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FACULTAD DE INGENIERA
Curso: Matemtica bsica Ciclo : I ciclo
INECUACIONES LINEALES:
INECUACIONES CUADRTICAS
INECUACIONES POLINOMICAS.
INECUACIONES RACIONALES
INECUACIONES IRRACIONALES
1. Definiciones.
2. Propiedades.
3. Ejercicios de aplicacin.
2
1
4
1
8
10 1
TEMA: INECUACIONES Para entender apropiadamente la teora de inecuaciones, es necesario estudiar previamente el tema de desigualdades. A continuacin tocaremos algunos conceptos en torno a las desigualdades. DESIGUALDADES Es aquella comparacin que se establece entre dos nmeros reales mediante los smbolos de desigualdad: < , > , , . . Luego, si a y b son nmeros reales, entonces: a < b : a menor que b a b : a menor o igual que b a > b : a mayor que b a b : a mayor o igual que b El siguiente acpite es de mucha importancia para las desigualdades e inecuaciones Recta Numrica Real: Es la forma geomtrica que permite ordenar los nmeros reales. Existe una correspondencia biunvoca entre R y la recta.
0 a b
- +
Rb,abca/Rc:Densidad
b0a:OrdenopiedadesPr
Ejemplo entre el nmero 0 y 1 existen nmeros reales.
DEFINICIONES: Sea a R.
1) a es positivo a > 0 2) b es negativo b < 0 3) a > b a b > 0 4) a < b a b < 0
Ejemplo: -8 > -10 -8 (-10) = 2 > 0
2 < 12 2 12 = -10 < 0
5) a b a > b a = b 6) a x b x a x b
: Interseccin ()
: Unin () INTERVALO: Es un subconjunto de los nmeros reales que generalmente poseen extremos.
Intervalo ExtremoSuperior
Cotas Superiores
CotasInferiores
Extremo Inferior
I R
CLASIFICACIN:
INTERVALO
ACOTADO NO ACOTADO
ABIERTO
CERRADO
SEMIABIERTO
1) ACOTADOS O FINITOS
a. Intervalo Abierto : A=< a , b >= ] a, b[ ={ x R a < x < b }
INFIMO SUPREMO
a b
INFIMO: Es la mayor cota inferior. Si el nfimo pertenece al intervalo, se llama MNIMO.
SUPREMO: Es la menor cota superior. Si el supremo pertenece al intervalo, se le llama MXIMO.
b. Intervalo Cerrado C= [a ; b ] ={ x R a x b }
MINIMO MAXIMO
a b
c
cb
ca
c. Intervalo Semiabierto: A= [a ; b > B= < a ; b ]
MINIMO
a b
MAXIMO
a b
SUPREMO
INFIMO
2) NO ACOTADOS O INFINITOS
A= [a ; ] ={ x R x a }
B= < ; b > ={ x R x < b }
R = ,
a
A
B
b
C
OPERACIONES CON DESIGUALDADES: Sean:
1) A = -3 ; 2 ; B = -1 ; 6
A B = -3 ; 6 A B = -1 ; 2 A B = -3 ; 1 B A = 2 ; 6 A = CA = - ; -3 2 ; + B = CB = - ; -1 6 ; +
2) A = { x R / x 2 x 3 }
B = { x R / -2 x 3 } A B = R A B = {-2; 3}
INECUACIONES: Es una desigualdad en la que hay una o mas cantidades desconocidas (incgnitas) y que solo se verifica para determinados valores de las incgnitas, o tal vez nunca se verifica.
Inecuacinysenyy
x2x
dDesigualdae
3
CONJUNTO SOLUCIN (C.S.) Ejemplos: 1) 2x + 1 > 7 x > 3 C.S. = 3 ; +
2) Sen (x + 1) + 2 > 4 C.S. =
3) x
2 + (x + 1)
2 + (x + 2)
2 + + (x + 100)
2 + 3 > 0 C.S. = R
PUNTO CRITICO
En la inecuacin: 0P0P0P0P )x()x()x()x(
P(x) : Polinomios
Los puntos crticos son las races de P(x), es decir: 0Pcrticopuntoes"" )x(
Ejemplo:
P(x) = (x + 3)(x + 4)(x 2) < 0 Puntos Crticos: -3 ; -4 ; 2
B
-3 -1 2 6
3 -2
B
A A
MTODO DE LOS PUNTOS CRTICOS
En la inecuacin polinomial a(x x1)(x x2) (x xn) > 0 1) Garantizar que coeficiente principal = a > 0; en caso contrario, multiplicar por -1. 2) Hallamos los puntos crticos y los ubicamos ordenados en la recta.
+ +
x n x 3 x 2 x 1......
)(POSITIVA
ZONA.S.C
0P
0P:Si
)x(
)x(
)(NEGATIVA
ZONA.S.C
0P
0P:Si
)x(
)x(
Ejemplos: Resolver las sgtes. inecuaciones 1) x
2 5x + 6 0
(x 2)(x 3) 0 Puntos crticos: 2 ; 3
C.S. = 2; 3
2) (2 x)(x + 5) < 0
Multiplicamos por (-1): (x 2)(x + 5) > 0
C.S. = - ; -5 2 ; +
1) INECUACION LINEAL
RESOLUCIN
bax
)b(0)b(bax
0bax
b0
a
bx0aSi*
a
bx0aSi*
+ +
3 2
+ +
2 -5
0a;0bax
+ +
4 9
INECUACIONES POLINOMIALES 2) INECUACION CUADRTICA
Resolucin:
A. PERFECTOCUADRADOTRINOMIO0
Donde: : discriminante sabiendo que = b
2 4ac
Ejemplos:
1. 4x
2 4x + 1 < 0 = 0
(2x 1)2 < 0 C.S. =
2. (2x 3)2 > 0 C.S. = R
2
3
3. (-2x + 4)2 0 C.S. = R
4. (-5x + 20)
2 0 C.S. = {4}
B. CRITICOSPUNTOSLOSDEMETODO0
Ejemplos: 1) x
2 13x + 36 < 0 (x 4)(x 9) < 0 C.S. = 4 ; 9
x -9 x -4
2) x
2 2x 2 0
= 12 > 0. Hallamos los puntos crticos: x2 2x 2 = 0
31
2
122x
C.S. = - ; 1 3 1 + 3 ; +
C. TEOREMASLOSAPLICAR0
a) Teorema del Trinomio Positivo
Sea: P(x) = ax2 + bx + c ; a 0
b) Teorema del Trinomio Negativo
c)
d)
+ +
3131
0a;0cbxaxP 2)x(
< 0 a > 0 P(x) > 0 , x R
< 0 a < 0 P(x) < 0 , x R
0 a >0 P(x) 0 , x R
0 a
+
++
INECUACIONES DE GRADO SUPERIOR
Teoremas:
Nn;0x0x
Nn;0x0x
1n2
1n2
Ejemplos:
1) (x + 1)66173
> 0 (x + 1) > 0 x > -1 C.S. = -1 ; +
2) (x + 2)777
. (x + 1)111
< 0 (X + 2)(X + 1) < 0 C.S. = -2 ; -1
3) (x2 + x + 2)
30. (x + 1)
23. (x 3)5 > 0
< 0 Coef. Principal C.P. = 1 (x + 1)(x 3) > 0 C.S. = - ; -1 3 ; +
4) (x
4 + x
2 + x
8 + 3)
66. (x
2 + x + 1) . (x + 1) . (x 2) < 0
< 0 C.P. = 1 C.S. = -1 ; 2
INECUACION FRACCIONARIA
0Q
P
)x(
)x(
Resolucin:
1)
AdmisiblesvaloresdeConjunto
A.V.C : Q(x) 0 0QP )x()x(
Ejemplos: Resolver las siguientes inecuaciones:
1) 03x
2x
; C.V.A. : x -3
. 22 )3x(0)3x(3x
2x
(x 2)(x + 3) 0 C.S.* = -3 ; 2 C.S. = C.V.A C.S.* C.S. = -3 , 2
2) 0)3x(
)2x)(1x(
. x -3
+ +
-3 -1 2 .
C.S. = -3 , -1 2 , +
3) 0)x2)(4x(
)5x)(4x()3xx(
5
7202
. x 4 ; x 2
.
2;5.S.C0
2x
5x0
x2
5x )1(xrmultiplica
INECUACION IRRACIONAL
Forma General: 0I )x(
Expresin algebraica irracional Ejemplo:
1x53x2;1x1x
RESOLUCIN:
1) Hallamos su C.V.A. Ejm:
2xRx
Nn;22x1x n21n2
C.V.A. = 2 ; - > 2) Transformar la inecuacin en una polinomial.
TEOREMAS:
yxyx
0x0x
1n21n2
1n2
Ejm: Resolver: 0)x4()3x()1x( 735
0)4x)(3x)(1x(
0)x4)(3x)(1x(
+ +
3 1 4 C.S. = -3 ; 1 4 ; +
)ax0a0x()0a0x(ax
)ax0a0x()0a0x(ax
ax0a0xax
ax0a0xax
2
2
2
2
Ejemplo: Resolver: 1x5x4x2 Solucin:
5/1x
01x5
0)4x(x
0x4x2
x - ; 4 0 ;
C.V.A = ;5
1
Operamos: 22
2 )1x5(x4x
24x2 14x + 1 > 0
(12x 1) (2x 1) > 0
;2
1
12
1;x .. ()
C.S. = C.V.A. () = ;2
1
EJERCICIOS DE APLICACIN
P1.- Resolver las siguientes inecuaciones de primer grado:
a) x52x3 b) x32x1 c) 63x32
d) x32x233 e) 2x21x33x2
f)
x34
x
2
8x4
5
3x3 g)
3
x8x32
h)
43
x51x3
2
1x i)
2
1x
3x2
j)
3
x142x3
15
3
3
1
4
1x3 k)
3
21
2
5x3
x
2
13
3
x3
l)
3x2x
2
32
x2
3xx
4
2x3
P2.- Resolver las siguientes inecuaciones de grado mayor que uno o fraccionarias:
a) 08x3x5 2 b) 0102x101x25 2
c) 2x25xx d)
0
4x
5x2 e)
0
2x3
6x5
f) 11xx4x81 g) 91x 2
h) 3x21x2 22 i) 01x9x2
j) 09xx1 22 k)
0
1x3x
x12x4x
l)
4
3x
4x2 m)
0
2
x
3
1x
2
x
3
1x2
2
2x32
n) 0x6x5x 23 o) 03x4x1x 2
p) 01x1x 22 q) 04x4xx 23 r)
0
3x
1x2
s) 02x1x1x 23 t)
0
1x
9x2
u)
0
1xx529x
8x2x1x32
2
v)
0x4
5
2x3x
w)
0
1x3x
x12x4x x)
0
xx6
2x3x2
2
y)
0
5x4x
3x1xx2
z)
0
1xx2
x3x3x
P3.- Resolver los siguientes ejercicios y problemas:
01. Dados los conjuntos:
A = [5, 10 > ; B = < -6, + >; C = < -8, 9] y D = [0,8 >
Halle usted, M = (A B C D) (A B C D)
02. Resolver: 2 > -3 - 3x -7
03. Halle el conjunto solucin de: 4x2 + 5x + 9 0
04. Si x [0,8] y ( 6x - x2 ) [a, b] . Halle: b - a
05. Resolver: 07)3)(x(x
35)1)(x(x21)(x
06. Resolver: 1x
x
7x
4x
07. Resolver: 3
2
1x
3x
5
1
08. Resolver: 4
3
x
5
09. Resolver: 3x4
2
10. Resolver: x2 - 4x + 4 0
11. Resolver: (x + 2) (2x - 3) (x + 1)2 0
12. Resolver: 03)2)(x(x
2)1)(x(x
13. Despus de resolver:
082)(5x21)(x23)(x
2)(3x154)3)(x(x
, seale un valor de la no solucin.
14. Resolver: 2x3
1
73x
1
15. Resolver: 2x2 - 6x + 3 0
16. Resolver: x2 + 40x + 400 > 0
17. Determinar una inecuacin entera de grado mnimo que tenga como conjunto solucin:
< -4, 3 > U < 5, 13 > - {10}.
a) (x + 4)(x - 3)(x -5) (x -10)2 (x -3) < 0
b) (x + 4)(x - 3)(x -5)(x -10)2(x -13) < 0
c) (x + 4) (x - 3)(x -5)(x -10)2 (x -3) > 0
d) (x + 4)(x - 3)(x - 5)2(x-10)(x -13) < 0
e) (x + 4)(x - 3)(x -5)2(x -10)(x -13) > 0
18. Dados los conjuntos:
0
22x
24xR/xM y 02Q/4xxN Hallar M N
19. Dadas las fracciones 425792
425791a ,
2235679
2235678b y
657023
657022c se cumple:
a) a > b > c
b) b > a > c
c) b < a < c
d) a < c < b
e) b > c > a
20. Un electrnico dispona de una cantidad de dinero para comprar un cierto numero de objetos
iguales entre si .Pensaba comprarlos al precio de 50 soles cada uno y le faltaban mas de 48 soles,
y despus pens comprarlos de 40 soles y le sobraban mas de 152 soles; y por ltimo los compro
al precio de 30 soles cada uno y le sobraron menos de 372 soles. Cul fue el nmero de objetos
comprados?
21. Se compra igual cantidad de bolsas de cemento de 2 colores ( rojo y azul ); al venderse la cuarta
parte quedan menos de 118 por vender, si se vendiera la sexta parte quedaran mas de 129 por
vender. Cuntas bolsas de cemento se compraron?
22. Un operario tiene cartuchos de tinta de 3 colores (azul, blanco y crema), tiene en total menos de
30 cartuchos, si el nmero de cartuchos de color azul y blanco aumentara en 6 tendra ms de 20
cartuchos de stos colores, si duplicar el nmero de cartuchos de color azul y le regalarn 5 mas
de ste color no alcanzara al nmero de cartuchos de color crema pero tendra mas de 18
cartuchos de color azul. Cuntos cartuchos de color azul tiene?