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8/17/2019 Guía 3_cálculo i
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Vicerrectoría Académica
Dirección de Servicios Académicos
Subdirección de Servicios a Escuelas
GUÍA N°3
Noción Intuitiva de Límite
Noción Intuitiva de Límite en un punto
Decir que
L x f c x
=
→
)(lim
significa que cuando
x está cerca de
c, pero diferente de
c,
entonces
)( x f
está cerca de
L.
Para comprender en forma intuitiva el concepto de límite de una función en un punto
trabajaremos con dos aplicaciones
Velocidad Promedio: La velocidad promedio de un objeto en movimiento durante un intervalo
de tiempo
t ∆, se calcula mediante la siguiente razón
t d
dotranscurritiempodetervaloinlongitud recorridaanciadist VP
∆
∆==
La unidad de Medida de la elocidad Promedio será
tiempodeunidad
longitud
, por ejemplo
hkm /
!i desea calcular la elocidad "nstantánea en un momento específico se debe #acer tender a
cero el
otrascurrid tiempotervaloin
, es decir
t ∆
se #ace mu$ peque%o, entonces &
VP antánea Inst Velocidad t lim0→∆=
Tasa de recimiento Promedio: La 'asa de (recimiento promedio de una población P
se
calcula mediante la siguiente razón&
t
d
dotranscurritiempodetervaloinlongitud
PoblacióndeVariaciónTCP
∆
∆==
)n este caso la unidad de medida estiempodeunidad
poblacióndeunidad
, así por ejemplo si la población es el
n*mero de moscas $ el tiempo en días, la unidad de medida D)
TCP es
díasmoscas /
.
+l igual que la elocidad "nstantánea, si desea calcular la 'aza de (recimiento "nstantánea en
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un momento específico se debe #acer tender a cero el
otrascurrid tiempotervaloin
, es
decir
t ∆
se #ace mu$ peque%o, entonces &
TCP ntáneo InstaoCrecimient Tasa
t
lim0→∆
=
. -n grupo de estudiantes participa de una cicletada que se inicia en el centro de
!antiago #acia el sur del país. La función
502,0)( 2 += t t s
entrega la posición de
un ciclista en /ilómetros0 despu1s det
minutos de su partida.
a0 2(uál es su posición a los 34 minutos de su partida5
b0 2cuál es la velocidad promedio entre los 34 $ 64 minutos5
c0 Determine mediante apro7imaciones la elocidad "nstantánea a los 34 minutos
de su partida. Para ello utilizar la siguiente tabla de valores, utilizando todos los
decimales&
"ntervalos de
'iempo
)7presión elocidad
Promedio
elocidad Promedio
3128 ≤≤ t 2831
)28()31(
−
− s s
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5,3029 ≤≤ t 295,30
)29()5,30(
−
− s s
1,309,29 ≤≤ t 9,291,30
)9,29()1,30(
−
− s s
01,3099,29 ≤≤ t 99,2901,30
)99,29()01,30(
−
− s s
8. !i se deja caer una pelota desde la plataforma de observación de la torre (9 en
'orono, :;4 metros arriba del suelo, lo metros que recorre la pelota despu1s de
t segundos de la caída se modelan mediante la función
29,4)( t t S =
a0 2(uánto se demora la pelota en llegar al suelo5
b0 2cuál es la velocidad promedio entre :to $ 6to segundo5
c0 Determine mediante apro7imaciones la elocidad "nstantánea a los ; segundos,
para ello puede usar la siguiente tabla de valores&
"ntervalos de
'iempo
)7presión elocidad
Promedio
elocidad Promedio
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1,58,4 ≤≤ t 8,41,5
)8,4()1,5(
−
− s s
01,59,4 ≤≤ t
001,599,4 ≤≤ t
0001,5999,4 ≤≤ t
3. !e espera que dentro de
t a%os, la población de cierta comunidad viene dada por
la función
12005,0)( 75,0 += t et p
miles de #abitantes0
a0 Dentro de 4 a%os 2(uántos #abitantes tendrá la comunidad5
b0 2cuál es la 'asa de (recimiento promedio entre el 6to $ d1cimo a%o5
c0 Determine mediante apro7imaciones la 'asa de (recimiento "nstantánea de la
comunidad dentro de 4 a%os, para ello utilizar la siguiente tabla de valores&
"ntervalos de
'iempo
)7presión 'asa de
(recimiento Promedio
'asa de (recimiento
Promedio
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5,105,9 ≤≤ t 5,95,10
)5,9()5,10(
−
− p p
1,109,9 ≤≤ t 9,91,10
)9,9()1,10(
−
− p p
01,1099,9 ≤≤ t
001,10999,9 ≤≤ t
:. !e estima que la población de una colonia de bacterias está dada por la siguiente
función
( )1
1024
2 +
+=
t
t t P
(en miles) después det #oras.
a0 2(uál es la población inicial de bacterias5
b0 2cuál es la 'asa de (recimiento promedio entre las 4 $ ; #oras5
c0 Determine mediante apro7imaciones la 'asa de (recimiento "nstantánea de la
población a las ; #oras, para ello la siguiente tabla de valores&
"ntervalos de )7presión 'asa de 'asa de (recimiento
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'iempo (recimiento Promedio Promedio
3,55,4 ≤≤ t 5,43,5
)5,4()3,5(
−
− p p
1,58,4 ≤≤ t
01,59,4 ≤≤ t
001,599,4 ≤≤ t
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;. -n automóvil se mueve a lo largo de una carretera en línea recta durante ;
#oras, de modo que la posición en /ilómetros está dada por la función
53)(
−= xe x xd
trascurridas
x #oras.
a0 2(uál es su posición a las 8 #oras de su partida5
b0 2cuál es la velocidad promedio entre la 8ra $ :ta #ora5
c0 Determine mediante apro7imaciones la elocidad "nstantánea a las : #oras de
su partida, para ello la siguiente tabla de valores&
"ntervalos de
'iempo
)7presión elocidad
promedio
elocidad promedio
6,35,4 ≤≤ x6,35,4
)6,3()5,4(
−
− d d
9,31,4 ≤≤ x
99,301,4 ≤≤ x
999,3001,4 ≤≤ x
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Noción Intuitiva de Límite al in!inito
Decir que
L x f x
=
∞→
)(lim
significa que cuando
x crece en forma indefinida, entonces
)( x f está cerca de
L.
)jemplo 9
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mejor caracterizarlo
como el límite de la
función cuando el
tiempo crece.
6. )l costo en dólares de producción de
x cantidad de artículos se modela mediante
la siguiente función
x xC 400)( =
a0 2
(
uál es el costo de producción al fabricar 8, 84 $ 844 artículos5
b0 2?u1 ocurre con el costo de producción a medida que la fabricación de artículos
crece indefinidamente5 Para responder completar la siguiente tabla.
x44 444 4444 44444
44444
4
444444
4
)( xC
=. )l porcentaje de inter1s por cuentas por cobrar asociados al uso de tarjetas de
cr1ditos de un banco despu1s de
t meses de la obtención de la tarjeta está dado
por la función
( t t p 08,0319,0)( −−=
9
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a0 2?u1 @ de inter1s se espera luego de un a%o5b0 2?u1 ocurre con el @ de cuentas por cobrar a largo plazo5 Para responder
utilice la siguiente tabla.
t 4 44 444 4444 44444
44444
4
)(t p
A. )n una academia de mecanográfica, el n*mero promedio de palabras por minutos
luego de
t semanas prácticas, está dado por
t et
12,051
157)(
−+
=
.
a0 Determine el n*mero promedio de palabras por minuto que puede escribir una
persona luego de #aber recibido lecciones durante 4 semanas
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b0 Determine el n*mero promedio de palabras por minuto que pueden escribirse
cuando el estudiante practica indefinidamente. (onstru$a una tabla de valores
B. !upongamos que bajo una intensidad luminosa 7, el diámetro en milímetros0 de
la pupila viene dado por&
4,0
4,0
154
90160)(
x
x x f
+
+=
(onstru$a una tabla de valores para
responder las siguientes preguntas 2?u1 ocurre con el diámetro de la pupila si la
intensidad luminosa aumenta en forma indefinida5
4.)n un e7perimento biológico, la población de una colonia de bacterias en
millones0 despu1s de
x días está dada por la función
t et P
282
4)(
−+
=
a0 2(uál es la población inicial de bacterias5b0 2?u1 ocurre a largo plazo con la colonia de bacterias5 (onstru$a una tabla de
valoresc0 Determine mediante apro7imaciones la tasa de crecimiento "nstantánea a los 8
días, para ello puede la siguiente tabla de valores&
"ntervalos de'iempo
)7presión 'asa decrecimiento
'asa de crecimiento
31 ≤≤ t 13
)1()3(
−
− p p
3,25,1 ≤≤ t
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01,299,1 ≤≤ t
0001,2999,1 ≤≤ t
.La Cederación de caza de cierto estado introduce ;4 ciervos en una determinada
región. !e cree que el n*mero de ciervos crecerá siguiente el modelo&
x
xt f
04,01
3050)(
+
+=
, donde
x es el tiempo en a%os
a0 (alcule la cantidad de animales que #abrá dentro de 4 a%osb0 2+ cuántos animales se podrá llegar a medida que trascurre el tiempo
indefinidamente5 (onstru$a una tabla de valoresc0 Determine mediante apro7imaciones la tasa de crecimiento "nstantánea a los
:4 a%os, para ello puede la siguiente tabla de valores&
"ntervalos de
'iempo
)7presión 'asa de
(recimiento
'asa de (recimiento
5030 ≤≤ t 3050
)30()50(
−
− f f
4139 ≤≤ t
1,409,39 ≤≤ t
01,4099,39 ≤≤ t
SIGUE PRACTICANDO:
8.-n carrito e7perimental conectado a un P(, se mueve a lo largo de un riel de tal
manera que su posición en el instante
t del punto de partida está dada por la
función
t t t t d 55183)( 23 ++=
la distancia se mide en cm $ el tiempo en minutos.
Determine mediante apro7imaciones la velocidad instantánea a los :
minutos, utilizando la siguiente tabla de valores
"ntervalos de
'iempoelocidad Promedio
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3,48,3 ≤≤ t
1,49,3 ≤≤ t
01,499,3 ≤≤ t
3.!e modela la preparación de un deportista que correrá 44 metros planos con la
función
152,010
3)(
2
2
+
+
+−=
x
x x f
donde
)( x f
son los segundos que se demora en
llegar a la meta despu1s de
xdías de entrenamiento. (onstru$a una tabla de
valores para responder las siguientes preguntas 2?u1 ocurre con el tiempo si el
deportista entrena en forma indefinida5
:.!e estima que dentro de
t a%os , la población de un cierto país será de
t et P
06,0128
80)(
−+
=
, millones de #abitantes
a0 2(uántos #abitantes #a$ en la actualidad5b0 2?u1 le sucederá a la población a largo plazo5 (onstru$a una tabla de valores
15.!e sabe que el precio de un artículo a trav1s del tiempot en meses0 está dado
por la función
1
85)(
+
+=t
t t P
miles de pesos0. 2?u1 ocurre con el precio a largo
plazo5 (onstru$a una tabla de valores.
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