Integración Múltiple

Integración Múltiple

Integración Múltiple

Integrales iteradas

∫ b

a

∫ g2(x)

g1(x)f (x , y)dydx ó

∫ d

c

∫ h2(y)

h1(y)f (x , y)dxdy

Los límites interiores de integración pueden ser variablesrespecto a la variable exterior de integración, pero loslímites exteriores de integración han de ser constantes conrespecto a las dos variables de integración.

Una vez realizada la primera integración, se llega a unaintegral definida ordinaria y al integrar por segunda vez seobtiene un número real.

Los límites de integración determinan la región deintegración .

Integración Múltiple

El concepto de integral doble

Consideramos una función continua f tal que

f (x , y) ≥ 0 ∀(x , y) ∈ dom(f )

Deseamos hallar el volumen de la región sólidacomprendida entre la superficie z = f (x , y) y el plano XY .Suponemos que la función f está definida sobre unrectángulo cerrado

R = [a,b]× [c,d ] ={

(x , y) ∈ R2/a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d

}

Tomamos una partición P de R en subrectángulos queobtenemos realizando el producto cartesiano de unapartición de [a,b] por una de [c,d ]:

a = x0 < x1 < · · · < xi−1 < xi < · · · < xm = b

c = y0 < y1 < · · · < yj−1 < yj < · · · < yn = d

Integración Múltiple

El concepto de integral doble (II)

P ={

[xi−1, xi ]× [yj−1, yj ], i = 1, · · · ,m, j = 1, · · · ,n}

Denotamos por ∆xi = xi − xi−1, ∆yj = yj − yj−1

Área de cada subrectángulo Rij = [xi−1, xi ]× [yj−1, yj ]:

Aij = ∆xi∆yj

Llamamos mij = mín{

f (x , y), (x , y) ∈ Rij}

Mij = máx{

f (x , y), (x , y) ∈ Rij}

Consideramos los prismas que tienen por base unrectángulo de la partición y por altura o el mínimo o elmáximo de f sobre ese rectángulo:V =área de la base · altura

Integración Múltiple

El concepto de integral doble (III)

DEF. Se llama suma inferior de Riemann de f en P a

L(f ,P) = s(f ,P) =∑

1≤i≤m,1≤j≤n

mij Aij

DEF. Se llama suma superior de Riemann de f en P a

U(f ,P) = S(f ,P) =∑

1≤i≤m,1≤j≤n

Mij Aij

Si se consideran particiones más finas la aproximacionesmejoran. Se cumple:

L(f ,P) ≤ U(f ,Q) siendo P,Q dos particiones de R.

Si se refina la partición, las sumas inferior y superior seaproximan.

Integración Múltiple

Definición de integral doble

DEF. Se llama integral inferior de Riemann de f en R a∫

R

f = sup {L(f ,P),P ∈ P(R)}

DEF. Se llama integral superior de Riemann de f en R a

∫

Rf = ínf {U(f ,P),P ∈ P(R)}

DEF. Diremos que f es integrable sobre R si coinciden susintegrales superior e inferior.A ese valor lo llamamos integral de f y lo representamos por:

∫

Rf =

∫ ∫

Rf dx dy

Integración Múltiple

Propiedades de integral doble

Teorema. Sea R un rectángulo de R2 y f : R → R una función.

Si f es continua en R salvo, a lo sumo, en los puntos queforman una unión finita de líneas, f es integrable.

Sea A una región plana acotada y f : A → R. Por ser Aacotada, existe un rectángulo R que la encierra. Se puede

construir la función: F (x , y) ={

f (x , y) si (x , y) ∈ A0 si (x , y) ∈ R − A

Si F es integrable sobre R, entonces f es integrable sobre A.∫ ∫

af =

∫ ∫

RF

Teorema. Sea f : A ⊂ R2 → R acotada y A una región acotada.

Entonces, si f es continua en A, f es integrable en A.

Integración Múltiple

Propiedades de integral doble (II)

Sean f ,g : A ⊂ R2 → R dos funciones continuas en una región,

A, cerrada y acotada y c una constante.

1

∫

Acf = c

∫

Af ,∫

A(f ± g) =

∫

Af ±

∫

Ag (Linealidad )

2 Si f (x , y) ≥ 0 ∀(x , y) ∈ A, entonces∫

Af ≥ 0 (Positividad )

3 Si f (x , y) ≥ g(x , y) ∀(x , y) ∈ A, entonces∫

Af ≥

∫

Ag

(Monotonía )4 Sean A1,A2 ⊂ R

2 tales que A = A1⋃

A2, A1⋂

A2 = ∅,∫

Af =

∫

A1

f +∫

A2

f

5 Si m ≤ f (x , y) ≤ M ∀(x , y) ∈ A, entonces

m · Área(A) ≤∫

Af ≤ M · Área(A) (Acotación )

Integración Múltiple

Cálculo de integrales dobles

DEF. Se dice que A ⊂ R2 es una región regular en la dirección

del eje Y si

A ={

(x , y) ∈ R2/a ≤ x ≤ b, ϕ1(x) ≤ y ≤ ϕ2(x)

}

donde ϕ1, ϕ2 son continuas y ϕ1 ≤ ϕ2 en [a,b].DEF. A es una región regular en la dirección del eje X si

A ={

(x , y) ∈ R2/c ≤ y ≤ d , ψ1(y) ≤ x ≤ ψ2(y)

}

donde ψ1, ψ2 son continuas y ψ1 ≤ ψ2 en [c,d ].

DEF. Si A es una región regular en la dirección de ambos ejesse dice que es regular.

Integración Múltiple

Cálculo de integrales dobles (II)

Teorema de Fubini (Integrales dobles)Sea f : A ⊂ R

2 → R continua en A.

Si A es una región regular en la dirección del eje Y ,entonces:

∫

Af =

∫ b

a

∫ ϕ2(x)

ϕ1(x)f (x , y)dy dx

Si A es una región regular en la dirección del eje X ,entonces:

∫

Af =

∫ d

c

∫ ψ2(y)

ψ1(y)f (x , y)dx dy

Si A es una región regular, entonces∫

A f se puedeexpresar de las dos formas anteriores y, por la unicidad dela integral de funciones continuas, las integrales debencoincidir.

Integración Múltiple

Cálculo de integrales dobles (III)

Si la región sobre la que se desea integrar no es regular en ladirección de ninguno de los ejes, es necesario dividirla,mediante rectas paralelas a los ejes, en un número finito dedominios regulares en la dirección del eje X o Y .

Entonces la integral sobre la región de partida será la suma delas integrales sobre cada subdominio.

Integración Múltiple

Cálculo de integrales triples

DEF. Se dice que A ⊂ R3 es una región regular en la dirección

del eje Z si

A ={

(x , y , z) ∈ R3/(x , y) ∈ A, φ1(x , y) ≤ z ≤ φ2(x , y)

}

donde A es una región regular en la dirección del eje X o deleje Y :

A ={

(x , y) ∈ R2/a ≤ x ≤ b, ϕ1(x) ≤ y ≤ ϕ2(x)

}

oA =

{

(x , y) ∈ R2/c ≤ y ≤ d , ψ1(y) ≤ x ≤ ψ2(y)

}

con φ1, φ2 son continuas y φ1 ≤ φ2 en A.

Integración Múltiple

Cálculo de integrales triples (II)

De forma análoga se puede definir dominio regular en ladirección del eje Y y del eje X .

DEF. Si A es una región regular en las tres direcciones se diceque es regular.

Integral iteradaSea f : A ⊂ R

3 → R continua y A regular en la dirección del ejeZ :

∫ b

a

∫ ϕ2(x)

ϕ1(x)

∫ φ2(x,y)

φ1(x,y)f (x , y , z)dz dy dx

Integración Múltiple

Cálculo de integrales triples (III)

Teorema de Fubini (Integrales triples)Sea f : A ⊂ R

3 → R continua en A.Si A es una región regular en alguna dirección, la integral triplesobre A de f se puede calcular como una integral iterada:

∫ ∫ ∫

Af =

∫ b

a

∫ ϕ2(x)

ϕ1(x)

∫ φ2(x,y)

φ1(x,y)f (x , y , z)dz dy dx

∫ d

c

∫ ψ2(y)

ψ1(y)

∫ φ2(x,y)

φ1(x,y)f (x , y , z)dz dx dy

∫ b

a

∫ ϕ2(x)

ϕ1(x)

∫ φ2(x,z)

φ1(x,z)f (x , y , z)dy dz dx

∫ d

c

∫ ψ2(z)

ψ1(z)

∫ φ2(x,z)

φ1(x,z)f (x , y , z)dy dx dz

Integración Múltiple

Cálculo de integrales triples (IV)

Teorema de Fubini (Integrales triples)Sea f : A ⊂ R

3 → R continua en A.Si A es una región regular en alguna dirección, la integral triplesobre A de f se puede calcular como una integral iterada:

∫ ∫ ∫

Af =

∫ b

a

∫ ϕ2(z)

ϕ1(z)

∫ φ2(y ,z)

φ1(y ,z)f (x , y , z)dx dy dz

∫ d

c

∫ ψ2(y)

ψ1(y)

∫ φ2(y ,z)

φ1(y ,z)f (x , y , z)dx dz dy

Si A es una región regular, la integral triple se puede calcularusando cualquiera de las 6 integrales iteradas anteriores y, porunicidad de la integral, obtenemos el mismo resultado.Si A no es regular en la dirección de ningún eje, es necesariodescomponerla en subregiones regulares

Integración Múltiple

Cambio de variable

DEF. Se llama transformación de la región A∗ en la región A ala función

T : A∗ → A(u, v) 7→ T (u, v) = (x(u, v), y(u, v))

DEF. Una transformación es de clase C1(A∗) si sus funcionescomponentes son continuas, derivables y sus derivadasparciales son continuas en A∗.

DEF. Se llama jacobiano de T : A∗ → A (T ∈ C1(A∗)) aldeterminante:

JT =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∂x∂u

∂x∂v

∂y∂u

∂y∂v

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

.

Integración Múltiple

Cambio de variable (II)

Teorema (Cambio de variable para integrales dobles)Sean A y A∗ dos regiones del plano yT : A∗ → A

(u, v) 7→ T (u, v) = (x(u, v), y(u, v))una

transformación de A∗ sobre A tal que T ∈ C1(A∗), T esinyectiva y J : T (u, v) 6= 0 ∀(u, v) ∈ A∗.Entonces para cualquier función integrable f : A → R:∫ ∫

Af (x , y)dx dy =

∫ ∫

A∗f (x(u, v), y(u, v)) · |JT (u, v)|du dv

Integración Múltiple

Coordenadas Polares{

x = r cos θy = r sen θ

r = +√

x2 + y2

cos θ =xr

sen θ =yr −1 0 2 4

−1

0

1

2

x

x

y (x,y)

r

θ

Jacobiano:

JT =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∂x∂r

∂x∂θ

∂y∂r

∂y∂θ

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

=

∣

∣

∣

∣

∣

∣

cos θ −r sen θ

sen θ r cos θ

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= r

Integración Múltiple

Coordenadas Cilíndricas

x = r cos θy = r sen θz = z

r = +√

x2 + y2

cos θ = x/rsen θ = y/r

0

0.5

1

1.5

2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

x

y

z

(x,y,z)

r

θ

z

Jacobiano:

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∂x∂r

∂x∂θ

∂x∂z

∂y∂r

∂y∂θ

∂y∂z

∂z∂r

∂z∂θ

∂z∂z

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

=

∣

∣

∣

∣

∣

∣

cos θ −r sen θ 0sen θ r cos θ 0

0 0 1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= r

Integración Múltiple

Coordenadas Esféricas

x = ρ senϕ cos θy = ρ senϕ sen θz = ρ cosϕ

ρ = +√

x2 + y2 + z2

ϕ ∈ [0, π]θ ∈ [0,2π]

0

0.5

1

1.5

2

00.5

11.5

2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

x

y

z

(x,y,z)

θ

ρ

ϕz

r

Integración Múltiple

Coordenadas Esféricas (II)

Jacobiano:∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∂x∂ρ

∂x∂ϕ

∂x∂θ

∂y∂ρ

∂y∂ϕ

∂y∂θ

∂z∂ρ

∂z∂ϕ

∂z∂θ

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

=

∣

∣

∣

∣

∣

∣

senϕ cos θ ρ cosϕ cos θ −ρ senϕ sen θsenϕ sen θ ρ cosϕ sen θ ρ senϕ cos θ

cosϕ −ρ senϕ 0

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= cosϕ

∣

∣

∣

∣

ρ cosϕ cos θ −ρ senϕ sen θρ cosϕ sen θ ρ senϕ cos θ

∣

∣

∣

∣

+ ρ senϕ

∣

∣

∣

∣

senϕ cos θ −ρ senϕ sen θsenϕ sen θ ρ senϕ cos θ

∣

∣

∣

∣

= cosϕρ2 cosϕ senϕ+ ρ senϕρ sen2 ϕ = ρ2 senϕ