R(s) Y(s)G(s)

FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA

Una ecuación diferencial representa el comportamiento de cualquier sistema, por lo tanto también un Sistema de Control, y la solución de dicha ecuación diferencial representa el comportamiento de la salida o salidas.De lo anterior podemos deducir una nueva forma de modelación la Función de Transferencia, que está definida como la relación que existe entre la transformada de Laplace de la salida y la transformada de Laplace entrada cuando todas las condiciones iniciales son cero, o sea G(s)=Y(s)/R(s). De la definición nos damos cuenta que este modelo matemático solo puede aplicarse a sistemas lineales. El concepto de Bloque, se muestra en la Figura y se puede observar que es un cuadro con una Función de Transferencia dentro, una entrada y una salida donde Y(s) = G(s)*R(s).

Como se puede deducir de la definición de Función de Transferencia se necesita conocer perfectamente el sistema del que se pretende obtener este modelo matemático y las ecuaciones diferenciales que describen su funcionamiento, para que por medio de manipulaciones algebraicas se obtenga la Función de Transferencia.

DIAGRAMA DE BLOQUES

Un Diagrama de Bloques es la combinación apropiada de Bloques, Puntos de Suma y Puntos de Derivación de Señal para representar, en forma de modelo matemático, un Sistemas de Control Automático Lineal. Los Puntos de Suma, como su nombre lo dice, son puntos representados por un pequeño círculo con varias entradas y una sola salida que realizan la operación de suma algebraica de las entradas presentando a la salida el resultado como se muestra en la figura, se siguen las mismas reglas que en el álgebra convencional cuando no aparece el signo de una variable se supone que es positiva o sea +. Un punto de suma puede tener varias entradas pero solo una salida.Puntos de Derivación de Señal son puntos utilizados para tomar la misma señal y dirigirla al mismo tiempo en varias direcciones sin que esta cambie o se reparta sino que se trasmite integra en todas las direcciones como se puede ver en la figura

LA FÓRMULA DE MASÓNEsta fórmula también puede aplicarse directamente a los diagramas de bloques, pero la representación en diagramas de flujo de señal es más fácil de leer, especialmente cuando los diagramas de bloques son muy complicados.Representaremos por T la relación de la variable de salida a la variable de entrada. Para sistemas lineales de control retroalimentados, T=C(s)/R(s). Para un diagrama de flujo T= X n / X1 enDonde: X n es la salida y X1 es la entrada

La formula de Masón está dada por

Pi : la ganancia de la i-ésima trayectoria directa1 - (la suma de todas las ganancias de los lazos) + (la suma de todos los productos de las ganancias de dos lazos que no se tocan) - (la suma de todos los productos de las ganancias de tres nodos que no se tocan)+•••••

ievaluada no tomando en cuenta todos los lazos que tocan a Pi

Se dice que dos lazos, dos trayectorias o un lazo y una trayectoria se tocan si por lo menos tienen un lazo común.La aplicación de la Formula de Masón es considerablemente más sencilla de lo que parece.

Ecuaciones de circuitos eléctricos Componente tensión corriente tensión Impedancia Admitancia

corriente tensión carga Z ( s)=V (s)I (s)

Y (s )= I (s)V (s)

Capacitor v (t )= 1C∫

0

t

i (τ ) dτ i ( t )=Cdv ( t)

dtv (t )= 1

Cq ( t ) 1

CsCs

Resistencia v (t )=Ri (t) i (t )= 1R

v (t) v (t )=Rdq(t )

dt R

1R

=G

Inductancia v (t )=Ldi( t)

dt i (t )= 1

L∫0

t

v ( τ ) dτ v (t )=Ld2 q (t)

dt2 Ls 1Ls

Ecuaciones de sistemas mecánicos Componente fuerza fuerza Impedancia

velocidad desplazamiento ZM (s )= F ( s )X (s )

f ( t )=K∫0

t

v ( τ )dτ f ( t )=K x (t) K

f ( t )=Bv (t) f ( t )=Bdx (t)

dt Bs

f ( t )=Mdv (t)

dt v (t )=M

d2 x (t)dt 2 M s2

Ecuaciones de sistemas mecánicos rotacionales

Componente torque - torque - Impedancia

velocidad angular desplazamiento angular ZM (s )=T ( s)θ (s )

T (t )=K∫0

t

ω ( τ ) dτ T (t )=Kθ(t ) K

T (t )=Dω(t ) T( t )=Ddθ(t)

dt Ds

T (t )=Jdω( t)

dt T (t )=J

d2θ (t)dt2 J s2

Ing. Luis Mercado A.