector de fuerzas
del elemento
FUNID2
ensamblar vector de
fuerzas del elemento
ENSAMV
crear vector de fuerzas
del sistema f
crear vector de fuerzas
lleno de ceros
MTCONS
ciclo por elemento finito
for
next
cálculo del vector de
valores nodales
MTSUBM
extraer submatr. rigidez y
fuerza
constr. vector valores
nodales
MTADJU
lectura vector de valores
nodales conocidos
EDLECR
dim
Inicialización de
variables
extraer vector de valores
nodales del elem.
EXTRAV
crear vector de operador
difer. f. forma
BUNID2
ciclo por elemento finito
for
next
derivada función aprox.
MTMULT
cálculo de la función de
aprox. y su derivada
)()(x
eB
)(eΦ
)()( )()( ee
x xx Φ=∂ Bφ
)(ef
],[ βα ΦΦ=Φ
ααβαα fKK ,,
MTMULT
multiplicar
βαβΦK
MTREST
restar
βαβα Φ− Kf
SOCHLK
solucionar el sist. ecuac.
βαβαααα Φ−=Φ KfK
)(eK
)()()( ,, eee LQD
Crear vector de funciones
de forma
NUNID2
función de aproximación
MTMULT
)()( xeN
)()( )()( ee xx Φ= Nφ
βΦ
Problema de campo unidimensional
Ejemplo de aplicación
y y
xy
A
A’
A-A’
z
4L 4L 4L 4L
B
B’
0M
B-B’
z
L
xMxM 0)( =
x
M
W14x82 W14x82+2P0.5”
273420 mkNEIAA ⋅=
296480 mkNEIBB ⋅=
GPaE 200=
L=8.00m
Problema de campo unidimensional
Ejemplo de aplicación
xy
A
A’
4L 4L 4L 4L
B
B’
0M 273420 mkNEIAA ⋅=
296480 mkNEIBB ⋅=
GPaE 200=
L=8.00m
08
1M−
08
3M−
08
5M−
08
7M−
1 2 3 4
4 1 2 3 5
04 =φ 05 =φ
4L 4L 4L 4L
malla de EF
Q(x)