Post on 22-Jul-2015
Hallar las ecuaciones de la tangente y la normal, y las longitudes de latangente, normal, subtangente y subnormal, para la hipérbola3x2 � 2y2 + 3x� 4y � 12 = 0en el punto de contacto (2;�3).Solución:a) La tangente.La recta esy + 3 = m (x� 2) =) y = mx� 2m� 3Se sustituye en la ecuación de la hipérbola3x2 � 2 (mx� 2m� 3)2 + 3x� 4 (mx� 2m� 3)� 12 = 0�2m2x2 + 8m2x� 8m2 + 8mx� 16m+ 3x2 + 3x� 18 = 0El discriminante de esta ecuación es�8m2 + 8m+ 3
�2 � 4 ��2m2 + 3� ��8m2 � 16m� 18
�= 0
que se reduce a64m2 + 240m+ 225 = 0
y cuya solución es m = �158.
Así quey + 3 = m (x� 2)y + 3 +
15
8(x� 2) = 0
y + 3 +15
8(x� 2) = 15
8x+ y � 3
4La ecuación de la tangente es 15x+ 8y � 6 = 0
b) La normal.Para sacar la ecuación de la normal recordemos que su pendiente es reciproca
y de signo contrario de la de la normal, así que
mn =8
15y como pasa por el mismo punto su ecuación es
y + 3 =
�8
15
�(x� 2)
La ecuación de la normal es 8x� 15y � 61 = 0
c) La longitud de la tangenteTenemosLongitud de la tangente=
y1m
p1 +m2
como y1 = �3 y m = �158
Longitud de la tangente=�3��158
�s1 + ��158
�2=17
5= 3: 4
d) Longitud de la normalTenemos queLongitud de la normal= y1
p1 +m2, así que
1
Longitud de la normal= (�3)
s1 +
��158
�2= �51
8= �6:4
e) Longitud de la subtangenteTenemosLongitud de la subtangente=
y1my por lo tanto
Longitud de la subtangente=�3
�158
=8
5= 1: 6
f) Longitud de la subnormalTenemosLongitud de la subnormal= my1 y por lo tanto
Longitud de la subnormal=��158
�(�3) = 45
8= 5: 6
1 1 2 3
5
4
3
2
1
1
x
y
2