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GUÍA DE ENSEÑANZA- APRENDIZAJE No 2
Área: MATEMÁTICAS Asignatura:
MATEMATICA
Docente: Lisseth Díaz
Periodo: 2°
Nombre del estudiante: Grado: 8° Fecha delimitación:
TEMÁTICA GENERAL
Expresiones algebraicas – triángulos y propiedades – Gráficos de barras compuestas- Probabilidad
ESTÁNDAR
Construir expresiones algebraicas equivalentes a una expresión algebraica dada
Aplicar y justificar criterios de congruencia y semejanza entre triángulos, en la resolución y formulación
de problemas.
Reconocer las diferentes maneras de presentar la información puede dar origen a distintas
interpretaciones.
Reconocer tendencias que se presentan en conjuntos de variables relacionadas.
DBA
Propone, compara y usa procedimientos inductivos y lenguaje algebraico para formular y poner a prueba
conjeturas en diversas situaciones o contextos.
Identifica relaciones de congruencia y semejanza entre las formas geométricas que configuran el diseño
de un objeto
Interpreta información presentada en tablas de frecuencia y gráficos cuyos datos están agrupados en
intervalos.
Hace predicciones sobre la posibilidad de ocurrencia de un evento compuesto e interpreta la predicción
a partir del uso de propiedades básicas de la probabilidad.
COMPETENCIAS
Utilizar adecuadamente las operaciones con expresiones algebraicas, y sus propiedades básicas para
resolver situaciones problema en distintos contextos.
Comprende el concepto de congruencia de figuras en el plano, y aplica los criterios de congruencia de
triángulos para determinar si dos figuras son congruentes.
Organiza información en tablas de frecuencia de datos agrupados y hace lecturas a partir de gráficos
compuestos
Calcula la probabilidad de ocurrencia de un evento
CONTENIDOS
Teoría de los números - Geometría
- Expresiones algebraicas - Triángulos
- Polinomios- Reducción de términos en un polinomio - Propiedades de los triángulos
- Adición de polinomios - Construcción de triángulos
- Sustracción de polinomios - Congruencia de triángulos
- Multiplicación de polinomios - Criterio de congruencia de triángulos
- Productos notables - Teorema de Pitágoras
- División de un polinomio entre un monomio - Área de triángulos
- División de polinomios - Estadística
- División sintética - Gráfico circula- agrupación de datos
- Teorema del residuo - Distribución de frecuencias por intervalo-
Histogramas – Grafico de barras compuesto
- Cocientes notables - Probabilidad
CRITERIOS DE EVALUACIÓN
La conservación de la guía hasta final de periodo
Actividades grupales e individuales
Comportamiento en clase
Compromiso, cumplimiento y entrega de las actividades
1
2
Expresiones algebraicas
1. Término algebraico: Un término algebraico es el producto de una o más variables y una
constante literal o numérica. Ejemplos: 3x2y, 45m En todo término algebraico podemos distinguir:
Signo, coeficiente numérico y factor literal.
2. Grado de un término:
- Grado absoluto: Se denomina grado absoluto de un término algebraico a la suma de los
exponentes de su factor literal por ejemplo: 3 es 5.
- Grado relativo: Mientras que su grado relativo con respecto a x es 2
Ejercicios: Para cada uno de los siguientes términos algebraicos, determina su signo, coeficiente
numérico, factor literal y grado:
Expresiones algebraicas: Es la combinación de variables y números mediante las operaciones de
adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación
Términos semejantes de una expresión algebraica:
Valorar una expresión algebraica
Valorar una expresión algebraica significa asignar un valor numérico a cada variable de los términos
y resolver las operaciones indicadas en la expresión para determinar su valor final. Ejemplo:
Valoremos la expresión: 5x2y – 8xy2 – 9y3, considerando x = 2; y = –1
1. Reemplazar cada variable por el valor asignado.
2. Calcular las potencias indicadas
3. Efectuar las multiplicaciones y divisiones
4. Realizar las adiciones y sustracciones
Veamos el ejemplo propuesto:
5 y – 8x – 9
3
Ejercicios: Calcula el valor numérico de las expresiones algebraicas siguientes, considerando.
Reducción de Términos semejantes:
Se denominan términos semejantes de
una expresión algebraica todos aquellos
términos que tienen igual factor literal.
Ejemplos:
En la expresión 5 b + 3abx + 6 – 7
b, 5 b es semejante con – 7 b
En la expresión – 8x +
,
es semejante con
Reducir términos semejantes consiste en
sumar los coeficientes numéricos,
conservando el factor literal que les es
común.
1 Reduce
a. 8x – 6x + 3x – 5x + 4 – x =
b. 4,5a – 7b – 1,4 b + 0,6a + 5,3b + b =
c.
– 2mn +
-
mn + 2mn – 2 =
d.
+ 31 +
-
-
-
+
Uso de paréntesis:
En álgebra los paréntesis se usan para agrupar términos y separar operaciones. Para eliminar
paréntesis debes fijarte en el signo que tengan:
Si es positivo, se elimina manteniendo todos los signos que están dentro de él.
Si es negativo, se elimina cambiando todos los signos que están dentro de él.
4
Ejemplos:
1) 2a x a 1 a x 3 2a x a 1 a x 3 2a 2x 2
2) 3x – (6x + 1) + (x –3 )= 3x – 6x – 1 + x – 3 = –2x – 4
Observación: Si en una expresión algebraica existen paréntesis dentro de otros, se empiezan a
eliminar desde el más interior.
- * ⌊ ( )⌋+ =
- * ⌈ ⌉+ =
- * + =
+ = 2 + 4mn + 3
2. Desarrolla en tu cuaderno
a. -4 – (x – y ) – 5 +( x+ 3y) – 2 -* ⌊ ( )⌋+ =
b. - * ,( )-+ + * ,( )-+ - ,* ( )+-=
Polinomios
Es una expresión algebraica formada por sumas o restas entre monomios. Los monomios que
conforman un polinomio se les llama términos de polinomios.
- Grado de un polinomio: El grado de un polinomio está determinado por el mayor grado de
alguno de sus términos cuyo coeficiente es distinto de cero.
- Clasificación según la cantidad de términos.
Según el número de términos que posea una
expresión algebraica se denomina:
Monomio: Un término algebraico: ; - 35z
Binomio: Dos términos algebraicos: x + y; 3 – 5b
Trinomio: Tres términos algebraicos a + 5b -19
Polinomio: Más de dos términos algebraicos: 2x – 4y +
6z – 8x2 5.
Ejercicios: Determina el grado y clasifica según el número de términos, las siguientes expresiones
algebraicas:
Adición y sustracción de polinomio
La suma o la resta de dos o más polinomios puede realizarse sumando o
restando sus términos semejantes. Estas operaciones pueden hacerse en
vertical y en horizontal o en fila.
A
En la figura el área de la zona A es 8xy + 𝑥 - 6𝑦 y la del
rectángulo B es 𝑥 - 𝑦 + 6 xy
¡Cual es la expresión que representa el área total del jardín?
5
2.1 Elimina los paréntesis y halla las sumas de los siguientes polinomios
a. (2ab + 3 ) + (-11ab - 3 )=_________________________________________________________________
b. (3ab + 6b) + (2a + 5b) =________________________________________________________________
c. (2m + 5 ) + (6m - 3 )=______________________________________________________________
d. (10x + 4 ) + (12x + 4 )=____________________________________________________________
2.2 Halla las diferencias
a. (3x + 4y) – (2x + y)=_____________________________________________________________________
b. (10 + 3 )- (7 + 8 )=____________________________________________________________________
c. (8a + 9ab)- (6a + 3ab)=_________________________________________________________________
d. (6mn + 4 )- (8mn -2 )___________________________________________________________________
2.3 Organiza los polinomios en columna luego encuentra cada suma
a. (6x – 5 ) + (2x + + ) b. (5a+ 8 b + ) + (2a+ 4 b + 6 )
c. (4y + 2 + ) + (- 2y + + 6 ) d. (7m - 5 -15 ) + ((2 - 2 +9 )
6
1.1 Agrupa términos semejantes y obtén cada suma
a. (6a + 5b + 3ab) + (4a + 8b -2ab)=
b. (2x – 3xy + 4 ) + (8x + 3xy - 2 )
c. (4m + 6 + ) + (6m - 3 + 5 )=
d. (5m + 3 + 9 ) + (9m - 4 + 2 )=
1.2 Halla la suma de los siguientes polinomios
a. (4 yz + 3xy + 8 ) + (6xy - 2 + 6 yz)
b. (-3 + 5 ab + 3 ) + (6 + 2ab)
c. (2 + 4 b + ) + (2 + 3a - 2 b - 7 )
d. ( - +4 ) + (6 + 2m + 6 - 10 )
e. (
a +
b - ) + (
a +
b)
f. (
m +
+
)+ (
-
n+ )
g. (
x +
– 5y + z) + (
x +
– 8z)
h. ( y +
+ 5y) + (-x +
y -
+ 5y)
1.3 Realiza las siguientes restas
a. (6 – 3x + 8) – (8 + 7x + 5)
b. (-4 – 6 mn - 2) – (-3 + 5mn - 8)
c. (9y – 7x + 9w) – (3w – 4x + 2z)
d. (12xyz - 4 yw) – (13xyz - 14 yw)
e. (5 - 9 ) - (4 - 5 )
f. (-6x + 8 ) – (
-
)
g. (6m + 2n -3) – (-5m -2n -4)
1.4 Dados los polinomios P(x) = –7x4 + 6x2 + 6x + 5, Q (x) = –2x2 + 2 + 3x5 y R(x) = x3 –x5 + 3x2, calcula:
a) P(x) + Q(x) d) P(x) – Q(x) – R(x)
b) P(x) – Q(x) e) R(x) + P(x) – Q(x)
c) P(x) + Q(x) + R(x) f) P(x) – R(x) + Q(x)
7
10 𝑥 𝑦 𝑧
5 𝑥 𝑦 𝑧
Multiplicación de polinomios
2.1 (x + 5)(x - 5)
2.2 (2x + 5)(2x - 5)
2.3 (5xy - 6)(5xy + 6)
2.4 (12 + 9ab)(12 – 9ab)
2.5 (3xyv - 4ab)(3xyv + 4ab)
2.6 (3ab2c - 4ad2)(3ab2c + 4ad2)
2.7 (11axt2v2 + w4)(11axt2v2 - w4)
2.8 (5.32 + 4)(5.32 - 4)
2.9 [(a+4) - b][(a+4) + b]
2.10 [(x - y) + z][(x - y) - z]
2.11 (2c + d + e)(2c + d - e)
2.12 (a + b + 5)(a + b - 5)
2.13 (a – b + 5)(a + b + 5)
2.14 (a2 - b2 - ab)(a2 + b2 + ab)
2.15 (10 + 2a + 3b)(10 – 2a - 3b)
2.16 (3 – x + y)(3 + x + y)
2.17 (a + b + 7)(a – b + 7)
2. 18 (-a –b + 7)(a + b + 7)
2.19 (10x2a + 9bc)(9bc - 10x2a)
En la figura las dimensiones del rectángulo se representan
por monomios
5𝑥 𝑦 𝑧
8
2.1 Halla el producto en cada caso.
a) (-2x2)(
)
b) (-3m2)(4m3+1)
c) (-5a3)(2 a2-7+3)
d) (-4x)(-w4+3x2w3-xw2+2w-3)
e) (2x+3)(x2-1)
f) (-4x2-7)(-x+5)
g) (2x-y)(3x+y)
h) (x+3)(x-3)
i) √ x2(-5x+2√ x2+√ x3)
j) .
/ (
)
k) (−8 ) .
/ (
)
l) .
/ .
/
m) ( )( )( )
2.2 Realizo la multiplicación y escribo el grado
del polinomio producto, en cada caso.
a) ( )( )
b) ( )( )
c) ( )( )
d) .
/ (
)
e) ( )( )
f) (√ )(√
)
g) ( )( )
h) ( )( )
i) ( )( )
j) .
/ ( 6 )
2.3 Halla, en cada caso, el resultado.
a) (2x-3)(4 ) ( )( )
b. (2 a+3b)( ) ( )( )
b) (3t-1)(t-1)(t+1)
c) ( )( )( )
2.4 Si en el ejercicio 3 se dan los siguientes
valores: a=-2, b=3, t=2, x=-1, halla en cada
caso el valor del polinomio producto.
2.5 Represento el rectángulo que tiene las
dimensiones indicadas y halla su área.
a) Largo: 3x+4, ancho: 2x+5
b) Largo: 4x+3, ancho 3x+1
c) Largo: 2x+5, ancho: 3x+2
d) Largo: x+6, ancho: 3x+1
2.6 Hallo una expresión algebraica para
indicar el área de la región de color blanco en
cada figura.
9
PRODUCTOS NOTABLES
- Cuadrado de un binomio
El cuadrado de un binomio es equivalente al cuadrado del primer término, más (o menos, según la
operación entre los términos) el doble producto del primer término por el segundo, más el cuadrado
del segundo término.
- Producto de la suma por la diferencia de dos términos
El producto de la suma por la diferencia de dos términos es equivalente a la diferencia entre el
cuadrado del primer término y el cuadrado del segundo término
- Producto de la forma (x +a ) ( x+ b)
El producto de la forma (x + a) (x + b) es equivalente al cuadrado del termino común, más el
producto de dicho término por la suma de los no comunes, más el producto de los términos no
comunes.
Ejemplo:
(7m + 1) = (7m) + 2 (7m) (1) + (1)
=49𝑚 + 14 m + 1
(3x – 5y ) = (3x) - 2 (3x) (5y) + (5y)
= 9𝑥 – 30xy + 25𝑦
Ejemplo:
(7m + 3n) (7m – 3n) = (7m) – (3𝑛) =49 𝑚 - 9𝑛
Ejemplo:
( y + 8) (Y – 3) = (y) + y (8 – 3) + (8) (-3)
= 𝑦 + 5y - 24
10
- Cubo de un binomio
El cubo de un binomio es equivalente al cubo del primer término, mas (o menos, según la
operación) el triple producto del cuadrado del primer término por el segundo, más el triple producto
del primer término, mas (o menos) el cubo del segundo termino
a. Cuadrado de una suma
243
222
2
2
83.4
.3
32.2
117.1
ba
byxa
yx
x
b.- Cuadrado de la diferencia
225
223
2
2
3.4
53.3
14.2
32.1
ayx
ba
ax
ba
c.- Producto de la suma por la diferencia
axax
aa
axax
yxyx
3131.4
2112.3
.2
.1
2222
d.- Producto del cubo de un binomio
11
129.4
65.3
63.2
95.1
22
33
22
xyxy
abab
nn
aa
e- CUBO DE UN BINOMIO (SUMA Y DIFERENCIA)
3
3
3
3.3
1.2
2.1
m
x
a
3.1 Observa el siguiente polinomio: 3x4+2x3+x2-2x4+2x-3x2+2 Si lo simplificamos, ¿qué expresión
algebraica obtenemos?
a) –x4+2x3+2x2+2x+2 b) 5x4+2x3-2x2-2x+2
c) -5x4+2x3+2x2-2x+2 c) x4+2x3-2x2+2x+2
3.2 ¿En cuál de las siguientes operaciones se expresa el cociente de 3
2
x
x
?
a) x b) x
1 c) x-5 d)
5
1
x
3.3 ¿Cuál es el resultado de la siguiente operación? (2x3+6x2-5x)(4x)
a) 8x2+24x-20 b) 6x4+10x3-x2 c) 8x4+24x3-20x2 d) 2x7+6x6-5x5
3.4 Lee el siguiente problema: Si al doble de un número le aumentamos 6 unidades, obtenemos 42
unidades. ¿Cuál es ese número? ¿Cuál de las siguientes expresiones algebraicas expresa el
problema anterior?
a) 2x-6=42 b) 2x+6=42 c) 2x+42=6 d)2x-42=6
3.5 Observa la siguiente figura. ¿En cuál opción se expresa su área?
3.6 En un rectángulo el largo es 3 unidades mayor que su ancho. Si su área es igual a 30, ¿cuál es la
ecuación que permite calcular los lados del rectángulo?
a) x2+3x-30=0 b) x2+3x+30=0 c) x2-3x-30=0 d) x2-3x+30=0
3.7 El área de un rectángulo es de 4x2+6x. Si el ancho mide 2x, ¿cuál de las siguientes expresiones
representa la medida de su largo?
a) 8x3+12x2 b) 4x2+8x c) 2x2+3x d) 2x+3
12
3.8 Al identificar, agrupar y simplificar los términos semejantes que aparecen en el siguiente
recuadro, ¿cuál es la expresión resultante?
3.9 Juan tiene “x” cantidad de canicas y Abraham tiene 4 canicas menos que Juan. El cuadrado
del número de canicas de Juan más el cuadrado de número de canicas de Abraham es 328. ¿Cuál
de las siguientes ecuaciones modela la situación anterior?
a) x2+(x-4)2=328 b) x2-(x-4)2=328 c) x2+(x+4)2=328 d) x2(x-4)2=328
3.10 Observa la siguiente figura. Si queremos encontrar el valor de
x en la figura, ¿cuál de las siguientes ecuaciones debemos de
resolver?
a)4x2+12x-10=0
b) 4x2+12x+5=0
c) 4x2+12x+10=0
d) 4x2+12x=0
3.11 Observa la siguiente figura construida a partir de rectángulos y
cuadrados. ¿Cuál es la representación del área del cuadrado ABCD?
a) (x+5)2 c) (x+5)(x-5)
b) b) x2+5x+25 d) x2+52
3.12 El largo de una cancha de futbol es 45 metros más grande que su ancho. Si el área es de 4050
m2, ¿cuál es la ecuación que permite calcular los lados del rectángulo?
a) X2-45x-4050=0 b) x2 +45x+4050=0 c) x2 -45+4050=0 d) x2+45x-4050=0
3.13 Observe la siguiente figura. Si queremos calcular
numéricamente el área total del triángulo rectángulo, ¿cuál de las
siguientes ecuaciones debemos de resolver?
a) 8x2+8x+2=0 c) 4x2+4x+1=0
b) 8x2+4x+2=0 d) 4x2+4x+2=0
3.14 Juan tiene un terreno cuadrado de lados a y planea construir una
casa utilizando el terreno de lados b, como se muestra en la siguiente
figura. ¿Cuál es la expresión algebraica que denota el área del terreno
sobrante?
a) a2-b2
b) a2-2ab2-b2
c) a2+2ab2+b2
13
d) a2+b2
3.15 Ricardo compró un terreno rectangular de 64 u2. Él quiere
saber el largo y el ancho del mismo. Ayúdale a descubrirlo
indicando cuál es la ecuación que tiene que resolver para
encontrar los datos.
a) x2+4x-64=0 c) 2x+4=64
b) x2-4x-64=0 d)
6
3.16 Observa el rectángulo de la siguiente figura. Si el valor del área
es 6x2-7x-5, ¿cuánto vale la altura?
a) 26 u c) 7.5 u
b)
d) -7.5 u
3.17 La diferencia 5502-4502, ¿a cuál de las siguientes expresiones aritméticas es equivalente?
a) (550-450)2 b) (550+450)(550-450) c) 550-2(550)(450)+450 d) (550-450)(550-450)
3. 18 A Pedro su amigo le vendió un terreno como el que se muestra a
continuación. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones le dará el valor de las
dimensiones del terreno al resolverla?
a) x2+20x+8000=0
b) x2-60x-8000=0
c) x2+60x+88000=0
d) x2+60x-7200=0
3.19 Observa la siguiente figura. Si el área sombreada está dada por la
expresión x2-16, ¿cuál de las siguientes opciones presenta la factorización
correcta de esta expresión?
a) (x+4)(x-4) c) (4-x)(4+x)
b) (x-4)(x-4) d) (4+x)(4+x)
3.20 Doña Sofía compró un pequeño terreno cuadrado, el cual utilizó para sembrar algunas semillas
como se muestra en la siguiente figura. ¿Cuál de las siguientes expresiones algebraicas representa el
área que ocupa todo el terreno de Doña Sofía?
a) x2+30
b) x2 -225
c) x2+30x+225
d) x2-30x+225
3.21 Observa la siguiente expresión algebraica escrita en una hoja
de papel. ¿Qué expresión ha sido cubierta por la mancha?
a) x+3 c) x+5
b) x-3 d) x-5
14
División de un polinomio entre un monomio
Es una operación que tiene por objeto, dado
el producto de dos factores (dividendo) y uno
de los factores (divisor), hallar el otro factor.
Para efectuar divisiones es importante
recordar:
1. Ley se signos. -
2. Ley de exponentes.
3. Ley de coeficientes.
a) División de monomios.
Para dividir monomios, se dividen los coeficientes entre si y se
simplifica la parte literal, para ello, se aplica la propiedad de
potenciación del cociente de potencias de igual base.
b) División de polinomio entre monomio.
Se divide cada uno de los términos del polinomio entre
el monomio separando los cocientes parciales con sus
propios signos.
c) División de polinomio entre polinomio.
Para dividir un polinomio por otro polinomio, se procede de la siguiente manera.
1. Se ordenan los términos de
ambos polinomios según las
potencias descendientes de
una de las letras comunes a los
dos polinomios (en el caso de
que el dividendo sea un
polinomio incompleto, se dejan
los espacios del término que
falta).
2. Se divide el primer término
del polinomio dividiendo por el
primer término del polinomio
divisor, con lo que se obtiene el
primer término del cociente.
3. Se multiplica el primer término del cociente por el divisor y se resta del dividendo. Si el grado de
esta diferencia es menor que el grado del divisor, esta diferencia es el resto de la división.
4. Se repite el proceso anterior hasta obtener un resto igual a cero o de grado menor que el divisor.
5.1 Desarrolla en tu cuaderno
15
a.
= b.
= c.
= d.
= e.
= f.
=
g.
= h.
= i.
j.
= k.
l.
5.2 Realiza las siguientes divisiones de polinomios entre monomios.
a.
a
aba 2
b.
a
baaba
2
653 3223
c.
a
abbaa
3
963 223
d.
m
mnnmm
2
2086 223
e.
2
34
7
1428
x
xx
f.
2
23
10
10520
x
xxx
g.
5
510 yx
h.
2
23
4
16328
y
yyy
i. 1
2
6
810
x
xx
j.
2
23
5
1015
x
xx
5. 3 Divide los siguientes polinomios
a. Dividir x2 + 2x – 3 entre x + 3
b. Dividir x2 – 20 + x entre x + 5
c. Dividir m2 – 11m + 30 entre m – 6
d. Dividir 3x2 + 2x – 8 entre x + 2
16
División sintética
Es un procedimiento abreviado
que se aplica en la division de
polinomios cuando el divisor es de
la forma
( x + a).
Los pasos para obtener el cociente
( + 3x + 8 ) ÷ ( x + 2 )
Teorema del residuo
El residuo de dividir un polinomio entre un divisor de la forma x + a es equivalente al valor
que se obtiene reemplazando el valor x = -a en el polinomio
Ejemplo
En la operación
(2 + 3x + 4) ÷ (x +2)
Se reemplaza x por -2, así:
2 (-2) + 3 (-2) + 4
= 8 - 6 +4
= 6 es el resultado de la división
Determina si cada división es exacta o no.
a. (3 - 3m + 2) ÷ (m + 1)
b. (4 – 6b + 8) ÷ (b – 2)
c. (3 + 2 + 4a – 5) ÷ (a -3)
d. (4 + 5 + 6) ÷ (a + 3)
e. (5 – 2 + 8) ÷ (b + 2)
f. (3 – 8 + 5 + 4) ÷ (n + 4)
e. ( – 1 ) ÷ (x - 1)
g. ( +a +14) ÷ (a + 2)
17
Cocientes notables
Los cocientes Notables son ciertos cocientes
que obedecen a reglas fijas y que pueden ser
escritas por simple Inspección. Los más
importantes son:
1. Cociente de la Diferencia de los
Cuadrados de dos cantidades entre la
suma de las cantidades
Al realizar la Respectiva División de
Polinomios, encontramos que el Cociente
de dicha División es:
es
Ejemplo 1. Dividir entre
Solución
2. Cociente de la Diferencia de los
Cuadrados de dos cantidades entre la
Diferencia de las cantidades
Al realizar la Respectiva División de Polinomios,
encontramos que el Cociente de dicha
División es a + b
3. Cociente de la Suma de los cubos de dos
cantidades, entre La suma de las cantidades
Ejemplo 2. Dividir entre
Solución
Al realizar la Respectiva División de Polinomios,
encontramos que el Cociente de dicha
División es
Ejemplo 3 Dividir entre
Solución
4. Cociente de la Diferencia de los cubos de
dos cantidades, entre la Diferencia de las
cantidades
Ejemplo 4. Dividir entre 1- 4a
Solución
ba
ba
22
baba
ba
22
229 yx
yxyx
yx
3
3
9 22
yx 3
ba
ba
22
baba
ba
22
2
2
4
11
1x
x
x
41 x 21 x
2233
bababa
ba
338 yx yx 2
22
2233
24
)(2)2(2
8
yxyx
yyxxyx
yx
ba
ba
33
2233
bababa
ba
3641 a
23
164141
641aa
a
a
ba
ba
33
18
1 2. 3. 4.
5. 6. 7.
8. 9. 10.
11. 12. 13.
14. 15. 16.
17. 18. 19.
20
a
a
1
1 3
a
a
1
1 3
yx
yx
33
12
18 3
a
a
yx
yx
32
278 33
nm
nm
532
12527 33
74
34364 3
a
a
y
y
56
125216 3
ab
ba
1
1 33
b
b
89
512729 3
bax
bxa
333
mxn
xmn
333
yx
yx
3
272
3
6
33
99
2
8
ya
ya
4
12
1
1
x
x
5
15
75
343125
x
x
1
12
6
n
n
13
1272
6
x
x3
93
4
64
ba
ba
22
66
ba
ba
19
GEOMETRIA
Triángulos
El triángulo es el conjunto formado por tres
segmentos que unen, respectivamente, tres
puntos no colineales. Estos dividen el plano
en tres subconjuntos: el interior del triángulo,
el exterior del triángulo y el mismo triangulo.
1.1 Clasifica los siguientes triángulos según la medida de sus lados
1.2 Clasifica los triángulos de acuerdo con la medida de sus ángulos
1.3 Identifica los elementos pedidos en cada uno de los triángulos
1.4 Relaciona cada triangulo con su clasificación
20
1.5 Julián diseño una cometa
como la de la ilustración
a. ¿Cuántos triángulos se
distinguen en el diseño ¿Cuáles
Son?
b. Qué clase de triángulo es el
que determina los puntos A, B, y
D?
c. Julián afirma que en su cometa los puntos A, B y c
determina los vértices de un triángulo ¿Es cierta esta
afirmación? Explica.
Propiedades de los triángulos
“En todo triángulo la suma de las medidas
de dos de sus lados es siempre mayor que la
medida del tercero” Por lo tanto, dicho
triangulo existe.
1 Encuentra el valor de la incógnita en cada triángulo
2. Escribe verdadero (v) o falso (F), según corresponda en cada caso.
a. En el triángulo formado por los segmentos a = 3 cm, b= 4 cm y c = 5 cm, el ángulo con mayor
apertura es el opuesto al lado b
b. Es posible construir un triángulo cuyos lados midan 8cm, 3 cm y 7 cm.
c. En un triángulo, los ángulos interiores pueden medir 45°, 32° y 50°
d. Los ángulos exteriores de un triángulo cuyos ángulos internos miden 60°, 50° y 70°, son 120°, 130° y
110° respectivamente.
e. Es posible construir un triángulo cuyos lados miden 5 cm, 11 cm y 6 cm.
21
3. Selecciona un trío de segmentos con los cuales sea posible formar un triángulo en cada caso
3. Lee la información y luego, resuelve. 4. Encuentra los elementos desconocidos en
cada triangulo.
Pablo desea comprar enchapes de forma triangular para su cocina. Para esto, en el almacén le
han mostrado un catálogo con los siguientes modelos
a. Si en la primera tableta, uno de los
ángulos congruentes mide 73° ¿Cuánto
miden los otros dos?
b. Pablo se ha percatado de que el
catalogo tiene un error ¿de qué se trata?
Explica
c. Explica a qué se debe que el ángulo de
mayor amplitud en la tableta roja sea el
A
22
Construcción de triángulos
Con regla y compas puede construirse diferentes triángulos conociendo algunos de
sus elementos
1. Cuando se conocen sus tres lados: Teniendo esta opción se pueden construir
triángulos equiláteros, isósceles y escalenos. Así para construir un triángulo escaleno
de medidas d = 3, e= 2 cm y f = 4 cm se realizan las siguientes instrucciones.
2. cuando se conocen dos lados y el ángulo comprendido entre ellos
3. Cuando se conoce un lado y los ángulos adyacentes
23
Para esta actividad procura utilizar hojas milimetradas, regla compás y / o transportador)
Construye los siguientes triángulos, usando los materiales necesarios: (Regla, Compás y/o
Transportador)
ABC, donde a = 3 cm, = 60º, b = 3 cm
ABC, donde a = 5 cm, b = 5 cm, c = 5 cm
ABC, donde = 60º, c = 7 cm, = 60º
ABC, donde c = 3 cm, b = 90º, a = 3 cm
ABC, donde c = 4 cm, b = 5 cm, c = 4 cm
ABC, donde = 25º, c = 3 cm, = 25º
ABC, donde a = 3 cm, = 45º, b = 4 cm
ABC, donde a = 3 cm, b = 4 cm, c = 5 cm
ABC, donde = 20º, c = 4 cm, = 110º
Líneas notables en el triángulo
Altura: Es el segmento perpendicular desde uno de los vértices hasta el lado opuesto.
Bisectriz de un ángulo: Es una semirrecta que tiene el mismo origen del ángulo (Vértice) y que divide
a este en 2 ángulos congruentes. Los bisectrices se interceptan en un punto llamado Incentro.
24
1. Traza en cada uno de los siguientes triángulos, las alturas, medianas y bisectrices, señala el
ortocentro, el baricentro y el incentro.
2. Traza el triángulo y las líneas notables que se indican en cada caso
a. b. c.
Encuentra los puntos solicitados en los triángulos dados.
Un triángulo equilátero, y
respecto a un mismo lado,
la mediana, la altura y la
mediatriz.
Un triángulo rectángulo y la
mediatriz de la hipotenusa
Un triángulo obtusángulo y
las alturas respecto a los
lados opuestos de los
ángulos agudos.
25
La siguiente es la estructura de cierta ala Delta, la cual está diseñada con base en dos triángulos y
varios tubos transversales más livianos, dispuestos de forma que determinan líneas notables en
dichos triángulos.
a. ¿Cuál es la línea notable determinada por el tubo rojo?
b. ¿Cuál es la línea notable que representa el tubo azul?
c. Si se ponen tubos determinando las alturas de los triángulos ABD Y CBD, ¿Todos estarán dentro de
la estructura? Explica
Congruencia de triángulo
5.1 Al trazar una diagonal en cierto tipo de cuadriláteros, se generan dos triángulos congruentes
Algunas estructuras de torres de comunicación están compuestas por figuras triangulares
26
5.2 Traza cualquier diagonal a cada uno de
los siguientes cuadriláteros, e identifica e
identifica en cuales se generan dos triángulos
congruentes.
5.3 ¿Para qué tipo de cuadriláteros se cumple
esta propiedad? Explica
5.4 En los movimientos realizados sobre la
figura se cometieron algunos errores. Usa el
compás y el transportador para verificar
cuales de los triángulos son congruentes con el
original.
5.5 Traslada el triángulo ABC, 5 unidades hacia
la derecha. Luego, reflejo sobre la recta I.
5.6 Dados los siguientes triángulos, determina
cuáles son congruentes.
a. Solo I y II
b. Solo I y III
c. Solo II y III
d. I, II y III
e. Ninguno
5.7 Un alumno para
demostrar en el cuadrado
de la figura que ∆ ABC ∆
BCD, determino que AB
BD, que AC DC y que el
CAB BDC, por ser
rectos. ¿Qué criterio de
congruencia utilizó?
a. LLL
b. LAL
c. ALA
d. AAL
e. LLA
5.8 ¿Qué parejas de triángulos son
congruentes?
a. Solo II
b. Solo I y II
c. Solo I y III
d. Solo II y III
e. I, II y III
27
Justifica
5.9 En los triángulos siguientes se verifica que
AB DE, que BC EF y que el CAB FDE.
¿Qué criterio permite demostrar que estos
triángulos son congruentes?
a. LLL
b. LAL
c. ALA
d. LLA
e. Falta información.
5.10 Los triángulos de la figura, son
congruentes según el criterio.
a. LAL
b. LLA
c. ALA
d. LLL
e. AAA
5. 11 En la figura, el ∆ ABC ∆ DEF, entonces
se verifica
a. AB DE
b. AB FE
c. AC FE
d. AC DF
e. AF FD
5. 12 Para demostrar que los triángulos AOB Y
COD de la figura, son congruentes, es
necesario saber que:
a. BAO DCO
b. AB // CD
c. AO DO y AB CD
d. AB DC
e. BO CO y AO DO
5.13 Marca la alternativa de la proposición
verdadera.
a. Dos triángulos rectángulos son congruentes
si sus ángulos agudos respectivos son
congruentes.
b. Dos triángulos son congruentes si sus lados
homólogos miden lo mismo.
c. Dos triángulos son congruentes si sus ángulos
respectivos son iguales.
d. Para demostrar que dos triángulos son
congruentes se puede utilizar el criterio AAL
e. Todos los triángulos equiláteros son iguales.
5.14 Los triángulos ABC y DEF de la figura son
congruentes, entonces la medida de EF es:
a.9
b.15
c.17
d.40
e. Falta información
5.15 En la figura, ABCD es rectángulo y el
DEA CFB. ¿Qué criterio permite
demostrar que el ∆EAD FBC?
a. LLL
b. LLA
c. ALA
d. LLA
e. Falta información
5.16 En el triángulo ABC informa isósceles,
y . Se puede probar que ∆ ADC
∆ BEC por el criterio.
a. LLL
b. LAL
c. ALA
d. LLA
e. B o C
28
ESTADISTICA
REPRESENTACION GRAFICA DE LA INFORMACIÓN
Diagrama circular: Presenta las categorías de la variable
en un círculo. Por lo general muestra los porcentajes de
cada categoría. Para determinar la parte del círculo o el
ángulo que corresponde a cada categoría se multiplica
la frecuencia relativa por 36
Teniendo en cuenta las tablas de frecuencias elaboradas en clase presenta de forma gráfica
(Diagrama Circular y de barras) la información organizada en la tabla de frecuencias.
DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS CON INTERVALOS
En algunas situaciones los datos recogidos presentan frecuencias muy pequeñas entonces es útil
construir una distribución de frecuencias que permita agrupar los datos por intervalos que tengan la
misma longitud.}
Ejemplo
Un nadador de 200 metros registra el tiempo de sus ultimos 14 entrenamientos los resultados en
segundos son
125 120 130 135 125 115 116 122 117 115 132 121 133 119
Para construir la distribución de frecuencias con intervalos se realiza el siguiente procedimiento.
1. Se encuentra la longitud de distribución que recibe el nombre de rango R y se calcula
restando del dato mayor, el dato menor R = 135 – 115 = 20
2. Se determina el enumero de intervalos que va a tener la tabla. Este criterio puede ser definido
por la persona que realiza el estudio, pero una buena aproximación es la raíz cuadrada del
total de datos n y aproximar su resultado al entero más cercano.
3. Como n = 14, √ = 3,74 4, El número de intervalo es 4
4. Se halla la longitud de cada intervalo realizando el cociente entre el rango y el número de
intervalos, es decir
=
5
5. Finalmente se realiza la tabla de distribución de frecuencia. En esta tabla la primera columna
corresponde a los intervalos. Estos intervalos tienen un límite inferior cerrado [115 -120) es
decir toma el dato 115 y un límite superior abierto donde no se toma el 120, excepto en el
último intervalo donde ambos límites son cerrados
6. En el primer intervalo el límite inferior es el dato menor de la muestra 115 y el límite superior 120
resulta de sumar el límite inferior con la longitud de cada intervalo (115 +5)
7. Para el segundo intervalo se inicia con el límite superior del primer intervalo, y el límite superior
se obtiene sumando el límite inferior con la longitud del intervalo. Se sigue el mismo
procedimiento hasta el último intervalo donde el límite superior es cerrado y coincide con el
dato más grande de la muestra.
8. La frecuencia fr, % F Y Fr se calculan de la misma forma como una distribución de
frecuencias sin intervalos
9. La marca de clase m es el punto medio del intervalo, es decir, es el punto que representa
todos los datos que pertenecen al intervalo.
10. Se calcula m=
para el segundo intervalo m=
Entonces la
tabla de distribución de frecuencias es:
29
Tiempo(s) f fr F Fr % m [115 – 120) 5 [120 - 125) 3 122,5 [125 - 130) 2 [130– 135] 4 Total n = 14 1 100%
- Histogramas y polígonos de frecuencia
Son gráficos usados para la distribución de frecuencias
con intervalos. En el eje horizontal del histograma se
ubican los límites de los intervalos teniendo en cuenta que
el límite superior se escribe solo una vez y los rectángulos
que los componen van unidos del límite a límite.
Los siguientes datos representan el número de horas que ven televisión, durante el fin de semana, 16
niños de primaria: 5, 5, 13, 8,13, 8, 13, 20,15,15,15,10,15, 7, 10, 10
-Elabora una tabla de frecuencias sin intervalos y una tabla de frecuencias con intervalos. Luego
obtener conclusiones de cada uno de ellos y realizar el histograma.
GRAFICO DE BARRAS COMPUESTO
Las gráficas de barras compuestas muestra la relación de varios elementos en distintos momentos.
Cada barra representa el 100% de los individuos de cada clase y se divide proporcionalmente, en
los porcentajes del otro criterio de clasificación. En estas gráficas se pueden dibujar horizontal o
vertical, y se utilizan sombreados, colores o patrones para distinguir los segmentos.
ALUMNOS MATRICULADOS EN LA ESCUELA (2007-2011)
Años Preescolar Primaria Total
2010 121 138 259
2011 110 143 253
2012 115 125 240
2013 128 119 247
2014 103 111 214
PREESCOLAR PRIMARIA
2010 121 /259 = 0,467 x 100 = 46,7% 2010 138 /259 = 0,532 x 100 = 53,2%
2011 110 /253 = 0,439 x 100 = 43,4% 2011 143 /253 = 0,565 x 100 = 56,5%
2012 115 /240 = 0,479 x 100 = 47,9% 2012 125 /240 = 0,520 x 100 = 52,08%
2013 128 /247 = 0,518 x 100 = 51,8% 2013 119 /247 = 0,481 x 100 = 48,17%
2014 103 /214 = 0,481 x 100 = 48,1% 2014 111 /214 = 0,518 x 100 = 51,8%
30
ALUMNOS MATRICULADOS
PREES. PRIMARIA TOTAL %
2010 46,7% 53,2%
99.9%
2011 43,4% 56,5%
99,9%
2012 47,9% 52,08%
99,9%
2013 51,8% 48,17%
99,9%
2014 48,1% 51,8%
99,9%
Elabora el grafico de barras compuesto a partir de la siguiente tabla, la cual contiene información
sobre la cantidad de madres comunitarias en la ciudad de ciénaga y santa marta.
MADREC OMUNITARIAS DE SANTA MARTA Y CIÉNAGA
Años Santa Marta Ciénaga Total
2011 290 265
2012 290 296
2013 322 320
2014 339 328
2015 354 338
2016 362 346
ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN GRAFICA
Se entrevistó a un grupo de personas y con los datos recogidos se
elaboró la siguiente grafica
En la gráfica se puede deducir que la mayoría de las persona
duermen 6h y que el promedio de horas de sueño estaría
alrededor de las 5h, exponiendo así, según el estudio, la mayoría
de ellas sufran molestias o trastornos. Con estos datos se puede
organizar una campaña para mejorar su calidad de vida.
En el caso dado, los estudios han comprobado que existe una
estrecha relación entre las horas de sueño que una persona
logra conciliar durante la noche con su estado de ánimo y nivel
de rendimiento intelectual a lo largo del dia; en otras palabras, si
el periodo de descanso nocturno es demasiado breve y no
alcanza 7 a 8 horas diarias como promedio una persona puede
exponerse a varios trastornos.
Analiza la información y luego contesta.
Un colegio desea saber cuál es el riego que tienen los estudiantes de 15
a 18 años, con una estatura promedio de 1,60 m, de sufrir sobrepeso
(Mayor que 55 kg); para ello, se les pregunto por su peso y la
información recogida fue la siguiente.
¿Cuántos estudiantes se analizaron?
¿Tienen riesgo de sufrir sobre peso estos estudiantes?
¿Qué decisión tomarías, de acuerdo con estos resultados, sobre la
31
¿Cuántos estudiantes sufren de sobrepeso?
¿Si la dieta del almuerzo de los estudiantes continua igual, ¿Aquellos que actualmente sufren sobre
peso están exentos de sufrirlo?
¿En el grupo de encuestado hay más estudiantes normales o con sobrepeso?
PROBABILIDAD
Sea E el experimento “Sacar una carta al azar de la bajara francesa” y A , el evento “as”
Puesto que E tiene 52 resultados posibles y A tiene cuatro resultados favorables, la probabilidad del
evento A es:
P(A) =
= 0,0 77 -- Aproximación a las milésimas
5.1 Considera el experimento de sacar a balota al azar, de la urna que se muestra a continuación,
luego completa la tabla.
5.2 Tenemos muchas bolas de cada uno de los siguientes colores: negro (N), rojo (R), verde (V) y azul
(A), y una gran caja vacía. Echamos en la caja 1 R, 50 V y 200 A. Removemos y extraemos una al
azar. Asocia con flechas:
P [R] Imposible
P [V] Muy poco probable
P [A] Poco probable
P [N] Muy probable
5.3 Razona de cuál de las bolsas siguientes es más probable sacar bola roja:
I. Roja, roja, azul y azul.
II. Roja, roja, roja, azul y azul.
III. Roja, roja, roja, roja, roja, azul, azul y azul
5.4 Lanzamos un dado con forma de dodecaedro con las caras numeradas del 1 al 12 y anotamos
el número obtenido.
a) ¿Cuál es el espacio muestral?
b) Escribe los sucesos:
A= “Menos de 5”:____________________________ B= “Más de 4”:______________________________
C = “Número par”:___________________________
D = “No múltiplo de 3”:_______________________
5.6 Halla la probabilidad de obtener un 2 y la probabilidad de obtener un 5, al lanzar un dado
correcto en cada uno de estos casos:
La baraja francesa consta de un conjunto de 52 cartas,
compuesto de cuatro palos (Cuatro grupos de cartas de una
misma figura). En cada palo hay un as (A) y cartas del dos al diez,
además de o Q y un valet o J.
32
5.7 Si lanzamos una moneda cuatro veces, ¿cuál es la probabilidad de obtener exactamente dos
caras? ¿Y la de obtener al menos dos caras?
5.8 Una botella contiene 20 bolas de colores negro, rojo y verde. No sabemos cuántas de cada
color, ni podemos verlo, porque la botella es opaca. Solo podemos ver, cuando la tumbamos, el
color de la bola que queda junto al tapón, que es transparente. Durante unos días hacemos 1 000
veces la experiencia de agitar, inclinar la botella y anotar el color de la bola que se ve. Hemos
obtenido estos resultados:
¿Cuántas bolas hay de cada color?
7. Responde verdadero o falso a estas afirmaciones:
a) La probabilidad es un número comprendido entre 0 y 1. _____
b) Al lanzar un dado correcto, es más probable obtener un 2 que un 5. ____
c) Si un suceso es muy probable, su probabilidad es próxima a 1. ____
d) Si al lanzar una moneda seis veces nos ha salido CARA en los seis casos, la próxima vez es más probable que salga CRUZ. ____