FP: CUATERNAS

FP_2

Prof. José Juan Aliaga Maraver

Universidad Politécnica de Madrid

Cuaternas ordenadas de elementos

• Cuatro elementos pertenecientes a una forma de primera categoría determinan una cuaterna.– puntos: (ABCD) – rectas: (abcd)– planos: ()

• La cuaterna tiene un valor numérico o característica asociado a la ordenación de los términos – (ABC) = AB/AC = .– (abc) = sen(ab)/sen(ac) = .– sensen = .

AA BB CC

Cuaternas de elementos

(ABCD) (ABCD) =(ACD)/(BCD)=(ACD)/(BCD)

aabb

cc

(abcd) = (acd)/ (abcd) = (acd)/ (bcd)(bcd)

(ABCD) (ABCD) == (abcd)(abcd)

VV

dd

DD

(ACD) = (acd) * VC/VD(ACD) = (acd) * VC/VD

(BCD) = (bcd) * VC/VD(BCD) = (bcd) * VC/VD

Razón dobleRazón doble es el es el cocientecociente de dos razones simples de dos razones simples

La razón doble de cuatro rectas con vértice común, es la de los La razón doble de cuatro rectas con vértice común, es la de los cuatro puntos en que las secciona cualquier recta que no pase por cuatro puntos en que las secciona cualquier recta que no pase por dicho vértice.dicho vértice.

Conservación de la razón doble

(ABCD) (ABCD) == (abcd)=(A’B’C’D’)(abcd)=(A’B’C’D’)

(abcd) = (ABCD) (abcd) = (ABCD) == (a’b’c’d’)(a’b’c’d’)

AA BB CC

aa bb cc

VV

dd

DD

a’a’ b’b’ c’c’d’d’

VV’’

eAA BB CC

aa bb cc

VV

dd

DD

AA’’ BB

’’ CC’’ DD

’’

r

r’

Construcción de cuaternas(ABCD)=(A’B’C’D’)=(B’D’C’)

C DB r

(ABCD)=4/3

C D

B=B’

C’

D’

r’

r

3

4C

b

a

DA B=B’

c d

C’

D’

A’

r’

r

V

Proyecciones cónicas: Conservación de la razón doble

(ABCD) = (A’B’C’D’)(ABCD) = (A’B’C’D’)

M’M’

MM

rr

r’r’

La proyección La proyección M’M’ del punto medio del punto medio MM de un segmento de un segmento ABAB desde un centro de proyección V, no es el punto medio de la proyección A’B’ del segmento. Se corresponde con el conjugado armónico del punto límite corresponde con el conjugado armónico del punto límite LL respecto de los respecto de los extremos extremos A’A’ y y B’ B’ proyección de proyección de AA y y BB

VV

A’A’ B’B’ C’C’

aabb cc

VV

AABB

CC

r

=r’

dd

DD

D’D’

BB

AA

A’A’

B’B’

I=I’I=I’LL

(MAB)=-1

(MAB)≠(M’A’B’)

Cuaternas:Características

(ABCD) = (ACD)/(BCD)= AC * BD / AD * BC = (BADC)

(ABCD) = 1/(BACD)

(ABCD) = (ACD)/(BCD)= (-CA)*(-DB)/(-DA)*(-CB)= (CDAB) = (DCBA)

Cuaternas de elementos1-.Se cumple:

V F (ABCD) = (BADC)

V F (BCD) = (BDC)

V F (ABCD) =1/(BACD)

2-.En la figura adjunta se cumple:

V F (ABCD) = (PQRS)

V F (BCAD) = (QRPS)

C

QP

D

V

FP_2P_01

AB

RS

Cuaternas de elementos3-. En la figura adjunta se cumple:

V F (ABCD) = (A’B’C’D’)

V F (ABCD) = (B’D’C’)

V F (CDAB) = (B’D’C’)

4-.En la figura adjunta se cumple:

V F (ABCD) > 0

V F (BCAD) < 0

V F (BDAC) < 0

C

b

a

D

V

FP_2P_02

A B=B’

c d

C’

D’

A’

r’

r

Determinar los puntos que cumplen:

FP_2P_03Cuaternas

a) (ABCD) = -3/4

AA BB CC

Determinar los puntos que cumplen:

FP_2P_04Cuaternas

b) (ABCD) = 2

AA CC DD

Determinar los puntos que cumplen:

FP_2P_05Cuaternas

b) (ABCD) = -1

AA CC DD