X.MANUEL BESTEIRO ALONSOColexio APostólico Mercedario

VERÍN

CONCEPTO DE FUNCIÓN

Una función es una relación entre dos magnitudes, de tal manera que a cada valor de la primera le corresponde un único valor de la segunda.

Maneras de definir una función:

x f(x)

–2 4

–1 1

0 0

1 1

1,5 2,25

… …

1.– Por una tabla

Cardiograma

2.– Por su gráfica 3.– Por una fórmula

3f (x) 5x 3

De los gráficos siguientes. ¿Qué gráficos son funciones?

            

EjemploEjemplo:

Indique si cada una de las gráficas es la gráfica de una función:

yya)a)

xx

yy

xx

b)b)

yy

xx

c)c)

Idea de función

• A las magnitudes que intervienen en una relación se les llama variables.

• Variable independiente. Es la que se fija previamente.Sus valores se dan arbitrariamente

• Variable dependiente. Es la que se deduce de la variable independiente.

y = f(x)Variable

independienteVariable

dependiente

Idea de función

Tabla de la funcióny = x2 + 1

x y = x2 + 1– 3 10– 2 5– 1 20 11 22 53 10

Gráfica de la funcióny = x2 + 1

Dominio. Conjunto de valores que se pueden dar a la variable independiente. Se desígna como D(f)

Recorrido. Conjunto de valores de la variable dependiente.Se desígna por f(D) ou R(f)

D(f) = R

Re(f) = [1, +)

Idea de función ECUACIÓN DUNHA FUNCIÓN:

• Expresión alxébrica que nos indica as operacións que temos que realizar coa variable independente para obter a variable dependente

Ex: A = ·r2 Dinos que para obter a área hai que elevar o raio ao

cadrado e multiplicar por Variables: área e raioGRÁFICA DUNHA FUNCIÓN

• Liña que resulta de unir os puntos(x,y) que verifican a función

Formas de dar unha función1. Mediante unha fórmula : y = x2

2. Mediante unha taboa de valores:

3. Mediante unha gráfica:

x ... –3 –2 –1 0 1 2 3 ...

y = f(x) = x2 ... 9 4 1 0 1 4 9 ...

Dominio dunha función Cando podemos dar calquera valor á variable independente x, dicimos

que o seu dominio é todo R =(-α, + α) Ex: y= x2

CÁUSAS QUE PODEN RESTRINXIR O DOMINIO

1. Imposibilidade de realizar algunha operación:a) Denominadores Os valores de x que fan cero un denominador non están no

dominio de definición Ex:

b) Raíces cadradas Os valore de x que fan o radicando negativo non están no

dominio de definición

Ex:

3

1

x

)x(f 3R)f(D

2 x)x(f α,)f(D 2

3R

Dominio dunha función

CÁUSAS QUE PODEN RESTRINXIR O DOMINIO

c) Función logarítmica Só podemos facer logarítmos de números positivos Ex:

2. Contexto real do que se extrae unha función Ex : A = · r2, o dominio é (0,+α) , pois o raio sempre ten que ser

maior que cero

3. Por vontade de quen propón a función Cando queremos restrinxir a función a un intervalo

xLog)x(f α,)f(D 0

Dominios y recorridos de funciones: ejemplos

1x

y xy

D = R – {0}

R = R – {0}

D = [0, +)

R = [0, +)

EjemploEjemplo::

Encuentre el dominio de la función definida por la ecuación , suponiendo que x es la variable independiente.

5 xy

Operaciones aritméticas con funciones

Definición:

Dadas las funciones f y g se definen las funciones suma (f+g), diferencia (f-g), producto (fg) y cociente (f/g) de f y g como:

xgxf

xg

f

xgxfxgf

xgxfxgf

xgxfxgf

Variación dunha función• VARIACIÓN DUNHA FUNCIÓN f(x) nun intervalo [a,b] é V[a,b] = f(b)- f(a)

Variación

f(b)-f(a)

• TASA DE VARIACIÓN MEDIA dunha función f(x) nun intervalo [a,b]

T.V.M[a,b] = ab

)a(f)b(f

TASA DE VARIACIÓN

El incremento de una función se llama tasa de variación, y mide el cambio de la función al pasar de un punto a otro. Representaremos la tasa de variación por tv.

Si h es el incremento de la variable, la tasa de variación en x será, pues: f(x + h) – f(x)

T v= ---------------------h

y = x2 + 1

VARIACIÓN DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO

Variación en el intervalo [1, 2] Variación en el intervalo [–2, –1]

• Variación en el intervalo [1, 2] = f(2) – f(1) = 5 – 2 = 3 > 0• Variación en el intervalo [–2, –1] = f(– 1) – f(– 2) = 2 – 5 = – 3 < 0

FUNCIONES CRECIENTES

• Una función es creciente en un intervalo si para dos valores cualesquiera del intervalo x y x' se cumple que si x < x' f(x) < f(x').

• Si una función es creciente en un intervalo, su tasa de variación en el intervalo es mayor o igual que cero.

Función creciente

FUNCIONES DECRECIENTES

• Una función es decreciente en un intervalo si para dos valores cualesquiera del intervalo x y x' se cumple que si x < x' f(x) > f(x').

• Si una función es decreciente en un intervalo, su tasa de variación en el intervalo es menor o igual que cero.

Función decreciente

MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE UNA FUNCIÓN

A•

B•

C•

D•

E•

• Una función continua tiene un máximo en un punto si a la izquierda de ese punto la función crece y a la derecha decrece.

• Una función continua tiene un mínimo en un punto si a la izquierda de ese punto la función decrece y a la derecha crece.

• En un máximo absoluto la función toma el máximo valor posible y en un mínimo absoluto la función toma el mínimo valor posible.

Mìnimoabsoluto

Máximoabsoluto

1.-FUNCIÓN CÓNVEXA

Unha función é CONVEXA cando ao unir dous puntos da rexión superior da función hai algún segmento que corta á gráfica da función

CURVATURA: CONCAVIDADE, CONVEXIDADE

2.-FUNCIÓN CONCAVA

Unha función é CONCAVA cando ao unir dous puntos da rexión superior da función O segmento queda dentro da gráfica da función

CURVATURA: CONCAVIDADE, CONVEXIDADE

PUNTOS DE INFLEXIÓN Son aqueles nos que a función cambia de curvatura. Pasa de cóncava a convexa ou viveversa

CURVATURA: PUNTOS DE INFLEXIÓN

PUNTOS DE INFLEXIÓN

Función cóncava

Función convexaFunción cóncava

Función convexa

Una función f es simétrica respecto del eje de ordenadas cuando cualquiera que sea x del dominio se verifica que f(– x) = f(x).

x–x

•P(x, f(x)) P(–x, f(–x))•

x = 0

f(– x) = f(x)

SIMETRÍA PAR o simetría respecto al eje de ordenadas

FUNCIÓN SIMÉTRICA RESPECTO AL ORIGEN DE COORDENADAS

• Una función es impar cuando su gráfica presenta simetría respecto al origen de coordenadas.

• Si una función es impar: f(– x) = – f(x), x D (siendo D el dominio de la función).

•P(x, f(x))

P(–x, f(–x)) •

x

f(x)

f(–x) = – f(x)

– x

FUNCIONES PERIÓDICAS

Una función f es periódica cuando los valores que toma se van repitiendo cada cierto intervalo que se llama periodo. Es decir: f(x + T) = f(x).

T es el periodo.

x

f(x) • •

x + T

f(x + T) =

Tperiodo

CONTINUIDAD Y DISCONTINUIDAD

Gráfica que expresa el número de vendedores que tiene un gran almacén según las horas del día.

Gráfica correspondiente a una etapa de montaña de una vuelta ciclista.

• Una función es continua cuando a cualquier pequeña variación de la variable independiente le corresponde una pequeña variación de la variable dependiente.

• Los puntos en los que la función efectúa un salto se llaman puntos de discontinuidad

TIPOS DE DISCONTINUIDADES

1.- DISCONTINUIDADE DE SALTO INFINITO

ASÍNTOTA VERTICAL: valores de x que non petenecen ao dominio, e, nos que hai unha discontinuidade de salto infinito

Cando ao tomar a x valores cada vez maís próximos a un nº(que non pertenece ao dominio) pola dereita, pola esquerda ou polos dous lados , o valor da función tende a +α ou a -

X=2

2.-DISCONTINUIDADE INEVITABLE

Hai unha discontinuidade inevitable nun punto cando a función dá un salto ao chegar a ese punto. Dase nas funcións definidas a cachos

TIPOS DE DISCONTINUIDADES

3.-DISCONTINUIDAD EVITABLE: Nun punto no que a función non está definida Acércase ao mesmo punto cando se aproxima a el pola dereita e pola esquerda

TIPOS DE DISCONTINUIDADES

2

22

x

xxy

4.-DISCONTINUIDAD EVITABLE: punto desprazado

A función está definida nese punto, pero ten ese punto desprazado. Só se dá nas funcións definidas a cachos

TIPOS DE DISCONTINUIDADES

ASÍNTOTAS VERTICALES

Una función y = f(x) tiene una asíntota vertical x = k cuando al acercarse los valores de x a k por la derecha, por la izquierda o por los dos lados, los valores de la función tienden a +α o a - Sólo Puede haber AS. VERTICALES en los puntos que no pertenecen al dominio La gráfica no puede cortar a las asíntotas verticales .

La recta x = 0 es asíntota vertical.Las rectas x = 1, x = –2, x = 3 son

asíntotas verticales.

CÁLCULO DE ASÍNTOTAS VERTICAIS

Dada la función f(x) = 1/(x – 2), ¿a qué valor se acerca f(x) cuando x se acerca a 2?

x 1,9 1,99 1,999 1,9999 … 2 … 2,0001 2,001 2,01 2,1

f(x) = 1

x2 – 10 – 100 –1000 –10000 … No definida … 10000 1000 100 10

x se acerca a 2 por la izquierda: x 2- +2 x :x se acerca a 2 por la derecha

f(x) se acerca a – f(x) se acerca a +

Vemos que a medida que x se acerca a 2 por la izquierda la función tiende a -α, y cuando x se acerca a 2 por la derecha, la función f(x) tiende a + α

X=2 ASÍNTOTA VERTICAL

ASÍNTOTAS HORIZONTALES

Una función y = f(x) tiene una asíntota horizontal y = h si cuando la x tiende a+α o a -α , la función tiende a un nº real h La función puede cortar a la asíntota horizontalUnha función tiene como máximo dos asíntotas horizontales, una cuando x tiende a + y otra cuendo x tiende a - .

y=1 ASÍNTOTA HORIZONTAL

ASÍNTOTAS HORIZONTALES

Función creciente

Cando x tende a +, a función tende a y=1

Cando x tende a -, a función tende a y=-1

ASÍNTOTAS HORIZONTALES

CÁLCULO DE ASÍNTOTAS HORIZONTALES

Dada la función f(x) = x/(x + 1), ¿a qué valor se acerca f(x) cuando x tiende a – ? ¿Y cuando x tiende a +?

– … –1000 –100 … x … 100 1000 10000 … +

… 0,999 0,99 … f(x) = x/(x+1) … 1,01 1,001 1,0001 …

Cuando x tiende a – Cuando x tiende a –+

f(x) se acerca a 1 f(x) se acerca a 1

Vemos que a medida que x tiende a +, la función f(x) se acerca a 1, que cuando x tiende a – , la función f(x) se acerca a 1.

x

xlim 1

x 1

x

xlim 1

x 1

y=1 ASÍNTOTA HORIZONTAL

ASÍNTOTAS OBLICUAS

Una función y = f(x) tiene una asíntota oblicua y = mx + n si se verifica que:

f (x) mx n cuando x

ASÍNTOTA OBLÍCUA ASÍNTOTA VERTICAL

FUNCIÓN LINEAL DE LA FORMA y = mx

Una función de la forma y = mx:• Expresa que las magnitudes x e y son directamente proporcionales.• Su representación gráfica es una recta que pasa por el origen de coordenadas.• El coeficiente m es la pendiente de la recta.

– Si m > 0, la función es creciente.– Si m < 0, la función es decreciente.

y = 3x y = – 3x

FUNCIÓN LINEAL DE LA FORMA y = mx + b

Una función de la forma y = mx + b:• Su representación gráfica es una recta que no pasa por el origen de coordenadas.• El coeficiente m es la pendiente de la recta.

– Si m > 0, la función es creciente.– Si m < 0, la función es decreciente.

• El valor de la ordenada par x = 0 es b, y se llama ordenada en el origen.

1y x 3

2

1y x 3

2

• (0, 3) • (0, 3)

Paralelismo y valor de la pendiente

• Dos rectas son paralelas si sus pendientes son iguales.• Dos rectas son secantes si sus pendientes son distintas.

y = 2x + 3 = 2x – 1 + 4

FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS

Algunas funciones están definidas aplicando diferentes fórmulas a distintos puntos de su dominio.

2

1 si 4 x 1y f (x) x si 1 x 1

x si 1 x 3

–1 cuando – 4 x < –1

x cuando – 1 x < 1

x2 cuando 1 x 3

FUNCIÓN CUADRÁTICA

Las funciones de la forma y = ax2 + bx + c con a 0 se llaman cuadráticas. Su gráfica es una parábola.Las coordenadas del vértice V(x, y) de la parábola se obtiene del siguiente modo:• La abscisa es la solución de 2ax + b = 0.• La ordenada se obtiene hallando la imagen en la parábola de la abcisa.

y = x2 – 2x – 3

x = 1

y = – 4 • V(1, – 4)

Eje de simetría

REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES CUADRÁTICAS

Para dibujar y = ax2 + bx +c

• Se hallan las coordenadas del vértice.• El eje se simetría es la recta perpendicular a OX que pasa por V.• Si a > 0 las ramas van hacia arriba. Si a < 0 las ramas van hacia abajo.• Se fija la parábola hallando dos o más puntos simétricos respecto al eje de

simetría.• Un punto fácil de obtener es (0, c) y su simétrico respecto al eje de simetría

Para representar y = 2x2 – 8x + 7

• Obtenemos el vértice: 4x – 8 = 0 x = 2 La ordenada es y = –1

V(2, –1)

• Dibujamos el eje: x = 1

• Obtenemos otros puntos y sus simétricos respecto al eje:

(1, 1) y (3, 2) (0, 7) y (4, 7)

• Dibujamos la parábola

LA FUNCIÓN DE SEGUNDO GRADO Y = AX2

La gráfica de la función y = ax2 es una parábola que:• Tiene por eje el eje de ordenadas.• Tiene por vértice el origen de coordenadas (0, 0).• Cuanto mayor es a (en valor absoluto), más cerrada es la parábola.

21y x

2 2y 2x 2y 4x

21y x

2 2y 2x 2y 4x

a > 0 a < 0

TRASLACIÓN DE LA PARÁBOLA Y = X2, SEGÚN EL EJE OX

Las gráficas de la funciones y = (x– p)2, resultan de trasladar la gráfica de la parábola y = x2 horizontalmente en el eje de abcisas p unidades hacia la derecha si p > 0, o hacia la izquierda si p < 0.

y = (x – 2)2

y = x2

y = (x+1)2

PUNTOS DE CORTE CON EL

EJE OXPara encontrar los puntos de corte de una función con el eje OX, basta obtener los puntos de la gráfica para los que la segunda coordenada es 0.

Los puntos de corte con el eje OX de la función: 2

1 xy

x

se obtienen así:

2

1 xy 0 0 x 1

x

La función corta al eje OX en el punto (1, 0)

PUNTOS DE CORTE CON EL

EJE OY• Para encontrar el punto de corte de una función con el eje OY, basta obtener,

si existe, el punto de la gráfica para el que la primera coordenada es 0. • El 0 ha de ser del dominio para que dicho punto exista, y sus coordenadas

serán (0, f(0)).

Los puntos de corte con el eje OY de la función:2

2

x 1y

x 1

se obtienen así:

2

2

0 1x 0 f (0) 1

0 1

La función corta al eje OY en el punto (0, –1)

• (0, –1)

LAS FUNCIONES Y = 2X E Y = 2 – X

x y = 2x y = 2–x = 12x

… … …

– 4 0,0063 16

–3 0,125 8

–2 0,25 4

–1 0,5 2

0 1 1

1 2 0,5

2 4 0,25

3 8 0,125

4 16 0,063

… … …

Tabla de valores

Características de la función exponencial.

• Su dominio es toda la recta real.• El recorrido son los reales positivos.• Son continuas en su dominio.• La función y = 2x es creciente en su dominio.• La función y = 2-x es decreciente en su dominio.• La recta y = 0 es una asíntota horizontal.

LA FUNCIÓN EXPONENCIAL y = ax para a > 1

x y = 2x y = 5x y = 10x

… … … …

– 4 0,0063 0,002 0,0001

–3 0,125 0,008 0,001

–2 0,25 0,04 0,01

–1 0,5 20,2 0,1

0 1 1 1

1 2 5 10

2 4 25 100

3 8 125 1000

4 16 625 10000

… … … …

Tabla de valores

Características de la funciones exponenciales, y = ax con a > 1.

• Las gráficas pasan por los puntos (0, 1) y (1, a).• En los reales positivos si la base es mayor, la gráfica se sitúa por encima.• En los reales negativos ocurre a la inversa.

LA FUNCIÓN EXPONENCIAL y = ax para 0 < a < 1

x y =

12

x =

= 2–x

y =

15

x

=

= 5–x

y =

110

x

=

= 10–x

… … … …

– 4 16 625 10000

–3 8 125 1000

–2 4 25 100

–1 2 5 10

0 0,5 1 1

1 0,25 0,2 0,1

2 0,125 0,04 0,01

3 0,063 0,008 0,001

4 16 0,002 0,0001

… … … …

Tabla de valores

Características de la funciones exponenciales, y = ax con 0 < a < 1.

• Las gráficas pasan por los puntos (0, 1) y (1, a).• En los reales positivos si la base es mayor, la gráfica se sitúa por encima.• En los reales negativos ocurre a la inversa.

FUNCIONES POTENCIALES: y = xn siendo n natural y par

y = x2 y = x4

y = x6 y = x8

FUNCIONES POTENCIALES: y = xn siendo n natural e impar

y = x3 y = x5

y = x7 y = x9

FUNCIONES POLINÓMICAS DE TERCER GRADO

Una función polinómica de tercer grado o cúbica tiene por ecuacióny = ax3 + bx2 + cx + d con a 0

• Su dominio es R.• Son continuas en R.• Sus gráficas son de uno de los cuatro tipos siguientes:

FUNCIONES POLINÓMICAS DE CUARTO GRADO

Una función polinómica de tercer grado o cúbica tiene por ecuacióny = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e con a 0

• Su dominio es R.• Son continuas en R.• Sus gráficas son de uno de los cuatro tipos siguientes:

FUNCIONES RACIONALES

Son funciones de la forma , donde p(x) y q(x) son polinomios, con

q(x) 0.

El dominio de una función racional es toda la recta real, excepto los valores de x

que anulan al denominador.

p(x)f (x)

q(x)

Algunas funciones racionales son las siguientes:

Función de proporcionalidad inversa

Las funciones de la forma se llaman funciones de proporcionalidad inversa.• Su gráfica se llama hipérbola, y cada una de las partes de la que consta, ramas.• Es simétrica respecto del origen, que es el centro de la hipérbola.• Es continua en todos los puntos, salvo en 0, que no pertenece al dominio.

ay , x 0

x

ay , a 0

x

ay , a 0

x

Estudio de la tendencia cuando la variable tiende a + o a –

Dada la función f(x) = x/(x + 1), ¿a qué valor se acerca f(x) cuando x tiende a – ? ¿Y cuando x tiende a +?

– … –1000 –100 … x … 100 1000 10000 … +

… 0,999 0,99 … f(x) = x/(x+1) … 1,01 1,001 1,0001 …

Cuando x tiende a – Cuando x tiende a –+

f(x) se acerca a 1 f(x) se acerca a 1

Vemos que a medida que x tiende a +, la función f(x) se acerca a 1, que cuando x tiende a – , la función f(x) se acerca a 1.

x

xlim 1

x 1

x

xlim 1

x 1

Las funciones y = ex e y = 10x

Las funciones y = e–x e y = 10–x

x y =

1e

x =

= e–x

y =

110

x

=

= 10–x

… … …

– 4 54,598 10000

–3 20,086 1000

–2 7,389 100

–1 2,718 10

0 1 1

1 0,368 0,1

2 0,135 0,01

3 0,05 0,001

4 0,018 0,0001

… … …

Tabla de valores

Características de la funciones exponenciales, y = ax con 0 < a < 1.

• Las gráficas pasan por los puntos (0, 1) y (1, a).• En los reales positivos si la base es mayor, la gráfica se sitúa por encima.• En los reales negativos ocurre a la inversa.

Gráficas de funciones logarítmicas (I)

Relación entre funciones exponenciales y logarítmicas: a > 1

Las funciones y = ax, y = loga x son recíprocas; por tanto, sus gráficas serán simétricas respecto a la bisectriz del primer cuadrante.

Las funciones y = e–x e y = 10–x

Relación entre funciones exponenciales y logarítmicas: 0 < a < 1

Las funciones y = ax, y = loga x son recíprocas; por tanto, sus gráficas serán simétricas respecto a la bisectriz del primer cuadrante.

Las funciones y = log2 x e y = log1/2 x

x y = log2 x y = log1/2 x

… … …

– 1 No existe No existe

0 No existe No existe

2–6 – 6 6

2–5 – 5 5

2–4 – 4 4

2–3 – 3 3

2–2 – 2 2

2–1 – 1 1

1 0 0

2 1 –1

22 2 –2

23 3 – 3

… … …

Tabla de valores

Características de la función logarítmica.

• Su dominio son los reales positivos.• El recorrido son todos los reales.• Son continuas en su dominio.• La función y = log2 x es creciente en su dominio.• La función y = log1/2 es decreciente en su dominio.• La recta x = 0 es una asíntota vertical.

Funciones potenciales: y = axn siendo n natural y a > 0

n par n impar

Dominio R R

Recorrido R+ R

Simetría Respecto a eje OY Respecto al origen

Continuidad En todo el dominio En todo el dominio

Crecimiento Creciente para x >0 Decreciente para x < 0

Creciente en todo su dominio

Puntos por los que pasa (1, a); (0, 0); (–1, a) (1, a); (0, 0); (–1, – a)

Suma y diferencia de dos funciones

Dadas dos funciones f y g, se define:• Suma: (f + g) (x) = f(x) + g(x). • Diferencia: (f – g) (x) = f(x) – g(x).

x

f(x) f(x) + g(x)

g(x)

PRODUCTO Y COCIENTE DE FUNCIONES

Dadas dos funciones f y g, para todo x que pertenece al dominio de ambas funciones se define:• Producto: (f . g) (x) = f(x) . g(x).

Dadas dos funciones f y g, para todo x que pertenece al dominio de ambas funciones y g(x) 0 se define:• Cociente: (f g) (x) = f(x) g(x).

COMPOSICIÓN DE FUNCIONES

La función h(x) = 22x es la composición de dos funciones: • g(x) = 2x = t • f(t) = 2t

x 2x = t 2t = 22x

R Rg

Rf

x 22x

h(x) = f(g(x)) = f(2x) = 22x

g(x) = 2x

f(t) = 2t

Salida 2xEntrada x

Entrada t= 2xSalida2t = 22x

h(x) = f(g(x))

La composición de una función f con otra función g es una función denotada por fog, definida del siguiente modo: (fog)(x) = f[g(x)]

Entrada Función directa Salida

f(x) = x2

Salida Función recíproca Entrada

Dos funciones son recíprocas si su composición es la función identidad. La función recíproca de f se denota por f–1.

1(x) xf

FUNCIONES

RECÍPROCAS

0 1 2 3 4 5 …x

f(x) = x3 0 1 8 27 64 125 …

y = g(x) = 3

x

x

Las gráficas de dos funciones recíprocas son simétricas respecto a la bisectriz del primer cuadrante.

Gráficas de funciones recíprocas