Post on 02-Apr-2015
FUNCIONES
Consideremos dos conjuntos numéricos
:
x1
x2
x3
x4
x5...
xn..
y1
y2
y3
y4
.
.
.
.
.
y5
yn
A B
Conjunto de partida Conjunto de llegada
:
x1
x2
x3
x4
x5...
xn..
y1
y2
y3
y4
.
.
.
.
.
y5
yn
A B
f(x)
En este caso se definió una RELACIÓN de A en B
Formas de expresar una relación
• Diagramas de Venn• Enunciado• Fórmula• Pares ordenados (Tabla)• Puntos del plano (Gráfico)
:
-2
-1
0
123½
-4
-2
0
2
1
4
6
7
DIAGRAMA DE VENN
R : “A cada valor de X le corresponde su doble”
R : “Y es el doble de X”
ENUNCIADO
y = 2x
f(x) = 2x
Esto se lee: “la imagen de x”
FÓRMULA
X f(X)
1 2
2 4
-2 -4
9 18
0,5
1,25
0,75
-2,5
TABLA DE VALORES
GRÁFICO
Definiciones
• Dominio: Es el conjunto de todos los elementos X del conjunto de partida que poseen imagen.
• Imagen: Es el conjunto de todos los elementos Y del conjunto de llegada que son imagen de algún valor de X
R z
123
-1
-2
¾
2
Conjunto de partida Conjunto de llegada
246
-2
-4
y
Dominio(Dm)
Imagen (Im)
DEFINICIÓN DE FUNCIÓN
Una función definida de A en B
(f : A B)
Es una relación en la que:
• Todos los valores de X tienen una imagen Y. (CONDICIÓN DE EXISTENCIA)
• Cada valor de X tiene una y solo una imagen Y. (CONDICIÓN DE UNICIDAD)
DEFINICIÓN DE FUNCIÓN
• EXISTENCIA
• UNICIDAD
, / ( )x A y B f x y
1 2 1 2 y( ) ( )f x y f x y y
El dominio coincide con el conjunto de partida
FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL
• Son aquellas cuyo Dominio e Imagen con subconjuntos de R, o bien, el mismo R.
f: AB / f(x)=y
; A R B R
EJEMPLOS
¿La siguiente fórmula representa a una función?
( )f x x
CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES
• INYECTIVA: Una función es inyectiva si y solo si a cada par de valores distintos de X del dominio le corresponden imágenes distintas.
1 2 1 2( ) ( )x x f x f x
• SOBREYECTIVA: Una función es sobreyectiva si y solo si todos los elementos Y del conjunto de llegada son imagen de algún elemento X del dominio.
CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES
, / ( )y B x A y f x
• BIYECTIVA: Una función es biyectiva si y solo sí es inyectiva y sobreyectiva.
CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES
Ejemplos
20 5 1( ) ,f x x
Ejemplos
30 5 1( ) ,f x x
• FUNCIÓN INVERSA: Dada una función
f : AB
Si existe una relación f -1
: BA y es función,
entonces f -1
se llama función inversa de f.
Para que exista la inversa de una función, ésta debe ser biyectiva
Ejemplo
Sea f: RR / f(x) = 2x+1
Despejamos x
Expresamos la nueva función
Intervalos de crecimiento y decrecimiento
• Intervalos abiertos (a ; b)• Intervalos cerrados [a ; b]• Intervalos semiabiertos (a ; b]
[a ; b)
FUNCIÓN LINEAL
Una función lineal es aquella cuya forma es:
y = mx +b
donde: m es la pendiente
b es la ordenada al origen
Si m=0, la función es CONSTANTEf(X)=b
f(x) = 2
Distintas formas de expresar la ecuaciones de una recta.
Forma Explícita : y = mx + b
Forma implícita o general: Ax + By + C = 0
Forma segmentaria: x/a + y/b = 1
Condición de paralelismo y perpendicularidad
Ecuación de la recta que pasa por un punto y tiene pendiente
conocida
Ecuación de la recta que pasa por dos puntos
Ejemplos
FUNCIÓN CUADRÁTICA
f : R R tal que
f(x) = ax2 + bx + c
a, b, c R, a 0
El gráfico de una función cuadrática es una curva llamada PARÁBOLA cuyos elementos
principales son:
Vértice
Raíces
OrdenadaAl origen
Eje de simetría
Distintas posiciones y formas de la parábola
• Si a > 0, entonces las ramas de la parábola se orientan hacia arriba, en ese caso habrá un MÍNIMO
• Si a < 0, entonces las ramas de la parábola se orientan hacia abajo, en ese caso habrá un MÁXIMO
• Cuado mayor es el valor absoluto de a, la curva es más cerrada.
Ejemplos:
f(x) = –0,5 x2 +3x – 2 f(x) = x2 +3x – 1
Cálculo de la posición de los elementos de la parábola
a
acbbxx
2
4,
2
21
a
bxv 2
)( vv xfy
Raíces:
Coordenadas del vértice V=(Xv ; Yv)
cy 0
vxX
Ordenada al origen
Eje de simetría
Análisis del discriminante
= b2 – 4acSi > 0 la función tiene dos raíces reales y distintas, es decir, el gráfico corta al eje x en dos puntos (x1 x2)
Si = 0 la función tiene dos raíces reales e iguales (una raíz doble), es decir, corta al eje x en un punto (x1 = x2)
Si < 0 la función no tiene raíces raíces reales, es decir el gráfico no corta al eje x en ningún punto.
> 0
= 0
< 0
Ejemplo de aplicación práctica de la función cuadrática
FUNCIÓN LOGARÍTMICA
Función logarítmica
f : R+ R tal que:
f(x) = logb (x)
b R , b > 0 , b 1
Gráfico f(x) = log2 x
Variación del gráfico según la expresión del argumento
)(log)( xxf b
Base Argumento
f(x) = log2 (x-1)
f(x)= log2(x – 1)
f(x)= log2(x + 3)
f(x)= log2(x – 3)
Variación del gráfico según el valor de b
b< 1 : ejemplo f(x) = log1/2 (x)
FUNCIÓN EXPONENCIAL
f: R R / f(x) = k.ax + b
f(x) = 2x
Función polinómica
f : R R tal que:
011
21
1 ....)( axaxaxaxaxf nn
nn
xn
Ejemplos:
Graficar la siguientes funciones
f(x)= 0,5x2 – 3x + 2,5
f(x) = log2 (2x – 1)
f(x) = – 2. 2x + 4