Post on 02-Feb-2016
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Ingeniería de ControlIngeniería de Control M.C Adrián García MederezM.C Adrián García Mederez
Capítulo 2
Sesión 6
#1
CAPÍTULO 2CAPÍTULO 2
MODELACIÓN MATEMÁTICAMODELACIÓN MATEMÁTICA
INGENIERÍA DE CONTROLINGENIERÍA DE CONTROL
Sesión 6Sesión 6
Objetivo:Objetivo: El objetivo de este apartado es dotar a los alumnos de El objetivo de este apartado es dotar a los alumnos de los conocimientos y de las habilidades necesarias para la los conocimientos y de las habilidades necesarias para la representación matemática del comportamiento de representación matemática del comportamiento de componentes de sistemas de control analógico lineal y sistemas componentes de sistemas de control analógico lineal y sistemas completos, para que adquiera lacompletos, para que adquiera la CompetenciaCompetencia de Modelación de Modelación Matemática y algunas representaciones gráficas.Matemática y algunas representaciones gráficas.
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Capítulo 2
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#2
Ejemplo de construcción delDiagrama o Gráfica de Flujo de Señal
CAPÍTULO 2CAPÍTULO 2MODELACIÓN MATEMÁTICAMODELACIÓN MATEMÁTICA
Del circuito eléctrico de la Figura se pueden deducir las Ecuaciones
)( 2132 iiRv
243 iRv
2111 viRv
3222 viRv
Construya un diagrama de flujo de señal para el circuito eléctrico dado en la siguiente Figura:
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#3
CAPÍTULO 2CAPÍTULO 2MODELACIÓN MATEMÁTICAMODELACIÓN MATEMÁTICA
Haciendo el análisis por corrientes, tenemos las ecuaciones:
)( 2132 iiRv
243 iRv
2111 viRv
3222 viRv
21
11
1
11v
Rv
Ri
23132 iRiRv
32
22
2
11v
Rv
Ri
243 iRv
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#4
CAPÍTULO 2CAPÍTULO 2MODELACIÓN MATEMÁTICAMODELACIÓN MATEMÁTICA
Gráficas de Flujo de Señales individuales:
21
11
1
11v
Rv
Ri
23132 iRiRv
32
22
2
11v
Rv
Ri
243 iRv
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#5
CAPÍTULO 2CAPÍTULO 2MODELACIÓN MATEMÁTICAMODELACIÓN MATEMÁTICA
Construyendo la Gráfica de Flujo de Señal completa:
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#6
Gráficas de Flujo de Señal individuales:
Construcción del Diagrama o Gráfica de Flujo de Señal para ecuaciones Construcción del Diagrama o Gráfica de Flujo de Señal para ecuaciones simultáneas.simultáneas.
3432424
3332321313
3231212
xAxAx
xAxAxAx
xAxAx
CAPÍTULO 2CAPÍTULO 2MODELACIÓN MATEMÁTICAMODELACIÓN MATEMÁTICA
Ecuación 1.-
Ecuación 2.-
Ecuación 3.-
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#7
x1 A 21 A 32 A 43
A 23
A 42
A 31
x2
x 3 x4
A 33
Construyendo el Diagrama o Gráfica de Flujo de Señal completo:Construyendo el Diagrama o Gráfica de Flujo de Señal completo:
CAPÍTULO 2CAPÍTULO 2MODELACIÓN MATEMÁTICAMODELACIÓN MATEMÁTICA
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#8
Otra forma de construcción del Diagrama o Gráfica de Flujo de Señal Otra forma de construcción del Diagrama o Gráfica de Flujo de Señal para ecuaciones simultáneas.para ecuaciones simultáneas.
En la Figura tenemos el mismo Diagrama de Flujo de Señal de la Figura anterior pero reacomodado para mejorar la comprensión del mismo.
CAPÍTULO 2CAPÍTULO 2MODELACIÓN MATEMÁTICAMODELACIÓN MATEMÁTICA
x 1
A 21
A 31
A 33
A 32 A 23
A 42
A 43
x 2
x 3
x 4
3432424
3332321313
3231212
xAxAx
xAxAxAx
xAxAx
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#9
Utilizar la Fórmula de Mason para obtener la F.T. del Utilizar la Fórmula de Mason para obtener la F.T. del circuito eléctrico resistivo anterior.circuito eléctrico resistivo anterior.
En la Figura se muestra el Diagrama de Flujo de Señal del circuito eléctrico del Ejemplo anterior, apliquemos la Fórmula de Mason a este diagrama de flujo de señal y determinemos la ganancia (F.T.) .
v 1 1 /R 1 1 /R 2
- 1 /R 2- 1 /R 1
i1 R 3 R 4 1
- R 3
v 2 i2 v 3 v 3
CAPÍTULO 2CAPÍTULO 2MODELACIÓN MATEMÁTICAMODELACIÓN MATEMÁTICA
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#10
1.- Trayecto(s) Directo(s) y sus ganancias: Hay una sola trayectoria directa, en el diagrama de la Figura, de la cual su ganancia se muestra enseguida:
v 1 1 /R 1 1 /R 2i1 R 3 R 4 1v 2 i2 v 3 v 3
21
434
23
1
322111
11RRRR
RR
RR
vivivPK
CAPÍTULO 2CAPÍTULO 2MODELACIÓN MATEMÁTICAMODELACIÓN MATEMÁTICA
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#11
2.- Lazos distintos y sus ganancias: En el diagrama hay tres lazos que se muestran en la Figura siguiente y que tienen como ganancia la representada por las Ecuaciones
2
4
242323
2
33
2
2222
1
3
131211
1L
1L
1L
RR
RRivi
RR
RR
viv
RR
RRivi
CAPÍTULO 2CAPÍTULO 2MODELACIÓN MATEMÁTICAMODELACIÓN MATEMÁTICA
- 1 /R 1
R 3
- 1 /R 2
R 41 /R 2
- R 3
i1 v2 v2 i2 i2 v3
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#12
3.- Lazos disjuntos: Como los lazos 1 y 3 no se tocan entonces tenemos:
3y1 LL
CAPÍTULO 2CAPÍTULO 2MODELACIÓN MATEMÁTICAMODELACIÓN MATEMÁTICA
4.- Determinante del Gráfico: Como no hay tres lazos que no se toquen entonces tenemos el como:
21
4341313221
21
4314132321
21
43
2
4
2
3
1
3
2
4
1
3
2
4
2
3
1
331321
1
1L*LLLL1
RRRRRRRRRRRR
RRRRRRRRRRRR
RRRR
RR
RR
RR
RR
RR
RR
RR
RR
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#13
5.- Cofactores: Ya que todos los lazos tocan a la única trayectoria entonces tenemos:
4341313221
43
1
3
21
4341313221
21
43
11
1
3
: tenemosmedios,por medios entre extremospor extremos Haciendo
P
RRRRRRRRRR
RR
v
v
RR
RRRRRRRRRR
RR
RR
v
v KK
CAPÍTULO 2CAPÍTULO 2MODELACIÓN MATEMÁTICAMODELACIÓN MATEMÁTICA
1P 1K1K
6.- Salida/Entrada: Finalmente tenemos la F.T. de circuito eléctrico: