Impulso y Cantidad de movimiento

Mg. Marcos Guerrero.

1

Marcos Guerrero

2

Segunda Ley de Newton en términos de cantidad de movimiento

Basándonos en la Segunda Ley obtenemos lo siguiente:

)(→

→→

∂∂=

∂∂=∑ vm

tt

vmF

De donde podemos decir lo siguiente:

t

PF

∂∂=

→→

∑

Donde:

→→= vmP

“La fuerza neta media que se ejerce sobre un cuerpo es igual a la rapidez con la que cambia el momento lineal”

Marcos Guerrero

3

Definición.

También llamado cantidad de movimiento lineal.

MOMENTO LINEAL ( ).p

Es una cantidad vectorial que se define como el producto de la masa de un objeto y su velocidad.

Las unidades de en el S.I. es: o p 1.. −smkg sN.

La ecuación mostrada anteriormente, tiene carácter vectorial, y como m es La ecuación mostrada anteriormente, tiene carácter vectorial, y como m es

un escalar, entonces y tienen la misma dirección.un escalar, entonces y tienen la misma dirección.pV

Vmp =

Marcos Guerrero

4

Momento lineal en 3D

Marcos Guerrero

5

Determine una expresión de la energía cinética de traslación en función del momento lineal.

En la figura anterior, explique si se mantiene constante el momento lineal.

Marcos Guerrero

6

Σ

Marcos Guerrero

7

Definición.

Es una cantidad vectorial que se define como el producto entre la Fuerza neta de contacto y el intervalo de tiempo que duro el contacto.

IMPULSO ( ).

Las unidades de en el S.I. es: o 1.. −smkgsN.

Mientras la pelota colisiona con la pared, ella se deforma rápidamente, lo cual indica que la fuerza de interacción pared pelota crece rápidamente con el tiempo, cuando la deformación de la pelota es máxima, entonces la fuerza que actúa sobre la pelota también lo es.

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Marcos Guerrero

Σ

Marcos Guerrero

9

tiempo de contacto que tiene la bola con la pared.t∆

Σ

La definición indicada es una aproximación de la definición real de impulso.

Marcos Guerrero

10

Σ

Marcos Guerrero

11

Marcos Guerrero

12

TEOREMA DEL IMPULSO Y EL MOMENTO LINEAL.

OV

FV

Velocidad de la pelota un instante antes de que choque con la pared.

Velocidad de la pelota un instante después de que choque con la pared.

Fuerza neta que recibe la pelota en el momento del choque

Marcos Guerrero

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Aplicando la Segunda Ley de Newton en el momento del choque tenemos:

Reemplazando el concepto de aceleración tenemos:

Reemplazando el concepto de momento lineal tenemos:

Reemplazando el concepto de impulso tenemos:

Marcos Guerrero

14

Teorema del impulso y el momento lineal

“El impulso de la fuerza neta media es igual a la variación del momento lineal”

Marcos Guerrero

15

Marcos Guerrero

16

Indique ¿qué factores pueden cambiar el impulso de un cuerpo?

Basado en los gráficos que se muestran a continuación, para el boxeador, indique y explique ¿qué es más peligroso un golpe instantáneo o un golpe sostenido?

Explique ¿porqué son peligrosos los rebotes?

Marcos Guerrero

17

Explique, ¿porqué el karateca de la figura puede romper los ladrillos?

Marcos Guerrero

18

Marcos Guerrero

19

La argolla de la figura se suelta desde A y cae debido a su peso de 5N a lo largo del aro liso. Calcule la cantidad de movimiento lineal en B. (g=10m/s2) La argolla se encuentra en un plano vertical

Marcos Guerrero

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Problema

Marcos Guerrero

21

Solucion

Marcos Guerrero

22

Problema

Marcos Guerrero

23

Grafico

Marcos Guerrero

24

Solucion

Marcos Guerrero

25

Un bloque 100N esta ubicado en una superficie horizontal rugosa (μ:0,5 ; 0,75). Al aplicarle una fuerza horizontal cuyo módulo varía tal como indica la gráfica, determine la velocidad que adquiere en t=38s es:

Marcos Guerrero

26Una pelota de béisbol de 50g llega hasta el lugar del bateador con una velocidad de 2m/s este golpea la pelota desviándola como se muestra, si la rapidez sigue siendo 2m/s el tiempo en contacto entre la pelota y el bate es de 0,1s. Calcular la magnitud de la fuerza media con que la pelota fue golpeada.

Marcos Guerrero

27CONSERVACIÓN DEL MOMENTO LINEAL.

Marcos Guerrero

28

Aplicando la Segunda Ley de Newton y analizando a las dos astronautas por separado tenemos:

Aplicando la Primera Ley de Newton y analizando a las dos astronautas y a la Tierra como un sistema cerrado tenemos:

cumplen la Tercera Ley de Newton.

Marcos Guerrero

29

¿Son iguales los impulsos de los 2 astronautas?

Marcos Guerrero

30

La ley de conservación del momento lineal se aplica a empujones, explosiones y choques.

Ley de conservación del momento lineal

Marcos Guerrero

31

Marcos Guerrero

32

Analizando en 3 dimensiones tenemos:

Marcos Guerrero

33

Marcos Guerrero

34

Marcos Guerrero

35

Problema

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36

Solucion

Marcos Guerrero

37CHOQUES.

En todo choque se produce deformaciones de las partículas que chocan y por lo tanto pérdidas de energía. Esto implica una variación de la energía potencial del sistema, debido a esto hay variación en la energía cinética total del sistema.

Los choques son interacciones de dos o más cuerpos en el que existe contacto entre ellos durante un cierto tiempo.

Existen distintos tipos de choque, los choques elásticos, parcialmente inelásticos y totalmente inelásticos.

Todos estos choque tiene la característica de conservar su momento lineal o cantidad de movimiento lineal, pero no así su energía mecánica, que en la mayoría de los casos solo considera la energía cinética

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38

Es decir en un choque real, el momento lineal total del sistema se conserva pero la energía cinética total del sistema cambia. Este tipo de colisión se llama CHOQUE INELASTICO.

KO ≠ KF

WFNC = KF − KO Energía pérdida en una colisión inelástica.

%P.E.C. =KF −KOKO

x100%Fracción de pérdida de energía cinética en una colisión inelástica

Marcos Guerrero

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Si en un choque, las partículas no sufren deformación durante el choque se conservarían el momento lineal total y la energía cinética total del sistema. Este tipo de choque se llama CHOQUE ELASTICO.

KO = KF

Existen ciertos tipos de choques como el de dos bolas de billar o choque entre partículas atómicas y subatómicas, que son una buena aproximación de choque elástico.

Marcos Guerrero

40

Mide el grado de elasticidad que hay en choque y es definido para un par de

cuerpos que chocan como la razón negativa de su velocidad relativa un instante

después del choque a la velocidad relativa un instante antes del choque.

COEFICIENTE DE RESTITUCIÓN ( ).ε

OBOA

FBFA

VV

VV

−−−=ε

Es adimensional y varia entre 0 y 1 tomando el valor de 1para un choque

elástico y 0 para un choque llamado perfectamente inelástico(pegados) en quelas dos partículas continúan unidas después del choque.

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41

La velocidad relativa de las velocidades un instante después del choque es igual al negativo de la velocidad relativa de las velocidades un instante antes del choque.

Si el choque es elástico le ecuación nos queda:

OBOA

FBFA

VV

VV

−−−=1

)( OBOAFBFA VVVV −−=−

Marcos Guerrero

42CHOQUES EN UNA DIMENSIÓN.

CHOQUE ELÁSTICO.

Después del choque los objetos no quedan pegados.

Marcos Guerrero

43

FBBFAAOBBOAA VmVmVmVm

+=+

KO = KF2222

2

1

2

1

2

1

2

1FBBFAAOBBOAA VmVmVmVm +=+

Combinando las dos ecuaciones se puede demostrar que:

OBBA

ABOA

BA

AFB

OBBA

BOA

BA

BAFA

Vmm

mmV

mm

mV

Vmm

mV

mm

mmV

+−+

+

=

+

+

+−=

2

2

Sólo se pueden utilizar en choques elásticos en una dimensión.

Marcos Guerrero

44

Analizando las 2 ecuaciones y suponiendo que , entonces tenemos que:

0=OBV

Si , y . BA mm ⟩⟩ OAFA VV ≅ OAFB VV 2≅

Si , y . BA mm = 0=FAV OAFB VV =

Si , y . BA mm ⟨⟨ OAFA VV −≅ 0≅FBV

Marcos Guerrero

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Marcos Guerrero

46

Problema

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47

Solucion

Marcos Guerrero

48

Marcos Guerrero

49CHOQUE PARCIALMENTE INELÁSTICOS.

Después del choque los objetos no quedan pegados.

Marcos Guerrero

50

FBBFAAOBBOAA VmVmVmVm

+=+

KO ≠ KF2222

2

1

2

1

2

1

2

1FBBFAAOBBOAA VmVmVmVm +≠+

WFNC = KF − KO

%P.E.C. =KF −KOKO

x100%

Marcos Guerrero

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Marcos Guerrero

52

CHOQUE PERFECTAMENTE INELÁSTICOS.

Después del choque los objetos quedan pegados.

Marcos Guerrero

53

FBAOBBOAA VmmVmVm)( +=+

KO ≠ KF222 )(

2

1

2

1

2

1FBAOBBOAA VmmVmVm +≠+

WFNC = KF − KO

%P.E.C. =KF −KOKO

x100%

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Problema

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55

Solucion

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56

Problema

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57

Solucion

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58

Solucion

Marcos Guerrero

59

Marcos Guerrero

60

CHOQUES EN DOS DIMENSIONES.

Se siguen usando las mismas ecuaciones que se utilizaban para los diferentes tipos de choque, con la diferencia que la conservación del momento lineal se lo estudia en X e Y.

Marcos Guerrero

61

Si las dos bolas de masas iguales, chocan de manera no frontal en forma elástica y si una está en reposo, un instante después del choque las dos bolas salen en forma perpendicular.

Marcos Guerrero

62

Problema

Marcos Guerrero

63

Solucion

Marcos Guerrero

64

Solucion

Marcos Guerrero

65

SISTEMA DE MASA VARIABLE.

V

Velocidad del cohete con respecto a Tierra.u

Velocidad del combustible quemado(expulsado) con respecto a Tierra.

Marcos Guerrero

66Se puede demostrar que la rapidez con la cambia el momento lineal del cohete es:

Fuerzas externas que actúan sobre el sistema.

Fuerza resultante externa que actúa sobre el sistema.

Fuerza de empuje en el cohete debido al combustible

∂m∂t Tasa de quemado del combustible.

Vu − Velocidad relativa del combustible quemado con respecto al cohete.

Segunda Ley de Newton cuando el sistema es de masa es variable.

Marcos Guerrero

67

Ahora si existe un sistema gana masa, se puede demostrar que:

Marcos Guerrero

68

Problema

Marcos Guerrero

69

Solucion

Marcos Guerrero

70

Centro de masaLa posición del centro de masa de un sistema se puede describir como la posición media de la masa del sistema

Marcos Guerrero

71

Replanteando el principio de conservación de la cantidad de movimiento en una forma útil usando el concepto de centro de masa.

∑∑

=++

+++=

ii

iii

cm m

xm

mmm

xmxmxmx

321

332211 ...

∑∑

=++

+++=

ii

iii

cm m

ym

mmm

ymymymy

321

332211 ...

Marcos Guerrero

72

El vector de posición del centro de masa se puede expresar en términos de los vectores de posición de las partículas así:

Marcos Guerrero

73

Movimiento del centro de masa

Derivando y con respecto al tiempo obtenemos lo siguiente:cmX cmY

321

332211 ...

mmm

vmvmvmv xxx

xcm +++++=−

321

332211 ...

mmm

vmvmvmv yyy

ycm +++++

=−

Estas ecuaciones son equivalentes a la ecuación de un solo vector que se obtiene al derivar la ecuación:

Marcos Guerrero

74

Por lo tanto, hemos demostrado que:

M v→cm = m1 v

→1+ m2 v

→2+ m3 v

→3+ ... = P

→cm

Marcos Guerrero

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Fuerzas externas y movimiento del centro de masa

cmext

aMFFF→→→→

=+= ∑∑∑ int

Por la tercera ley de newton, las fuerzas internas se cancelan en pares:

cmext

aMF→→

=∑Cuando fuerzas externas actúan sobre un cuerpo o un conjunto de partículas, el centro de masa se mueve como si toda la masa estuviera concentrada en ese punto y sobre ella actuara una fuerza neta igual a la suma de las fuerzas externas que actúan sobre el sistema

Marcos Guerrero

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Cuerpo extendido o sistema de partículas

t

P

t

Mv

t

vMaM cmcm

cm∂∂=

∂∂=

∂∂=

→→→→ )(

t

PFext ∂

∂=→

→

∑

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Problema

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Solucion

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79

Problema

Marcos Guerrero

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Solucion

Centro de masa de un sistema continuo: Definición

Podemos modelar el objeto no puntual como un sistema formado por un gran número de elementos.

Cada elemento se considera como una partícula de masa y coordenadas

La separación entre las partículas en este modelo es muy pequeña, por lo que éste es una buena representación continua de masa del objeto.

Si establecemos que el número de partículas tiende a infinito ( y como consecuencia el tamaño y la masa de cada elemento tiende a cero)

Marcos Guerrero

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