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1 Apuntes física II (potencial eléctrico) Unexpo-VEBI. Docente: Ing: Freddy Caballero. 2017
Universidad Nacional Experimental Politécnica Antonio José de Sucre
Vice-Rectorado de Barquisimeto Sección de Física
INDICE
CONTENIDO PAGINA
UNIDAD I. Segunda parte 10%
Potencial Eléctrico 13
Potencial debido a cargas puntuales
13
Superficies equipotenciales. 14
Problemas 14
Problemas de potencial Eléctrico 15
1.13-. Potencial eléctrico
Así como el campo eléctrico describe la fuerza por unidad de
carga que se ejerce sobre dicha carga ubicada en ese campo, la energía potencial puede interpretarse “por unidad de carga”. Este concepto es el de potencial eléctrico.
El potencial eléctrico es entonces,
energía potencial eléctrica por unidad de carga: Vp = U/q
El potencial se mide en voltios en
el SI y equivale a 1 joule por coulomb. El potencial también es llamado por
otros autores voltaje, caída de tensión, diferencia de potencial. El potencial Vab, esto es, el potencial en el punto a con
respecto al potencial en el punto b, es igual al trabajo realizado por la fuerza eléctrica cuando una unidad de carga se mueve de a a b.
113.1-.Potencial Eléctrico, debido a una carga “Q”.
Una carga “Q” es la fuente de un potencial eléctrico “V” en un punto ubicado a una distancia “r” de esta carga.
V = K Q/ r (Ec: 1)
Donde Q= carga que produce el potencial eléctrico. r= distancia entre la carga y el punto donde se desea
determinar el potencial eléctrico. Antes de continuar con un ejemplo, es importante señalar lo
siguientes aspectos:
• Si “r” tiende al infinito el potencial es cero, por tal motivo se dice que el potencial en el infinito es cero
• Cuando se tiene una distribución de cargas puntuales q1, q2, q3…fijas en el espacio y se quiere determinar el potencial resultante en un punto debido a esta distribución de cargas, se procede en la forma siguiente:
a-. Se calcula separadamente los potenciales V1,V2, V3…
que cada una de las cargas fuentes origina en el
punto.
b-.Se efectúa la suma algebraica de los potenciales
obtenidos considerando como positivos los
potenciales creados por cargas positivas y como
negativos los creados por las cargas negativas.
Designando por V el potencial resultante se obtiene:
V = V1+ V2 + V3...
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Ejemplo Nº31: Determinar el valor del
potencial eléctrico creado por una carga puntual q1=12 C en un punto (p) ubicado a 10 cm.
Solución:
• Paso Nº1: V = K Q/ = 12K/0,1 mts
V= 120 voltios
Ejemplo Nº32: Dos cargas eléctricas q1=+3x 10-6 C y q2= -9x10-9 C, están en el vacío separadas por una distancia de 4 m. Calcular en que punto de la recta que las une el potencial eléctrico es nulo.
• Paso Nº1:
ubicamos el punto màs cerca de la carga de menos
magnitud, porque debemos “compensar” con la distancia, es
decir, en la medida que uno se aleje de una carga, el
potencial tiende a disminuir.
V1 =kq1/x y V2 =kq2 / (4-x)
Como V1 = V2 , tenemos : kq1/x =kq2 / (4-x), eliminamos las
“k”, y sustituimos los valores de las cargas:
4-x=3x entonces x=1 mts
1.12.2-.Potencial Eléctrico debido a una distribución continúa
de cargas.
Se van a presentar tres tipos de distribuciones, (muy parecido a fuerza y campo eléctrico para cada una se posee una integral:
2.1-. Distribución Lineal: la densidad de carga lineal λ = Q/L V= K∫
dQ/r
2.2-. Distribución es Superficial, la densidad de carga superficial es
σ = Q/A. V= K∫∫ dQ/r
2.3-.Distribución Volumétrica, la densidad de carga volumétrica ρ
= Q/V V= K∫∫∫ dQ/r
Ejemplo Nº33
Se posee una barra
de longitud “L”, con
una densidad lineal
“λ” y una carga
total “Q”,
determinar:
a-. El potencial en
el punto “p”.
b-. La diferencia de potencial entre Vp-Vp1 (ver figura
f.1.54)
Solución:
• Paso Nº1:
Ecuaciones: λ = q/l pero dq = λ dl= λdx ,
E= K dQ/r2 = k ∫ λdx/r2
• Paso Nº2:
Asumiendo el origen donde se encuentra el punto “p”,
tenemos que los límites de integración van desde “-Xo”
hasta “-(Xo-L)”.
q1 p q2
x
4 cm
F:1.53
P 12c
10 cm
F:1.52
P1
b
b
F:1.54
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• Paso Nº3: Por otro lado la distancia entre el “dx” y el punto es “r”,
pero también la distancia entre “dx” y el origen es “x”, en
tal sentido r=-X.
• Paso Nº4: Finalmente nos queda la integral de la siguiente forma:
Vp = k ∫ λdx / (x)
• Paso Nº5: Para encontrar la diferencia de potencial, nos falta buscar el
potencial que produce la distribución en el punto “P1”. Esto
lo hacemos igual, como en los pasos anteriores, pero
colocando el origen en “P1”. Entonces los límites son: “-
(Xo+L+b)” hasta “-( Xo+b )”. Y el potencial a pesar que tiene
la misma integral, al evaluar va a tener un menor potencial
en “P1”, debido a que se encuentra màs lejos de la
distribución lineal:
Vp = k ∫ λdx / (x)
• Paso Nº6: Por lo tanto la diferencia viene dada: Vp-Vp1
Ejemplo Nº34
Se posee la siguiente distribución
lineal de radio “a”, a una altura “h”
del centro de la distribución se
encuentra el punto “p”, encontrar el
potencial en “p”.
Solución:
• Paso Nº1:
Ecuaciones: λ = q/l pero dq = λ dl= λdx ,
El potencial Viene dado: V= K∫ dQ/r, donde: r2 = H2+a2. y los límites van de 0º hasta 2π, y dQ =λ adθ, sustituimos y obtenemos: V= K∫ λ adθ/( H2+a2)1/2 = λ a2π/( H2+a2)1/2 [v] 1.12.3-. Superficies Equipotenciales y el Trabajo:
Superficies equipotenciales
Una superficie equipotencial es aquélla en la cual todos sus puntos tienen el mismo potencial eléctrico, por lo que el trabajo realizado para transportar una carga eléctrica de un punto a otro sobre dicha superficie es nulo.
También se puede decir, que la dirección del campo eléctrico siempre va de las regiones de mayor a menor potencial eléctrico. En la figura 1.57, se comprueba lo antes descrito, la placa de la derecha tiene un mayor potencial (por ser positiva) y la de la izquierda es negativa, entonces, el campo va de la placa positiva a la negativa.
el trabajo, hecho por el agente
externo (fuerza) de mover una carga de prueba desde un punto a otro viene dado:
W = q (Vf-Vi)
Ejemplo Nº35 Del ejemplo anterior (#3), se desea encontrar el trabajo, en
trasladar una carga de prueba “qo” entre los siguientes
puntos.
a-. Desde el infinito hasta “P1”.
b-. Desde el infinito hasta “P”.
c-. Desde el punto “P1” hasta “P”.
Solución:
P H
a
F:1.55
E
-
-
-
-
-
-
-
+
+
+
+
+
+
+
+
- F:1.57
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• Paso Nº1:
De ejemplo anterior se conocen Vp y Vp1, faltaría el potencial en
el infinito, y por lo ya dicho anteriormente V ∞= 0 voltios.
• Paso Nº2:
El “W” desde el infinito hasta “P1”., significa traer una carga
“ qo “de prueba desde el infinito hasta el punto”p1”, por lo
tanto esta diferencia de potencial se reduce:
W = qo ((Vf1-Vi∞)= qo ((Vf1)
• Paso Nº3: Desde el infinito hasta el punto “p”, nos queda:
w= qo (Vp-Vi∞) = qo (Vf).
• Paso Nº4: Desde el punto “P1” hasta “P”., W =
q((Vp-Vp1)
1.12.4-. Energía Potencial Eléctrica (U)
Si una carga de prueba “qo” se mueve a través de una diferencia de potencial, se puede decir que su energía potencial (U) cambia y
viene dada: ∆U = Uf - Ui = qoVfi
La fuerza eléctrica producida por cargas estáticas es conservativa,
por lo tanto el trabajo hecho por una fuerza de este tipo no depende de la trayectoria, que una carga describe desde su posición inicial hasta la final. Entonces, el trabajo realizado por la fuerza en una carga de prueba desde una posición inicial hasta la posición final viene dado:
W = -∆ U
Si se aplica la conservación de la energía se tiene : ∆U -∆K = 0 ,
esta ecuación es muy versátil , nos permite encontrar datos de velocidad de la carga en cualquier punto de su trayectoria si conocemos los potenciales en cada punto.
Caso especial energía de un sistema de cargas:
Si se posee un sistema de cargas, la energía potencial es la suma de todos los
términos, evitando que se repitan términos, en la ecuación.
Ejemplo Nº 35 .
Dada la siguiente configuración, encontrar la energía total
del sistema.
Solución:
• Paso Nº1: Para determinar la
energía potencial de toda la
configuración, es necesario asumir
que una de las cargas de la
configuración se “mueve” y está
pasando justamente por el punto
dónde estaba ubicada, por lo
tanto, se tienen que asumir por
separado que cada carga se
mueva.
• Paso Nº2: busquemos la energía potencial sobre cada
carga y los productos que se repiten no se toman en
cuenta.
U-2C = -2 ( V4C +V-3c) U4C = 4 ( V-2C +V-3c) U-3C = -3 ( V4C
+V-2c)
Nota:La unidad de energía es el Electrón-voltios (1eV = 1.6x10-19 Joule), que
representa la energía que adquiere o pierde un electrón al moverse a través de una diferencia de potencial de 1 voltio
-2c
4 mts 3 mts
4c -3c
F:1.51
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La Energía Ut = --2 V4C -2V-3c+ 4 V-3c) Joule
Como el potencial eléctrico se mide en voltios, se le suele llamar
voltaje . Se puede hablar de los voltajes en distintas posiciones de un campo
eléctrico, haya o no haya cargas en dichas posiciones. Si te frotas un globo en
el cabello, el globo adquiere una carga negativa que produce un potencial de,
quizá, “varios miles de voltios”. Aunque el voltaje del globo cargado es
elevado, la energía potencial eléctrica es baja debido a que la cantidad de carga
es pequeña. Este ejemplo resalta la diferencia entre la energía potencial
eléctrica y el potencial eléctrico.
Recuerda también que la fuerza y el campo eléctrico son magnitudes
vectoriales, y deben sumarse vectorialmente, mientras que el potencial
eléctrico y la energía potencial eléctrica son escalares, y pueden sumarse de
forma normal.
Ejemplo Nº36
Se desea determinar la velocidad,
que tiene la carga “q” en el punto
“p”, si parte desde el infinito y se
dirige a la distribución lineal
positiva. Ver figura F:1.52
Solución:
• Paso Nº1: Usamos la ecuación W = -∆ U,
donde el trabajo viene dado:
W = Kf-Ki , sustituimos y
obtenemos:
Kf-Ki = - [qVi-qVf). Ahora vamos a ver que términos se
anulan debido a las condiciones del problema.
• Paso Nº2: Como la carga “q” parte del infinito el
potencial inicial (en el infinito) es igual a cero, y como
parte del reposo la energía cinética inicial es cero (en caso que se diga que posee una velocidad, ya no es cero).
• Paso Nº3: Por lo tanto la ecuación se reduce a: Kf = - [-
qVf). Vamos a calcular cada una: K = ½ mv2 y V = es el
potencial generado por la distribución en el punto “p”
viene dado: V = λ a2π/( H2+a2)1/2 [v].Vamos a dejar la
letra “V”, para toda la resolución pero sin confundirla con
la velocidad que es “ v”. Entonces sustituimos:
½ mv2 = qV → v = [2qV/m ] 1/2
Ejemplo Nº37.
Un electrón entra en una región
con un campo eléctrico uniforme
creado por dos placas paralelas,
uniformemente cargadas con
potenciales de 100 voltios y -150
voltios, tal como se muestra en la
figura Nº1.52 , la velocidad inicial
del electrón es 5x106 m/s,
determine la velocidad del electrón
cuando sale del campo
.
Solución:
• Paso Nº1: El campo “E”, va de la placa positiva a la negativa (es contrario a la velocidad del electrón), por lo tanto la fuerza sobre el electrón viene dada: F = qE (1), como q=-e
q
P
H
a
F:1.52
F:1.52
-150V 100V E e
F:1.53
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• Paso Nº2: F = -eE, en vista que la carga va de un potencial
menor (-150v) a uno mayor (100 v), saldrá con una rapidez mayor, en este sentido aplicamos el teorema
de trabajo y energía
(W=q∆U). Kf-Ki = - [qVi-qVf). Sustituimos y nos
queda: 1/2mevf2= 1/2mevi2+ e (Vf-Vi) = 10x107
m/s
1.12.5-.Diferencia de Potencial Eléctrico y Ley de Gauss.
Se define como la variación de la energía potencial por unidad de carga. Se puede determinar por medio de:.
Vf-Vi = - ∫ E dl Cos θ
Vf-Vi = diferencia de potencial. E = Campo determinado por Gauss. dl = diferencial de longitud Esta ecuación generalmente se emplea cuando se conoce el campo eléctrico y nos piden la diferencia de potencial y si uno de los puntos esta en el infinito podemos encontrar el potencial en un punto llamado también potencial absoluto. El campo se determina por la Ley de Gauss generalmente, de lo contrario aplicamos la Ley de Coulomb. Ejemplo Nº38.
Se posee un cascarón esférico de radios
“a y b” , con una densidad “ ρ ” ,
determinar:
I-. El potencial en un punto “p” ubicado
sobre el radio “b”.
II-. El potencial en un punto “P1” ubicado sobre el radio “a”.
III-. La diferencia de potencial Vp1-Vp.
Solución:
• Paso Nº1: • La ecuación a utilizar es:
Vf-Vi = - ∫ E dl Cos θ , y asumimos en este tipo de ejercicios
que una carga de prueba parte del infinito (si el problema no
nos dice nada), entonces el Vi = 0 ( recuerde que el potencial
en el infinito es cero y de ahì parte la carga de prueba), la
ecuación se reduce: Vp = - ∫ E1 dl1 Cos θ1 ,
• Paso Nº2: Ahora buscamos un campo que “encierre” al punto
de llegada y que siempre tenga la misma carga
encerrada desde que se
“parte” del infinito y se
llega al punto “p”, en este
caso se asume una
“gaussiana r>b, y la carga
encerrada en : Qenc1 = Qv,
donde Qv = 4 ρ π(b3- a3)/3
• Paso Nº3: Vamos a
encontrar el “dl1” y “θ1”.
Se observa que :
Cos θ1 = -1 y dl=-dr
• Paso Nº4: Finalmente la ecuación nos queda:
Vp = - ∫ E1 dr , y los límites desde: (∞ → b)
• Paso Nº5: Para encontrar el potencial en “P1”, tenemos que
volver a plantear el ejercicio, pero asumiendo ahora que la
carga de prueba se traslada desde el infinito hasta “P1”, pero no
se puede hacer una sola integral, como en el caso anterior,
a
b
F:1.57
r
E1 dl1
qo F:1.57
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porque durante el recorrido desde el infinito hasta “P1”, la
carga encerrada “cambia” y es necesario plantear dos integrales
para el potencial, una: que va desde el infinito hasta el punto
“P” ( ya calculado en los pasos anteriores) y otra desde “P”
hasta “P1”, que es la que vamos a buscar ahora.
Vp1 -Vp = - ∫ E2 dl2 Cos θ2 note, que es otro campo, otro “dl” y
un nuevo ángulo, se procede a buscar cada uno, como se hizo
anteriormente.
• Paso Nº6: Se coloca una “gaussiana” en:.
a<r<b, encierra una parte del volumen
de carga por lo tanto : ρ = Q/V y V = 4
πR3 /3 sustituimos y despejamos la carga:
Q = (ρ 4 πR3 )/3 luego derivamos la carga
y el radio (son los que varían)
dQ = ρ ( 4 πR2 )dR donde, se procede a
integrar el volumen que contiene la carga
encerrada.
∫dQ = ∫ ρ ( 4 πR2 )dR (integrando
a→r)
Q´ = ρ 4 π/3 R3 | = ρ 4 π(r3- a3)/3
E = Q´/ε =Q´/(4 πr2ε) [N/C]
• Paso Nº7: Vamos a buscar
ahora el “dl2” y “θ2”. Se
observa que : Cos θ2 = -1 y
dl=-dr
• Paso Nº8: Finalmente la
ecuación nos queda:
Vp1 - Vp = - ∫ E2 dr , y los
límites desde: (b→ a) ,
despejamos Vp1, Vp1 = - ∫ E2
dr + Vp
• Paso Nº9: Para la diferencia de potencial solamente se busca
el campo que hay entre los dos puntos, Vp1 - Vp = - ∫ E2 dr ,
1.13-.Problemas
1-. El campo eléctrico en un punto especial es cero, explique si debe ser cero el potencial en ese punto. 2-.El Campo eléctrico estático es cero dentro de un conductor.¿ De esto se deduce que necesariamente el potencial dentro del conductor sea cero?. (Resp: No) 3-.Dos cargas positivas están separadas una distancia “a”, ¿Existe un punto sobre las líneas que las une donde el campo es cero?, es posible lograr que el potencial sea cero en esa misma trayectoria?. 4-.Se poseen dos esferas una de radio R y otra de radio 2R, con cargas q y Q respectivamente, se conectan por medio de un alambre conductor, encontrar: a-.Los potenciales eléctricos. b-. Qué esfera tiene más carga al final. (Resp: q=Q/2) c-. Dónde la magnitud del campo eléctrico es mayor. (Resp: en la esfera de menor radio) 5-.Dada la siguiente distribución superficial (positiva) con un radio interno “a” y externo “b”. Encontrar el potencial en el punto “p”. Resp: Vp = k ∫∫ σdRdΘ/ (R2+H2)1/2 , integrando: radio desde “a”→”b” y el àngulo oº a 2π
P.4 Q q
P.5 P σ
b
r
a
E2
dl2 qo
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6-. Se posee la siguiente distribución lineal de longitud “L”, se dobla en un arco circular de radio “R” y abarca un ángulo “α” (ver figura P.6). a-. Encuentre el potencial en el centro del arco circular. b-. La varilla se estira de manera que forma un círculo del mismo radio, la carga total permanece sin cambios, cuál es el potencial en el centro de círculo. Resp:Vp = ∫krdΘ/r integrando desde 3π/2+ Θ→3π/2 7-. Dadas las siguientes cargas puntuales, encontrar energía del sistema. Si cada lado tiene una longitud “a”.
8 Encontrar el potencial en el punto “p” debido a la
distribución lineal.
9 Tenemos tres cargas de 4,5 y 6 culombios situadas en los vértices del triángulo (2,0), (6,0) y (4,3), respectivamente. Calcular el potencial eléctrico en el punto (4,0), así como la energía potencial que tendría allí una carga de -3 culombios. .
:
P.7 - 5c 4c
-4c 6c
λ
a
α
Resp(ProbNº7): quitamos a : “-5c”→Up-5c=(4k/a+6K/21/2 a -4k/a) J
“4c”→Up4c=(6k/a-4K/21/2 a) J “6c”→Up6c=(-4k/a) J Ut =Up-5c+ Up4c (4k/a+ Up6c J
F:1.2
E
P
Ө h
r
x
dq=λdx
++++++++++++++++
p-13
Vp= K∫ λdx / h2+x2)1/2
(4,3)
6c
4c 5c