Gravedades f(R)

Federico Márquez

Proyecto semestral FIA3009

Pontificia Universidad Católica de Chile

Facultad de Física

¿Porque es necesario?

• Queremos evitar la adición de un fluido

• Análogo a lo sucedido con la órbita de Mercurio

• El universo esta expandiendose

Un poco de mecánica clásica

• Concepto de acción

• Principio de Hamilton

• Ecuación de Euler-Lagrange:

Relatividad

• ¿Cuál es la diferencia?

• Trabajamos en un espacio de 4 dimensiones

• Debemos asociar un lagrangiano al vacío

•No podemos usar la ecuación de Euler-Lagrange

Lagrangiano del vacío

• Intuitivamente

• El vacío esta caracterizado por la métrica

• Debemos incluir información acerca de la curvatura

Lagrangiano del vacío

• El lagrangiano es una magnitud escalar

• El lagrangiano más simple que contenga toda la información

Lagrangiano del vacío

• 2 problemas:

• No podemos usar Euler-Lagrange

• No es invariante

Acción relativista

• Ahora podemos escribir la acción

• Incluyendo materia

Acción relativista

Acción de Einstein-Hilbert

Ecuaciones de Einstein

• Definimos

• Principio de Hamilton

• Nos interesan las ecuaciones en el vacío

Ecuaciones de Einstein

• Principio de Hamilton

• Consideremos

Ecuaciones de Einstein

• Pero

¡¡¡ Este termino no aporta nada !!!

Lo podemos escribir como una derivada total

• Siguiendo esta lógica, llegamos a las ecuaciones de Einstein

Gravedades f(R)

• Consisten en modificar el lagrangiano del vacío

• Históricamente, nacen como un cuestionamiento a la simplicidad

• Pueden armarse de forma tal de provocar correcciones y no una modificación completa. Por ej:

Metric f(R) gravity

• Acción

• Ecuaciones de campo

¡¡¡ Con cuidado !!!

Metric f(R) gravity

• Repitamos el proceso

Metric f(R) gravity

• Por lo anterior

• Nuevamente tenemos:

• Ahora este término SÍ aporta

Metric f(R) gravity

Esa derivada puede ser cualquier cosa, por lo tanto, no podemos escribirlo como

una derivada total.

Debemos resolver este término• Usamos:

Metric f(R) gravity

• Obtenemos:

• Integrando por partes, llegamos a la ecuación de campo

Palatini f(R) gravity

• Acción

Estamos considerando los símbolos de Christoffel como una variable independiente de la métrica, es decir, tenemos dos

escalares de Ricci.

Palatini f(R) gravity

• ¿Cómo definimos estas conexiones?

• En el proceso matemático se descubre la relación entre los dos escalares de Ricci.

Palatini f(R) gravity

• Llegamos a las ecuaciones de campo:

• Solo derivadas de segundo orden

Metric-affine f(R) gravity

• Acción

• La materia también depende de la conexión

• La teoría es muy complicada y muy nueva

¿Qué se espera de f(R)?

• Deben producir la misma dinámica cosmológica

• Deben introducir correcciones pequeñas a la relatividad general

• Deben tener poder predictivo (Problema de Cauchy)

Conclusiones

• Una alternativa a la energía oscura

• Aun estamos lejos de proclamar las gravedades f(R) como la teoría “correcta”

Referencias

[1] E.Goldstein, Classical mechanics, third edition

[2] R.M. Wald 1984, General Relativity (Chicago University Press, Chicago)

[3] Carroll, Sean M. (2004), Spacetime and Geometry

[4] T.P.Sotiriou and V. Faraoni, arXiv:0805.1726

[5] V. Faraoni, arXiv:0810.2602, Oct. 2008

¿Preguntas?