Post on 03-Feb-2016
GEOMETRÍA PLANAY DEL ESPACIO
EN LA ACADEMIA DONDE PLATÓN IMPARTÍA SUS ENSEÑANZAS SE
LEÍA:
“NADIE ENTRA SIN SABER GEOMETRÍA”
Definición de Geometría
La geometría trata de la medición y de las propiedades de puntos, líneas,
ángulos y sólidos, asi como de las relaciones que guardan entre sí.
Términos no Definidos
Los conceptos geométricos básicos son abstractos y existen solo en nuestra mente.
Un Termino no definido se usa cuando la palabra es tan elemental y se supone que todos conocen su significado. Además no es posible definirlos en base a otros elementos ya conocidos
En Geometría se usa los términos: Punto Recta Plano
Estos se consideran términos primitivos o no definidos porque solo tienen explicación a través del uso de ejemplos y descripciones. Sin embargo, ellos sirven para definir otros términos y propiedades geométricas.
Términos no Definidos
El punto
Los puntos no tienen medida. Son represetados por letras mayúsculas y no tienen dimension (largo, alto, ancho).
A B
C
La recta
Una recta se extiende al infinito en ambas direcciones y carece de ancho. Las rectas se nombran con minúscula.
b
C
A
¿Cómo identificar las rectas?
La recta que aparece abajo es la recta b. Si se conocen los nombres de dos puntos de una recta, entonces esta recta puede identificarse por estos dos puntos. En este ejemplo, los puntos A y C están sobre la recta b, por tanto se pueden hacer referencia a la recta b de varios modos:
Palabra: recta AC recta CA
Símbolo AC CA
b C
A
El planoUn plano se extiende al infinito en
toda dirección y no tiene grosor alguno. Los planos se representan regularmente con una figura de cuatro lados y se nombran con letras mayúsculas o tres puntos colineales.
¿Cómo identificar el plano?
B
A C R
La figura de arriba puede denominarse plano R o plano ABC.
El espacio
El espacio es infinito, es tridimencional, es el conjunto de todos los puntos.
Una dimensión: punto, recta, semirrecta y segmento.
Dos dimensiones: ángulos, polígonos, circunferencia y círculo.
Tres dimensiones: cuerpos geométricos (poliedros y figuras de revolución).
EL PUNTO
Puntos Colineales.- Son aquellos que pertenecen a la misma recta L.
Puntos Coplanares.- Son los que pertenecena un mismo plano Π.
Ejemplo: Observe que los puntos A, B y C están contenidos en la recta i. Estos puntos se dice que son colineales. El puntos D no es un punto colineal ya que no pertenece a la recta i.
A
B
C
D
i
Ejemplo:
Los puntos Q, R, S y T son coplanarios ya que cada uno esta en el plano E. Las rectas m y k son coplanarias al estar las dos en el plano E.
U
m k T
Q R S
E
Puntos o rectas que no estan contenidos en el mismo plano son no coplanarios. Los puntos Q, R, S, y U son no coplanarios.
Indica los puntos colineales:
a) D,U J w F p
b) A,B H G T
c) G,F e
d) J,T
Indica los puntos coplanarios:
a) Q,T,R,S J w p
b) H,N,V,M H G
c) I,O,F,L F T e
d) H,G,J,F
Tenemos infinitos puntos alineados, y si los colocamos muy cerca unos de otros, obtendremos una línea recta
.........................................................................................................
Luego podemos definir línea recta como la sucesión de infinitos puntos alineados.
Al estar formada por infinitos puntos, una línea recta no tiene ni principio ni fin.
Por un punto pasan infinitas rectas
Por dos puntos pasa una sola recta
RECTAS SECANTES
Son las que se cortan en un punto
El punto en el que se cortan se llama PUNTO DE
INTERSECCIÓN
RECTAS PARALELAS
Son las que no tienen ningún punto en común
SEMIRECTA O RAYO
Dibujamos una recta, y señalamos en ella un punto P.
Este punto divide a la recta en dos partes. Cada una de esas partes es una SEMIRRECTA
SEMIRRECTA SEMIRRECTA
El punto P es el origen de cada una de las semirrectas.
P
Definimos semirrecta como:
La porción de recta limitada por un punto
SEGMENTO
Dibujamos una recta, y señalamos en ella dos puntos A y B.
Estos dos puntos determinan una porción de recta llamada SEGMENTO
SEGMENTO
Los puntos A y B son los EXTREMOS del segmento.
A
Definimos segmento como:
La porción de recta limitada por dos puntos
B
Comprueba lo aprendido
Encuentra el segmento correcto:
M R N S L Q 1) NS 2) RQ 3) LS 4) ML
Ángulo es la porción de plano limitada por dos semirrectas que tienen el mismo origen
ÁNGULO
Vértice
Lado
Lado
O
A
B
AOB
Los ángulos pueden nombrarse de tres formas distintas:
● Por las letras mayúsculas correspondientes a las semirrectas, colocando en medio la letra vértice: ABC ó CBA.
● Por una letra o número colocado en la abertura a.
● Por la letra del vértice B.
ÁNGULO RECTO
a
b
Rectas perpendiculares
Ángulo recto es el que tiene sus lados perpendiculares.
El ángulo recto tiene un valor de 90º.
ÁNGULO LLANO
Ángulo llano es el formado por dos semirrectas que tienen el mismo origen y sentidos opuestos
El ángulo llano tiene un valor de 180º, es decir dos rectos.
ÁNGULO AGUDO
Ángulo agudo es aquel que es menor que un recto, es decir mide menos de 90º
ÁNGULO OBTUSO
Ángulo obtuso es aquel que es mayor que un recto, es decir mide más de 90º
ÁNGULO COMPLETO
Ángulo completo es aquel que sus lados son la misma semirrecta. Su valor es de 360º
ÁNGULOS CONSECUTIVOS
Son los que tienen el vértice y un lado comunes.
1
2
El ángulo 1 y el ángulo 2 son consecutivos
ÁNGULOS ADYACENTES
Son aquellos que son consecutivos y que el lado no común está en la misma recta
1
2
El ángulo 1 y el ángulo 2 son adyacentes
ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
Ángulos complementarios son los que juntos suman 90º, es decir, un ángulo recto.
30º
60º60º
90º
ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS
60º120º
120º
Ángulos suplementarios son los que juntos suman 180º, es decir, dos ángulos rectos.
180º
Bisectriz
La bisectriz de un ángulo es la semirrecta que divide al ángulo en dos partes iguales. Un ángulo tiene exactamente una bisectriz.
Ejemplo:
La semirrecta OA es bisectriz del ángulo O si se cumple que: 1= 2
Practiquemos…
Nombre 1 de otras dos formas
G H
D 1 2
E 1) HEF , FEH
2) GED , DEG
3) GEH , HEG
4) DEH , DEG
Comprueba lo que aprendistes
Identifica la mejor definición para el término vértice:
a) Es el conjunto de todos los puntos.
b) Semirrecta que divide el ángulo en dos
partes iguales.
c) Es el punto en común que es el origen de
los lados.
d) Unión de dos segmentos.
Comprueba lo que aprendistes
Nombra un rayo que parezca ser bisectriz de un ángulo y un ángulo que parezca ser bisecado. R
F D
B C
1) JS 2) OP 3) FD 4) AG
Vamos a practicar…Nombra dos angulos recto: A E
B P D
T
1) APB , APD2) BPE3) DPE , TPE4) APE