Post on 22-Oct-2019
Funciones I
Función.- Es una relación o correspondencia binaria (es
decir, entre dos magnitudes), de manera que a cada valor de la primera, le corresponde un único valor de la segunda.
Ejemplo: Sea la relación R = {(x, y) A x A / y = x + 1}
donde: A = {1; 2; 3}
¿"R" es función? Solución.- Como: A = {1; 2; 3}, entonces:
A x A = {(1; 1), (1; 2), (1; 3), (2; 1), (2; 2), (2; 3), (3; 1), (3; 2), (3; 3)}
Luego, los pares que verifican la relación: y = x + 1
son los siguientes: (1; 2), (2; 3)
Así: R = {(1; 2), (2; 3)} Observa que las primeras componentes no se repiten, entonces "R" es una función.
Observaciones:
1. Recuerde que en todo par ordenado se tiene:
2. Indicar cuáles de los siguientes conjuntos determinan
una función:
A = {(2; 3), (5; 7), (1; 4)} B = {(4; 1), (9; 8), (3; 6)} C = {(2; 3), (1; 7), (3; 5)}
a) Sólo A b) Sólo B c) Sólo C
d) Ninguno e) Todos
3. Dados los conjuntos:
P = {(1; 2), (2; 3), (3; 4), (4; 5)} Q = {(5; 1), (3; 9), (5; 6)}
R = {(2; 3), (5; 1), (9; 4)}
entonces:
a) “P” no es función b) “Q” es función
c) “R” no es función
d) “P” y “Q” son funciones
e) “P” y “R” son funciones 4. Si se tiene:
(x ; y) A ( 5 ; 3),( 4 ;1), (5; 4)
B (2; 7), (5; 49 ),(3; 7)
Primera componente
Segunda componente
C (1; 4), (3; 5), (70; 2)
2. Si tenemos un conjunto de pares ordenados, basta que la primera componente de dos pares diferentes, sean iguales, para determinar que no es función.
Ejemplo:
El conjunto: P = {(1; 3), (2; 7), (5; 6), (30; -5)}
... es función.
entonces:
a) “B” no es función b) “A” es función
c) “A” y “C” son funciones
d) “A” y “B” no son funciones
e) “A” y “C” no son funciones 5. Sabiendo que:
F = {(2a; 3), (3; 7), (1; 4), (8; 10)}
es una función, ¿qué valor natural puede no tomar "a"?
a) 1 b) 2 y 5 c) 3 d) 4 y 8 e) 4
Bloque I
6. Si el conjunto:
1
J 8; x , 5; 3 , ; 5 , 8; 2x 31. Será cierto qué "F" es función, si:
F = {(1; 2), (3; 7), (5; 3), (1; 9)} 2
es una función, entonces el valor de "x" es:
a) sí b) no c) quizás. a) 2 b) 1 c) 3
d) 4 e) -1
(b-1; 9)
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4
Bloque II
e) 5
7. Determinar el valor que no puede tomar "a", si:
11.Según el gráfico:
3
D 3a; 5, 7; 1, ; 4 , 6; 12
5
es una función. ("a" IN)
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
8. El gráfico:
el valor de "a + b" es:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
12.Del gráfico:
-2 -1 1 2
-1
a) Determina una función
b) No determina una función
c) Posee cuatro pares ordenados
d) a y c
e) b y c
9. Si tenemos el siguiente gráfico:
hallar "a + b + c"
1. De acuerdo al gráfico:
f
Entonces:
-3 -2 -1 1 2 3 1 2
5 3
a) Determina una función
b) No determina una función
c) Posee cinco pares ordenados d) a y c e) b y c
7 5 calcular: f(1) + f(5) + f(7)
10.Dado el gráfico:
(2a+1; 8)
a) 10 b) 5 c) 2 d) 3 e) 13
2. Considerando la función anterior, determinar:
f (f (7)) + f (1)
f (5)
Entonces "a+b" vale:
a) 2 b) 9 c) 8 d) 6 e) 4
7 a) 5 b) 1 c)
3
5 d) e) 2
3
a) 2 b) 5 c) 4 d) 1 e) 3
3. Dadas las funciones "f" y "g" definidas por: 6. Según el gráfico:
f g
1 2 3 5
3 1 1 2
5 3 2 3
hallar: hallar:
f (1) + f (2) + f(3)
f + f
f(1) g(3) (3,5) (3,6)
f(g(2) ) f(g(3) )
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
7 a) 1 b) 2 c)
4
7. Definida la función: 2x 7; si
x 3
21
d) 4 e) 2
f ( x ) x 1;
si x 3
4. Del gráfico:
Marca la altenativa correcta:
a) f(1) = -5 b) f(3) = -1
c) f(0) = 1 d) f(5) = 6
e) f(4) = 9
8. Con la función definida en la anterior pregunta,
determinar el valor de la expresión:
hallar:
J f(5) f(1)
f(2) f(3)
f (f (5)) + f (0)
f (1)
a) 1,50 b) 3,75 c) 2,45 d) 2,50 e) 3,25
9. Si se tiene la función:
a) 0,5 b) 1,0 c) 2,75
d) 3,25 e) 2,0
3x a ;
H(x)
si: x 1
5. Determinar el valor de:
f (f (1)) + f (f (3))
x b ; si: x 5
f (5)
sabiendo que para la función tenemos:
Determinar "a2 + b2", sabiendo además que:
H(0) = 2; H(7) = 9
a) 0 b) 2 c) 4 d) 16 e) 8
10.Consideremos a la función:
2x 3a ; si: J( x )
x 3
x 2b ; si: x 3
Si se sabe que: J(a) = 11; J(b) = 7; a > 5 b < 0
hallar "a"
7 a) -11 b)
3
1 d) 1 e)
3
Bloque III
c) 5
6. Sea:
G = {(3; 6), (5; 9), (8; 4), (7; 6)}
H = {(3; 9), (5; 12), (8; 7), (7; 9)}
Si: f(G(m) ) h(m) , hallar "f
(9) + f
(4)"
a) 12 b) 7 c) 19 1. Sea "f" una función:
f = {(1; 2), (2; a), (3; b), (4; 5)} y f(x)
= cx + d
hallar "a + b + c + d"
a) 5 b) 7 c) 9 d) 11 e) 13
2. Siendo: F
(x) = ax + b, obtener "F
(a) . F
(b)"
Sabiendo que (1; 5) y (- 1; 1) pertenecen a "F".
a) 72 b) 63 c) 56 d) 42 e) 18
d) 5 e) 13
7. Si:
G = {(5; 7), (8; a + 4b); (8; 3), (5; 2a - 15)};
representa una función.
b El valor de " " es:
a
2 a) 4 b) 2 c)
11
11 d) - 6 e)
3. Dada la función "F", tal que:
F(4)
= 1; 2F(2)
= 3F(3)
Además: F(x)
= ax + b; luego podemos afirmar:
a) F
(-1) = 6 b) F
(3) = - 2
c) F(- 4)
= F(14)
d) F(10)
= 5
e) F(2)
+ F(8)
= 0
4. Sea f
(x) una función lineal tal que:
f(x + 1)
= 3x + 8 hallar la ordenada del punto de abscisa 8.
a) 13 b) 1 c) 29 d) 15 e) 18
5. Sea f
(x) una función definida por:
f= {(a; b), (3; c), (1; 3), (2b; 4)}
f(x)
= x - 2a
hallar "abc"
2
8. A partir de la función:
H = {(a+1;3), (2a-1;a), (a+1;2a-7), (9;b-3), (b;a-1)}
Hallar: H(a + 4)
+ H(b - 2)
a) 3 b) 9 c) 8 d) 6 e) 4
9. Si:
A = {1; 2; 3; 4; 5; 6} B = {1; 2; 3; 4; 5}
F: A B es una función F = {(a; 1), (2; 4), (4; 4), (b; 4), (c; 5)}
Indique el mayor valor de "a + b + c"
a) 1 b) 10 c) 14
d) 15 e) 16
a) 6 b) - 5 c) - 8 d) 4 e) - 12
Autoevaluación
1. Dados los conjuntos: 3. Dada la función: f(x) = 3x - 1, observa el gráfico.
M (
16 ; 5), (7; 4), ( 4; 5) 1
0
1
0
N (3 ; 7), 6; , (3) 2
;4 0
2
2
P ( 49 ; 6), 1; , 7; 5
36
Entonces:
a) “M” no es función b) “N” y “P” son funciones
c) “N” es función
Determina el valor de: + +
a) 2 b) 6 c) 5 d) -1 e) 0
4. Si tenemos:
d) “P” es función 3x 1 ; si f ( x )
x 0 e) “M” y “P” no son funciones
x 5 ; si x 0
2. Del gráfico:
El conjunto de pares ordenados ...
a) Determina una función b) No determina una función
c) Tiene tres elementos
d) Es un absurdo
e) Forman un triangulito
Determinar: f(f(-4))
a) 4 b) -5 c) -1 d) -4 e) 0
5. Con la función definida en el ejercicio anterior, calcular
el valor de:
f(f (f (10) ) )
f(3)
3 1 a) b) 5-1 c)
10 10
d) 2-1 e) 0
ÁLGEBRA 2
AÑO
Funciones II
Recordando que el dominio de una función "f" es el conjunto de las primeras componentes de los pares ordenados de la función.
Así: Df
= {x A / y ; tal que (x; y) "f"}
También el rango de una función "f" es el conjunto de las segundas componentes de los pares ordenados de la función.
Asi: D
f = {y B / y ; tal que (x; y) "f"}
Dominio y rango de la función lineal
y = f(x)
= ax + b / a IR b IR
Como a cada valor de "x" le corresponde un valor de "y" entonces si a "x" le asignamos valores reales obtendremos para "y" también valores reales. Luego el dominio y rango de la función lineal será:
Df = IR y Rf = IR Ejemplo:
La función: f(x)
= 2x - 5; por ser lineal su dominio y
rango será: Df = IR y Rf = IR Ejemplo:
Ejemplo: La función: f
1 x = ; es lineal pues
Sean los conjuntos: A = {1; 2; 3; 4; 5} y B = {4; 9; 16}
la relación:
f(x)
=
(x)
1
5 3
1 x
f = {(2; 4), (3; 9), (4; 16)} es una función 3 5
f: A B con Dominio: Df = {2; 3; 4} y Rango Rf = {4; 9; 16}
Para que se puede definir bien una función es
Luego su dominio y rango será: Df = IR y Rf = IR
Dominio y rango de la función racional:
suficiente conocer su dominio (Df) y una regla que
permita relacionar cualquier "x Df" con su imagen
"f(x)
".
y = f(x) = ax b
cx d
Ejemplo:
Dada la función: f(x)
= 2x2 + x - 3 Donde: x {- 1; 2; 4}
El dominio de la función (todos los valores de "x") es el conjunto de los números reales IR menos el conjunto de valores de "x" que anulen al denominador.
Df: IR - {cx + d = 0}
Hallar el rango de la función Resolución:
Ejemplo:
2x 1
Como: x {- 1; 2; 4} Df = {- 1; 2; 4}
Ahora para cada "x" obtenemos su imagen f(x)
o
simplemente el rango de la función. x = - 1 f
(- 1) = 2(-1)2 + (-1) - 3 = 2 - 1 - 3 f
(- 1) = - 2
x = 2 f(2)
= 2(2)2 + 2 - 3 = 8 + 2 - 3 f(2)
= 7
x = 4 f(4) = 2(4)2 + 4 - 3 = 32 + 4 - 3 f(4) = 33
finalmente la imagen o rango de la función será:
Rf = {- 2 ; 7; 33}
* Hallar el dominio de la función: f(x)
= 4 x 8
Resolución:
El dominio de la función se obtendrá así: Df: x IR - {4x - 8 = 0}
Resolviendo la ecuación: x = 2
x IR - {2}
Observación: El dominio de la función:
2x 1
Como: x IR 3y - 1 0 3y 1
y = f(x)
=
manera:
; lo podemos encontrar de la siguiente 4 x 8 1
y 3
y IR si el denominador nunca deberá ser nulo entonces:
4x - 8 0
4x 8 x 2
Df: x IR - {2}
El rango de la función será:
1 Rf: y IR -
3
Método práctico: Sólo para hallar el rango de la función:
x 4 * Hallar el dominio de la siguiente función: f
(x) =
3x 6
y = f
(x) =
4 x 1
x 2
6
3x 9
Dividiendo los términos lineales del numerador y denominador; así:
x
1
Resolución: Rf: y IR - y IR -
y IR x - 2 0 3x + 9 0
x 2 3x - 9 x 2 x - 3
Ejemplo:
3x 3
Df: x IR - {- 3; 2}
* Hallar el dominio y rango de la función:
10x 1
ax b Para hallar el rango de la función racional: y =
cx d
se despeja "x" en función de "y".
Resolución:
f(x)
= 5x 1
Ejemplo:
Cálculo del dominio: 5x + 1 0 5x - 1
1 * Hallar el rango de la función: f
(x) =
x 4
3x 6
1
x 5
Df: x IR - 5
Resolución:
x 4
Cálculo del rango: (utilizo el método práctico)
10x
Como: y = f(x)
; entonces: y = 3x 6
Rf: y IR -
y(3x - 6) = x + 4
Efectuando la multiplicación
3yx - 6y = x + 4
Despejando "x"
3yx - x = 6y + 4
Común: x
x(3y - 1) = 6y + 4
6y 4
5x
y IR - {2}
Dominio y rango de la función cuadrática
y = F(x)
= ax2 + bx + c; a 0
• El dominio de la función está representado por todos
los números reales es decir: Df = IR.
• Los valores de "y"; es decir el rango de la función
cuadrática se obtiene despejando "x" en función de "y".
x = 3y 1
2
Ejemplos: * Hallar el dominio y rango de la función cuadrática:
f(x) = 2x2 + 3x + 2
Resolución:
Cálculo del dominio: x IR
Cálculo del rango: y = 2x2 + 3x + 2
formando una ecuación de segundo grado:
2x2 + 3x + (2 - y) = 0
Usando la fórmula general para despejar "x" en función de "y".
ax2 + bx + c = 0 (a 0)
Resolución: Como: y = f
(x), entonces: y = 3x2 - 5x + 1 ; la ecuación
de segundo grado será: 3x2 - 5x + (1 - y) = 0
Así como el problema anterior para encontrar el rango
de la función resolveremos: = b - 4ac 0
Discriminante de
la ecuación de 2do grado
a = 3 ; b = - 5 y c = 1 - y
(- 5)2 - 4(3)(1 - y) 0
25 - 12(1 - y) 0 Despejando "y":
25 - 12 + 12y 0
13 + 12y 0
b x =
b2 4ac
2a
12y - 13
13 y
12
2 = b - 4ac
Discriminante de la ecuación
13 Rf = [ ; + >
12
3 x =
9 4(2)(2 y)
2(2) Dominio y rango de la función raíz cuadrada
Para que "x IR" lo que está dentro de la raíz cuadrada o sea la discriminante () deberá ser una cantidad no negativa es decir:
= 9 - 4(2)(2 - y) 0
Resolviendo:
y = f( x )
• Al resolver la inecuación f
(x) 0 obtendremos el
dominio de la función.
• El rango de la función se obtiene construyendo la
función a partir del dominio de la función. Ejemplo:
9 - 8(2 - y) 0
9 - 16 + 8y 0
Hallar el dominio y rango de la función:
- 7 + 8y 0 8y 7
f(x)
=
x 5
y 7 8
7 Rf = [
8 ; + >
Resolución: Cálculo del dominio: x - 5 0
x 5
Df = [5 ; + >
* Ejemplo:
Calcular el rango de la función cuadrática.
f(x) = 3x2 - 5x + 1 ; x IR
Cálculo del rango:
Construyendo la función y = f(x)
=
dominio.
Dominio: x 5
Resto 5: x - 5 5 - 5
x - 5 0
x 5
partiendo del
Extraemos :
x 5 0
Los valores enteros son: - 4; - 3; - 2; - 1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6
como: y =
x 5
y 0
* Ejemplo:
# elementos = 11
Rf = [0; + > Calcular el dominio y rango de la función:
* Ejemplo:
Hallar el rango de la función:
Resolución:
f(x)
=
x 2 10 x 21
Resolución:
f(x)
= x 2 - 6
Cálculo del dominio: - x2 + 10x - 21 0
Cálculo del dominio: x + 2 0 x - 2
Rf = [ - 2; + >
Cálculo del rango:
Dominio: x - 2
x + 2 0
Multiplicando por (- 1):
x2 - 10 x + 21 0
x - 7
x - 3
(x - 3)(x - 7) 0
extraemos : x 2 0 3 7
restando 6: x 2 - 6
0 - 6
Df: 3 x 7 ó [3; 7] Cálculo del rango:
como: y = x 2 - 6
f(x)
=
x 2 10x 21
luego: y - 6
Rf = [- 6; + >
completando cuadrado:
* Ejemplo:
f(x)
= x 2 10 x 25 4
Calcular el dominio de la función:
- x2 + 10x - 25 = - (x2 - 10x + 25)
= - (x - 5)2
f(x)
=
x 4 4
6 x Luego:
Indicar el número de elementos enteros.
f(x)
=
(x 5)2 4
Resolución:
Cuando el radical es de índice par lo que está dentro
Recordamos que para hallar el rango de la función
debemos partir del dominio para construir la función f de la raíz debe ser una cantidad no negativa, es decir:
x + 4 0 6 - x 0 Resolviendo las inecuaciones:
x - 4 6 x
x - 4 x 6 Graficando:
Dominio
- 4 6
x [- 4; 6]
Df: 3 x 7 Restando 5: 3 - 5 x - 5 7 - 5
- 2 x - 5 2
Al cuadrado: 0 (x - 5)2 22
0 (x - 5)2 4
Multiplicando por - 1: - 4 - (x - 5)2 0
Sumando 4: - 4 + 4 - (x - 5)2 0 + 4
0 - (x - 5)2 4
(x)
a) 24 b) 18 c) 14 d) 10 e) 6 a) {2; 3; 5} b) {1; 6; 2} c) {2; 3}
d) {3; 5} e) {1; 6}
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
extraemos : 0 (x 5)2 4 4
como: y = f(x)
= (x 5)2 4
entonces: 0 y 2
Rf = [0; 2]
Dominio y rango
la
función
Lineal
F(x)=ax+b Racional
F = ax+b
Cuadrática 2
F =ax +bx+c
Raíz cuadrada
x cx+d (x) y F( x )
Dominio
x IR
Dominio
xIR-{cx+d=0}
Dominio
x IR
Dominio
se resuelve la
inecuación
F(x) 0
Rango
y IR
Rango
a x IR
c
Rango
Se resuelve
la inecuación
Rango
Se debe
construir la
0
: Discriminante
función a
partir del
dominio
Problemas para la clase
Bloque I 1. Dada la función: F = {(2; 1), (3; 6), (5; 2)}
hallar el dominio de la función.
3. Señale la suma de los elementos del rango de la
función: F(x)
= 2x + 3; siendo: x = {0; 1; 2; 3}
2. Dada la función: G = {(5; 1), (6; 2), (8; 1), (9; 2)}
hallar el rango de la función.
a) {1} b) {5; 2} c) {1; 8}
d) {5; 6; 8; 9} e) {1; 2}
4. Señale la suma de los elementos del rango de la
función: F(x)
= x2 - 1; siendo: x = {- 2; - 1; 1; 2}
a) [6; + > b) <- ; 6] c) <- ; 9> d) [8; + > e) <- ; 8]
5. Dada la función:
y
9
y = f(x)
Bloque II
1. Determine el rango de la función: f
(x) =
10x 1
2x 4
1
2
1 6 x
a) IR b) IR - {5} c) IR - 5
d) IR - {2} e) IR - {- 2}
8x 1
Indicar el dominio de la función.
a) [1; 6] b) [1; 6> c) <1; 6]
d) [2; 9] e) <2; 9]
2. ¿Cuál es el rango de la función: g(x)
=
1
? 2x 1
1
a) IR - b) IR - {4} c) IR -
2 6. Dada la función:
y
9
2
d) IR - {4} e) IR
x
3. Indicar el dominio de la función: F(x)
= 2
y = f(x)
3
2 10 x
x 1
a) IR - {1} b) IR - {- 1} c) IR - {- 1; 1}
d) IR - {10} e) IR - {x}
x 1
Indicar el rango de la función.
a) IR b) [2; 10] c) <2; 10>
d) [3; 9] e) <3; 9>
7. Hallar el dominio de la función: F
(x) = 2x - 1
4. Indicar el dominio de la función: F(x)
=
a) IR - {- 3; 3} b) IR - {3} c) IR - {- 3} d) IR - {1} e) IR
x 2 9
a) IR b) IR+ c) IR- 1
d) 2 e) 1
5. ¿Cuál es el dominio de: g(x)
= x 2 ?
8. Hallar el rango de la función: f
(x) = 5x + 1
a) [2; + > b) <- ; 2] c) <- 2; 2] d) [- 2; 2> e) IR
a) 1 b) 5 c) IR+
d) IR- e) IR
9. Determine el dominio de la función: f(x)
=
x 3
x 2
6. ¿Cuál es el dominio de h(x)
=
8 x ? 1 x
a) IR - {2} b) IR - {3} c) IR - {- 2}
d) IR - {- 3} e) IR - {1}
x 5
7. Hallar el dominio de la función: h(x)
= 4
a) <- ; 1] b) [1; + > c) [0; + >
d) {1} e) IR 10.Determinar el rango de la función: f
(x) =
x 1
x 3
a) IR - {5} b) IR - {- 3} c) IR - {2} d) IR - {- 1} e) IR - {1}
8. Hallar el dominio de la función: f(x)
=
x 6
a) [3; + > b) [3; + > c) [6; + > - {3} d) [3; + > - {6} e) IR
a) 2 002 b) 4 004 c) 0 d) 1 e) 1 000
9. Hallar el dominio de la función: f
(x) =
6 x
x 1
6. Sea: f(x)
=
7
2x 3
y Domf = [2; 5]
a) <- ; 1] b) [6; + > c) <- ; 6] d) <- ; 6] - {1} e) [6; + > - {1}
10.Determinar el dominio de la función:
Halle el rango de "f(x)
"
a) [1; 7] b) [1;
7
3 ] c) [2; 5]
f(x)
=
x 2
8 x d) [3; 7] e) [2; 8]
7. Hallar el dominio:
a) [- 8; 2] b) [- 2; 8] c) [2; 8]
d) IR e) IR+
Bloque III
f(x)
=
5x 2
x 2 5x 6
2
; es:
1. Dados las funciones: a) IR b) IR - c) IR - {3}
f(x)
=
x 2 .
x 3 5
d) IR - {2} e) IR - {2; 3}
g(x)
= (x 2)(x 3) 8. Hallar el dominio:
De sus dominios se puede afirmar:
a) Df = Dg b) Df Dg = Ø
c) Df Dg = Df d) Df Dg = Dg
f(x)
=
3x 2
x 3 x 2
20x
e) Df Dg = Df 2. Calcule usted, el número de valores enteros del
a) {0; 4; 5} b) IR - {0; 4; 5}
c) IR d) IR+
e) IR - {0; 4; - 5}
dominio: f(x)
=
2002 x
x 2002 9. Hallar el dominio y rango de la función:
3. Hallar el rango de:
f(x)
=
y
6
x 1
x 1 2
a) IR - {1} b) IR c) IR - {- 1}
d) IR - {± 1} e) {- 1; 1}
4. Determinar el rango de:
3x 1
- 5 3 x
- 4
f(x)
=
x 2 a) x <- 5; 3] ; y [- 4; 2]
1 b) x <- 5; 3] ; y [- 4; 3]
a) IR - {2} b) IR - c) IR - {3} c) x [- 5; 3] ; y [2; 6]
d) IR e) Ø
3 d) x <- 4; 6] ; y [- 5; 3]
e) x [- 5; 3] ; y [- 4; 6]
5. Hallar el dominio y rango de la función:
f(x) = 4 x 3
8 3 x
10.Obtener el número de elementos enteros del dominio
de:
x 3 3 x
a) IR; IR b) [3; + >; IR
c) <- ; 3]; [- 3; 3] d) {3}; {0}
F(x)
=
x 2 1
e) [- 3; 3]; IR a) 5 b) 7 c) 3
d) 6 e) 4
ÁLGEBRA 2
AÑO
Funciones III
... Y continuando con la Función ...
Ya hemo s vi sto l a de fini ción de F unci ón, las características del Dominio y Rango, y su ubicación (como pares ordenados) en el plano cartesiano.
Solución:
Aquí aplicaremos un "truco" muy sencillo:
Ahora trabajaremos con sus gráficas (o dibujitos),
viendo las principales, sus propiedades de traslación, intersección, etc.
Por ejemplo:
Igualdad
de
Funciones
f (x) = g(x)
x2
+ 1 = 3x - 1
x2
- 3x + 2 = 0
Función Gráfica
y
x -2
x -1
Luego: x = 2 ; x = 1
1. y = x
2. y = x2
Estos son los valores de "x"
en los puntos de intersección
x
Reemplazando "x" en cualquier función:
• x = 2 f(2)
= 22 + 1 = 5 y = 5
El punto de intersección es: (2, 5)
• x = 1 g
(1) = 3(1) - 1 = 2 y = 2
La primera función es llamada "FUNCIÓN IDENTIDAD" y la segunda es llamada "FUNCIÓN CUADRÁTICA".
Ahora veamos un ejemplo de intersección de funciones:
Sean las funciones: f(x)
= x2 + 1
g(x)
= 3x - 1
Hallar los puntos de intersección del gráfico:
El otro punto de intersección es: (1, 2)
Fácil!! ... no crees?
Ahora te toca a ti ... ok? ... LA FUNCIÓN DEBE CONTINUAR!!
Bloque I
f(x) Y g(x) 1. Cuál es el gráfico de: f
(x) = x
a) b)
X
c) d)
2. Cuál es el gráfico de: f(x)
= - x2
a) b)
c) d)
3. Indicar el gráfico de: f(x)
= x + 3
a) b)
7. A qué función corresponde el gráfico:
a) f(x)
= x2 + 4 b) f(x)
= x2 - 4
c) f(x)
= - x2 + 4 d) f(x)
= - x2 - 4
e) f(x)
= x2
8. Si se tiene: f
(x) = 2x + 2; g
(x) = x2 - 1; entonces,
hallar los puntos de intersección del gráfico.
a) (-1; 3)
b) (3; 7), (-1; 5)
c) (3; -1)
d) (3; 8), (-1; 0)
e) (3; 9), (-1; 4)
9. Indicar los puntos de intersección de:
c) d)
4. Indicar el gráfico de: f(x)
= x2 - 7
f(x) = x2 + 1
g (x) = 3x - 1
a) (2; 1)
b) (-2; 5), (1; 4)
c) (1; 2)
d) (1; 2), (2; 5)
e) (5; 1), (2; 2)
a) b) 10.Según el gráfico, indicar "a +b"; donde:
f(x)
= - 2x + 1
g(x)
= 2x2 - 3
c) d)
5. El siguiente gráfico: pertenece a:
g(x)
b a
f(x)
a) 2 b) -1 c) -2
d) 1 e) 0
a) x + 3 b) - x2 + 3 c) x2 - 3
d) x2 + 3 e) - x2 - 3
6. El gráfico: corresponde a la función:
a) f(x)
= x + 7 b) f(x)
= x - 7
c) f(x)
= - x - 7 d) f(x)
= - x + 7 e) f
(x) = -x
11.Determinar el valor de "a + b" según el siguiente
gráfico:
g(x)= -2x - 4
a
f(x) = -3x2+1
b
(x)
(x)
22 a)
3
5 d)
3
28 b) - 1 c)
3
e) 1
I. 2 Dom f
II. 5 Dom f
III.- 2 Dom f, son verdaderas:
a) Sólo I b) Sólo II c) II y III d) Todas e) N.A.
12.Determinar "a2 + b2" según el gráfico:
6. Dada la función:
f( x )
3x ; indicar lo correcto:
x 2 25
f = 2x 2 - 7
a b
a) 5 Dom f b) - 5 Dom f c) 3 Dom f
d) - 5 Dom f e) 0 Dom f 7. Si tenemos la función:
g = -x2+ 5
a) 4 b) 0 c) 8 d) 1 e) - 2
h( x )
a) IR+ D o m f =
5
x 2 1
; entonces:
b) - 1 Dom f
Bloque II
c) {1, - 1} Dom f d) Dom f = IR
e) Dom f = Ø
1. Determinar el dominio de la función:
x 5 f( x )
x 1
8. Dada la función: g( x )
2x 8 , entonces se cumple:
a) IR - {5} b) IR - {1} c) IR - {-5}
a) 0 Dom f b) Dom f = 4,
d) IR - {1} e) IR c) Dom f = , 4 d) 5 Dom f
2. Determinar el dominio de:
x 2
e) Dom f = IR 1 x
f( x )
x 7 9. Si tenemos: h( x ) , de las afirmaciones:
7
a) IR b) IR - {7} c) IR - {-7} d) IR - {0} e) Ø
I. 7 Dom f
II. 0 Dom f 3. Indicar el dominio de:
III.Dom f = , 1
, son verdaderas
g( x )
x 1
a) I y II b) Sólo III c) II y III d) Sólo II e) N.A.
a) 1,
b) 1 ,
c) , 1 10.Dadas las funciones:
d) , 1 e) , 1 f(x)
7 x
y g(x)
1
x2 1
; x IN
4. Cuál es el dominio de: g( x ) 4 x Indicar: Dom f Dom g
a) 4,
b) , 4
c) , 4 a) {x IN / x < 7}
d) 4,
5
e) 4, b) {x IR / 0 < x 7}
c) {x IN / x 7}
d) {x IN / x 7} 5. Si: f( x ) ; entonces; de las afirmaciones:
x 2 4
e) {x IR / 0 < x < 7}
Bloque III
1. Hallar la gráfica de la función: f
(x) = x - 2
4. Graficar: g
y
(x)
= x + 3
y
y y
a) b)
x x
a) b) x x
y y
y y
c) d) x x
y
e) x
c) x
d) x
y
e) x
5. Graficar: y = - x
2. Graficar: y = x - 2 y y
y y
a) b) x x
a) b) x x
y y
y y
c) d) x x
c) x
y
d) x
y e) x
e) x
3. Graficar: f(x)
=
y
a)
x
x 2
y b)
x
6. Graficar: y = - x
y y
a) b)
x x
y y
y y
c) d) x
x
c) d) x x
y
y e) x
e) x
2. = x
7. G r a f i c a r : F
(x) = | x - 4 | + 2
y y
a) b)
x x
9. Halle el área de la región formada por la función
constante: f(x)
= 7; la función lineal: g(x)
= 3x - 2 y el
eje "y".
a) 9 u2 b) 3 c) 27
2
9 y y
c) d)
d) e) N.A. 2
x x 10.Si f(x)
es una función lineal que pasa por los puntos (4; 7) y (5; g
(4)); donde:
y g(x)
= 2x + 2
hallar el punto de intersección de "f(x)
" y "g(x)
". e)
x a) (3; 5) b) (7; 16) c) (8; 10)
d) (9; 15) e) (1; 4)
8. Graficar: y = - | x | + 2
y y
a) x b) x
y y
c) x d) x
y
e) x
Autoevaluación
2
E l g r á f i c o c o r r e s p o n d i e n t e a : f
(x) - 1, es:
1. En el gráfico:
f(x)
; pertenece a la función: a) b) c)
a) 2x - 3 b) 2x + 3 c) -2x + 3 d) -2x - 3 e) x
d)
2
3. Dado el gráfico: 5. Dada la función: h (x) 2x 1 , indicar la verdad (V) o
falsedad (F) de las siguientes proposiciones:
g (x) x
2
f(x) x
I. Dom h =
1 ;
II. 1 Dom h III.0 Dom h
Uno de los puntos de intersección es:
a) (1; 0) b) (0; 1) c) (0; 0) d) (1; -1) e) (-1; 0)
a) VFV b) FVV c) FFV
d) VVF e) VFF
5
4. De la función: f (x) , se deduce que: 2 x
a) Dom f = IR b) 2 Dom f
c) Dom f = IR+ d) 2 Dom f
e) 5 Dom f