GEOMETRÍA DE LO IRREGULAR

"He encontrado la fuerza esencial de la geometría y temo que

nuestros jóvenes hayan sido privados

demasiado tiempo de este placer"

¿Por qué se suele decir que la Geometría es fría y áspera? En parte, por su incapacidad para describir la forma de una nube, de una montaña, de una costa o de un árbol. Las nubes no son esferas, las montañas no son conos, las costas no son círculos, …

o es que la aturaleza exhiba n grado mayor de omplejidad, sino ue presenta un ivel ompletamente iferente de omplejidad”. Mandelbrot, 1977).

Mandelbrot desarrolló la GEOMETRÍA FRACTAL,término acuñado por él,

que designa objetos geométricos de estructura irregular presentes en muchos comportamientos y formas de la naturaleza

Rasgos característicos

La simplicidad de su construcción.La aparente

complejidad del producto final.

Antecedentes de los fractales

Construcciones intuitivas:El conjunto de Cantor. Curvas continuas de propiedades sorprendentes : curva de Koch, curva de Hilbert…

El conjunto de Cantor

(1845-1918)

El conjunto de Cantor

Fue descrito en 1883 por GeorgeCantor, pero fue mencionado en 1875 (posiblemente antes) por el matemático irlandés Henry Shmith.

El conjunto de Cantor• Se parte de un segmento de longitud 1• Se divide el segmento inicial en tres partes iguales • Se elimina la parte central• Se repite el proceso sobre cada segmento obtenido

Curva de Koch

Curva de Koch

Es una curva delPlano, continua entodos sus puntos y no diferenciable en ninguno

Curva de KochSe parte de un segmento de lado 1. Se divide el segmento en 3 partes iguales.Se elimina el segmento central.Se sustituye por dos segmentos con ángulo 60º.

Isla de Koch

a construcción de a construcción de isla de isla de KochKoch

omienza con un omienza con un iángulo equilátero, iángulo equilátero, que aplicamos un que aplicamos un

goritmo análogo al goritmo análogo al escrito para la escrito para la urva, a cada uno urva, a cada uno e sus lados.e sus lados.

Longitud

n la etapa k disponemos de 3·4k segmentos, e longitud 3-k cada uno de ellos. Así, la ngitud total de la curva en esa etapa 3·(4/3)k .

s evidente que esta cantidad crece definidamente cuando k→∞

Área

designamos con Δ el área del triángulo de artida, el área de la figura obtenida en la etapa se escribe

yo límite, cuando k→∞, es

1

0

1 413 9

ik

ki

A

85

La curva de Hilbert

La curva de Hilbert

La curva de Hilbert pertenece a un tipo de curvas que pasan por todos los puntos de un cuadrado de lado la unidad

La curva de Hilbert

Es una curva del plano,continuaen todos los puntos, no diferenciable en ningúno y de longitud infinita.

Fractales autosemejantes

1) Cada una de sus partes es semejante al todo, repitiéndose este proceso indefinidamente.

) Su estructura, forma y características ermanecen constantes al variar la escala e observación

Triángulo de Sierpinski

Triángulo de Sierpinski

Se parte de un triángulo equilátero T0, de lado unidad. Se halla el punto medio de cada lado de T0.Se unen dichos puntos dando lugar a triángulos semejantes a T0, de lado 1/2Se elimina el triángulo central.Se repite el proceso ilimitadamente sobre cada uno de los triángulos obtenidos.

Triángulo de Sierpinski

Triángulo de Sierpinski

Triángulo de Sierpinski

Triángulo de Sierpinski

Triángulo de Sierpinski

Triángulo de Sierpinski

Contemos y midamos

En el paso k-ésimo, F, tendrá 3k

triángulos con:

Longitud del lado:

Altura: 1 32 2

k

12

k

Área

Si definimos el área de F como la suma de las áreas de todos los triángulos que componen F, este conjunto tiene área :

Que es cero, cuando

1 1 3( ) 32 2 2

kkkA F

k

Longitud

Definimos la longitud de F como la suma de los perímetros de todos los triángulos que componen F, este conjunto tiene longitud :

Que es infinita cuando

1( ) 3 32

kkL F

k

Semejanzas

Transformaciones ortogonalesHomoteciasComposición de transformaciones ortogonales con homotecias

Conjuntos semejantes

F y F’ son semejantes si existe una semejanza que transforme F en F’

Conjuntos autosemejantes

n conjunto F del plano es utosemejante si existen semejanzas ,…,gn de razones k1 ,…,kn menores que

no tales que

1( ) ... ( )nF g F g F

Triángulo de Sierpinski

Las semejanzas que dan lugar al triángulo de Sierpinski T1

• Homotecias de razón ½ con centro en encada uno de los vértices del T0

T0

1 1 0 2 0 3 0( ) ( ) ( )T g T g T g T

Dimensión de Haussdorf

ara un conjunto autosemejante del ano,

on g1,…,gn semejanzas de razones k1…,kn menores que uno, definimos la

mensión de Haussdorf de F como la olución de la ecuación

1( ) ... ( )nF g F g F

d d

Dimensión de Haussdorf

las razones de semejanzas son todas uales a k entonces la dimensión es

loglog

nkk

Dimensión fractal

Conjunto de Cantor: log2/log3=0,62093

Triángulo de Sierpinski: log3/log2=1,58496

Curva de Koch: log4/log3=1,262

andelbrot estudió la convergencia y la vergencia de procesos iterativos en el plano mplejo

nde c es un determinado número fijo. rtiendo del cero como número inicial, la serie nerada por este método puede ser nvergente o divergente, y eso dependerá del

21n nz z c

Conjunto de Mandelbrot

Conjunto de Mandelbrot

Al representar los distintos valores de c, coloreados según las serie converja o diverja, obtenemos el conjunto de Mandelbrot

Conjunto de Mandelbrottán representados negro todos los ores posibles de ce dan lugar a series nvergentes y en os colores los ores que causan ergencia, variando onalidad del color

gún la velocidad de ergencia.

¿Qué es un fractal?

enneth Falconer, en su obra titulada “Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications” (John Wiley and Sons, 1990), describe un concepto de estructura fractal ‘F’ como la que satisface alguna(s) de las propiedades siguientes:

) “F” posee detalle a todas las escalas de bservación.

2) No es posible describir “F” con eometría Euclidiana, tanto local como lobalmente.

3) “F” posee alguna clase de utosemejanza, posiblemente estadística.

4) La dimensión fractal de “F” es mayor que u dimensión topológica.

5) El algoritmo que sirve para describir “F”

Arquitectura fractal

H. Vöth

Water cubo, Libeskind