Post on 04-Jun-2018
UNIVERSIDAD POLITECNICA SALESIANA
UNIDAD DE POSGRADOS
MAESTRIA EN CONTROL Y
AUTOMATIZACIÓN INDUSTRIAL
Tesis previa a la obtención del Grado de
Magíster en Control y Automatización Industrial
IMPLEMENTACIÓN DE UN CONTROLADOR
ADAPTATIVO PARA FILTROS ACTIVOS DE
POTENCIA
Autor:
Santiago Felipe Peña Romero
Dirigido por:
Julio César Viola, PhD.
IMPLEMENTACIÓN DE UN CONTROLADOR
ADAPTATIVO PARA FILTROS ACTIVOS DE
POTENCIA
IMPLEMENTACIÓN DE UN CONTROLADOR
ADAPTATIVO PARA FILTROS ACTIVOS DE
POTENCIA
AUTOR:
SANTIAGO FELIPE PEÑA ROMERO
Ingeniero Electrónico
Egresado de la Maestría en Control y Automatización industriales
Universidad Politécnica Salesiana
DIRIGIDO POR:
JULIO CÉSAR VIOLA
Ingeniero Electrónico
Doctor en Ingeniería
Investigador Proyecto Prometeo - SENESCYT
CUENCA - ECUADOR
Datos de catalogación bibliográfica
SANTIAGO FELIPE PEÑA ROMERO
IMPLEMENTACIÓN DE UN CONTROLADOR ADAPTATIVO PARA FILTROS
ACTIVOS DE POTENCIA
Maestría en Control y Automatización Industriales
Universidad Politécnica Salesiana
Cuenca - Ecuador 2015
Formato 170x240mm Páginas 88
Breve reseña de autores e información de contacto
Autor:
SANTIAGO FELIPE PEÑA ROMERO
Ingeniero Electrónico
Egresado de la Maestría en Control y Automatización industriales
sfelipepr@gmail.com
Dirigido por:
JULIO CÉSAR VIOLA
Ingeniero Electrónico
Doctor en Ingeniería Investigador Proyecto Prometeo - SENESCYT
jcviola@ieee.org
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DERECHOS RESERVADOS
©2014 Universidad Politécnica Salesiana
CUENCA – ECUADOR
PEÑA ROMERO SANTIAGO FELIPE IMPLEMENTACIÓN DE UN CONTROLADOR ADAPTATIVO PARA FILTROS ACTIVOS DE POTENCIA
IMPRESO EN ECUADOR - PRINTED IN ECUADOR
I
ÍNDICE GENERAL
1 FILTROS ACTIVOS PARA SISTEMAS TRIFÁSICOS ..................................1
1.1 Topología multinivel ................................................................................................. 1
1.1.1 Control de voltaje de un convertidor multinivel ............................................... 4
1.1.2 Control de corriente de un convertidor multinivel ............................................ 5
1.2 Modulación para filtros activos ................................................................................. 5
1.2.1 Modulación PWM. ........................................................................................... 6
1.2.2 Uso de vectores naturales ................................................................................. 6
1.3 Sistemas trifásicos y contaminación armónica de corriente ...................................... 7
1.4 Tipos de Filtros Activos de Potencia ....................................................................... 10
1.5 Descripción del filtro activo bajo estudio ................................................................ 12
1.5.1 Topología del sistema ..................................................................................... 13
1.5.2 Simulación del convertidor multinivel mediante estados naturales ................ 15
2 MODELADO E IDENTIFICACIÓN................................................................19
2.1. Modelos y Sistemas ................................................................................................. 19
2.2. Métodos de Identificación ....................................................................................... 22
2.2.1. Identificación de procesos por mínimos cuadrados ........................................ 22
2.2.2. Identificación de procesos por mínimos cuadrados ponderados ..................... 25
2.2.3. Identificación de procesos por mínimos cuadrados recursivos ....................... 25
2.3. Validación de sistemas de identificación ................................................................. 26
2.4. Identificación y validación del sistema de estudio .................................................. 28
2.4.1. Identificación con acoplamiento inductivo ..................................................... 29
2.4.2. Identificación con acoplamiento mediante red LCL ...................................... 33
3 CONTROL ADAPTATIVO ..............................................................................39
3.1 Diseño de controladores adaptativo por modelo de referencia ................................ 39
3.2 Controlabilidad y Observabilidad ............................................................................ 41
3.3 Control por ubicación de polos ................................................................................ 42
3.4 Aplicación del controlador del filtro activo de estudio ............................................ 45
3.4.1 Controlador por modelo de referencia ............................................................ 46
3.4.2 Controlador por ubicación de polos ............................................................... 47
II
4 IMPLEMENTACIÓN Y ANÁLISIS DE RESULTADOS ..............................53
4.1 Implementación del algoritmo de control ................................................................ 53
4.2 Pruebas de implementación ..................................................................................... 54
4.3 Evaluación de la distorsión armónica total (THD) .................................................. 62
4.4 Evaluación de la eficiencia del método de identificación ........................................ 64
4.5 Análisis de Resultados ............................................................................................. 65
5 CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES ................................................67
ANEXOS
GLOSARIO
BIBLIOGRAFÍA
III
ÍNDICE DE FIGURAS
Figura 1.1: Topología por acoplamiento de Diodos (Waware &Agarwal, 2011) ..........2 Figura 1.2: Topología FCMLI (Waware &Agarwal, 2011) ..........................................3 Figura 1.3: Topologia CHB (Waware &Agarwal, 2011) ...............................................3 Figura 1.4: Topología Multinivel (Viola, Baethge, Berzoy, Restrepo & Quizhpi, 2013)
........................................................................................................................................4 Figura 1.5: Esquema de control de Voltaje ....................................................................5 Figura 1.6: Esquema de control de corriente .................................................................5 Figura 1.7: Generación de señales PWM, (Álzate G. & Marulanda, 2012). ..................6 Figura 1.8: Convertidor multinivel trifásico (Viola, J., Restrepo, J., Quizhpi, F.,
Gimenez, M.I., Aller, J.M., Guzman, V., & Bueno) ........................................................8 Figura 1.9: Espacio Vectorial generado por un multinivel trifásico ..............................9 Figura 1.10: Filtro activo de potencia en conexión serie .............................................10 Figura 1.11: Filtro activo de potencia en conexión paralelo inductor 10mH ..............11 Figura 1.12: Esquema de un filtro Activo trifásico .......................................................12 Figura 1.13: Diagrama de Bloques del Filtro Activo ...................................................13 Figura 1.14: Módulos IGBT’s SKM150GB12T4-SEKG ...............................................14 Figura 1.15: Torres del convertidor multinivel ............................................................14 Figura 1.16: Simulación de MatLab del convertidor ....................................................16 Figura 1.17: Sistema embebido para el Disparo del IGBT’s ........................................17 Figura 1.18: Respuesta del convertidor monofásico.....................................................17 Figura 2.1: Representación de un Modelo AR ..............................................................20 Figura 2.2: Diagrama de Bloques de un Modelo ARX .................................................21 Figura 2.3: Diagrama de Bloques de un Modelo ARMA ..............................................21 Figura 2.4: Diagrama de Bloques de un Modelo ARMAX ............................................22 Figura 2.5: Algoritmo para la identificación y validación de modelo ..........................28 Figura 2.6: Diagrama de una fase con acople mediante inductor................................29 Figura 2.7: Diagrama de una fase en representación ARX .........................................30 Figura 2.8: Señal de entrada PRBS utilizando modulación para señales sinusoidales31 Figura 2.9: Señal de salida 𝑖𝑘. ......................................................................................31 Figura 2.10: Validación del modelo obtenido ..............................................................32 Figura 2.11: Análisis Residual del modelo ARX ...........................................................32 Figura 2.12: Sistema de Identificación con acople LCL ...............................................33 Figura 2.13: Validación del modelo LCL .....................................................................34 Figura 2.14: Análisis residual del modelo LCL ............................................................35 Figura 2.15: Datos de 𝐍 utilizando método recursivo ...............................................36 Figura 2.16: Ventana de sistema de identificación MatLab .........................................36 Figura 2.17: Validación del modelo estimado ..............................................................37 Figura 2.18: Respuesta al impulso del modelo del convertidor ....................................37 Figura 2.19: Lugar geométrico de las raíces del modelo estimado ..............................38 Figura 3.1: Topología de un controlador adaptativo ...................................................40
IV
Figura 3.2: Diagrama de bloques de la ecuación (3.1) ................................................41 Figura 3.3: Diagrama de bloques en lazo cerrado expresión (3.6) ..............................43 Figura 3.4: Diagrama de bloques en lazo cerrado, expresión (3.12) ...........................44 Figura 3.5: Señal de corriente por modelo de referencia sin carga inductiva .............46 Figura 3.6: Señal de corriente por modelo de referencia con carga no lineal .............47 Figura 3.7: Señal de corriente por modelo de referencia con referencia de 4A ...........47 Figura 3.8: Diagrama de una fase en representación ARX .........................................48 Figura 3.9: Sistema de Control con realimentación a la u(k) .......................................49 Figura 3.10: Simulación del convertidor con realimentación a la entrada u(k) ........51 Figura 3.11: Respuesta de Corriente del sistema .........................................................52 Figura 4.1 Tensión conmutada del convertidor ............................................................54 Figura 4.2 Tensión media del convertidor y análisis THD ...........................................55 Figura 4.3: Tensión de línea vs Tensión del Convertidor .............................................56 Figura 4.4: Medición de la señal de armónico de la Tensión de línea .........................56 Figura 4.5 Señales de referencia aplicada a cada prueba ...........................................57 Figura 4.6 Respuestas de corriente del filtro activo .....................................................58 Figura 4.7: Diagrama de bloques del modelo de identificación recursiva ...................58 Figura 4.8: Gráfica de la señal de corriente obtenida con los párametros
adaptados(medida vs referencia) .................................................................................60 Figura 4.9: Señal de corriente aplicando el controlador adaptativo ...........................61 Figura 4.10: Señal de corriente de línea .......................................................................61 Figura 4.11: Análisis THD modelo 2 ............................................................................62 Figura 4.12: Mediciones de la distorsión armónica total aplicando el filtro activo de
potencia ........................................................................................................................63
V
ÍNDICE DE TABLAS
Tabla 1.1: Estados de conmutación de un puente H .......................................................7 Tabla 1.2: Estado de Conmutación de un convertidor multinivel en configuración
cascada de 4 etapas ........................................................................................................7 Tabla 4.1: Coeficientes de los modelos de implementación .........................................57 Tabla 4.2: Coeficientes del modelo obtenido en simulación y adaptación ...................59 Tabla 4.3 Factores de THD de las pruebas de implementación ...................................64 Tabla 4.4: Análisis del valor de estimación ..................................................................64
VI
Dedicatoria
Quiero dedicar el esfuerzo de este trabajo a mi
amada esposa: Maritza, quien me ha apoyado
incondicionalmente en todo este proceso, a mis
Padres: Bolívar y Elsa, mis hermanos: Silvia,
Diana y Andrés, mis sobrinos: Sebastián,
Nataly y Jared, quienes son mi apoyo e
inspiración.
Santiago Felipe Peña Romero
VII
PREFACIO
Este trabajo investigativo, presenta un estudio de la identificación de un convertidor
multinivel, aplicado como filtro activo de potencia, mediante el método de
identificación por mínimos cuadrados, para obtener un modelo estimado y aplicar
técnicas de control que permitan filtrar los diferentes armónicos, presentes en las
corrientes de un sistema trifásico y la corrección de su factor de potencia.
La investigación supone conocimientos previos en MatLab, Simulink, Simpower
system, Visual DSP C++ y fundamentos de la teoría de control clásico y moderno.
Los resultados obtenidos y los algoritmos planteados, permitirán aplicar nuevas
técnicas de control en convertidores multinivel aplicados como filtros activos de
potencia.
VIII
PRÓLOGO
En el presente estudio, se analiza la implementación de algoritmos para la
identificación de sistemas, aplicado a convertidores multinivel empleados como filtros
activos de potencia, abordando temas de identificación y control implementados en
microprocesadores DSP.
Para iniciar este estudio es importante conocer el sistema sobre el cual se va a realizar
la identificación. En el capítulo 1 se presentan las diferentes etapas que constituyen el
convertidor multinivel.
El método aplicado para la identificación, es el de mínimos cuadrados, su aplicación e
implementación es estudiada en el capítulo 2 y permite determinar el proceso de
identificación a aplicarse.
Mediante el modelo estimado, se establecen las condiciones de diseño del controlador
a emplearse en el sistema experimental. El diseño del controlador se estudia en el
capítulo 3.
Los resultados simulados y experimentales obtenidos para el filtro se presentan en el
capítulo 4, donde se analizan el desempeño del filtro, la evolución de la distorsión
armónica total y la corrección del factor de potencia.
Finalmente el capítulo 5, presenta las conclusiones y recomendaciones del trabajo
investigativo, el cual proyecta e incentiva a realizar nuevas investigaciones utilizando
diferentes técnicas de control aplicando microprocesadores.
IX
Agradecimiento
Este trabajo ha sido gracias al esfuerzo y
dedicación de quienes han colaborado en las
pruebas de investigación, en especial al Dr.
Julio Viola, quien incondicionalmente ha
sabido guiar este proyecto, Al Dr. José
Restrepo por sus sugerencias, al Grupo de
Investigación en Energía de la Universidad
Politécnica Salesiana por facilitarnos los
diferentes equipos para las respectivas pruebas
realizadas y a todos quienes de una u otra
forma han sabido apoyarme y guiarme.
Santiago Felipe Peña Romero
1
CAPÍTULO 1
1 FILTROS ACTIVOS PARA SISTEMAS
TRIFÁSICOS
El principio de los filtros activos trifásicos, consiste en el control de corriente de flujo
de la red de distribución, la cual se encarga de compensar o ajustar la corriente en
función de las corrientes de fase de referencia en un sistema trifásico equilibrado.
Para poder inyectar corrientes a un sistema se propone el uso de convertidores
multinivel en conexión paralela, los cuales al operar con tensiones escalonadas y más
altas que los convertidores de 2 niveles, ofrecen alta eficiencia y baja interferencia
electromagnética. La desventaja del uso de los convertidores multinivel es el
aumento de complejidad de los esquemas de conmutación que dependen del número
de niveles diseñados para obtener un menor escalonamiento haciéndolos más
complejos y más caras de construir. (Amini, 2011), (Viola & Quizhpi, 2013).
1.1 Topología multinivel
La topología de los convertidores ha ido evolucionando desde la aparición de los
semiconductores de potencia, siendo su principal aplicación el desarrollo de drivers de
potencia para control de motores. Entre las topologías más utilizadas de convertidores
multinivel podemos citar:
Acoplamiento por Diodos
La topología consiste en la construcción de un bus dc a partir de la conexión en serie
de condensadores que permita sumar el voltaje de cada uno de ellos. La contribución
de voltaje de cada condensador se da por medio de la conmutación de los transistores
de potencia, dando tres niveles de tensión. La topología se muestra en la Figura 1.1,
para el caso de una solo fase del sistema. (Rodríguez, J., Bernet, S., Steimer, P.K. &
Lizama, I.E, 2010), (Waware & Agarwal, 2011)
2
Figura 1.1: Topología por acoplamiento de Diodos (Waware &Agarwal, 2011)
La tensión de salida del convertidor se encuentra en Vdc/2, 0 y –Vdc/2, y a este tipo
de topología, se la conoce con el nombre de NPC por siglas en inglés (Neutral Point
Clamped), ya que los diodos se encuentran anclado al punto neutro. El número de
niveles depende de las conexiones de los diodos y el bus dc de condensadores.
Condensador Flotante
Esta topología es la de mayor eficiencia, ya que permite la suma y resta de voltajes en
el bus dc de condensadores y se la denominada convertidor multinivel con
condensador flotante FCMLI (Amini, 2011). La topología se muestra en la Figura 1.2,
la cual contienen transistores de potencia los mismos que requiere una modulación
adecuada para la obtención de diferentes niveles de voltajes, debido a la carga y
descarga de los condensadores.
3
Figura 1.2: Topología FCMLI (Waware &Agarwal, 2011)
Conexión de inversores en Cascada (H-Bridge)
Esta topología consiste en la conexión en cascada de puentes de transistores
denominadas celdas, su conexión se muestra en la Figura 1.3. La conmutación de los
transistores pueden aportar 3 niveles de tensión: +Vdc, 0 y –Vdc. Para aumentar el
número de niveles del convertidor se deben conectar varias celdas en cascada
para así, poder sumar los niveles de voltaje obtenidos de un bus dc,
dependiendo de la activación de los transistores (Rodriguez, J., Franquelo, L.G.,
Kouro, S., Leon, J.I., Portillo, R.C., Prats, M.A.M. & Perez, M.A, 2009).
Figura 1.3: Topologia CHB (Waware &Agarwal, 2011)
Este tipo de conexión nos permite transferir toda la energía de las fuentes dc
conectadas al bus local, lo que las hace apropiadas para usarlas en aplicaciones de
potencia.
4
Para obtener más niveles debemos aumentar el número de celdas de transistores. El
número de niveles (n), depende del número de celdas (m), que para el caso de la
estructura de la Figura 1.4, contiene cuatro celdas conectadas en cascada. El número
de niveles se calcula con la ecuación 1.1 que para el caso de 4 etapas resulta en 9
niveles.
𝑛 = 2 ∗ 𝑚 + 1 (1.1)
Figura 1.4: Topología Multinivel (Viola, Baethge, Berzoy, Restrepo & Quizhpi, 2013)
1.1.1 Control de voltaje de un convertidor multinivel
El esquema de control de voltaje consiste en proporcionar un voltaje en la carga
dependiendo de la referencia, tal como muestra la Figura 1.5, para lo cual, se debe
realizar la correcta activación de los diferentes transistores. En el caso de uso de los
5
estados naturales1 se contaría con n niveles de voltaje, lo cual sería una restricción en
el sistema de control. Para mejorar dicha restricción se recomienda el uso de algún
tipo de modulación como la modulación por ancho de pulso (PWM), o la modulación
de vectores espaciales (SVM).
Figura 1.5: Esquema de control de Voltaje
1.1.2 Control de corriente de un convertidor multinivel
La Figura 1.6, muestra un sistema de control de corriente, la cual consiste en
realimentar la corriente del sistema y restarla del valor de referencia. Dicho resultado
servirá para activar las señales de los transistores mediante alguna técnica de control.
La conmutación de los transistores son encargados de suministrar el voltaje a la carga
dependiendo del valor de compensación del sistema.
Figura 1.6: Esquema de control de corriente
1.2 Modulación para filtros activos
La modulación permite el control de activación de los transistores, para obtener una
señal de voltaje en la salida. Existen varios tipos de modulación y varias
combinaciones entre ellas, pudiéndose mencionar: la modulación PWM (Modulación
1 Los estados naturales son aquellas tensiones obtenidas por el convertidor por el simple encendido o apagado de los
transistores sin utilizar técnicas de modulación de ancho de pulso
6
por ancho de pulso), la cual varia su ancho de pulso en función del ángulo de
referencia; la modulación SVM (Modulación por vectores espaciales), la misma
consiste en entregar una señal haciendo uso de las fases de tensión y el uso de vectores
naturales, que para el caso de los convertidores multinivel depende del número de
niveles del convertidor.
1.2.1 Modulación PWM.
La Modulación PWM consiste en comparar la señal deseada (moduladora), con la
señal portadora, que es una señal triangular con una frecuencia mayor a la frecuencia
de la señal modulada.
La comparación de la señal senoidal y triangular, da como resultado la modulación
PWM y permite la activación de los transistores de potencia como indica la figura 1.7.
Figura 1.7: Generación de señales PWM, (Álzate G. & Marulanda, 2012).
1.2.2 Uso de vectores naturales
Los vectores naturales son el número de niveles que pueden proporcionar el
convertidor multinivel, dependiendo de la configuración de conmutación de los
transistores de potencia. El número de vectores naturales dependen del número de
niveles de un convertidor multinivel y se pueden calcular según la ecuación 1.1.
Para el caso del convertidor de un nivel de la Figura 1.3, cuenta con tres vectores
naturales +Vdc, -Vdc y 0. Los estados de los transistores mostrados en la tabla 1.1,
indican el valor de los vectores, observando que pueden existir cuatro estados de
conmutación.
7
S1-1 S1-1* S1-2 S1-2* Vsw
1 0 0 1 +Vdc
0 1 1 0 -Vdc
1 0 1 0 0u
0 1 0 1 0d
Tabla 1.1: Estados de conmutación de un puente H
El convertidor multinivel en configuración cascada de cuatro etapas mostrado en la
figura 1.4, cuentan con 9 niveles conforme a la ecuación 1.1. Los estados de
activación de cada transistor en la Tabla 1.2, indican los vectores naturales del
convertidor.
S1-1 S1-1* S1-2 S1-2* S2-1 S2-1* S2-2 S2-2* S3-1 S3-1* S3-2 S3-2* S4-1 S4-1* S4-2 S4-2* Vsw
1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 +Vdc
1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 +2Vdc
1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 +3Vdc
0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 +4Vdc
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 -Vdc
0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 -2Vdc
0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 -3Vdc
0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 -4Vdc
Tabla 1.2: Estado de Conmutación de un convertidor multinivel en configuración cascada de 4 etapas
La tabla 1.2, es una de las opciones de las que se puede aplicar conforme el estado de
los transistores. Esta configuración puede variar dependiendo de la señal de salida y
de criterios de diseño del controlador.
1.3 Sistemas trifásicos y contaminación armónica de corriente
La Conexión de un convertidor trifásico puede conectarse en estrella o triángulo
uniendo las topologías monofásicas multinivel para cada fase. La Figura 1.8, muestra
la conexión de los convertidores multinivel en conexión trifásica. La conmutación
deberá activar los transistores considerando el desfase de cada tensión de línea del
sistema trifásico, que corresponde a 120º por cada fase.
La modulación para los convertidores multinivel empleada es la de espacio vectorial
(SVM), la cual consiste en obtener una tensión de línea en función de la suma
vectorial de cada fase, aumentando el número de niveles y espectro de voltajes
disponible para las cargas.
8
Figura 1.8: Convertidor multinivel trifásico (Viola, J., Restrepo, J., Quizhpi, F., Gimenez, M.I., Aller,
J.M., Guzman, V., & Bueno)
La distribución de los niveles de voltaje cuando es representada en un sistema de tres
ejes asociados a cada una de las fases de un sistema trifásico forma una figura
9
hexagonal denominada espacio vectorial de voltaje. En la Figura 1.9, se observan los
niveles disponibles para cada una de las fases de un convertidor multinivel trifásico
de 4 etapas, proporcionando 9 niveles y 217 estados de conmutación correspondiente a
la suma vectorial aplicado a cada nivel. (Viola, Baethge, Berzoy, Restrepo & Quizhpi,
2013)
Figura 1.9: Espacio Vectorial generado por un multinivel trifásico
(Viola, Baethge, Berzoy, Restrepo & Quizhpi, 2013)
Debido a la conmutación de los transistores la tensión y corriente de salida de los
convertidores contiene armónicos, denominada distorsión armónica total (THD), los
mismos que pueden ser calculados por medio de la expresión (1.2).
𝑇𝐻𝐷 =𝐼ℎ
𝐼𝑚 (1.2)
Dónde:
𝐼𝑚: 𝐶𝑜𝑟𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝐹𝑢𝑛𝑑𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙 (RMS)
𝐼ℎ = √𝐼12 + 𝐼2
2 + 𝐼32 + ⋯𝐼𝑛
2 (1.3)
𝐼𝑛: 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 (𝑅𝑀𝑆) 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑛𝑒𝑠𝑖𝑚𝑜 𝑎𝑟𝑚𝑜𝑛𝑖𝑐𝑜
El filtro activo aplicado en un convertidor multinivel elimina armónicos del sistema
trifásico correspondiente a la frecuencia de operación del controlador.
10
1.4 Tipos de Filtros Activos de Potencia
Los Filtros activos de potencia se basan en la conexión de un convertidor a la línea ya
sea monofásico o trifásico, los cuales están acoplados por un inductor que almacena la
energía y permite la compensación de la corriente, por medio de un bus de
condensadores que actúan como fuentes de corriente continua que son conmutadas a
través de los transistores de potencia.
Existen dos tipos de conexiones de los filtros activos de potencia: serie o paralelo. La
conexión en serie (Figura 1.10) debe permitir que todo el flujo de corriente sea
transferido hacia la carga sin garantizar que exista una modificación en la señal de
voltaje en la carga, razón por la cual, su implementación es más compleja con
relación a un filtro paralelo. La conexión en paralelo (Figura 1.11) administra la
corriente de compensación transferida por el convertidor y la red de distribución,
garantizando la tensión de la red en la carga, su implementación permite el uso de
técnicas de modulación para alimentar una tensión en el filtro de acople, en el caso de
la figura 1.11 el filtro es de tipo inductivo.
Figura 1.10: Filtro activo de potencia en conexión serie
11
Figura 1.11: Filtro activo de potencia en conexión paralelo inductor 10mH
Los filtros activos, permiten mejorar la calidad de la energía y disminuyen la cantidad
de armónicos presentes por las cargas no lineales, para lo cual se utiliza inversores
multinivel, para inyectar o absorber corrientes de la red, disminuyendo pérdidas
debido a la potencia reactiva y componentes armónicos presentes en la red. La
topología recomendada es la conexión en paralelo a la carga. (Waware & Agarwal,
2011)
La topología de un filtro activo con convertidor multinivel, emplea una estructura
CHB, ya que tiene la ventaja de estar eléctricamente aislada de la red, aunque se
dificulta en el momento de aplicar las técnicas de modulación por requerir de un
sistema balanceado. (Viola, Baethge, Berzoy, Restrepo & Quizhpi, 2013).
Para la conexión del sistema trifásico, se conecta cada inversor multinivel a cada una
de las líneas del sistema trifásico como muestra la Figura 1.12.
12
Figura 1.12: Esquema de un filtro Activo trifásico
El uso de los filtros activos con métodos de control adaptativo, permite adaptar
automáticamente la carga no lineal conectada a la red y visualizarla como lineal.
Dicho método se encarga de identificar las variables de control para mejorar la
eficiencia del sistema y actuar directamente sobre la modulación de la señal.
1.5 Descripción del filtro activo bajo estudio
El Filtro Activo desarrollado en la Universidad Politécnica Salesiana, por el grupo de
investigación en energía está constituido por tres convertidores multinivel con
conexión en cascada de puentes H (Figura 1.4). Esta conexión proporciona 9 niveles
por cada convertidor y para conectar al sistema trifásico se debe conectar en estrella
como se muestra en la Figura 1.12.
Se ha escogido esta topología dado que permite obtener mayor número de niveles y
utilizar el mismo tipo de dispositivo de potencia, que a diferencia de las topologías
analizadas como la de acoplamiento con diodo o la de condensador son preferibles
13
para pocos niveles ya que para más niveles, aumenta el nivel de complejidad de
construcción.(Viola & Quizhpi, 2013).
Para el control de disparo de los transistores de potencia se utilizan módulos DSP
(Digital Signal Processing) que permiten mayor velocidad de procesamiento de las
señales adquiridas y ejecución del sistema, además, el control del convertidor.
El convertidor diseñado está configurado para utilizar tensiones de bus de 1200V, con
corrientes de hasta 150 A y una potencia total de 100 kW.
1.5.1 Topología del sistema
El Convertidor construido se puede representar en el diagrama de bloques
mostrado en la Figura 1.13, el cual se divide en diferentes etapas como: Po-
tencia, tarjetas de sensores, tarjeta de control, tarjeta de driver, la cual se inter-
conectan con el sistema trifásico.
Figura 1.13: Diagrama de Bloques del Filtro Activo
La Etapa de Potencia está constituida por tres convertidores multinivel, uno de
ellos se representa en la Figura 1.4 y está formado por cuatro Puentes H de-
nominadas celdas. Las Celdas contienen módulos dobles de IGBT’s
14
SKM150GB12T4-SEKG del fabricante Semikron, que soportan voltajes de
1200V y corrientes de 150 A y se ha considerado el uso de estos conmutado-
res, por ser los más desarrollados actualmente y económicos. (Viola &
Quizhpi, 2013).
Figura 1.14: Módulos IGBT’s SKM150GB12T4-SEKG
El condensador utilizado para proporcionar de energía local a cada celda es de tipo
electrolítico, con capacitancia de 2200uFx450V que son un estándar industrial y se
caracterizan por su bajo coste. (Viola & Quizhpi, 2013).
Los módulos IGBT’s y los condensadores son montados sobre disipadores los cuales
cumplen la función de sostener la estructura y disipar el calentamiento de los
semiconductores. Para el caso de un sistema trifásico se utilizan tres ramas como
muestra la Figura 1.15.
Figura 1.15: Torres del convertidor multinivel
15
La Tarjeta de sensores adquieren las señales analógicas que se desean medir y las
convierte a formato digital, contienen 21 canales que corresponden a las variables que
servirán para el procesamiento y control del convertidor, entre ellas 12 tensiones
corresponde a los 12 buses CC de las tres ramas del convertidor, 3 tensiones alternas
del sistema trifásico, 3 corrientes alternas que circulan por las ramas del convertidor y
3 corrientes alternas que circulan en la carga del sistema en paralelo al convertidor. Se
distribuyen en 7 canales, por rama y contiene un canal para expansión para
convertidores de 11 niveles. Debido a que los valores de las tensiones y corrientes son
relativamente altas, se debe asegurar el aislamiento total entre el circuito de medición
y el resto del sistema, razón por la cual se incluyeron 2 niveles de seguridad en el
diseño realizando el sensado de las magnitudes, mediante sensores de efecto Hall y
transmitiendo los datos digitales, mediante fibra óptica para evitar conexiones
galvánicas entre la tarjeta y la etapa de potencia.
La tarjeta de drivers cumple dos funciones: la de separar galvánicamente la etapa de
potencia con la de control y la de amplificar los pulsos que son encargados de activar
los IGBT’s, los cuales utilizan convertidores CC-CC aislados asegurando tensiones de
aislación de 3000V entre la etapa de potencia y la de control. Para el manejo de los
pulsos de disparo se utiliza el driver HCPL-316J del fabricante Agilent. Cada celda es
activada por cada tarjeta de drivers dando un total de cuatro tarjetas por rama del
convertidor.
La tarjeta de control es la encargada de procesar las variables sensadas y generar los
disparos para el controlador. Para optimizar el tiempo del control implementado se
utiliza el FPGA XC3S500E-4PQ208C de Xilinx, el cual administra las entradas y
salidas del controlador y que puede ser programado para cumplir múltiples tareas en
paralelo, conteniendo 500.000 compuertas y 208 pines, de las cuales se utilizan 48
salidas para generar los disparos y 24 entradas que provienen de la tarjeta de sensado
transmitidas por las fibras ópticas. El FPGA es el encargado de procesar las señales
de entrada simultáneamente con resolución de 14 bits de forma paralela al programa
principal, por lo que requiere tiempo de procesamiento. El control lo hace por medio
del procesador ADSP-21369 del fabricante Analog Devices que opera a 450MHz y
trabaja con variables de tipo flotante de 32 bits, para la simulación de los algoritmos
de control a implementar este procesador incluye una tarjeta de desarrollo 21369-EZ-
Kit Lite.
1.5.2 Simulación del convertidor multinivel mediante estados naturales
Para iniciar el estudio del filtro activo de potencia, es importante conocer el manejo de
los diferentes módulos IGBT´s, razón por la cual se realiza la simulación del
convertidor. La simulación se realiza en el programa MatLab utilizando el toolkit de
SimPowerSystems que proporciona los módulos IGBT’s.
16
En la Figura 1.16 muestra la implementación de un convertidor monofásico
multinivel, el cual debe seguir una referencia de una señal senoidal de entrada. La
simulación emplea fuentes de tensión VDC que emulan los condensadores de cada
una de las celdas. El algoritmo a implementar para la simulación de los disparos de
los IGBT´s, utiliza la configuración de la Tabla 1.2.
Figura 1.16: Simulación de MatLab del convertidor
Para generar los pulsos de disparo se utiliza un sistema embebido (Figura 1.17), el
cual se encarga de comparar la señal de referencia con cada nivel de los estados
naturales del convertidor y generar los disparos para cada módulo IGBT´s.
Discrete,Ts = 0.0001 s.
powergui
VDC 4
VDC 3
VDC 2
VDC 1
v+-
V1
g
A
B
+
-
Universal Bridge3
g
A
B
+
-
Universal Bridge2
g
A
B
+
-
Universal Bridge1
g
A
B
+
-
Universal Bridge
Sine Wave
Scope
R
Pulse
Generator
V_AN_ref
gates1
gates2
gates3
gates4
fcn
Embedded
MATLAB Function
gate_4
Dsparo D
gate_3
Dsparo C
gate_2
Dsparo B
gate_1
Dsparo Agate_4
Disparo3
gate_3
Disparo2
gate_2
Disparo1
gate_1
Disparo
17
Figura 1.17: Sistema embebido para el Disparo del IGBT’s
Aplicando la simulación se obtiene una señal de salida del convertidor con escalones
a una frecuencia de 60Hz (Figura 1.18).
Figura 1.18: Respuesta del convertidor monofásico
Discrete,Ts = 0.0001 s.
powergui
VDC 4
VDC 3
VDC 2
VDC 1
v+-
V1
g
A
B
+
-
Universal Bridge3
g
A
B
+
-
Universal Bridge2
g
A
B
+
-
Universal Bridge1
g
A
B
+
-
Universal Bridge
Sine Wave
Scope
R
Pulse
Generator
V_AN_ref
gates1
gates2
gates3
gates4
fcn
Embedded
MATLAB Function
gate_4
Dsparo D
gate_3
Dsparo C
gate_2
Dsparo B
gate_1
Dsparo Agate_4
Disparo3
gate_3
Disparo2
gate_2
Disparo1
gate_1
Disparo
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1-150
-100
-50
0
50
100
150
Tiempo (sg)
Voltaje
(V
)
Voltaje del Convertidor
18
19
CAPÍTULO 2
2 MODELADO E IDENTIFICACIÓN
El modelado de un sistema de control consiste en representar, un modelo físico a
través de ecuaciones algebraicas o diferenciales, denominados modelos
determinísticos. Sin embargo los modelos determinísticos dependen de la dinámica
exacta del sistema, razón por la cual la necesidad de representar los modelos en series
sucesivas que observen el comportamiento del sistema ante las variables de entrada y
salida, este tipo de modelos son denominados paramétricos (Maher, Armstrong &
Giaouris, 2012).
Para determinar el tipo de modelo se deben analizar si las variables y la dinámica del
sistema pueden representarse de forma paramétrica o determinística. En la mayoría de
los casos los modelos de los sistemas no son exactos, ya que dependen de factores
externos y la complejidad de representarlos matemáticamente, es por ello la necesidad
de utilizar modelos paramétricos donde las variables y coeficientes puedan ser
identificadas utilizando métodos de estimación.
Este capítulo presenta diferentes métodos de identificación utilizando mínimos
cuadrados, técnicas de validación del modelo y la aplicación del algoritmo de
identificación aplicado al convertidor de estudio. La aplicación del algoritmo de
identificación al caso de estudio incluye un análisis del algoritmo de identificación
recursiva, para observar el comportamiento de los coeficientes del modelo en régimen
permanente. El objetivo de utilizar métodos de identificación es estimar un modelo
para un convertidor multinivel, que posibilitará el diseño de un algoritmo de
control capaz de estimar las corrientes de línea aplicando una señal de referencia en
fase a cada línea del sistema de distribución, para mejorar su factor de potencia y
reducir la distorsión armónica total (THD), (Freijedo, Doval, López, Fernández &
Martinez, 2009).
2.1. Modelos y Sistemas
Los modelos físicos son representados por modelos matemáticos, los cuales establecen
una relación de entrada-salida establecida por una secuencia de datos regresivos. La
representación de los modelos son de forma probabilística o estocásticos permitiendo:
la predicción de datos futuros y la estimación de la salida del modelo por medio de
20
datos observados secuencialmente y muestreados de un conjunto de datos
𝑦1, 𝑦2 , 𝑦3, …… 𝑦𝑁 . Entre los modelos más utilizados podemos citar:
Modelo Autorregresivo AR
El modelo autorregresivo es aquel que define una secuencia de datos obtenidos de
forma regresiva en muestras definidas por 𝑘, 𝑘 − 1, 𝑘 − 2, 𝑘 − 3,…𝑘 − 𝑁, en cada
instante de tiempo y por la salida 𝑦𝑘−1, 𝑦𝑘−2 , 𝑦𝑘−3, …… 𝑦𝑘−𝑁 , determinadas como
variables independientes. Estableciendo el siguiente modelo:
𝑦𝑘 = 𝑎1𝑦𝑘−1 + 𝑎2 𝑦𝑘−2 + 𝑎3 𝑦𝑘−3 …… . . + 𝑎𝑛 (2.1)
Definiendo un operador 𝑎(𝐵) = 1 − 𝑎1𝐵 − 𝑎2𝐵2 − 𝑎3𝐵
3 y 𝜂 como error, podemos
representar de forma compacta la ecuación (2.1) en (2.2):
𝑎(𝐵)𝑦𝑘 = 𝜂𝑘 (2.2)
La ecuación (2.2), se puede representar en diagrama de bloques como se muestra en la
Figura 2.1.
Figura 2.1: Representación de un Modelo AR
Modelo autorregresivo con variable exógena ARX
Un modelo ARX, relaciona las variables de entrada y salida de un sistema. Es
representado por la ecuación de diferencias (2.3), que incluye secuencia regresiva del
modelo (AR) y una variable de entrada denominada exógena (X).
𝑦𝑘 = 𝑎1 𝑦𝑘−1 + 𝑎2 𝑦𝑘−2 … … .+𝑎𝑝 𝑦𝑘−𝑝 + 𝑏1𝑢𝑘−1 + 𝑏2𝑢𝑘−2 … .+𝑏𝑚𝑢𝑘−𝑚 + 𝑘 (2.3)
En donde la variable 𝑢𝑘−1, es la variable exógena, la variable 𝑘, representa el ruido
blanco o error de la ecuación y 𝑦𝑘−1, es la variable de salida autorregresiva. El
modelo se puede representar de forma compacta en la ecuación 2.4:
𝑎(𝐵)𝑦𝑘 = 𝑏(𝐵)𝑢𝑘 + 𝜂𝑘 (2.4)
1
𝑎(𝐵)
𝑦 𝜂
21
Su representación en diagrama de bloques se muestra en la Figura 2.2.
Figura 2.2: Diagrama de Bloques de un Modelo ARX
Modelo de promedio móvil autorregresivo ARMA
Para ajustar las series de cada muestreo, es necesario incluir una variable de cálculo de
los promedios de las señales de salida e incluir variables autorregresivos, este modelo
se denomina ARMA su representación se indica en (2.5):
𝑦𝑘 = 𝑎1𝑦𝑘−1 + 𝑎2 𝑦𝑘−2 +. . +𝑎𝑝 𝑦𝑘−𝑝 … … . . +𝜂𝑘 + 𝑐1𝜂𝑘−1 + 𝑐2𝜂𝑘−2 + ⋯𝑐𝑞𝜂𝑘−𝑞 (2.5)
La expresión contiene p+q+2 variables desconocidas, las cuales deben estimarse
considerando la varianza del promedio de la señal 𝑎1, 𝑎2, … 𝑎𝑝, 𝑐1, 𝑐2, … . 𝑐𝑞 , 𝑢 𝑦 𝜎2, su
representación de forma simplificada se expresa en la ecuación (2.6) y en diagrama de
bloque en la Figura 2.3.
𝑎(𝐵)𝑦𝑘 = 𝑐(𝐵)𝜂𝑘 (2.6)
Figura 2.3: Diagrama de Bloques de un Modelo ARMA
Modelo de promedio móvil autorregresivo con variable exógena ARMAX
Un modelo que incluya una parte autorregresiva 𝑎(𝐵)𝑦𝑘, una parte que contiene el
valor promedio móvil 𝑐(𝐵)𝜂𝑘, y una variable exógena que permita tener una señal de
control denominada exógena 𝑏(𝐵)𝑢𝑘, se denomina ARMAX y se representa en la
ecuación (2.7):
𝑎(𝐵)𝑦𝑘 = 𝑏(𝐵)𝑢𝑘 + 𝑐(𝐵)𝜂𝑘 (2.7)
𝑏
𝑎
1
𝑎
+
𝑦
𝜂
𝑢
𝑐
𝑎
𝜂 𝑦
22
La señal de promedio móvil, corresponde a la secuencia de señal de ruido blanco en
un modelo ARX, razón por la cual la representación del modelo ARMAX es el mismo
del modelo ARX, ver el diagrama de bloques de la Figura 2.4.
Figura 2.4: Diagrama de Bloques de un Modelo ARMAX
Donde podemos agrupar los términos de la siguiente forma:
𝑔(𝐵) =𝑏(𝐵)
𝑎(𝐵) ℎ(𝐵) =
𝑐(𝐵)
𝑎(𝐵)
Utilizando esta simplificación se puede representar el modelo en la ecuación (2.8).
𝑦𝑘 = 𝑔(𝐵)𝑢𝑘 + ℎ(𝐵)𝜂𝑘 (2.8)
La variable ℎ(𝐵)𝜂𝑘 es el modelo del ruido, definido por el valor del promedio móvil.
Este modelo permite predecir la salida 𝑦𝑘 a pesar de que no exista una entrada, donde
𝑢𝑘 = 0, a este modelo se lo conoce con el nombre de ARMA.
Estos modelos son los más utilizados, existen otros que dependen del tipo de modelo
o sistema a controlar. En el caso de los modelos determinísticos que contienen
variables de entrada y salida, su representación depende del modelo matemático y
pueden ajustarse a cualquiera de estos modelos presentados. Para el caso de los
modelos paramétricos los coeficientes requieren de ser identificados.
2.2.Métodos de Identificación
2.2.1.Identificación de procesos por mínimos cuadrados
En un sistema de redes eléctricas las cargas que se conectan y desconectan son
desconocidas, por lo que se requiere identificarlas de forma paramétrica, utilizando
técnicas de estimación que permitan identificar un modelo multivariable que incluya el
filtro del convertidor multinivel así lo indican Maher, Armstrong y Giaouris, (2012),
en su estudio de sistemas activos de identificación de línea para convertidores DC-DC.
𝑏
𝑎
𝑐
𝑎
+
𝑦
𝜂
𝑢
23
El método a utilizar para la identificación es el de mínimos cuadrados, el cual ajusta
el modelo mediante los datos obtenidos de la salida real y la salida estimada
calculando el error mínimo cuadrático de un modelo ARX (Favela,2009).
Para determinar los coeficientes del modelo ARX de la ecuación de diferencias (2.3)
se considera a k como el error de compensación del modelo, reordenando (2.3)
obtenemos el error en (2.4).
𝑦𝑘 = 𝑎1 𝑦𝑘−1 + 𝑎2 𝑦𝑘−2 …+ 𝑎𝑛𝑎 𝑦𝑘−𝑛𝑎 + 𝑏1 𝑢𝑘−1−𝑑 + 𝑏2 𝑢𝑘−2−𝑑 … .+𝑏𝑛𝑏 𝑢𝑘−𝑛𝑏−𝑑 +
𝑘 (2.9)
Dónde: 𝑦𝑘 es la salida del sistema, 𝑢𝑘la entrada y 𝑘 es ruido blanco que se puede
considerar como el error de la ecuación en (2.10).
𝑦𝑘 − 𝑎1 𝑦𝑘−1 − 𝑎2 𝑦𝑘−2 …− 𝑎𝑛𝑎 𝑦𝑘−𝑛𝑎 − 𝑏1 𝑢𝑘−1−𝑑 − 𝑏2 𝑢𝑘−2−𝑑 … .−𝑏𝑛𝑏 𝑢𝑘−𝑛𝑏−𝑑 = 𝑒[𝑘, 𝜃𝑁] (2.10)
El número de valores recursivos, depende del orden de la ecuación del sistema con el
que se desea trabajar, por lo que k=nm, donde nm = al mayor de [na,nb+d].
El método permite encontrar los valores de ai y bi ajustando la relación de entrada y
salida del sistema, minimizando la suma de los cuadrados de la diferencia de la salida
real y la salida del modelo. Para ello requerimos de arreglos matriciales que definan la
entrada y salida con datos recursivos en función del modelo ARX de la ecuación
(2.10), definiendo así el vector recursivo (2.11).
𝑘𝑇 = [𝑦𝑘−1, 𝑦𝑘−2, . . . , 𝑦𝑘−𝑛𝑎 , 𝑢𝑘−1−𝑑 , 𝑢𝑘−2−𝑑, . . . , 𝑢𝑘−𝑛𝑏−𝑑] (2.11)
Además se define un vector con los coeficientes ai y bi denominado 𝑁 (2.12).
𝑁 = [𝑎1, 𝑎2, … 𝑎𝑛𝑎, 𝑏1, 𝑏2, … , 𝑏𝑛𝑏]
𝑇 (2.12)
Expresando los vectores (2.11) y (2.12) de la forma de la ecuación (2.10) se puede
expresar de forma simplificada en (2.13).
𝑦𝑘 = 𝑘𝑇 𝑁 + 𝑒𝑘 (2.13)
Para la identificación, es importante obtener N muestras de [𝑦𝑘, 𝑢𝑘] estableciendo una
secuencia de matrices 𝑘𝑇 (2.14).
𝑦𝑛𝑚 = 𝑛𝑚𝑇 𝑁 + 𝑒𝑛𝑚
𝑦𝑛𝑚+1 = 𝑛𝑚+1𝑇 𝑁 + 𝑒𝑛𝑚+1 (2.14)
.
.
24
𝑦𝑘 = 𝑘𝑇 𝑁 + 𝑒𝑘
.
𝑦𝑁 = 𝑁𝑇 𝑁 + 𝑒𝑛
Definiendo así, el vector salida 𝑌𝑁, el vector 𝑒𝑁 y los vectores 𝑁, como un conjunto
de datos que se pueden representar de forma vectorial como las ecuaciones (2.15).
𝑌𝑁 = [𝑦𝑛𝑚, 𝑦𝑛𝑚+1, . . . 𝑦𝑘 … , 𝑦𝑁] 𝑁 = [𝑛𝑚,𝑛𝑚+1, …𝑘 … ,𝑁] (2.15) 𝐸𝑁 = [𝑒𝑛𝑚, 𝑒𝑛𝑚+1, … 𝑒𝑘 … , 𝑒𝑁]
Representando el grupo de ecuaciones (2.14) de forma vectorial con los vectores
(2.15) se obtiene:
𝑌𝑁 = 𝑁 𝑁 + 𝑒𝑁 (2.16)
Para obtener el valor de 𝑁 de (2.16), se debe minimizar la suma de la secuencia de la
señal cuadrática de error 𝑒𝑘, definiendo así una función de costo 𝐽𝑁, representada en
(2.17).
𝐽𝑁 = ∑ 𝑒𝑘2 = 𝑒𝑁
𝑇𝑒𝑁𝑁𝑘=𝑛𝑎 (2.17)
Con la función de costo 𝐽𝑁, se busca de minimizar el error, de tal forma que el
gradiente de 𝐽𝑁 sea nulo y obtener los mejores coeficientes del modelo, entonces
reemplazando 𝑒𝑁 por la ecuación (2.16) da como resultado 𝐽𝑁 en (2.18).
𝐽𝑁 = 𝑒𝑁𝑇𝑒𝑁 = (𝑌𝑁 −𝑁 𝑁)𝑇(𝑌𝑁 −𝑁 𝑁) (2.18)
Resolviendo (2.18) se obtiene 𝐽𝑁 en (2.19):
𝐽𝑁 = 𝑌𝑁𝑇𝑌𝑁 − 2𝑌𝑁𝑁
𝑇 𝑁𝑇 +𝑁
𝑇 𝑁𝑇𝑁𝑁 (2.19)
Derivando 𝐽𝑁 de la ecuación (2.19) e igualando a cero, obtenemos (2.20):
𝑑𝐽𝑁
𝑑 𝑁= −2𝑌𝑁𝑁
𝑇 + 2𝑁𝑁𝑇𝑁 = 0 (2.20)
Despejando la ecuación 2.20, se obtiene 𝑁 (2.21)
𝑁 = (𝑁𝑇𝑁)
−1𝑁
𝑇 𝑌𝑁 (2.21)
Donde 𝑁, es el vector que contiene los coeficientes del modelo a identificar
expresado en la ecuación (2.12).
25
2.2.2.Identificación de procesos por mínimos cuadrados ponderados
La ecuación (2.17) define la sumatoria cuadrática del error considerando un mismo
valor de ponderación, es por ello que se debe acentuar el valor en las muestras
cercanas a N, definiendo una matriz de ponderación 𝑤𝑘 (2.23), para calcular una
nueva ecuación de costo 𝐽𝑁 (2.22).
𝐽𝑁 = ∑ 𝑤𝑘𝑒𝑘2 = 𝑒𝑁
𝑇𝑤𝑁𝑒𝑁𝑁𝑘=𝑛𝑎 (2.22)
Donde 𝑤𝑘, contiene el factor de ponderación, que para el caso de N muestras resulta
una matriz 𝑊𝑁, en la cual se van atenuando exponencialmente las muestras que se
van alejando.
𝑤𝑘 = (1 − 𝛾)𝛾𝑁 − 𝑘 = 𝑎𝛾𝑁 − 𝑘, 0 < 𝛾 < 1 (2.23)
𝑊𝑁 =
[ 𝑎𝛾𝑁−𝑛𝑎 ⋯ 0
⋮⋱
𝑎𝛾2
𝑎𝛾⋮
0 ⋯ 𝑎]
Realizando el mismo proceso de minimización de la ecuación (2.18) e incluyendo el
valor 𝑤𝑘 , se obtiene el cálculo de 𝑁 (2.24):
𝑁 = (𝑁𝑇 𝑊𝑁𝑁)
−1𝑁
𝑇 𝑊𝑁𝑌𝑁 (2.24)
2.2.3.Identificación de procesos por mínimos cuadrados recursivos
El funcionamiento de los convertidores multinivel se basa en la conmutación de los
IGBT´s, para obtener los estados naturales del convertidor mostrados en la Tabla 1.2.
La frecuencia de operación de la conmutación es de 10kHz, razón por la cual, el
principio de funcionamiento del convertidor, es ideal para implementar un proceso de
identificación recursiva, denominada identificación por lotes, de tal forma de
actualizar el vector 𝑁. Este proceso recursivo se puede realizar luego de un primer
proceso de identificación, utilizando señales de excitación PRBS (Pseudo Random
Binary Sequence) que permite abarcar todo el espectro de frecuencia.
La identificación recursiva obtiene los valores de 𝑘, expresada en la ecuación (2.25),
estimando con los últimos valores iterativos, mediante un proceso de corrimiento de
las N muestras, obtenidas del vector entrada – salida.
𝐾 = (𝑁𝑘𝑠𝑇 𝑁𝑘𝑠)
−1𝑁𝑘𝑠
𝑇 𝑌𝑁𝑘𝑠 (2.26)
26
Donde Nks , es el número de muestras para el proceso de excitación por la señal PRBS,
k es asignada para cada iteración desde k= Nks +1 y ks va desde la muestra k- Nks hasta
k.
2.3.Validación de sistemas de identificación
Un sistema representado por un modelo matemático, requiere ser validado para
determinar su eficiencia y conocer qué tan cercano está el valor calculado, respecto al
valor real del sistema, es por ello la necesidad de validar el proceso de identificación
que se haya utilizado para la obtención de un modelo.
La validación consiste en determinar, si el modelo identificado obtiene el menor error
de estimación entre el valor estimado y el valor real, para ello se deben realizar las
siguientes pruebas:
Validación del Modelo
Análisis de Correlación
Análisis Residual
La Validación del Modelo, consiste en determinar si la estructura del modelo
seleccionado nos da una mejor eficiencia en la estimación de los parámetros
identificados, para el caso de utilizar varios modelos de identificación se puede
validar utilizando el toolbox de identificación de MatLab, el cual requiere de
especificar la estructura del modelo y el número de elementos regresivos de entrada y
salida que se desea parametrizar del sistema a identificar conforme a los datos
obtenidos en simulación o a los datos obtenidos en pruebas de experimentación.
El análisis de correlación: es un análisis estadístico de los datos obtenidos, mediante el
cálculo del error medio cuadrático y la media del sistema. La ecuación (2.27) indica
el porcentaje de correlación del valor de la señal con respecto al valor estimado.
𝑅 = 100(1 −1
𝑁∑ (𝑦𝑘−𝑦)2𝑁
𝑘=1
1
𝑁∑ (𝑦𝑘−
1
𝑁∑ (𝑦𝑘)𝑁
𝑘=1 )2
𝑁𝑘=1
) (2.27)
Si el valor de correlación es del 100% existe un error=0 de estimación, por lo que el
modelo es exacto, sin embargo los datos por lo general no son exactos y el sistema
tendrá resultados cercanos al 100%. En el caso de que exista un valor de correlación
menor al 60% (Ljung, 1999), se debería considerar otro modelo o elegir.
27
El análisis residual se basa en obtener los residuos entre los datos obtenidos del
modelo y los datos medidos (2.28).
𝜀(𝑡) = 𝑦(𝑡) − (𝑡|𝜃)) (2.28)
Este análisis permite determinar la calidad del modelo obtenido mediante el cálculo de
la sensibilidad (2.29), que define el error que podría tener en datos futuros, este
proceso al ser estadístico nos permite obtener la varianza del error, definiendo el rango
de los datos de entrada que pueda producir error en la estimación de los datos futuros.
𝑆 =1
𝑁∑ 𝜀2(𝑡)𝑁
𝑡=1 (2.29)
La varianza de los datos obtenidos proporcionan información, para determinar el
rango de datos de entrada, limitando así, el modelo estimado. La ecuación para definir
la varianza (2.30), depende de los residuos y de la media de los datos.
𝑅𝜀 =1
𝑁∑ 𝜀(𝑡)𝑢(𝑡 − 𝜏)𝑁
𝑡=1 (2.30)
Para que exista un proceso de identificación óptimo, se requiere realizar algunas
pruebas de experimentación, en las cuales se parte desde el proceso de adquisición de
datos, selección de la estructura del modelo, parametrización ó identificación del
modelo, validación del modelo y análisis de eficiencia. Este proceso de validación se
puede realizar siguiendo algoritmo de la Figura 2.5.
28
Figura 2.5: Algoritmo para la identificación y validación de modelo
2.4.Identificación y validación del sistema de estudio
La aplicación del método de identificación, para el caso del convertidor multinivel,
construido en la Universidad Politécnica Salesiana se realizó en simulación para
determinar el correcto funcionamiento del algoritmo de identificación. Para el caso de
estudio, se realizará dos modelos a identificar: un modelo con un acople mediante un
inductor L y un modelo con un acople LCL.
Adquisición de
Datos y
procesamiento
Selección del
Modelo
AR, ARX ARMAX,
etc
Parametrización e
Identificación
Preparación de datos
y selección del
modelo
El modelo
es
correcto?
Modelo Aceptado
Si
No
29
2.4.1.Identificación con acoplamiento inductivo
La identificación con un acople mediante inductor L, es realizada en una fase del
convertidor. El acople entre la red y el convertidor utiliza un inductor L=10mH y se
muestra en la Figura 2.6.
Figura 2.6: Diagrama de una fase con acople mediante inductor.
El diagrama presentado en la Figura 2.6, corresponde a una topología multinivel de 4
etapas tipo puente H, conectadas en cascada (CHB por sus siglas en inglés) (Viola,
Baethge, Berzoy, Restrepo & F. Quizhpi, 2012), e incluye una carga no lineal
conectada a la red de la fuente AC.
Para aplicar la identificación por mínimos cuadrados, se debe representar el sistema
mediante un modelo ARX, el cual debe considerar los datos de entrada: 𝑣𝑙𝑘 (tensión
de la red), y 𝑣𝑐𝑘 (tensión del convertidor) y los datos de salida 𝑖𝑘 (corriente de linea),
por lo tanto el modelo ARX debe ser multivariable, como se muestra la Figura 2.7.
30
Figura 2.7: Diagrama de una fase en representación ARX
La ecuación de diferencias, se representa como la ecuación 2.3, incluyendo las dos
entradas obteniendo:
𝑖𝑘 = 𝑎1 𝑖𝑘−1 + 𝑎2 𝑖𝑘−2 …+ 𝑎p 𝑖𝑘−p + 𝑏1𝑣𝑙𝑘−1 + 𝑏2𝑣𝑙𝑘−2 … .+𝑏m𝑣𝑙𝑘−𝑚 + 𝑐1𝑣𝑐𝑘−1 + 𝑐2𝑣𝑐𝑘−2. . +𝑐𝑛𝑣𝑐𝑘−𝑛 (2.31)
Para el proceso de identificación se escogen dos datos regresivos para la entrada y
salida, ya que dan una aproximación muy cercana a los datos reales y disminuye el
costo computacional al no tener muchos datos en memoria, por lo tanto la ecuación
(2.31) se representa como:
𝑖𝑘 = 𝑎1 𝑖𝑘−1 + 𝑎2 𝑖𝑘−2 + 𝑏1𝑣𝑙𝑘−1 + 𝑏2𝑣𝑙𝑘−2 + 𝑐1𝑣𝑐𝑘−1 + 𝑐2𝑣𝑐𝑘−2 (2.32)
Con el modelo planteado se procede a realizar la identificación, utilizando el método
de mínimos cuadrados, por lo que se plantea el vector 𝑁 (2.33).
𝑁 = [𝑎1, 𝑎2; 𝑏1, 𝑏2; 𝑐1, 𝑐2 ]𝑇 (2.33)
Para la aplicación del método por mínimos cuadrados, se inyectan voltajes en el
convertidor (VC), utilizando secuencias binarias aleatorias (PRBS) (Huerta, 2010),
con una frecuencia de muestreo de 10kHz, frecuencia con la cual va a funcionar la
conmutación del convertidor. La señal PRBS se genera utilizando 8 bits de
resolución y permite un análisis en un amplio espectro de frecuencias. En la Figura
2.8 y 2.9, se muestra la señal PRBS que aplica el convertidor 𝑣𝑐𝑘 y la señal 𝑖𝑘
respectivamente.
𝑣𝑐𝑘
𝑏
𝑎
𝑐
𝑎
𝑣𝑙𝑘 𝑖𝑘
31
Figura 2.8: Señal de entrada PRBS utilizando modulación para señales sinusoidales
Figura 2.9: Señal de salida 𝒊𝒌.
Con los datos obtenidos en la Figura 2.9 se arman las matrices 𝑘𝑇 , 𝑌𝑁 de las
ecuaciones (2.34) y (2.35), hasta N=256 datos generados por el PRBS con una
resolución de 8 bits.
𝑘𝑇 = [𝑖𝑘−1, 𝑖𝑘−2 , 𝑣𝑙𝑘−1, 𝑣𝑙𝑘−2, 𝑣𝑐𝑘−1, 𝑣𝑐𝑘−2] (2.34)
𝑌𝑁 = [𝑦𝑛𝑚, 𝑦𝑛𝑚+1, . . . 𝑦𝑘 … , 𝑦𝑁] (2.35)
Para aplicar el método de mínimos cuadrados, se desarrolla el algoritmo de
identificación por medio de la ecuación (2.21), obteniendo así, los siguientes
coeficientes:
𝑁 = [0.6887 0.3036 0.0204 − 0.0021 − 0.0177 0.0015 ]𝑇
Estos coeficientes, son validados utilizando el toolkit de Matlab, en la Figura 2.10 se
observa la señal del modelo real y estimada, obteniendo el 68.1% de correlación, este
dato tiene una buena aproximación dado que el sistema de la Figura 2.6, incluye una
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
100
Tiempo(sg)
Voltaje
(V)
Señal del Convertidor
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14-2
0
2
4
6
8
10
12
14
16Señal de corriente de linea
Tiempo(sg)
Corr
iente
(A)
32
carga no lineal, por lo que faltaría realizar un proceso de control para obtener un
seguimiento más cercano.
Figura 2.10: Validación del modelo obtenido
El análisis de residuo para validar el modelo corresponde a datos muy
pequeños, (alrededor de 0.01 de error, ver Figura 2.11), dando una buena
aproximación de correlación cruzada del modelo.
Figura 2.11: Análisis Residual del modelo ARX
0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1
-4
-2
0
2
4
6
8
yk. (estimada vs real)
Tiempo(sg)
Corr
iente
(A)
vdata; measured
modelo; fit: 68.1%
33
2.4.2.Identificación con acoplamiento mediante red LCL
El segundo modelo a identificar contiene un filtro LCL como muestra la Figura 2.12,
que permitirá el uso de inductores más pequeños, para el proceso de identificación no
se incluirá cargas conectadas a la red. El acople consta solamente de un filtro LCL,
que permitirá obtener un modelo lineal del filtro de acople, para mejorar la estimación
con respecto a la identificación con cargas no lineales analizadas anteriormente, de tal
forma de discretizar el modelo y en lo posterior aplicar un controlador digital por
modelo de referencia que trabaje de forma lineal a pesar de que existan cargas no
lineales.
El modelo del acople de un filtro LCL dada la conexión de las dos fuentes aumenta su
grado de complejidad, utilizando modelos determinísticos, de ahí la importancia de
determinar el modelo utilizando métodos de identificación.
Figura 2.12: Sistema de Identificación con acople LCL
Sistema de Identificacion por minimos cuadrados
Discrete,Ts = 0.0001 s.
powergui
v+-
V_mk
v+-
V_Uk
s- +
VDC
v+-
V2
ident_planta
S-Function1
PRBCIC
Rate Transition
L2
L1
i+-
Ik
[mk]
[uk]
[yk]
[yk]
[uk]
[mk]
[yk]
C
AC
34
La Figura 2.12, muestra el diagrama del filtro activo con acople LCL, en el cual se
utiliza una fuente DC, para emular el comportamiento del convertidor, el modelo
utilizado es el que muestra la Figura 2.7, considerando las dos entradas de tensión. Los
valores de L1, L2 y C son 0.5mH, 0.7mH y 3uF respectivamente. Para la
identificación se utiliza el modelo ARX y se consideran los mismos criterios aplicados
para la identificación con filtro inductivo para su parametrización.
Los coeficientes obtenidos luego de aplicar el algoritmo de identificación son:
𝑁 = [0.5154 0.4841 0.1473 − 0.0334 − 0.1033 − 0.0107]
Al ser una identificación de un modelo lineal se obtiene una correlación del 87.47 %
mostrada en la Figura 2.13. Proporcionando una mejor aproximación del modelo
estimado con respecto al sistema y un valor residual muy cercano a cero.
Figura 2.13: Validación del modelo LCL
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
yk. (estimada vs real)
Tiempo(sg)
Co
rrie
nte
(A)
vdata; measured
modelo; fit: 87.47%
35
En la Figura 2.14 se muestra la validación, mediante la correlación de la respuesta del
modelo real y estimado.
Figura 2.14: Análisis residual del modelo LCL
La validación del modelo por el método residual de la Figura 2.14, muestra una
cercanía del 100% y un dato residual cercano a 0, posibilitando el uso de este modelo
para el control por modelo de referencia.
El modelo planteado se ha obtenido mediante un proceso de identificación fuera de
línea para analizar la eficiencia del algoritmo de identificación. De la misma manera
se plantea un proceso recursivo para obtener los coeficientes, mientras transcurra la
simulación y validar el modelo. En la Figura 2.15, se observa los coeficientes de 𝑁
obtenidos mediante identificación recursiva, los cuales producen mínimos cambios.,
dichos cambios son producto de la dinámica del sistema proveniente de las dos
señales de entrada de las fuentes de tensión. El proceso recursivo se ha realizado por
lotes planteando las matrices 𝑘𝑇 y 𝑌𝑁
𝑇 con las últimas muestras actualizadas en cada
periodo de muestreo, calculando 𝜃𝑁 con las matrices recursivas planteadas en la
ecuación (2.26).
36
Figura 2.15: Datos de 𝐍 utilizando método recursivo
Para la validación del modelo y análisis de la respuesta del sistema, utilizamos la
herramienta de MatLab Toolkit System Identification, en el cual cargamos los datos
de identificación de la señal de entrada 𝑣𝑐𝑘 (PRBS), 𝑣𝑙𝑘 (VAC) y señal de salida 𝑖𝑘
ver Figura 2.16.
Figura 2.16: Ventana de sistema de identificación MatLab
La validación del modelo, consiste en comprobar cuantos datos recursivos nos dan la
mejor estimación. En la Figura 2.17, la barra de color rojo nos indica qué modelo nos
37
da la mejor correlación, obteniendo una covarianza del 0.072% de error con dos datos
regresivos.
Figura 2.17: Validación del modelo estimado
Con la validación del modelo, es importante analizar la respuesta al escalón en donde,
se obtiene un modelo sin sobrepaso (ver la Figura 2.18). Este análisis es importante
ya que el filtro va a inyectar pulsos al sistema y es necesario ver el comportamiento
ante la inyección de escalones.
Figura 2.18: Respuesta al impulso del modelo del convertidor
38
El modelo, es analizado por el método del lugar geométrico de las raíces para definir
la estabilidad del sistema. Para el modelo planteado estimamos una estabilidad del
sistema ya que los polos y ceros se encuentran dentro del circulo unitario (ver Figura
2.19), posibilitando así realizar procesos de control, este análisis indica que existe un
tiempo de estabilización de 0.3sg a la respuesta al impulso sin oscilaciones ni
sobresalto en la señal.
Figura 2.19: Lugar geométrico de las raíces del modelo estimado
39
CAPÍTULO 3
3 CONTROL ADAPTATIVO
Los controladores adaptativos, permiten adaptar su control en función de las
condiciones reales de los sistemas a controlar mediante modelos matemáticos
obtenidos en la identificación. El modelo, debe estimar los valores próximos de la
señal de salida y ajustar al controlador (Valencia, 2011).
El Diseño del controlador, requiere incluir observadores que estimen los estados del
sistema ajustando los polos de la función de transferencia, convirtiéndolos en sistemas
controlables con retroalimentación hacia la señal de control.
Los convertidores, requieren de controladores multivariables que relacionen las
señales de entrada y salida, mediante la comparación de las señales reales con las
señales del modelo identificado, minimizando el error a través del ajuste del
controlador. Dado que los convertidores por naturaleza son sistemas inestables,
requieren de señales de control, que ajusten la señal estimada a la señal de referencia.
En el presente estudio analizaremos las técnicas utilizadas para la implementación del
controlador mediante un modelo de referencia para los convertidores de potencia.
3.1 Diseño de controladores adaptativo por modelo de
referencia Uno de los métodos más usado es el control adaptativo basado en modelo de
referencia (MRAC), así lo indica Huerta, (2011), en su estudio sobre aplicación de
técnicas de identificación y control multivariable en convertidores. El modelo de los
convertidores, se fundamenta en la comparación de las medidas actuales con un
modelo de referencia, que se ajusta mediante el error. Una característica generalmente
indeseable del MRAC es la naturaleza no lineal del término de error empleado para la
adaptación. Este tipo de no linealidad, es empleado para reducir la sensibilidad al
ruido y las perturbaciones de la carga, sin embargo, también fuerza a que la respuesta
dinámica de la adaptación en lazo cerrado sea dependiente del punto de operación.
Un controlador adaptativo, tiene como finalidad cambiar el comportamiento de las
variables de control a nuevas circunstancias de los sistemas dinámicos, por lo que el
controlador tiene que ser reajustado en función de la nueva dinámica utilizando
mecanismos de adaptación, ver Figura 3.1.
40
En el caso de este proyecto, el sistema encargado de realizar este ajuste es por medio
de la identificación por mínimos cuadrados, por lo que se debería ajustar las nuevas
variables del controlador para inyectar y absorber corrientes para mejorar la calidad
del suministro de energía.
La topología básica de un controlador adaptativo, está compuesta por un método de
identificación, un controlador ajustable y la planta, tal como muestra la Figura 3.1. El
mecanismo de identificación es el encargado de monitorear la entrada y salida de la
planta de forma recursiva, permitiendo ajustar las variables del controlador en función
del modelo de referencia. En la Figura 3.1, se presenta la topología del controlador
ajustable.
Figura 3.1: Topología de un controlador adaptativo
La parametrización obtenida mediante la identificación, permite representar el
sistema en espacio de estados, la cual es una representación matricial del sistema,
descrita por las ecuaciones en diferencias. En la ecuación (3.1), se representa el
sistema en variable de estados. (Maher, Armstrong & Giaouris, 2012).
𝑥(𝑘 + 1) = 𝐴𝑥(𝑘) + 𝐵𝑢(𝑘) (3.1)
𝑦(𝑘) = 𝐶𝑥(𝑘)
Las Ecuaciones de diferencias del modelo representado en el espacio de estado son
obtenidas del modelo ARX. La ecuación (3.1), se puede representar por el diagrama
de bloque de la Figura 3.2.
Método de
Identificación
PLANTA CONTROLADOR
Ajustable
y(k) u(k)
41
Figura 3.2: Diagrama de bloques de la ecuación (3.1)
La representación en el espacio de estado, permite diseñar controladores para sistemas
multivariables y estimar la salida mediante la ecuación (3.1), utilizando observadores
de estados. El controlador adaptativo que se utilizará en este proyecto se representa en
el espacio de estado, mediante un modelo de referencia, obtenido mediante la
identificación de procesos, posibilitando el manejo de sistemas no lineales,
realizando aproximaciones lineales apropiadas para el punto de operación de los
convertidores. (Rodríguez & López, 1996).
3.2 Controlabilidad y Observabilidad
La controlabilidad de un sistema se refiere cuando un sistema de control de estado
completamente controlable puede transferir un estado inicial a cualquier estado
deseado de forma arbitraria en un periodo finito, en cambio cuando una de las
variables es independiente de la señal de control se dice que este sistema no es
controlable (Ogata,1996).
Para la representación en espacio de estado de un sistema, tal como la ecuación (3.1),
se puede decir que un sistema es controlable si el rango de la condición de
controlabilidad de la ecuación (3.2), es igual a n que se refiere al número de estado del
modelo representado en el espacio de estado.
𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜[𝐵 ⋮ 𝐴𝐵 ⋮ ⋯ ⋮ 𝐴𝑛−1𝐵] = 𝑛 (3.2)
La observabilidad de un sistema, consiste en estimar los valores próximos de un
modelo a partir de los valores recursivos de la señal de entrada y salida, además es una
herramienta virtual que permite estimar las variables y predecir cambios en el
comportamiento del modelo proveniente de la señal de control. (Valencia, 2011).
No todos los sistemas son totalmente observables, para lo cual se debe verificar que el
vector de observabilidad, satisfaga la condición necesaria de observabilidad, expresada
z-1
y(k) u(k)
B C +
-
x(k) x(k+1)
A
42
en (3.3). Existen variables que físicamente no son posibles medir pero si se las puede
observar mediante el uso de observadores de estado.
𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜 [
𝐶𝐴−1
𝐶𝐴−2
⋮𝐶𝐴−𝑛
] = 𝑛 (3.3)
Si el vector de observabilidad, satisface la condición de observabilidad, podemos
determinar las variables de estado 𝑥(𝑘 + 1) a partir de 𝑦(𝑘), 𝑦(𝑘 − 1),…… , 𝑦(𝑘 −𝑛 + 1) y de 𝑢(𝑘), 𝑢(𝑘 − 1),…… , 𝑢(𝑘 − 𝑛 + 1), por lo tanto el observador, se puede
estimar a partir de la ecuación (3.4).
𝑥(𝑘 + 1) = [
𝐶𝐴−1
𝐶𝐴−2
⋮𝐶𝐴−𝑛
]
−1
[
𝑦(𝑘)
𝑦(𝑘 − 1)⋮
𝑦(𝑘 − 𝑛 + 1)
]
+[
𝐶𝐴−1
𝐶𝐴−2
⋮
𝐶𝐴−𝑛
]
−1
[
𝐶𝐴−1𝐵 0 ⋯ 0
𝐶𝐴−2𝐵 𝐶𝐴−1𝐵 … 0⋮ ⋮ ⋮
𝐶𝐴−𝑛𝐵 𝐶𝐴−𝑛+1𝐵 ⋯ 𝐶𝐴−1𝐵
] [
𝑢(𝑘)
𝑢(𝑘 − 1)⋮
𝑢(𝑘 − 𝑛 + 1)
] (3.4)
La Ecuación (3.4), permite estimar los estados del modelo del sistema representado
por la ecuación (3.1), mediante valores reales medido en la entrada y salida, que a
diferencia de (3.1), esta no requiere de valores iniciales como la variable x(0), que en
muchos de los casos no son conocidos, por lo tanto la ecuación (3.4), es válida para el
uso de observadores mediante datos recursivos independientes.
3.3 Control por ubicación de polos
El diseño de controladores por ubicación de polos, se basa en asignar los polos del
sistema en lazo cerrado, en cualquier lugar de estabilización dentro del círculo unitario
del lugar geométrico de raíces, mediante la realimentación del estado a través de una
matriz de realimentación del estado apropiado.
En el caso de un sistema de múltiples entradas y múltiples salida (MIMO), cada uno
de los lazos interactúan entre sí, de tal manera que cada lazo ve al otro como si fuese
una perturbación al sistema, al obtener un control exitoso los resultados obtenidos
tendría robustez en cuanto a perturbación.( Mejía, Bolaños & Correa, 2007).
El diseño por ubicación de polos es una alternativa robusta, que a diferencia de un
controlador PID este puede manipular todos los polos deseados a una ubicación de
43
estabilidad, atenuando las perturbaciones propias y externas del sistema manteniendo
la salida a los niveles definidos según la señal de referencia. (Mejía, Bolaños &
Correa, 2007).
La condición necesaria y suficiente para la ubicación arbitraria de los polos, debe
considerar la ley de control, tal que satisfaga la ecuación (3.1) en donde la señal de
control 𝑢(𝑘) no acotada debe ser igual:
𝑢(𝑘) = −𝐾𝑥(𝑘) (3.5)
Donde K, es la matriz de ganancia de realimentación de estado, entonces el sistema se
convierte en un sistema de control de lazo cerrado, tal como se ve la Figura 3.3 y su
ecuación de estado (3.6).
𝑥(𝑘 + 1) = (𝐴 − 𝐵𝐾)𝑥(𝑘) (3.6)
Figura 3.3: Diagrama de bloques en lazo cerrado expresión (3.6)
Para determinar la matriz de realimentación K, la cual cumpla la condición necesaria y
suficiente para que la ecuación característica en lazo cerrado sea totalmente
controlable a partir de la ubicación de los polos deseados de la ecuación característica
A-BK en 𝑢1, 𝑢2, 𝑢3 …𝑢𝑛 obtenidos en lazo abierto en la ecuación (3.7), estableciendo
la nueva ley de control 𝑢(𝑘) = −𝐾𝑥(𝑘)
|𝑧𝐼 − 𝐴| = 𝑧𝑛 + 𝑎1𝑧𝑛−1 + 𝑎𝑛𝑧𝑛−2 + ⋯…+ 𝑎𝑛−1𝑧 + 𝑎𝑛 = 0 (3.7)
Los polos encontrados en lazo abierto, deben trasladarse a unos nuevos polos en las
posiciones deseadas y que establezcan una estabilidad del sistema, por lo tanto se
definen a través de la matriz de transformación (T), por medio del vector de
controlabilidad (M) (3.8).
𝑇 = 𝑀𝑊
𝑀 = [𝐵 ⋮ 𝐴𝐵 ⋮ ⋯ ⋮ 𝐴𝑛−1𝐵] (3.8)
z-1
y(k) u(k)
B C +
-
x(k) x(k+1)
A
-K
44
La matriz (W), se define como la matriz identidad de coeficientes de la ecuación
característica (3.6).
𝑊 =
[ 𝑎𝑛−1 𝑎𝑛−2 ⋯ 𝑎1 1𝑎𝑛−2 𝑎𝑛−3 ⋯ 1 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 𝑎1 1 ⋯ 0 0 1 0 ⋯ 0 0 ]
(3.9)
La ecuación característica, con los valores deseados está dada por los polos de la
nueva ecuación característica (3.10).
(𝑧 − 𝑢1)(𝑧 − 𝑢2)… … . (𝑧 − 𝑢𝑛) = 𝑧𝑛 + 𝛼1𝑧
𝑛−1 + 𝛼𝑛𝑧𝑛−2 + ⋯… + 𝛼𝑛−1𝑧 + 𝛼𝑛 = 0 (3.10)
A partir de estas ecuaciones de transformación la matriz de ganancia de
realimentación K, se puede calcular a partir de la ecuación (3.11).
𝐾 = [𝛼𝑛 − 𝑎𝑛 ⋮ 𝛼𝑛−1 − 𝑎𝑛−1 ⋮ ⋯ ⋮ 𝛼1 − 𝑎1]𝑇−1 (3.11)
Una vez encontrado los polos del sistema en estado estable, se debe establecer una
señal de control con entrada de referencia 𝑟(𝑘), posibilitando que pueda tener cambios
de referencia, disminuya posibles inestabilidades por las perturbaciones externar y
que el sistema sea completamente controlable. La inestabilidad por perturbaciones
externas crea estados distintos de cero dada la retroalimentación sin referencia.
Entonces la señal de entrada 𝑢(𝑘), se ve modificada según el diagrama de bloque de la
Figura 3.4 representada en la ecuación (3.12).
𝑢(𝑘) = 𝑘𝑜 ∗ 𝑟(𝑘) − 𝑘 ∗ 𝑥(𝑘) (3.12)
Figura 3.4: Diagrama de bloques en lazo cerrado, expresión (3.12)
z-1
y(k) u(k)
B C +
-
x(k) x(k+1)
A
K
- +
r(k)
ko
45
La ganancia de ajuste ko, sirve para ajustar la ganancia en estado permanente del
sistema completo, debido a la realimentación del estado. Sin este ajuste la ecuación
característica del sistema puede modificarse ubicando lo polos en posición inestable.
Para el ajuste se debe analizar el estado permanente del sistema, el cual debe ser
igualado a 1 ante una entrada escalón unitario; es decir 𝑦(∞) = 1. El diagrama de
bloques mostrado en la figura 3.4 se representa en (3.13).
𝑥(𝑘 + 1) = (𝐴 − 𝐵𝐾)𝑥(𝑘) + 𝐵𝑘𝑜𝑟(𝑘) (3.13)
𝑥(𝑘 + 1) = 𝑥(𝑘) + 𝑟(𝑘)
= (𝐴 − 𝐵𝐾)
= 𝐵𝑘𝑜
La ganancia ko, se puede encontrar calculando la función de transferencia del sistema
en el plano z, mediante la función de transferencia pulso de la ecuación (3.14).
𝑌(𝑧)
𝑅(𝑧)= 𝐺(𝑧) = 𝐶(𝑧𝐼 − )−1 (3.14)
A partir del teorema del valor final, se establece el valor en estado permanente del
sistema, calculando el límite de la ecuación (3.14) en (3.15).
lim𝑘→∞
𝑦(𝑘) = lim𝑧→1
[(1 − 𝑧−1)𝑌(𝑧)] = 1 (3.15)
3.4 Aplicación del controlador del filtro activo de estudio
Para definir el modelo del controlador del filtro activo de estudio, nos basamos en el
modelo obtenido en la identificación del capítulo 2. El convertidor mostrado en la
Figura 2.13, fue estimada con los siguientes coeficientes, mediante la identificación
por mínimos cuadrados.
𝑁 = [0.5154 0.4841 0.1473 − 0.0334 − 0.1033 − 0.0107]
A partir de estos coeficientes, se define la ecuación en diferencias dado las dos
entradas y la salida del modelo (ARX) de la ecuación (2.30) obteniendo (3.16):
𝑖𝑘 = 0.5154 𝑖𝑘−1 + 0.4841 𝑖𝑘−2 + 0.1473𝑣𝑙𝑘−1 − 0.0334𝑣𝑙𝑘−2 − 0.1033𝑣𝑐𝑘−1 − 0.0107𝑣𝑐𝑘−2 (3.16)
La identificación del sistema (3.16), permite establecer el controlador a implementar,
en el caso del filtro activo analizaremos dos tipos de controladores: controlador
mediante el modelo y por ubicación de polos.
46
3.4.1 Controlador por modelo de referencia
El modelo del controlador por modelo de referencia es diseñado mediante el modelo
identificado en (3.16), el cual debe estimar el valor próximo de 𝑣𝑐𝑘, de tal forma que
la ley de control se calcula mediante la diferencia del valor estimado de 𝑖𝑘 y el modelo
obtenido. A continuación presentamos la ley de control utilizando el modelo de
referencia.
𝑖𝑘 = 𝑖𝑟𝑒𝑓
𝑣𝑐𝑘 = 9.6805 𝑖𝑟𝑒𝑓 − 4.9889 𝑖𝑘−1 − 4.6863 𝑖𝑘−2 − 1.4263𝑣𝑙𝑘−1 + 0.3242𝑣𝑙𝑘−2 + 0.1035𝑣𝑐𝑘−2
Esta ley de control es implementada en simulación mostrada en la Figura 3.10, para
analizar la respuesta del sistema. La Figura 3.5 muestra la respuesta del filtro activo
aplicando la señal de control 𝑣𝑐𝑘 a través del acople LCL, en donde la respuesta de
corriente real 𝑖𝑘 sigue la corriente de referencia 𝑖𝑟𝑒𝑓. La respuesta muestra un retraso
k-1 entre la referencia y la repuesta de corriente dado que el modelo se aplica para la
muestra siguiente del voltaje del convertidor 𝑣𝑐𝑘.
Figura 3.5: Señal de corriente por modelo de referencia sin carga inductiva
La Figura 3.6, muestra la respuesta de corriente del filtro activo, aplicando una carga
no lineal a partir de los 32ms, en este caso la señal de corriente del filtro LCL 𝑖𝑒𝑠𝑡
(3.17), se calcula mediante la sumatoria de corrientes del nodo entre la carga y el
filtro. La respuesta en los primeros 32ms, es la respuesta sin carga en donde la
corriente 𝑖𝑒𝑠𝑡 = 𝑖𝑘. Es importante indicar que al aplicar la simulación utilizando el
convertidor multinivel la señal de referencia está en fase a la señal de corriente 𝑖𝑘.
𝑖𝑒𝑠𝑡 = 𝑖𝑘 − 𝑖𝑁𝐿 (3.17)
𝑖𝑘 = 𝑖𝑟𝑒𝑓
47
Figura 3.6: Señal de corriente por modelo de referencia con carga no lineal
Para observar la eficiencia del controlador, se aplicó una señal 𝑖𝑟𝑒𝑓 con amplitud
menor a la corriente en la carga 𝑖𝑁𝐿, donde la señal 𝑖𝑘 de la Figura 3.7 mantiene su
amplitud y frecuencia, además podemos indicar que la señal de 𝑖𝑒𝑠𝑡 difiere de la señal
de referencia 𝑖𝑟𝑒𝑓. Este error se debe o a que el modelo obtenido mediante
identificación no es exacto, ya que el sistema ante presencia de cargas no lineales
incorpora nuevos comportamientos.
Figura 3.7: Señal de corriente por modelo de referencia con referencia de 4A
3.4.2 Controlador por ubicación de polos
Para el diseño del controlador por ubicación de polos, se representa la ecuación en
diferencias (3.16) en variable de estado, considerando que la identificación fue
obtenida en un tiempo de muestreo de 100us, se puede obtener su representación en el
plano discreto (z) como sigue:
𝐼(𝑧) = 0.5154 𝑧−1𝐼(𝑧) + 0.4841𝑧−2𝐼(𝑧) + 0.1473𝑧−1𝑉𝑙(𝑧) − 0.0334𝑧−2𝑉𝑙(𝑧) − 0.1033𝑧−1𝑉𝑐(𝑧) − 0.0107𝑧−2𝑉𝑐(𝑧)
48
Dado las dos entradas se pueden obtener dos funciones de transferencia. El resultado
de la salida del sistema es igual a la suma de las dos funciones, tal como se muestra en
la Figura 3.8.
𝐺(𝑧) =𝐼(𝑧)
𝑉𝑙(𝑧)=
0.1473𝑧−1 − 0.0334𝑧−2
1 − 0.5154 𝑧−1 − 0.4841𝑧−2
𝐻(𝑧) =𝐼(𝑧)
𝑉𝑐(𝑧)=
−0.1033𝑧−1 − 0.0107𝑧−2
1 − 0.5154 𝑧−1 − 0.4841𝑧−2
Figura 3.8: Diagrama de una fase en representación ARX
El sistema de la Figura 3.8, se puede representar en variables de estado tal como la
ecuación (3.1).
𝑖𝑥(𝑘 + 1) = [0 0.48411 0.5154
] 𝑖𝑥(𝑘) + [−0.067 −0.0210.29 −0.20
] 𝑢(𝑘)
𝑖(𝑘) = [0 0.5]𝑖𝑥(𝑘) Donde:
𝑢(𝑘) = [𝑣𝑙𝑘𝑣𝑐𝑘
]
Para analizar si el sistema es controlable y observable debemos analizar el rango de la
ecuación (3.2) y de la matriz (3.3), de las cuales el rango debe ser igual a 2, ya que el
sistema contiene dos variables regresivas.
𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜[𝐵 ⋮ 𝐴𝐵]
𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜 [−0.0670 −0.0214 0.1427 −0.1000 0.2947 −0.2066 0.0849 −0.1279
] = 2
𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜 [𝐶
𝐶𝐴−1] = 𝑛
𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜 [0 0.5000
0.5000 0.2577] = 2
H(z)
𝐺(𝑧)
𝑖𝑘 𝑣𝑙𝑘
𝑣𝑐𝑘
49
De este análisis podemos deducir que el sistema es controlable y observable por lo
tanto podemos incluir un observador tal como describe la ecuación (3.4).
𝑖𝑥(𝑘 + 1) = [𝐶𝐴−1
𝐶𝐴−2]−1
[𝑦(𝑘)
𝑦(𝑘 − 1)] + [𝐶𝐴−1
𝐶𝐴−2]−1
[ 𝐶𝐴−1𝐵 0𝐶𝐴−2𝐵 𝐶𝐴−1𝐵
] [𝑢(𝑘)
𝑢(𝑘 − 1)]
𝑖𝑥(𝑘 + 1)
= [1.0327 0
−1.0994 1.0327]−1
[𝑖(𝑘)
𝑖(𝑘 − 1)]
+ [1.0327 0
−1.0994 1.0327]−1
[−0.0692 − 0.0221 0 0
0.3780 − 0.1899 − 0.0692 − 0.0221] [
𝑢(𝑘)
𝑢(𝑘 − 1)]
El sistema de control a implementar por reubicación de polos, se muestra en la Figura
3.4. Dado que existen dos entradas: una de la fuente senoidal vl(k) y otro del
convertidor vc(k), el sistema se rediseña como muestra la Figura 3.9. La señal u(k), es
la señal de control que proviene del error entre la referencia y la salida, y es el voltaje
a inyectar por el convertidor vc(k).
Figura 3.9: Sistema de Control con realimentación a la u(k)
La ley de control en lazo cerrado, es igual a 𝑢(𝑘) = −𝐾𝑖𝑥(𝑘) (3.5), por lo tanto
definiremos la matriz de realimentación K, para estabilizar el sistema, calculando los
polos de la ecuación característica (3.7).
|𝑧𝐼 − 𝐴| = 𝑧𝑛 + 𝑎1𝑧
𝑛−1 + 𝑎𝑛𝑧𝑛−2 + ⋯…+ 𝑎𝑛−1𝑧 + 𝑎𝑛
|𝑧𝐼 − 𝐴| = 𝑧2 − 0.5154𝑧1 − 0.4843
A partir de la matriz de transformación T, la de controlabilidad M y W, se calcula los
polos del sistema conforme a la ecuación (3.8) y (3.9) respectivamente, con respecto a
la entrada de control vc(k):
ix(k) vc(k)
G(z) +
+
ir(k)
+
H(z)
vl(k)
ko -
K
50
𝑀 = [𝐵 ⋮ 𝐴𝐵]
M=[−0.0214 −0.1000−0.2066 −0.1279
]
𝑊 = [𝑎1 1
1 0]
𝑊 = [−0.5154 1
1 0]
𝑇 = [−0.0214 −0.1000−0.2066 −0.1279
] [−0.5154 1
1 0]
𝑇 = [−0.0890 −0.0214−0.0214 −0.2066
]
Para encontrar la matriz k, se aplica la ecuación (3.11). Los nuevos polos se ubicaran
en el origen tal, que exista oscilaciones muertas en el sistema, donde z=0 y 𝛼𝑛 = 0,
entonces obtenemos K:
𝐾 = [0 − 𝑎2 ⋮ 0 − 𝑎1]𝑇−1
𝐾 = [0.4843 0.5154] [−0.0890 −0.0214−0.0214 −0.2066
]
𝐾 = [−4.9631 − 1.9806] El valor de la ganancia ajustable, se puede calcular según (3.14) y permite acoplar al
modelo de dos entradas como muestra en (3.18).
𝐼(𝑧) = 𝐺(𝑧) = 𝐶(𝑧𝐼 − )−1
IR(z) + 𝐶(𝑧𝐼 − 𝐴)−1𝐵𝑚𝑉𝐿(𝑍) (3.18)
𝐼(𝑧) = 𝐺(𝑧) = (0.0002729𝑘𝑜 − 0.1033𝑧 − 0.0107
𝑧2)𝐼R(z)
+ 0.1473𝑧−1 − 0.0334𝑧−2
1 − 0.5154 𝑧−1 − 0.4841𝑧−2 VL(𝑍)
lim𝑘→∞
𝑖(𝑘) = lim𝑧→1
[(1 − 𝑧−1)𝐼(𝑧)] = 1
lim𝑧→1
[(1 − 𝑧−1)𝐼(𝑧)] = −0.1140𝑘𝑜𝐼R(z) + 276.7621 VL(𝑍)
𝑘𝑜 = −8.7710
Las entradas de IR(z) y VL(z), son entradas de escalón unitario, por lo tanto en la ley
de control se debe considerar a VL(z), con una amplitud de 1, para que el sistema sea
ajustable a la referencia, de tal manera que la nueva ley de control se implementará
51
con el valor de u(k), de la ecuación (3.19). Además se debe considerar que el valor en
estado estable para VL(z), con escala unitaria, ya incluye el valor de la referencia, por
lo tanto se debe restar el efecto de la referencia y el efecto del vector de salida C=[0
0.5], obteniendo el factor de km (3.20):
𝑣𝑐𝑘+1 = (𝑘𝑜 ∗ 𝑟𝑒𝑓 + 𝑘𝑚 ∗ 𝑣𝑙𝑘) − 𝐾 ∗ 𝑖𝑥(𝑘) (3.19)
𝑘𝑚 = 0.5(276.7621 − (−8.771)) = 142.7666 (3.20)
A partir de (3.19), se calcula la ley de control (3.21), a implementar en el controlador
del sistema.
𝑣𝑐𝑘+1 = (−8.771 ∗ 𝑟𝑒𝑓 + 142.7666 ∗ 𝑣𝑙𝑘) − 𝐾 ∗ 𝑖𝑥(𝑘) (3.21)
En la Figura 3.10, muestra la implementación del sistema de control por ubicación de
polos del convertidor analizada desde una fase. La cual incluye, la ley de control
encontrada en la ecuación (3.21), la misma que está encargada de calcular el valor
medio de la señal del convertidor vc(k+1), activada por los IGBT´s, conforme a la
tabla 1.2 y la señal de PWM en el convertidor 4 para compensar el valor para ajustar la
señal vc(k).
Figura 3.10: Simulación del convertidor con realimentación a la entrada u(k)
Aplicando la ley de control se obtuvo la señal de salida de corriente y se comparó con
la señal estimada y la señal de referencia. En la Figura 3.11, (a) se puede observar las
señales de salida, notando que existe un seguimiento con un pequeño retraso de una
muestra, este error es producto de simulación ya que esta prueba es obtenida emulando
el convertidor con una fuente DC. En la Figura 3.11 (b) indica la señal de seguimiento
𝑉𝑐
𝑖𝑒𝑠𝑡
𝑖𝑘
𝑖𝑁𝐿 𝑉𝑙
52
de la corriente aplicado con el convertidor, dado que la conmutación es igual a la tasa
de muestreo, la señal de salida y de control se ajusta con mayor exactitud. En esta
gráfica también se adiciona una perturbación al sistema observando que la señal de
salida tiende a estabilizarse; probando que la técnica de control se ajusta a la ley de
control propuesta y que el sistema responde con oscilaciones muertas. Por último la
Figura 3.11 (c), muestra el controlador aplicado con carga no lineal, la cual es
implementada utilizando las corrientes del convertidor (3.17).
(a) Señal de salida, referencia y estimada del modelo sin convertidor
(b) Señal de salida, referencia y estimada del modelo con convertidor y perturbación
(c) Señal de corriente aplicado a cargas no lineales.
Figura 3.11: Respuesta de Corriente del sistema
53
CAPÍTULO 4
4 IMPLEMENTACIÓN Y ANÁLISIS DE
RESULTADOS
4.1 Implementación del algoritmo de control
La implementación del control para el filtro activo de potencia, se realizó aplicando
pruebas de los diferentes modelos validados en simulación. El modelo seleccionado,
es codificado e implementado en la tarjeta de control del convertidor, para analizar el
resultado y comportamiento del filtro.
Las fases realizadas para la implementación consisten en: identificación del sistema;
validación del modelo según la Figura 2.5 e implementación del sistema embebido. A
continuación se enumeran cada uno de los pasos realizados para la implementación.
1. Identificación del modelo mediante simulación
2. Validación del modelo
3. Pruebas de la ley de control en simulación
4. Codificación del algoritmo de control
5. Pruebas de implementación de diferentes modelos
6. Implementación de identificación recursiva para definir el modelo real del sis-
tema
7. Adaptación de los coeficientes
8. Análisis de eficiencia del controlador
La implementación del algoritmo de los puntos 4 a 6, se realiza utilizando el procesa-
dor ADSP-21369 del fabricante Analog Devices. La tarjeta es la encargada de realizar
las operaciones de control para el convertidor multinivel, descrito en el punto 1.5.1.
El algoritmo a implementar es codificado mediante la plataforma VisualDSP++ que
utiliza lenguaje C y permite realizar la compilación del código y la posterior progra-
mación de la tarjeta, recuperando los datos adquiridos luego de cada prueba experi-
mental.
54
4.2 Pruebas de implementación
Para la implementación, se realizaron diferentes pruebas para analizar los modelos
obtenidos en simulación y mejorar el controlador a implementar. A continuación se
describe cada una de las pruebas y el análisis realizado a los datos obtenidos:
Prueba del Convertidor: antes de implementar el controlador se comprobó el
funcionamiento del control de tensión, aplicado a la conmutación de cada cel-
da y la generación de la señal del PWM, para generar los diferentes niveles de
tensión. Esta prueba se implemento operando el sistema como inversor, con
carga resistiva para definir el correcto funcionamiento de todo el sistema, la
topología utilizada se muestra en la Figura 3.10.
En la Figura 4.1, muestra las conmutaciones realizadas por cada nivel del
convertidor, generando señales PWM en cada escalón.
Figura 4.1 Tensión conmutada del convertidor
En la Figura 4.2, se visualiza el análisis de la señal con la tensión sinusoidal entregada
por el convertidor a partir del efecto del filtrado de la red LCL de las conmutaciones
de la Figura 4.1, la cual presenta una distorsión armónica (THD) del 4.98% según el
análisis FFT (Transformada rápida de Fourier).
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05-300
-200
-100
0
100
200
300
Tiempo(sg)
Voltaje
(v)
55
Figura 4.2 Tensión media del convertidor y análisis THD
Implementación del sistema de control: El sistema de control se aplicó con-
forme a la ecuación (3.16), para calcular la tensión de control del convertidor,
utilizando el modelo obtenido en (3.4). En la Figura 4.3, se muestran: la ten-
sión de línea y la tensión del convertidor, donde se observa que la tensión del
convertidor es mayor con respecto a la tensión de línea para compensar y rea-
lizar el seguimiento de la corriente.
56
Figura 4.3: Tensión de línea vs Tensión del Convertidor
Además de las mediciones de tensión de línea realizadas con la tarjeta de
sensores del sistema experimental, se utilizó el equipo Fluke 1735 Three-
Phase Power Quality Logger, para obtener la THD de la tensión de línea. La
Figura 4.4 muestra la pantalla obtenida, donde se observa una THD de 7.0%.
Este nivel de distorsión está por encima de lo típicamente observado en
instalaciones industriales, donde no se esperan THD de tensiones mayores a 2-
3%.
Figura 4.4: Medición de la señal de armónico de la Tensión de línea
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
Tiempo(sg)
Voltaje
(V)
VLinea
Vconvertidor
57
Las pruebas desarrolladas al filtro activo, se obtuvieron aplicando diferentes
señales de referencia mostrados en la Figura 4.5 y dos tipos de modelos
donde; a) es la señal de referencia aplicando un filtro, para suavizar el
arranque del algoritmo; b) es la señal de referencia obtenida mediante escala
directa de la señal de tensión de línea; y c) es la señal de referencia sinusoidal
pura, obtenida con un PLL sincronizado con los cruces por cero de la tensión
de línea.
Figura 4.5 Señales de referencia aplicada a cada prueba
Los modelos de prueba para la implementación, son obtenidos en simulación y
se muestra en la tabla 4.1, con un valor de estimación del 73% y 83%
respectivamente:
Modelo 𝑖(𝑘) 𝑖(𝑘 − 1) 𝑣𝑙(𝑘) 𝑣𝑙(𝑘 − 1) 𝑣𝑐(𝑘) 𝑣𝑐(𝑘 − 1)
𝜃 M1 73%: 0.7267 0.1855 0.07503 0.04911 -0.08481 -0.02811
𝜃 M2 83%: 0.8188 0,1775 -0,2411 0.3590 -0.07435 -0.03182
Tabla 4.1: Coeficientes de los modelos de implementación
En la Figura 4.6, se observa la respuesta de las señales de corriente, aplicando las
señales de referencia mostradas en la Figura 4.5 donde: a) es la señal de corriente de
línea con referencia suavizada; b) es la corrientes de línea obtenida mediante la señal a
escala de la tensión de línea; c) es la corriente de línea aplicando la tensión de control
a partir del modelo 1, utilizando señal de referencia sinusoidal pura; y d) es la
corriente de línea, aplicando el modelo 2 utilizando señal sinusoidal pura.
0 0.02 0.04 0.06 0.08-10
0
10
Tiempo(sg)
Corr
iente
(A)
a)señal de referencia suavizada
0 0.02 0.04 0.06 0.08-10
-5
0
5
10
Tiempo(sg)
Corr
iente
(A)
b) señal de referencia escalada de la tensión de linea
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08-5
0
5
Tiempo(sg)
Corr
iente
(A)
c) señal de referencia utilizando la Función senoidal
58
Figura 4.6 Respuestas de corriente del filtro activo
En las gráficas de la Figura 4.6, muestra que el seguimiento de la referencia de
corriente no es el óptimo, dado que se están usando parámetros obtenidos en
simulación para el control del sistema real. Para disminuir el error de seguimiento se
requiere de adaptar los parámetros directamente sobre el sistema experimental. Sin
embargo los parámetros obtenidos en simulación son suficientemente buenos para
permitir controlar al sistema.
Implementación del algoritmo de control aplicando método recursivo
El método recursivo parte de los parámetros obtenidos en simulación, aplicando un
factor de corrección para tratar de ajustarse al modelo real. Como se muestra en la
ecuación (4.1), el factor de corrección será proporcional a la diferencia entre la salida
real de la planta y un modelo de referencia propuesto. La Figura 4.7 detalla el esquema
a utilizar.
𝜃𝑁+1 = 𝜃𝑁 + 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 (4.1)
Figura 4.7: Diagrama de bloques del modelo de identificación recursiva
0 0.02 0.04 0.06 0.08-10
0
10
Tiempo(sg)
Corr
iente
(A)
a) Corriente de línea con referencia suavizada
0 0.02 0.04 0.06 0.08-10
0
10
Tiempo(sg)
Corr
iente
(A)
b) Corriente de línea con referencia a escal de la tensión de linea
0 0.02 0.04 0.06 0.08-10
-5
0
5
10
Tiempo(sg)
Corr
iente
(A)
c) Corriente de línea con referencia sintetica modelo 1
0 0.02 0.04 0.06 0.08-10
-5
0
5
10
Tiempo(sg)
Corr
iente
(A)
d) Corriente de línea con referencia sintetica modelo 2
ILinea
IReferencia
Modelo de referencia
𝑧−1
Controlador Adaptativo Planta
i_ref
i_1
Método de Identificación recursiva 𝜃𝑁
+ - i_est
Vc_k
𝑒k
59
Considerando, que el sistema no estima eficientemente debido a diversas condiciones
externas, el modelo debe irse actualizando, utilizando una ponderación de las medidas
reales obtenidas en línea del sistema, (Rodríguez & López, 1996).
El método de adaptación es planteada en algunas bibliografías entre ellas las de
Franklin y Powell (1980), presentando la siguiente solución:
1. Seleccionar los valores iniciales del modelo2 𝜃𝑘 y matriz de covarianza 𝑃(𝑘)3.
2. Obtener los nuevos valores de 𝑦(𝑘 + 1), 𝑚(𝑘 + 1), 𝑢(𝑘 + 1) 4 y armar el
vector 𝑘+1.
3. Calcular el error residual:
𝑒𝑘+1 = 𝑦𝑘+1 − 𝑘+1𝑇 𝜃𝑘 (4.2)
4. Obtener el valor de la matriz de ajuste 𝐿𝑘+1:
𝐿𝑘+1 =𝑃𝑘𝑘+1
1+ 𝑘+1𝑇 𝑃𝑘𝑘+1
(4.3)
5. Calcular los nuevos parámetros del modelo
𝜃𝑘+1 = 𝜃𝑘 + 𝐿𝑘+1𝑒𝑘+1 (4.4)
6. Actualizar la matriz de covarianza
𝑃𝑘+1 = (𝐼 − 𝐿𝑘+1 𝑘+1𝑇 ) 𝑃𝑘
7. Aumentar el valor de iteración 𝑘 = 𝑘 + 1 y volver al paso 2.
En la Tabla 4.1, se pueden comparar los parámetros obtenidos en la simulación con
aquellos ajustados experimentalmente.
Modelo 𝑖(𝑘) 𝑖(𝑘 − 1) 𝑣𝑙(𝑘) 𝑣𝑙(𝑘 − 1) 𝑣𝑐(𝑘) 𝑣𝑐(𝑘 − 1)
𝜃 Simulado: 0.7267 0.1855 0.07503 0.04911 -0.08481 -0.02811
𝜃 Adaptado: 0.8415 0.07603 0.2399 -0.1389 -0.07108 -0.0205
Tabla 4.2: Coeficientes del modelo obtenido en simulación y adaptación
2 Los valores de 𝜃𝑁, son obtenidos inicialmente por simulación a partir del modelo presentado en el capítulo 2. 3 La matriz de covarianza 𝑃(𝑘): indican la dirección del gradiente de la función de mínimos cuadrados y el paso de
corrección. 4 𝑦(𝑘 + 1) = 𝑖𝑘, 𝑚(𝑘 + 1) = 𝑣𝑙, 𝑢(𝑘 + 1) = 𝑣𝑐, ver capítulo 3
60
Conforme se evidencia en la tabla 4.1, existe una adaptación en los coeficientes,
determinando un cambio de signo en la variable vl(𝑘 − 1).
En base a los resultados obtenidos el nuevo modelo del sistema es:
𝑣𝑐𝑘 = −14.0671 𝑖𝑟𝑒𝑓 + 11.8387 𝑖𝑘−1 + 1.0696𝑖𝑘−2 + 3.3756 𝑣𝑙𝑘−1 − 1.9548 𝑣𝑙𝑘−2 − 0.2898 𝑣𝑐𝑘−1
Con este nuevo modelo se aplica la correspondiente ley de control, obteniendo el
resultado para la señal de corriente mostrado en la Figura 4.8.
Figura 4.8: Gráfica de la señal de corriente obtenida con los párametros adaptados(medida vs
referencia)
El factor del THD de la señal de la Figura 4.8, es del 5.21%, Presentando una mejora
respecto a los valores de THD obtenidos con los parámetros provenientes de la
simulación.
Implementación del algoritmo de control compensando armónicos debidos a
cargas no lineales
Para probar la operación del sistema empleado como filtro activo de potencia, se
utilizó como carga no lineal un rectificador no controlado de media onda con una
resistencia de 100Ω. Este tipo de carga es una de las más contaminantes encontradas
en ambientes industriales: tal como lo demuestra la corriente graficada en la Fig. 4.9
(b) la cual presenta una THD de 37%. Aplicando el filtro activo de potencia en
paralelo, utilizando el esquema de conexión mostrado en la Fig. 3.10, la corriente de
línea resultante se muestra en la Fig. 4.9 (d). La THD para este caso resulta de 7.6%.
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08-6
-4
-2
0
2
4
6
Tiempo(sg)
Corr
iente
(A)
Señal de Corriente
ILinea
IReferencia
61
La Figura 4.9, muestra: a) La respuesta de la corriente de la línea y la corriente del
filtro, b) La señal de corriente no lineal del sistema, c) Las señales de referencia
aplicada a la corriente de línea y la corriente del filtro y d) La comparación de las
señales de línea con su respectiva referencia.
Figura 4.9: Señal de corriente aplicando el controlador adaptativo
La Figura 4.10, muestra la respuesta de corriente de línea, al arrancar el filtro activo en
aproximadamente t=58ms. La corriente de línea pasa de un THD de 37% a uno de
7.6% en menos de un período de línea.
Figura 4.10: Señal de corriente de línea
0 0.02 0.04 0.06 0.08-10
-5
0
5
10
Tiempo(sg)
Corr
iente
(A)
a) Señal de corriente de Linea vs Filtro
0 0.02 0.04 0.06 0.08-1
0
1
2
Tiempo(sg)
Corr
iente
(A)
b) Señal de Corriente No Lineal
0 0.02 0.04 0.06 0.08-10
-5
0
5
10
Tiempo(sg)
Corr
iente
(A)
c) Señal de referencia Linea vs Filtro
0 0.02 0.04 0.06 0.08-10
-5
0
5
10
Tiempo(sg)
Corr
iente
(A)
d) Señal de corriente de Linea vs Referencia
Filtro
Linea
Filtro
Linea
Linea
Referencia
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
Tiempo(sg)
Corr
iente
(A)
Señal de Corriente de Linea vs Referencia
Linea
referencia
62
4.3 Evaluación de la distorsión armónica total (THD)
Para la evaluación del THD se utilizó el toolkit de Matlab power_fftscope. El análisis
THD es aplicado a las diferentes pruebas de implementación realizadas en el punto
4.2. En la Figura 4.11, muestra el análisis del THD de la respuesta del modelo 2 de la
tabla 4.1, el cual nos da el mejor factor THD de las pruebas desarrolladas:
Figura 4.11: Análisis THD modelo 2
La Figura 4.12 muestra el dato medido del THD utilizando el equipo Fluke 1735
Three-Phase Power Quality Logger, en donde a) indica que la corriente de línea
obtenida para el sistema con carga no lineal y sin la acción compensadora del filtro
activo posee un THD de 37%, y b) la medida del THD aplicando el filtro en donde se
obtiene un valor de 7,6% de THD, valor que es menor al permitido por la regulación
del CONELEC5 y considerando que el THD de la tensión de línea es del 7%, lo cual,
como se ha comentado, es una condición más desfavorable que las típicamente
encontradas en instalaciones industriales o domésticas..
5 REGULACION No. CONELEC – 004/01
63
a) Medición del THD de la carga no lineal
b) Medición del THD de la carga no lineal
Figura 4.12: Mediciones de la distorsión armónica total aplicando el filtro activo de potencia
En la Tabla 4.1, se resumen los valores del THD para las señales de corriente de línea
en las pruebas realizadas con el algoritmo de control implementado:
64
Respuesta de Corriente THD
Señal aplicada con referencia
suavizada al arranque del sistema 9.62%
Señal aplicada con referencia a
escala de la tensión de línea 18.05%
Señal aplicada con referencia
utilizando Modelo 1 14.47%
Señal aplicada con referencia
utilizando Modelo 2 6.34%
Señal utilizando método de
adaptación 5,21%
Tabla 4.3 Factores de THD de las pruebas de implementación
4.4 Evaluación de la eficiencia del método de identificación
Para analizar la eficiencia del método de identificación, se utiliza la expresión (2.27),
la cual indica el porcentaje de correlación del valor de la señal real respecto al valor
estimado. Aplicando esta expresión al modelo identificado en simulación, da como
resultado una estimación del 87.47%, como muestra la Figura 2.13. Con este modelo
identificado se desarrollarón pruebas de implementación, obteniendo una estimación
del 68.67% con un THD del 14.47%.
Para disminuir el THD y aumentar el desempeño del filtro activo, se realiza una
adaptación en línea del modelo de forma recursiva, en donde se obtuvo una estimación
del 88.54%, con respecto al valor estimado; y un 86.58% con respecto al valor de
referencia. En la Tabla 4.2, indica el desempeño del método de identificación:
Respuesta de Corriente Estimación THD
Señal aplicada con
referencia utilizando
Modelo 1
68.67% 14.47%.
Señal utilizando método
de adaptación recursiva
88.54% 7,46%
Señal utilizando método
de adaptación con modelo
de referencia
86.58% 7.6%
Tabla 4.4: Análisis del valor de estimación
65
4.5 Análisis de Resultados
El modelo identificado mediante simulación, permitió establecer una ley de control, la
cual obtuvo una estimación del 68.67% y un THD de 14.47% de la señal de corriente.
Para disminuir este efecto fue importante establecer una adaptación del modelo,
utilizando técnicas de adaptación en línea, aumentando la estimación a 88,54% y
disminuyendo el THD a 7,46%.
Con el modelo obtenido en línea, se realizaron pruebas para analizar el
comportamiento del filtro activo, aplicando cargas no lineales con un THD del 37%,
ver Figura 4.12 (a), este valor es filtrado y disminuido a 7,6% en la corriente de línea.
En la Figura 4.9 (a), se observa como la corriente del filtro compensa la corriente
debido a la carga no lineal, efectuando el filtrado de los armónicos correspondientes.
66
67
CAPITULO 5
5 CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
Al finalizar este trabajo investigativo es importante indicar que el uso de métodos de
identificación para convertidores electrónicos de potencia acoplados a la línea
mediante filtros LCL, es aplicable para implementar diferentes técnicas de control, a
partir de un modelo matemático que estime y calcule las tensiones del convertidor
aplicado al filtro.
El control de la corriente de línea, permite obtener un mejor factor de potencia y
disminuye el valor de distorsión armónica total (THD), conforme se incorporan
cargas lineales y no lineales en el sistema El método utilizado también evita el uso de
la función de transferencia explícita del convertidor acoplado mediante el filtro LCL,
ahorrando también tener que conocer de manera exacta el valor de la capacitancia e
inductancias utilizadas.
El método de identificación por mínimos cuadrados es un buen estimador para
sistemas lineales, el cual aplicado en simulación obtiene un factor de estimación del
87.47%, dado que es un sistema multivariable, este modelo obtenido en simulación es
implementado en el controlador obteniendo un 68,67% de estimación y un THD del
14,47%. Para mejorar el factor de estimación se implementa un método de
identificación en línea, el cual adapta los coeficientes del modelo a un modelo real
obteniendo una estimación del 88,54% y un THD de 7,46%. Los resultados obtenidos
en simulación han sido reportados en el artículo: “Sistemas de identificación para
filtros activos de potencia” presentado en el congreso de Ingeniería de la Universidad
de Cuenca por los 75 años de la Facultad de Ingeniería, obteniendo la mención al
mejor artículo científico en la categoría de Ingeniería Electrónica y publicado en la
revista indexada “Maskana”.
El proceso desarrollado para la adaptación de los coeficientes del modelo, consistió en
obtener un modelo en simulación, el cual obtenga un modelo multivariable que
incluya una señal de salida con los datos recursivos de la corriente 𝑖𝑘 y las señales de
entrada con los datos recursivos de tensión de línea 𝑣𝑙𝑘, y los de tensión del
convertidor 𝑣𝑐𝑘. Con este modelo se desarrollaron pruebas experimentales en el
filtro activo, obteniendo una corriente con una THD del 14.47% , para mejorar la
respuesta de las señales de corriente se realizó un proceso de adaptación en línea, el
cual mejoró la respuesta en corriente dando como resultado una THD hasta del 5,26%.
Los resultados obtenidos son suficientemente generales para poder ser aplicados a
otros esquemas de control que involucren convertidores electrónicos de potencia
acoplados a la red. Futuras ampliaciones del presente trabajo incluirán su aplicación en
68
esquemas de control directo de potencia (DPC) y el funcionamiento ante presencia de
fallas en alguno de los semiconductores. El método de identificación recursiva en línea
se adaptó en un determinado tiempo de identificación, para que no exista
sobrecompensación en el sistema y pueda ser analizada en futuros proyectos.
69
ANEXO
70
Sistema de Identificación para
Filtros Activos de Potencia
Felipe Peña1, Julio Viola1,2, José Restrepo1,2,3
1Grupo de Investigación en Energía-Universidad Politécnica Salesiana
Cuenca, Ecuador 2Proyecto Prometeo – SENESCYT
Ecuador 3Universidad Simón Bolívar
Caracas, Venezuela
Corresponding author: sfelipepr@gmail.com, jcviola, restrepo@ieee.org
Fecha de recepción: Septiembre 21, 2014.
Fecha de aceptación: Octubre 20, 2014.
ABSTRACT
This paper is a study of an identification system, applied to active power filters, using
multilevel converters. The identification system was implemented by simulation,
utilizing the least squares method. The identification algorithm allowed for getting the
coefficients of the model of the interface circuit between the network and the
converter to represent it in differences equation. The identified model will be used to
design different types of digital controllers to be implemented in converters; its
purpose is to reduce the total harmonic distortion of the network and the power factor
correction. This work includes a comparative analysis of the identification of the
active filter with nonlinear load and LCL filter, represented as a linear model.
Keywords: Least squares identification, multilevel converter, validation, active power
filters.
RESUMEN
El presente artículo es un estudio de un sistema de identificación, aplicado a filtros
activos de potencia, utilizando convertidores multinivel. El sistema de identificación,
fue implementado mediante simulación, utilizando el método por mínimos cuadrados.
La aplicación del algoritmo de identificación, permitió obtener los coeficientes del
modelo del circuito de interconexión entre la red de distribución y el convertidor, para
representarlo en ecuación de diferencias. El modelo identificado, servirá para diseñar
diferentes tipos de controladores digitales para implementar en convertidores, con el
objetivo de disminuir la distorsión armónica total de la red, y la corrección del factor
71
de potencia. El estudio incluye un análisis comparativo de la identificación del filtro
activo con carga no lineal y un filtro tipo LCL, representado como modelo lineal.
Palabras clave: Identificación por mínimos cuadrados, convertidor multinivel,
validación, filtros activos de potencia.
1. INTRODUCCIÓN
El modelado de un sistema de control consiste en representar un modelo físico a través
de ecuaciones algebraicas o diferenciales, denominados modelos determinísticos; sin
embargo, los modelos determinísticos dependen de la dinámica exacta del sistema,
razón por la cual surge la necesidad de representar los modelos paramétricos, en series
sucesivas que observen el comportamiento del sistema ante las variables de entrada y
salida, este tipo de modelos son denominados paramétricos. El uso de modelos
permite utilizar técnicas actuales de control y estabilizar el sistema bajo condiciones
preestablecidas, estimar los posibles estados del sistema, predecir cambios que existan
ante presencia de señales externas y la discretización del modelo (Fortenbacher,
Mathieu y Andersson 2014).
Para determinar el tipo de modelo, se debe analizar si las variables y la dinámica del
sistema pueden representarse de forma paramétrica o determinística. En la mayoría de
los casos los modelos de los sistemas no son exactos, ya que dependen de factores
externos y la complejidad de representarlos matemáticamente, es por ello, la necesidad
de utilizar modelos paramétricos, donde las variables y coeficientes puedan ser
identificadas, utilizando métodos de estimación.
La identificación de los sistemas, puede ser recursiva para actualizar el modelo
conforme existan cambios en el sistema, debido a la dinámica y a factores
desconocidos, como pueden ser: señales externas, cuantización de la señal,
desgastamiento físico, inducción electromagnética, entre otros.
Luego de determinar el modelo, es importante validarlo, comparando los datos
obtenidos del sistema con los datos del modelo, a través de un proceso estocástico.
El proceso de identificación para un filtro activo de potencia consiste en obtener un
modelo que relacione el voltaje de cada fase, voltaje suministrado por el convertidor y
la corriente de línea del sistema. Este proceso permitirá diseñar un algoritmo de
control, capaz de estimar las corrientes, aplicando una referencia en fase a cada línea
del sistema de distribución, para mejorar su factor de potencia y reducir la distorsión
armónica total (THD) (Bueno, Fajardo & Quizhpi 2013).
El método de identificación a implementar es el de mínimos cuadrados, que a
diferencia de otras técnicas de estimación minimiza el error, permite identificar
72
modelos multivariables, no requiere de un proceso de optimización y posibilita estimar
imprecisiones y dinámicas ocultas del sistema (Huerta 2011).
La identificación por mínimos cuadrados, estima coeficientes representados por
modelos autorregresivos con variable exógena (ARX, por sus siglas en ingles). El
modelo ARX relaciona las variables de entrada y salida de un sistema y es
representado por la ecuación de diferencias (1) que incluye secuencia regresiva del
modelo (AR) y una variable de entrada denominada exógena (X).
𝑦𝑘 = 𝑎1 𝑦𝑘−1 + 𝑎2 𝑦𝑘−2 …… .+𝑎 𝑝 𝑦𝑘−𝑝 + 𝑏1𝑢𝑘−1 + 𝑏2𝑢𝑘−2 … .+𝑏𝑚𝑢𝑘−𝑚 + 𝑘 (1)
Donde la variable 𝑢𝑘 es la variable exógena, la variable 𝑘 representa el ruido blanco
o error de la ecuación y 𝑦𝑘 es la variable de salida autorregresiva. El modelo se puede
representar de forma compacta como lo indica (2):
𝑎(𝐵)𝑦𝑘 = 𝑏(𝐵)𝑢𝑘 + 𝜂𝑘 (2)
La representación en diagrama de bloques de (2) se muestra en la Figura 1.
Figura 1. Diagrama de bloques de un modelo ARX.
2. METODO DE IDENTIFICACIÓN
En un sistema de redes eléctricas las cargas que se conectan y desconectan son
desconocidas, esto requiere identificarlas de forma paramétrica, utilizando técnicas de
estimación que permitan identificar un modelo multivariable. La identificación por
mínimos cuadrados, ajusta el modelo mediante los datos obtenidos de la salida real y
la salida estimada, calculando el error mínimo cuadrático de un modelo ARX
(Algreer, Armstrong & Giaouris 2012).
Para determinar los coeficientes del modelo ARX de la ecuación de diferencias (1),
se considera a k como el error de compensación del modelo, reordenando (1)
obtenemos el error en (2).
𝑏
𝑎
1
𝑎
𝜂𝑘 ⋮ 𝑐 ∙ 𝑢𝑘
𝑦𝑘 𝑚𝑘
+
73
𝑦𝑘 − 𝑎1 𝑦𝑘−1 − 𝑎2 𝑦𝑘−2 …− 𝑎𝑛𝑎 𝑦𝑘−𝑛𝑎 − 𝑏1 𝑢𝑘−1−𝑑 − 𝑏2 𝑢𝑘−2−𝑑 … .−𝑏𝑛𝑏 𝑢𝑘−𝑛𝑏−𝑑 = 𝑒[𝑘, 𝜃𝑁] (2)
El número de valores recursivos depende del orden de la ecuación del sistema con el
que se desea trabajar, por lo que k=nm, donde: na y nb es el número de valores
recursivos, 𝑑 es el número de muestras de retraso de la entrada y nm es igual al mayor
de [na, nb+d] (2).
El método permite encontrar los valores de 𝑎𝑖 y 𝑏𝑖, ajustando la relación de entrada
(𝑢𝑘) y salida del sistema (𝑦𝑘), minimizando la suma de los cuadrados de la diferencia
de la salida real y la salida del modelo. Para ello se requieren de arreglos matriciales
que definan la entrada y salida con datos recursivos en función del modelo ARX de la
ecuación (2), resultando así la matriz mostrada en (3):
𝑘𝑇 = [𝑦𝑘−1, 𝑦𝑘−2, … , 𝑦𝑘−𝑛𝑎 , 𝑢𝑘−1−𝑑, 𝑢𝑘−2−𝑑, … , 𝑢𝑘−𝑛𝑏−𝑑] (3)
Además se define una matriz con los coeficientes 𝑎𝑖 y 𝑏𝑖 del modelo planteado
denominado 𝑁 en la ecuación (4).
𝑁 = [𝑎1, 𝑎2, . . . 𝑎𝑛𝑎, 𝑏1, 𝑏2, . . . , 𝑏𝑛𝑏]𝑇 (4)
Expresando las matrices (3) y (4) de la forma (2) se puede simplificar, como se
muestra en (5).
𝑦𝑘 = 𝑘𝑇 𝑁 + 𝑒𝑘 (5)
Para la identificación es importante obtener N muestras de [𝑦𝑘 , 𝑢𝑘], estableciendo una
secuencia de matrices 𝑘𝑇 (6).
𝑦𝑛𝑚 = 𝑛𝑚𝑇 𝑁 + 𝑒𝑛𝑚
𝑦𝑛𝑚+1 = 𝑛𝑚+1𝑇 𝑁 + 𝑒𝑛𝑚+1 (6)
.
.
𝑦𝑘 = 𝑘𝑇 𝑁 + 𝑒𝑘
.
𝑦𝑁 = 𝑁𝑇 𝑁 + 𝑒𝑛
Definiendo así el vector salida 𝑌𝑁, el vector 𝑒𝑁 y los vectores 𝑁, como un conjunto
de datos que se pueden representar de forma vectorial como las ecuaciones en (7).
𝑌𝑁 = [𝑦𝑛𝑚, 𝑦𝑛𝑚+1, . . . 𝑦𝑘 … , 𝑦𝑁] 𝑁 = [𝑛𝑚,𝑛𝑚+1, …𝑘 … ,𝑁] (7)
𝑒𝑁 = [𝑒𝑛𝑚, 𝑒𝑛𝑚+1, … 𝑒𝑘 … , 𝑒𝑁]
74
Representando el grupo de ecuaciones (7) de forma vectorial la ecuación (5) se
obtiene (8).
𝑌𝑁 = 𝑁 𝑁 + 𝑒𝑁 (8)
Para obtener el valor de 𝑁 de (8) se debe minimizar la suma de la secuencia de la
señal cuadrática de error 𝑒𝑘, definiendo así una función de costo 𝐽𝑁 representada en
(9).
𝐽𝑁 = ∑ 𝑒𝑘2 = 𝑒𝑁
𝑇𝑒𝑁𝑁𝑘=𝑛𝑎 (9)
La función de costo 𝐽𝑁 permite minimizar el error, de tal forma que el gradiente de 𝐽𝑁
sea nulo, para obtener los mejores coeficientes del modelo; entonces reemplazando
𝑒𝑁 por la ecuación (8), da como resultado 𝐽𝑁 en (10).
𝐽𝑁 = 𝑒𝑁𝑇𝑒𝑁 = (𝑌𝑁 −𝑁 𝑁)𝑇(𝑌𝑁 −𝑁 𝑁) (10)
Resolviendo (10) se obtiene 𝐽𝑁 en (11).
𝐽𝑁 = 𝑌𝑁𝑇𝑌𝑁 − 2𝑌𝑁
𝑇𝑁 𝑁 +𝑁𝑇 𝑁
𝑇𝑁 𝑁 (11)
Derivando 𝐽𝑁 de (11) e igualando a cero obtenemos la siguiente expresión (12).
𝑑𝐽𝑁
𝑑 𝑁= −2𝑌𝑁
𝑇𝑁 + 2 𝑁𝑇𝑁
𝑇𝑁 = 0 (12)
Despejando (12) se obtiene 𝑁 mediante la expresión (13).
𝑁 = (𝑁𝑇𝑁)
−1𝑁
𝑇𝑌𝑁 (13)
Donde 𝑁 es el vector que contiene los coeficientes del modelo a identificar,
expresado en (2).
3. RESULTADOS Y DISCUSIÓN
La aplicación del método de identificación para el caso del Convertidor multinivel
construido por el grupo de investigación en energía de la Universidad Politécnica
Salesiana (Quizhpi y Viola 2013), se realizó mediante simulaciones, para verificar el
correcto funcionamiento del algoritmo de identificación. En el caso de estudio se
utilizan dos modelos a identificar: primero con carga no lineal con acople inductivo L
y segundo un modelo lineal con acople mediante una red LCL. Para validar el modelo
se emplea la implementación del controlador mediante un modelo de referencia.
75
3.1. Identificación con carga no lineal con acoplamiento inductivo L
La identificación del modelo con carga no lineal y acople inductivo empleada al
convertidor, es aplicada a una fase, como se muestra en la Figura 2. El acople entre la
red y el convertidor utiliza un inductor L=10mH.
Figura 2. Diagrama de una fase con acople mediante inductor L.
El diagrama presentado en la Figura 2, corresponde a una topología multinivel de 4
etapas tipo puente H conectadas en cascada (CHB por sus siglas en inglés), (Quizhpi y
Viola 2013) e incluye una carga no lineal conectada a la red de la fuente AC.
Para aplicar la identificación por mínimos cuadrados debemos representar el sistema
mediante un modelo ARX, considerando los datos de entrada: 𝑚𝑘 (tensión de la red)
y 𝑢𝑘 (tensión del convertidor), y los datos de salida 𝑦𝑘 (corriente de línea); por lo
tanto el modelo ARX debe ser multivariable, como muestra la Figura 1.
La ecuación de diferencias del diagrama de la Figura 1, se puede describir mediante la
ecuación de diferencias (1), el cual al incluir las dos entradas da como resultado (14):
𝑦𝑘 = 𝑎1 𝑦𝑘1 + 𝑎2 𝑦𝑘2 …+ 𝑎𝑝 𝑦𝑘𝑝 + 𝑏1𝑚𝑘1 + 𝑏2𝑚𝑘2 … .+𝑏𝑚𝑢𝑘𝑚 + 𝑐1𝑢𝑘1 + 𝑐2𝑢𝑘2. . +𝑐n𝑢𝑘𝑛 (14)
En esta aplicación se ha utilizado un modelo ARX de segundo orden, que implica
considerar los datos discretos del sistema y dos eventos anteriores consecutivos más
recientes. Este modelo permite obtener una aproximación muy cercana a los datos
reales y disminuir el costo computacional, al no tener muchos datos en memoria. Por
lo tanto (14) se puede reescribir como se muestra en (15).
76
𝑦𝑘 = 𝑎1 𝑦𝑘1 + 𝑎2 𝑦𝑘2 + 𝑏1𝑚𝑘1 + 𝑏2𝑚𝑘2 + 𝑐1𝑢𝑘1 + 𝑐2𝑢𝑘2 (15)
Con el modelo planteado se procede a realizar la identificación utilizando el método
de mínimos cuadrados, por lo que se plantea el vector 𝑁 en la ecuación (16).
𝑁 = [𝑎1, 𝑎2; 𝑏1, 𝑏2; 𝑐1, 𝑐2 ]𝑇 (16)
Para la aplicación del método por mínimos cuadrados, el convertidor debe suministrar
voltajes utilizando señales PRBS (secuencias binarias pseudo aleatorias), (Kubíček y
Kováč 2008), con una frecuencia de muestreo de 10kHz, que es la misma que utiliza el
convertidor para la conmutación. La señal PRBS es generada utilizando 8 bits de
resolución y permite un análisis, en un amplio espectro de frecuencias. En las Figura
3 y 4, se muestra la señal PRBS que aplica el convertidor 𝑢𝑘 y la señal 𝑦𝑘.
Figura 3. Señal de entrada PRBS utilizando modulación para señales sinusoidales
Figura 4. Señal de salida de corriente yk
Los datos obtenidos mediante mediciones representados en la Figura 3 y 4, permiten
armar las matrices 𝑁𝑇 y 𝑌𝑁 representadas en las ecuaciones (7) y (8). Debido a que
la resolución del PRBS es de 8 bits, se considera el número de muestras N=256, ya
que es un valor mínimo que abarca todo el análisis espectral del modelo, en función
del tiempo de muestreo y estabilización (Oroski, Holdorf y Bauchspiessz 2014). La
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
100
Tiempo(sg)
Voltaje
(V)
Señal del Convertidor
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14-2
0
2
4
6
8
10
12
14
16Señal de corriente de linea
Tiempo(sg)
Corr
iente
(A)
77
matriz 𝑘𝑇 (3), son los datos recursivo del modelo multivariable, donde 𝑘 = 𝑛𝑚 + 1
hasta N, definiendo la matriz para el modelo multivariable 𝑘𝑇 (17).
𝑘𝑇 = [𝑦𝑘−1, 𝑦𝑘−2 , 𝑚𝑘−1, 𝑚𝑘−2, 𝑢𝑘−1, 𝑢𝑘−2] (17)
Para calcular los coeficientes 𝑁, aplicamos el algoritmo de identificación por
mínimos cuadrados mediante (13), resultando los siguientes coeficientes (18).
= [0.6887 0.3036 0.0204 − 0.0021 − 0.0177 0.0015 ]𝑇 (18)
Estos coeficientes son validados utilizando la herramienta de identificación de
Matlab, obteniendo el 68.1% de correlación del modelo estimado con respecto al
modelo real, la comparación de la señal estimada con respecto a la real se muestra en
la Figura 5.
Figura 5. Validación del modelo obtenido
El análisis de residuo se muestra en la Figura 6, lo cual indica que se logran identificar
datos con errores muy pequeños alrededor de 10%.
Figura 6. Análisis Residual del modelo ARX
0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1
-4
-2
0
2
4
6
8
yk. (estimada vs real)
Tiempo(sg)
Corr
iente
(A)
vdata; measured
modelo; fit: 68.1%
78
Los resultados obtenidos en el porcentaje de estimación y el de análisis de residuo,
indican que existe una estimación del 68.1%, la correlación mostrados en la Figura 6,
muestra una dependencia de los datos pasados ya que la correlación está en el rango de
-0.1 a 0.1 (Ljung 1999). Dado que existe una dependencia de los datos futuros y un
bajo porcentaje de estimación, este modelo con carga no lineal, puede ser estimado,
utilizando métodos de identificación no lineal como: la técnica de Hammerstein y
Wiener o de un controlador que aproxime de forma más cercana los datos estimados
con respecto a los reales (Biagiola & Figueroa 2009).
3.2. Identificación del modelo lineal con acoplamiento mediante red LCL
El segundo modelo a identificar contiene un filtro LCL, que permitirá el uso de
inductores más pequeños, son de menor costo de construcción y filtra mayor
componentes armónicos; comparado con el de acoplamiento inductivo L. La
identificación se aplica solamente al filtro LCL sin carga, para obtener un modelo
lineal y mejorar la estimación, con respecto a la identificación con cargas no lineales
analizadas anteriormente, de tal forma de discretizar el modelo y en lo posterior
aplicar un controlador digital por modelo de referencia que trabaje de forma lineal a
pesar de que existan cargas no lineales.
El modelo del acople de un filtro LCL mostrado en la Figura 7, indica la conexión de
las dos fuentes de tensión, aumentando su grado de complejidad mediante el uso de
modelos determinísticos, de ahí la importancia de utilizar métodos de identificación.
79
Figura 7. Sistema de Identificación con acople LCL
La Figura 7, muestra el diagrama del filtro activo con acople LCL, en el cual se utiliza
una fuente DC para emular el comportamiento del convertidor, la topología del
convertidor es igual a la utilizada en la Figura 2. Los valores de L1, L2 y C son
0.5mH, 0.7mH y 3uF respectivamente. Para la identificación se utiliza el modelo
ARX, y se consideran los mismos criterios aplicados para la identificación con filtro
inductivo para su parametrización.
Los coeficientes obtenidos luego de aplicar el algoritmo de identificación se muestra
en (18):
= [0.5154 0.4841 0.1473 − 0.0334 − 0.1033 − 0.0107] (18)
Al ser una identificación de un modelo lineal resulta una correlación del 87.47%,
mostrada en la Figura 8. Proporcionando una mejor aproximación del modelo
estimado, con respecto al modelo real y un valor residual muy cercano a cero.
Sistema de Identificacion por minimos cuadrados
Discrete,Ts = 0.0001 s.
powergui
v+-
V_mk
v+-
V_Uk
s- +
VDC
v+-
V2
ident_planta
S-Function1
PRBCIC
Rate Transition
L2
L1
i+-
Ik
[mk]
[uk]
[yk]
[yk]
[uk]
[mk]
[yk]
C
AC
80
Figura 8. Validación del modelo LCL
La validación del modelo por el método residual, mostrada en la Figura 9, indica una
estimación del 100%, entre la señal real y la señal estimada y un dato residual
próximo a 0, posibilitando el uso de los coeficientes obtenidos en (18), para el
diseñó del control por modelo de referencia a implementar.
Figura 9. Análisis residual del modelo LCL
El modelo planteado se ha obtenido mediante un proceso de identificación fuera de
línea, para analizar la eficiencia del algoritmo de identificación. De la misma manera
se plantea un proceso recursivo para obtener los coeficientes mientras transcurra la
simulación y validar el modelo. En la Figura 10, se observa los coeficientes de 𝑁
obtenidos mediante identificación recursiva, los cuales producen mínimos cambios.
Estos cambios son producto de la dinámica del sistema proveniente de las dos
señales de entrada de las fuentes de tensión. El proceso recursivo se ha realizado por
lotes planteando las matrices 𝑘𝑇 y 𝑌𝑁
𝑇, con las últimas muestras actualizadas en cada
periodo de muestreo, calculando 𝜃𝑁 con las matrices recursivas planteadas en la
ecuación (13).
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
yk. (estimada vs real)
Tiempo(sg)
Co
rrie
nte
(A)
vdata; measured
modelo; fit: 87.47%
81
Figura 10. Datos de 𝑵 utilizando método recursivo
3.3. Implementación del sistema de control
La técnica utilizada en el control de corriente, es por modelo de referencia, la cual
requiere el modelo identificado para la estimación de la señal de control (Freijedo, et al.
2009). La prueba del controlador es implementado en el modelo del filtro LCL (18), ya
que este es lineal y tiene una estimación del 87.47%. El modelo debe estimar el valor
próximo que debe suministrar el convertidor (𝑢𝑘), de tal forma que la ley de control
calcule 𝑢𝑘, mediante la diferencia del valor estimado de 𝑦𝑘 y el modelo obtenido. En
(19), se presenta la ley de control, utilizando el modelo de referencia (18) (Viola,
Baethge, Berzoy, Restrepo and Quizhpi 2013).
𝑦𝑘 = 𝑦𝑟𝑒𝑓
𝑢𝑘 = 9.6805 𝑦𝑟𝑒𝑓 − 4.9889 𝑦𝑘−1 − 4.6863 𝑦𝑘−2 − 1.4263𝑚𝑘−1 + 0.3242𝑚𝑘−2 + 0.1035𝑢𝑘−2 (19)
Esta ley de control es implementada en simulación mediante el sistema embebido y el
circuito, representados en el esquema de la Figura 7, incluyendo una carga no lineal
𝑦𝑛𝑙. A partir de la estimación de 𝑢𝑘, se activan los disparos para los IGBT`s del
convertido multinivel (Quizhpi and Viola 2013). La Figura 11, indica la respuesta del
filtro activo, donde la corriente real 𝑦𝑘 es obtenida mediante la estimación de la
corriente de referencia 𝑦𝑟𝑒𝑓.
A partir de los 32ms de simulación se conectan cargas no lineales; en donde la
referencia 𝑦𝑟𝑒𝑓 cambia (20) ya que se adiciona la corriente no lineal, y permita que la
señal 𝑦𝑘 de corriente mantenga la señal en fase y frecuencia igual a la señal de tensión
línea.
𝑦𝑘 = 𝑦𝑟𝑒𝑓 − 𝑦𝑛𝑙 (20)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Nº Muestras
Valo
r de C
oeficie
nte
s
a1
a2
b1
b2
c1
c2
82
Figura 11. Señal de corriente por modelo de referencia sin carga inductiva
Los resultados obtenidos en la identificación, permitieron establecer un modelo para
definir el controlador a implementar en el convertidor, y realizar pruebas de campo
que determinen la eficiencia del filtro activo con respecto al THD y el factor de
potencia. Este estudio, es un aporte para el centro de investigaciones de la Universidad
Politécnica Salesiana sede Cuenca, con el objetivo de desarrollar propuestas, para
mejorar la calidad de distribución de energía eléctrica. En la actualidad el uso de
microprocesadores, es más común para controlar diferentes tipos de modelos aplicados
en diferentes ramas como: sistemas eléctricos, biotecnología, medicina, entre otras,
razón por la cual el método propuesto es una herramienta para la discretización de
modelos e implementación de estimadores. Sin embargo el costo de implementación
es alto, así lo indica el estudio de sistema de identificación activo en línea de Algreer,
Armstrong y Giaouris, 2012 y la plataforma desarrollada por Viola y Quizhpi, 2013
de la Universidad Politecnica Salesiana. Este tipo de metodo de identificación para
convertidores multinivel no se ha realizado en el Ecuador, posibilitando su estudio
para desarrollar nuevas tecnicas de control.
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
Tiempo(sg)
Corr
iente
(A)
Sistema de Control
ynl
yk
i linea
yest
yref
83
4. CONCLUSIONES
Al finalizar este trabajo investigativo, podemos indicar la importancia de obtener un
modelo matemático que represente el filtro de acople de un convertidor, empleado co-
mo filtro activo. El modelo representado servirá para incluir un algoritmo de control,
en el cual se pueda definir el seguimiento de la corriente de la red en fase a cada línea
de un sistema de distribución trifásica.
El seguimiento de la corriente permitirá obtener un mejor factor de potencia y dismi-
nuirá el valor de distorsión armónica total (THD), conforme se incorpore cargas no
lineales en el sistema.
El método de identificación por mínimos cuadrados es un buen estimador para sistemas
lineales, obteniendo en este estudio una mejor validación, que en el caso de sistemas no
lineales, razón por la cual en el análisis del filtro inductivo con cargas no lineales la
validación es del 68.1% y en el caso del filtro LCL es del 87.47% de aproximación. La
validación para cada caso de análisis indica el valor de eficiencia del modelo obtenido.
En el caso del filtro inductivo, la identificación de la planta contiene una carga no li-
neal, razón por la cual requiere de estimar el modelo de forma recursiva, para determi-
nar en cualquier instante de tiempo, cambios en la red ante presencia de nuevas cargas
que se incorporen en el sistema.
La identificación con filtro LCL indica el modelo del filtro, la cual predice el voltaje
del convertidor para realizar un proceso de compensación, de tal forma que exista un
seguimiento de la corriente de referencia.
El modelo obtenido del filtro LCL establece un controlador que realiza una compensa-
ción en corriente con mayor exactitud, las cargas lineales y no lineales son considera-
das como entrada de perturbación que debe ser corregida por el controlador. A diferen-
cia del modelo del filtro inductivo conectado con cargas no lineales, el controlador
debería ser recursivo, aumentando el procesamiento para el cálculo del mismo.
AGRADECIMIENTOS
Los autores desean agradecer a: la Universidad Politécnica Salesiana y al Proyecto
Prometeo – SENESCYT, por el apoyo económico e institucional brindado al proyecto.
84
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Venezuela, Universidad Politécnica Salesiana, 2013.
85
GLOSARIO
ADSP
AR
ARMA
ARMAX
ARX
CHB
FCMLI
FFT
MIMO
MRAC
PLL
PRBS
PWM
PID
SVM
SVS
THD
Procesador digital de señales analógicas
Autorregresivo
Autoregresivo de promedio movil
Autoregresivo de promedio movil con variable exógena
Autoregresivo con variable exógena
Puente H en cascada
Convertidor Multinivel con Condensador Flotante
Transformada Rápida de Fourier
Multiples entradas multiples salidas
Controlador adaptativo por modelo de referencia
Phase Locked Loop
Pseudo Random Binary Sequence
Modulación por ancho de pulso
Proporcional, integral y derivativo
Modulación por vectores espaciales
Espacio vectorial de voltaje
Distorsión Armónica Total
86
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