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DAMARIS LIZ CHAMBI TONCONI ING. SISTEMAS ELECTRÓNICOS
8VO SEMESTRE
TRABAJO PRÁCTICO I
INTRODUCCION
Nos ocupamos en este tema de dar una breve introducción a la teoría de
espacios de Hilbert. Un espacio de Hilbert es un espacio vectorial dotado de
un producto interior (lo que permite medir distancias) que como espacio
métrico es completo.
Los espacios de Hilbert constituyen la generalización más inmediata a
espacios de dimensión infinita de los espacios euclídeos finito-
dimensionales. De hecho, la intuición geométrica desempeña un papel
importante en muchos aspectos de su teoría: en ellos se puede hablar de
ortogonalidad, y sus elementos están unívocamente determinados por sus
coordenadas respecto a una base ortonormal, análogamente a lo que ocurre
con las coordenadas cartesianas en el plano o en el espacio.
Los espacios de Hilbert surgen de modo natural y frecuente en matemáticas,
física e ingeniería; son herramientas indispensables en la teoría de
ecuaciones en derivadas parciales, mecánica cuántica y procesamiento de
señales.
OBJETIVO
Adquirir conocimientos sobre los espacios de Hilbert como
herramienta en procesamiento de señales
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8VO SEMESTRE
MARCO TEORICO
DAVID HILBERT
Nació el 23 de enero de 1862 en Königsberg, Estudió en las universidad de
Königsberg, de Heidelberg y de Berlín.
Obtiene el doctorado en 1885 en matemáticas con su tésis titulada: Über
invariante Eigenschaften specieller binärer Formen, insbesondere der
Kugelfunctionen ("Sobre las propiedades invariantes de formas binarias
especiales, en particular las funciones circulares").
Hilbert permaneció como profesor en la Universidad de Königsberg de 1886
a 1895, cuando, como resultado de la intervención en su nombre de Felix
Klein, obtuvo el puesto de Catedrático de Matemática en la Universidad de
Göttingen, que en aquel momento era el mejor centro de investigación
matemática en el mundo, donde permanecería el resto de su vida.
EUCLIDES (325 a.C. – 265 a C.):
Euclides es, sin lugar a dudas, uno de Los tres mayores matemáticos de la
Antigüedad junto a Arquímedes y a Apolonio. Quizás sea el más nombrado y
también uno de Los mayores de todos los tiempos.
El nombre de Euclides está indisolublemente Ligado a la geometría, al
escribir su famosa obra Los Elementos. Este es el libro más famoso de La
Historia de la Matemática. Esta obra está constituida por trece libros, cada
uno de los cuales consta de una sucesión de teoremas y en él se exponen
las bases esenciales de la geometría
El único teorema que La tradición asigna definitivamente a Euclides es el
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Teorema de Pitágoras que se demuestra en Las proposiciones 47 y 48 del
primer libro de Los Elementos. Aunque La mayoría de Los tratados versan
sobre geometría, también prestó atención a problemas de proporciones y a
lo que hoy conocemos como Teoría
ESPACIOS DE HILBERT
En la serie de artículos Fundamentos de una teoría general de las
ecuaciones integrales analiza las técnicas desarrolladas a finales del
XIX por matemáticos como Poincaré y Fredholm.
En el cuarto artículo, publicado en 1906, Hilbert nos muestra como las
ecuaciones integrales son en realidad un sistema de “infinitas ecuaciones
lineales con infinitas incógnitas”.
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. .
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Espacio de Hilbert (matemáticas): generalización de espacio euclídeo.
Ej. De las técnicas: ángulo entre vectores, ortogonalidad de vectores, el
teorema de Pitágoras, proyección ortogonal, distancia entre vectores y
convergencia de una sucesión.
FORMALMENTE: espacio de producto interior que es completo con
respecto a la norma vectorial definida por el producto interior.
Los espacios de Hilbert sirven para clarificar y para generalizar el concepto
de series de Fourier.
Cada producto interior <.,.> en un espacio vectorial H, que puede ser real o
complejo, da lugar a una norma ||.||
||x||=√¿ x , x>¿¿
Los usos de los espacios infinito-dimensionales incluyen:
La teoría de las representaciones del grupo unitarias.
La teoría de procesos estocásticos cuadrado integrables.
La teoría en espacios de Hilbert de ecuaciones diferenciales
parciales, en particular formulaciones del problema de Dirichlet.
Análisis espectral de funciones, incluyendo teorías de wavelets.
Formulaciones matemáticas de la mecánica cuántica.
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Cada espacio de Hilbert tiene una base ortonormal, y cada elemento del
espacio de Hilbert se puede escribir en una manera única como suma de
múltiplos de estos elementos bajos.
Ejemplo:
Espacio euclideo
¿ x , y>¿∑k=1
n
xk yk
BASES ORTONORMALES
Tienen que cumplir:
-Elementos normalizados: ||ek|| = 1 para todo k en B
-Elementos ortoganales: <ek, ej> = 0 para todo k, j en B , j ≠ k.
- Expansión densa: La expansión lineal de B es densa en H.
Lema de Zorn: cada espacio de Hilbert admite una base orto normal. Un
espacio de Hilbert es separable admite una base orto normal numerable.
Si {ek}k ∈ B es una base orto normal de H, entonces cada elemento x de H se
puede escribir como:
x=∑k∈ B
¿ek , x>ek
Esta suma también se llama la expansión de Fourier de x.
Operaciones en los espacios de Hilbert
En un espacio métrico (X;d), la distancia d de un elemento x € X a un
conjunto no vacío M unión X se define como
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Por tanto, en un espacio normado
En la práctica, frecuentemente X es un determinado espacio de funciones
(por ejemplo, el formado por las funciones continuas en un intervalo
compacto) y M es un subconjunto de X constituido por funciones con un
«buen comportamiento» (por ejemplo, polinomios). Es importante saber si
existe un vector Y pertenece a M que minimiza la distancia a x, esto es, tal
que y, en caso de existir, si es único. Este constituye el llamado
problema de existencia y unicidad de la mejor aproximación a x desde M.
Como ilustran las imágenes incluso en el caso elemental del plano euclídeo,
puede que dicho problema carezca de solución, o que ésta no sea única.
Cabe esperar que en espacios de dimensión infinita la situación resulte
bastante más compleja. Afortunadamente, como veremos a continuación, en
el caso de espacios de Hilbert todavía permanece «bajo control».
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COMPLEMENTOS ORTOGONALES
S⊥= {x∈H :< x , s>¿0 ∀ s∈S }Si V es un subespacio cerrado de H, V⊥ es el
complemento ortogonal
Entonces ∀ x∈H x=v+w , v∈V
w∈ V⊥
Proyección ortogonal, es el operador lineal Pv :H→H que mapea x a v.
REFLEXIVIDAD
Se cumple:
- Su espacio idual (dual del dual) es isomorfo al propio espacio.
- El propio espacio dual es isomorfo al espacio original.
- El teorema de representación de Riesz: para cada elemento φ del H
dual existe un y solamente un u en H tal que
φ(x)= ¿u , x>¿
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ITERRELACIONES EN UN EUCLIDEO
NOTA en una de las series que aparecen se cumplen los requisitos que
garantizan que la convergencia de las mismas y en su caso el valor de la
suma no se ven afectados por el reordimiento
Nota sobre la terminología
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Notas sobre la convergencia de las serias
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Bibliografía
Analisis Funcional [Informe] / aut. Blasco Oscar. - 2013.
Espacios de Hilbert [Informe] / aut. Marrero Isabel. - Universidad Laguna : [s.n.].
Histori MCS [En línea] / aut. .. - www-history.mcs.st- andrews.ac.uk/history/Mathematicians/Hilbert.html.
Sygnal Analysis [Libro] / aut. Wiley Jhon. - [s.l.] : Mertins.
Una aproximacion a la Teoria de Hilbert [Libro] / aut. Marchena Carlos Chinea. - Marchena : [s.n.], dic 2000.
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