Post on 11-Jun-2015
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FuncionesI. Relación (R).
Para saber que es una función es necesario comprender el concepto de “Relación”: Dado dos conjuntos A y B, podemos definir la relación como la correspondencia que hay entre todos y algunos elementos del primer conjunto con uno más elementos del segundo conjunto.
En donde R ={(1;a); … ; (2;b); …}
II. Función
Es una relación en la cual cada elemento del conjunto de partida le corresponde un único elemento del conjunto de llegada.
1. Método Práctico para identificar funciones: se traza una recta paralela al eje y, si dicha recta corta en dos puntos la gráfica “NO ES FUNCIÓN”.
2. Tipos de funciones:
1.2.3.
a.b.c.
AB
((x) = )X f=
Sí es función.
a. Función Inyectiva: Es aquella función que tiene elementos distintos en el dominio a los cuales les corresponde elementos distintos del rango.
Una forma sencilla de identificar una función inyectiva es trazando líneas paralelas a la abscisa, si ésta corta en dos puntos, “NO ES UNA FUNCIÓN INYECTIVA”.
b. Función Sobreyectiva : es la función en la cual el rango es igual al dominio.
c. Función Biyectiva: es aquella función que es inyectiva y sobreyectiva a la vez.
3. Funciones Especiales a. Función Constante: es aquella función en la que los valores del eje y siempre van a ser
el mismo.FORMA: y=ax+b; donde a=0 / y=b
Ejemplo: y=2
b.
Función Identidad: es aquella función en la que tanto los valores del eje x como del eje y son iguales.
FORMA: y=ax+b; donde a=1 / b=0 / y=x
X Y-1 20 21 22 23 2
D(f)={R}R(f)={2}
1.2.3.
a.b.c.d.
AB
1.2.3.
1.2.3.
A B
Ejemplo: y=x
c. Función Lineal:
FORMA: y=ax+b; donde aЄR / bЄR
Caso 1: y=2x
ObObservación: Cuando el coeficiente es mayor que 1, la gráfica se junta al eje y.
Caso 2: y=x/2
Observación: Cuando el coeficiente es menor que 1 se aleja del eje y.
X Y-1 -10 01 12 23 3
D(f)={R}R(f)={R}
X Y-1 -20 01 22 43 6
D(f)={R}R(f)={R}
D(f)={R}R(f)={R}
X Y-1 -0.50 01 0.52 1
Caso 3: y=x+2
Observación: Si a la función se le suma un valor cualquiera, la gráfica subirá.
Caso4: y=2x+1
Observación: Si la función se ve afectada por un coeficiente y además se le suma cualquier número, la gráfica tiende a tomar la forma del eje y.
X Y-1 10 21 32 4
D(f)={R}R(f)={R}
X Y-1 10 11 32 5
D(f)={R}R(f)={R}
III. Composición de Funciones
1. Definición: dada dos funciones f: A B y g: B C, dónde la imagen de f está contenida en
g, se define la composición , para todos los elementos de
NOTA: , se lee, Composición de f con g.
Ejemplo: f(x)= 2x / g(x)=3x+1
(gof)(x) = g (f(x))
= 3 (2x) + 1
= 6x + 1
(fog)(x) = f (g(x))
= 2x (3x+1)
= 6x + 2
2. Propiedades: Si: f(x)= 3x+2 / g(x)= x+3 / h(x)= 2x-1
a. La Composición de Funciones cumple la propiedad Asociativa.
b. La Composición de Funciones no cumple la propiedad conmutativa
-1.0.1.
-2.0.2.
-5.-1.7.
6x+8 = 6x+8
3x+11 = 3x+5
IV. Funciones Reales de Variables Reales
1. Definición: Una función se llamará FUNCION REAL DE VARIABLE REAL cuando tanto el conjunto de partida como el de llegada sean subconjuntos de los Números Reales.
2. Dominio: Es el conjunto de todas las primeras componentes, se ubica en el eje de las abscisas.
3. Rango: Es el conjunto de todas las segundas componentes, se ubica en el eje de las ordenadas.
4. Casos de Dominios: a. Primer Caso: Cuando el dominio está enunciado explícitamente no hay nada que
calcular.
Sea la función: f(x)= -4; x Є [-4; ]
Dominio= [-4; ]
b. Segundo Caso: Es aquel caso en el cual los valores de x deben ser diferentes de cero.
Sea la función: f(x)= x ≠ 0
Dominio= R – {0}
c. Tercer Caso: Es aquel caso en el cual la función está afectada por una raíz.
Sea la función: f(x)= x ≥ 9
Dominio= [9; [
V. Función Cuadrática 1. Definición: La función cuadrática es aquella función de:
FORMA: f(x)=a + bx + c; donde a ≠ 0
2. Propiedades: a. Todos los valores de la función son mayores o iguales a cero.b. Cada número de x cumple: f(x) = f(-x).c. El menor valor de la función es cero.
3. Características: a. Las parábolas son crecientes y decrecientes. Además tienen un punto máximo o mínimo.b. Son continuas porque no presentan cortes en su trazo.
c. Son simétricas.4. Casos de Funciones Cuadráticas:
a. Caso 1: FORMA: y= ; donde si a > 1, la abertura de la parábola será hacia arriba y si a
< 1, la abertura de la parábola será hacia abajo.
Ejemplo: y=
b. Caso 2: FORMA: y=
; donde si “a”
es una
fracción, la parábola tiende a acercarse al eje x.
Ejemplo: y= -
X Y-2 -2-1 -0.50 01 -0.52 -2
D(f)={R}
R(f)={ }
X Y-2 8-1 20 01 22 8
c. Caso 3: Forma: y= +c; donde “c” indicará cuanto debe de subir la gráfica.
Ejemplo: y= 3 +1
d. Caso 4 :
FORMA: y= +bx + c; donde si se le aumenta una cantidad que se encuentra dentro de
un exponente cuadrático, la parábola se desplaza a la derecha o izquierda según convenga.
Ejemplo: y=
D(f)={R}
R(f)={ }
X Y-2 13-1 40 01 42 13
D(f)={R}
R(f)=[1; [
VI. Función Raíz Cuadrada
1. Definición: Se define como: y= ; donde x ≥ 0.
X Y-2 -2-1 -10 01 12 2
D(f)={R}
R(f)={ }
D(f)={ }
R(f)={ }
No olvides que puedes hallar el intercepto en el eje x e y igualando cada variable a cero, es
decir: x = 0 e y = 0.
2. Característica: El valor que está dentro de la raíz cuadrada siempre será mayor o igual a cero, ya que de lo contrario no pertenecería a los reales.
3. Ejemplos:
a. y =
b. y =
c. y = -
X Y1 1.42 28 4
D(f)={ }
R(f)={ }
X Y-1 03 28 315 4
D(f)=[-1; [
R(f)={ }
X Y-1 00 -11 -1.43 -2
D(f)=[-1; [
R(f)={ }
VII. Función Valor Absoluto 1. Definición: La función valor absoluto asocia a cada número su valor absoluto, es decir,
su valor sin tener en cuenta el signo.FORMA: y = |x|
De acuerdo con la definición, “x” puede ser cualquier número real, por lo tanto, el dominio está representado por los números reales. Las imágenes de “x” corresponden a los números positivos, por lo que el rango está determinado por los reales positivos.
Cuando el signo negativo antecede a la función, ésta se invierte.y= - |x|
D(f)={R }
R(f)={ }
X Y-1 00 -11 -1.43 -2
D(f)={R }
R(f)={ }
2. Casos de Funciones Valor Absoluto: a. Caso 1: Cuando se le suma o resta unidades, fuera del valor absoluto, la gráfica sube
o baja respectivamente.
+
b. Caso 2: Si un signo negativo antecede a la función, la gráfica se invierte.
X Y-1 30 21 3
X Y-1 -10 -21 -1
D(f)={R }
R(f)={ [D(f)={R }
R(f)={ [
X Y-2 -7-1 -60 -51 -62 -7
X Y-2 3-1 40 51 42 3
D(f)={R }
R(f)={ [
D(f)={R }
R(f)={ [
y= |x|+ 2y= |x|- 2y= |x|+ 2
y= -|x|+ 5 y= -|x|- 5
c.
c.
c.
c. Caso 3: Cuando se le suma o resta unidades a la función, dentro del valor absoluto, la gráfica se desplaza a la derecha o a la izquierda respectivamente.
d. Caso 4: Cuando se multiplica un número a la función, dentro del valor absoluto, la gráfica se separa del eje y.
X Y-4 3-3 4-2 5-1 40 31 42 5
X Y-4 3-3 4-2 5-1 40 31 42 5
D(f)={R }
R(f)={ }D(f)={R }
R(f)={ }
X Y-2 6-1 30 01 32 6
X Y-2 10-1 50 01 52 10
D(f)={R }
R(f)={ }D(f)={R }
R(f)={ }
y= |x+3|
y= |x-3|
y= |3x| y= |5x|
VIII. Función Máximo Entero 1. Definición: Es aquella función que usa el número entero no mayor que el mismo número.
a. Ejemplo: y =
En general, si “K” es un entero cumple: = K.
Para hallar los intervalos a los que pertenece “x”: K ≤ x< K+1.
2. Casos de Funciones Máximo Entero: a. Caso 1: Cuando se multiplica un número fuera del valor máximo entero.
Ejemplo: y= 2 , donde y= 2x
b. Caso 2: Cuando se multiplica un número dentro del valor máximo entero.
Ejemplo: y=
D(f)={R }R(f)={Z }
K=2; 2 ≤ x < 3K=1; 2 ≤ x < 2K=0; 2 ≤ x < 1K=-1; 2 ≤ x < 0K=-2; 2 ≤ x < -1
K=2; 2 ≤ x < 3; y=4K=1; 2 ≤ x < 2; y=2K=0; 2 ≤ x < 1; y=0K=-1; 2 ≤ x < 0; y=-2K=-2; 2 ≤ x < -1; y=-4
D(f)={R }R(f)={2n; nЄZ }
c. Caso 3: Cuando se le suma un valor dentro del valor máximo entero.
Ejemplo: y=
d. Caso 4: Cuando se le suma un valor fuera del valor máximo entero.
Ejemplo: y = +1
K=2; 2 ≤ x < 1.5K=1; 2 ≤ x < 1K=0; 2 ≤ x < 0.5K=-1; 2 ≤ x < 0K=-2; 2 ≤ x < -0.5
D(f)={R }R(f)={Z }
K=2; 2 ≤ x < 2K=1; 2 ≤ x < 1K=0; 2 ≤ x < 0K=-1; 2 ≤ x < -1K=-2; 2 ≤ x < -2
D(f)={R }R(f)={Z }
e. Caso 5: Cuando se le suma el mismo valor que está dentro del máximo entero.
Ejemplo: y= +x
K=2; 2 ≤ x < 3; y=3K=1; 2 ≤ x < 2; y=2K=0; 2 ≤ x < 1; y=1K=-1; 2 ≤ x < 0; y=0K=-2; 2 ≤ x < -1; y=-1
D(f)={R }R(f)={Z }
K=2; 2 ≤ x < 3; y=2+x; 4 ≤ x < 5K=1; 2 ≤ x < 2; y=1+x; 2 ≤ x < 3K=0; 2 ≤ x < 1; y=x; 0 ≤ x < 1K=-1; 2 ≤ x < 0; y=-1+x; -2 ≤ x < -1K=-2; 2 ≤ x < -1; y=-2+x; -4 ≤ x < -5
D(f)={R }R(f)={…[4; 5[ u [2; 3[ }