Post on 01-Feb-2016
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Gauss-Seidel
Para un sistema de ecuaciones en su forma expandida
a11x1+a12 x2+a13 x3∙ ∙ ∙+a1n xn=b1
a21 x1+a22 x2+a23 x3 ∙∙ ∙+a2n xn=b2
a31 x1+a32 x2+a33 x3 ∙ ∙∙+a3n xn=b3
: : : : : : :
an1 x1+an2 x2+an3 x3 ∙ ∙ ∙+ann xn=bn
Se utilizara el método de Gauss- Seidel para resolver el problema lineal. Siendo la deducción de este:
A ∙ x=(L+D+U ) ⋅ x=b
(L+D ) ⋅ xk+1=−U ∙ xk+b
xk+1=−(L+D )−1 ∙U⏟B
∙ xk+ (L+D )−1 ∙ b⏟d
xk+1=B ∙ xk+d
Esto resulta en la siguiente formula iterativa:
x i(k +1)= 1
aii (bi−∑j=1
i−1
(a ij x j(k+1 ))− ∑j=i+1
n
(aij x j(k ))); i=1,2 ,…,nLa iteración de Gauss-Seidel, se puede bosquejar en el siguiente sistema de ecuaciones:
x1(k +1)=
(b1−a12 x2(k )−a13 x3
(k)⋯−a1n xn(k))
a11
x2(k +1)=
(b2−a21 x1(k )−a23 x3
(k)⋯−a2n xn(k))
a22
x3(k +1)=
(b1−a12 x2(k )−a13 x3
(k)⋯−a1n xn(k))
a33
⋮ ⋮ ⋮⋱ ⋮
xn(k +1)=
(bn−an2 x2(k )−an3 x3
(k)⋯−an ,1−n xn−1(k+1))
a11
Criterios de convergencia para método Gauss-Seidel
Este método es efectivo cuando la matriz de coeficientes A es diagonal dominante por filas o por columnas, debido que se asegura la convergencia
Diagonal dominante por filas |aii|≥∑i=!i≠ j
n
|a ij|∀ i=1 ,…,n
Diagonal dominante por columnas |a jj|≥∑i=!i ≠ j
n
|ai j|∀ i=1 ,…,n
Un caso particular de convergencia asegurada para este método es cuando la matriz A es simétrica
(A=AT ) y definida positiva agregar que es