Post on 07-Aug-2015
description
Descomposición del PBI peruano utilizando el filtro de Kalman
Milagros Gonzales Ángel R. Guillén Rosibell Solís1
Diciembre 2011
I. INTRODUCCIÓN
El presente trabajo desarrolla tres modelos para descomponer la serie del PBI en sus
componentes cíclico y tendencial utilizando el filtro de Kalman. El primero sigue la
propuesta de Clark (1987) que utiliza únicamente la serie del PBI, modela el
componente tendencial como un proceso no estacionario y el componente cíclico
como un AR (2). Los siguientes dos modelos desarrollan la metodología de Rodríguez
(2010) quien incorpora información de variables macroeconómicas adicionales como la
inflación o inversión, pues éstas pueden ayudar a explicar las fluctuaciones del PBI.
Las variables utilizadas son la tasa de desempleo, el ratio inversión-producto y la
inflación, las cuales son incorporadas en un modelo espacio estado que representa la
Ley de Okun, una ecuación que explica la dinámica de la inversión, y la curva de
Phillips. El tercer modelo únicamente incorpora la curva de Phillips. Los modelos
desarrollados constituyen una metodología alternativa al uso de la regresión por MCO
de la serie contra una función -lineal o cuadrática- del tiempo, cuyas estimaciones son
comparadas con los tres modelos desarrollados.
El presente análisis incluye una comparación de resultados con el uso de los filtros
Hodrick-Prescott, Baxter-King, y Cristiano-Fitzgerald. Los datos tienen frecuencia
trimestral y comprenden el periodo 1980:1-2011:3. La incorporación de más
observaciones a la muestra explicaría la diferencia entre los resultados obtenidos y las
estimaciones halladas por Rodríguez (2010).
El resto del documento está organizado de la siguiente manera: la sección 2 contiene una revisión de literatura, la sección 3 los modelos de descomposición del PBI peruano y los resultados de las estimaciones utilizando el filtro de Kalman, y la sección 4 concluye.
1 Estudiantes de economía PUCP. Este documento corresponde a un trabajo final presentado para el
para el curso de Econometría 2 a cargo del profesor Gabriel Rodríguez. Contacto: Ángel R. Guillén: a20094405@pucp.pe.
2
II. REVISIÓN DE LA LITERATURA
La literatura sobre el análisis de la serie del PBI se ha enfocado, además de su no
estacionariedad, en el estudio de su componente tendencial no estacionario y de su
componente cíclico estacionario, ambos no observables. Y es que la inspección visual
de la serie suele indicar que ésta se movería en un patrón irregular de expansión y
contracción alrededor de una tendencia creciente. Una primera aproximación de la
medición de ambos componentes fue dada por Mitchell (1928) quien tomó el
logaritmo de la serie y la regresiona contra una función lineal de tiempo, obteniendo
una tasa de crecimiento constante sobre largos periodos de tiempo, la cual
correspondería a su componente tendencial, siendo los residuos de la regresión, los
ciclos estacionarios que se mueven alrededor de la tendencia. Nelson y Plosser (1982)
por otro lado, obtienen el componente cíclico sustrayendo la parte no estacionaria por
primeras diferencias, modelando a la tendencia como una marcha aleatoria en vez de
que ésta sea una tendencia determinística
Posteriormente, Watson (1986) modela el producto a través de un modelo de
componentes no observados, en el cual una serie observada es descompuesta en un
componente tendencial que sigue una marcha aleatoria con deriva y un residuo que
sigue un proceso estocástico estacionario. El modelo es aplicado para 3 series de
tiempo: GNP, ingreso disponible y gasto en consumo.
Los modelos espacio-estado
Los componentes no observables pueden ser representados en los modelos espacio
estado. Harvey (1981) los describe como representaciones de modelos dinámicos
lineales, de la siguiente forma:
,
,
La primera es la ecuación de medida y establece la relación entre las variables
dependientes observables contenidas en el vector y las variables no observables
representadas por el vector . La segunda es la ecuación de movimiento o transición
e indica el proceso que seguiría las variables no observables, llamadas también
variables de estado. Mientras , , y son matrices fijas que aportan
información. Los modelos espacio estado asumen que las innovaciones y no están
correlacionadas serialmente ni están correlacionadas entre ellas.
La utilidad de los modelos espacio estado radica en proveer un marco para el manejo
de series de tiempo con componentes no observables, por ejemplo asumiendo que el
componente cíclico del PBI tiene un comportamiento autorregresivo estacionario, la
estructura propuesta en (1) y (2) permitiría estimar dicho componente no observable,
ya que todo modelo ARMA puede ser representado de la forma espacio estado.
3
El filtro de Kalman
Es un algoritmo que permite encontrar los estimadores óptimos en un sistema
representado de la forma espacio estado. Este filtro sigue un procedimiento recursivo
que puede dividirse en dos fases: la fase de predicción y la fase de actualización. En la
primera etapa se estiman las variables de estado considerando la información
disponible hasta t-1, en la segunda etapa la nueva información del tiempo t contenida
en el error de predicción actualiza el estimador original a través de la ganancia de
Kalman. Es necesario notar la importancia de la función de verosimilitud del error de
predicción de la variable aleatoria y la normalidad de los errores, pues la
maximización de esta función proporcionará los estimadores óptimos buscados.
Asimismo, para obtener la variable no observada, se toma la información de toda la
serie para cada periodo a predecir, de este modo los estimadores son más eficientes
que cuando se tomaban los datos hasta el periodo anterior, esta técnica será utilizada
en las estimaciones y se denomina smoothing
Aplicaciones del filtro de Kalman
Clark (1987) realiza una de las primeras aplicaciones del modelo de componentes no
observables al producto nacional bruto (PNB) de Estados Unidos, consideró la
existencia de un producto tendencial que seguía una marcha aleatoria con deriva
corregido por la tasa de crecimiento del producto y de un componente cíclico que
seguía un proceso AR(2), es decir los componentes no observables con calculados a
partir de la misma información que brinda el PNB y su tasa de crecimiento.
Sin embargo, los componentes no observables como el ciclo del producto tienen una
estrecha relación con otras variables económicas tal y como lo demuestran los hechos
estilizados. La inflación se relaciona de manera positiva con la brecha del producto a
través de la curva de Phillips, pero negativamente con las desviaciones de la tasa de
desempleo de su nivel natural o NAIRU, de acuerdo a la Ley de Okun, en tanto existe
una correlación positiva entre el nivel de inversión y la producción. Es decir estas
variables contienen información relevante para la estimación de los componentes no
observables del PBI. Rodríguez (2009) siguiendo la propuesta planteada por Doménech
(2003) encuentra que para el caso peruano sólo la inflación proporciona información
relevante para el cálculo del ciclo de producto como consecuencia de una pobre
calidad en la construcción de las variables de desempleo e inversión, además
encuentra diferencias considerables entre sus estimaciones y la de otros filtros
(Hodrick-Prescott, Baxter-King, Beberigde-Nelson, Cristiano-Fitzgerald), siendo la
mayor similitud la propuesta de Clark (1987) que usa también el filtro de Kalman pero
con una representación espacio estado más simple.
4
III. DESCOMPOSICIÓN DEL PBI PERUANO
Para la descomposición del PBI peruano se emplean datos trimestrales desde 1980:1
hasta 2011:3 para las series del PBI (desestacionalizada), inflación, desempleo y ratio
de inversión-producto.
Se pretende encontrar los componentes no observables del PBI utilizando la
información de la inflación, del desempleo y el ratio de inversión- producto que suelen
estar relacionados con el ciclo del producto a través de leyes empíricas como la curva
de Phillips, la Ley de Okun y los co-movimientos entre el ratio de inversión y la brecha
de producto, el comportamiento de las series puede apreciarse en el Gráfico 1.
Gráfico 1. Variables utilizadas en el modelo
La serie del producto muestra un comportamiento tendencial a partir del año 1992, así
también la serie recoge las distintas crisis acontecidas, esto se puede ver en las caídas
de las series, en el año 1982 que se debe al fenómeno del Niño y a la caída del precio
de los metales. Asimismo, en el año 1989 la caída en el PBI fue debido a la
hiperinflación durante el gobierno de Alan García. En el 2009, se aprecia una nueva
caída en el producto debido a la crisis financiera internacional.
Analizando la serie de la inversión privada vemos que es muy volátil. En el año 1992
alcanzó su punto más bajo, representando el 11% del producto, asociado al autogolpe
de Alberto Fujimori. Así también vemos que la inversión reaccionó rápidamente ante
la crisis internacional del 2008, pasando de un 22% a un 16% del PBI.
9.8
10.0
10.2
10.4
10.6
10.8
11.0
80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02 04 06 08 10
Log PBI real
.04
.05
.06
.07
.08
.09
.10
.11
.12
80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02 04 06 08 10
Tasa desempleo
.10
.12
.14
.16
.18
.20
.22
.24
.26
80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02 04 06 08 10
Ratio Inversión Privada / PBI
-2
0
2
4
6
8
10
80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02 04 06 08 10
Inflación
5
La serie de la tasa de desempleo es muy ruidosa, y presenta un patrón distinto a partir
del 2001, pues se han usado dos fuentes de información para construir esta serie, sin
embargo es considerada en el modelo, por la importancia de estimar el desempleo
estructural o NAIRU.
La serie de la inflación tiene un comportamiento aparentemente estable hasta 1988,
luego de ese año la inflación se dispara, llegando a un punto hiperinflacionario máximo
en el tercer periodo del año 1990. No obstante, a partir del año 1992, la inflación se
estabiliza.
Se desarrollan tres modelos, el primero en base a la propuesta de Clark (1987) , el
segundo considerando el producto y la información que proporciona la curva de
Phillips, la Ley de Okun y una ecuación de inversión, mientras el tercer modelo
considera sólo la relación entre el producto y la inflación a través de la curva de
Phillips; los dos últimos modelos siguen el planteamiento de Rodríguez (2010).
Modelo 1:
Se aplica el modelo propuesto por Clark (1987). Este modelo trabaja sólo con la serie
del producto y plantea un comportamiento tendencial que sigue una marcha aleatoria
y un componente cíclico que sigue un proceso AR(2) muy similar a la propuesta de
Watson (1986) sólo que el intercepto del producto potencial también sigue una
marcha aleatoria y representa la tasa de crecimiento variable en el tiempo del
producto tendencial.
Se asume que el proceso del componente cíclico sigue un proceso AR(2) y que
, , son ruidos blancos independientes con desviaciones estándar
( ) (
)
Modelo espacio-Estado
Ecuación de medida
( )
[
]
6
Ecuación de transición
[
]
[
]
[
]
[
]
Al tratar de aplicar este modelo al PBI peruano se afrontó una dificultad para
maximizar la función de verosimilitud, pues dependían de valores iniciales muy
específicos. Los resultados se muestran en la Tabla 1. No hay significatividad en la
varianza del componente tendencial, lo que hace que la tendencia se ajuste mucho a la
serie real y el componente cíclico sea muy ruidoso, ver Gráfico 2.
Tabla N° 1. Estimación por Máxima Verosimilitud
Producción
1.089
(14.33)
-0.485
(-8.14)
0.006
(-32.5)
0.000
(0.00)
0.022
(-62.00)
Gráfico 2. PBI potencial y ciclos (Modelo de Clark 1987)
9.8
10.0
10.2
10.4
10.6
10.8
11.0
80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02 04 06 08 10
PBI Real PBI Real Potencial
PBI Real
-.12
-.08
-.04
.00
.04
.08
.12
80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02 04 06 08 10
Ciclos del PBI Real
7
Modelo 2:
Este es un modelo multivariado que incluye la curva de Phillips, la Ley de Okun y la
ecuación de inversión. Se sigue la propuesta de Rodríguez (2010) pero considerando
sólo dos outliers dadas las diferencias encontradas en la serie que se trabaja. Además,
la volatilidad del componente estacionario del PBI sufre de heteroscedasticidad, por
tanto se considera un quiebre en la varianza en el periodo 1993:3. El mismo problema
afecta a la volatilidad de la inflación, por ello se incorpora la posibilidad que la varianza
del componente permanente cambie en el tiempo, se tiene dos quiebres 1988:3 y
1990:3.
Comportamiento del producto
( )
con
( )
( )
( )
La curva de Phillips
( )
( ∑ ) ( )
Ley de Okun
( ) ( )
Comportamiento de la inversión
( ) ( )
8
Modelo espacio - estado
Ecuación de medida
[
∑
]
[
] [
]
[
∑
]
[
]
[
]
[ ]
Ecuación de transición
[
]
[ ]
[
]
[
]
[
]
[
]
[ ]
Para maximizar la función de verosimilitud se usan como valores iniciales los
parámetros estimados por Rodríguez (2010), los resultados se muestran en la Tabla 2,
los valores en paréntesis corresponden al estadístico.
9
Tabla 2. Estimación por Máxima Verosimilitud
Ecuaciones
Producción Ley de Okun Inversión Curva de Phillips
0.697
-0.074
0.046
-0.613
3.398
(13.11) (-3.99) (1.18) (-1.78) (5.61)
-0.008
0.141
0.084
0.07
7.851
(0.00) (0.33) (1.45) (1.51) (9.82)
0.009
0.004
0.54
0.076
0.357
(3.98) (-5.97) (5.98) (1.57) (-7.42)
0.032
0.008
0.012
0.024
1.639
(-25.8) (-28.74) (-73.01) (0.56) (1.48)
0.012
0.006
0.041
0.023
(-12.68) (-15.13) (1.05) (-11.58)
0.017
0.034
(-21.37) (-27.35)
Los resultados obtenidos difieren de los de Rodríguez, la curva de Phillips es apenas
significativa, mientras la ley de Okun sí es significativa, la ecuación de inversión no es
relevante, y la varianza del periodo 1988:3 hasta 1990:3 tampoco es significativa. Estas
divergencias se pueden deber a los datos iniciales tomados pues la muestra con la que
se trabaja es más grande y requieren de una nueva recalibración de los valores
iniciales, el problema radica en las limitaciones del software usado: EViews, pues no
permite imponer restricciones a los parámetros o modificar el algoritmo de
maximización. Sin embargo, la relevancia que mostraría la Ley de Okun puede deberse
a la incorporación de nueva información: se agregan 5 años más a la serie y con
información nueva que no sufre de los problemas de construcción de los valores
iniciales. Coincidentemente, el valor encontrado (-0.074) es similar al encontrado por
Garavito (2002) quien hizo una estimación de la Ley de Okun.2
Al observar el comportamiento permanente y cíclico a través de los periodos de
recesión, puede notarse que la recesión de finales de los 80’s e inicios de los 90’s
afectó negativamente el PBI potencial. La recesión de 1998, a pesar de su duración, no
causo un gran impacto; mientras la última recesión de finales del 2008 tuvo un menor
impacto en el crecimiento del componente cíclico y permanente3.
2 Garavito trabaja con series anuales desde 1970 hasta el 2000, plantea dos formas de estimar la sensibilidad del desempleo respecto a la brecha del producto, es decir el coeficiente de Okun, encontrando los valores de -0.0845 y -0.079 respectivamente. 3 Las recesiones contabilizadas son cuatro, la primera 1982:2 – 1984:1, la segunda 1988:1 – 1990:3, la tercera 1998:1 – 2000:4 y la cuarta 2008:4 – 2009:2, el criterio de demarcación de la recesión es la caída del PBI no primario trimestral desestacionalizado por más de dos trimestres consecutivos. (Dancourt y Mendoza 2009)
10
Un segundo análisis que se deriva del análisis de la brecha del producto es la dificultad
de predicción de una posible recesión, como se observa en el segundo recuadro del
Gráfico 3 el inicio de todas las recesiones ha coincidido con un ciclo favorable por
encima de su nivel potencial y en tales circunstancias esperar una caída del producto
es poco probable.
Gráfico 3. PBI potencial y ciclos (Modelo de Rodriguez 2010)
Adicionalmente, se compara los resultados del filtro de Kalman con otros filtros
estadísticos, ver Tabla 3, con una simple sustracción de la tendencia lineal y cuadrática;
y con los otros modelos que aplican también el filtro de Kalman. Se considera también
el modelo de Doménech sin considerar outliers, ni cambios en la varianzas.
Los resultados indican una mayor correlación con el modelo de Rodríguez de dos
variables donde considera la ecuación del producto y la curva de Phillips. El
comportamiento de los componentes cíclicos de cada uno de los filtros se muestra en
la Gráfico 6 del anexo.
Tabla 3. Correlación entre modelo de Rodríguez 2010 y otros
Hodrick-Prescott
Baxter-King
Christiano-Fitzgerald
Tendencia lineal
Tendencia cuadrática
Watson 1986
Clark 1987
Doménech 2003
Mod. 2 variables
0.639 0.821 0.746 0.804 0.849 0.232 0.323 0.837 0.959
9.6
9.8
10.0
10.2
10.4
10.6
10.8
11.0
80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02 04 06 08 10
PBI Real PBI Real Potencial
PBI Real (Modelo 2)
-.3
-.2
-.1
.0
.1
.2
.3
80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02 04 06 08 10
Ciclos del PBI Real (Modelo 2)
11
Modelo 3:
El tercer modelo sólo considera la brecha del producto y relación con la inflación a
través de la curva de Phillips. Se obtiene un ciclo de producto más suave que en el
modelo de Clark; no obstante, el parámetro que mide la sensibilidad de la inflación a la
brecha del producto resulta no significativo, como se observa en la Tabla 3.
Comportamiento del producto
La curva de Phillips
( )
( ∑ ) ( )
Modelo espacio - estado
Ecuación de medida
[
∑
] [
] [
] [
∑
]
[
]
[
] [
]
Ecuación de transición
[
]
[ ]
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
12
Tabla 4. Estimación por Máxima Verosimilitud
Ecuaciones
Producción Curva de Phillips
0.697
-0.872
3.411
(8.03) (-1.34) (4.88)
-0.001
0.068
7.848
(0) (0.83) (6.14)
0.008
0.074
0.345
(3.22) (1.7) (-7.27)
0.032
0.023
1.623
(-21.21) (0.54) (1.34)
0.01
0.04
0.02
(-7.28) (0.97) (-6.99)
0.018
0.036
(-16.38) (-23.98)
El comportamiento del ciclo del producto en este modelo es muy similar al modelo 2.
No obstante el coeficiente que mide la relación entre el producto y la inflación no es
significativo. Mientras en el modelo 2 la inclusión de la Ley de Okun que si es
significativa permite una mejor descomposición del producto en concordancia con las
las relaciones teóricas esperadas. En el Gráfico 4 se aprecia el componente tendencial
y los ciclos estimados.
Gráfico 4. PBI potencial y ciclos (Modelo de Rodríguez 2010)
9.8
10.0
10.2
10.4
10.6
10.8
11.0
80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02 04 06 08 10
PBI Real PBI Real Potencial
PBI Real (Modelo 3)
-.25
-.20
-.15
-.10
-.05
.00
.05
.10
.15
.20
80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02 04 06 08 10
Ciclos del PBI Real (Modelo 3)
13
IV. Conclusiones
Se han estimado tres modelos para descomponer el PBI peruano en tendencia y ciclo,
el primero univariado y los dos siguientes multivariados. En el primer modelo se
encontró no significatividad en la varianza, ni en el intercepto del componente
tendencial.
En el segundo modelo, la varianza del componente estacionario del PBI y la inflación es
heteroscedástica, siguiendo a Rodríguez (2010) se incorpora la posibilidad de que las
varianzas de ambos componentes cambien en el tiempo y se adicionan outliers para
controlar los picos de inflación. Los resultados muestran significatividad de la Ley de
Okun y de la Curva de Phillips al 10%, lo cual difiere de Rodríguez (2010). Esto se puede
deber a que la muestra tomada es mayor o porque solo consideramos dos outliers, en
vez de tres.
En el tercer modelo el parámetro que mide la sensibilidad de la inflación a la brecha
del producto resulta no significativo, a pesar de tener una alta correlación con el
modelo anterior. Por tanto, se concluye que el mejor modelo que ayuda a estimar la
brecha producto es el segundo modelo.
14
BIBLIOGRAFÍA
Clark, Peter
1987 “The Cyclical Component of U. S. Economic Activity”. The Quarterly Journal of
Economics, Vol. 102, No. 4, pp. 797-81.
Dancourt, Oscar y Mendoza, Waldo.
2009 Perú 2008-2009: del auge a la recesión. En O. Dancourt y F. Jiménez (editores),
Crisis internacional. Impactos y respuestas de política económica en el Perú.
Lima: Fondo editorial de la Pontificia Universidad Católica del Perú.
Doménech, Rafael y Víctor Gómez
2003 “Estimating potential output, core inflation and. the NAIRU as latent variables”.
Journal of Business and Economic Statistics, 354-365.
Garavito, Cecilia
2002 “La Ley de Okun en el Perú: 1970-2000”. Documento de Trabajo 212,
Departamento de Economía. Pontificia Universidad Católica del Perú.
Harvey, Andrew C.
1993 Time series models. Cambridge, MA. 2nd edition: The MIT Press.
Mitchell, W.C.
1928 “Business Cycles”. New York: National Bureau of Economics Research. 1928
Nelson, Charles R. and Charles I. Plosser.
1982 “Trends and random walks in macroeconmic time series: Some evidence and
implications” Journal of Monetary Economics, vol. 10, issue 2, pages 139-162.
Rodríguez, Gabriel
2010 "Estimating Output Gap, Core Inflation, and the NAIRU for Peru," Applied
Econometrics and International Development”. Vol 10, No 1. 149-159.
Watson, Mark
1986 “Univariate detrending methods with stochastic trends” Journal of Monetary
Economics. XVIII
15
ANEXOS
Gráfico 5. Componente permanente y cíclico de las series
9.6
9.8
10.0
10.2
10.4
10.6
10.8
11.0
80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02 04 06 08 10
Log PBI real PBI potencial
.04
.05
.06
.07
.08
.09
.10
.11
.12
80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02 04 06 08 10
Tasa desempleo
Componente tendencial
.10
.12
.14
.16
.18
.20
.22
.24
.26
80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02 04 06 08 10
Ratio Inversión Privada / PBI
Componente tendencial
-2
0
2
4
6
8
10
80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02 04 06 08 10
Inflación Inflación subyacente
16
Gráfico 6. Comparación del Modelo 2 con otros filtros
-.3
-.2
-.1
.0
.1
.2
.3
80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02 04 06 08 10
Ciclo (Modelo 2)
Ciclo (Hodrick-Prescott)
-.3
-.2
-.1
.0
.1
.2
.3
80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02 04 06 08 10
Ciclo (Modelo 2)
Ciclo (Baxter-King)
-.3
-.2
-.1
.0
.1
.2
.3
80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02 04 06 08 10
Ciclo (Modelo 2)
Ciclo (Christiano-Fitzgerald)
-.4
-.3
-.2
-.1
.0
.1
.2
.3
80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02 04 06 08 10
Ciclo (Modelo 2)
Ciclo (Tendencia lineal)
-.3
-.2
-.1
.0
.1
.2
.3
80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02 04 06 08 10
Ciclo (Modelo 2)
Ciclo (Tendencia cuadrática)
-.3
-.2
-.1
.0
.1
.2
.3
80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02 04 06 08 10
Ciclo (Modelo 2)
Ciclo (Clark 1987)
-.3
-.2
-.1
.0
.1
.2
.3
80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02 04 06 08 10
Ciclo (Modelo 2)
Ciclo (Doménech 2003)
-.3
-.2
-.1
.0
.1
.2
.3
80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02 04 06 08 10
Ciclo (Modelo 2)
Ciclo (Modelo 3)